专题01 分式和分式方程24大题型72题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材冀教版

专题01 分式和分式方程（24大题型72题） 基础·固本强基 题型1 分式的判断 题型2 分式有无意义的条件 题型3 分式的求值 题型4 分式的基本性质 题型5 约分、通分 题型6 分式的四则运算 题型7 分式化简求值（重点） 题型8 解分式方程（重点） 题型9 根据分式方程解的情况求值（重点） 题型10 分式方程的实际应用（重点） 提升·进阶突破 题型11 分式的求值问题（重点） 题型12 使分式值为整数时未知数的整数值（重点） 题型13 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型14 最简分式 题型15 分式的四则混合运算综合（重点） 题型16 已知分式恒等式确定分子或分母 题型17 分式化简求值综合（重点） 题型18 分式的倒数问题（难点） 题型19 根据分式方程解的情况求参问题（难点） 题型20 分式方程的增根与无解问题（重点） 题型21 分式方程的实际应用综合 拔高·压轴破难 题型22 分式的求整问题（难点） 题型23 分式方程的含参问题（难点） 题型24 分式的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 分式的判断（共3小题） 1．（26-27八年级上·河北沧州·期中）若是分式，则可以是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27八年级上·河北沧州·期中）在，，，，中，分式有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）下列各式：，，，，，，，其中分式共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型2 分式有无意义的条件（共3小题） 【易错】分式有意义只需分母≠0，无意义为分母 = 0。不要看分子；多个因式分母要全部不等于 0；求取值范围容易漏写，解方程时分母等于 0 的解忘记排除。 4．（26-27八年级上·河北沧州·期中）使分式有意义的的取值是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·河北张家口·一模）使有意义的的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．且 6．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）对于分式下列说法不正确的是（   ） A．时，分式值为 B．时，分式无意义 C．时，分式值为负数 D．时，分式的值为正数 题型3 分式的求值（共3小题） 【易错】代入求值前，先保证分式有意义，分母不能为 0。直接代入不检验，负数代入不加括号；负数乘方符号出错；根式代入时分母有理化遗漏，计算符号失误。 7．（2026年河北省秦皇岛市山海关区自主招生数学试题）若，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 8．（25-26八年级上·山东泰安·期中）已知实数满足，则分式为__________． 9．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）已知，那么的值是_____． 题型4 分式的基本性质（共3小题） 【易错】分子分母同乘除同一个不为 0的整式。容易漏 “不为 0”；只乘分子或只乘分母；加减运算误用性质；符号变换时，只改一处符号，忽略分式整体符号规则。 10．（25-26八年级上·广东广州·期末）将分式中的、的值同时扩大倍，则分式的值（　　） A．扩大倍 B．缩小到原来的 C．保持不变 D．无法确定 11．（25-26八年级下·四川成都·期中）若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·河北邢台·期末）根据分式的基本性质，下列变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型5 约分、通分（共3小题） 【易错】约分先因式分解，只能约因式，不能约单独项；通分找最简公分母。常直接约多项式里面单项；符号处理出错；漏看互为相反数因式，最简公分母找不全。 13．（26-27八年级上·河北邢台·期中）化简时，应约去的分子分母的公因式是________． 14．（25-26八年级上·北京·期中）通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（24-25七年级下·河北·期中）对分式通分以后，的结果是（   ） A． B． C． D． 题型6 分式的四则运算（共3小题） 【易错】乘除先因式分解再约分，加减先通分。加减时漏给分子加括号；运算顺序搞错，先算加减再算乘除；符号容易出错，结果没有化为最简分式。 16．（25-26八年级上·河北衡水·期末）计算：的结果是（   ） A． B． C．1 D． 17．（2025·湖南长沙·模拟预测）化简： 18．（25-26八年级上·河北·期中）计算： (1)； (2)． 题型7 分式化简求值（共3小题） 【易错】化简和代入两步分开，先化简后代入；代入值必须保证原式分母不为 0。直接代入原式计算；所选数值让分母等于 0；括号去掉时符号出错，结果不化简。 19．（25-26八年级上·河北唐山·期中）先化简，再求值，其中 20．（25-26七年级上·上海·期末）先化简，再求值： ，其中 ． 21．（25-26八年级上·山东泰安·期中）先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 题型8 解分式方程（共3小题） 【易错】去分母时，常数项也要乘最简公分母；必须检验。漏乘不含分母的项；忘记验根，增根当成解；移项变号出错；整式方程求解错误，漏掉检验步骤。 22．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）解分式方程： (1)； (2)． 23．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）解分式方程 (1) (2) 24．（25-26八年级上·云南昆明·期末）解方程 (1) (2) 题型9 根据分式方程解的情况求值（共3小题） 【易错】先解整式方程，再结合解的限制条件。容易忽略分母不为 0；只看整式方程解，不排除增根；列式不等关系写错，取值范围考虑不全面，漏限制条件。 25．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）已知是分式方程的解，那么的值为（        ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 27．（24-25八年级下·河南南阳·期中）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程有增根，求a的值； (2)若分式方程的解为非负数，求a的取值范围． 题型10 分式方程的实际应用（共3小题） 【易错】找准等量关系，设未知数，单位统一；解完双重检验：方程检验 + 实际意义检验。等量关系列反；忘记检验；解出负数、不符合题意的值不舍去。 28．（25-26八年级上·河北承德·期中）《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？快马每天行进多少百里？ 29．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）某政府计划购置如下图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如下表． 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000元 花费：30000元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共6个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价不变，如果此次加购政府预备支出不超过37000元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 30．（24-25八年级下·陕西西安·期末）米脂小米历史悠久，品质优良，有防止消化不良等功效．某粮油超市计划购进两种包装的米脂小米进行销售，已知每袋种包装的米脂小米的进价比每袋种包装的米脂小米的进价多10元，用150元购进种包装的米脂小米袋数与用100元购进种包装的米脂小米袋数相同． (1)求两种包装的米脂小米进价分别是多少元/袋？ (2)若该粮油超市计划购进两种包装的米脂小米共20袋，且总花费不超过480元，请你计算该粮油超市最多能购进种包装的米脂小米多少袋？ 提升·进阶突破 题型11 分式的求值问题（共3小题） 【易错】整体代入优先，不单独求未知数；注意隐含分母不为 0 条件。强行单独求解未知数；变形时等式两边随意乘含字母式子；符号处理失误，忽略取值限制。 31．（26-27八年级上·河北衡水·期中）已知，则的值是________ 32．（25-26八年级上·山东泰安·期中）阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． 的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 33．（24-25八年级下·河南新乡·期中）若，求的值． 题型12 使分式值为整数时未知数的整数值（共3小题） 【易错】分离常数，把分式拆成整式 + 真分式；只看分子是分母约数。漏掉正负因数；求出整数后不检验分母不为 0；容易多解漏解，忘记排除使分母为 0 的解。 34．（26-27八年级上·河北沧州·期中）已知，当时，分式无意义，当时，此分式的值为0． (1)求，的值； (2)当分式的值为正整数时，求出整数的值． 35．（2026·河北石家庄·一模）当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 36．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）阅读下面材料并解决有关问题：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)在①；②；③；④这些分式中，属于真分式的是_____；（填序号） (2)将假分式化成整式与真分式和的形式； (3)若假分式的值是整数，求整数x的值． 题型13 将分式的分子分母各项系数化为整数（共3小题） 【易错】分子分母同乘公倍数，每一项都要乘。只乘第一项，其余项漏乘；系数有负号时符号处理错误；小数、分数系数混用，乘完不化简，忽略最简要求。 37．（24-25七年级下·河北·期中）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 38．（25-26八年级上·北京·期中）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 39．（24-25八年级上·江西宜春·期中）不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数． (1)； (2)． 题型14 最简分式（共3小题） 【易错】分子分母没有公因式（多项式要先因式分解）。只看表面，不分解多项式；误把相同字母单项当成唯一判断标准；因式互为相反数时，不能正确识别可约分部分。 40．（25-26八年级下·四川巴中·期末）若、均不为0，将下列分式中的和都变为原来的2倍，分式的值保持不变的是（     ）． A． B． C． D． 41．（25-26八年级上·山西大同·期末）分式，，中，最简分式有（     ）个 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 42．（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤，是分式并且属于最简分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型15 分式的四则混合运算综合（共3小题） 【易错】遵循运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，括号优先。去括号符号出错；过早约分；加减不通分直接合并；最终结果没有化成最简分式或整式。 43．（26-27八年级上·山东济宁·期中）观察下列式子： ； ； ； 回答下列问题： (1)若为正整数，则可推断________，并证明此结论． (2)利用这一规律化简：． (3)化简：． 44．（26-27八年级上·北京通州·期中）下面是学习了分式混合运算后，甲、乙两名同学解答一道题目中第一步的做法，选择其中一名同学的做法，完成解答过程． 计算： 甲同学 解：原式 乙同学 解：原式 我选择________同学． 45．（26-27八年级上·山东淄博·期中）计算： (1)已知，求的值； (2) 题型16 已知分式恒等式确定分子或分母（共3小题） 【易错】左右通分后，对应项系数相等，恒等式对所有使分母有意义的 x 成立。随便代一个值就下定论；多项式展开出错；遗漏限制条件，系数对比出现计算错误。 46．（26-27八年级上·湖南永州·期中）若常数，满足，则（     ） A． B． C．2 D．3 47．（26-27九年级上·山东淄博·期中）若，则的值是___________． 48．（26-27八年级上·河北·单元复习）某数学兴趣小组探究了分式的一种特殊变形：分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形．例如：．这种变形方法叫作“分离常数法”．将分式分离常数，则，那么________． 题型17 分式化简求值综合（共3小题） 【易错】化简要完整，括号优先，求值前筛选可取的 x，避开分母为 0。自选数值时踩坑，选增根；整体代换不会变形；去括号符号出错，计算粗心导致结果错误。 49．（26-27八年级上·河北沧州·期中）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程，部分被污染和覆盖了． ， 当或时，结果都一样． (1)被“”污染的整式是______； (2)请写出完整的解答过程，并通过计算判断嘉嘉最后的结论是否正确． 50．（26-27九年级上·山东济宁·期中）先化简再求值：，选取一个合适的数代入计算． 51．（26-27八年级上·广西桂林·期中）先化简，再求值：，其中，． 题型18 分式的倒数问题（共3小题） 52．（25-26八年级上·山东聊城·期中）阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，求分式的值； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，求分式的值． 53．（25-26八年级上·北京西城·期中）已知（是正整数），叫作的平方差倒数．例如，叫作3的平方差倒数． (1)2的平方差倒数是________； (2)是的平方差倒数，求的值： (3)已知是某一正整数的平方差倒数（，是正整数），求的最小值． 54．（25-26八年级上·山东淄博·期末）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即 的值为的倒数，即 迁移应用：以上解法先将已知等式的两边取倒数，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，则的值为________． 题型19 根据分式方程解的情况求参问题（共3小题） 【易错】化为整式方程，区分 “解为正数 / 负数”，同时排除增根。只看整式方程解的正负，忘记分母≠0；不等号方向搞错；参数范围容易多写或少写边界。 55．（25-26八年级下·四川成都·期末）若关于的方程的解为正数，则的取值范围为__________． 56．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围为_____． 57．（25-26八年级下·安徽宿州·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为________． 题型20 分式方程的增根与无解问题（共3小题） 【易错】增根是去分母后整式方程的根，且让原分母为 0；无解包含两种：有增根、整式方程本身无解。混淆增根和无解；漏掉整式方程无解情况，分类讨论不全。 58．（26-27九年级上·四川资阳·期中）若关于x的分式方程无解，则m的值为________． 59．（25-26七年级下·浙江金华·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值为（     ） A． B． C．或 D．或 60．（2026·广东茂名·模拟预测）已知分式方程，请在下列三个条件中任意选择一个，求m的值． ①若方程有增根； ②若方程无解； ③若方程的解为1． 题型21 分式方程的实际应用综合（共3小题） 【易错】审题分清速度、工作效率等数量关系，检验方程解与现实合理性。等量关系颠倒；单位不统一；只检验方程，忽略实际场景，不符合题意的解不舍去。 61．（26-27八年级上·河北沧州·期中）一辆油电混合动力汽车从地到地，若纯燃油行驶时，所需费用为76元；若纯电行驶时，所需费用为26元．如果每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多元，则从地到地的距离为______千米． 62．（26-27八年级上·河北沧州·期中）开封汴绣是国家级非物质文化遗产，某商店计划购进汴绣手工挂件和汴绣机绣挂件进行销售． (1)用600元购进汴绣手工挂件的数量与用400元购进汴绣机绣挂件的数量相同，且每件手工挂件的进价比机绣挂件的进价高8元．求两种挂件每件的进价各是多少元？ (2)若该商店决定购进这两种挂件共25件，总费用不超过500元，其中手工挂件至少购进10件． ①该商店共有哪几种进货方案？ ②若汴绣手工挂件的售价为50元/件，汴绣机绣挂件的售价为38元/件，若挂件全部售出，如何进货使商店获利最多，最多是多少元？ 63．（26-27八年级上·河北沧州·期中）深州蜜桃是河北省深州市的特产，为中国国家地理标志产品，某蜜桃产销基地有甲、乙两个包装小组，甲组包装箱蜜桃与乙组包装箱蜜桃所用时间相等，乙组每天比甲组多包装箱，求甲组每天包装蜜桃的箱数．下面是嘉嘉和淇淇的解答过程： 嘉嘉的解答（全部）： 解：设甲组每天包装蜜桃x箱． 根据题意，得， 解这个方程，得． 答：甲组每天包装蜜桃箱． 淇淇的解答（部分）： 解：设甲组包装箱蜜桃所用时间为y天． (1)批阅过程中，嘉嘉被扣分了，你认为他被扣分的主要原因是 ； (2)批阅过程中，淇淇得到了满分，请在下面写出淇淇的解答过程． 题型22 分式方程的含参问题（共3小题） 64．（25-26八年级下·河南郑州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 例如：，则就是“和谐分式” (1)判断是否为“和谐分式”，并说明理由； (2)已知“和谐分式”的值为整数，且x为整数，求出所有符合条件的x的值． 65．（24-25九年级·浙江·自主招生）若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 66．（25-26八年级上·福建福州·期末）阅读下列材料： 材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设x+2＝t，则x＝t﹣2． ∴原式＝ ∴ 这样，分式就拆分成一个整式（x﹣5）与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当a＞0，b＞0时，∵ ∴当，即a＝b时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当﹣1＜x＜1时，求代数式的最大值 　 　． 题型23 分式方程的含参问题（共3小题） 67．（25-26九年级下·四川达州·期中）若分式方程无解，那么m的值应为_________． 68．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 69．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）定义：若分式与的和为（为正整数），则称分式、互为“阶分式”．例如：∵分式与的和为，∴分式与互为“阶分式”． (1)分式与互为“__________阶分式”； (2)设正数，互为倒数，为正整数，求证：分式与互为“阶分式”； (3)分式与互为“阶分式”，若为整数，则整数的值为__________ 题型24 分式方程的新定义问题（共3小题） 70．（25-26八年级下·河南南阳·期末）定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”，例如：，我们称是的“1差分式”． 解答下列问题： (1)分式是的“__________差分式”； (2)分式是分式的“3差分式”； ①__________（用含的代数式表示）； ②若和的值均为正整数，求的值． 71．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“差积和谐分式”例如：与，， ，是的“差积和谐分式”． (1)①分式________分式的“差积和谐分式”（填“是”或“不是”）； ②的“差积和谐分式”是________； (2)已知分式是分式的“差积和谐分式”， ①求分式；        ②求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． 72．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）定义：如果两个分式，则称A是B的“美好分式”，如分式，，，，则A是B的“美好分式”． (1)已知分式，，请判断C是否为D的“美好分式”，并说明理由： (2)已知分式（w为常数），，且E是F的“美好分式”，若关于x的方程对于任意的x值恒成立，求参数的值； (3)已知分式（为正整数），分式（为正整数），P是的“美好分式”，若，，，求出此时满足条件的值． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分式和分式方程（24大题型72题） 基础·固本强基 题型1 分式的判断 题型2 分式有无意义的条件 题型3 分式的求值 题型4 分式的基本性质 题型5 约分、通分 题型6 分式的四则运算 题型7 分式化简求值（重点） 题型8 解分式方程（重点） 题型9 根据分式方程解的情况求值（重点） 题型10 分式方程的实际应用（重点） 提升·进阶突破 题型11 分式的求值问题（重点） 题型12 使分式值为整数时未知数的整数值（重点） 题型13 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型14 最简分式 题型15 分式的四则混合运算综合（重点） 题型16 已知分式恒等式确定分子或分母 题型17 分式化简求值综合（重点） 题型18 分式的倒数问题（难点） 题型19 根据分式方程解的情况求参问题（难点） 题型20 分式方程的增根与无解问题（重点） 题型21 分式方程的实际应用综合 拔高·压轴破难 题型22 分式的求整问题（难点） 题型23 分式方程的含参问题（难点） 题型24 分式的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 分式的判断（共3小题） 1．（26-27八年级上·河北沧州·期中）若是分式，则可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：分式的分母需为含有字母的整式． ，，均为常数，作为分母时式子是整式，不符合要求； 是含有字母的整式，作为分母时式子是分式，符合要求． 2．（26-27八年级上·河北沧州·期中）在，，，，中，分式有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】是两个整式，且中含有字母，那么形如的式子叫做分式，据此可得答案． 【详解】解：在，，，，中，分式有，，共2个． 3．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）下列各式：，，，，，，，其中分式共有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】此题考查分式的定义，掌握分式的构成特点，特别是在分母中必须含有字母，即可正确判断． 形如的式子叫分式，其中A、B表示两个整式，B中含有字母，依此判断即可． 【详解】解：，，这三个式子，分母不含字母，都不是分式； ，，，这四个式子，分母含字母，都是分式； ∴分式共有4个， 故选：B． 题型2 分式有无意义的条件（共3小题） 【易错】分式有意义只需分母≠0，无意义为分母 = 0。不要看分子；多个因式分母要全部不等于 0；求取值范围容易漏写，解方程时分母等于 0 的解忘记排除。 4．（26-27八年级上·河北沧州·期中）使分式有意义的的取值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式有意义仅由分母是否为决定，与分子取值无关． 【详解】解：分式有意义需分母不为，即，解得． 5．（2026·河北张家口·一模）使有意义的的取值范围是（   ）． A． B． C．或 D．且 【答案】D 【分析】根据分式有意义的条件，即分式的分母不为零，同时除法运算中除数不为零，列出不等式得到的取值范围． 【详解】解：∵有意义， ∴，且， ∴且． 6．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）对于分式下列说法不正确的是（   ） A．时，分式值为 B．时，分式无意义 C．时，分式值为负数 D．时，分式的值为正数 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的值为、为正数、为负数、无意义的条件，解题的关键是熟知分式在分母为时无意义．根据分式的性质，分别代入的值计算分式的值或判断分式是否有意义即可． 【详解】解：∵ 当 时，，∴ A正确，故不符合题意； ∵ 当 时，分母 ，分式无意义，∴ B正确，故不符合题意； ∵ 当 时，，值为正数，∴ C不正确，故符合题意； ∵ 当 时，，值为正数，∴ D正确，故不符合题意． 故选：C． 题型3 分式的求值（共3小题） 【易错】代入求值前，先保证分式有意义，分母不能为 0。直接代入不检验，负数代入不加括号；负数乘方符号出错；根式代入时分母有理化遗漏，计算符号失误。 7．（2026年河北省秦皇岛市山海关区自主招生数学试题）若，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解 【详解】解： 当时，原式． 8．（25-26八年级上·山东泰安·期中）已知实数满足，则分式为__________． 【答案】 【分析】本题考查分式的求值，由已知条件，将所求分式的分子和分母同时除以，变形后代入已知条件计算．结合分式的基本性质进行恒等变形是解题的关键． 【详解】解：∵实数满足， ∴， ∴， 即分式为 故答案为 ． 9．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）已知，那么的值是_____． 【答案】 【分析】本题利用分式的基本性质，分子分母都除以，巧妙运用已知条件是解本题的关键，也是解本题的突破口． 根据分式的基本性质，分式的分子分母都除以，分式的值不变，再把换成1计算即可． 【详解】解：分式的分子分母都除以，得 ， ∵， ∴原式． 故答案为：． 题型4 分式的基本性质（共3小题） 【易错】分子分母同乘除同一个不为 0的整式。容易漏 “不为 0”；只乘分子或只乘分母；加减运算误用性质；符号变换时，只改一处符号，忽略分式整体符号规则。 10．（25-26八年级上·广东广州·期末）将分式中的、的值同时扩大倍，则分式的值（　　） A．扩大倍 B．缩小到原来的 C．保持不变 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：将分式中的、的值同时扩大倍为， 即分式的值保持不变， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 11．（25-26八年级下·四川成都·期中）若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意将扩大后的x，y代入分式，化简后结合原分式的值即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 将x，y都扩大3倍后，得到新分式： ． 12．（25-26八年级上·河北邢台·期末）根据分式的基本性质，下列变形一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据“分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变”这一性质，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．当时，的分母为，分式无意义，故该变形不一定正确，不符合题意， B．的分子分母分别平方，并非同时乘同一个不为的整式，故变形错误，不符合题意， C．的分子分母同时加，不符合分式基本性质，故变形错误，不符合题意． D．∵中（否则原式无意义），∴，故变形正确，符合题意． 题型5 约分、通分（共3小题） 【易错】约分先因式分解，只能约因式，不能约单独项；通分找最简公分母。常直接约多项式里面单项；符号处理出错；漏看互为相反数因式，最简公分母找不全。 13．（26-27八年级上·河北邢台·期中）化简时，应约去的分子分母的公因式是________． 【答案】 【分析】分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低次幂，两者乘积即为分子分母的公因式． 【详解】解：∵ 分子为，分母为， 先确定系数部分：和的最大公约数是， 对字母：分子中的次数为，分母中的次数为，取最低次幂， 对字母：分子中的次数为，分母中的次数为，取最低次幂， 仅出现在分子中，不纳入公因式， ∴ 分子分母的公因式为． 14．（25-26八年级上·北京·期中）通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)，， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的通分，掌握分式的最简公分母的计算是关键． 最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫做最简公分母，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化为同分母的分式的过程，叫作分式的通分，由此即可求解． （1）最简公分母是，结合分式的性质通分即可； （2）最简公分母是，结合分式的性质通分即可； （3）最简公分母是，结合分式的性质通分即可； （4）最简公分母是，结合分式的性质通分即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，，； （3）解： ，； （4）解： ，． 15．（24-25七年级下·河北·期中）对分式通分以后，的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了通分，掌握通分的定义即通分：将异分母分式转化成同分母的分式是解题的关键． 根据通分的定义就是将异分母分式转化成同分母的分式，即可得出答案． 【详解】解：∵分式的最简公分母是， ∴通分以后， 故选：B． 题型6 分式的四则运算（共3小题） 【易错】乘除先因式分解再约分，加减先通分。加减时漏给分子加括号；运算顺序搞错，先算加减再算乘除；符号容易出错，结果没有化为最简分式。 16．（25-26八年级上·河北衡水·期末）计算：的结果是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的混合运算，先计算乘法部分，再合并同分母分式，最后约分简化． 【详解】解： ． 故选：D． 17．（2025·湖南长沙·模拟预测）化简： 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简运算，解题关键是熟练掌握分式的通分、因式分解以及分式的乘除法法则．先算括号里的加减，再算乘除进行化简即可． 【详解】解：原式 ． 18．（25-26八年级上·河北·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查分式的加减乘除混合运算，提公因式，平方差公式，掌握知识点是解题的关键． （1）括号里应用分式的减法运算法则，平方差公式化简，再用分式乘除运算法则，最后约分即可； （2）括号里应用分式的减法运算法则，提公因式化简，再用分式乘除运算法则，最后再根据减法法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 题型7 分式化简求值（共3小题） 【易错】化简和代入两步分开，先化简后代入；代入值必须保证原式分母不为 0。直接代入原式计算；所选数值让分母等于 0；括号去掉时符号出错，结果不化简。 19．（25-26八年级上·河北唐山·期中）先化简，再求值，其中 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值；同分母分式相加，分母不变，分子相加即可，再将代入求值． 【详解】解： ∵， ∴原式． 20．（25-26七年级上·上海·期末）先化简，再求值： ，其中 ． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则是解题关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 21．（25-26八年级上·山东泰安·期中）先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则以及分式有意义的条件． 先化简分式，通过通分和乘法运算得到最简形式，再根据取值范围选择合适的整数代入求值，注意分母不为零的条件． 【详解】解： ∵ ， ∴整数 的值为 ， 又∵ 且（分母不为零）， ∴ ， ∴原式． 题型8 解分式方程（共3小题） 【易错】去分母时，常数项也要乘最简公分母；必须检验。漏乘不含分母的项；忘记验根，增根当成解；移项变号出错；整式方程求解错误，漏掉检验步骤。 22．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查解分式方程，掌握好分式方程的解法是关键． （1）将分式方程转化为一元一次方程，并按照一元一次方程的解法进行计算即可； （2）将分式方程转化为一元一次方程，并按照一元一次方程的解法进行计算即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘，得， 解得：． 经检验，为原分式方程的解． （2）解：， 方程两边同乘，得， 解得：． 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 23．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）解分式方程 (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键； （1）先去分母，然后求解方程即可； （2）先去分母，然后再求解方程即可． 【详解】（1）解： ， ， 经检验：当时，， ∴原方程无解； （2）解： ， ， ， ， 经检验：当时，， ∴原方程的解为． 24．（25-26八年级上·云南昆明·期末）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是利用“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根． （1）分式方程两边乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． （2）分式方程两边乘以，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解： 解得， 经检验，是原方程的解， 所以原方程的解为； （2）解： 解得， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 题型9 根据分式方程解的情况求值（共3小题） 【易错】先解整式方程，再结合解的限制条件。容易忽略分母不为 0；只看整式方程解，不排除增根；列式不等关系写错，取值范围考虑不全面，漏限制条件。 25．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）已知是分式方程的解，那么的值为（        ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是分式方程的解的含义，将代入分式方程，直接求解m的值. 【详解】解：∵ 是方程的解， ∴ ， 即， ∴ ， 移项得： ， ∴. 故选：C 26．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的解、解一元一次方程等知识点，掌握分式方程的解是使分式方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：将代入可得：， 解得：． 故选：A． 27．（24-25八年级下·河南南阳·期中）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程有增根，求a的值； (2)若分式方程的解为非负数，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，表示出x，再根据分式方程有增根时分母为0，从而求出x的值，再列出关于a的方程，解方程即可； （2）根据分式方程的解是非负数和分式的分母不能为0，列出关于a的不等式组，解不等式组，求出答案即可． 本题主要考查了分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的一般步骤． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ∵分式方程有增根， ∴， 解得：， ∴， ， ， ； （2）解：∵分式方程的解为非负数， ∴， 由①得：， ， ， 由②得：， ， ， ∴a的取值范围是：且． 题型10 分式方程的实际应用（共3小题） 【易错】找准等量关系，设未知数，单位统一；解完双重检验：方程检验 + 实际意义检验。等量关系列反；忘记检验；解出负数、不符合题意的值不舍去。 28．（25-26八年级上·河北承德·期中）《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？快马每天行进多少百里？ 【答案】规定时间是7天，快马每天行进百里 【分析】本题考查分式方程的应用，设规定的时间为x天，根据“慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍”列方程即可． 【详解】解：设规定的时间是x天， 根据题意可列方程为：， 解得， 经检验，是原方程的解， ； ， 答：规定时间是7天，快马每天行进百里． 29．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）某政府计划购置如下图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如下表． 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000元 花费：30000元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共6个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价不变，如果此次加购政府预备支出不超过37000元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为5000元/个，双枪新能源充电桩的价格为7500元/个 (2)政府最少需要购买单枪新能源充电桩4个 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个列出分式方程求解即可； （2）先分别求出两种充电桩调价后的单价，设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元，再根据此次加购政府预备支出不超过37000元，列出不等式求解，并取最小整数解，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， (元)， ∴单枪新能源充电桩的价格为5000元/个，双枪新能源充电桩的价格为7500元/个； （2）解：∵单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了， 则现在单枪新能源充电桩的单价为(元/个)， 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个， 总花费为元， ∵此次加购政府预备支出不超过37000元， ∴， 解得， ∴a的最小值为4， 则政府最少需要购买单枪新能源充电桩4个． 30．（24-25八年级下·陕西西安·期末）米脂小米历史悠久，品质优良，有防止消化不良等功效．某粮油超市计划购进两种包装的米脂小米进行销售，已知每袋种包装的米脂小米的进价比每袋种包装的米脂小米的进价多10元，用150元购进种包装的米脂小米袋数与用100元购进种包装的米脂小米袋数相同． (1)求两种包装的米脂小米进价分别是多少元/袋？ (2)若该粮油超市计划购进两种包装的米脂小米共20袋，且总花费不超过480元，请你计算该粮油超市最多能购进种包装的米脂小米多少袋？ 【答案】(1)种包装的米脂小米进价是30元/袋，种包装的米脂小米进价是20元/袋 (2)该粮油超市最多能购进种包装的米脂小米8袋 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设种包装的米脂小米进价是元/袋，则种包装的米脂小米进价是元/袋，结合题意列出分式方程，再解方程，最后验根，即可作答． （2）根据题意，设该粮油超市购进种包装的米脂小米袋，再出不等式，进行解不等式，即可作答． 【详解】（1）解：设种包装的米脂小米进价是元/袋，则种包装的米脂小米进价是元/袋． 根据题意可得， 解得， 经检验：，，故是原方程的解 ， 种包装的米脂小米进价是30元/袋，种包装的米脂小米进价是20元/袋． （2）解：设该粮油超市购进种包装的米脂小米袋， 根据题意可得， 解得， 该粮油超市最多能购进种包装的米脂小米8袋． 提升·进阶突破 题型11 分式的求值问题（共3小题） 【易错】整体代入优先，不单独求未知数；注意隐含分母不为 0 条件。强行单独求解未知数；变形时等式两边随意乘含字母式子；符号处理失误，忽略取值限制。 31．（26-27八年级上·河北衡水·期中）已知，则的值是________ 【答案】/ 【分析】利用整体代入法，对所求分式变形，结合完全平方公式计算即可，无需单独求解的值． 【详解】解：先求所求分式的倒数：， 根据完全平方公式变形得：， 将代入得：， 因此， 两边取倒数得：． 32．（25-26八年级上·山东泰安·期中）阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． 的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减法，倒数，理解例题的思路是解题的关键． （1）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可． 【详解】（1）解：， ，即， ， ； （2）， ，即， ， ， ． 33．（24-25八年级下·河南新乡·期中）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，分式的求值． 由等式的性质得到，进而计算即可． 【详解】解：由得， ． 题型12 使分式值为整数时未知数的整数值（共3小题） 【易错】分离常数，把分式拆成整式 + 真分式；只看分子是分母约数。漏掉正负因数；求出整数后不检验分母不为 0；容易多解漏解，忘记排除使分母为 0 的解。 34．（26-27八年级上·河北沧州·期中）已知，当时，分式无意义，当时，此分式的值为0． (1)求，的值； (2)当分式的值为正整数时，求出整数的值． 【答案】(1) ， (2) 整数的值为， 【分析】（1）根据分式无意义和值为0的条件列方程求解，的值； （2）代入，化简分式，结合正整数和整数的条件，分析分母的正约数求解． 【详解】（1）解：∵当时，分式无意义， ∴此时分母， 将代入，得 ， 解得； ∵当时，分式的值为0， ∴此时分子，且分母， 将代入分子，得 ， 解得， 将，代入分母， 得，符合条件， ∴，； （2）解：将，代入，得， ∵分式的值为正整数，为整数， ∴，，且为整数， ∵分子， ∴，即是的正约数， ∴或， 当时，； 当时，， 综上所述，整数的值为，． 35．（2026·河北石家庄·一模）当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 【答案】C 【分析】先确定x的取值范围，再根据分式有意义的条件排除无意义的取值，化简分式后根据结果为整数的条件分析计算，即可得到最终结果． 熟练掌握分式的值为整数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义． 【详解】解：由题意得，x是不超过6的正整数，因此x的可能取值为， 又， ∵分式有意义时，分母不为0， ∴， 得且，排除， ∵分式结果为整数， ∴为整数， 又x是正整数， 因此x是3的正因数， 或， 又由分式有意义的条件可知， ， 代入化简后的分式得， 因此分式的整数值是． 36．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）阅读下面材料并解决有关问题：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)在①；②；③；④这些分式中，属于真分式的是_____；（填序号） (2)将假分式化成整式与真分式和的形式； (3)若假分式的值是整数，求整数x的值． 【答案】(1)③ (2)2+ (3)整数x的值为或或或． 【分析】本题考查了分式的性质、分式的加减运算，理解题中的定义和转化方法是解答的关键． （1）直接根据真分式的定义判断即可； （2）仿照例题进行转化即可； （3）根据题意只需是整数，进而求解或即可． 【详解】（1）根据真分式的定义，属于真分式的是③． 故答案为：③； （2）解：； （3）解：由（2），得， ∵假分式的值是整数， ∴是整数． ∴或． ∴或或或． ∴整数x的值为或或或． 题型13 将分式的分子分母各项系数化为整数（共3小题） 【易错】分子分母同乘公倍数，每一项都要乘。只乘第一项，其余项漏乘；系数有负号时符号处理错误；小数、分数系数混用，乘完不化简，忽略最简要求。 37．（24-25七年级下·河北·期中）不改变分式的值，将下列分式的分子与分母的第一项的系数化为正数，且各项系数不是整数的要化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． （1）将分式的分子分母同乘以即可得； （2）将分式的分子分母同乘以即可得． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 38．（25-26八年级上·北京·期中）不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据分式的基本性质解答即可； （）根据分式的基本性质解答即可； 本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 39．（24-25八年级上·江西宜春·期中）不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式基本性质是关键． （1）根据分式分子分母中小数最多是两位小数，由分式基本性质，分式分子分母都乘100即可； （2）分子、分母的最小公倍数都为6，分式的分子分母都乘6即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型14 最简分式（共3小题） 【易错】分子分母没有公因式（多项式要先因式分解）。只看表面，不分解多项式；误把相同字母单项当成唯一判断标准；因式互为相反数时，不能正确识别可约分部分。 40．（25-26八年级下·四川巴中·期末）若、均不为0，将下列分式中的和都变为原来的2倍，分式的值保持不变的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将、分别替换为原来的2倍，代入各选项化简后，与原分式对比，即可判断分式值是否改变. 【详解】解：将换为，换为，依次化简判断： A、，分式值改变，不符合题意； B、，分式值改变，不符合题意； C、，替换后与原分式相等，分式值不变，符合题意； D、，分式值改变，不符合题意． 41．（25-26八年级上·山西大同·期末）分式，，中，最简分式有（     ）个 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】逐个判断每个分式的分子分母是否存在公因式，统计最简分式的个数即可． 【详解】解：最简分式的定义为：分子与分母没有公因式的分式，逐个判断如下： 对于，分子与分母没有公因式，因此是最简分式． 对于，分子分母有公因式，约分后为，因此不是最简分式． 对于，对分母因式分解得，分子分母有公因式，约分后为，因此不是最简分式． 综上，最简分式共个． 42．（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤，是分式并且属于最简分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义，最简分式的判断． 判断每个表达式是否为分式且是否为最简分式即可． 【详解】解：①，不是最简分式； ②，不是最简分式； ③，分子与分母无公因式，是最简分式； ④，分母是常数，无变量，不是分式； ⑤，分子与分母无公因式，是最简分式； 综上，是分式且是最简分式的有③和⑤，共2个． 故选：A． 题型15 分式的四则混合运算综合（共3小题） 【易错】遵循运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，括号优先。去括号符号出错；过早约分；加减不通分直接合并；最终结果没有化成最简分式或整式。 43．（26-27八年级上·山东济宁·期中）观察下列式子： ； ； ； 回答下列问题： (1)若为正整数，则可推断________，并证明此结论． (2)利用这一规律化简：． (3)化简：． 【答案】(1) 证明：∵ 右边 ∴ 右边 = 左边，结论成立． (2) (3) 【分析】（1）根据已知等式规律归纳裂项公式，通过分式通分运算证明结论； （2）利用裂项规律拆分分式，抵消中间项后化简； （3）将分子拆分为分母两因式的和，裂项后通过正负抵消化简． 【详解】（1）略 （2）解：原式 ． （3）解：∵，，， ∴原式 ． 44．（26-27八年级上·北京通州·期中）下面是学习了分式混合运算后，甲、乙两名同学解答一道题目中第一步的做法，选择其中一名同学的做法，完成解答过程． 计算： 甲同学 解：原式 乙同学 解：原式 我选择________同学． 【答案】解：选择甲同学，解答过程如下：（选择一名同学的做法即可） 原式 ． 选择乙同学，解答过程如下： 原式 ． 【分析】选择甲同学，解答过程为：先计算括号内的减法，再计算乘法即可；选择乙同学，解答过程为：先运用乘法分配律计算，再计算减法即可． 【详解】略． 45．（26-27八年级上·山东淄博·期中）计算： (1)已知，求的值； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先通分化简代数式，再由得出，然后将代入化简后的代数式求解即可； （2）分式混合运算，应先算括号里面，再算除法；除法变乘法，因式分解后约分求解即可． 【详解】（1）解： ， 由得，把代入原式得 原式； （2）解： ． 题型16 已知分式恒等式确定分子或分母（共3小题） 【易错】左右通分后，对应项系数相等，恒等式对所有使分母有意义的 x 成立。随便代一个值就下定论；多项式展开出错；遗漏限制条件，系数对比出现计算错误。 46．（26-27八年级上·湖南永州·期中）若常数，满足，则（     ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】对等式右侧分式通分，对比分子一次项系数可直接求得的值． 【详解】解：， ∴ 对等式右侧通分，得， ∵ 等式两边分式分母相同且等式成立， ∴ 分子对应相等，即， 由多项式相等对应项系数相等，得． 47．（26-27九年级上·山东淄博·期中）若，则的值是___________． 【答案】8 【分析】根据题意将等号右面通分得出方程组，然后求解计算即可． 【详解】解：， ， 即， 解得， ． 48．（26-27八年级上·河北·单元复习）某数学兴趣小组探究了分式的一种特殊变形：分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形．例如：．这种变形方法叫作“分离常数法”．将分式分离常数，则，那么________． 【答案】2 【分析】利用分式相等的性质，分母相同时分式相等则分子相等，展开等式后对比系数求解． 【详解】解：∵ 分母，两个分式相等，分子对应相等， ∴ ， 展开等式右边得， 消去两边的，得， 移项计算得． 题型17 分式化简求值综合（共3小题） 【易错】化简要完整，括号优先，求值前筛选可取的 x，避开分母为 0。自选数值时踩坑，选增根；整体代换不会变形；去括号符号出错，计算粗心导致结果错误。 49．（26-27八年级上·河北沧州·期中）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程，部分被污染和覆盖了． ， 当或时，结果都一样． (1)被“”污染的整式是______； (2)请写出完整的解答过程，并通过计算判断嘉嘉最后的结论是否正确． 【答案】(1) (2)解： ， 当时，原式， 当时，原式， ∵， ∴嘉嘉的结论不正确． 【分析】将分式进行化简即可； 化简分式，然后代入求值，进行比较即可． 【详解】（1）解：被“”污染的整式是； （2）略 50．（26-27九年级上·山东济宁·期中）先化简再求值：，选取一个合适的数代入计算． 【答案】； 【详解】解： ， ∵， ∴取，原式． 51．（26-27八年级上·广西桂林·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】将除法转化为乘法约分，再合并分式得到最简式，代入数值计算即可求解． 【详解】解：原式 将，代入得： 原式． 题型18 分式的倒数问题（共3小题） 52．（25-26八年级上·山东聊城·期中）阅读理解：著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料1：已知，求分式的值． 解：∵， ∴， ∴． 解析：这道题在解题过程中利用了倒数，所以可以讲这种方法称为倒数法． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 解析：这种方法可以称为分离常数法． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，求分式的值； (2)若分式的值为整数，求整数b的值； (3)已知，求分式的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握倒数法和分离常数法是解题的关键． （1）求出的结果，再利用倒数法即可得到答案； （2）先利用分离常数法把变形为，则由题意可得为整数，则或，解之即可得到答案； （3）利用分离常数法把为，据此可求出，再利用倒数法即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解： ， ∵分式的值为整数， ∴为整数，即为整数， 又∵ ∴或， ∴或； （3）解：∵ ∴ ， ∴． 53．（25-26八年级上·北京西城·期中）已知（是正整数），叫作的平方差倒数．例如，叫作3的平方差倒数． (1)2的平方差倒数是________； (2)是的平方差倒数，求的值： (3)已知是某一正整数的平方差倒数（，是正整数），求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了对平方差倒数的理解，完全平方公式的应用、分式方程的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新定义平方差倒数，直接求解，即可解题； （2）根据“是的平方差倒数，”结合平方差倒数概念建立分式方程求解，即可解题； （3）利用新定义因式分解化简求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴2的平方差倒数是， 故答案为：； （2）解：∵是的平方差倒数， ∴， ∴， 去分母，得， 解得， 经检验，是该方程的解， 此时； （3）解：∵是某一正整数的平方差倒数（，是正整数）， 设这一正整数为n, ∴， ∴， 即， 去分母，得， ， ∵a，b，n为正整数， ∴， ∴要使的值最小，需使为最小的完全平方数． ∵n为正整数， ∴，． ∴的最小值为25，此时， ∴的最小值为10． 54．（25-26八年级上·山东淄博·期末）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即 的值为的倒数，即 迁移应用：以上解法先将已知等式的两边取倒数，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法、倒数，理解例题的思路是解题的关键；已知等式取倒数，求出 的值，再求待求式子的倒数，利用完全平方公式变形求解． 【详解】解：由 ，， ∴ ， 即 ， ∴， ∴ ， ∴待求式 的倒数为 ， 故 ． 故答案为：． 题型19 根据分式方程解的情况求参问题（共3小题） 【易错】化为整式方程，区分 “解为正数 / 负数”，同时排除增根。只看整式方程解的正负，忘记分母≠0；不等号方向搞错；参数范围容易多写或少写边界。 55．（25-26八年级下·四川成都·期末）若关于的方程的解为正数，则的取值范围为__________． 【答案】，且 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到用含的式子表示的，再根据解为正数、分母不为两个条件列不等式求解． 【详解】解： ， 方程的解为正数 ，即， 解得， 分式方程分母不为， ， 即， 解得， 的取值范围是，且． 56．（25-26八年级下·宁夏银川·期末）已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围为_____． 【答案】 且 【分析】先将分式方程化为整式方程，得到x关于k的表达式，再根据解为负数，结合分式方程有意义的条件（分母不为0）求解k的取值范围即可． 【详解】解：给分式方程两边同乘， 化为整式方程得 ， 展开整理得 ，解得， ∵分式方程的解为负数， ∴，得， 又∵分式方程中分母不为0，即， ∴，得， ∴k的取值范围为且． 57．（25-26八年级下·安徽宿州·期末）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为________． 【答案】 且 【分析】先求出分式方程的解，结合为正数且，求出的取值范围． 【详解】解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， ∵为正数，且， ∴，且， ∴且． 题型20 分式方程的增根与无解问题（共3小题） 【易错】增根是去分母后整式方程的根，且让原分母为 0；无解包含两种：有增根、整式方程本身无解。混淆增根和无解；漏掉整式方程无解情况，分类讨论不全。 58．（26-27九年级上·四川资阳·期中）若关于x的分式方程无解，则m的值为________． 【答案】或 【分析】分式方程无解包含两种情况，一是去分母后得到的整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分情况计算即可得到的值． 【详解】解：原方程为， 方程两边同乘最简公分母，得， 展开整理得， 分两种情况讨论： ∵当整式方程无解时，一次项系数为，常数项不为，方程不成立， ∴， 解得，此时原方程无解，符合要求； ∵当整式方程有解，解为原方程的增根时，原方程无解，原分式方程的增根是使分母为的值，即， 把代入，得， 解得，此时是增根，原方程无解，符合要求． 综上所述，的值为或． 59．（25-26七年级下·浙江金华·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分式方程无解包含两种情况，一是去分母后的整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，本题先将分式方程化为整式方程，再结合无解的条件计算的值． 【详解】解：方程两边同乘得， 解得， ，是整式方程，始终有解， ∴当或时，原方程分母为零，无解． 令，则，解得； 令，则，解得． ∴或时，原方程无解． 60．（2026·广东茂名·模拟预测）已知分式方程，请在下列三个条件中任意选择一个，求m的值． ①若方程有增根； ②若方程无解； ③若方程的解为1． 【答案】①；②或2；③12 【分析】①根据方程增根的情况求解即可；②根据题意得出，再由方程无解求解即可；③将代入原方程求解即可． 【详解】解：①去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 解得：； ②方程两边同时乘以，得， ， 方程无解， 或， 或， 或2； ③将代入原方程得， 解得：， m的值为12． 题型21 分式方程的实际应用综合（共3小题） 【易错】审题分清速度、工作效率等数量关系，检验方程解与现实合理性。等量关系颠倒；单位不统一；只检验方程，忽略实际场景，不符合题意的解不舍去。 61．（26-27八年级上·河北沧州·期中）一辆油电混合动力汽车从地到地，若纯燃油行驶时，所需费用为76元；若纯电行驶时，所需费用为26元．如果每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多元，则从地到地的距离为______千米． 【答案】 【分析】设A地到B地的距离为未知数，根据每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多元建立等量关系，列分式方程求解即可． 【详解】解：设从地到地的距离为千米， 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴从地到地的距离为千米． 62．（26-27八年级上·河北沧州·期中）开封汴绣是国家级非物质文化遗产，某商店计划购进汴绣手工挂件和汴绣机绣挂件进行销售． (1)用600元购进汴绣手工挂件的数量与用400元购进汴绣机绣挂件的数量相同，且每件手工挂件的进价比机绣挂件的进价高8元．求两种挂件每件的进价各是多少元？ (2)若该商店决定购进这两种挂件共25件，总费用不超过500元，其中手工挂件至少购进10件． ①该商店共有哪几种进货方案？ ②若汴绣手工挂件的售价为50元/件，汴绣机绣挂件的售价为38元/件，若挂件全部售出，如何进货使商店获利最多，最多是多少元？ 【答案】(1) 汴绣手工挂件每件进价为24元，汴绣机绣挂件每件进价为16元 (2) ①共有3种进货方案： 方案1：购进手工挂件10件，机绣挂件15件； 方案2：购进手工挂件11件，机绣挂件14件； 方案3：购进手工挂件12件，机绣挂件13件； ②购进手工挂件12件、机绣挂件13件时商店获利最多，最多利润为598元 【分析】（1）以“600元购进手工挂件的数量与400元购进机绣挂件的数量相同”为等量关系，列分式方程即可求解进价； （2）①设购进手工挂件件，根据总费用不超过500元、手工挂件至少购进10件列不等式组，结合正整数解确定进货方案；②根据①中所得方案分别计算总利润，再比较即可． 【详解】（1） 解：设汴绣机绣挂件每件进价为元，则手工挂件每件进价为元，由题意得 ， 解得， 检验：当时，，故是原方程的解，且符合题意， ； 答：汴绣手工挂件每件进价为24元，汴绣机绣挂件每件进价为16元； （2）解：①设购进手工挂件件，则购进机绣挂件件， 由题意得 ， 解得， ∵为正整数， 可取10，11，12， 对应的值为15，14，13， 共有3种进货方案： 方案1：购进手工挂件10件，机绣挂件15件； 方案2：购进手工挂件11件，机绣挂件14件； 方案3：购进手工挂件12件，机绣挂件13件； ②每件手工挂件利润为（元），每件机绣挂件利润为（元）， 方案1：购进手工挂件10件，机绣挂件15件，总利润为（元）； 方案2：购进手工挂件11件，机绣挂件14件，总利润为（元）； 方案3：购进手工挂件12件，机绣挂件13件，总利润为（元）； ． 答：购进手工挂件12件，机绣挂件13件时商店获利最多，最多利润为598元． 63．（26-27八年级上·河北沧州·期中）深州蜜桃是河北省深州市的特产，为中国国家地理标志产品，某蜜桃产销基地有甲、乙两个包装小组，甲组包装箱蜜桃与乙组包装箱蜜桃所用时间相等，乙组每天比甲组多包装箱，求甲组每天包装蜜桃的箱数．下面是嘉嘉和淇淇的解答过程： 嘉嘉的解答（全部）： 解：设甲组每天包装蜜桃x箱． 根据题意，得， 解这个方程，得． 答：甲组每天包装蜜桃箱． 淇淇的解答（部分）： 解：设甲组包装箱蜜桃所用时间为y天． (1)批阅过程中，嘉嘉被扣分了，你认为他被扣分的主要原因是 ； (2)批阅过程中，淇淇得到了满分，请在下面写出淇淇的解答过程． 【答案】(1)解分式方程没有验根 (2)设甲组包装箱蜜桃所用时间为y天， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， （箱） 答：甲组每天包装蜜桃箱． 【分析】（1）分式方程一定要检验根； （2）根据题意列分式方程并求解． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】分式方程一定要验根． 题型22 分式方程的含参问题（共3小题） 64．（25-26八年级下·河南郑州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 例如：，则就是“和谐分式” (1)判断是否为“和谐分式”，并说明理由； (2)已知“和谐分式”的值为整数，且x为整数，求出所有符合条件的x的值． 【答案】(1)是“和谐分式”，理由见解析 (2)所有符合条件的的值为 【分析】（1）根据题意进行变形即可； （2）根据题意可得和，进而得出答案． 【详解】（1）解： ， 所以，能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 因此，是“和谐分式”； （2）解： ， 因为“和谐分式”的值为整数，且x为整数，所以必是整数，即是3的整数因数， ∵3的整数因数是和， ∴和， ∴． 65．（24-25九年级·浙江·自主招生）若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，将化简为，是解题的关键． 将分式变形为，得出的值为整数，只需为整数即可，然后分别求出x的值即可． 【详解】解： ， 若要的值为整数，只需为整数即可，可以是， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知，分式的值为整数．满足条件的的个数共有8个， 故答案为：D． 66．（25-26八年级上·福建福州·期末）阅读下列材料： 材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设x+2＝t，则x＝t﹣2． ∴原式＝ ∴ 这样，分式就拆分成一个整式（x﹣5）与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当a＞0，b＞0时，∵ ∴当，即a＝b时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当﹣1＜x＜1时，求代数式的最大值 　 　． 【答案】(1) (2)0或1 (3)-1 【分析】（1）仿照题意求解即可； （2）先仿照题意求出，再根据分式的值为整数进行求解即可； （3）设，则，仿照题意得到原分式，据此仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴ ， ∴； （2）解：设，则， ∴ ， ∴， ∵的值为整数， ∴的值为±4或±2或±1， 又∵x为整数， ∴x的值为0或1； （3）解：设，则， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当，即时，的最小值为2， ∴原分式的最大值为， 故答案为：-1． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键． 题型23 分式方程的含参问题（共3小题） 67．（25-26九年级下·四川达州·期中）若分式方程无解，那么m的值应为_________． 【答案】 【分析】先解分式方程得出，再根据分式方程无解，得出，即，由此计算即可得出结果． 【详解】解：去分母，得， 整理，得， ∴． ∵分式方程无解， ∴，即． ∴． 68．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（     ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】分式方程的增根是化为整式方程后，使原分式方程分母为零的根，先确定增根的可能取值，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出m的值． 【详解】解：原方程为，方程的最简公分母为， 原方程有增根， ， 令或， 解得或 原方程两边同乘去分母得： 整理得： 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 的值为或． 69．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）定义：若分式与的和为（为正整数），则称分式、互为“阶分式”．例如：∵分式与的和为，∴分式与互为“阶分式”． (1)分式与互为“__________阶分式”； (2)设正数，互为倒数，为正整数，求证：分式与互为“阶分式”； (3)分式与互为“阶分式”，若为整数，则整数的值为__________ 【答案】(1) (2)证明：∵，互为倒数， ∴， ∴， ， ∴分式与互为“阶分式”． (3) 或 【分析】（1）将两个分式求和，根据结果判断即可； （2）由倒数的意义可得，再与求和即可； （3）根据题意可得分式方程，求解得，结合整数的性质可得或，排除其中无意义的根即可． 【详解】（1）解：， ∴分式与互为“阶分式”； （2）略 （3）解：∵分式与互为“阶分式”， ∴， 解得， ∵、都是整数， ∴是的因数，即或， 当时，，，原分式无意义，故舍去； 当时，，，符合题意； 当时，，，原分式无意义，故舍去； 当时，，，符合题意； 综上所述，或． 题型24 分式方程的新定义问题（共3小题） 70．（25-26八年级下·河南南阳·期末）定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”，例如：，我们称是的“1差分式”． 解答下列问题： (1)分式是的“__________差分式”； (2)分式是分式的“3差分式”； ①__________（用含的代数式表示）； ②若和的值均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2)① ② 【分析】（1）计算出的结果即可得到答案； （2）①根据题意可得，据此去分母求解即可；②由（2）①可得，根据和的值均为正整数求出x的值即可求出A的值． 【详解】（1）解：， ∴分式是的“4差分式”； （2）解：①∵分式是分式的“3差分式”， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由（2）①得， ∵和的值均为正整数， ∴是正整数， ∴或或或， ∴或（舍去）或（舍去）或（舍去）， ∴． 71．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“差积和谐分式”例如：与，， ，是的“差积和谐分式”． (1)①分式________分式的“差积和谐分式”（填“是”或“不是”）； ②的“差积和谐分式”是________； (2)已知分式是分式的“差积和谐分式”， ①求分式；        ②求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． 【答案】(1)①不是；② (2)①；②当整数，1或3时，分式的值分别是2，6或4 【分析】（1）①根据“差积和谐分式”的定义判断即可；②设的“差积和谐分式”是，再结合“差积和谐分式”的定义计算即可得出结果； （2）①根据“差积和谐分式”的定义计算即可得出结果；②由①可得，再结合正整数的定义求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴分式不是分式的“差积和谐分式”； ②设的“差积和谐分式”是， 由题意得， ∴， ∴， ∴； 即的“差积和谐分式”是 （2）解：①根据题意得， ， ， ； ②， 当整数，，1或3时，分式的值分别是2，，6或4． ∵分式的值是正整数， 当整数，1或3时，分式的值分别是2，6或4． 72．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）定义：如果两个分式，则称A是B的“美好分式”，如分式，，，，则A是B的“美好分式”． (1)已知分式，，请判断C是否为D的“美好分式”，并说明理由： (2)已知分式（w为常数），，且E是F的“美好分式”，若关于x的方程对于任意的x值恒成立，求参数的值； (3)已知分式（为正整数），分式（为正整数），P是的“美好分式”，若，，，求出此时满足条件的值． 【答案】(1) 解：是，理由如下： 根据题意得：， ∴C是D的“美好分式”； (2)，， (3) 【分析】题目主要考查分式的加减运算，新定义的理解，含参数的方程，理解新定义是解题关键． （1）根据定义求解判断即可； （2）根据题意得出，确定，再由题意得出，即可求解； （3）根据题意得出，确定，得出，，代入化简确定，得出，，再结合题意求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵分式（w为常数），，且E是F的“美好分式”， ∴， ∴， ∵关于x的方程对于任意的x值恒成立， ∴， ∴， ∴， 解得，； 综上，，，； （3）∵分式（为正整数），分式（为正整数），P是的“美好分式”， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴，， ∴，， 代入得： ， 整理得， 解得， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， ∵为正整数， ∴为3的正约数， ∴或， 解得（不符合题意，舍去）或， ∴综上，． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $