专题04 实数25大题型76题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材冀教版

专题04 实数（25大题型76题） 基础·固本强基 题型1 平方根、算数平方根的概念理解 题型2 求平方根、算术平方根 题型3 利用平方根解方程 题型4 立方根的概念理解 题型5 求一个数的立方根 题型6 平方根、立方根的简单应用（重点） 题型7实数的概念与分类 题型8 实数的大小比较 题型9 实数与数轴（重点） 题型10 近似数的相关概念 提升·进阶突破 题型11 利用算术平方根的非负性解题（重点） 题型12 估计算术平方根的取值范围（重点） 题型13 与算术平方根有关的规律探索题（重点） 题型14 算术平方根的实际应用（重点） 题型15 与立方根有关的规律探索题（重点） 题型16 算术平方根和立方根的综合（重点） 题型17 无理数整数部分的有关计算（重点） 题型18 实数的性质与数轴有关计算（重点） 题型19 实数大小比较综合（重点） 题型20 程序设计与实数运算 题型21 实数的新定义运算问题（难点） 题型22 近似值的辨析 拔高·压轴破难 题型23 平方根、立方根的规律探索题综合（难点） 题型24 实数的新定义问题综合（难点） 题型25 实数的实际应用综合（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 平方根、算数平方根的概念理解（共3小题） 1．（24-25七年级上·云南保山·期末）下列说法中正确的是（　　） A．任何数都有平方根 B．的平方根是 C．0的平方根是0 D．4的平方根是2 【答案】C 【分析】本题考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解本题的关键．根据平方根的定义即可判断． 【详解】解：A、负数没有平方根，故错误，不符合题意； B、没有平方根，故错误，不符合题意； C、0的平方根是0，故正确，符合题意； D、4的平方根是，故错误，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26七年级下·北京西城·期中）下列说法：①36的平方根是6；②±9的平方根是±3；③；④0.01是0.1的算术平方根；⑤的算术平方根是4；⑥81的算术平方根是±9．其中正确的说法有（    ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 【答案】A 【分析】依次对每个说法根据平方根、算术平方根的定义进行判断，确定正确说法的个数．本题主要考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解： 的平方根是，故①错误； 没有平方根，故②错误； ，故③错误； 是的算术平方根，故④错误； ，的算术平方根是，则的算术平方根是，故⑤错误； 算术平方根是一个非负数，则的算术平方根是，故⑥错误． 综上正确的说法有0个， 故选：A． 3．（25-26八年级上·全国·期中）关于平方根的说法：①是的平方根；②的平方根是；③的平方根是；④是的平方根：⑤的平方根是．若正确的打“√”，错误的打“×”，下列判断正确的是（   ） A．①√②×③×④√⑤× B．①√②√③×④×⑤× C．①×②×③×④√⑤× D．①×②×③√④×⑤√ 【答案】A 【分析】本题考查了对平方根的定义的理解，正数的平方根有两个，且互为相反数；负数没有平方根．根据平方根的意义与性质逐个进行判断即可． 【详解】解：①的平方根是，故是的平方根正确，即①； ②的平方根是，故的平方根是错误，即②； ③负数没有平方根，故的平方根是错误，即③； ④的平方根，故是的平方根正确，即④； ⑤的平方根是，所以的平方根是错误，即⑤； 故选：A ． 题型2 求平方根、算术平方根（共3小题） 【步骤】找到平方等于该数的数，算术平方根只取正值，先保证被开方数非负。 4．（25-26七年级下·福建福州·期中）下列运算，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根与算术平方根的定义，根据定义逐一判断选项即可得到正确结果． 【详解】解： A选项：，A错误； B选项：，B错误； C选项：，C正确； D选项：，D错误． 5．（25-26八年级下·河北唐山·期中）已知，则实数的值为_____． 【答案】81 【分析】根据算术平方根的定义，对等式两边同时平方，即可求出实数的值． 【详解】解：因为 ， 等式两边同时平方得， 整理得． 6．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）若是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；根据平方根和算术平方根的定义，分别求出a和b的值，再计算的算术平方根即可． 【详解】解：由题意得：， ∵，且9的算术平方根是b， ∴， ∴， 故答案为． 题型3 利用平方根解方程（共3小题） 【步骤】整理成平方等于常数形式，判断常数正负，非负则开平方写出两个根。 【易错】a>0时有两解，不要漏掉负根；负数不能开平方，此时方程无实数解。 7．（25-26七年级下·河北雄安·期中）若，则x的值为______． 【答案】或 【分析】如果一个数的平方等于，即，那么叫做的平方根或二次方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，的平方根是，负数没有平方根． 【详解】解：变形，得． 根据平方根的意义，可得． 所以或． 8．（2026七年级下·云南红河·竞赛）求下列x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查利用平方根的定义解方程，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得，， ∵， 解得，或； （2）解：， ∵， ∴或， 解得，或． 9．（25-26八年级上·四川成都·开学考试）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查由平方根定义与求法解方程，熟记平方根定义与求法是解决问题的关键． （1）先将方程恒等变形为，由平方根定义与求法求解即可得到答案； （2）先将方程恒等变形为，由平方根定义与求法求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 解得或； （2）解：， ， 则， 解得或． 题型4 立方根的概念理解（共3小题） 10．（25-26八年级上·河北邢台·期中）式子表示的意义是（   ） A．的平方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义判断即可． 【详解】∵表示的立方根， ∴表示的立方根是， 故选：C． 11．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下列说法正确的是（   ） A．4的算术平方根是 B．3的平方根是 C．27的立方根是 D．平方根和立方根都等于本身的数是0和1 【答案】B 【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的概念，算术平方根是非负的，平方根有正负两个，立方根只有一个实数根，掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键．根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：∵4的算术平方根是2，不是，故A错误； ∵3的平方根是，故B正确； ∵27的立方根是3，不是，故C错误； ∵平方根等于本身的数只有0（1的平方根是，不等于1），立方根等于本身的数有0和，但平方根和立方根都等于本身的数只有0，故D错误； 故选：B． 12．（24-25七年级上·全国·单元测试）有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0．其中错误的是（　） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根的定义和性质，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的定义和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①根据立方根的定义，负数有立方根，该选项错误，符合题意； ②0的立方根是0，0既不是正数也不是负数，该选项错误，符合题意； ③该选项正确，不符合题意； ④的立方根是，该选项错误，符合题意； 故错误的选项为①②④， 故选：B． 题型5 求一个数的立方根（共3小题） 13．（25-26七年级下·河北唐山·期中）若，则的立方根为（   ） A．8 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】，． 【详解】解：由题意得， ， 解得：， ， 的立方根为2． 14．（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知实数，满足，则代数式的立方根是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负性，求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的立方根为2. 15．（25-26八年级上·广东佛山·期中）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． (1)求出a，b的值； (2)求的平方根和的立方根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到，求出的值，立方根的定义，得到，求出的值即可； （2）根据平方根和立方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， ∴； （2）∵， ∴的平方根为，的立方根为． 题型6 平方根、立方根的简单应用（共3小题） 16．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，计划建一个面积为50米的长方形苗圃，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为． (1)求的长； (2)求出苗圃所用篱笆总长． 【答案】(1)米 (2)米或米 【分析】本题考查了平方根的应用，理解题意，理清各量间的关系是解题的关键； （1）设长方形苗圃的长米，宽米，已知面积为50平方米，根据长方形面积公式，可得，解方程即可； （2）分两种情况：当平行于墙时，当平行于墙时，分别求出篱笆的总长即可． 【详解】（1）解：设长方形苗圃的长米，宽米，根据题意得： ， 即， ， 解得：（因为长度不能为负，舍去）． 所以米． （2）解：因为，一边靠墙，分两种情况： 当平行于墙时，篱笆总长为： ， 把代入得篱笆的总长为米； 当平行于墙时，篱笆总长为： ， 把代入得篱笆的总长为米； 综上：篱笆的总长为米或米． 17．（25-26七年级下·河北唐山·期中）如图，夕夕同学想把一个用铁丝围成面积为的正方形改为面积为的长方形，且长和宽之比为．    (1)求正方形的边长； (2)请通过计算说明铁丝是否够用． 【答案】(1) (2)铁丝够用 【分析】（1）利用算术平方根的定义求解； （2）设长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积为”列方程求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为：； （2）解：设长方形的长为，宽为， 根据题意得，， 解得：或（舍去）， ∴长方形的长为，宽为． ∴长方形的周长， ∵正方形的周长为． ∴铁丝够用． 18．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）如图，这是一个体积为的正方体铁块． (1)求这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个棱长为的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了立方根与算术平方根的应用，熟练掌握立方根与算术平方根的性质是解题关键． （1）根据正方体的体积公式可得这个铁块的棱长为，计算立方根即可得； （2）设长方体铁块的底面正方形的边长为，根据熔化前后的体积不变建立方程，再利用平方根解方程即可得． 【详解】（1）解：∵这个正方体铁块的体积为， ∴这个铁块的棱长为， 答：这个铁块的棱长为． （2）解：设长方体铁块的底面正方形的边长为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：长方体铁块的底面正方形的边长为． 题型7 实数的概念与分类（共3小题） 19．（25-26八年级上·全国·期中）数3.14，，，0.2026002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），中，实数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查的是实数的定义，根据实数分为有理数和无理数进行解答． 【详解】解：3.14，，，0.2026002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），都是实数，共5个． 故选：D． 20．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）在，，，，，3.14，，（两个1之间依次多1个5）中，无理数的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据无理数的概念，无理数是无限不循环小数，先化简可开方的数，再根据定义判断无理数个数即可． 【详解】解：首先化简已知数：，， 所给数中，，，，，都是有理数， 无理数为，，（两个1之间依次多1个5），共3个． 21．（24-25七年级下·河北唐山·期中）下列说法中，正确的是_______（填序号） ①两个无理数的和是无理数；②每个正数都有两个平方根；③平方根是它本身的数有，；④无理数都是无限不循环小数．⑤没有平方根的数也没有立方根； 【答案】②④ 【分析】根据无理数和有理数的定义，实数，平方根，立方根等知识性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：①两个无理数的和是无理数：反例（有理数），故该说法是不正确的． ②每个正数都有两个平方根，故该说法是正确的． ③的平方根是，不是它本身，只有的平方根是，是它本身，故该说法是不正确的． ④无理数都是无限不循环小数，故该说法是正确的． ⑤没有平方根的数也没有立方根：负数没有平方根，但有立方根（如的立方根是）故该说法是不正确的． ∴正确的是②④． 题型8 实数的大小比较（共3小题） 【步骤】先判断正负，估算无理数近似值，或平方转化，再比较数的大小。 【易错】负数比较，绝对值大的数反而小；平方比较仅限两个非负数使用。 22．（25-26七年级下·河北承德·期末）在下列给出的四个实数中，最大的实数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简选项A的绝对值，再根据实数大小比较的规则，比较四个数的大小，即可得到最大的数. 【详解】解：∵ ， 根据实数大小性质：负数小于0，0小于正数， 可得 ， ∴ 最大的实数是. 23．（25-26七年级下·河北沧州·期中）数轴上点的位置如图所示，则点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题． 【详解】解：由题知，点P表示的数比小，比大， 显然只有A选项符合题意． 24．（25-26八年级上·河北唐山·期中）已知下列实数： ． (1)其中是负实数的有：____________； (2)用“＜”按从小到大的顺序排列起来． 【答案】(1), , (2) 【分析】本题主要考查了实数的分类，求一个数的算术平方根和立方根，实数的大小比较，解题的关键是掌握以上定义和运算法则． （1）先求出数的算术平方根和立方根，再根据实数的定义进行求解即可； （2）先求出数的算术平方根和立方根，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴其中是负实数的有：, , ， 故答案为：, , ； （2）解：∵，， ∴． 题型9 实数与数轴（共3小题） 【步骤】看数轴确定字母正负，判断绝对值内式子符号，去掉绝对值再化简计算。 【易错】区分点到原点距离与数值本身，去绝对值符号时注意变号问题。 25．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，数轴上表示的点落在（     ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】根据，结合数轴求解即可； 【详解】解：， ， 根据数轴的意义，得落在段②； 26．（25-26九年级下·浙江台州·期中）在数轴上有四个点分别表示实数，，，0，其中离原点距离最远的点所表示的数是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】一个数表示的点到原点的距离等于这个数的绝对值，只需比较四个数的绝对值大小，绝对值最大的数对应的点离原点最远. 【详解】解：∵ ，，，，，，， ∴， ∴ ，即的绝对值最大， ∴ 离原点距离最远的点所表示的数是. 27．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，数轴上表示2，的对应点为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点C表示的数为x，根据对称得出，得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设点C表示的数为x， ∵数轴上表示2，的对应点分别是A、B，点B关于点A的对称点为C， ∴， 即， 解得． 即点C表示的数为． 题型10 近似数的相关概念（共3小题） 【步骤】找准精确数位，观察后一位数字，四舍五入，大数先还原再判断精确度。 【易错】科学记数法近似数，判断精确度要还原原数，不要只看指数部分。 28．（25-26七年级上·河北衡水·期末）将精确到得到的数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了近似数，灵活运用四舍五入法则是解题的关键．根据四舍五入法则计算即可． 【详解】解：精确到，即保留两位小数．百分位是4，千分位是6，，故向百分位进位，百分位4变为5，因此结果为． 故答案为：． 29．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）某同学测量身高近似米，若这位同学的身高记为米，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了近似数推断取值范围，身高近似1.68米是四舍五入到百分位的结果，据此即可得到的取值范围． 【详解】解：∵身高近似1.68米，是四舍五入到百分位的结果， ∴的取值范围为， 故选：C． 30．（25-26七年级上·河北沧州·期中）下列说法正确的有（    ） ①近似数1.60与近似数1.6的精确度一样； ②近似数2.46万是精确到百分位； ③317500精确到千位表示为31.8万，也可以表示为； ④5.1亿是一个9位数； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查近似数的精确度、有效数字和科学记数法的理解，逐个判断各说法的正误：①和②错误，③和④正确. 【详解】解：①：∵近似数1.60精确到百分位，而1.6精确到十分位， ∴精确度不同，故①错误； ②：∵近似数2.46万中，精确到百位，而非百分位， ∴②错误； ③：317500精确到千位，需看百位数字（百位为5，四舍五入）， ∴318000可表示为31.8万，也可表示为 ∴③正确； ④：5.1亿=510000000，该数有9位数字， ∴④正确. 综上，正确说法有2个. 故选：B 提升·进阶突破 题型11 利用算术平方根的非负性解题（共3小题） 【步骤】根据非负性列出方程，分别令每个非负式子等于 0，联立求解未知数。 【易错】只有相加等于 0 时才全为 0，不要看到非负式就直接令式子等于 0。 31．（25-26七年级下·河北保定·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】根据偶次方和算术平方根的非负性，求得的值即可解答． 【详解】解：， ， 解得，， ． 32．（25-26九年级上·广东湛江·期中）已知，则的平方根为____． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为零，则它们都为零，求平方根；由非负数的性质求得，，的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 33．（24-25七年级下·四川德阳·期中）（1）已知，求a、b的值． （2）已知a满足，求的值． 【答案】（1），；（2）2025 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负数性质解答即可； （2）根据算术平方根和绝对值的非负数性质得出，再化简求值即可． 本题考查了二次根式有意义的条件以及算术平方根和绝对值的非负数性质，掌握实数的非负数性质是解答本题的关键． 【详解】解：，，， ，， 解得， （2）有意义， ， ， ， ， ， ， ， 题型12 估计算术平方根的取值范围（共3小题） 【步骤】找出相邻平方数，确定范围，逐步缩小区间，估算无理数近似大小。 【易错】看清是算术平方根，不要带上负根；比较时注意平方后大小关系。 34．（25-26七年级下·浙江台州·期末）估算的值在（    ）． A．11和12之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【分析】本题考查估算无理数的大小，根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 35．（2025·广东深圳·模拟预测）一个正方形的面积是29，通过估算，它的边长在整数与之间，则______． 【答案】5 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．根据算术平方根的定义估算无理数即可． 【详解】解：一个正方形的面积是29，则其边长为， ， ， ∵它的边长在整数与之间， . 故答案为： ． 36．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）根据下表，回答下列问题． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 (1)的平方根是多少？ (2)__________． (3)在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ 【答案】(1) (2) (3) 在表中介于和之间， 理由：∵由表中数据可知：，，， ∴， ∴在表中介于和之间． 【分析】本题考查利用表格数据，求平方根，算术平方根，估值，掌握利用表格数据搜集与处理数据的能力，会求平方根，近似计算以及估值是解题关键． （1）观察表格中的数据可知，，根据平方根定义即可求解； （2）由表中的数据结合开平方先求出即可求解； （3）观察表中数据找到280介于哪两个小数之间，再根据算术平方根可得在表中介于和之间即可． 【详解】（1）解：由表中数据可知：， ∴的平方根是； （2）解：∵由表中数据可知：， ∴， 故答案为：； （3）略 题型13 与算术平方根有关的规律探索题（共3小题） 【步骤】列举几组算式，对比前后数字变化，总结规律，代入求值检验。 【易错】归纳规律不能仅凭前两项，注意符号与被开方数取值，不要以偏概全。 37．（25-26七年级下·河北沧州·期末）先观察规律，再求值：已知，，，…，则（     ） A．2000 B．20000 C．200000 D．2000000 【答案】B 【分析】先观察已知算式，总结被开方数与对应算术平方根的变化规律，再利用规律求解，也可利用积的算术平方根性质直接计算． 【详解】解：观察已知式子可得规律：被开方数中后每增加个，结果中后就增加个． 所求中，被开方数后共有个， 结果中后应有个，即． 38．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期中）已知：，，则（   ） A．0.1536 B．0.01536 C．0.04858 D．0.4858 【答案】A 【分析】利用积的算术平方根性质，将待求根式转化为已知值的根式，即可求出结果． 【详解】， ． 39．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）利用计算器，得，，，，按此规律．可得的值约为___________． 【答案】 【分析】本题是算术平方根的计算．根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 题型14 算术平方根的实际应用（共3小题） 40．（25-26七年级下·河北保定·期末）图1用两个边长为1的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．则大正方形的边长为； 如图2，若把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，中间部分小正方形的边长为________． 【答案】 【分析】设小正方形的边长的长度为m，利用面积关系建立方程即可． 【详解】解：设小正方形的边长的长度为m， 裁剪得到的直角三角形直角边长为2和1，拼成的大正方形面积为， ，即, 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：小正方形的边长的长度为． 41．（25-26七年级下·北京丰台·期末）如图，将5个边长为1的小正方形组成的图形，剪拼成一个大正方形． (1)设大正方形的边长为x（），则 ，所以 ； (2)通过计算说明：能否在大正方形的内部（不含边），画出一个长方形，使这个长方形的边均与大正方形的某一条边平行，且这个长方形的面积为4，长与宽的比为．（，，） 【答案】(1)5， (2)不能． 理由：由题意可设长方形的长为，宽为，则有：， 解得：（负根舍去）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴这样的长方形不存在． 【分析】（1）正方形的面积等于5个小正方形的面积； （2）设长方形的长为，宽为，构建方程求解判断即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴（负根已经舍去）； （2）略 42．（2026七年级上·浙江宁波·竞赛）如图1，由五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形． (1)拼成的正方形的面积与边长分别是多少？ (2)你能在图2的3×3方格图中，连结四个点组成面积为5的正方形吗？若能，求出它的边长；若不能，请说明理由． (3)你能把由十个边长为1的小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，在图3中用虚线画出来，并求出它的边长和面积；若不能，请说明理由． 【答案】(1)拼成的正方形的面积为5，边长为 (2)边长为 (3)面积为10，边长为 【分析】本题主要考查了图形的剪拼以及算术平方根的应用，正确利用算术得出边长是解题关键． （1）根据五个边长为1的小正方形组成的图形直接得出图形面积和边长即可； （2）利用勾股定理直接得出即可； （3）仿照图1的做法得出边长和面积即可． 【详解】（1）解：5个小正方形拼成一个大正方形后，面积不变，所以拼成的正方形的面积是：， 边长； （2）解：如图所示；边长为； （3）解：能，如图所示：边长为：． 题型15 与立方根有关的规律探索题（共3小题） 【步骤】列出多组式子对比数字变化，归纳规律，代入数值检验规律是否成立。 【易错】立方根正负与被开方数一致，不要套用平方根规律，忽略负数情况。 43．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 【答案】(1)；； (2)①；②； (3) 【分析】本题考查了被开方数和算术平方根以及被开方数和立方根之间的小数点位移关系． 【详解】（1）解：； ． （2）解：①根据表格观察发现，被开方数左/右移动两位，算术平方根左/右移动一位． 被开方数从到，小数点向右移动两位，算术平方根向右移动一位． ， ． ②算术平方根左/右移动一位，被开方数左/右移动两位． 算术平方根从变成．小数点向右移动两位，被开方数小数点向右移动四位． ， ． （3）解：被开方数左/右移动三位，立方根左/右移动一位． ， ∵被开方数从变为，小数点向右移动三位， 立方根小数点向右移动一位， ∴． 44．（24-25七年级下·吉林白城·期中）阅读材料： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是______； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是______； ______． (2)仿照上面的计算过程，请写出：______；______；______． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握立方根的定义，理解题目所提供的解题方法是正确解答的关键． （1）完成题目所提供的解题过程即可； （2）根据（1）的解题方法进行计算即可． 【详解】（1）解：已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 故答案为：，，； （2）解：已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是；划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 即， ；已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 即， 故答案为：，，． 45．（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 题型16 算术平方根和立方根的综合（共3小题） 46．（25-26八年级上·山西长治·期中）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … (1)表格中的______，______． (2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________． (3)若，求的值． （参考数据：） 【答案】(1)80； (2)被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位 (3) 【分析】（1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）仿照算术平方根的规律探索即可． （3）根据发现的规律计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故． ∵， ∴， 故 故答案为：80，． （2）发现规律如下：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． 故答案为：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． （3）根据平方根的变化规律得： ， ， ． 根据立方根的变化规律得： ， ， ， ． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． 47．（25-26七年级下·山东滨州·期中）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … … (1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ； (2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ； (3)已知则 ， ． (4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？ 【答案】(1)倍 (2)； (3)； (4)能直接说出，不能直接说出的值 【分析】（1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致； （2）根据规律进行计算即可求解； （3）根据规律进行计算即可求解； （4）根据根号内的小数点移动规律即可求解，立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致． 【详解】（1）解：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍, 故答案为：倍． （2）（精确到），并用上述规律直接写出各式的值：；， 故答案为：；． （3）∵ ∴； （4）解：∵， ∴，不能直接说出的值 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键． 48．（25-26八年级上·江苏·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 【答案】(1) (2)3 (3)，或， 【分析】本题考查求一个负数的立方根，算术平方根，以及互为相反数的两个数的立方根也互为相反数．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）根据题目中给定的方法进行求解即可； （2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可； （3）根据算术平方根的性质，立方根的性质，算术平方根是本身的数为，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可． 【详解】（1）解：因为，，所以是两位数， 因为；猜想的个位数字是9， 接着将往前移动3位小数点后约为117，因为，所以的十位数字应为4，于是猜想，验证得：的立方根是； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到； （2）解：∵， ∴和 互为相反数， ∴， ∴； 故答案为：3． （3）解：∵，即， ∴或1 解得：或 ∵与互为相反数，即， ∴，即， ∴当时，； 当，． 题型17 无理数整数部分的有关计算（共3小题） 【步骤】找出相邻完全平方数，锁定范围，分离整数、小数部分，代入式子计算。 【易错】负数无理数整数部分要向下取整，勿直接截断小数部分，区分整数小数部分。 49．（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知：且a的立方根是它本身，的算术平方根是4． (1)直接写出：______，______； (2)求的平方根； (3)若的整数部分是x，小数部分是y，求的值． 【答案】(1)1，5 (2) (3) 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，无理数的整数部分和小数部分等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据立方根、算术平方根的定义即可求解； （2）根据平方根的定义即可求解； （3）通过估算确定无理数的整数部分和小数部分，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵且的立方根是它本身， ， ∵的算术平方根是4， ∴， ， 故答案为：1，5． （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． （3）解：∵，， ， ∵， ∴，即， ∴的整数部分是2，小数部分是， 即，， ， 则的值为． 50．（25-26八年级上·陕西西安·期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即： 例如：比较与2的大小． ∵，又∵，则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是_______，的小数部分是_______； (2)比较与的大小． 【答案】(1)5， (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数比较大小，熟知无理数的估算方法是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法可得，据此可得的整数部分是5，则可推出，的整数部分是1，由此可得答案； （2）求出，再仿照题意可证明，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分是5，的整数部分是1， ∴的小数部分是； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 51．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）阅读理解： 同学们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部地写出来，于是小伟用来表示的小数部分，事实上，小伟的表示方法非常有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又如：，即，的整数部分是2，小数部分是． 请参考小伟思考问题的方法解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)如果的小数部分是a，的整数部分是b，求的值． (3)已知m是的整数部分，n是其小数部分，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)5 (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值，能估算出无理数的大小是解此题的关键． （1）先估算出的范围，再求解即可； （2）先估算出和的范围，再求出、的值，最后求出代数式的值即可； （3）先求出的范围，再求出、的值，最后代入求出即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：，， ，， ，， ； （3）解：， ， ，， ． 题型18 实数的性质与数轴有关计算（共3小题） 52．（2026·河北承德·一模）如图，数轴上A、B、C三个点表示的数分别为a、b、c． (1)若点为原点，点与点到点的距离相等，，则的值为__________； (2)若a，b，c为三个连续的正整数，且他们的和为12，求的值． 【答案】(1) (2)2，见详解 【分析】（1）根据题意可得 ，求出的长即可求解； （2）首先根据三个数的和为12求出 的值，然后把所求的整式化简，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：． 由题意得，． 点 为原点，， ， ； （2）解：、、 为三个连续的正整数， ． 又 ， ， ． 化简，得 原式==． 把代入，得 原式=． 53．（25-26七年级下·全国·周测）把无理数，，，表示在数轴上．在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是_________． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴的关系以及估算无理数的大小，确定出被覆盖数的范围并化为带根号的数是解题的关键． 根据被覆盖的数在到之间，化为带根号的数的被开方数的范围，然后即可得解． 【详解】解：设被墨迹覆盖住的无理数为， 由图可知：， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 54．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为_________；点B表示的数为_________． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ． 的整数部分为2，小数部分． 根据以上材料可得点所表示数的整数部分为_________，小数部分为_________． (3)已知是整数，，且，求的值． 【答案】(1)， (2)2， (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根的应用，实数与数轴，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，且结合数轴，得点A表示的数为，点B表示的数为，即可作答． （2）模仿题干过程，得，即点所表示数的整数部分为2，小数部分； （3）先得，因为是整数，，且，故，，再分别代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，面积为10的正方形的边长是，面积为5的正方形的边长是， 观察数轴，点A在原点的左边， 依题意，得点A表示的数为， 观察数轴，点B在原点的右边， 依题意，得点B表示的数为， （2）解：由（1）得点B表示的数为， ∵ ∴， ∴的整数部分为2，小数部分． 即点所表示数的整数部分为2，小数部分． （3）解：由（2）得， ∴， ∵是整数，，且， ∴，， ∴． 题型19 实数大小比较综合（共3小题） 55．（25-26八年级上·河北唐山·期中）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法． 例如：比较与6的大小． 解：， ，即， ， ． (1)已知为整数，且，求的值； (2)根据作差法， ①比较与的大小； ②已知，则_____（填“>”“<”或“=”）． 【答案】(1)的值为6； (2)①；② 【分析】本题考查了无理数的大小估算、实数的大小比较、分式的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． （1）根据无理数的估算得出，得到，即可求解； （2）①作差可得，根据无理数的估算得出，则有，即可得出结论； ②作差可得，由，得到，据此判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即的值为6； （2）解：①作差得， ∵， ∴， ∴， ∴； ②作差得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 56．（25-26八年级上·陕西西安·期中）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则． 例：比较和2的大小． 由“作差法”得，因为，所以，所以，所以． 请你根据上面的方法解决下列问题： (1)比较和1的大小； (2)比较和7的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较． （1）根据“作差法”比较大小即可； （2）根据“作差法”比较大小即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 57．（24-25七年级下·吉林·期末）阅读下面的材料，并完成相应的任务． 【概念理解】“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法， 即： 例如：比较与2的大小． 又则 ，． 【完成任务】请根据上述方法解答以下问题： （1）的整数部分是________，的小数部分是________． （2）比较大小：________； 【迁移应用】（3）制作某产品有两种用料方案．方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板大，从省料的角度考虑，应该选哪种方案？ 【答案】（1）；；（2）；（3）方案二 【分析】本题考查了无理数的整数部分、小数部分求解以及作差法比较大小的应用，解题的关键是熟练运用作差法和无理数的估算方法． （1）先通过无理数的范围确定的整数部分，再根据整数部分求的小数部分； （2）用作差法比较与的大小，计算差值并判断正负； （3）设1块型钢板的面积为，1块型钢板的面积为，其中， 分别表示出两种方案的用料面积，再用作差法比较大小，判断哪种方案省料． 【详解】（1）∵， ， ， 那么的整数部分是，的小数部分是， 故答案为：；； （2）， ， ， ， 故答案为：； （3）设1块型钢板的面积为，1块型钢板的面积为， 其中， 则方案一中钢板的总面积为，方案二中钢板的总面积为， 那么， 则从省料的角度考虑，应该选方案二． 题型20 程序设计与实数运算（共3小题） 58．（25-26七年级下·安徽安庆·期中）如图，小明设计了一种程序图，根据程序图解决下列问题．    (1)当时，输出的y的值为______． (2)当输出的y的值为时，输入的x的值可以是______．（填写两个不同的x的值） (3)小明输入x的值后，发现得不到y的值，你能解释其中的原因吗？ 【答案】(1) (2)2或8 (3) 解：∵1的立方根永远是1，的立方根永远是，0的立方根永远是0， 所以输入的x的值为-1或0或1时，始终输不出y值． 【分析】(1)按照程序，进行计算即可解答； (2)按照程序，进行计算即可解答； (3)根据1的立方根永远是1，的立方根永远是，0的立方根永远是0，即可解答． 【详解】（1）解：当时，64的立方根是4，4是有理数，当时，4的立方根是，是无理数． （2）解：当时，， ∴输入的x的值可以是2； ∵， ∴输入的x的值可以是8； 综上所述，当输出的y的值为时，输入的x的值可以是2或8； （3）略 【点睛】本题考查了立方根，理解程序是解题的关键． 59．（25-26七年级下·河北沧州·期末）运行程序如图所示，规定：从“输入x”到判断结果是否“”为一次程序操作．      （1）如果程序运行了一次就停止，那么x的取值范围是________． （2）如果输入的x是，则程序运行________次停止； （3）如果程序运行了两次才停止，那么x的取值范围是________． 【答案】 一 【分析】（1）根据题意列不等式求解即可； （2）根据运算程序依次计算可得答案； （3）根据题意列不等式组求解即可． 【详解】解：（1）由题意得 ， 解得． 故答案为：； （2）， ∵， ∴， ∴， ∴程序运行了一次就停止， 故答案为：一； （3）由题意得 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式，无理数的估算，一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式（组）是解题的关键． 60．（24-25七年级下·天津和平·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于17”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于17，则用得到的这个数进行下一次操作． （1）若时，程序进行了______次操作就停止了； （2）若时，则输出的数为______； （3）若程序操作进行了两次才停止，则输入的x的取值范围是______； 【答案】 2 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、有理数的混合运算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据流程图计算即可得解； （2）根据流程图计算即可得解； （3）由题意得出一元一次不等式组，解不等式组即可得解． 【详解】解：（1）第一次操作：， ∵， ∴需要进行下一次操作， 第二次操作：， ∵， ∴输出的数为，即程序进行次操作就停止了， 故答案为：； （2）∵， ∴第一次操作：， ∵， ∴输出的数为， 故答案为：； （3）由题意可得：， 解得：， 故若程序操作进行了两次才停止，则输入的x的取值范围是， 故答案为：． 题型21 实数的新定义运算问题（共3小题） 61．（24-25九年级下·海南省直辖县级单位·期中）定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (2)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 【答案】(1) 证明：，，， ，8，18这三个数是“和谐组合”， 故最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； (2)1或100 【分析】此题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键． （1）根据“和谐组合”的定义分别求解算术平方根即可； （2）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，分别列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：分三种情况：①当时，可得，解得：（舍去）， ②当时，可得，解得：，经检验符合题意， ③当时，可得，解得：，经检验符合题意． 综上所述，的值为1或100． 62．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为________； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)若整数，满足关系式：，求的“共同体区间”． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据无理数的“共同体区间”求出a的取值范围，再求出的取值范围，再根据“共同体区间”的定义求解； （3）先根据已知得，进而得出或或，分别代入求值，再根据“共同体区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的“共同体区间”是， 故答案为：； （2）解：∵无理数的“共同体区间”为， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴的“共同体区间”为； （3）解：∵整数，满足关系式：， ∴或， 解得或或， 分以下三种情况： 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 综上，的“共同体区间”为或． 63．（25-26八年级上·河北保定·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中、为连续的整数），则称无理数的“美好区间”为，如，所以的“美好区间”为． (1)无理数的“美好区间”是______； (2)若一个无理数的“美好区间”为，且满足，其中是关于，的二元一次方程的一组正整数解，求的值． (3)实数，，满足如下关系式： ，求的算术平方根的“美好区间”． 【答案】(1) (2)37或161 (3) 【分析】本题主要考查无理数的估算，以及二次根式有意义的条件： （1）根据“美好区间”的定义，确定在哪两个相邻整数之间，即可得出“美好区间”； （2）根据“美好区间”的定义和二元一次方程正整数解这两个条件，找到符合的情况即可求出的值； （3）先根据，，得出，进而得出，，两式相加得，得，，再根据“美好区间”的定义即可求解．． 【详解】（1）∵， ∴， ∴ ∴无理数的“美好区间”是， 故答案为： （2）∵为“美好区间” ∴，为连续的整数 又∵是关于，的二元一次方程的一组正整数解 ∴是一个平方数 又∵ ∴满足题意的，的值为或 当时， ∴ ∴， 当时，， ∴， ∴， 综上所述：的值为37或161． （3）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 两式相加得 ∴ ∴的算术平方根为 ∵ 的算术平方根的美好区间为． 题型22 近似值的辨析（共3小题） 64．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（    ） A．近似数精确到百分位 B．近似数万精确到千位 C．近似数与表示的意义相同 D．近似数精确到个位 【答案】B 【分析】本题考查了近似数的精确位数，解题的关键是明确近似数的最后一位数字所在的数位，以及带单位的数的精确位数判断方法． 逐一分析每个选项中近似数的精确位数，结合定义判断其说法是否正确． 【详解】解：A、近似数精确到千分位，此选项不符合题意； B、万，数字4在千位，故精确到千位，此选项符合题意； C、精确到十分位，精确到百分位，意义不同，此选项不符合题意； D、精确到十分位，此选项不符合题意． 故选：B． 65．（25-26七年级上·河北衡水·期中）学完近似数后，老师开展了随堂测试，下面是嘉嘉的答卷，则他做对的题目数量是（   ） 姓名：嘉嘉  做对______道 判断（正确打√，错误打×） ①近似数与表示的意义相同．（√） ②近似数精确到．（√） ③近似数“万”精确到了千分位．（×） ④保留两位小数的近似数是．（√） A．道 B．道 C．道 D．道 【答案】C 【分析】本题考查了近似数的相关知识，，熟记相关结论是解题关键． 根据近似数的精确度和有效数字的意义，逐题判断嘉嘉的答案的正误即可． 【详解】①：精确到十分位，精确到百分位，意义不同， ∴ 嘉嘉的判断错误； ②：的最后一位在万分位，精确到， ∴ 嘉嘉的判断正确； ③：万，最后一位数字“”在十位，故“万”精确到十位， ∴ 嘉嘉的判断正确； ④：保留两位小数，第三位小数，舍去得， ∴ 嘉嘉的判断正确； ∴ 嘉嘉做对道题． 故选：C． 66．（25-26八年级上·福建泉州·期中）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务． ×年×月×日        星期日 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法． 这种方法如下： 若（在各组乘积为n的正整数中，a，b两数最接近），则的最初近似值为．若是的最初近似值，则的二级近似值，的三级近似值． 例如：∵，4，6最接近，∴的最初近似值为，∴的二级近似值为，∴的三级近似值为． 任务： (1)的最初近似值是 ； (2)的二级近似值是 ； (3)若的最初近似值是，二级近似值是，求n的值． 【答案】(1)4； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了由分解因式求非完全平方的整数的平方根的近似值，解题关键是理解题意，进行变形计算． （1）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可； （2）根据题干中提供的信息，进行变形计算即可； （3）设，进而求出，根据公式代入即可求值． 【详解】（1）解：， 与最接近， 的最初近似值为； （2）解：， 和最接近， 最初近似值， 的二级近似值是； （3）解：设， 最初近似值， 得， 二级近似值， 解得，． 拔高·压轴破难 题型23 平方根、立方根的规律探索题综合（共3小题） 67．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查算术平方根、完全平方公式及规律问题，解题的关键是找到题中的一般规律． （1）由题意可直接进行求解； （2）根据题意及完全平方公式可找出规律； （3）由（2）中的规律可进行求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由题意得， ， ， ， …… 以此类推：； （3）解：原式 ． 68．（25-26七年级下·四川南充·期中）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键． （1）用含、的式子表达规律即可得答案； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可,进而求得算术平方根，即可． 【详解】（1）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则， 故答案为：． （2）解：若与的值互为相反数，则， 解得：． ∴ 69．（25-26七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 【答案】(1)①两；②9；③3；39 (2)①；②0.81 【分析】本题主要考查了立方根的概念的运用，解题关键在于比较立方根的大小． 通过比较立方根的大小，即可得出答案． 【详解】（1）解：①，，， ， 是两位数， 故答案为：两； ②的个位上的数是9，而， 个位上都是9， 的个位上的数是9， 故答案为9； ③，，， 的十位上的数是3， 又的个位上的数是9， ， 故答案为：3，39； （2）解：①的立方根是负数， ，，， ， 是两位数， ∵的前三位为117，后三位为649，，， ， 十位上的数为4， ∵的个位上的数是9，而， 个位上是9， ∴的立方根为49， ∴； ②∵， ∵，，， ， 是两位数， ∵的前三位为531，后三位为441，而， ∴， ∴十位数为8， ∵， ∴个位数是1， ∴531441的立方根为81， ∴， 故答案为：，0.81． 题型24 实数的新定义问题综合（共3小题） 70．（25-26七年级下·河南安阳·期末）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________；=________； (2)若，写出满足题意的正整数的值_________； (3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1停止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解过程． (4)只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________． 【答案】(1)2，6； (2)1，2，3 (3)四次之后结果为1， ∵第一次：， 第二次：， 第三次：， 第四次：， ∴第四次之后结果为1； (4)15， 【分析】本题主要考查了无理数的估算的应用等知识点， （1）根据题意得，，，则，即可得； （2）根据，，，x为正整数，即可得； （3）根据题意得，第一次：；第二次：；第三次：，第四次：，即可得； （4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，即可得； 解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算． 【详解】（1）∵，，， ∴， ∴，， 故答案为：2，6； （2）∵，，，x为正整数， ∴或或， 故答案为：1，2，3； （3）略 （4）最大的是15，理由如下， 由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ∵，， ∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15， ∴只对一个正整数进行2次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是15， 故答案为：15． 71．（25-26七年级下·浙江台州·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义：若无理数T：m＜T＜n（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“雅区间”为（m，n）．例如：1＜＜2，所以的“雅区间”为（1，2）． （1）无理数的“雅区间”是________； （2）若某一无理数的“雅区间”为（m，n），且满足0＜＜12，其中是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝c的一组正整数解，则c的值为________． 【答案】 （－3，－2） 1或37 【分析】（1）根据“雅区间”的定义，确定在哪两个相邻整数之间，即可得出“雅区间”；（2）根据“雅区间”的定义和二元一次方程正整数解这两个条件，找到符合的情况即可求出c的值． 【详解】（1）∵-3＜＜-2， ∴的“雅区间”是（－3，－2）， 故答案为：（－3，－2）． （2）∵（m，n）是“雅区间”， ∴m和n是相邻的两个整数， 又∵0＜＜12，其中是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝c的一组正整数解， ∴符合条件的m和n有①m=3，n=4；②m=8，n=9； 当m=3，n=4时，将x=3，y=2代入mx﹣ny＝c得，c=3×3-4×2=1； 当m=8，n=9时，将x=8，y=3代入mx﹣ny＝c得，c=8×8-9×3=37； ∴c的值为1或37， 故答案为：1或37． 【点睛】本题考查新定义、估算无理数的大小及二元一次方程的解等知识，根据新定义结合相关知识正确分析题意是解题关键． 72．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期末）若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“舒适区间”为；同理，规定无理数的“舒适区间”为．例如：因为，所以，所以的“舒适区间”为，的“舒适区间”为．请解答下列问题： (1)若的“舒适区间”为，且a为偶数，求的小数部分； (2)实数x，y，m满足关系式：，求的“舒适区间”． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）求出，分两种情况进行解答即可； （2）求出，由即可得到答案． 【详解】（1）解：由条件可知， ， 为偶数， ， 若，则，，因此小数部分为； 若，则，，因此小数部分为； 的小数部分为或； （2）解：由条件可知，， ，； ， ∴右边， ， 两边立方得：， ， ， ， ， 的“舒适区间”为． 题型25 实数的实际应用综合（共3小题） 73．（24-25七年级下·重庆·期末）图是由个边长为的小正方形组成的图形，沿图的虚线剪拼，可以重新拼成一个图所示的大正方形． (1)拼成的大正方形 的面积为________，边长为________； (2)将图放在如图所示的数轴上，使得大正方形的顶点与数轴上表示的点重合，以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，，是数轴上的两个动点（在的左边），且． ①求点表示的数； ②点在数轴表示的数是，若点始终在线段（不含端点）上，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)①点表示的数为或 ② 【分析】（1）先求出小正方形的面积之和，然后利用等面积求解； （2）①分两种情况进行讨论，利用两点之间的距离求出点的坐标； ②分两种情况进行讨论，分别求出的取值范围，再求出公共部分． 【详解】（1）解：5个小正方形的面积和为， ∴拼成的大正方形 的面积为， 边长为； （2）解：①由（1）得， 当点在点左侧时，点表示的数为； 当点在点右侧时，点表示的数为； 综上，点表示的数为或； ②当点表示的数为时，， 解得； 当点表示的数为时，， 解得； ∵，且，， ∴， 即， ∴当时，点始终在线段（不含端点）上． 74．（25-26七年级下·安徽六安·期中）如图，四边形，，均为正方形，且正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的边长可以是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的面积公式求出已知两个正方形的边长，结合图形观察出三个正方形边长的大小关系，从而确定中间正方形边长的取值范围，最后判断选项即可． 【详解】解：正方形的面积为，正方形的面积为， 正方形的边长，正方形的边长， 设正方形的边长为，由图可知，点在线段上，点在线段上， ，即， ，，， 选项均不符合题意， ， ， 正方形的边长可以是，选项 D  符合题意． 75．（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图1，教材有这样一个探究，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的大正方形面积为______，它的边长就是原边长为小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为______； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为_______； (3)请你参照上面的方法：把图中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的面积是______，则长为宽为的长方形的对角线长为________．（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙） (4)参照图的画法，在（）的基础上，画出数轴上表示数以及的点、．（图中保留必要的作图痕迹）． 【答案】(1)； (2) (3)； (4)图形见解析 【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解． （1）根据题意，得到大正方形的面积，求出边长，即可得到小正方形的对角线； （2）由（1）可得边长为的正方形的对角线为，再根据数轴，即可得到点表示的数； （3）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可； （4）从原点开始画一个长是，高是的长方形，对角线长即是，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点，再把这个长方形向左平移个单位，用同样的方法得到点． 【详解】（1）解：由图可得，大正方形的面积为， ∴边长为： ∴小正方形对角线为：． （2）解：由题意可得，小正方形的边长为， ∴对角线为， ∴点表示的数为：． （3）解：如图所示： ∵长方形的面积为 ∴拼成的正方形的面积也为； ∴正方形的边长为： ∴长为宽为的长方形的对角线长为． （4）解：如图，即为所求． 76．（25-26七年级下·北京·期中）单项式可表示边长为的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．航航由此探究的近似值，以下是他的探究过程： 面积为2的正方形边长为，可知，因此设，画出示意图： 图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即，另一方面，则，由于较小故略去，得，则，即． (1)仿照航航上述的方法，探究的近似值．（精确到0.1）请画出示意图，标明数据，并补全求解过程）： 解：面积为28的正方形边长为， __________，可设__________，画出示意图： 图中的正方形面积可表示为__________， 又，则__________，由于较小故略去，得__________， __________，即__________． (2)综合上述具体探究，已知非负整数a，m，b，若，且，则试求出__________．（用含a，m的代数式表示） 【答案】(1) 画出示意图： 补全过程如下：；5；；；；；； (2) 【分析】（1）仿照文中的探究方法，求解即可； （2）仿照文中的探究方法，求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：，可设，画出示意图： 图中的正方形面积可表示为， 又，则，由于较小故略去，得， ，即． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 实数（25大题型76题） 基础·固本强基 题型1 平方根、算数平方根的概念理解 题型2 求平方根、算术平方根 题型3 利用平方根解方程 题型4 立方根的概念理解 题型5 求一个数的立方根 题型6 平方根、立方根的简单应用（重点） 题型7实数的概念与分类 题型8 实数的大小比较 题型9 实数与数轴（重点） 题型10 近似数的相关概念 提升·进阶突破 题型11 利用算术平方根的非负性解题（重点） 题型12 估计算术平方根的取值范围（重点） 题型13 与算术平方根有关的规律探索题（重点） 题型14 算术平方根的实际应用（重点） 题型15 与立方根有关的规律探索题（重点） 题型16 算术平方根和立方根的综合（重点） 题型17 无理数整数部分的有关计算（重点） 题型18 实数的性质与数轴有关计算（重点） 题型19 实数大小比较综合（重点） 题型20 程序设计与实数运算 题型21 实数的新定义运算问题（难点） 题型22 近似值的辨析 拔高·压轴破难 题型23 平方根、立方根的规律探索题综合（难点） 题型24 实数的新定义问题综合（难点） 题型25 实数的实际应用综合（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 平方根、算数平方根的概念理解（共3小题） 1．（24-25七年级上·云南保山·期末）下列说法中正确的是（　　） A．任何数都有平方根 B．的平方根是 C．0的平方根是0 D．4的平方根是2 2．（25-26七年级下·北京西城·期中）下列说法：①36的平方根是6；②±9的平方根是±3；③；④0.01是0.1的算术平方根；⑤的算术平方根是4；⑥81的算术平方根是±9．其中正确的说法有（    ） A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 3．（25-26八年级上·全国·期中）关于平方根的说法：①是的平方根；②的平方根是；③的平方根是；④是的平方根：⑤的平方根是．若正确的打“√”，错误的打“×”，下列判断正确的是（   ） A．①√②×③×④√⑤× B．①√②√③×④×⑤× C．①×②×③×④√⑤× D．①×②×③√④×⑤√ 题型2 求平方根、算术平方根（共3小题） 【步骤】找到平方等于该数的数，算术平方根只取正值，先保证被开方数非负。 4．（25-26七年级下·福建福州·期中）下列运算，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·河北唐山·期中）已知，则实数的值为_____． 6．（25-26八年级上·上海徐汇·期中）若是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为______． 题型3 利用平方根解方程（共3小题） 【步骤】整理成平方等于常数形式，判断常数正负，非负则开平方写出两个根。 【易错】a>0时有两解，不要漏掉负根；负数不能开平方，此时方程无实数解。 7．（25-26七年级下·河北雄安·期中）若，则x的值为______． 8．（2026七年级下·云南红河·竞赛）求下列x的值： (1)； (2)． 9．（25-26八年级上·四川成都·开学考试）求下列各式中的值： (1)； (2)． 题型4 立方根的概念理解（共3小题） 10．（25-26八年级上·河北邢台·期中）式子表示的意义是（   ） A．的平方根是 B．的立方根是 C．的立方根是 D．的平方根是 11．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下列说法正确的是（   ） A．4的算术平方根是 B．3的平方根是 C．27的立方根是 D．平方根和立方根都等于本身的数是0和1 12．（24-25七年级上·全国·单元测试）有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0．其中错误的是（　） A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①③④ 题型5 求一个数的立方根（共3小题） 13．（25-26七年级下·河北唐山·期中）若，则的立方根为（   ） A．8 B．2 C． D． 14．（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知实数，满足，则代数式的立方根是（ ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级上·广东佛山·期中）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． (1)求出a，b的值； (2)求的平方根和的立方根． 题型6 平方根、立方根的简单应用（共3小题） 16．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，计划建一个面积为50米的长方形苗圃，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为． (1)求的长； (2)求出苗圃所用篱笆总长． 17．（25-26七年级下·河北唐山·期中）如图，夕夕同学想把一个用铁丝围成面积为的正方形改为面积为的长方形，且长和宽之比为．    (1)求正方形的边长； (2)请通过计算说明铁丝是否够用． 18．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）如图，这是一个体积为的正方体铁块． (1)求这个铁块的棱长． (2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个棱长为的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为，求长方体铁块的底面正方形的边长． 题型7 实数的概念与分类（共3小题） 19．（25-26八年级上·全国·期中）数3.14，，，0.2026002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），中，实数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 20．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）在，，，，，3.14，，（两个1之间依次多1个5）中，无理数的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 21．（24-25七年级下·河北唐山·期中）下列说法中，正确的是_______（填序号） ①两个无理数的和是无理数；②每个正数都有两个平方根；③平方根是它本身的数有，；④无理数都是无限不循环小数．⑤没有平方根的数也没有立方根； 题型8 实数的大小比较（共3小题） 【步骤】先判断正负，估算无理数近似值，或平方转化，再比较数的大小。 【易错】负数比较，绝对值大的数反而小；平方比较仅限两个非负数使用。 22．（25-26七年级下·河北承德·期末）在下列给出的四个实数中，最大的实数是（     ） A． B． C． D． 23．（25-26七年级下·河北沧州·期中）数轴上点的位置如图所示，则点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 24．（25-26八年级上·河北唐山·期中）已知下列实数： ． (1)其中是负实数的有：____________； (2)用“＜”按从小到大的顺序排列起来． 题型9 实数与数轴（共3小题） 【步骤】看数轴确定字母正负，判断绝对值内式子符号，去掉绝对值再化简计算。 【易错】区分点到原点距离与数值本身，去绝对值符号时注意变号问题。 25．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，数轴上表示的点落在（     ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 26．（25-26九年级下·浙江台州·期中）在数轴上有四个点分别表示实数，，，0，其中离原点距离最远的点所表示的数是（    ） A． B． C． D．0 27．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，数轴上表示2，的对应点为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为（   ） A． B． C． D． 题型10 近似数的相关概念（共3小题） 【步骤】找准精确数位，观察后一位数字，四舍五入，大数先还原再判断精确度。 【易错】科学记数法近似数，判断精确度要还原原数，不要只看指数部分。 28．（25-26七年级上·河北衡水·期末）将精确到得到的数是_____． 29．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）某同学测量身高近似米，若这位同学的身高记为米，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 30．（25-26七年级上·河北沧州·期中）下列说法正确的有（    ） ①近似数1.60与近似数1.6的精确度一样； ②近似数2.46万是精确到百分位； ③317500精确到千位表示为31.8万，也可以表示为； ④5.1亿是一个9位数； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 提升·进阶突破 题型11 利用算术平方根的非负性解题（共3小题） 【步骤】根据非负性列出方程，分别令每个非负式子等于 0，联立求解未知数。 【易错】只有相加等于 0 时才全为 0，不要看到非负式就直接令式子等于 0。 31．（25-26七年级下·河北保定·期中）已知，那么（    ） A． B． C． D．8 32．（25-26九年级上·广东湛江·期中）已知，则的平方根为____． 33．（24-25七年级下·四川德阳·期中）（1）已知，求a、b的值． （2）已知a满足，求的值． 题型12 估计算术平方根的取值范围（共3小题） 【步骤】找出相邻平方数，确定范围，逐步缩小区间，估算无理数近似大小。 【易错】看清是算术平方根，不要带上负根；比较时注意平方后大小关系。 34．（25-26七年级下·浙江台州·期末）估算的值在（    ）． A．11和12之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 35．（2025·广东深圳·模拟预测）一个正方形的面积是29，通过估算，它的边长在整数与之间，则______． 36．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）根据下表，回答下列问题． x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 x2 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289 (1)的平方根是多少？ (2)__________． (3)在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ 题型13 与算术平方根有关的规律探索题（共3小题） 【步骤】列举几组算式，对比前后数字变化，总结规律，代入求值检验。 【易错】归纳规律不能仅凭前两项，注意符号与被开方数取值，不要以偏概全。 37．（25-26七年级下·河北沧州·期末）先观察规律，再求值：已知，，，…，则（     ） A．2000 B．20000 C．200000 D．2000000 38．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期中）已知：，，则（   ） A．0.1536 B．0.01536 C．0.04858 D．0.4858 39．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）利用计算器，得，，，，按此规律．可得的值约为___________． 题型14 算术平方根的实际应用（共3小题） 40．（25-26七年级下·河北保定·期末）图1用两个边长为1的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．则大正方形的边长为； 如图2，若把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，中间部分小正方形的边长为________． 41．（25-26七年级下·北京丰台·期末）如图，将5个边长为1的小正方形组成的图形，剪拼成一个大正方形． (1)设大正方形的边长为x（），则 ，所以 ； (2)通过计算说明：能否在大正方形的内部（不含边），画出一个长方形，使这个长方形的边均与大正方形的某一条边平行，且这个长方形的面积为4，长与宽的比为．（，，） 42．（2026七年级上·浙江宁波·竞赛）如图1，由五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形． (1)拼成的正方形的面积与边长分别是多少？ (2)你能在图2的3×3方格图中，连结四个点组成面积为5的正方形吗？若能，求出它的边长；若不能，请说明理由． (3)你能把由十个边长为1的小正方形组成的图形纸，剪开并拼成正方形吗？若能，在图3中用虚线画出来，并求出它的边长和面积；若不能，请说明理由． 题型15 与立方根有关的规律探索题（共3小题） 【步骤】列出多组式子对比数字变化，归纳规律，代入数值检验规律是否成立。 【易错】立方根正负与被开方数一致，不要套用平方根规律，忽略负数情况。 43．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 44．（24-25七年级下·吉林白城·期中）阅读材料： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是______； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是______； ______． (2)仿照上面的计算过程，请写出：______；______；______． 45．（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 题型16 算术平方根和立方根的综合（共3小题） 46．（25-26八年级上·山西长治·期中）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … (1)表格中的______，______． (2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________． (3)若，求的值． （参考数据：） 47．（25-26七年级下·山东滨州·期中）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … … (1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ； (2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ； (3)已知则 ， ． (4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？ 48．（25-26八年级上·江苏·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)______； (2)若，则______； (3)已知，且与互为相反数，求x，y的值． 题型17 无理数整数部分的有关计算（共3小题） 【步骤】找出相邻完全平方数，锁定范围，分离整数、小数部分，代入式子计算。 【易错】负数无理数整数部分要向下取整，勿直接截断小数部分，区分整数小数部分。 49．（25-26八年级上·广东深圳·期中）已知：且a的立方根是它本身，的算术平方根是4． (1)直接写出：______，______； (2)求的平方根； (3)若的整数部分是x，小数部分是y，求的值． 50．（25-26八年级上·陕西西安·期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即： 例如：比较与2的大小． ∵，又∵，则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是_______，的小数部分是_______； (2)比较与的大小． 51．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）阅读理解： 同学们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部地写出来，于是小伟用来表示的小数部分，事实上，小伟的表示方法非常有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又如：，即，的整数部分是2，小数部分是． 请参考小伟思考问题的方法解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)如果的小数部分是a，的整数部分是b，求的值． (3)已知m是的整数部分，n是其小数部分，直接写出的值． 题型18 实数的性质与数轴有关计算（共3小题） 52．（2026·河北承德·一模）如图，数轴上A、B、C三个点表示的数分别为a、b、c． (1)若点为原点，点与点到点的距离相等，，则的值为__________； (2)若a，b，c为三个连续的正整数，且他们的和为12，求的值． 53．（25-26七年级下·全国·周测）把无理数，，，表示在数轴上．在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是_________． 54．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． (1)点A表示的数为_________；点B表示的数为_________． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ． 的整数部分为2，小数部分． 根据以上材料可得点所表示数的整数部分为_________，小数部分为_________． (3)已知是整数，，且，求的值． 题型19 实数大小比较综合（共3小题） 55．（25-26八年级上·河北唐山·期中）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法． 例如：比较与6的大小． 解：， ，即， ， ． (1)已知为整数，且，求的值； (2)根据作差法， ①比较与的大小； ②已知，则_____（填“>”“<”或“=”）． 56．（25-26八年级上·陕西西安·期中）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则． 例：比较和2的大小． 由“作差法”得，因为，所以，所以，所以． 请你根据上面的方法解决下列问题： (1)比较和1的大小； (2)比较和7的大小． 57．（24-25七年级下·吉林·期末）阅读下面的材料，并完成相应的任务． 【概念理解】“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法， 即： 例如：比较与2的大小． 又则 ，． 【完成任务】请根据上述方法解答以下问题： （1）的整数部分是________，的小数部分是________． （2）比较大小：________； 【迁移应用】（3）制作某产品有两种用料方案．方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．A型钢板的面积比B型钢板大，从省料的角度考虑，应该选哪种方案？ 题型20 程序设计与实数运算（共3小题） 58．（25-26七年级下·安徽安庆·期中）如图，小明设计了一种程序图，根据程序图解决下列问题．    (1)当时，输出的y的值为______． (2)当输出的y的值为时，输入的x的值可以是______．（填写两个不同的x的值） (3)小明输入x的值后，发现得不到y的值，你能解释其中的原因吗？ 59．（25-26七年级下·河北沧州·期末）运行程序如图所示，规定：从“输入x”到判断结果是否“”为一次程序操作．      （1）如果程序运行了一次就停止，那么x的取值范围是________． （2）如果输入的x是，则程序运行________次停止； （3）如果程序运行了两次才停止，那么x的取值范围是________． 60．（24-25七年级下·天津和平·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于17”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于17，则用得到的这个数进行下一次操作． （1）若时，程序进行了______次操作就停止了； （2）若时，则输出的数为______； （3）若程序操作进行了两次才停止，则输入的x的取值范围是______； 题型21 实数的新定义运算问题（共3小题） 61．（24-25九年级下·海南省直辖县级单位·期中）定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (2)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 62．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为________； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)若整数，满足关系式：，求的“共同体区间”． 63．（25-26八年级上·河北保定·期末）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数：，（其中、为连续的整数），则称无理数的“美好区间”为，如，所以的“美好区间”为． (1)无理数的“美好区间”是______； (2)若一个无理数的“美好区间”为，且满足，其中是关于，的二元一次方程的一组正整数解，求的值． (3)实数，，满足如下关系式： ，求的算术平方根的“美好区间”． 题型22 近似值的辨析（共3小题） 64．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）下列说法正确的是（    ） A．近似数精确到百分位 B．近似数万精确到千位 C．近似数与表示的意义相同 D．近似数精确到个位 65．（25-26七年级上·河北衡水·期中）学完近似数后，老师开展了随堂测试，下面是嘉嘉的答卷，则他做对的题目数量是（   ） 姓名：嘉嘉  做对______道 判断（正确打√，错误打×） ①近似数与表示的意义相同．（√） ②近似数精确到．（√） ③近似数“万”精确到了千分位．（×） ④保留两位小数的近似数是．（√） A．道 B．道 C．道 D．道 66．（25-26八年级上·福建泉州·期中）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务． ×年×月×日        星期日 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法． 这种方法如下： 若（在各组乘积为n的正整数中，a，b两数最接近），则的最初近似值为．若是的最初近似值，则的二级近似值，的三级近似值． 例如：∵，4，6最接近，∴的最初近似值为，∴的二级近似值为，∴的三级近似值为． 任务： (1)的最初近似值是 ； (2)的二级近似值是 ； (3)若的最初近似值是，二级近似值是，求n的值． 拔高·压轴破难 题型23 平方根、立方根的规律探索题综合（共3小题） 67．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①，②，③，… (1)观察算式规律，计算，的值． (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律． (3)根据规律，求的值． 68．（25-26七年级下·四川南充·期中）阅读理解，观察下列式子： ①； ②； ③； ④； … 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： (1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立． (2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值． 69．（25-26七年级下·河南信阳·期中）我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 题型24 实数的新定义问题综合（共3小题） 70．（25-26七年级下·河南安阳·期末）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)仿照以上方法计算：________；=________； (2)若，写出满足题意的正整数的值_________； (3)如果我们对连续求根整数，直到结果为1停止．例如：对10连续求根整数2次，，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解过程． (4)只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________． 71．（25-26七年级下·浙江台州·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义：若无理数T：m＜T＜n（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“雅区间”为（m，n）．例如：1＜＜2，所以的“雅区间”为（1，2）． （1）无理数的“雅区间”是________； （2）若某一无理数的“雅区间”为（m，n），且满足0＜＜12，其中是关于x，y的二元一次方程mx﹣ny＝c的一组正整数解，则c的值为________． 72．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期末）若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“舒适区间”为；同理，规定无理数的“舒适区间”为．例如：因为，所以，所以的“舒适区间”为，的“舒适区间”为．请解答下列问题： (1)若的“舒适区间”为，且a为偶数，求的小数部分； (2)实数x，y，m满足关系式：，求的“舒适区间”． 题型25 实数的实际应用综合（共3小题） 73．（24-25七年级下·重庆·期末）图是由个边长为的小正方形组成的图形，沿图的虚线剪拼，可以重新拼成一个图所示的大正方形． (1)拼成的大正方形 的面积为________，边长为________； (2)将图放在如图所示的数轴上，使得大正方形的顶点与数轴上表示的点重合，以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，，是数轴上的两个动点（在的左边），且． ①求点表示的数； ②点在数轴表示的数是，若点始终在线段（不含端点）上，求的取值范围． 74．（25-26七年级下·安徽六安·期中）如图，四边形，，均为正方形，且正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的边长可以是（） A． B． C． D． 75．（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图1，教材有这样一个探究，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的大正方形面积为______，它的边长就是原边长为小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为______； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为_______； (3)请你参照上面的方法：把图中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的面积是______，则长为宽为的长方形的对角线长为________．（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙） (4)参照图的画法，在（）的基础上，画出数轴上表示数以及的点、．（图中保留必要的作图痕迹）． 76．（25-26七年级下·北京·期中）单项式可表示边长为的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．航航由此探究的近似值，以下是他的探究过程： 面积为2的正方形边长为，可知，因此设，画出示意图： 图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即，另一方面，则，由于较小故略去，得，则，即． (1)仿照航航上述的方法，探究的近似值．（精确到0.1）请画出示意图，标明数据，并补全求解过程）： 解：面积为28的正方形边长为， __________，可设__________，画出示意图： 图中的正方形面积可表示为__________， 又，则__________，由于较小故略去，得__________， __________，即__________． (2)综合上述具体探究，已知非负整数a，m，b，若，且，则试求出__________．（用含a，m的代数式表示） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $