专题02 全等三角形21大题型63题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材冀教版

专题02 全等三角形（21大题型63题） 基础·固本强基 题型1 命题与证明 题型2 全等图形 题型3 全等三角形的概念 题型4 全等三角形的性质 （重点） 题型5 全等三角形的判定 （重点） 题型6 全等三角形的判定与性质结合 （重点） 题型7 添加条件证明三角形全等 题型8 三角形的尺规作图问题 提升·进阶突破 题型9 命题与证明综合 题型10 网格中的全等三角形问题 题型11 全等三角形的性质综合 （重点） 题型12 全等三角形的判定综合 （重点） 题型13 结合尺规作图的全等三角形问题 题型14 倍长中线模型 （重点） 题型15 旋转模型 （重点） 题型16 一线三等角模型 （重点） 题型17 全等三角形的综合（重点） 拔高·压轴破难 题型18 全等三角形的动点问题（难点） 题型19 全等三角形的模型综合（难点） 题型20 全等三角形的判定与性质综合（难点） 题型21 全等三角形的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 命题与证明（共3小题） 1．（26-27八年级上·河北沧州·期中）命题“对顶角相等”的逆命题是（     ） A．若两个角不是对顶角，则两角不相等 B．若两个角相等，则两角一定为邻补角 C．相等的角是对顶角 D．不相等的角不是对顶角 2．（25-26七年级下·福建厦门·期末）能说明命题“如果，那么”为假命题的反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 3．（25-26八年级上·河北·期中）如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 题型2 全等图形（共3小题） 4．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）请观察图中的6组图案，其中是全等图形的是（   ） A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（3）（4）（5） D．（4）（5）（6） 6．（25-26八年级上·天津河西·期中）对于两个图形，给出下列结论： ①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长相等且面积相等；④两个图形的形状相同且面积相等． 其中，能得到这两个图形全等的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型3 全等三角形的概念（共3小题） 7．（26-27八年级上·河北保定·期中）下列说法：①全等三角形的面积相等；②三个角分别相等的两个三角形全等；③两个等边三角形一定是全等三角形；④边数相同的图形一定能够重合．其中说法正确的个数为（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8．（25-26八年级上·全国·期中）已知：如图，，，，． (1)写出和的对应边和对应角． (2)求的度数和边的长． 9．（24-25七年级下·全国·期中）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 题型4 全等三角形的概念（共3小题） 10．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，，顶点、分别与顶点、对应，点在边上，边与边相交于点．若，，线段的长__________． 11．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，是的角平分线，，若，则___________． 12．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 题型5 全等三角形的判定（共3小题） 13．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，已知在同一条直线上，，，，与交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 14．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，点、、共线，、两点在直线上方，，，，．求证：． 15．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，、交于点O，，． 求证： (1)； (2)． 题型6 全等三角形的判定与性质结合（共3小题） 16．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，于点． (1)求证：； (2)如果，求的面积． 17．（25-26八年级上·海南海口·期中）如图，点E在边上，与交于点F，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 18．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，，，于点，于点，且，，在同一直线上． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型7 添加条件证明三角形全等（共3小题） 19．（25-26八年级上·广西崇左·期中）如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能利用“”使的条件有______（填序号）； ①；②；③；④． (2)根据（1）中添加条件的情况分别判定． 20．（24-25七年级下·山东青岛·期末）已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 21．（24-25八年级上·北京·期中）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，． (1)在下列条件①；②；③中，只添加一个条件就可以证得，则所有可以添加的条件的序号是________． (2)根据已知及(1)中添加的一个条件，证明． 题型8 三角形的尺规作图问题（共3小题） 22．（25-26七年级上·山东泰安·期中）尺规作图． 已知：（如图）． 求作：，使与全等． 要求： (1)不写作法，保留作图痕迹； (2)写出作图时选取的相等的边或角． 23．（25-26八年级上·河北·期中）如图，在中，于点G．点D在外，连接，． 尺规作图：在的右侧求作一点E，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 24．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）（1）如图1，已知三角形ABC，尺规作图：过点A作； （2）如图2，在中，点E在上，点F在上，点D，G在上，，且． ①猜想与的位置关系并证明； ②若，平分，求的度数． 提升·进阶突破 题型9 命题与证明综合（共3小题） 25．（26-27八年级上·河北沧州·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)已知：如图，，分别平分和．求证：． (2)在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 26．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 27．（25-26七年级下·河北张家口·期末）补全下面证明过程． 如图，点在上，点在上，已知，，求证：． 证明：（已知）， （                    ）， （                    ）． ________（                    ）． ________（两直线平行，内错角相等）． （已知）， （                    ）． ________（同位角相等，两直线平行）． （                    ）． 题型10 网格中的全等三角形问题（共3小题） 28．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（   ） A．80° B．90° C．100° D．120° 29．（2024·山西·模拟预测）阅读与理解 下面是小刚同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 巧用正方形网格 由边长为1的小正方形组成的正方形网格是数学学习的重要工具，我们把小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点上的三角形叫做格点三角形．利用正方形网格可以构造格点直角三角形的角平分线．如图1，已知是格点三角形，由网格可知，，．可以用如下两种方法构造的角平分线． 方法一：延长到格点D，使．连接，利用网格找出的中点F，连接交边于点P，线段即为的角平分线．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵点F是的中点， ∴平分（依据）， 即为的角平分线． 方法二：如图2，延长到格点D，使．利用网格在上取格点E，使BE=BC，连接交于点P，连接，线段即为的角平分线．理由如下： 同方法一可得，， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． … (1)请写出方法一中“依据”的内容： ； (2)请将方法二中的说理过程补充完整； (3)按照材料中的思路，请你在图3中作出的角平分线． 30．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的网格，图形中各个顶点均为格点，设，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型11 全等三角形的性质综合（共3小题） 31．（26-27九年级上·陕西安康·期中）如图，已知线段与相交于点，，点在线段的延长线上，连接． (1)若的周长为，求的长； (2)请判断与的位置关系，并说明理由． 32．（26-27八年级上·河北沧州·期中）如图，，，，，交于，． (1)求的度数； (2)求的度数． 33．（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，已知，点B，D，E，C在同一条直线上． (1)若，，求的长； (2)若，，求的度数； (3)若D是线段的中点，的面积为3，求的面积． 题型12 全等三角形的判定综合（共3小题） 34．（26-27八年级上·湖北宜昌·期中）如图， ，点，在线段上，且，连接，，若． 求证：请将以下证明过程及部分理由补充完整． 证明：∵ ， ∵________①， ∵， ∴，即________②， 在和中，， ∴（________⑤）, ∴________⑥ ∴． 35．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，在中，平分，，于点E，点F在上，．求证：． 36．（25-26七年级下·四川成都·期末）补充完成下列推理过程． 如图，在四边形中，，点在上，连接，．若平分，平分． 求证：． 证明：延长交的延长线于点， ， ．（__________________________） 又平分，平分， ，，（__________________________） ． 在和中， ， ．（__________________） ．（__________________________） 在和中 ，（___________________） ．（________________） ． 题型13 结合尺规作图的全等三角形问题（共3小题） 37．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）（1）如图，在中，以为一边作，使得，画出所有符合条件的（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）请用两种不同方法作出边上的中点．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 38．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图，中，，，请解决以下问题： (1)作出边的垂直平分线，分别交边、于点E、F，交的延长线于点D（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）； (2)求证：； (3)若，求的长． 39．（26-27八年级上·福建厦门·开学考试）如图是“作一个角等于已知角”的尺规作图及其步骤，则下列说法错误的是（） 作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． A．在作法步骤（2）中，可以得到 B．在作法步骤（3）中，可以得到 C． D．判断的依据是 题型14 倍长中线模型（共3小题） 40．（26-27八年级上·重庆巫山·期中）如图，在中，是中线，设的长度为，则的取值范围是___________ 41．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）按要求解答下列问题： 【发现问题】 数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，是的中线，求的取值范围． 【探究方法】 (1)第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 (2)如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：正确选项的序号是______． ①；②；③；④． 【问题拓展】 (3)如图3，与互补，连接、是的中点，求证：； (4)如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是_____． 42．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】 如图1，小潘通过倍长中线法解决了这个问题：延长到点，使，连接． （1）求证：； （2）由全等知．在中，根据三角形的三边关系，得______________________，从而得到的取值范围是___________． 【方法应用】 （3）如图2，在中，为边的中点，点在边上，与相交于点，且，求证：． 【能力提升】 （4）如图3，在中，平分，为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②若，，求的长． 题型15 旋转模型（共3小题） 43．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 44．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 45．（25-26八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 题型16 一线三等角模型（共3小题） 46．（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 47．（25-26八年级上·河北唐山·期中）【问题】已知：是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上的两点，且， 【探究】嘉嘉、琪琪和乐乐对上面的问题展开了探究，请阅读他们的探究过程并解答下列问题： (1)如图1，若直线经过的内部，且，射线在上．嘉嘉给出的条件是“”，猜想与的数量关系是 (2)如图2，琪琪改变了嘉嘉的条件，变为“”其余条件不变，请你探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由 (3)如图3，乐乐改变了直线的位置，使经过的外部，，请写出、、三条线段之间的数量关系： （不要求证明） 48．（25-26八年级上·河北邢台·期中）问题情境： 课堂上，数学老师通过在不同位置摆放一副三角尺进行相关探究活动． 初步探究： （1）如图1，将含45°角的直角三角尺（，）的直角顶点C放在含角的直角三角尺（）的斜边上，过点A作于点N，过点B作于点M，求证：． 猜想证明： （2）如图2，点C落在边上，点B落在边上，过点A作于点P，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 拓展延伸： （3）如图3，点C落在边上，点B落在边上，连接，若，，直接写出的面积． 题型17 全等三角形的综合（共3小题） 49．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，垂直平分，垂直平分． (1)求的度数； (2)若点是的中点，求证：点是的中点． 50．（25-26八年级上·海南儋州·期中）数学兴趣小组在探究全等三角形性质时，开展“共顶点等腰三角形旋转”实验．同学们将两个有公共顶点的等腰和等腰绕点旋转，观察旋转中线段、角度及面积的变化规律．请结合操作过程完成以下问题： (1)如图，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，使点落在边上，且三点共线，连接． 与全等的三角形是_____； 的度数为_____； (2)如图2，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，连接，交点为． 证明：； 求的度数； (3)如图，在（）的操作中，同学将绕旋转，使点、、三点共线，延长交于点，连接，通过测量得到此时，，请直接写出线段与面积之间的数量关系． 51．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，为等边三角形，点P是线段上一动点（点P不与A、C重合），连接，过点A作的垂线段，垂足为点D，以为边向右作等边，连接． (1)求证：； (2)延长交于点F． ①求的度数； ②若，求的长． 拔高·压轴破难 题型18 全等三角形的动点问题（共3小题） 52．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从B点出发以的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动_____时，与全等． 53．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 54．（25-26八年级上·广东江门·期末）如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动，两点到达相应终点就分别停止运动．分别过点、点作于点，于点．设点的运动时间为秒． (1)当点在边上时，求证：． (2)当时，连接、，在不添加辅助线和连结其它线段的条件下，当图中存在等边三角形时，求的值． (3)当与全等时，求的值． 题型19 全等三角形的模型综合（共3小题） 55．（26-27八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，，，D为线段上一动点，连结，将绕点A 顺时针旋转至，交直线于点F，若则_____ 56．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，、是的角平分线，，，则_______；__________ 57．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）求解下列各题： (1)【问题发现】如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，连接、、，且，延长到点，使，连接，试说明：； (2)【拓展延伸】如图2，在四边形中，，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接、、，且，延长至点，使得，连接，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 题型20 全等三角形的判定与性质综合（共3小题） 58．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，是的边上的高，且，以为直角边，在上方作，使，，过点E作，交的延长线于点F，连接交于点H． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 59．（25-26七年级下·重庆·期末）已知，连接，点在上（点不与点，点重合），连接，． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，点是的内角平分线的交点，连接，，点是的外角平分线的交点，连接，请探究与的数量关系； (3)如图3，若，点是的中点，求证：． 60．（25-26七年级下·福建福州·期末）已知：如图1，在中，两内角的平分线交于点I， (1)试探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当时，点F在边上，且，连接， ①求证：； ②若，，，求的长． 题型21 全等三角形的新定义问题（共3小题） 61．（25-26七年级下·上海崇明·期末）数学探究课上，老师给同学们展示了几道有趣的几何问题，大家围绕图形中的面积关系、线段关系展开了思考和讨论，请你也来尝试解决下面的问题． 【探究初步】 探究1新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，在中，，，D为边上的一点，若与为偏等积三角形，则 ； (2)如图2，在中，，，D为边上的一点，且满足与为偏等积三角形，过点B作，交的延长线于点E，如果线段的长度为正整数，那么 ． 探究2如图3，，，过点B作于点C，过点D作于点E．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型． (3)探究图3中线段之间的数量关系，可得 ． 【迁移应用】 (4)如图4，已知与是有公共顶点且不全等的两个等腰三角形，其中，，，，过D作，垂足为点M，的延长线与交于点N，请写出图中所有的偏等积三角形，并选择其中一对进行证明． 62．（25-26七年级下·山东济南·期末）定义：若一个三角形中，其中有一个内角是另外一个内角的一半，则这样的三角形叫做“半角三角形”．例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”．在钝角三角形中，，，，过点的直线交边于点．点在直线上，且． （1）如图1，若，，点在延长线上，图中是否存在“半角三角形”（除外），若存在，请写出图中的“半角三角形”，并证明；若不存在，请说明理由； （2）如图2，若，保持的度数与（1）中的结论相同，请直接写出，，满足的数量关系． 63．（25-26八年级下·广东深圳·期中）我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接，我们称是的“旋补交差三角形”，连接、，我们将、所在直线的相交而成的角称之为“旋补交差角”．如图1，即为“旋补交差角”． (1)当，则“旋补交差角”____________． (2)若图1中的度数发生改变，则“旋补交差角”度数是否发生改变？若不发生改变，请求出这个角度；若发生改变，请说明理由． (3)已知图2中是“旋补交差三角形”，的长度等于4，中点为点，求出的长度． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形（21大题型63题） 基础·固本强基 题型1 命题与证明 题型2 全等图形 题型3 全等三角形的概念 题型4 全等三角形的性质 （重点） 题型5 全等三角形的判定 （重点） 题型6 全等三角形的判定与性质结合 （重点） 题型7 添加条件证明三角形全等 题型8 三角形的尺规作图问题 提升·进阶突破 题型9 命题与证明综合 题型10 网格中的全等三角形问题 题型11 全等三角形的性质综合 （重点） 题型12 全等三角形的判定综合 （重点） 题型13 结合尺规作图的全等三角形问题 题型14 倍长中线模型 （重点） 题型15 旋转模型 （重点） 题型16 一线三等角模型 （重点） 题型17 全等三角形的综合（重点） 拔高·压轴破难 题型18 全等三角形的动点问题（难点） 题型19 全等三角形的模型综合（难点） 题型20 全等三角形的判定与性质综合（难点） 题型21 全等三角形的新定义问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 命题与证明（共3小题） 1．（26-27八年级上·河北沧州·期中）命题“对顶角相等”的逆命题是（     ） A．若两个角不是对顶角，则两角不相等 B．若两个角相等，则两角一定为邻补角 C．相等的角是对顶角 D．不相等的角不是对顶角 【答案】C 【分析】把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角． 2．（25-26七年级下·福建厦门·期末）能说明命题“如果，那么”为假命题的反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】要说明原命题为假命题，只需找到满足命题条件，但不满足命题结论即可． 【详解】解：反例需要满足条件，不满足结论， 对选项B，，，满足，即，而，，可得，即，不满足原命题结论， 选项B符合题意； 其余选项均满足，也满足，不符合题意． 3．（25-26八年级上·河北·期中）如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【答案】 可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题， ①②⇒③， ， ， ， ， ， ； ②③⇒①， ， ， ， ， ， ； ①③⇒②， ， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】略 题型2 全等图形（共3小题） 4．（26-27八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】能够完全重合的两个图形全等． 【详解】解：A项中的两个图形一模一样，能够完全重合，属于全等，所以A项符合题意． 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）请观察图中的6组图案，其中是全等图形的是（   ） A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（3）（4）（5） D．（4）（5）（6） 【答案】D 【分析】根据全等的性质：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可． 本题考查了全等图形的知识，解答本题的关键是掌握全等图形的定义． 【详解】解：观察图（4）、（5）、（6）三组图形经过平移、旋转、对折后能够完全重合，是全等图形． 故选：D． 6．（25-26八年级上·天津河西·期中）对于两个图形，给出下列结论： ①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长相等且面积相等；④两个图形的形状相同且面积相等． 其中，能得到这两个图形全等的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查全等图形的定义，需同时满足形状和大小相同，缺一不可． 全等图形必须形状和大小完全相同．分析各结论：①周长相等不一定形状相同；②面积相等不一定形状相同；③周长和面积都相等不一定形状相同；④形状相同且面积相等则大小相同，因此全等．只有④能保证全等． 【详解】解：∵全等图形要求形状和大小都相同； ①周长相等不一定形状相同（如正方形和圆周长相等但形状不同）， ∴①不能保证全等； ②面积相等不一定形状相同（如长方形和三角形面积相等但形状不同）， ∴②不能保证全等； ③周长和面积都相等不一定形状相同（如不同形状的多边形可能周长面积相等但形状不同）， ∴③不能保证全等； ④形状相同且面积相等，则大小相同， ∴④能保证全等； ∴只有1个结论能保证全等， 故选：A． 题型3 全等三角形的概念（共3小题） 7．（26-27八年级上·河北保定·期中）下列说法：①全等三角形的面积相等；②三个角分别相等的两个三角形全等；③两个等边三角形一定是全等三角形；④边数相同的图形一定能够重合．其中说法正确的个数为（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【详解】解：①全等三角形的面积相等，正确；②三个角分别相等的两个三角形全等错误，如大小不一样的两个等边三角形；③两个大小不一样的等边三角形不全等，故错误；④边数相同的图形一定能够重合，错误，例如边数相同的两个三角形不一定能重合， 故正确的只有1个． 8．（25-26八年级上·全国·期中）已知：如图，，，，． (1)写出和的对应边和对应角． (2)求的度数和边的长． 【答案】(1) 和的对应边为：和，和，和， 对应角为：和，和，和． (2)， 【分析】本题主要考查全等三角形的概念与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握其概念与性质是做题的关键． （1）根据全等三角形的概念与图示即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质及三角形的内角和定理进行解答即可． 【详解】（1）解：， 和的对应边为：和，和，和， 对应角为：和，和，和． （2）解：在中，， ∴． ∵，， ∴，． 答：的度数为，边的长为． 9．（24-25七年级下·全国·期中）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 【详解】解：， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 题型4 全等三角形的概念（共3小题） 10．（25-26七年级下·福建泉州·期末）如图，，顶点、分别与顶点、对应，点在边上，边与边相交于点．若，，线段的长__________． 【答案】6 【分析】根据全等三角形的性质得到、，再利用进行求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ，， ． 11．（25-26八年级上·河北邢台·期中）如图，是的角平分线，，若，则___________． 【答案】 【分析】先根据角平分线的定义得出，再根据全等三角形的性质得出． 【详解】解：是的角平分线，即平分， ， ， ． 12．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质、外角性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． （1）根据全等三角形的性质可得，，再由即可得解； （2）先由外角性质求出，再结合全等三角形的性质、三角形内角和定理求出、即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解：是的外角， ， 又，， ， ， ，， ， ． 题型5 全等三角形的判定（共3小题） 13．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，已知在同一条直线上，，，，与交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ∴； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由得，根据平行线的性质求出，然后根据可证明； （2）根据全等三角形的性质求出，由三角形内角和定理可得，根据平行线的性质可求的度数． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 14．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，点、、共线，、两点在直线上方，，，，．求证：． 【答案】 证明：，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．由，，，根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断． 【详解】略 15．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，、交于点O，，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ∴， ∴． (2) 证明：由（1）知， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用“”证明，从而得出； （2）由（1）得，利用“”证明，从而得出． 【详解】（1）略 （2）略 题型6 全等三角形的判定与性质结合（共3小题） 16．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，于点． (1)求证：； (2)如果，求的面积． 【答案】(1) 证明： (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角等知识点，熟记相关结论即可； （1）由题意得，推出，进而得，即可求解； （2）分别过、作于点，于点，证得，即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：分别过、作于点，于点， ， ，． 在和中 17．（25-26八年级上·海南海口·期中）如图，点E在边上，与交于点F，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图所示： ， 即， 在和中， ； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，得，再结合，，证明，即可作答． （2）由（1）得，故，又结合，则，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ， 又， ． 18．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在中，，，于点，于点，且，，在同一直线上． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，根据余角的性质得出是解题的关键． （1）先根据余角的性质得出，然后根据证明即可； （2）根据，得出，，再根据，即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴，， ∵， ∴． 题型7 添加条件证明三角形全等（共3小题） 19．（25-26八年级上·广西崇左·期中）如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能利用“”使的条件有______（填序号）； ①；②；③；④． (2)根据（1）中添加条件的情况分别判定． 【答案】(1)① (2) 证明：选条件①时， 在和中， ， ∴； 选条件③时， 在和中， ， ∴． 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）利用全等三角形的判定定理进行判断； （2）利用，进行证明即可． 【详解】（1）解：①已知，，且为公共边，根据全等三角形判定定理“”，可以判定； ②已知，，，但“”不能判定两个三角形全等； ③已知，，，根据全等三角形判定定理“”，可以判定 ； ④，，，“”不能判定两个三角形全等； 故答案为：①． （2）略 20．（24-25七年级下·山东青岛·期末）已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 【答案】①或③ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键．当选择①时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等；当选择②时，不能判定和全等；当选择③时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等，据此即可得出答案． 【详解】解：当选择①时， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 当选择②时， ∵， ∴， 在和中， ， 此条件不符合全等三角形的判定定理，不能判定和全等； 当选择③时， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． ∴选择条件①或③能够判定和全等． 故答案为：①或③． 21．（24-25八年级上·北京·期中）如图，点B，F，C，E在一条直线上，，． (1)在下列条件①；②；③中，只添加一个条件就可以证得，则所有可以添加的条件的序号是________． (2)根据已知及(1)中添加的一个条件，证明． 【答案】(1)②③ (2) 添加②， 在与中， )， ； 添加③，在与中， )， ． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质， （1）根据全等三角形的判定定理逐一判断即可； （2）证明即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， 又， 添加①无法证得； 添加②根据可证得； 添加③根据可证得； 所有可以添加的条件的序号是②③， 故答案为：②③； （2）略 题型8 三角形的尺规作图问题（共3小题） 22．（25-26七年级上·山东泰安·期中）尺规作图． 已知：（如图）． 求作：，使与全等． 要求： (1)不写作法，保留作图痕迹； (2)写出作图时选取的相等的边或角． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 【分析】本题考查尺规作图—作三角形，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键： （1）利用，作射线，截取，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即可； （2）根据进行作答即可． 【详解】（1）略 （2）由作图，． 23．（25-26八年级上·河北·期中）如图，在中，于点G．点D在外，连接，． 尺规作图：在的右侧求作一点E，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 如图，即为所求， 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定，分别以A，C为圆心，为半径作弧，两弧交于点E，连接，则即为所求． 【详解】解：由作图可知，， 在和中， ， ∴． 24．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）（1）如图1，已知三角形ABC，尺规作图：过点A作； （2）如图2，在中，点E在上，点F在上，点D，G在上，，且． ①猜想与的位置关系并证明； ②若，平分，求的度数． 【答案】 （1）如图：; （2）①． 证明：∵， ， ， ， ， ② 【分析】本题主要考查尺规作图—作平行线，平行线的判定和性质，角平分线的定义，垂线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）以为圆心，以适当长为半径画弧交与，交与，再以为圆心，以同样长为半径画弧交的延长线与，最后以为圆心，的长为半径，与弧交于，则直线即为所求； （2）①根据平行线的性质得出，再由等量代换及平行线的判定即可证明； ②根据垂直的定义得出，再由角平分线及平行线的性质即可得出结果． 【详解】解：（1）  理由：由作图可知， ，根据同位角相等，两直线平行，所以 。 （2）①略 ②， DF平分， ， ， ． 提升·进阶突破 题型9 命题与证明综合（共3小题） 25．（26-27八年级上·河北沧州·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)已知：如图，，分别平分和．求证：． (2)在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 【答案】(1)证明：∵， ∴． ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∴． (2)两直线平行，内错角相等和内错角相等，两直线平行 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再由角平分线的定义得到，据此可证明结论； （2）根据（1）的证明过程可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 26．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 【答案】(1)， (2) 证明：， 不等式两边同加上，得， 不等式两边同时除以2，得； (3) 真命题， 证明：设这三个自然数分别是，，，其中， ， 能被3整除， 这三个自然数的和能被3整除． 【分析】本题考查不等式的性质，命题的判定，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题； （3）设这三个自然数分别是，，，其中，将这三个自然数求和即可得出结论． 【详解】（1）解：证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性）； 故答案为：，； （2）略 （3）略 27．（25-26七年级下·河北张家口·期末）补全下面证明过程． 如图，点在上，点在上，已知，，求证：． 证明：（已知）， （                    ）， （                    ）． ________（                    ）． ________（两直线平行，内错角相等）． （已知）， （                    ）． ________（同位角相等，两直线平行）． （                    ）． 【答案】邻补角定义；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；；等量代换；；两直线平行，同位角相等 【分析】根据平行线的性质和判定方法求解即可． 【详解】略． 题型10 网格中的全等三角形问题（共3小题） 28．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（   ） A．80° B．90° C．100° D．120° 【答案】B 【分析】本题考查网格与全等三角形，掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． 根据网格特点证得即可得出答案． 【详解】解：如图，取网格点E，设交于点F， 在与中， ， ， ， ， ， ， 故选B． 29．（2024·山西·模拟预测）阅读与理解 下面是小刚同学的一篇数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务． 巧用正方形网格 由边长为1的小正方形组成的正方形网格是数学学习的重要工具，我们把小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点上的三角形叫做格点三角形．利用正方形网格可以构造格点直角三角形的角平分线．如图1，已知是格点三角形，由网格可知，，．可以用如下两种方法构造的角平分线． 方法一：延长到格点D，使．连接，利用网格找出的中点F，连接交边于点P，线段即为的角平分线．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵点F是的中点， ∴平分（依据）， 即为的角平分线． 方法二：如图2，延长到格点D，使．利用网格在上取格点E，使BE=BC，连接交于点P，连接，线段即为的角平分线．理由如下： 同方法一可得，， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． … (1)请写出方法一中“依据”的内容： ； (2)请将方法二中的说理过程补充完整； (3)按照材料中的思路，请你在图3中作出的角平分线． 【答案】(1)等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合 (2) 解：∴， ∵， ， ∴， ∴， 即是的角平分线 (3) 如图， 即为△ABC的角平分线． 【分析】本题主要考查作图——角平分线，涉及全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质和角平分线的判定， (1)根据等腰三角形的性质即可知答案为等腰三角形的三线合一； (2)结合已知可知，即可证明，则有，故结论成立； (3)根据第一问利用等腰三角形的性质可得图一，结合第二问的结论利用三角形全等即可知为角平分线． 【详解】（1）解：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合；(或等腰三角形“三线合一”)； （2）略 （3）略 30．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）如图，由9个完全相同的小正方形拼接而成的网格，图形中各个顶点均为格点，设，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查网格中的全等图形、三角形外角的性质，根据全等三角形的判定与性质可得，从而可得，再根据三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 题型11 全等三角形的性质综合（共3小题） 31．（26-27九年级上·陕西安康·期中）如图，已知线段与相交于点，，点在线段的延长线上，连接． (1)若的周长为，求的长； (2)请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)8 (2)，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得出，确定，结合题意及图形即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出，确定，再由平行线的判定即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴； （2）略． 32．（26-27八年级上·河北沧州·期中）如图，，，，，交于，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由全等三角形的性质得到，进而可证明； （2）由全等三角形的性质得到，结合，可得，则，可知，然后求得，从而可求得的度数． 【详解】（1）解：， ． ． ． （2）解：， ． ∵ ． ． ∴． ∵． ∴． ∴． 33．（25-26八年级上·河北沧州·期中）如图，已知，点B，D，E，C在同一条直线上． (1)若，，求的长； (2)若，，求的度数； (3)若D是线段的中点，的面积为3，求的面积． 【答案】(1)4 (2) (3)9 【分析】本题考查了全等三角形的性质，中点的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，可得出，即可求解； （2）根据全等三角形的性质，可得出，，再由三角形内角和定理可得的度数，即可求解； （3）根据中点的性质可得的面积的面积，再由全等三角形的性质，可得的面积的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ； （2）解：∵， ，， ， ； （3）解：是线段的中点， ， 的面积的面积， ≌， 的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积 题型12 全等三角形的判定综合（共3小题） 34．（26-27八年级上·湖北宜昌·期中）如图， ，点，在线段上，且，连接，，若． 求证：请将以下证明过程及部分理由补充完整． 证明：∵ ， ∵________①， ∵， ∴，即________②， 在和中，， ∴（________⑤）, ∴________⑥ ∴． 【答案】①;②;;;⑤;⑥． 完整证明过程如下： 证明：∵ ， ∴， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴, ∴， ∴． 【分析】先补全条件证明，再利用三角形全等得到，即可证明． 【详解】略． 35．（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，在中，平分，，于点E，点F在上，．求证：． 【答案】证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 【详解】略 36．（25-26七年级下·四川成都·期末）补充完成下列推理过程． 如图，在四边形中，，点在上，连接，．若平分，平分． 求证：． 证明：延长交的延长线于点， ， ．（__________________________） 又平分，平分， ，，（__________________________） ． 在和中， ， ．（__________________） ．（__________________________） 在和中 ，（___________________） ．（________________） ． 【答案】两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；；全等三角形对应边相等；已证； 【分析】根据题目中的每一步推理过程，结合图形填写即可． 【详解】略 题型13 结合尺规作图的全等三角形问题（共3小题） 37．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）（1）如图，在中，以为一边作，使得，画出所有符合条件的（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）请用两种不同方法作出边上的中点．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 （1）如图所示， 和为所求． （2）如图①所示，点即为所求； 如图②所示，点即为所求；． 【分析】（1）结合全等三角形的判定与性质，先以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，在的两侧分别交于点，，连接，，，，则和均满足题意． （2）①作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求；②以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，在的下方交于点，连接，，连接交于点，则点即为所求． 【详解】解：（1）在和中， 在和中， ． （2）如图①，根据线段垂直平分线的定义可得点E是的中点； 如图②，∵，，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，即点E是的中点． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 38．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图，中，，，请解决以下问题： (1)作出边的垂直平分线，分别交边、于点E、F，交的延长线于点D（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1) 如图，直线即为所求， (2) 证明：，， ， 由作图可知，，且， ，， 是公共角， ， ． (3) 【分析】本题考查了尺规作图和垂直平分线的性质，角平分线性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键； （1）先作线段的垂直平分线，再延长即可； （2）根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （3）连接，根据垂直平分线的性质得，，根据角平分线性质得，在中，，得出，即可求出答案， 【详解】（1）略 （2）略 （3）连接， ，， ， 又垂直平分，， ，， ，， 平分， ， 在中，， ， ． 39．（26-27八年级上·福建厦门·开学考试）如图是“作一个角等于已知角”的尺规作图及其步骤，则下列说法错误的是（） 作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． A．在作法步骤（2）中，可以得到 B．在作法步骤（3）中，可以得到 C． D．判断的依据是 【答案】D 【分析】根据尺规作图步骤得出三边对应相等，利用全等三角形判定定理判断． 【详解】解：步骤（2）中以长为半径画弧， ，故A正确． 步骤（3）中以长为半径画弧， ，故B正确． ， ，故C正确，D错误． 题型14 倍长中线模型（共3小题） 40．（26-27八年级上·重庆巫山·期中）如图，在中，是中线，设的长度为，则的取值范围是___________ 【答案】 【分析】延长至点，使，连接，通过证明将转化为，在中利用三角形三边关系求出的范围，进而得出x的范围． 【详解】解：延长至点，使，连接． 是的中线， ． 在和中， ， ． 在中， ， ， ， ， ． 41．（26-27八年级上·江苏泰州·期中）按要求解答下列问题： 【发现问题】 数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，是的中线，求的取值范围． 【探究方法】 (1)第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 (2)如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：正确选项的序号是______． ①；②；③；④． 【问题拓展】 (3)如图3，与互补，连接、是的中点，求证：； (4)如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点，，，则的面积是_____． 【答案】(1) (2)①③ (3)证明：延长到点，使，连接． ∵ 是中点， ∴ ． 在和中， ， ∴ ． ∴ ，． ∴ ， ∴ ． ∵ 与互补， ∴ ． 又∵ 周角为， ∴ ， ∴ ． ∵ ，，， ∴ ． 在和中， ， ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ，即． (4) 【分析】（1）采用倍长中线法延长至使，证得到，结合，利用三角形三边关系求出，再换算得到． （2）倍长到使得，先证，再证，推出，，选出正确序号①③． （3）倍长到使，证明得到和平行关系，结合、互补推出，再证，得到，完成证明． （4）沿用第三问结论得到，推导出，代入、算出面积为 60，再由全等面积转化得到面积等于 60． 【详解】（1）解：延长到，使，连接． ∵ 是的中线， ∴ ． 在和中， ，∴ ． ∴ ． 在中，由三角形三边关系： ， ∵ ，， ∴ ，即． 又∵ ， ∴ ， ∴ ． （2）解：延长到，使，连接． ∵ 是的中线， ∴ ． 在和中， ，∴ ． ∴ ，． ∵ ， ∴ ． ∵ 是中线， ∴ ， ∴ ． ∵ ，，，， ∴ ． 在和中， ， ∴ ． ∴ ，． ∵ ， ∴ ． 综上，①③正确． （3）略． （4）解：由（3）得，，，． ∵ ，与互补， ∴ ． ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 由全等转化面积可知， ∴ ． 42．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】 如图1，小潘通过倍长中线法解决了这个问题：延长到点，使，连接． （1）求证：； （2）由全等知．在中，根据三角形的三边关系，得______________________，从而得到的取值范围是___________． 【方法应用】 （3）如图2，在中，为边的中点，点在边上，与相交于点，且，求证：． 【能力提升】 （4）如图3，在中，平分，为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②若，，求的长． 【答案】（1）证明：由作图过程知：， ∵是的边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）；；； （3）证明：如图，延长至，使，    ∵点为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （4）①与的数量关系：． 理由：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴； ② 【分析】（1）由作图过程及已知得，，，再根据即可得证； （2）根据全等三角形的性质得，再根据三角形三边关系即可得出答案； （3）如图，延长至，使，证明得，，再根据等边对等角得，进一步推出，即可得证； （4）根据角平分线的定义得，根据平行线的性质得，，继而得到，即可得证； ②如图，过点作交的延长线于点，得，，由①知：，，可推出，证明得，，继而得到，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即的取值范围是， 故答案为：；；； （3）略 （4）①略 ②如图，过点作交的延长线于点，    ∴，， 由①知：，， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，三角形三边关系定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质等知识，正确理解题意，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型15 旋转模型（共3小题） 43．（24-25七年级下·山东济南·期末） 和是两个角都是的等腰直角三角形（，，）的三角板， 【问题初探】 （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，D、B、C在同一直线上，连接、，请证明：； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点B顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 如图，过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由判定，推出； （2）过点C作垂直于的延长线于点H，交于点O，判定，推出，，由三角形内角和定理推出，推出． 【详解】（1）略 （2）略 44．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化． 将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可． 【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至， ，， 则，， ，即点D，E，F三点共线， ， ， 即， 在和中 ， ， ， ， 五边形的面积为： ， ， ． 故选：D． 45．（25-26八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】 （1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】（1）略 （2）略 题型16 一线三等角模型（共3小题） 46．（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的判定定理可进行求证； （2）由（1）可知，，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ． 47．（25-26八年级上·河北唐山·期中）【问题】已知：是经过顶点的一条直线，，、分别是直线上的两点，且， 【探究】嘉嘉、琪琪和乐乐对上面的问题展开了探究，请阅读他们的探究过程并解答下列问题： (1)如图1，若直线经过的内部，且，射线在上．嘉嘉给出的条件是“”，猜想与的数量关系是 (2)如图2，琪琪改变了嘉嘉的条件，变为“”其余条件不变，请你探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由 (3)如图3，乐乐改变了直线的位置，使经过的外部，，请写出、、三条线段之间的数量关系： （不要求证明） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）先得出，，根据证，即可； （2）求出，，根据证，推出，即可； （3）求出，，根据证，推出，即可． 【详解】（1）解：∵，， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： ，，， ∴， ∵， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解： ，， 又，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 48．（25-26八年级上·河北邢台·期中）问题情境： 课堂上，数学老师通过在不同位置摆放一副三角尺进行相关探究活动． 初步探究： （1）如图1，将含45°角的直角三角尺（，）的直角顶点C放在含角的直角三角尺（）的斜边上，过点A作于点N，过点B作于点M，求证：． 猜想证明： （2）如图2，点C落在边上，点B落在边上，过点A作于点P，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 拓展延伸： （3）如图3，点C落在边上，点B落在边上，连接，若，，直接写出的面积． 【答案】 （1）证明：， ， ． 于点， ， ， ． ，， ． （2），理由如下： ， ， 于点， ， ， ，， ， ，， ． （3）的面积为8 【分析】本题考查了全等三角形的综合应用，结合平行线的判定和性质、直角三角形的性质证明是解题的关键． （1）根据已知条件证明，，即可得到，证明即可； （2）根据已知条件证明，得到，，即可得证； （3）过点作于点，点落在的延长线上，证明，根据平行线间的距离处处相等，可得点到边的距离为2，根据三角形面积计算式计算即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）的面积为8． 如图，过点作于点，点落在的延长线上， 由（2）得， ． ， ． ， ． ∵平行线间的距离处处相等， ∴点到边的距离也为2， ． 题型17 全等三角形的综合（共3小题） 49．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，垂直平分，垂直平分． (1)求的度数； (2)若点是的中点，求证：点是的中点． 【答案】(1) (2) 证明：连接，如图所示： 由（1）可知：， △为直角三角形， ， △是直角三角形， 点是的中点， ， 垂直平分， ， ， 在△和△中， ， △△， ， 垂直平分， ， ， 点是的中点． 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，理解线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据得，根据线段垂直平分线性质得，，则，，由此得，据此即可得出的度数； （2）连接，由（1）可知，则△和△为直角三角形，根据点是的中点得，由此依据“”判定△和△全等得，据此即可得出结论． 【详解】（1）解：在△中，， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ，， ， ， 即的度数为； （2）略． 50．（25-26八年级上·海南儋州·期中）数学兴趣小组在探究全等三角形性质时，开展“共顶点等腰三角形旋转”实验．同学们将两个有公共顶点的等腰和等腰绕点旋转，观察旋转中线段、角度及面积的变化规律．请结合操作过程完成以下问题： (1)如图，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，使点落在边上，且三点共线，连接． 与全等的三角形是_____； 的度数为_____； (2)如图2，在等腰和等腰中，，，，同学将绕旋转，连接，交点为． 证明：； 求的度数； (3)如图，在（）的操作中，同学将绕旋转，使点、、三点共线，延长交于点，连接，通过测量得到此时，，请直接写出线段与面积之间的数量关系． 【答案】(1)；； (2) 证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ； (3)． 【分析】（）直接根据“”即可求解； ，，得，又，则，然后通过角度和差即可求解； （）同（）证明，然后根据全等三角形的性质即可求证； 设与交于点，由，得，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）同（）证明，得，，根据等腰三角形性质可得，又点、、三点共线，则有，得，然后证明，通过平行线间的距离相等可得，即，故有，然后求出即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故答案为：； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 如图，设与交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵点、、三点共线， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，平行线的判定，平行线间的距离等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 51．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，为等边三角形，点P是线段上一动点（点P不与A、C重合），连接，过点A作的垂线段，垂足为点D，以为边向右作等边，连接． (1)求证：； (2)延长交于点F． ①求的度数； ②若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2)，5 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）由等边三角形的性质的性质可得，，，即可证，可得； （2）①由，得，结合，求解即可；②过点作交的延长线于点，由等边三角形的性质和全等三角形的性质可得，，，可证，得到，即可得出结果； 【详解】（1）略 （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴； ②如图，过点作交的延长线于点， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即为的中点． ∵是等边三角形， ∴， ∴． 拔高·压轴破难 题型18 全等三角形的动点问题（共3小题） 52．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从B点出发以的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动_____时，与全等． 【答案】2或4 【分析】根据题意和这两种情况，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∴当与全等时，只存在和这两种情况， 当时，则， ∴运动时间为； 当时，则， ∴运动时间为； 综上所述，当运动或时，与全等． 53．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 【答案】2或 【分析】根据题意分为P在上，Q在上和当P、Q都在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】解：作于E，作于F． 分以下情况：①如图1，P在上，Q在上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即， ； ②当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图2， ， ． 综上所述，点运动时间为2或，与全等． 54．（25-26八年级上·广东江门·期末）如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动，两点到达相应终点就分别停止运动．分别过点、点作于点，于点．设点的运动时间为秒． (1)当点在边上时，求证：． (2)当时，连接、，在不添加辅助线和连结其它线段的条件下，当图中存在等边三角形时，求的值． (3)当与全等时，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，， ∴； (2)当图中存在等边三角形时，t的值为3或； (3)当与全等时，t的值为4或或12． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． （1）利用等角的余角相等即可求证； （2）当点在边上，且时，是等边三角形，当点N在边上，时，是等边三角形，据此列出方程，解方程可得出答案； （3）由全等三角形的性质列出方程可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， 当点在边上，且时，是等边三角形 此时， ∴； 当点N在边上，时，是等边三角形， 此时， ∴， 综上所述，当图中存在等边三角形时，t的值为3或； （3）解：当点到点时， 当点到点时， 当点到点时， 当点到点时， 当时，点在边上，点在边上，，， 此时，则有， ∴， ∴， 解得：； 当时，点，都在边上时，，， 点，重合，此时， ∴， ∴， 解得：； 当时，点在边上，点在边上，，， 同理，， ∴， 解得：（不合题意，舍去）； 当时，点到终点停止不动，点在边上，，，此时， ∴， 解得：； 综上所述，当与全等时，t的值为4或或12． 题型19 全等三角形的模型综合（共3小题） 55．（26-27八年级上·河北衡水·期中）如图，在中，，，D为线段上一动点，连结，将绕点A 顺时针旋转至，交直线于点F，若则_____ 【答案】6 【分析】过点E作于点G，证明，得到，；再证明，得到，则． 【详解】解：如图所示，过点E作于点G， ∴， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴，； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 56．（2026八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，、是的角平分线，，，则_______；__________ 【答案】 /度 4 【分析】利用角平分线的定义和三角形内角和定理，求出的度数；在上取点F使得，则，再证明，得到，进一步得到，再证明，即可得到． 【详解】解：∵，、是的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 如图，在上取点F使得， 则． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 57．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）求解下列各题： (1)【问题发现】如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，连接、、，且，延长到点，使，连接，试说明：； (2)【拓展延伸】如图2，在四边形中，，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接、、，且，延长至点，使得，连接，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：在和中，，，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ； (2)解：（形式不唯一）． 理由：，， ， 又，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即， ． 【分析】（1）证明得到，，推出，证明得到，推出，根据角的和差即可得证； （2）证明得到，，推出，证明得到，结合，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 题型20 全等三角形的判定与性质综合（共3小题） 58．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，是的边上的高，且，以为直角边，在上方作，使，，过点E作，交的延长线于点F，连接交于点H． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的边上的高，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2)证明：由（1）可得， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）先证明出，再利用“”即可证明； （2）由（1）可得，则，结合题意得出，再证明，即可得证； （3）由（1）可得，则，，由（2）可得，结合题意得出，由，得出，求出，即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：由（1）可得， ∴，， 由（2）可得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 59．（25-26七年级下·重庆·期末）已知，连接，点在上（点不与点，点重合），连接，． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，点是的内角平分线的交点，连接，，点是的外角平分线的交点，连接，请探究与的数量关系； (3)如图3，若，点是的中点，求证：． 【答案】(1) (2) (3)延长至点，使得，如图所示： ∵点是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）先过点作，再结合平行线的性质，得，即可作答； （2）根据角平分线的定义，以及三角形的内角和性质得，同理得，再结合平行线的性质，得，整理得，最后代入计算，即可作答． （3）运用倍长中线法进行证明，得出，再根据，，证明，即可作答． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 过程如下： ∵点是内角平分线交点， ∴ ∴ ∵， 则 延长至点，如图所示： ∵点是外角平分线交点， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 则 ， ， 即， ∵ ∴， 故． （3）略 60．（25-26七年级下·福建福州·期末）已知：如图1，在中，两内角的平分线交于点I， (1)试探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当时，点F在边上，且，连接， ①求证：； ②若，，，求的长． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵在中，两内角的平分线交于点I， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)①证明：如图2所示，在上截取，连接， ∵在中，两内角的平分线交于点I， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 【分析】（1）由角平分线的定义得到，由三角形内角和定理可得，据此根据三角形内角和定理可得结论； （2）①在上截取，连接，证明，得到，则可证明；证明，则可证明，得到；根据，得到，则可证明，得到，即；②过点E作于点T，证明，得到；可证明，据此求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）①略； ②解：如图所示，过点E作于点T， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型21 全等三角形的新定义问题（共3小题） 61．（25-26七年级下·上海崇明·期末）数学探究课上，老师给同学们展示了几道有趣的几何问题，大家围绕图形中的面积关系、线段关系展开了思考和讨论，请你也来尝试解决下面的问题． 【探究初步】 探究1新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，在中，，，D为边上的一点，若与为偏等积三角形，则 ； (2)如图2，在中，，，D为边上的一点，且满足与为偏等积三角形，过点B作，交的延长线于点E，如果线段的长度为正整数，那么 ． 探究2如图3，，，过点B作于点C，过点D作于点E．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型． (3)探究图3中线段之间的数量关系，可得 ． 【迁移应用】 (4)如图4，已知与是有公共顶点且不全等的两个等腰三角形，其中，，，，过D作，垂足为点M，的延长线与交于点N，请写出图中所有的偏等积三角形，并选择其中一对进行证明． 【答案】(1)1； (2)4； (3)； (4)解：与为偏等积三角形，与为偏等积三角形，证明如下： 如图所示，过E作于点P，过C作交延长线于点Q． ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 同理可证明， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， 又∵与不全等， ∴ ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形； 如图所示，过E作于点G，过B作交延长线于点F． ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵，， ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形． 【分析】（1）根据定义可得，则可证明，即； （2）根据定义可得，则；证明得到；根据三角形三边的关系求出的取值范围，结合线段的长度为正整数，求出的长即可求出的长； （3）证明，得到，即可证明； （4）过E作于点P，过C作交延长线于点Q．证明，，推出，再证明，得到，则可推出，可证明，则可证明与不全等，故与是偏等积三角形；过E作于点G，过B作交延长线于点F．证明，得到．则可证明，可证明与不全等，则可证明与是偏等积三角形． 【详解】（1）解：如图1所示， ∵与为偏等积三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵与为偏等积三角形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ ∴； 在中，， ∴，即， ∴， ∵线段的长度为正整数， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （4）略 62．（25-26七年级下·山东济南·期末）定义：若一个三角形中，其中有一个内角是另外一个内角的一半，则这样的三角形叫做“半角三角形”．例如：等腰直角三角形就是“半角三角形”．在钝角三角形中，，，，过点的直线交边于点．点在直线上，且． （1）如图1，若，，点在延长线上，图中是否存在“半角三角形”（除外），若存在，请写出图中的“半角三角形”，并证明；若不存在，请说明理由； （2）如图2，若，保持的度数与（1）中的结论相同，请直接写出，，满足的数量关系． 【答案】 （1）存在，“半角三角形”为， 证明：延长到，使得，连接． ， ，即 ， 在和中， ，． ， ． 为“半角三角形” （2）或 【分析】（1）延长到，使得，根据边角关系证出，得出，即可证明为“半角三角形”． （2）由（1）可知，，延长到点，使得，连接BF，构造全等三角形△≌△，进而可得出.因为，所以以为圆心，长为半径作圆与直线一定有两个交点，当第一种情况成立时，必定存在一个与它互补的，所以可得出另外一种情况. 【详解】（1）略 （2）或. ①延长到点，使得，连接BF, ∵，， ∴△≌△.    过点分别作于点， 于点, 可得. ∴. ②因为，所以以为圆心，长为半径作圆与直线一定有两个交点，当第一种情况成立时，必定存在一个与它互补的． 可知：. 综上所述，这三个角之间的关系有两种， 或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．正确理解题意，使用分类讨论思想是解决本题的关键． 63．（25-26八年级下·广东深圳·期中）我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接，我们称是的“旋补交差三角形”，连接、，我们将、所在直线的相交而成的角称之为“旋补交差角”．如图1，即为“旋补交差角”． (1)当，则“旋补交差角”____________． (2)若图1中的度数发生改变，则“旋补交差角”度数是否发生改变？若不发生改变，请求出这个角度；若发生改变，请说明理由． (3)已知图2中是“旋补交差三角形”，的长度等于4，中点为点，求出的长度． 【答案】(1)90 (2)不变； (3) 【分析】1）根据旋转得出，根据证明、C、B三点共线，、C、A三点共线，即可得出答案； （2）证明，得出，根据，结合三角形内角和定理得出，即可得出答案； （3）延长，取点F，使，连接，证明，得出，，证明，得出，求出即可． 【详解】（1）解：根据旋转可得：， ∵， ∴， ∴、C、B三点共线，、C、A三点共线， ∴点O与点C重合， ∴； （2）解：“旋补交差角”度数不变；即； 如图，设与交于点H， 根据旋转可得：，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． （3）解：延长，取点F，使，连接，如图所示： ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 根据旋转可得：，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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