专题05 二次根式21大题型63题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材冀教版

专题05 二次根式（21大题型63题） 基础·固本强基 题型1 二次根式的识别与求值 题型2 二次根式有意义的条件 题型3 利用二次根式的性质化简（重点） 题型4 最简二次根式同类二次根式（重点） 题型5 二次根式的混合运算 题型6 分母有理化（重点） 题型7 二次根式的化简求值（重点） 题型8 二次根式的应用 提升·进阶突破 题型9 二次根式中的参数计算 题型10 复合二次根式的化简（重点） 题型11 已知最简二次根式求参数 题型12 最简二次根式与同类二次根式的混合 题型13 二次根式的混合运算综合（重点） 题型14 分母有理化的计算（重点） 题型15 二次根式的化简求值综合（重点） 题型16 比较二次根式的大小 题型17 二次根式的其他应用（重点） 拔高·压轴破难 题型18 二次根式分母有理化计算压轴（难点） 题型19 二次根式有规律计算压轴（难点） 题型20 二次根式与图形几何（难点） 题型21 二次根式的新定义运算（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 二次根式的识别与求值（共3小题） 1．（25-26八年级下·河北保定·期末）下列式子一定是二次根式的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据定义，形如的式子叫做二次根式，即只有被开方数恒非负时，式子一定是二次根式． 对选项A，当时，被开方数，不是二次根式； 对选项C，当时，被开方数，不是二次根式； 对选项D，当时，被开方数，不是二次根式； 对选项B，对任意实数，都有，满足二次根式被开方数非负的要求，一定是二次根式． 2．（2026·河北石家庄·模拟预测）要使二次根式的值是有理数，则的值可以是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】将各选项的x依次代入计算，判断开方结果是否为有理数即可得到答案． 【详解】解：将各选项x的值分别代入计算判断： ∵当时， ，，3是有理数，符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求； 当时，，是无理数，不符合要求． 3．（25-26八年级上·上海·期中）当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 题型2 二次根式有意义的条件（共3小题） 4．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）若x是任意实数，则下列各式一定有意义的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式有意义要求被开方数为非负数逐项判断即可． 【详解】解：选项A：被开方数为，当时，，此时式子无意义，故A不符合要求； 选项B：被开方数为，当时，，此时式子无意义，故B不符合要求； 选项C：被开方数为，∵任意实数都满足， ∴，仅当时式子有意义，时无意义，故C不符合要求； 选项D：被开方数为，∵任意实数都满足， ∴，恒满足被开方数非负，因此为任意实数时式子都一定有意义． 5．（2026·四川乐山·一模）已知实数、满足 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）求出a的值，再代入计算得到b的值，最后求出即可． 【详解】解：∵二次根式中被开方数为非负数， ∴不等式组， 解得且， ∴， 将代入得， ∴． 6．（25-26八年级下·湖北荆州·期中）若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断x的取值范围，再利用二次根式的性质将根号外的因式移入根号内化简即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0， ∴， ∴， ∴． 题型3 利用二次根式的性质化简（共3小题） 7．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）化简：________． 【答案】/ 【详解】解：． 8．（25-26八年级下·河北邢台·期中）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， 即， ， ． 9．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）求代数式的值，其中．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题． 小芳：解：原式， 小亮：解：原式． (1)______的解法是错误的； (2)求代数式的值，其中． 【答案】(1)小亮 (2) 【分析】本题考查的是二次根式的性质、完全平方公式，掌握是解题的关键． （1）根据题意得到，根据二次根式的性质计算即可； （2）根据二次根式的性质把原式化简，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴小亮的解法是错误的， 故答案为：小亮； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 当时，原式． 题型4 最简二次根式同类二次根式（共3小题） 10．（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解： A选项，不是最简二次根式， B选项，，不是最简二次根式， C选项，，不是最简二次根式， D选项，是最简二次根式． 11．（25-26八年级下·河北唐山·期末）若，为最简二次根式，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的化简，先将化为最简二次根式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵是最简二次根式， ∴，， ∴． 12．（26-27八年级上·上海长宁·期中）二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为____________． 【答案】 【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：首先化简，可得， ∵是最简二次根式，且与是同类二次根式，同类二次根式化简后被开方数相等， ∴， 整理得， 解得． 题型5 二次根式的混合运算（共3小题） 13．（25-26八年级下·河北唐山·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 14．（25-26八年级下·河北沧州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 15．（25-26八年级下·河北保定·期末）下面所示的是嘉嘉在《二次根式》章节检测中两个问题的解答过程，老师的批改结果是“两个解答过程都有错误”． 第1题 第2题 题目：． 解：原式…………① ………………………② ．…………………………………③ 题目：． 解：原式…① …………………………② ．………………………………③ (1)分别指出两题的计算过程中，最先出现错误的步骤序号． (2)任选一个题目，写出正确的解题过程． 【答案】(1)第1题：最先出现错误的步骤是①；第2题：最先出现错误的步骤是① (2)选择第1题： 解：原式 ． 选择第2题： 解：原式 ． 【分析】（1）根据二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，判断即可． （2）根据二次根式的混合运算，解答即可． 【详解】（1）解：第1题：最先出现错误的步骤是①；第2题：最先出现错误的步骤是①； （2）略 题型6 分母有理化（共3小题） 16．（2026·河北沧州·三模）有一道题：“先化简，再求值：，其中 ．”小冀的化简过程如下． 原式 请你判断他的化简过程是否正确，若正确，请完成代入求值；若不正确，请写出正确完整的解答过程． 【答案】化简过程不正确； 原式 ， 当 时，原式． 【详解】略 17．（25-26八年级下·河北邢台·期中）在学习二次根式的过程中，嘉淇发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系，如：由，可得与互为倒数，即，．根据嘉淇发现的规律，可得，则整数n的值为（   ） A．400 B．200 C．199 D．20 【答案】B 【分析】将二次根式分母有理化并找到规律进行计算即可． 【详解】解：由题意可得： ， ， ， ． 18．（25-26七年级上·上海·期中）在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题∶ 已知 ，求 的值． 经过思考和探索，他的解答如下． ， ， 请你根据小明的解题过程， 【解决下列问题】∶ (1)计算∶ (2)若 ，求 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． （1）将各式分母有理化后，合并同类二次根式即可； （2）根据阅读材料化简可得，将所求代数式变形为含的式子，代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴原式， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型7 二次根式的化简求值（共3小题） 19．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）已知m，n为实数，且． (1)分别求出m，n的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据绝对值非负性和算术平方根的非负性求出答案即可； （2）将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：当时， ． 20．（25-26八年级下·广东汕头·期中）已知，，则的值（   ） A．4 B．8 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求出，再利用完全平方公式对所求代数式因式分解，代入的值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 21．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下面是一道例题及其解答过程的一部分． 化简： 解：原式 =…… (1)若M是一个单项式，则这个单项式是________． (2)将该例题的解答过程补充完整，在下面的“=”后面继续写．并求当时，代数式的值． 【答案】(1) (2) 解：原式 当时， ， 原式． 【分析】本题考查了分式加减乘除混合运算，已知条件式化简求值等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据“=”后面的式子中小括号里的式子求解； （2）先化简小括号里的式子，再将除法转化为乘法计算，化为最简，然后将变形式后整体代入求值． 【详解】（1）解：， ∵，M是一个单项式， ∴， 故答案为：． （2）略 题型8 二次根式的应用（共3小题） 22．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间和高度近似满足公式 （不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)嘉琪说：“物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的倍．”通过计算判断她的说法是否正确； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量（）高度（）．某质量为的小球经过落在地上，直接写出这个小球在下落过程中所带的能量． 【答案】(1)物体从的高空落到地面的时间为 (2)嘉琪的说法不正确，理由： 当时，， （1）中所求时间的倍为， ， 嘉琪的说法不正确； (3)这个小球在下落过程中所带的能量为 【分析】（1）令，代入公式求解对应的值即可； （2）令，代入公式求解对应的值，与（1）中所求时间的倍比较即可； （3）令，代入公式求解对应的值，再代入题干计算公式即可； 【详解】（1）解：当时，， 即物体从的高空落到地面的时间为； （2）略 （3）解：， ， ， 解得， 这个小球在下落过程中所带的能量为． 23．（25-26八年级下·河北沧州·期中）如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为40，相邻两张正方形纸片的边长均相差1，设最大正方形纸片和最小正方形纸片的边长分别为，． (1)分别求和的值； (2)分别求和的值． 【答案】(1)； (2)39， 【分析】（1）先根据中间正方形的面积求出其边长，再结合图形边长关系求出、； （2）先根据（1）中的结论并结合二次根式运算法则求出，然后利用平方差公式计算． 【详解】（1）解：因为中间正方形纸片的面积为40， 所以中间正方形的边长为， 所以最大正方形的边长， 最小正方形的边长； （2）解：； 因为， ， ， 所以． 24．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形． (1)求大正方形的周长； (2)求剩下部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用算术平方根求得两正方形的边长，然后求和即可； （2）用大正方形的面积减去阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：两个正方形的面积分别为，， 正方形的边长分别为，， 大正方形的周长为． （2）解：剩余图形的面积为． 提升·进阶突破 题型9 二次根式中的参数计算（共3小题） 25．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）若是一个整数，则正整数m的值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先根据二次根式被开方数的非负性确定正整数m的范围，再代入验证得到满足条件的m的值． 【详解】解：∵二次根式中，被开方数必须是非负数， ∴， 解得， ∵是正整数， ∴的可能取值为和， 当时，，不是整数，不符合要求， 当时， ，是整数，符合要求． 26．（24-25九年级下·云南昭通·期中）已知是正整数，则自然数n的最小值为（    ） A．20 B．10 C．8 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简，要使为正整数，必须为完全平方数．通过分解质因数分析的结构，确定的最小值． 【详解】解：将分解质因数，得．的最小值为，此时，满足条件．选项中对应选项B，且其他选项（如4、8、20）均无法使成为完全平方数．综上，自然数的最小值为10． 故选：B． 27．（25-26八年级下·山东济宁·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)9901 【分析】本题考查二次根式的双重非负性，二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，根据题意，利用的双重非负性灵活运用是解决问题的关键． （1）利用二次根式非负性，，，当时，只有才能满足题意，解出代入代数式即可得到答案； （2）由二次根式有意义的条件得到，从而确定，将代入代数式即可得到答案； （3）由二次根式有意义的条件得到，从而可化为，即，两边同时平方即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ，解得， ， 故答案为：； （2）解：中；中； ，则，即， 当时，；当时，； （3）解：中， ， 可化为，即， 将两边同时平方可得，则． 题型10 复合二次根式的化简（共3小题） 28．（25-26八年级上·上海·期中）计算： （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题主要考查复式二次根式的化简，掌握二次根式的性质和化简方法是解答本题的关键． （1）从最里层的二次根式进行化简即可； （2）设，两边平方后对比系数求出的值即可． 【详解】解：（1） ； （2）设（为正有理数）， 平方得：， 对比系数得： 尝试，，则，， 解得，， 而， 所以，满足条件， 所以，． 故答案为：（1）；（2）． 29．（25-26八年级上·上海·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式相关运算的法则． （）仿照阅读材料解答即可； （）仿照阅读材料解答即可． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2） ． 30．（2026九年级·北京朝阳·竞赛）双重二次根式为形如的代数式，我们可以尝试通过配方将其转化为形如的形式，再开根号即可完成化简．请完成下列题目： (1)若，试化简代数式； (2)解方程：； (3)直接写出代数式的化简结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的计算，考查二次根式的化简，完全平方公式和平方差公式，考查计算能力，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的非负性，求出的值，然后代数利用完全平方式进行求值即可； （2）利用完全平方式和平方差公式进行求解即可； （3）利用完全平方式进行求解即可． 【详解】（1）解：由得， ， ∴， ∴ ； （2）解： ，经检验，符合题意； （3）解： ∵ 即 ∴， ∴． 题型11 已知最简二次根式求参数（共3小题） 31．（25-26八年级下·河北邢台·期中）若最简二次根式能与合并，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】先化简，再根据可合并的最简二次根式是同类二次根式求解． 【详解】解：， ∵最简二次根式能与合并， ∴． 32．（25-26八年级下·山东聊城·期末）已知最简二次根式和能合并． (1)求x，y的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意得出最简二次根式和是同类二次根式，再根据同类二次根式的定义得出，求解即可； （2）把、的值代入计算即可． 【详解】（1）解：若最简二次根式和能合并， 则最简二次根式和是同类二次根式， 所以， 解得； （2）解：当时，． 33．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查最简二次根式的性质、解一元二次不等式，熟练掌握最简二次根式的性质及一元二次不等式的解法是解题的关键． 根据题意可得必须是2乘以某个完全平方数，即（为正整数），进而求出的可能值，取最小正整数即可． 【详解】解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同， 则的最简形式为，其中为正整数， 即， 解得 由为正整数，得， 解得， 则可取1，2，3， 当时，；当时，；当时， 因此的最小值为5， 故答案为：5． 题型12 最简二次根式与同类二次根式的混合（共3小题） 34．（26-27八年级上·上海松江·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则_____． 【答案】 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ，， 解得，， ． 35．（26-27八年级上·上海金山·期中）若最简二次根式 与 是同类二次根式，则的算术平方根是___________ 【答案】 【分析】根据同类二次根式定义，先确定根指数的值，再由被开方数相等求出，最后计算的算术平方根． 【详解】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，二次根式的根指数为2， ∴ ，且 解得 ∴ ∴ 的算术平方根是 ． 36．（24-25八年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意知与是同类二次根式， ， 解得， ， 故选B． 题型13 二次根式的混合运算综合（共3小题） 37．（2026·河北邯郸·三模）计算________． 【答案】 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 38．（25-26八年级下·河北保定·期末）已知：，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 39．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 题型14 分母有理化的计算（共3小题） 40．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）阅读：在进行二次根式运算时，形如的式子，我们可以将其化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 回答问题： (1)请用上述的方法化简； (2)化简：（m为正整数）． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题主要考查了分母有理化，第二题是个难点，需要总结规律，再计算． （1）分子分母都乘以有理化因式，再计算即可； （2）各项进行分母有理化，再合并同类项即可． 【详解】（1） （2） 41．（25-26八年级下·陕西延安·期末）阅读材料：在解决问题“若，求的值”时，小俊是这样分析与解答的： ∵ ， ∴， ∴， ∴． ∴ ． 请你根据小俊的解答过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式，将分母有理化即可； （2）先将化简，得出，则，进而得出，得出，代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ， ， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，分母有理化，完全平方公式，平方差公式，解题关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 42．（25-26八年级上·河北石家庄·期末），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，，其中与与都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以将分母有理化．请完成下列问题： (1)计算： ， ； (2)已知有理数a、b满足，则 ， ； (3)计算． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了分母有理化，熟知分母有理化的方法是解题的关键； （1）把分子分母同时乘以即可把有理化；分子分母同时乘以，即可对进行有理化； （2）把式子的左边分母有理化得到，进而得到方程组，解方程组即可得到答案； （3）先证明，再对所求式子进行分母有理化，然后合并即可得到答案． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：；； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵a、b都是有理数， ∴， ∴， 故答案为：；； （3）解： ， ∴ ． 题型15 二次根式的化简求值综合（共3小题） 43．（25-26八年级下·河北邢台·期中）阅读下面的材料，并解决相应问题： ； 用上述类似的方法计算下列各式： (1) ； (2)计算：； (3)若a是的小数部分，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分子、分母同乘即可求解； （2）仿照（1）的方法计算即可； （3）由题意得，再代入原式中，再化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：由题意，得， ∴． 44．（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查分式化简求值，分母有理化，解题的关键是熟练运用分式的运算法则． 根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解： ， 将代入得，原式 ． 45．（25-26九年级上·四川内江·期中）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ∴， ∴ ∴即 ∴ ∴ 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)　　　； (2)化简：； (3)若， ①求的值； ②求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查了二次根式的化简求值的知识，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并二次根式即可； （3）先分母有理化得到，移项后再平方得到，再把原式化简变形为，接着利用整体代入法计算得到原式，再应用同样方法计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴ ． 题型16 比较二次根式的大小（共3小题） 46．（25-26八年级上·河北保定·期中）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出_________________． (2)利用上面的解法，请化简： (3)试猜想和的值哪个较大？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 理由： ， ∴， ∴ 【分析】本题考查二次根式的分母有理化，二次根式的计算，无理数比较大小，掌握分母有理化的方法是解决问题的关键． (1) 模仿题目的分母有理化方法，分子分母同乘，化简得出结果； (2) 先对每一项进行分母有理化，再通过抵消中间项的方式化简； (3) 通过分子有理化将两个式子转化为分子相同的形式，再比较分母大小，进而判断原式的大小． 【详解】（1）解： ； （2）解：      ； （3）略 47．（25-26八年级上·河北保定·期中）观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， …… 按上述规律，回答以下问题： (1)按上述规律填空： ； ． (2)求的值． (3)利用以上规律计算：． (4)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)3 (3)44 (4) 【分析】本题主要考查分母有理化、二次根式的运算及大小比较，熟练掌握分母有理化、二次根式的运算及大小比较是解题的关键； （1）根据分母有理化可进行求解； （2）根据分母有理化进行化简，然后问题可求解； （3）根据题意可直接代入进行求解即可； （4）由题意得，，则有，进而问题可求解． 【详解】（1）解：， ； 故答案为，； （2）解： ； （3）解：由题意得： ； （4）解：∵， ， ∴，即， ∴． 48．（25-26八年级上·河北保定·期中）比较无理数大小的方法有“作差法”“平方法”“穿墙术”等． 典型示例 作差法 平方法 穿墙术 比较和的大小． 解：因为 所以 比较和的大小． 解：， ， 而28＞27， 所以 比较和的大小． 解：因为， ， 而， 则， 所以 任务完成 （1）请比较和的大小； （2）请比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，掌握实数大小的比较方法是解题的关键． （1）运用穿墙术进行比较即可； （2）运用作差法进行比较即可． 【详解】解：（1）因为， ， 而， 则， 所以； （2） ， 因为，，， 所以，， 所以，， 即， 所以，． 题型17 二次根式的其他应用（共3小题） 49．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）嘉嘉用一根铁丝，组成一个长、宽的比为，高为的长方体框架，其体积为． (1)求这根铁丝的长度； (2)若嘉嘉用这根铁丝围成了一个长方形，其中长是宽的4倍，求长方形的长与宽； (3)若嘉嘉用这根铁丝首尾相接围成正方形，计算这个正方形的面积，并与（2）中围成的长方形的面积进行比较，通过计算说明谁的面积大． 【答案】(1)这根铁丝的长度为 (2)长方形的长为，宽为 (3)正方形的面积为，正方形的面积大 【分析】（1）设长、宽分别为，根据体积列方程并解方程即可； （2）设宽为，则长为，根据铁丝的长度列方程并解方程即可； （3）设正方形的边长为，根据铁丝的长度列出方程并解方程得到正方形的边长，求出正方形和长方形的面积，比较后即可得到结论． 【详解】（1）解：设长、宽分别为，则 即， 解得（负值已舍去）， ∴ 答：这根铁丝的长度为； （2）解：设宽为，则长为， 则 解得， 则 答：长方形的长为，宽为； （3）解：设正方形的边长为， 则， ∴， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积为 （2）中围成的长方形的面积为 ∵ ∴与（2）中围成的长方形的面积进行比较，正方形的面积大． 50．（25-26八年级下·河南信阳·期中）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方的形式．如： ； ． 【类比归纳】 (1)填空： ； ． (2)请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方的形式： 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，剩余部分的面积为________． 【答案】(1)，；； (2)； (3)． 【分析】（）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； 结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （）设两小正方形的边长分别为，，则有，，然后化简得，，然后通过剩余部分的面积为即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：，； ， 故答案为：； （2）解： （3）解：设两小正方形的边长分别为，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴剩余部分的面积为． 51．（25-26八年级下·江西赣州·期中）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1)电视背景墙的周长为 (2)整个电视背景墙需要花费元 【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：电视背景墙长方形的周长． 答：电视背景墙的周长为． （2）解：长方形的面积：， 大理石的面积， ∴壁纸的面积， 整个电视背景墙需要花费：（元）． 答：整个电视背景墙需要花费元． 拔高·压轴破难 题型18 二次根式分母有理化计算压轴（共3小题） 52．（25-26八年级上·全国·单元测试）观察下列运算． ①由得； ②由得； ③由得． …… (1)通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来． (2)利用（1）中你发现的规律计算：． 【答案】(1)（n为正整数） (2)2026 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化及数字的规律探索，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． （1）根据题意即可得出规律； （2）根据规律将式子化简，再运用平方差公式求解即可． 【详解】（1）由题可得，（n为正整数） ； （2） ． 53．（25-26八年级上·河北保定·期中）我们已经知道，因此，在计算时，可以将分子，分母同时乘以进行化前如下： 请运用上述方法进行以下化简： (1)= （直接填空）； (2)； (3)．（提示：） 【答案】(1) (2)9 (3)1 【分析】本题考查分式的分母有理化，熟练掌握分母有理化的运算是解题的关键， （1）把分子分母都乘以即可； （2）利用分母有理化得到原式，然后合并即可； （3）先把分子部分变形得到原式，再利用约分得到原式，然后分母有理化后合并即可． 【详解】（1）解：原式； 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 54．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）材料阅读题： 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化． 例如：， 观察上面的解题过程，并解答下列问题： (1)____，的倒数是____． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用上面的解法，请化简：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据分母有理化化简即可解答； （2）估算出的整数部分，即可求得a的值，然后把值代入并化简即可； （3）利用分母有理化的方法化简每个二次根式，最后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：， 的倒数是； （2）解：∵， ∴， 即的整数部分为2， ∴． 当时，； （3）解：原式 ． 题型19 二次根式有规律计算压轴（共3小题） 55．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）阅读下列解题过程： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ⋯ 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出第4个等式__________； (2)利用上面的规律，则__________； (3)写出你猜想的第为正整数）个等式：__________（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1)29 (2)2025 (3)，见解析 【分析】（1）根据规律，得第一个因数与第四个因数结合，第二个因数与第三个因数结合，求解即可； （2）根据规律，得第一个因数与第四个因数结合，第二个因数与第三个因数结合，求解即可； （3）用n表示连续的整数，结合完全平方公式，写出规律再证明即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解： ； （3）猜想：． 证明： ． 56．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）规律探究：设，，，…，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律和二次根式的化简求值，先根据已知规律求出的表达式，再将展开，利用裂项相消法计算即可． 【详解】解：∵， ， ， …， ∴ ∴， ∴ ． 故答案为：． 57．（25-26八年级上·广东佛山·期中）阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：． 小明利用上述材料内容解决了问题：已知，求值． ∴， ∴，∴即， ∴，∴， 请你利用上述内容，解答下列问题： (1)与____互为有理化因式，将分母有理化得_______； (2)根据上面的规律，计算下列式子的值： ． (3)利用上面的规律，比较与的大小． (4)，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的化简，代数式的恒等变形，解题的关键在于掌握分母有理化的计算方法，记得分子分母同时乘以相同的数，避免遗漏分子． （1）①对根据有理化因式的定义写出式子，并计算，看看是否符合条件；②将分母有理化，分子分母同乘，化简即可； （2）现将每个分式进行分母有理化，发现分母都为，分子可相加减，计算后得，再与相乘，用平方差公式计算即可； （3）将和进行分母有理化得逆运算，得到分母为二次根式相加的一个分式，方便比较大小； （4）将进行分母有理化得出，再根据需要找到，，，便于进行降次计算，代入目标多项式化简计算即可． 【详解】（1）①∵ 不含根号， ∴与互为有理化因式． 故答案为． ②将分母有理化得 故答案为． （2） （3）∵， ∴ （4）将进行分母有理化得， 两边平方得， ， ， ， 则， ∴ 题型20 二次根式与图形几何（共3小题） 58．（25-26八年级上·河北邢台·期中）若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形三条边的数量关系以及根式的化简，掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 由三角形三边关系可以确定的取值范围为，再利用绝对值的性质化简表达式． 【详解】∵ 3，4，为三角形的三边长， ∴ ,即， ∴ ，， ∴ 原式， 故选：A． 59．（24-25八年级上·河北唐山·期末）题目：“如图，已知，过端点作射线，点为射线上一点，且．点为射线上的动点，关于对称的图形为（点的对称点为点），连接．若是直角三角形，求的长．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】D 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理、平行线的判定和性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟悉折叠的性质和分类讨论思想的应用．①当时，根据折叠的性质得，，设，则，，可判定A，D和C三点共线，在中，求得，得，在中即可求得；②当时，过点D作，交于点H，则，即有，在中解得，在中即可求得；③当时，则，有，可得到，则有． 【详解】解：①当时，如图， 根据题意知，， 设，则，， ∵， ∴A，D和C三点共线， 在中，，即， 解得， 则， 在中，，即， 解得， 则； ②当时，过点D作，交于点H，如图， 则， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， 在中，，即， 解得； ③当时，如图， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则的长为或2或， 故选：D． 60．（24-25八年级下·江西南昌·期中）【阅读下列材料】： 若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．） 【例】：若，，，求的最小值． 解：∵，， ∴， ∴． ∴时，的最小值为8 【解决问题】 (1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (2)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米 (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用． （1）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可； （2）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是2和3，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可． 【详解】（1）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为， ∴或（舍去）， ∴这个长方形的两边分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； （2）解：设的面积为a， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积：， ∵， ∴当，即时，四边形的面积的最小值为：． 题型21 二次根式的新定义运算（共3小题） 61．（25-26八年级上·北京顺义·期中）我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)6 (4)， 由定义得，，作差： ， ，且，，故分子， 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的运算及代数式的大小比较．熟练掌握“衍生数对”的定义公式，结合二次根式的计算规则是解题的关键． （1）直接根据“衍生数对”定义，代入、计算和， （2）分别写出两个数对的“衍生数对”，根据对应项相等列等式，求解y， （3）由“衍生数对”反向用m求a、用n求b，再计算， （4）用定义表示出m、n，通过作差法结合的条件，判断与的大小． 【详解】（1）解：根据定义：，， 故答案为：； （2）解：数对的衍生数对：，， 数对的衍生数对：，， 由衍生数对相同得 且，解得， 故答案为：3； （3）解：由，得，故， 由，得， ； （4）略 62．（25-26八年级下·江西赣州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）仿照题意，进行计算即可得到答案； （2）根据二次根式有意义的条件列出方程组，解方程组即可得到答案； （3）利用平方差公式，对原式进行变形后，即可得到答案． 此题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件、平方差公式以及分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则和灵活变形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 且， ∴； （2）解：∵ ∴， 化简后两边同时平方得：， ∴， 经检验：是原方程的解； （3）解： ． 63．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”． (1)关于的“美好数”是______； (2)化简：； (3)若是关于4的“美好数”，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3)2042 【分析】（1）根据定义进行解答即可； （2）先利用新定义化简，再进行二次根式的加减法即可； （3）根据新定义得到，再代入变形后的代数式求解即可． 【详解】（1）解：由“美好数”的新定义可得， 则关于的“美好数”是， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：是关于4的“美好数”， ∴ ∴ 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 二次根式（21大题型63题） 基础·固本强基 题型1 二次根式的识别与求值 题型2 二次根式有意义的条件 题型3 利用二次根式的性质化简（重点） 题型4 最简二次根式同类二次根式（重点） 题型5 二次根式的混合运算 题型6 分母有理化（重点） 题型7 二次根式的化简求值（重点） 题型8 二次根式的应用 提升·进阶突破 题型9 二次根式中的参数计算 题型10 复合二次根式的化简（重点） 题型11 已知最简二次根式求参数 题型12 最简二次根式与同类二次根式的混合 题型13 二次根式的混合运算综合（重点） 题型14 分母有理化的计算（重点） 题型15 二次根式的化简求值综合（重点） 题型16 比较二次根式的大小 题型17 二次根式的其他应用（重点） 拔高·压轴破难 题型18 二次根式分母有理化计算压轴（难点） 题型19 二次根式有规律计算压轴（难点） 题型20 二次根式与图形几何（难点） 题型21 二次根式的新定义运算（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 二次根式的识别与求值（共3小题） 1．（25-26八年级下·河北保定·期末）下列式子一定是二次根式的为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河北石家庄·模拟预测）要使二次根式的值是有理数，则的值可以是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（25-26八年级上·上海·期中）当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 题型2 二次根式有意义的条件（共3小题） 4．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）若x是任意实数，则下列各式一定有意义的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·四川乐山·一模）已知实数、满足 ，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·湖北荆州·期中）若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（     ） A． B． C． D． 题型3 利用二次根式的性质化简（共3小题） 7．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）化简：________． 8．（25-26八年级下·河北邢台·期中）若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·河南平顶山·期中）求代数式的值，其中．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题． 小芳：解：原式， 小亮：解：原式． (1)______的解法是错误的； (2)求代数式的值，其中． 题型4 最简二次根式同类二次根式（共3小题） 10．（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列各式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 11．（25-26八年级下·河北唐山·期末）若，为最简二次根式，则的值为（     ） A． B． C． D． 12．（26-27八年级上·上海长宁·期中）二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为____________． 题型5 二次根式的混合运算（共3小题） 13．（25-26八年级下·河北唐山·期末）计算： (1)； (2)． 14．（25-26八年级下·河北沧州·期末）计算： (1) (2) 15．（25-26八年级下·河北保定·期末）下面所示的是嘉嘉在《二次根式》章节检测中两个问题的解答过程，老师的批改结果是“两个解答过程都有错误”． 第1题 第2题 题目：． 解：原式…………① ………………………② ．…………………………………③ 题目：． 解：原式…① …………………………② ．………………………………③ (1)分别指出两题的计算过程中，最先出现错误的步骤序号． (2)任选一个题目，写出正确的解题过程． 题型6 分母有理化（共3小题） 16．（2026·河北沧州·三模）有一道题：“先化简，再求值：，其中 ．”小冀的化简过程如下． 原式 请你判断他的化简过程是否正确，若正确，请完成代入求值；若不正确，请写出正确完整的解答过程． 17．（25-26八年级下·河北邢台·期中）在学习二次根式的过程中，嘉淇发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系，如：由，可得与互为倒数，即，．根据嘉淇发现的规律，可得，则整数n的值为（   ） A．400 B．200 C．199 D．20 18．（25-26七年级上·上海·期中）在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题∶ 已知 ，求 的值． 经过思考和探索，他的解答如下． ， ， 请你根据小明的解题过程， 【解决下列问题】∶ (1)计算∶ (2)若 ，求 的值． 题型7 二次根式的化简求值（共3小题） 19．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）已知m，n为实数，且． (1)分别求出m，n的值； (2)求的值． 20．（25-26八年级下·广东汕头·期中）已知，，则的值（   ） A．4 B．8 C．6 D． 21．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下面是一道例题及其解答过程的一部分． 化简： 解：原式 =…… (1)若M是一个单项式，则这个单项式是________． (2)将该例题的解答过程补充完整，在下面的“=”后面继续写．并求当时，代数式的值． 题型8 二次根式的应用（共3小题） 22．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间和高度近似满足公式 （不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)嘉琪说：“物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的倍．”通过计算判断她的说法是否正确； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量（）高度（）．某质量为的小球经过落在地上，直接写出这个小球在下落过程中所带的能量． 23．（25-26八年级下·河北沧州·期中）如图，三张大小不同的正方形纸片叠放在一起，中间正方形纸片的面积为40，相邻两张正方形纸片的边长均相差1，设最大正方形纸片和最小正方形纸片的边长分别为，． (1)分别求和的值； (2)分别求和的值． 24．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形． (1)求大正方形的周长； (2)求剩下部分的面积． 提升·进阶突破 题型9 二次根式中的参数计算（共3小题） 25．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）若是一个整数，则正整数m的值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 26．（24-25九年级下·云南昭通·期中）已知是正整数，则自然数n的最小值为（    ） A．20 B．10 C．8 D．4 27．（25-26八年级下·山东济宁·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 题型10 复合二次根式的化简（共3小题） 28．（25-26八年级上·上海·期中）计算： （1）______； （2）______． 29．（25-26八年级上·上海·期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答． 形如的式子，可以利用完全平方公式进行化简，例如； (1)填空____________； (2)化简，并写出化简过程． 30．（2026九年级·北京朝阳·竞赛）双重二次根式为形如的代数式，我们可以尝试通过配方将其转化为形如的形式，再开根号即可完成化简．请完成下列题目： (1)若，试化简代数式； (2)解方程：； (3)直接写出代数式的化简结果． 题型11 已知最简二次根式求参数（共3小题） 31．（25-26八年级下·河北邢台·期中）若最简二次根式能与合并，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 32．（25-26八年级下·山东聊城·期末）已知最简二次根式和能合并． (1)求x，y的值； (2)求的值． 33．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 题型12 最简二次根式与同类二次根式的混合（共3小题） 34．（26-27八年级上·上海松江·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则_____． 35．（26-27八年级上·上海金山·期中）若最简二次根式 与 是同类二次根式，则的算术平方根是___________ 36．（24-25八年级下·山东烟台·期末）若最简二次根式与可以合并，则的值是（    ）． A． B． C． D． 题型13 二次根式的混合运算综合（共3小题） 37．（2026·河北邯郸·三模）计算________． 38．（25-26八年级下·河北保定·期末）已知：，，求下列各式的值： (1)； (2)． 39．（25-26八年级下·河北廊坊·期末）计算： (1) (2) (3) 题型14 分母有理化的计算（共3小题） 40．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）阅读：在进行二次根式运算时，形如的式子，我们可以将其化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 回答问题： (1)请用上述的方法化简； (2)化简：（m为正整数）． 41．（25-26八年级下·陕西延安·期末）阅读材料：在解决问题“若，求的值”时，小俊是这样分析与解答的： ∵ ， ∴， ∴， ∴． ∴ ． 请你根据小俊的解答过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 42．（25-26八年级上·河北石家庄·期末），两个含有二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，，其中与与都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以将分母有理化．请完成下列问题： (1)计算： ， ； (2)已知有理数a、b满足，则 ， ； (3)计算． 题型15 二次根式的化简求值综合（共3小题） 43．（25-26八年级下·河北邢台·期中）阅读下面的材料，并解决相应问题： ； 用上述类似的方法计算下列各式： (1) ； (2)计算：； (3)若a是的小数部分，求的值． 44．（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 45．（25-26九年级上·四川内江·期中）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ∴， ∴ ∴即 ∴ ∴ 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)　　　； (2)化简：； (3)若， ①求的值； ②求的值． 题型16 比较二次根式的大小（共3小题） 46．（25-26八年级上·河北保定·期中）阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出_________________． (2)利用上面的解法，请化简： (3)试猜想和的值哪个较大？请说明理由． 47．（25-26八年级上·河北保定·期中）观察下列等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， …… 按上述规律，回答以下问题： (1)按上述规律填空： ； ． (2)求的值． (3)利用以上规律计算：． (4)比较与的大小，并说明理由． 48．（25-26八年级上·河北保定·期中）比较无理数大小的方法有“作差法”“平方法”“穿墙术”等． 典型示例 作差法 平方法 穿墙术 比较和的大小． 解：因为 所以 比较和的大小． 解：， ， 而28＞27， 所以 比较和的大小． 解：因为， ， 而， 则， 所以 任务完成 （1）请比较和的大小； （2）请比较与的大小． 题型17 二次根式的其他应用（共3小题） 49．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）嘉嘉用一根铁丝，组成一个长、宽的比为，高为的长方体框架，其体积为． (1)求这根铁丝的长度； (2)若嘉嘉用这根铁丝围成了一个长方形，其中长是宽的4倍，求长方形的长与宽； (3)若嘉嘉用这根铁丝首尾相接围成正方形，计算这个正方形的面积，并与（2）中围成的长方形的面积进行比较，通过计算说明谁的面积大． 50．（25-26八年级下·河南信阳·期中）阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方的形式．如： ； ． 【类比归纳】 (1)填空： ； ． (2)请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方的形式： 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，剩余部分的面积为________． 51．（25-26八年级下·江西赣州·期中）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 拔高·压轴破难 题型18 二次根式分母有理化计算压轴（共3小题） 52．（25-26八年级上·全国·单元测试）观察下列运算． ①由得； ②由得； ③由得． …… (1)通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来． (2)利用（1）中你发现的规律计算：． 53．（25-26八年级上·河北保定·期中）我们已经知道，因此，在计算时，可以将分子，分母同时乘以进行化前如下： 请运用上述方法进行以下化简： (1)= （直接填空）； (2)； (3)．（提示：） 54．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）材料阅读题： 把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫作分母有理化． 例如：， 观察上面的解题过程，并解答下列问题： (1)____，的倒数是____． (2)若是的小数部分，化简． (3)利用上面的解法，请化简：． 题型19 二次根式有规律计算压轴（共3小题） 55．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）阅读下列解题过程： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ⋯ 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出第4个等式__________； (2)利用上面的规律，则__________； (3)写出你猜想的第为正整数）个等式：__________（用含的等式表示），并证明． 56．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）规律探究：设，，，…，则的值为_____． 57．（25-26八年级上·广东佛山·期中）阅读材料：像；；…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：． 小明利用上述材料内容解决了问题：已知，求值． ∴， ∴，∴即， ∴，∴， 请你利用上述内容，解答下列问题： (1)与____互为有理化因式，将分母有理化得_______； (2)根据上面的规律，计算下列式子的值： ． (3)利用上面的规律，比较与的大小． (4)，求的值． 题型20 二次根式与图形几何（共3小题） 58．（25-26八年级上·河北邢台·期中）若3，4，n为三角形的三边长，则化简的结果为（  ） A． B． C． D． 59．（24-25八年级上·河北唐山·期末）题目：“如图，已知，过端点作射线，点为射线上一点，且．点为射线上的动点，关于对称的图形为（点的对称点为点），连接．若是直角三角形，求的长．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（    ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 根据题意知，， 设，则，， ∵， 则， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， 在中，，即， 解得； ③当时，如图， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则的长为或2或， 60．（24-25八年级下·江西南昌·期中）【阅读下列材料】： 若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．） 【例】：若，，，求的最小值． 解：∵，， ∴， ∴． ∴时，的最小值为8 【解决问题】 (1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (2)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值． 题型21 二次根式的新定义运算（共3小题） 61．（25-26八年级上·北京顺义·期中）我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 62．（25-26八年级下·江西赣州·期中）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些问题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． (1)已知：，求的值； (2)结合已知条件和第①问的结果，解方程：； (3)计算：． 63．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”． (1)关于的“美好数”是______； (2)化简：； (3)若是关于4的“美好数”，请求出的值． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $