专题03 全等三角形常考经典模型14大题型56题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材冀教版

专题03 全等三角形常考经典模型（14大题型56题） 基础·固本强基 题型1 公共边、公共角、对顶角模型 题型2 平移模型 题型3 翻折模型 题型4 倍长中线模型（重点） 题型5 截长补短模型（重点） 题型6 一线三等角（内k、外k）（重点） 题型7 手拉手模型（重点） 题型8 半角模型（重点） 题型9 对角互补模型（重点） 题型10 角平分线模型（重点） 题型11 动点型全等模型 题型12 全等模型综合（难点） 提升·进阶突破 题型13 全等模型进阶练（难点） 拔高·压轴破难 题型14 全等模型压轴练（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 公共边、公共角、对顶角模型（共3小题） 【模型】两三角形共用一条边或一个角；相交产生对顶角模型。挖掘图中隐藏等量，搭配已知条件，用 SSS、SAS、AAS、ASA 证明全等。 【步骤】先观察图形找出公共边、公共角或对顶角，标注等量，结合题目已知条件，匹配判定定理，规范书写全等证明过程。 【易错】漏看图形隐含条件；书写时不写公共边 / 角依据；找错对应顶点，造成边角不匹配，导致全等证明错误。 1．（26-27八年级上·江西赣州·期中）如图，，，求证：． 【答案】在和中， ， ∴． ∴ 【分析】由是和的公共边，根据全等三角形的判定定理“”证明，即可证明． 【详解】略 2．（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，点E在的中线的延长线上，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的取值范围； (3)若，，求证：是直角三角形． 【答案】(1)证明：是的中线， ． 在和中， ， ， ； (2)； (3)证明：，， 又∵， ， 即是直角三角形． 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质即可证明； （2）结合（1）根据三角形三边关系即可得的取值范围； （3）利用三角形内角和求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，，， ，即， ， 即的取值范围是； （3）略 3．（26-27八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，点，分别在边，上，与相交于点，若，，则的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先找出两个三角形的三组条件：公共角，夹边，另一组角，两角夹一边，对应 判定． 【详解】解：在和△中 题型2 平移模型（共3小题） 【模型】平移模型：一个三角形沿直线平移得到另一三角形，对应边平行且相等，对应角相等，常利用平行线推出内错角相等，构造全等条件。 【步骤】观察平移前后图形，找出对应边、对应角，借助平行线得到等角，结合已知条件，选用 SAS 或 ASA 证明三角形全等。 【易错】误把非对应边角匹配；忽略平行线才能推导内错角；证明全等时顶点对应关系写错，导致结论出错。 4．（26-27七年级上·重庆开州·期中）如图，点B，F，E，C在同一直线上，点A，D在的异侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】（1）由平行线的性质可得，再利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质并结合线段的和差计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 5．（26-27八年级上·福建龙岩·期中）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）先求得，，再结合已知条件运用可证结论； （2）根据邻补角及全等三角形的性质求得与，再结合三角形的内角和定理即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴． 6．（26-27八年级上·全国·期中）如图，点A，D，C，E在同一条直线上，，，，，，则CD的长为（     ） A．5.5 B．4 C．4.5 D．3 【答案】C 【分析】先证明，得到，再由线段的和差求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型3 翻折模型（共3小题） 【模型】翻折模型是三角形沿直线对折重合，翻折前后两三角形全等，对应边、对应角相等，折痕为对称轴，常出现等线段、等角、垂直关系。 【步骤】看清翻折前后对应部分，标出相等边角，利用全等得到等量关系，结合内角和、勾股定理，列式求解角度或线段长度。 【易错】找错翻折后的对应边角；忽略翻折产生的隐藏相等线段；计算角度时，容易漏算重叠部分角度。 7．（25-26八年级上·河北张家口·期中）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质以及翻折变换及其应用；连接，先根据线段垂直平分线的性质得到，则，利用等边对等角和三角形内角和定理以及角平分线的性质得到，，据此可得，证明，得到，则，再由对称性得到，，则，由三角形内角和定理得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴， ∵与关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，长方形中，点E为上一点，连接，将长方形沿着直线折叠，点D恰好落在的中点F上，点G为的中点；点P为线段上的动点，连接、，若、、，则的最小值是__________． 【答案】18 【分析】本题考查了长方形的判定和性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质等，取的中点，连接，可得四边形是长方形，即得，再根据折叠的性质可证，得到，即得到，可知当三点共线时，的值最小，最小值为18，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：取的中点，连接， ∵四边形是长方形，是的中点， ∴四边形是长方形， ∴， 由折叠可知，，， ∵是的中点，是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，最小值为18， 故答案为：18． 9．（25-26八年级上·山西阳泉·期中）综合与探究 问题情境： 在中，，把沿折叠，得到，为边上一点，点在射线上． 初步探究： （1）如图1，当点在的边上时，若，则与的数量关系为______． 深入探究： （2）如图2，点在边的延长线上，且． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②若，的面积为12，求四边形的面积． 【答案】（1）； （2）①，理由： ∵，把沿折叠，得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②72 【分析】该题考查了折叠的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形全等． （1）根据折叠可得，证明，即可得． （2）①根据，把沿折叠，得到，得出，结合，得出，证明，即可得． ②根据，的面积为12，得出，根据翻折可得，根据，得出，即可得四边形的面积，即可求解． 【详解】解：（1）根据折叠可得， 又，， ∴， ∴． （2）①略 ②∵，的面积为12， ∴， 根据翻折可得， ∵， ∴， ∴四边形的面积． 题型4 倍长中线模型（共3小题） 【模型】倍长中线模型，延长三角形中线至一倍长度，连接端点构造 SAS 全等，把分散的线段、角转移，集中到同一个三角形内求解。 【步骤】延长中线使延长段等于原中线，标记相等线段，证明三角形全等，转化边角条件，再结合三角形性质计算或证明结论。 【易错】未写延长辅助线规范表述；盲目套用模型；全等时找错对应边角，线段转化时忽略三边关系检验。 10．（26-27八年级上·福建厦门·期中）【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决． (1)【灵活运用】的取值范围是_______________________； (2)【问题拓展】如图3，是的中线，延长至点E，使得，若，，试探究线段与的数量和位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：线段与的关系为：且．理由如下： 过点C作于点． ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，，． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵ ∴， ∴． 【分析】（1）根据，得到，利用三角形三边关系定理解答即可． （2）过点C作于点．证明，根据三角形全等的性质，解答即可． 【详解】（1）解：如图2，延长到点E,使，连接． ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵, ∴， ∵，， ∴ 故． （2）解：略． 11．（26-27八年级上·江西赣州·期中）【阅读理解】 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是________； A．    B．   C．    D． (2)连接，利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是________； (3)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． (4)在（3）的条件下，若，延长交于点G，，，则的面积为________． 【答案】(1)B (2) (3)， 理由如下：延长到M，使得，连接，如图， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴； (4)6 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可解答； （2）根据三角形三边的关系即可求出的取值范围，进而可求出的取值范围； （3）延长到，使得，连接，则，由（1）同理可证，得到，，从而，又，因此，进而得证，即可得到结论； （4）由（3）可得，，，，则，说明即可求解． 【详解】（1）解：（1）延长到点E，使， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， 故选：B； （2）∵， ∴， 在中，， ∴，即， ∴； （3）略 （4）延长到M，使得，连接， 由（3）可知，， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴． 12．（26-27八年级上·河南周口·期中）【问题情境】数学兴趣小组交流时提出了问题：如图①，在中，若，，是边上的中点，试求中线长的取值范围． 【初步探索】 (1)小华经过思考得到了如下解决方法：如图①，延长至点，使，连接，可证得≌，从而求出中线的取值范围，其中判定全等的依据是__________； 【问题解决】 (2)图①中，与的数量关系是__________，位置关系是__________； 【拓展提升】 (3)老师表扬了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图②，在中，是边上的中线，分别以为直角边向外作等腰直角三角形，，，，，连接，求的长． 【答案】(1) (2)相等；平行 (3) 【分析】（1）根据全等三角形的判定条件即可得到答案； （2）根据全等三角形的性质可得所求线段相等和对应角相等，进而得出所给线段的位置关系； （3）根据题目所给的辅助线的作法作出辅助线，然后根据全等的条件证明两三角形全等，再根据全等的性质得到答案． 【详解】（1）解：延长至点，使，连接， 是边上的中点， ， ， ． （2）解：， ，， ． （3）解：延长到，使，连结， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ,， ， ， ， ． 题型5 截长补短模型（共3小题） 【模型】截长补短用于证明线段和差等式。截长：在长线段截取一段等于短线段；补短：延长短线段构造等长，借助全等转化线段。 【步骤】观察求证的线段和差关系，选择截长或补短作辅助线，构造全等三角形，通过边角等量代换完成证明。 【易错】辅助线作法描述不规范；选错截 / 补短方式；不会利用全等转移线段，混淆线段之间的加减关系。 13．（2026八年级上·全国·专题练习）【问题发现】 (1)如图1，在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是___________； 【问题探究】 (2)如图2，在四边形中，，．E、F分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图3，在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由： 如图2，延长到点G，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ，； (3)． 理由：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即，． 【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：，理由： 如图1，延长到点G，使，连接，则， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ； （2）略 （3）略 14．（2026八年级上·全国·专题练习）解答下列各题 (1)如图1，的角平分线，相交于点O，． ①求的度数； ②在上截取，使，连接，补全图形并求证：； (2)如图2，点D是外一点，平分，交于点O，平分，，，，，求的长． 【答案】(1)①；②证明：补图如图1， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； (2)1 【分析】（1）①利用角平分线的定义以及三角形内角和定理计算即可；②先证明，可得，，进而可证，由此可得； （2）在上截取，使，连接，根据②中的方法分别证明和，即可得出答案． 【详解】（1）①解：，是的角平分线， ∴，， ，， ， ， ； ②略 （2）解：如图2，在上截取，使，连接， 平分， ∴， ∵， ， ，， 平分， ， ， ， ， ∵， ， ； ， ． 15．（2026八年级上·全国·专题练习）【问题背景】如图1，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且． (1)【初步探索】试探究线段，，之间的数量关系． (2)【探索延伸】如图2，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)仍然成立，理由如下： 延长到G，使，连接，如图2所示： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴设，则， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， 又，． 【分析】（1）延长到G，使，连接，先证，进而依据“”判定和全等得，，再根据，，可证明，继而依据“”判定和全等得，然后根据即可得出线段，，之间的数量关系； （2）仍然成立，延长到，使，连接，先证明，而依据“”判定和全等得，，再根据可证明，继而依据“”判定和全等得，然后根据即可得出结论. 【详解】（1）解：，，之间的数量关系是：，理由如下： 延长到G，使，连接， 如图1所示： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， 又， ； （2）略 题型6 一线三等角（内k、外k）（共3小题） 【模型】同一直线上存在三个相等的角，利用外角定理推导出两组等角，构造全等或相似三角形，多用于求线段长、证明线段相等。 【步骤】先在直线上找出三个等角，利用外角证明角相等，确定对应边角，选用判定定理证全等或相似，再计算求解。 【易错】不会利用外角推导等角；混淆全等与相似；对应顶点写错，错把无关角当作模型内的相等角使用。 16．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，四边形中，，，，，，，则四边形的面积为(　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点，，，分别作，，，，交直线于点，，，，证明，，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】如图，过点，，，分别作，，，，交直线于点，，，， ∴， ∵． ∴，， ∵，． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 设，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积， ． 17．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图所示，长方形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则当取最小值时，到边的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，线段最短的计算，掌握以上知识，数形结合，合理作出辅助线是关键．如图所示，过点作于点，作，交于点，交于点，可证，得到，当点在线段上运动时，点在线段的某一部分上运动，再得到四边形和四边形都是长方形，则，，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作，交于点，交于点， 四边形是长方形， ，， ，， ， ，， △是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 当点在线段上运动时，点在线段的某一部分上运动，如图所示， 当点，重合时，线段的值最小， 根据作图，， 四边形和四边形都是长方形， ，， 到边的距离为， 故选：B． 18．（26-27八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，，，D为线段上一动点，连结，将绕点A 顺时针旋转至，交直线于点F，若则_____ 【答案】6 【分析】过点E作于点G，证明，得到，；再证明，得到，则． 【详解】解：如图所示，过点E作于点G， ∴， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴，； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型7 手拉手模型（共3小题） 【模型】共顶点的两个等腰三角形构成手拉手模型，顶角相等，两腰对应相等，可证 SAS 全等，拉手线相等，两拉手线夹角等于公共顶角。 【步骤】找到公共顶点，由等腰推出两组等边，推导旋转顶角相等，利用 SAS 证全等，转化边角，求解线段长度与夹角度数。 【易错】找错对应 “拉手边”；直接默认夹角等于顶角；书写全等顶点不对应，忽略角度需要推导证明。 19．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，，，，，连接，交于点M，与相交于E，与相交于F，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由证明得出，则①②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得，得出，则③正确；作于，于，则，由证明，得出，由角平分线的判定得出平分，假设，证明，可得到，从而得到，与矛盾，则④错误． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ，则①正确； ，，，则②正确； 由三角形的外角性质得：， ，则③正确； 如图，作于H，于G，则， 在和中， ， ， ，， 平分，即， ， ， 假设， ， 在和中， ，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ，即，与矛盾， 则假设不成立，则④错误； 故正确的有3个． 20．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，和中，，，，连接，交于点K，连接，下列结论：①；②；③平分；④点A到和到的距离相等．上述说法中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意可知和都是等腰三角形，先说明，从而①正确；根据全等三角形对应角相等可知，从而说明②正确；根据全等三角形对应边上的高相等可知④正确；③不能确定． 【详解】解：在和中， ， ， 即， 在和中， ，故①正确； 设与交于点， 是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， ， ，故②正确； ，， 边上的高等于边上的高， 即点A到和到的距离相等，故④正确； 与大小关系不确定，， 故无法确定平分，故③不正确． 综上可知，正确的说法有个． 21．（25-26八年级上·四川遂宁·期末）如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由证明得出，则①②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得，得出，则③正确；作于，于，则，由证明，得出，由角平分线的判定得出平分，假设，证明，可得到，从而得到，与矛盾，则④错误． 【详解】解：， ∴，即， 在和中， ， ，则①正确； ，，，则②正确； 由三角形的外角性质得：， ，则③正确； 如图，作于，于，则， 在和中， ， ， ，， 平分，即， ， ∴， 假设， ， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，即，与矛盾， 则假设不成立，则④错误； 综上，正确的结论有①②③． 题型8 半角模型（共3小题） 【模型】半角模型：正方形或等腰三角形中，共顶点大角内包含一个等于其一半的小角，通过旋转构造全等，实现线段转移，证明线段和差关系 【步骤】将三角形旋转，构造等角等边，证明得到一组全等三角形，进行线段等量代换，结合已知条件完成证明或长度计算。 【易错】忽略大角与半角的数量关系；旋转后找错对应边角；不验证点的位置，直接套用模型结论。 22．（2026八年级上·全国·专题练习）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边，上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边，延长线上的点，且，请探究线段，，具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ，， ． ． 又， ， ． ． ， (3)解：结论：． 证明：如图③，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）如图1，延长到点G，使．连接，求出，先证明，再证明，可得，再结合线段和差关系，即可解题； （2）如图2，与（1）同理可得：； （3）在上截取，使，连接，证明，可得，再证明，然后由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴ ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）略 （3）略 23．（25-26八年级上·山东聊城·期中）半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”做辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． 【问题提出】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． 【思路启迪】 小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明 ，可得出结论．他的结论应是 ． 【触类旁通】如图②，若在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【模型迁移】已知：如图，是等边三角形，，点D是外一点，且，分别交于点E、F，的周长为 ． 【答案】思路启迪：，； 触类旁通：上述结论仍然成立，证明如下： 如图，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 在和中 ， ． ． 模型迁移：12 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角和等边三角形的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 思路启迪：先证明得到，再证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； 触类旁通：延长到，使，连接，先导角证明，再证明得到，再接着证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； 模型迁移：延长到H，使得，连接，可求出，由等边三角形的性质可得，则可证明，同理可证明，再根据三角形周长公式可得答案． 【详解】解：思路启迪：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 触类旁通：略 模型迁移：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴的周长． 24．（25-26八年级上·山东临沂·期中）【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2) （1）中的结论仍然成立．证明如下： 如图，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 在和中 ， ． ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明得到，再证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； （2）延长到，使，连接，先导角证明，再证明得到，再接着证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）略 题型9 对角互补模型（共3小题） 【模型】对角互补模型，四边形一组对角相加为 180°，常搭配邻边相等，作垂线或旋转构造全等，实现角与线段的等量转化。 【步骤】识别对角互补、邻边相等条件，作双垂线或旋转构造三角形全等，代换边角，进而证明线段相等、求解角度。 【易错】无邻边相等直接套用；不会利用补角推导等角；辅助线构造不当，搞错全等的对应边角。 25．（26-27八年级上·湖北黄石·期中）如图，在四边形中，为钝角，为锐角，，，点E、F分别在，上，且， (1)连接，试探索线段、、之间的数量关系，并加以证明． (2)若点E在射线上，点F在延长线上，其它条件不变，（1）中结论是否依然成立？画出图形，并直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)，证明如下： 如图3，延长到H，使得， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (2)（1）中的结论不成立，新的数量关系为：，作图如下： 【分析】（1）由，结合四边形内角和得，故．延长到H使，由，证，得且，推出．结合，得，再证，得； （2）同理在射线上截取，仍可证与，此时，等量代换得． 【详解】（1）略 （2）解：在射线上（点C的外侧）截取，连接，如图： ∵，， ∴， 又， ， 在和中， ， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， ∴， ∵和， ∴． 26．（26-27八年级上·广西南宁·期中）综合与探究 已知，在四边形中，，，E、F分别是、边上的点．且．探究线段、、的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明______；再证明______；即可得出线段、、之间的数量关系是______． (2)如图②，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． (3)在四边形中，，，E、F分别是、所在直线上的点，且．请直接写出、、线段之间的数量关系． 【答案】(1)，， (2)（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． (3)或或 【分析】（1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长到点G，使，连接，先证明，再证明，即可得出线段、、之间的数量关系； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短的方法，先证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：补全小宁的解题思路：先证明；再证明；即可得出线段、、之间的数量关系是． （2）略 （3）解：或或， 理由： ①， 如图，在上截取，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②， 如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ③由（1）（2）可知，； ④如图，点E在延长线上，点F在延长线上，此时线段、、之间并无直接数量关系； 综上所述，线段、、之间的数量关系为或或． 27．（26-27八年级上·四川成都·期中）按要求解答下列问题： (1)【初步探索】 如图1：在四边形中， ，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ．（、、三个角之间的数量关系） (2)【灵活运用】 如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． (3)【拓展延伸】 已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)； (2)仍成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中，， ， ，， 在和中，， ， ； (3) ． 【分析】（1）如图1：延长到点G，使，连接，，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此即可得出结论； （2）如图：延长到点G，使，连接，先判定，进而得出，，再判定可得出； （3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定得出，最后根据，推导得到，即． 【详解】（1）解：如图1，延长到点G，使，连接， 在和中，， ， ，， ， ， 在和中，， ， ． （2）略 （3）解：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ，， ， 在和中，， ， ，， 在和中，， ， ， ， ∴ ， ∴ ， 即， ∴． 题型10 角平分线模型（共3小题） 【模型】角平分线模型，利用角相等构造全等。常见三种辅助线：向两边作垂线、截等线段、作平行线，得到相等边角，用于线段、角度证明。 【步骤】先识别角平分线，选择合适辅助线，标记相等角与线段，结合判定定理证明全等，完成线段等量代换与角度计算。 【易错】角平分线性质定理条件漏写垂直；辅助线描述不规范；找错对应边角，直接主观认定线段相等缺少证明。 28．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）综合实践 (1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据______证明，则，（即点C为的中点）． (2)【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得______． (3)【拓展延伸】①如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，猜想和有何数量关系，并说明理由． ②如图4，在中，，，，D在的平分线上，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①，证明如下： 延长与交于点F， ∵， ， ， ，， 又， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， 由（1）同理可得， ， ； ② 【分析】（1）根据条件分析可通过“”证明； （2）延长交于点F，由得到，再由三角形外角的性质求解即可； （3）①延长与交于点F，由三角形的内角和证明，进而证明，得到，由得到，即可得出结论； ②分别延长，交于点E，证明，得到，．延长线段至点F，使，连接．证明，得到，根据三角形的三边关系求出的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，． （2）解：延长交于点F， 由（1）同理可得， ． ， ． （3）①略 ②分别延长，交于点E， 平分， ． ， ． 在和中， ， ， ，． ，， ， ． 延长线段至点F，使，连接． ∵在和中， ， ， ． 在中，， ， ∵， ∴， ∴， ． 29．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证明，则，（即点为的中点）． (1)【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得________． 【拓展延伸】 (2)如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (3)如图4，中，，，点D在线段BC上，，，垂足为E，与相交于点．线段与的数量关系为________．（直接写出） 【答案】(1) (2)解：，理由如下： 如图，延长与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， 由问题情境可知：， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）延长交于点，由问题情境可知：，得到，再利用三角形外角的性质即可求解； （2）延长与交于点，利用证明，得到，由问题情境可知：，则有，即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，交于点，同理（2）中的方法可证，得到，由问题情境可知：，则有，即可得出结论． 【详解】（1）解：延长交于点， 由问题情境可知：， ∴， ∵ ∴； （2）略 （3）解：，理由如下， 如图，过点作，交的延长线于点，交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理（2）中的方法可得， ∴， 由问题情境可知：， ∴， ∴． 30．（25-26七年级下·广东深圳·期中）探究与证明 【问题情境】 (1)利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据___________，证明，则（即点为的中点）． 【类比解答】 (2)如图2，在中，平分于，若，通过上述构造全等的办法，可求得___________． 【拓展延伸】 (3)如图3，中，平分，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【实际应用】 (4)如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点作于．已知面积为26，则划出的的面积是___________？ 【答案】(1) (2) (3) 解：，证明如下： 如图，延长、交于点， 则， ， ， ， ， 又， ， ， 由（1）可得，， ； (4) 【分析】（1）证，得，即可； （2）延长交于点，同理可得，则，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （3）延长、交于点，证，得，再由（1）可知，，即可得出结论； （4）延长交于，由问题情境可知，，，则，再由三角形面积关系得，再求解即可得出结论． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，延长交于点， 由（1）可知，， ， ， ； （3）略 （4）解：如图，延长交于， 由（1）可知，，， ， ， ∴ ， ∴． 题型11 动点型全等模型（共3小题） 【模型】动点型全等模型，点在线段、射线或坐标轴上移动，动态改变图形，分类讨论不同位置，寻找满足全等的边角条件，求动点位置或时间。 【步骤】分析动点运动路程与速度，分类列出全等的边角组合，设未知数列式计算，最后检验结果是否符合图形位置，舍去不合理答案。 【易错】漏写动点多情况讨论；忽略动点取值范围；全等顶点对应搞错，算出结果不检验，保留不合理解。 31．（24-25七年级下·全国·周测）如图，在长方形ABCD中，，．延长BC到点E，使，连接DE，动点P从点B出发，沿B—C—D—A向终点A运动，每秒运动2个单位长度．设点P的运动时间为ts，当和全等时，t的值为（    ） A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 【答案】C 【分析】先明确长方形的边长，再根据全等三角形的对应边相等，分两种全等情况，确定动点P的位置，结合P的运动速度计算运动时间t． 【详解】解：由题意，可分两种情况讨论： ①当时，，此时点P在BC上，所以； ②当时，，此时点P在AD上，所以． 综上所述，的值为1或7． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与动点运动问题，掌握分情况讨论全等三角形的对应关系，结合动点运动路程与速度计算时间是解题的关键． 32．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）边长为的等边中，点P、Q分别是边、上的动点（端点除外），点P从顶点A出发向B运动，速度为，点Q从顶点B同时出发向C运动，速度为，连接，交于点M，在点P，Q运动的过程中． (1)求证：若，则； (2)连接，若，，当点P，Q运动多少秒时，是直角三角形？ 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，， 又∵，设运动时间为t， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． (2)当点P，Q运动1秒或秒时，是直角三角形 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，一元一次方程的应用及解直角三角形． （1）利用等边三角形性质得出，，根据题意设运动时间为t，从而得出，最终通过“”即可得出结论； （2）设点P，Q运动的时间为，表示出，，的值，此时分情况讨论：①，时；②，时，利用对应线段成比例列出方程计算t的值． 【详解】（1）略． （2）解：设点P，Q运动的时间为， ∴，， ∴， ①当，时， ∴， ∴，解得， ②当，时， ∴， ∴，解得， 综上所述，点P，Q运动1秒或秒时，是直角三角形． 33．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，长方形中，，，点、分别是、的中点，动点从点出发，沿折线向终点运动，过点作于点，连结、，设点的运动时间为秒（）． (1)当点运动到的中点时，证明． (2)若点以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图①，当点在边上时，______（用含的代数式表示） ②如图②，当点P在边上时（点不与点重合），易知，，若，求的值． (3)若点以每秒个单位长度的速度运动，在点运动过程中，直接写出能使和全等的所有的值． 【答案】(1) 证明：当点P运动到中点时，则， ∵点M、N分别是中点，， ∴， ∵， ∴； (2)①；②或8 (3)的值为2或6或10 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，绝对值方程等知识点，解题的关键是分类讨论，熟练掌握三角形全等的性质． （1）当点P运动到中点时，则，结合点M、N分别是中点，，可得，即可证明． （2）①根据题意即可求解． ②当点P在边上时（点P不与点D重合），得出，再根据，，列出等式求解即可． （3）根据题意分为当点P在边上时和当点P在边上时，根据全等三角形的性质列出等式求解即可． 【详解】（1）略 （2）若点P以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图1，当点P在边上时，， ； 故答案为：； ②如图2，当点P在边上时（点P不与点D重合）， 则， ∴， 若， 则，解得：或． （3）解：若点P以每秒个单位长度的速度运动，秒后， 当点P在边上时，与全等时， ∵， 则， ∴，解得：； 当点P在边上时，若与全等， ∵， 则， ∵， ∴，解得：或； 综上，或或． 题型12 全等模型综合（共3小题） 34．（26-27八年级上·山东德州·期中）解决问题 (1)如图1，已知中，，，直线经过点，直线直线，垂足分别为点．求证：． (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵直线直线， ∴, ∵,, ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ ∴ (2) 证明：∵,, ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ ∴． 【分析】（1）根据三角形的外角定理以及角度的转化可知，进而证明，再根据全等三角形的性质即可求解； （2）根据三角形的外角定理以及角度的转化可知，进而证明，再根据全等三角形的性质即可求解 【详解】（1）略 （2）略 35．（26-27七年级上·山东淄博·期中）如图，在四边形中，，E是上一点，F是的中点，，若，则的长度是_________． 【答案】2 【分析】延长交的延长线于点M，证明，得到；再证明，得到，则． 【详解】解：如图所示，延长交的延长线于点M， ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 36．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，是的边上的高，且，以为直角边，在上方作，使，，过点E作，交的延长线于点F，连接交于点H． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的边上的高，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)证明：由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）先证明出，再利用“”即可证明； （2）由（1）可得，则，结合题意得出，再证明，即可得证； （3）由（1）可得，则，，由（2）可得，结合题意得出，由，得出，求出，即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：由（1）可得， ∴，， 由（2）可得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 提升·进阶突破 题型13 全等模型进阶练（共10小题） 37．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若且的面积为6，则的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点P作于点E，根据三角形面积公式求出的长，证明求出的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P作于点E， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； ∵和分别平分和， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 38．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x（）的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．当与全等时，x的值是（     ） A．2 B．3或1.5 C．2或1.5 D．2或3 【答案】D 【分析】根据题意得，，,由于，所以当，时，，即，，当，时，，即，，然后分别解方程可求出对应的的值． 【详解】解：根据题意得，，， ， ∴当，时，， 即，， 解得，； 当，时，， 即，， 解得，； 综上所述，x的值为3或2． 39．（26-27八年级上·甘肃定西·期中）如图，在等腰中，，，点在边上，连接于点交的延长线于点．若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】证明得出，，进而根据即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 40．（26-27八年级上·黑龙江绥化·期中）已知的两条边长分别为和，则第三边上的中线的取值范围是___________． 【答案】 【分析】延长至点，使，连接，证明，得出相等的边，然后利用三角形三边关系求解． 【详解】解：如图所示，延长至点，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 根据三角形的三边关系可得，， 即， 又∵， ∴． 41．（26-27八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为． （1）当点在上时，______（用含t的代数式表示）． （2）当______时，与全等． 【答案】 或或 【分析】(1)因为动点从点出发沿路径向终点运动，所以当点在上时，点运动轨迹应表示为，即即可； (2) 要使与全等，则需分三种情况进行讨论：①当点在上，点在上时；②当点与点重合时；③当点与点重合时，都利用建立方程，求解即可． 【详解】（1）如图， 当点在上时，点运动轨迹应表示为， 又因为点的速度，运动时间为， 所以； （2）①如图1，当点在上，点在上时，． ∵在中，，点和点作于点，于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． ②如图2，当点与点重合时，， 则， ∴． 解得． ③如图3，当点与点重合时，， ∵在中，，点和点作于点，于点， ∴ ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 综上所述，当或或时，与全等． 故答案为3或5或12． 42．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，，过A点作；，，，连接，则的面积为_____． 【答案】3 【分析】过点E作交延长线于点F，证明，得到，然后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：过点E作交延长线于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的面积为． 43．（2026八年级上·全国·专题练习）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时， 求证：①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 【答案】(1)证明：①，， ， ，， ， ∵在和中， ， ； ②， ，，； (2)证明：，， ， ， ∵在和中， ， ； ，，； (3)． 【分析】（1）①根据，，，得出，再根据即可判定；②根据全等三角形的对应边相等，即可得出，，进而得到； （2）先根据，，得到，进而得出，再根据即可判定，进而得到，，最后得出； （3）运用（2）中的方法即可得出，，之间的等量关系是：． 【详解】（1）①略，②略 （2）略 （3）解：当旋转到题图（3）的位置时，，，所满足的等量关系是：． 理由如下：，， ， ， ∵在和中， ， ， ，， ． 44．（26-27九年级上·陕西安康·期中）如图，在四边形中，点在边上，，且平分，点是四边形外一点，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， 在和中， ∴； (2)的度数为． 【分析】先得出，再根据“”定理即可得证； 先得出，，设，则，通过角度和差求出，然后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：由得， ∴，， 设，则， ∵，，, ∴， ∴， 将代入得， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，即的度数为． 45．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图1，在中，，，直线经过点，过点作，垂足为，且，过点作，垂足为，且． (1)求证：； (2)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，连接，且． ①求的面积： ②求的长度． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2)①；② 【分析】（）先推导和的角的关系，再结合，利用全等三角形来证明全等； （）①先证明，过点作于，证明，可得，进一步利用割补法可得答案； ②证明，可得，结合，，进一步可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴，， ∵， ∴， 过点作于， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为：． ②∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 46．（26-27八年级上·江苏徐州·期中）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E．使，连接．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是__________． A． B． C． D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是__________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (3)【方法应用】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； (4)【问题拓展】如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段、、之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)A； (2)； (3)，证明如下： 延长，，交于点F， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． (4)；理由如下： 延长至点，使，连接，如图所示， ，，， 在和中， ∵， ， ，， ，， ， ， 在和中， ∵， ， ， ， ． 【分析】（1）由是中线得到，又，，通过“”可证．据此可解答； （2）由，，根据三角形的三边关系有，即，又，因此； （3）延长，，交于点F，易证，得到，由是的平分线和，得到，从而，即可得到； （4）延长至点，使，连接，证明 ，，得出，结合，即可得出． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （3）略 （4）略 拔高·压轴破难 题型14 全等模型压轴练（共10小题） 47．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图：过点A作且，连接交于，证明可得，从而将转化为，根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值．易证，再利用全等三角形的性质以及线段的运算即可解答． 【详解】解：如图：过点A作且（点F在下方），连接交于， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在和中， ， ∴， ∴， ∴取得最小值时，线段的长为． 48．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，在四边形中，，点E为的中点，，，则（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，延长到K，使得，连接，，过点K作交延长线于点Q，再证明，利用割补法可得答案． 【详解】解：如图，延长到K，使得，连接，，过点K作交延长线于点Q， ∴， ∵点E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 49．（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图，已知在四边形中，，，，，点为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．要使与全等，点的运动速度为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形对应边相等的性质，并根据不同的全等情况进行分类讨论是解题的关键．已知，要使与全等，需分两种情况讨论：，；，；根据这两种全等情况，结合已知边长和点的运动速度，计算出运动时间，进而求出点的运动速度． 【详解】解：∵，为中点， ∴， 设运动时间为秒，则，， 情况：当（）时，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的速度； 情况：当（）时，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的速度； 综上，点的运动速度为或 故选：D． 50．（26-27八年级上·山东日照·期中）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为______． 【答案】 【分析】过点作于点，构造全等三角形和，利用全等三角形对应边相等得出，，则线段的长为线段，，之和． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ． ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，， ， ． 在和中， ， ， ． ． 51．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在四边形中，，．点在直线上，将射线绕着点逆时针旋转，与直线交于点，连接． （1）若，则_____； （2）若，则_____． 【答案】 或 【分析】（1）根据已知条件利用角角边定理证明，从而得出； （2）分两种情况讨论，利用旋转的性质构造全等三角形，将绕点逆时针旋转得到，证明，从而得出． 【详解】解：（1）在和中， ，，， ． ． ， ． （2）如图，当在上时， 将绕点逆时针旋转得到， ． ，，，． ， ． 三点共线． 点在直线上， 三点共线，且点在线段上． ． ，， ． ． ． 在和中， ． ． ， ． ，， ． 如图，当在的延长线上时， 同理可得， ， ． ，， ． 如图，当在的延长线上时， ∵， 同理可得， 而，故此情形不存在； 综上所述，或. 52．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，平分，于点，已知阴影部分的面积为，，则中上的高为________． 【答案】 【分析】延长交于，过点作于点，证明，利用三角形中线的性质可得，再利用三角形的面积公式求得的长即可． 【详解】解：延长交于，过点作于点，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即， 解得， 又∵， 即， ∴， ∴中上的高为． 53．（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，在四边形中，，，，过点作于点，连接，若，，，则________． 【答案】 【分析】根据垂直可得，从而可得，，进而可得，然后利用证明，从而可得，，进而可得，根据，即可求解． 【详解】解∶， ， ， ， ， ， ， ， ； ∴ ． 54．（2026八年级上·全国·专题练习）【初步探索】 (1)如图1，是的中线，探究与的大小关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长至点E，使，连接，先证明，可得出结论，他的结论应是___________ 【灵活运用】 (2)如图2，是的中线，E、F分别在、上，且，求证：． 【拓展延伸】 (3)如图3，为的角平分线，直线于点A．点E为上一点（与点A不重合），周长记为a，周长记为b，比较a与b的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)证明：延长至G，使得，连接，，如图： 在和中， ， ， ， 在和中 ， ， ， 在中，两边之和大于第三边， ， 又，， ； (3)①点E在点A右侧时，延长到F，使，连接，如图： 由图可得，， 在和中， ， ， ， ，，为三边， ， ， ， ，即； ②点E在点A左侧时，延长到F，使，连接，如图： 由图可得，， 在和中， ， ， ， 为三边， ， ， ， ，即， 综上所述，． 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系解答即可； （2）延长至G，使得，连接，，根据全等三角形的判定定理和三角形的三边关系解答即可； （3）分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：延长至点E，使，连接，如图： 在和中， ， ， ， ， ； （2）略 （3）略 55．（2026七年级上·山东·专题练习）如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，且当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值． 【答案】(1)证明：是高， ， 是高， ， ，， ， 在和中， ， ． (2)的值为或． (3)或时，与全等． 【分析】（1）根据原理证明即可； （2）由题意，，当点在线段上时，， 当点在延长线上时，，根据三角形的面积列式解答即可． （3）由（1）可知，可推出，结合已知条件，分两种情况讨论：①当点F在线段的延长线上时，此时，，；②当点F在线段上时，此时，，；据此列出方程解答即可．． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ， ， ， 由题意，， 当点在线段上时，， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 解得：； 综上，当的面积为时，的值为或； （3）解：①如图，当点F在线段的延长线上时， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ，， ． 又∵，以点B、O、P为顶点的三角形与以点F、C、Q为顶点的三角形全等， ∴， 此时，， ， 解得， ②如图，当点F在线段上时， 同①可得，， 此时，， ， 解得， 综上所述，或时，与全等． 56．（25-26七年级下·广东揭阳·期中）综合题 (1)如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由． (2)【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由． (3)【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与 的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ． 【答案】(1)解：且，理由： 当时，，， ， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ． (2)解：，理由如下： ，， ， 又，， 三点在直线上， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． (3)6 【分析】(1) 当时，，，结合，利用判定，得到及，再通过直角互余与平角关系证得． (2) 利用三角形内角和与平角关系转化得到，结合已知角等和，利用判定，从而得，，相加即得． (3) 由(2)的模型可得，从而，将面积和转化为；再利用及同高三角形面积比等于底边比，得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由(2)同理可证， ， ， 直线与 的延长线交于点，且， 与有公共顶点，且底边与 在同一直线上， ， ， ， 即与的面积之和为． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等三角形常考经典模型（14大题型56题） 基础·固本强基 题型1 公共边、公共角、对顶角模型 题型2 平移模型 题型3 翻折模型 题型4 倍长中线模型（重点） 题型5 截长补短模型（重点） 题型6 一线三等角（内k、外k）（重点） 题型7 手拉手模型（重点） 题型8 半角模型（重点） 题型9 对角互补模型（重点） 题型10 角平分线模型（重点） 题型11 动点型全等模型 题型12 全等模型综合（难点） 提升·进阶突破 题型13 全等模型进阶练（难点） 拔高·压轴破难 题型14 全等模型压轴练（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 公共边、公共角、对顶角模型（共3小题） 【模型】两三角形共用一条边或一个角；相交产生对顶角模型。挖掘图中隐藏等量，搭配已知条件，用 SSS、SAS、AAS、ASA 证明全等。 【步骤】先观察图形找出公共边、公共角或对顶角，标注等量，结合题目已知条件，匹配判定定理，规范书写全等证明过程。 【易错】漏看图形隐含条件；书写时不写公共边 / 角依据；找错对应顶点，造成边角不匹配，导致全等证明错误。 1．（26-27八年级上·江西赣州·期中）如图，，，求证：． 2．（26-27八年级上·全国·单元测试）如图，点E在的中线的延长线上，且，连接． (1)求证：； (2)若，，求的取值范围； (3)若，，求证：是直角三角形． 3．（26-27八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，点，分别在边，上，与相交于点，若，，则的依据是（     ） A． B． C． D． 题型2 平移模型（共3小题） 【模型】平移模型：一个三角形沿直线平移得到另一三角形，对应边平行且相等，对应角相等，常利用平行线推出内错角相等，构造全等条件。 【步骤】观察平移前后图形，找出对应边、对应角，借助平行线得到等角，结合已知条件，选用 SAS 或 ASA 证明三角形全等。 【易错】误把非对应边角匹配；忽略平行线才能推导内错角；证明全等时顶点对应关系写错，导致结论出错。 4．（26-27七年级上·重庆开州·期中）如图，点B，F，E，C在同一直线上，点A，D在的异侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 5．（26-27八年级上·福建龙岩·期中）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 6．（26-27八年级上·全国·期中）如图，点A，D，C，E在同一条直线上，，，，，，则CD的长为（     ） A．5.5 B．4 C．4.5 D．3 题型3 翻折模型（共3小题） 【模型】翻折模型是三角形沿直线对折重合，翻折前后两三角形全等，对应边、对应角相等，折痕为对称轴，常出现等线段、等角、垂直关系。 【步骤】看清翻折前后对应部分，标出相等边角，利用全等得到等量关系，结合内角和、勾股定理，列式求解角度或线段长度。 【易错】找错翻折后的对应边角；忽略翻折产生的隐藏相等线段；计算角度时，容易漏算重叠部分角度。 7．（25-26八年级上·河北张家口·期中）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，长方形中，点E为上一点，连接，将长方形沿着直线折叠，点D恰好落在的中点F上，点G为的中点；点P为线段上的动点，连接、，若、、，则的最小值是__________． 9．（25-26八年级上·山西阳泉·期中）综合与探究 问题情境： 在中，，把沿折叠，得到，为边上一点，点在射线上． 初步探究： （1）如图1，当点在的边上时，若，则与的数量关系为______． 深入探究： （2）如图2，点在边的延长线上，且． ①试猜想与的数量关系，并说明理由； ②若，的面积为12，求四边形的面积． 题型4 倍长中线模型（共3小题） 【模型】倍长中线模型，延长三角形中线至一倍长度，连接端点构造 SAS 全等，把分散的线段、角转移，集中到同一个三角形内求解。 【步骤】延长中线使延长段等于原中线，标记相等线段，证明三角形全等，转化边角条件，再结合三角形性质计算或证明结论。 【易错】未写延长辅助线规范表述；盲目套用模型；全等时找错对应边角，线段转化时忽略三边关系检验。 10．（26-27八年级上·福建厦门·期中）【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决． (1)【灵活运用】的取值范围是_______________________； (2)【问题拓展】如图3，是的中线，延长至点E，使得，若，，试探究线段与的数量和位置关系，并说明理由． 11．（26-27八年级上·江西赣州·期中）【阅读理解】 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是________； A．    B．   C．    D． (2)连接，利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是________； (3)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． (4)在（3）的条件下，若，延长交于点G，，，则的面积为________． 12．（26-27八年级上·河南周口·期中）【问题情境】数学兴趣小组交流时提出了问题：如图①，在中，若，，是边上的中点，试求中线长的取值范围． 【初步探索】 (1)小华经过思考得到了如下解决方法：如图①，延长至点，使，连接，可证得≌，从而求出中线的取值范围，其中判定全等的依据是__________； 【问题解决】 (2)图①中，与的数量关系是__________，位置关系是__________； 【拓展提升】 (3)老师表扬了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图②，在中，是边上的中线，分别以为直角边向外作等腰直角三角形，，，，，连接，求的长． 题型5 截长补短模型（共3小题） 【模型】截长补短用于证明线段和差等式。截长：在长线段截取一段等于短线段；补短：延长短线段构造等长，借助全等转化线段。 【步骤】观察求证的线段和差关系，选择截长或补短作辅助线，构造全等三角形，通过边角等量代换完成证明。 【易错】辅助线作法描述不规范；选错截 / 补短方式；不会利用全等转移线段，混淆线段之间的加减关系。 13．（2026八年级上·全国·专题练习）【问题发现】 (1)如图1，在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是___________； 【问题探究】 (2)如图2，在四边形中，，．E、F分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图3，在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 14．（2026八年级上·全国·专题练习）解答下列各题 (1)如图1，的角平分线，相交于点O，． ①求的度数； ②在上截取，使，连接，补全图形并求证：； (2)如图2，点D是外一点，平分，交于点O，平分，，，，，求的长． 15．（2026八年级上·全国·专题练习）【问题背景】如图1，在四边形中，，，，E，F分别是，上的点，且． (1)【初步探索】试探究线段，，之间的数量关系． (2)【探索延伸】如图2，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 题型6 一线三等角（内k、外k）（共3小题） 【模型】同一直线上存在三个相等的角，利用外角定理推导出两组等角，构造全等或相似三角形，多用于求线段长、证明线段相等。 【步骤】先在直线上找出三个等角，利用外角证明角相等，确定对应边角，选用判定定理证全等或相似，再计算求解。 【易错】不会利用外角推导等角；混淆全等与相似；对应顶点写错，错把无关角当作模型内的相等角使用。 16．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，四边形中，，，，，，，则四边形的面积为(　　）． A． B． C． D． 17．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图所示，长方形的边，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则当取最小值时，到边的距离为（    ） A．1 B． C．2 D． 18．（26-27八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，，，D为线段上一动点，连结，将绕点A 顺时针旋转至，交直线于点F，若则_____ 题型7 手拉手模型（共3小题） 【模型】共顶点的两个等腰三角形构成手拉手模型，顶角相等，两腰对应相等，可证 SAS 全等，拉手线相等，两拉手线夹角等于公共顶角。 【步骤】找到公共顶点，由等腰推出两组等边，推导旋转顶角相等，利用 SAS 证全等，转化边角，求解线段长度与夹角度数。 【易错】找错对应 “拉手边”；直接默认夹角等于顶角；书写全等顶点不对应，忽略角度需要推导证明。 19．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，，，，，连接，交于点M，与相交于E，与相交于F，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 20．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，和中，，，，连接，交于点K，连接，下列结论：①；②；③平分；④点A到和到的距离相等．上述说法中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 21．（25-26八年级上·四川遂宁·期末）如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型8 半角模型（共3小题） 【模型】半角模型：正方形或等腰三角形中，共顶点大角内包含一个等于其一半的小角，通过旋转构造全等，实现线段转移，证明线段和差关系 【步骤】将三角形旋转，构造等角等边，证明得到一组全等三角形，进行线段等量代换，结合已知条件完成证明或长度计算。 【易错】忽略大角与半角的数量关系；旋转后找错对应边角；不验证点的位置，直接套用模型结论。 22．（2026八年级上·全国·专题练习）问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边，上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边，延长线上的点，且，请探究线段，，具有怎样的数量关系，并证明． 23．（25-26八年级上·山东聊城·期中）半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”做辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． 【问题提出】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． 【思路启迪】 小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明 ，可得出结论．他的结论应是 ． 【触类旁通】如图②，若在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【模型迁移】已知：如图，是等边三角形，，点D是外一点，且，分别交于点E、F，的周长为 ． 24．（25-26八年级上·山东临沂·期中）【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 题型9 对角互补模型（共3小题） 【模型】对角互补模型，四边形一组对角相加为 180°，常搭配邻边相等，作垂线或旋转构造全等，实现角与线段的等量转化。 【步骤】识别对角互补、邻边相等条件，作双垂线或旋转构造三角形全等，代换边角，进而证明线段相等、求解角度。 【易错】无邻边相等直接套用；不会利用补角推导等角；辅助线构造不当，搞错全等的对应边角。 25．（26-27八年级上·湖北黄石·期中）如图，在四边形中，为钝角，为锐角，，，点E、F分别在，上，且， (1)连接，试探索线段、、之间的数量关系，并加以证明． (2)若点E在射线上，点F在延长线上，其它条件不变，（1）中结论是否依然成立？画出图形，并直接写出、、之间的数量关系． 26．（26-27八年级上·广西南宁·期中）综合与探究 已知，在四边形中，，，E、F分别是、边上的点．且．探究线段、、的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明______；再证明______；即可得出线段、、之间的数量关系是______． (2)如图②，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程． (3)在四边形中，，，E、F分别是、所在直线上的点，且．请直接写出、、线段之间的数量关系． 27．（26-27八年级上·四川成都·期中）按要求解答下列问题： (1)【初步探索】 如图1：在四边形中， ，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ．（、、三个角之间的数量关系） (2)【灵活运用】 如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． (3)【拓展延伸】 已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请直接写出与的数量关系． 题型10 角平分线模型（共3小题） 【模型】角平分线模型，利用角相等构造全等。常见三种辅助线：向两边作垂线、截等线段、作平行线，得到相等边角，用于线段、角度证明。 【步骤】先识别角平分线，选择合适辅助线，标记相等角与线段，结合判定定理证明全等，完成线段等量代换与角度计算。 【易错】角平分线性质定理条件漏写垂直；辅助线描述不规范；找错对应边角，直接主观认定线段相等缺少证明。 28．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）综合实践 (1)【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据______证明，则，（即点C为的中点）． (2)【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得______． (3)【拓展延伸】①如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，猜想和有何数量关系，并说明理由． ②如图4，在中，，，，D在的平分线上，，求的取值范围． 29．（26-27八年级上·江苏苏州·期中）【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证明，则，（即点为的中点）． (1)【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得________． 【拓展延伸】 (2)如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (3)如图4，中，，，点D在线段BC上，，，垂足为E，与相交于点．线段与的数量关系为________．（直接写出） 30．（25-26七年级下·广东深圳·期中）探究与证明 【问题情境】 (1)利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可根据___________，证明，则（即点为的中点）． 【类比解答】 (2)如图2，在中，平分于，若，通过上述构造全等的办法，可求得___________． 【拓展延伸】 (3)如图3，中，平分，垂足在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【实际应用】 (4)如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点作于．已知面积为26，则划出的的面积是___________？ 题型11 动点型全等模型（共3小题） 【模型】动点型全等模型，点在线段、射线或坐标轴上移动，动态改变图形，分类讨论不同位置，寻找满足全等的边角条件，求动点位置或时间。 【步骤】分析动点运动路程与速度，分类列出全等的边角组合，设未知数列式计算，最后检验结果是否符合图形位置，舍去不合理答案。 【易错】漏写动点多情况讨论；忽略动点取值范围；全等顶点对应搞错，算出结果不检验，保留不合理解。 31．（24-25七年级下·全国·周测）如图，在长方形ABCD中，，．延长BC到点E，使，连接DE，动点P从点B出发，沿B—C—D—A向终点A运动，每秒运动2个单位长度．设点P的运动时间为ts，当和全等时，t的值为（    ） A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 32．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）边长为的等边中，点P、Q分别是边、上的动点（端点除外），点P从顶点A出发向B运动，速度为，点Q从顶点B同时出发向C运动，速度为，连接，交于点M，在点P，Q运动的过程中． (1)求证：若，则； (2)连接，若，，当点P，Q运动多少秒时，是直角三角形？ 33．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，长方形中，，，点、分别是、的中点，动点从点出发，沿折线向终点运动，过点作于点，连结、，设点的运动时间为秒（）． (1)当点运动到的中点时，证明． (2)若点以每秒2个单位长度的速度运动． ①如图①，当点在边上时，______（用含的代数式表示） ②如图②，当点P在边上时（点不与点重合），易知，，若，求的值． (3)若点以每秒个单位长度的速度运动，在点运动过程中，直接写出能使和全等的所有的值． 题型12 全等模型综合（共3小题） 34．（26-27八年级上·山东德州·期中）解决问题 (1)如图1，已知中，，，直线经过点，直线直线，垂足分别为点．求证：． (2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 35．（26-27七年级上·山东淄博·期中）如图，在四边形中，，E是上一点，F是的中点，，若，则的长度是_________． 36．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，是的边上的高，且，以为直角边，在上方作，使，，过点E作，交的延长线于点F，连接交于点H． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 提升·进阶突破 题型13 全等模型进阶练（共10小题） 37．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直．若且的面积为6，则的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 38．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以x（）的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）．当与全等时，x的值是（     ） A．2 B．3或1.5 C．2或1.5 D．2或3 39．（26-27八年级上·甘肃定西·期中）如图，在等腰中，，，点在边上，连接于点交的延长线于点．若，则的长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 40．（26-27八年级上·黑龙江绥化·期中）已知的两条边长分别为和，则第三边上的中线的取值范围是___________． 41．（26-27八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为． （1）当点在上时，______（用含t的代数式表示）． （2）当______时，与全等． 42．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，，过A点作；，，，连接，则的面积为_____． 43．（2026八年级上·全国·专题练习）在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到图（1）的位置时， 求证：①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：； (3)当直线绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 44．（26-27九年级上·陕西安康·期中）如图，在四边形中，点在边上，，且平分，点是四边形外一点，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 45．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）如图1，在中，，，直线经过点，过点作，垂足为，且，过点作，垂足为，且． (1)求证：； (2)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，连接，且． ①求的面积： ②求的长度． 46．（26-27八年级上·江苏徐州·期中）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E．使，连接．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是__________． A． B． C． D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是__________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． (3)【方法应用】如图②，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； (4)【问题拓展】如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段、、之间的数量关系，并加以证明． 拔高·压轴破难 题型14 全等模型压轴练（共10小题） 47．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 48．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）如图，在四边形中，，点E为的中点，，，则（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 49．（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图，已知在四边形中，，，，，点为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．要使与全等，点的运动速度为（   ） A． B． C．或 D．或 50．（26-27八年级上·山东日照·期中）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为______． 51．（25-26七年级下·重庆·期末）如图，在四边形中，，．点在直线上，将射线绕着点逆时针旋转，与直线交于点，连接． （1）若，则_____； （2）若，则_____． 52．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，平分，于点，已知阴影部分的面积为，，则中上的高为________． 53．（25-26七年级下·山西晋中·期末）如图，在四边形中，，，，过点作于点，连接，若，，，则________． 54．（2026八年级上·全国·专题练习）【初步探索】 (1)如图1，是的中线，探究与的大小关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长至点E，使，连接，先证明，可得出结论，他的结论应是___________ 【灵活运用】 (2)如图2，是的中线，E、F分别在、上，且，求证：． 【拓展延伸】 (3)如图3，为的角平分线，直线于点A．点E为上一点（与点A不重合），周长记为a，周长记为b，比较a与b的数量关系并证明． 55．（2026七年级上·山东·专题练习）如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，且当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值． 56．（25-26七年级下·广东揭阳·期中）综合题 (1)如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由． (2)【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由． (3)【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与 的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $