第2章反比例函数重难点特训-2026-2027学年数学九年级上册苏科版

第2章反比例函数重难点特训-2026-2027学年数学九年级上册苏科版 一．选择题（共8小题） 1．（2026秋•九龙坡区校级月考）已知点在反比例函数y（k≠0）的图象上，则该函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 2．（2026秋•南岗区校级月考）反比例函数的图象上有A（2，y1），B（5，y2）两点．则y1，y2的大小关系为（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．y1≥y2 3．（2026秋•宝应县月考）设反比例函数（k为常数，k≠0）．已知当﹣6≤x≤﹣2时，y的最大值为﹣1，则当3≤x≤4时，y的最大值为（　　） A．3 B．2 C．1 D． 4．（2026秋•宿城区校级月考）在某闭合电路中，经过电路的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的数据如表所示．已知I是R的反比例函数，则表格中a的值为（　　） I/A … 4 5 6 … R/Ω … 30 a 20 … A．24 B．25 C．26 D．28 5．（2026春•朝阳区校级同步）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例关系，它的图象如图所示．下列说法错误的是（　　） A．函数解析式为 B．当R＝6Ω时，I＝4A C．当I≤10A时，R≥3.6Ω D．当电压一定时，电流I随电阻R的增大而减小 6．（2026春•永春县期末）如图，点A、B是反比例函数图象上的两点，延长线段BA交y轴于点C，且点A为线段BC中点，连接OA、OB，若S△ACO＝3，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2026•邯山区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，5）、（1，2），将线段AB绕点B顺时针旋转90°，点A的对应点落在点C处，点D是反比例函数的图象L上一点．要使图象L与折线AB﹣BC有两个交点，则点D的坐标可以是（　　） A．（1，2） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4） 8．（2026•临湘市模拟）如图，点C是反比例函数（x＜0）的图象上的一个动点，且CA⊥x轴于点A，AB∥OC交y轴于点B．则四边形ABOC的面积是（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 二．填空题（共6小题） 9．（2026•邗江区三模）已知点A（1，2）在反比例函数y的图象上，则当x＞1时，y的取值范围是__________ ． 10．（2026•南京）一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比例函数关系，当体积为4时，压强为1.5；当4换成3，1.5对的位置换成_____ ． 11．（2026春•浦东新区校级期中）已知是关于x的反比例函数，且图象在第一、三象限内，则m的值是_____ ． 12．（2026•广东）如图，直线y＝2x+b与反比例函数y在第二象限的图象交于点A，B，与x轴交于点C．点A的横坐标为﹣1，且AB＝2BC，则反比例函数的解析式为____________________ ． 13．（2026•丰泽区校级模拟）在平面直角坐标系中，直线y＝kx（k≠0）与双曲线相交于点A、B．若点A的横坐标为2，则点B的坐标为 ____________ ． 14．（2026•广元）如图，在△AOB中，AB∥x轴，点C为OA的中点，函数的图象经过B，C两点，过点B作OA的平行线交y轴于点D，连接CD，若△COD的面积为2，则k的值为 __________________ ． 三．解答题（共5小题） 15．（2026秋•鼓楼区校级月考）已知反比例函数的图象经过点（2，3）． （1）求k的值； （2）当x＝﹣3时，求y的值； （3）当1＜x＜4时，求y的取值范围． 16．（2026秋•宿城区校级月考）如图，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（6，1），B（2，m）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）在x轴上找一点C，使△ABC的周长最小，并求出最小值． 17．（2026秋•北京校级月考）如图，一次函数y＝2x+n的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于点A（1，4），与x轴交于点B． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）P是直线AB上一动点，过点P作x轴的平行线交反比例函数（x＞0）的图象于点Q．若PQ＝2，直接写出点P的坐标． 18．（2026秋•开福区校级月考）【问题背景】1896年，挪威生理学家古德贝发现：每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象． 【收集数据】经研究，蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y与两腿迈出的步长之差x之间有如表的关系： x/cm 1 2 5 7 y/cm 1400 700 280 200 【问题解决】 （1）请写出y与x之间的函数关系式． （2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5cm时，他闭上眼睛走出的大圆圈的半径为_________ cm． 【问题拓展】如图，学校运动场有一块矩形的草坪ABCD，一次游戏要求同学们闭眼从AB边的中点M走向CD边，大家发现走着走着就走偏了，很难到达边CD．这是为什么呢？经测量，在矩形ABCD中，BC＝170m，AM＝BM＝40m． （3）要想抵达草坪的对面CD，走偏最多的弧线为弧MC，求弧MC所在圆的半径R． （4）有研究显示，健康人群的步长之差约为0.33cm，请根据以上数据，分析为什么很难闭上眼睛走到草坪对面． 19．（2026•江阳区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ax与反比例函数的图象交于点A，与反比例函数的图象交于点B，点A的横坐标﹣1．过点A作y轴的垂线，垂足为C．过点C作AB的平行线，交反比例函数的图象于点D． （1）若，求a，k的值； （2）连接BC，BD，若△BCD的面积为，求k的值． 第2章反比例函数重难点特训-2026-2027学年数学九年级上册苏科版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2026秋•九龙坡区校级月考）已知点在反比例函数y（k≠0）的图象上，则该函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：将代入反比例函数y（k≠0）， 2， k＝﹣3， ∴该函数的解析式为， 故选：A． 2．（2026秋•南岗区校级月考）反比例函数的图象上有A（2，y1），B（5，y2）两点．则y1，y2的大小关系为（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．y1≥y2 【解答】解：∵反比例函数中，k＝﹣6＜0， ∴反比例函数图象的两个分支分别位于第二、四象限且在每个象限内y随x的增大而增大， ∵2＜5， ∴y1＜y2． 故选：A． 3．（2026秋•宝应县月考）设反比例函数（k为常数，k≠0）．已知当﹣6≤x≤﹣2时，y的最大值为﹣1，则当3≤x≤4时，y的最大值为（　　） A．3 B．2 C．1 D． 【解答】解：∵当﹣6≤x≤﹣2时，y的最大值为﹣1＜0， ∴k＝xy＞0， ∵k＞0时，每个象限内y随x的增大而减小， ∴在﹣6≤x≤﹣2中，x取最小值﹣6时，y取得最大值， 将x＝﹣6，y＝﹣1代入，得k＝（﹣6）×（﹣1）＝6， ∴反比例函数解析式为， ∵当3≤x≤4时，x＞0，y随x的增大而减小， ∴x取最小值3时，y取得最大值，为． 故选：B． 4．（2026秋•宿城区校级月考）在某闭合电路中，经过电路的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的数据如表所示．已知I是R的反比例函数，则表格中a的值为（　　） I/A … 4 5 6 … R/Ω … 30 a 20 … A．24 B．25 C．26 D．28 【解答】解：设（k为常数，k≠0），经过电路的电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的数据如表， 将I＝4，R＝30代入， 得k＝4×30＝120， ∴， 当I＝5时，， 解得R＝24， ∴a＝24． 故选：A． 5．（2026春•朝阳区校级同步）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例关系，它的图象如图所示．下列说法错误的是（　　） A．函数解析式为 B．当R＝6Ω时，I＝4A C．当I≤10A时，R≥3.6Ω D．当电压一定时，电流I随电阻R的增大而减小 【解答】解：观察图象，可知图中函数为反比例函数， 即， 当R＝4Ω时，I＝9A， 得， 解得U＝36V， ∴函数解析式为，故选项A正确； 当R＝6Ω时，I＝6A≠4A，故选项B错误； 当I≤10A时，， 得R≥3.6Ω，故选项C正确； ∴当电压一定时，电流I随电阻R的增大而减小，故选项D正确， 故选：B． 6．（2026春•永春县期末）如图，点A、B是反比例函数图象上的两点，延长线段BA交y轴于点C，且点A为线段BC中点，连接OA、OB，若S△ACO＝3，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：过点A和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为M和N， ∵点A为线段BC中点且S△ACO＝3， ∴S△AOB＝S△ACO＝3． ∵S△AOM＝S△BON， ∴S梯形AMNB＝S△AOB＝3． 令点A坐标为（m，），点B坐标为（n，）， ∴， 整理得，（n2﹣m2）k＝6mn． ∵点A是BC中点， ∴， 即n＝2m， ∴（4m2﹣m2）k＝12m2， 解得k＝4． 故选：D． 7．（2026•邯山区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，5）、（1，2），将线段AB绕点B顺时针旋转90°，点A的对应点落在点C处，点D是反比例函数的图象L上一点．要使图象L与折线AB﹣BC有两个交点，则点D的坐标可以是（　　） A．（1，2） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4） 【解答】解：由点A、B的坐标分别为（1，5）、（1，2）可知AB∥y轴，AB＝5﹣2＝3． 由线段AB绕点90°旋转后得到BC，则BC＝AB＝3，BC∥x轴，所以点A的对应点C的坐标为（4，2）． 据此根据题意结合已知条件逐项分析判断如下： 选项A，此时点D和点B重合，反比例函数的图象与折线只有一个交点B，故选项A不符合题意； 选项B，此时点D恰好在线段AB上，则，解得k＝4． 所以反比例函数的解析式为． 令y＝2，代入，得x＝2， 此时反比例函数的图象与线段BC的交点为（2，2）， 所以图象与折线AB﹣BC有两个交点，故选项B符合题意； 选项C，由条件可得： ， 解得k＝6． 所以反比例函数的解析式为． 令y＝2，代入，得x＝3，此时反比例函数的图象与线段BC的交点为（3，2）， 令x＝1，代入，得y＝6＞5，此时反比例函数的图象与线段AB没有交点， 所以图象与折线AB﹣BC只有1个交点，故选项C不符合题意； 选项D，由条件可得： ， 解得k＝8． 所以反比例函数的解析式为． 令y＝2，代入，得x＝4，此时反比例函数的图象与线段BC的交点为（4，2）， 令x＝1，代入，得y＝8＞5，此时反比例函数的图象与线段AB没有交点， 所以图象与折线AB﹣BC只有1个交点，故选项D不符合题意； 故选：B． 8．（2026•临湘市模拟）如图，点C是反比例函数（x＜0）的图象上的一个动点，且CA⊥x轴于点A，AB∥OC交y轴于点B．则四边形ABOC的面积是（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 【解答】解：由条件可知，AC∥OB， ∵AB∥OC， ∴四边形ABOC为平行四边形， ∴四边形ABOC的面积＝2S△CAO＝6． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 9．（2026•邗江区三模）已知点A（1，2）在反比例函数y的图象上，则当x＞1时，y的取值范围是　0＜y＜2　 ． 【解答】解：将点A（1，2）代入反比例函数y的解析式得， k＝1×2＝2， 则函数解析式为y， 当x＝1时，y＝2，由于图象位于一、三象限， 在每个象限内，y随x的增大而减小， 则x＞1时，0＜y＜2． 故答案为0＜y＜2． 10．（2026•南京）一定质量的二氧化碳的体积和压强成反比例函数关系，当体积为4时，压强为1.5；当4换成3，1.5对的位置换成　2　 ． 【解答】解：设P（k≠0）， 将V＝4，P＝1.5代入得1.5，解得k＝6， ∴函数解析式为P， ∴当V＝3时，P2， 故当4换成3，1.5对的位置换成2． 故答案为：2． 11．（2026春•浦东新区校级期中）已知是关于x的反比例函数，且图象在第一、三象限内，则m的值是　3　 ． 【解答】解：∵是关于x的反比例函数，且图象在第一、三象限内， ∴m﹣2＞0且m2﹣10＝﹣1， 解得m＝3． 故答案为：3． 12．（2026•广东）如图，直线y＝2x+b与反比例函数y在第二象限的图象交于点A，B，与x轴交于点C．点A的横坐标为﹣1，且AB＝2BC，则反比例函数的解析式为y　 ． 【解答】解：由题意，过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴于F， ∴AE∥BF． ∴． ∵点A的横坐标为﹣1，直线y＝2x+b与反比例函数y在第二象限的图象交于点A，B， ∴OE＝1，A（﹣1，﹣k）． ∴AE＝﹣k，﹣2+b＝﹣k①． ∴BFAEk． ∴B（﹣3，k）． ∴﹣6+bk②． 由①②得，k＝﹣6． ∴反比例函数为y． 故答案为：y． 13．（2026•丰泽区校级模拟）在平面直角坐标系中，直线y＝kx（k≠0）与双曲线相交于点A、B．若点A的横坐标为2，则点B的坐标为 　（﹣2，﹣4）　 ． 【解答】解：∵直线y＝kx（k≠0）与双曲线相交于点A，且点A的横坐标为2， ∴y＝2k，y6﹣k， ∴2k＝6﹣k， 解得：k＝2， ∴直线的表达式为：y＝2x，双曲线的表达式为：y， ∴当x＝2时，y＝4， ∴点A的坐标为（2，4）， ∴直线y＝2x与双曲线y都关于坐标原点对称， ∴它们的交点A，B也关于坐标原点对称， ∴点B的坐标为（﹣2，﹣4）． 故答案为：（﹣2，﹣4）． 14．（2026•广元）如图，在△AOB中，AB∥x轴，点C为OA的中点，函数的图象经过B，C两点，过点B作OA的平行线交y轴于点D，连接CD，若△COD的面积为2，则k的值为 　　 ． 【解答】解：连接AD，延长AB交y轴于点H，如图所示： 设点C的坐标为（a，b）， ∵反比例函数（x＞0）的图象经过点C，其中k＞0， ∴k＝ab， ∵点C是OA的中点， ∴OC＝AC，点A的坐标为（2a，2b）， ∵AB∥x轴， ∴AH⊥y轴， ∴AH＝2a，OH＝2b， ∴S△OAHAH•OH2a×2b＝2ab＝2k， ∵反比例函数（x＞0）的图象经过点B，BH⊥y轴， ∴根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OBH， ∴S△OAB＝S△OAH﹣S△OBH， ∵△ACD的边AC上的高与△OCD的边OC上的高相同，且OC＝AC， ∴S△ACD＝S△OCD＝2， ∴S△OAD＝S△ACD+S△OCD＝4， ∵BD∥OA， ∴根据平行线间的距离处处相等得：△OAB与△OAD同底等高， ∴S△OAB＝S△OAD， ∴， ∴k． 故答案为：． 三．解答题（共5小题） 15．（2026秋•鼓楼区校级月考）已知反比例函数的图象经过点（2，3）． （1）求k的值； （2）当x＝﹣3时，求y的值； （3）当1＜x＜4时，求y的取值范围． 【解答】解：（1）根据题意可得， 解得k＝7， ∴k的值为7； （2）由（1）得反比例函数解析式为， 当x＝﹣3时，； （3）当x＝1时，；当x＝4时，， ∵在每个象限内，y随x增大而减小， ∴1.5＜y＜6． 16．（2026秋•宿城区校级月考）如图，一次函数y1＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（6，1），B（2，m）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）在x轴上找一点C，使△ABC的周长最小，并求出最小值． 【解答】解：（1）由条件可得：， 解得k＝6， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当x＝2时，， ∴B（2，3）， 由条件可得：， 解得， ∴一次函数解析式为． （2）由函数图象可知，当一次函数y1＝ax+b的图象在反比例函数的图象下方时自变量的取值范围为0＜x＜2或x＞6， ∴不等式的解集为：0＜x＜2或x＞6； （3）如图：作点B关于x轴的对称点D，C为x轴上的动点，连接BC、AC、DC、AD，则D（2，﹣3）， 由轴对称的性质可得DC＝BC； ∵A（6，1），B（2，3）， ∴， ∴△ABC的周长， ∴当AC+BC有最小值时，△ABC的周长有最小值， ∵AC+BC＝AC+DC， ∴当AC+DC有最小值时，△ABC的周长有最小值， ∵AC+DC≥AD， ∴当A、C、D三点共线时，AC+DC有最小值，即此时△ABC的周长有最小值，最小值为， ∵A（6，1），D（2，﹣3）， ∴， ∴△ABC的周长的最小值为； 设直线AD解析式为y＝k1x+b1， 则， 解得：， ∴直线AD解析式为y＝x﹣5， 在y＝x﹣5中，当y＝x﹣5＝0时，x＝5， ∴C（5，0）． 综上，当点C的坐标为C（5，0）时，△ABC的周长有最小值，最小值为． 17．（2026秋•北京校级月考）如图，一次函数y＝2x+n的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于点A（1，4），与x轴交于点B． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）P是直线AB上一动点，过点P作x轴的平行线交反比例函数（x＞0）的图象于点Q．若PQ＝2，直接写出点P的坐标． 【解答】解：（1）将A（1，4）代入y＝2x+n得，4＝2×1+n， 解得n＝2， ∴y＝2x+2； 将A（1，4）代入得，， ∴k＝4， ∴； （2）∵一次函数解析式为y＝2x+2，则： 设P（p，2p+2），则， ∴， ∴或， 当时， 解得p＝0，或p＝﹣3， 经检验，均是原分式方程的解， ∴P（0，2），或（﹣3，﹣4）（舍去）； 当时， 解得或 经检验，均是原分式方程的解， ∴或（不符合题意，舍去）； 故点P的坐标为（0，2）或． 18．（2026秋•开福区校级月考）【问题背景】1896年，挪威生理学家古德贝发现：每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象． 【收集数据】经研究，蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y与两腿迈出的步长之差x之间有如表的关系： x/cm 1 2 5 7 y/cm 1400 700 280 200 【问题解决】 （1）请写出y与x之间的函数关系式． （2）当某人两腿迈出的步长之差为0.5cm时，他闭上眼睛走出的大圆圈的半径为　2800　 cm． 【问题拓展】如图，学校运动场有一块矩形的草坪ABCD，一次游戏要求同学们闭眼从AB边的中点M走向CD边，大家发现走着走着就走偏了，很难到达边CD．这是为什么呢？经测量，在矩形ABCD中，BC＝170m，AM＝BM＝40m． （3）要想抵达草坪的对面CD，走偏最多的弧线为弧MC，求弧MC所在圆的半径R． （4）有研究显示，健康人群的步长之差约为0.33cm，请根据以上数据，分析为什么很难闭上眼睛走到草坪对面． 【解答】（1）解：由题意，设反比例函数解析式为，将点（1，1400）代入得： 1400， 解得：k＝1400， ∴y与x之间的函数关系式为y 经检验，代入其他数据，符合题意； （2）解：当x＝0.5时，得：y2800， 故答案为：2800； （3）解：在矩形ABCD中，BC＝170m，AM＝BM＝40m， ∴∠ABC＝∠OBC＝90°． ∵OM＝OC，设OB＝xm， ∴OM＝OC＝（x+40）m， 在直角三角形BOC中，由勾股定理得：OC2＝BC2+OB2， ∴（x+40）2＝1702+x2， 解得：x＝341.25， ∴弧MC所在圆的半径R为：341.25+40＝381.25（m）； （4）解：当x＝0.33时，y4242.42（cm）＝42.4242（m）＜381.25m， ∴人很难闭上眼睛走到草坪对面． 19．（2026•江阳区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝ax与反比例函数的图象交于点A，与反比例函数的图象交于点B，点A的横坐标﹣1．过点A作y轴的垂线，垂足为C．过点C作AB的平行线，交反比例函数的图象于点D． （1）若，求a，k的值； （2）连接BC，BD，若△BCD的面积为，求k的值． 【解答】解：（1）由题知， 将x＝﹣1代入得，y＝﹣2， 所以点A坐标为（﹣1，﹣2）． 将点A坐标代入y＝ax得， ﹣a＝﹣2， 解得a＝2． 过点A和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N， 因为AM∥BN， 所以△AOM∽△BON． 又因为， 所以． 因为点A坐标为（﹣1，﹣2）， 所以BN， 所以点B坐标为（）． 将点B坐标代入得， k； （2）如图所示， 因为点A坐标为（﹣1，﹣2）且AC⊥y轴， 所以点C坐标为（0，﹣2）， 又因为CD∥AB且直线AB的函数解析式为y＝2x， 所以直线CD的函数解析式为y＝2x﹣2． 因为CD∥AB， 所以， 则， 解得， 所以， 所以点D坐标为（）． 将点D坐标代入得， k． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $