专题06 分式和分式方程、实数与二次根式计算题专训18大题型100题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材冀教版

专题06 分式和分式方程、实数与二次根式计算题 基础·固本强基 题型1 分式的求值计算 题型2 分式的求整计算 题型3 分式的四则混合运算 题型4 分式化简求值 题型5 解分式方程 题型6 根据分式方程解的情况求值 题型7 分式方程的增根计算 题型8 分式方程的无解计算 题型9 解平方根、立方根 题型10 与算术平方根有关的规律探索题 题型11 与立方根有关的规律探索题 题型12 实数的小数部分、整数部分计算 题型13 利用二次根式的性质化简 题型14 二次根式的混合运算 题型15 分母有理化 题型16 二次根式的规律计算题 提升·进阶突破 题型17 分式和分式方程、实数与二次根式进阶练 拔高·压轴破难 题型18 分式和分式方程、实数与二次根式压轴练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 分式的求值计算（共5小题） 1．（25-26八年级下·河北·期中）按要求完成下列各题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把两边同时平方，可得，移项、合并同类项即可求出的值． （2）把两边同时平方，可得，移项、合并同类项即可求出的值． 【详解】（1）解：∵， ， ． （2）解：， ， ． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）先利用分式的基本性质化简分式后再求值：，其中，． 【答案】化简为，值为0 【详解】解： 当，时，原式． 3．（2026·北京大兴·一模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先对给定的代数式进行化简，再根据已知条件求出化简后代数式的值． 【详解】解：已知，移项可得， ， 将代入可得． 4．（25-26八年级下·河北·期中）[核心素养]阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，得， ∴，即， ∴． 请你借鉴上面的方法解答下面的问题： (1)已知，则的值为______，的值为______； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了分式的求值． （1）根据分式的性质，得出，仿照例题的解题方式，即可求解； （2）根据分式的性质，得出，仿照例题的解题方式，即可求解； （3）根据分式的性质，得出，仿照例题的解题方式，即可求解 【详解】（1）解：由，得， ∴， ∴ 故答案为：，． （2）解：由，得， ∴， ∴， ∴． （3）解：由，得， ∴， ∴， ∴． 5．（2026八年级下·河北·专题练习）已知分式． (1)当时，分式的值为0，求的值； (2)若，求分式的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】此题考查了分式为零的条件，解二元一次方程组，分式的求值等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意得到的值为0，然后根据分式值为0的条件：分子为0且分母不为0求解即可； （2）首先根据绝对值和平方的非负性得到，求出，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，分式的值为0， ∴的值为0， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵ ∴ 解得 ∴． 题型2 分式的求整计算（共5小题） 6．（26-27八年级上·河北沧州·期中）已知，当时，分式无意义，当时，此分式的值为0． (1)求，的值； (2)当分式的值为正整数时，求出整数的值． 【答案】(1) ， (2) 整数的值为， 【分析】（1）根据分式无意义和值为0的条件列方程求解，的值； （2）代入，化简分式，结合正整数和整数的条件，分析分母的正约数求解． 【详解】（1）解：∵当时，分式无意义， ∴此时分母， 将代入，得 ， 解得； ∵当时，分式的值为0， ∴此时分子，且分母， 将代入分子，得 ， 解得， 将，代入分母， 得，符合条件， ∴，； （2）解：将，代入，得， ∵分式的值为正整数，为整数， ∴，，且为整数， ∵分子， ∴，即是的正约数， ∴或， 当时，； 当时，， 综上所述，整数的值为，． 7．（25-26八年级下·广东茂名·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①；    ②；    ③； (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【答案】(1)①②③ (2) (3)整数的值为或或或 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义逐个判断即可； （2）根据，利用完全平方公式进行化简即可； （3）先得出为整数，再结合（2）的结论，得出所有可能的取值，由此即可得． 【详解】（1）解：①， ②， ③， 则属于“和谐分式”的是①②③． （2）解： ． （3）解：∵为整数， ∴也为整数， 由（2）已得：， 要使“和谐分式”的值为整数，则需的值为整数， ∴所有可能的值为，，，， ∴所有可能的值为，，，， 即当整数的值为或或或时，“和谐分式”的值为整数． 8．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）对于形如的分式，可通过配凑变形，化为一个常数与分子为常数的分式相加的形式：（m，n为常数），该方法称为分离常数法． 例如：． (1)将分式化为形式，并写出m，n的值． (2)若x为正整数，且分式的值为正整数，求x的值． 【答案】(1)， ， (2)的值为或 【分析】（1）仿照例题求解即可； （2）仿照例题得到，则可推出是整数，结合x为正整数得到或，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴； （2）解：， ∵分式的值为正整数， ∴为正整数， ∴一定是整数， ∵x为正整数， ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去，此时的值为负数）． 9．（25-26八年级下·山东枣庄·期末）阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：． (1)分式是 （填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为带分式； (3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数x的值． 【答案】(1)假分式 (2) (3)符合条件的负整数的值为，， 【分析】（1）根据新定义进行判断即可； （2）根据题干给定的方法，进行求解即可； （3）先将假分式化为带分式，再根据分式的值为整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，分式是假分式； （2）解：； （3）解：， 若使原分式的值为整数，则的值为整数， 或， ，，，， 符合条件的负整数的值为，，． 10．（25-26七年级下·山东济南·期末）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”．如，这样的分式就是真分式，，这样的分式就是假分式． 类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如，． 根据材料，解决下列问题： 【理解知识】 (1)分式是_________分式（填“真”或“假”）； 【掌握知识】 (2)将假分式化为带分式； 【运用知识】 (3)求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 【答案】(1)真 (2) (3)或0或2或3 【分析】（1）根据真分式的定义判断即可； （2）根据真分式的定义变形即可； （3）先把分式化为带分式，因为与均为整数，则或，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵分子的次数为0，分母是一次式， ∴分子的次数小于分母的次数 ∴是真分式； （2）解：； （3）解：        ，       为整数， 为整数， 要使分式的值为整数， 必须为整数 或， 或0或2或3． 题型3 分式的四则混合运算（共5小题） 11．（26-27八年级上·山东淄博·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 12．（26-27八年级上·湖南娄底·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对分子、分母进行因式分解，把分式除法运算转变为乘以除式的倒数，再交叉约分，消掉所有公因式，直接得到化简结果． （2）先因式分解，做分式乘法并且约分，得到一个最简分式，之后按照同分母分式加法法则，分母保持不变，分子相加合并，最后化简得到答案． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 13．（26-27八年级上·河北·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（26-27八年级上·河北·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘法，再计算加法； （2）先计算括号，再计算除法，最后计算减法． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 15．（26-27八年级上·河北·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】先计算括号，再计算乘除，最后约分即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 题型4 分式化简求值（共5小题） 16．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中a满足． 【答案】(1)，； (2)，值为． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， a满足， ， 原式． 17．（26-27九年级上·山东济宁·期中）先化简再求值：，选取一个合适的数代入计算． 【答案】； 【详解】解： ， ∵， ∴取，原式． 18．（26-27八年级上·广西桂林·期中）先化简，再求值：，其中是满足不等式的正整数解． 【答案】化简结果为，原式的值为 【详解】解： ， 解不等式得，其正整数解为， ∵， ∴， ∴原式． 19．（26-27八年级上·山东聊城·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先因式分解，然后将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据非负数的性质求得，，最后代入求解． 【详解】解：原式 ． 由，得，， ∴，． 当，时，原式． 20．（26-27八年级上·河北秦皇岛·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】根据完全平方公式和平方差公式进行化简，然后再按照分数除法运算进行计算和约分，最后按照分式通分即可求出最简式，最后将的值代入即可求出． 【详解】解： ，， 原式 ． 题型5 解分式方程（共5小题） 21．（26-27八年级上·河北沧州·期中）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘以得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解：， 方程两边同时乘以得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 22．（26-27八年级上·河北秦皇岛·期中）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)原方程无解 【分析】（1）分式方程，先找最简公分母，方程两边同乘公分母去掉分母转化为整式方程，解整式方程，最后代入公分母检验，公分母不为0才是原分式方程的解； （2）先找最简公分母是，两边同乘公分母化为整式方程求解，求出解后代入公分母检验； （3）先确定最简公分母，两边同乘公分母化成整式方程，求出解后代入公分母检验； （4）先确定最简公分母，然后去分母化为整式方程，解得，代入公分母发现公分母等于0，是增根，所以原分式方程无解． 【详解】（1）解：， 两边同时乘得， 整理得， 解得， 当时，，故是原方程的解； （2）解：， 两边同时乘得， 整理得， 解得， 当时，，故是原方程的解； （3）解：， 两边同时乘得， 整理得， 解得， 当时，，故是原方程的解； （4）解：， 两边同时乘得， 整理得， 解得， 当时，，故原方程无解． 23．（26-27九年级上·广东深圳·自主招生）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原分式方程无解 (2) 【分析】（1）按照解分式方程的步骤进行计算即可解答； （2）按照解分式方程的步骤进行计算即可解答． 【详解】（1）解：原方程可变形为 原方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原分式方程无解； （2）解：原方程可变形为 原方程去分母得， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故是原方程的解． 24．（26-27八年级上·山东淄博·期中）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 原分式方程无解 【详解】（1）解：， 两边同乘以，得， 整理，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； （2）解：， 两边同乘以，得， 整理，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 25．（26-27九年级上·山东淄博·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘得： 解得：， 检验：当时，， 分式方程无解； （2）解：， 原方程化为：， 方程两边同时乘得：， 即， 解得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 题型6 根据分式方程解的情况求值（共5小题） 26．（26-27八年级上·北京通州·期中）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理得，即， ∵ 方程的解为正数， ∴ ， 解得． ∵ 分式分母不为0， ∴ ，即，解得． ∴ 的取值范围是且． 27．（2026·河北·模拟预测）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：原方程变形为． 方程两边同乘（），得． 整理得． ∵ 方程的解为正数， ∴ ，解得． ∵ ， ∴ ，解得． ∴ 的取值范围为且． 28．（25-26八年级上·山东烟台·期中）已知分式方程的解为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．7 D．12 【答案】D 【分析】将代入分式方程，得到关于a的方程，即可求解． 【详解】解：将代入分式方程，得： ， 解得． 29．（25-26八年级下·福建漳州·期中）若关于的分式方程的解为正实数，求的取值范围． 【答案】且 【详解】解：， 方程的两边都乘以，得， 解得． ∵方程的解为正实数， ∴， ∴． ∵分式的分母， ∴， 即， ∴， ∴的取值范围是且． 30．（25-26八年级下·河南周口·期中）已知关于的分式方程． (1)若该分式方程的解是，求的值； (2)若该分式方程的解是非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）将代入原方程得到关于b的方程求解即可； （2）先求得分式方程的解，然后再根据解是非负数列不等式求解即可． 【详解】（1）解：将代入方程，得，解得：． （2）解：， ， ， ， ． 分式方程的解是非负数， ，且，解得且． 题型7 分式方程的增根计算（共5小题） 31．（26-27九年级·河北·暑假作业）若关于的分式方程有增根，求的值． 【答案】的值为4 【分析】确定出方程的最简公分母与增根，把分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程中即可求解． 【详解】解：最简公分母为，增根为 ； 方程两边乘以最简公分母，得 ， 将 代入整式方程，得 ， 解得 ． 32．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）已知关于x的分式方程． (1)若在解此方程时产生了增根，则m的值是 ； (2)若此方程的解是正数，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）去分母，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根，可得，可得到关于m的方程，即可求解； （2）去分母，把分式方程化为整式方程，再根据此方程的解是正数，即可求解． 【详解】（1）解：去分母得：， 由分式方程有增根，得到， 即， 把代入整式方程得：， 解得； （2）解：去分母得：， 解得， ∵此方程的解是正数， ∴且， ∴且． 33．（2026八年级下·河北·专题练习）已知关于的分式方程． (1)若分式方程有增根，求的值． (2)若分式方程的根为，求的值． (3)若分式方程的根为正数，求的取值范围． (4)若分式方程的根为正整数，求的整数值． 【答案】(1) (2) (3)且 (4)的整数值为或1 【分析】本题考查了分式方程的增根，根的正负性与整数解的确定，掌握分式方程增根的处理方法，根的正负性与整数解的条件，结合整式方程求解参数是解题的关键． （1）分式方程的增根是使分母为零的根，先确定增根，代入去分母后的整式方程求的值； （2）将根代入去分母后的整式方程，直接求解的值； （3）先求出整式方程的解，根据根为正数且不为增根，列出不等式求的取值范围； （4）由整式方程的解为正整数，结合为整数，确定为4的正约数，再排除增根对应的值． 【详解】（1）解：方程去分母，得， 整理，得． 分式方程有增根， ． 把代入，得 解得． （2）解：， ， 解得． （3）解：原分式方程的根为正数， 且， 即且， 解得且． （4）解：由，得． 要使分式方程的根为正整数，且为整数， 则或或， 或或． 由（1）可知，当时，该方程有增根，不符合题意， 的整数值为或． 34．（2025七年级上·河北·专题练习）解关于x的分式方程会产生增根，求m的值． 【答案】或6 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，解题的关键在于化分式方程为整式方程，再把增根代入整式方程求出相关字母的值． 将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，将x的值代入整式方程计算求解，即可求出m的值． 【详解】解：， 去分母得：， ∵分式方程会产生增根， ∴， 解得：或， 把代入整式方程得：， 解得：； 把代入整式方程得：， 解得：， 则m的值是或6． 35．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值． 【答案】(1) (2)a的值为3 【分析】本题考查了分式方程的增根和分式方程的解，理解分式方程有增根和解的含义是解题的关键． （1）把代入方程计算，即可求出a的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到或，代入整式方程计算即可求出a的值． 【详解】（1）解：分式方程的根是， ， 解得； （2）去分母得， 整理得， 分式方程有增根， 或， 当时，，此时不存在a的值； 当时，，解得， 综上，a的值为3． 题型8 分式方程的无解计算（共5小题） 36．（25-26八年级下·江西赣州·期中）若关于x的分式方程无解，求m的值． 【答案】或 【分析】解分式方程，然后根据分式方程无解，进行求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得： ， ∵关于x的分式方程无解， ∴或， ∴或， ∴或， 解得：或． 37．（25-26八年级下·吉林长春·期中）若关于x的分式方程无解，求m的值． 【答案】或或 【分析】根据一元一次方程无解和分式方程无解的情况，分别讨论分析即可得解． 【详解】解：， 方程两边同时乘以得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得， 当，即时，该方程无解； 当时，， 关于x的分式方程无解， ， 解得或， 时，原分式方程无解， 解得，或． 综上所述，若关于x的分式方程无解，或或． 38．（25-26八年级上·山东淄博·期末）若解关于x的方程无解，求代数式的值． 【答案】9 【分析】此题考查了分式的化简求值，分式方程无解时求参数问题，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先解分式方程得到，然后由方程无解得到，代入求出，然后代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵关于x的方程无解， ∴ ∴， ∴， ∴， ， 当时，原式． 39．（25-26八年级上·重庆开州·期末）先化简，再求值：，其中使得关于的方程无解． 【答案】，0 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式方程无解的问题，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则以及解分式方程的步骤． 先解分式方程，确定分式方程无解时的的值，然后进行分式的混合运算，再代入求值即可． 【详解】解： ， 解得， 当，即时方程无解； 当时，方程无解，则此时，解得， ∴当或时方程无解， ∵时，中分母为0无意义，舍； ∴当时，原式 40．（25-26七年级上·上海·期末）已知关于的方程． (1)若，求出方程的解； (2)若方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或2或 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法，理解分式方程无解的含义是解题的关键； （1）将代入原方程，再解方程即可； （2）根据方程无解，利用分式方程无解有两种情况：一是化简后的整式方程无解；二是整式方程的解是原方程的增根（使分母为零），首先将原方程化为整式方程，再讨论这些情况即可． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为，， 即， 两边同乘得，， 化简，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解； （2）解：去分母得， 整理得， 当时，整式方程无解，即时，原方程无解； 当时，，解得； 当时，，解得， 即或时，整式方程的解为2或1，此时分式方程无解， 综上所述，的值为或2或． 题型9 解平方根、立方根（共5小题） 41．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）求下列各式中x的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 42．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解： ∴ 解得：或 （2） ∴ ∴ 解得： 43．（2026七年级上·河北·专题练习）求下列的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得，； （3）解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 44．（26-27八年级上·四川成都·期中）已知一个正数m的两个平方根分别是和，且，的立方根是． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) ，， (2) 的平方根为 【分析】 （1）根据正数的两个平方根互为相反数列方程求，根据算术平方根的定义求，根据立方根的定义求； （2）先由的值求出，再计算的值，最后求其平方根． 【详解】（1）解：∵正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∵， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴， 将代入，得， 解得 ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴的平方根是． 45．（26-27八年级上·江苏南京·期中）已知的算术平方根是2，的立方根为． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）算术平方根和立方根的性质，可得，，即可求解； （2）把（1）中的结果代入，再根据平方根的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是2，的立方根为， ∴，， 解得：，； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 题型10 与算术平方根有关的规律探索题（共5小题） 46．（25-26七年级下·江西·期中）根据下表回答下列问题： x 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 x² 196 198.81 201.64 204.49 207.36 210.25 213.16 216.09 219.04 222.01 (1)_______，__________，__________ (2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； (3)若，则满足条件的整数n有__________个． 【答案】(1)14.6；144；0.142 (2)148；1.45 (3)286 【分析】观察表格中数据，找到对应的数据即可解决问题． 【详解】（1）解：观察表格中数据，发现：当时，， ∴； 当时，， ∴； 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵22000与21904更接近， ∴与最接近的整数是148； ∵，且2.1与2.1025更接近， 且， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴整数n的个数为：． 47．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 【答案】(1) 42，110 (2) 14 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探索与应用，解题的关键是通过观察等式特征，归纳出一般规律并用于计算与化简． （1）直接利用规律计算； （2）利用规律列方程求解； （3）先根据规律化简每一项，再用裂项相消法求和． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ， 即， 解得（舍去）． （3）解：原式 ． 48．（25-26七年级下·河北沧州·期中）某数学兴趣小组在学习了平方根后，对和的性质展开了探究，请你参与并完成下列问题： (1)探究的性质（a为非负数） ①计算下列各式的值： ______        ______        ______ ______        ______        ______ ②归纳总结：对于任意非负数等于多少？ (2)探究的性质（为任意实数） ①计算下列各式的值： ______        ______        ______ ______        ______        ______ ②归纳总结：对于任意实数等于多少？ 【答案】(1)①，，，，，；②对于任意非负数 (2)①，，3，，，；②对于任意实数． 【分析】（1）①根据算术平方根的性质计算，②归纳①中的规律即可解答； （2）①分别对几个特殊情况计算求值，②分析①中的规律，得到一般情况的结论即可解答． 【详解】（1）解：①，，， ， ， . ②对于任意非负数. （2）解：①，， ， ，，. ②归纳总结：对于任意实数. 49．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①， ②， ③， ④． (1)观察算式规律，计算______，______； (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律：______； (3)计算： 【答案】(1)7，21 (2) (3) 【分析】（1）观察可知，一个正整数与比它大4的乘积与4的和的算术平方根等于这个正整数与2的和，据此可得答案； （2）根据（1）的规律可知答案； （3）根据（2）的规律把所求式子的每一项变形，再计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， （2）解：①， ②， ③， ④， ……， 以此类推，可知； （3）解： ． 50．（25-26七年级下·江西上饶·期中）根据下表，解答下列问题： x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 (1)______；______；______； (2)的平方根是______；与最接近的整数是______； (3)为宣传保护环境的重要性，某学校计划制作一个如图所示的关于环境保护的长方形宣传栏，已知该长方形宣传栏的长是宽的1.5倍，其面积为，根据表格中提供的数据，求这个长方形宣传栏的长和宽的近似值．（结果均精确到） 【答案】(1)15.6；158；； (2)；15； (3)这个长方形宣传栏的长约为，宽约为． 【分析】（1）根据表中数据结合算术平方根的特点求解即可； （2）求解，，再进一步求解即可； （3）设长方形宣传栏的宽是，则长是，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：由表格可知，， ； ， ∴, ； ， ∴， ． （2）解：∵， 的平方根是； ∵， ∴与最接近的整数是； （3）解：设长方形宣传栏的宽是，则长是， ∴， ∴， 结合表中数据可得：， ∴， ∴这个长方形宣传栏的长约为，宽约为． 题型11 与立方根有关的规律探索题（共5小题） 51．（26-27八年级上·河南驻马店·期中）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【探究】 (1)根据上述等式的规律，再写出一个类似的等式：______________________； 【归纳】 (2)对于任意两个不相等的有理数a，b，若_____________，则，反之也成立； 【应用】 (3)根据（2）的结论：若与的值互为相反数，求x的立方根． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)0 (3)0 【分析】（1）观察题干的过程，即可作答； （2）观察等式①②③④，再总结式子所反映的规律，即可作答； （3）根据（2）的结论得出，解方程求出x，再求出立方根． 【详解】（1）解：∵①； ②； ③； ④． ∴写出一个类似的等式为：（答案不唯一）； （2）解：由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若，则反之也成立； （3）解：与的值互为相反数， ， 解得：， 的立方根是0． 52．（26-27八年级上·广西南宁·期中）在科技节活动中，爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值： ， ； (3)小明思考：如果把算术平方根换成立方根，若，，则 ， ． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】（1）观察给出的表格数据得结论； （2）利用（1）的结论，可得结果； （3）先猜测立方根与被开方数间的关系，利用猜测的关系可得结论． 【详解】（1）解：通过观察可以发现当被开方数扩大倍时，它的算术平方根扩大倍； （2）解：∵， ∴，； （3）解：如果把算术平方根换成立方根，发现当被开方数扩大倍时，它的立方根扩大倍； ∵ ，， ∴，． 53．（25-26七年级下·山东临沂·期末）小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 【答案】(1)两， (2)解：． 详细过程如下： ，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为， 接着划去后面的三位得到数，而，，则， ， ， ， 的十位上的数是，结合其个位上的数是，于是得到， 即的立方根是． 【分析】（1）类比材料中的解法步骤①②求解即可； （2）类比材料中的解法步骤①②③求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为； （2）略 54．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 【答案】(1)25； (2)①；② 【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案； （2）①根据立方根的定义可得，求出的值即可得到答案；②根据（2）①所求可得的值，求出C的算术平方根，即可求出的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意得，若，那么； 若，那么； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴该长方形的周长C为； ②由（2）①得， ∵， ∴． 55．（25-26七年级下·广东广州·期中）著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 【答案】(1)两 (2) (3)；； 【分析】本题考查立方根的估算，按照题干给出的方法，先根据的整数次幂的大小确定立方根的位数，再根据原数的个位数字确定立方根的个位数字，最后划去原数后三位，通过对比相邻整数的立方确定高位数字，即可求出结果． 【详解】（1）解：判断的位数：因为，，且，所以是两位数； （2）解：确定的个位数字：因为的个位数字是，且只有的个位数字为，所以的个位数字是； （3）解：确定的十位数字：划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是， 故； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为 的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去 的后三位，得到， 因为，，且 ， 所以的十位数字是，故 ． 题型12 实数的小数部分、整数部分计算（共5小题） 56．（26-27八年级上·陕西咸阳·期中）在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值． (1)的整数部分为_________，小数部分为__________________． (2)已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先估算出在哪两个相邻的整数之间，这样可得的整数部分为，最后用表示小数部分． （2）先根据题意列出关于，的方程，进一步求出，的值，再根据区间估计法得出的值，最后代入式子求其平方根． 【详解】（1）解：∵， 即， ∴的整数部分为， ∴的小数部分为． （2）解：∵的立方根是，的算术平方根是， ∴，， ∴，． ∵， 即， ∴的整数部分为， ∴， ∴， ∴的平方根是． 57．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）已知某个正数m的两个不同的平方根分别是和，的立方根是2，的整数部分是c： (1)求m、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2) 【分析】（1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出a的值，进而求出m的值，再根据立方根的定义可求出b的值；估算出的取值范围可求出c的值； （2）根据（1）所求求出的值，再根据平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵正数m的两个不同的平方根分别是和， ∴， ∴， ∴； ∵的立方根是2， ∴， ∴； ∵，且， ∴， ∴的整数部分为4，即； （2）解：由（1）得，，， ∴， ∴的平方根为． 58．（26-27八年级上·福建泉州·期中）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能用小数的形式全部表示出来．但是由于的整数部分是1，于是我们可以用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是_________，小数部分是_________； (2)若，为相邻的两个整数，且有成立，求的平方根； 【答案】(1)4， (2) 【分析】（1）利用夹逼法估算的取值范围，确定其整数部分，再用原数减去整数部分得到小数部分； （2）先用夹逼法估算的范围，不等式两边同时加6得到的取值范围，求出相邻整数，计算后再求它的平方根． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是4，小数部分是； （2）解：， ， ， ，， ； 的平方根为． 59．（26-27八年级上·重庆长寿·期中）阅读材料：，的整数部分为2，的小数部分为． (1)的小数部分是多少？ (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过相邻平方数估算的取值范围，进而求其小数部分. （2）先确定的整数部分与小数部分，再代入代数式求值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴的小数部分为. （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，， 将，代入代数式得 ． 60．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如：，即，的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是 （填序号即可）． ①，均为有理数；②；③；④． (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1)； (2)②③④ (3) 【分析】（1）估算的范围，直接写出整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）从数轴读出点表示的数的取值范围，分离出整数与小数，对四个选项逐一推理判断； （3）先估算的范围，再推出的范围，求出整数部分和小数部分，再代入式子计算． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分是，小数部分是． （2）解：设点表示的数为，由图可知，， 则，， 是无理数， 为无理数， 可得为有理数，为无理数， 故①不正确； ，，即， ， 故②正确； ，， ， ，即， 故③正确； ，， ， 故④正确． 综上，正确的说法有②③④． （3）解：，即， 则， ， 则，， ． 题型13 利用二次根式的性质化简（共5小题） 61．（25-26八年级下·四川德阳·期中）有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： 【答案】 【分析】根据数轴判断的大小，进而即可化简求值． 【详解】解：根据数轴可知， 则，，， ∴． 62．（26-27八年级上·山东青岛·期中）阅读材料：二次根式性质： ，对于被开方数是二次三项式的，先配方成完全平方式，再利用上面性质化简． 例： ；当时，原式；当时，原式． 请完成下面问题： (1)仿照例子化简： ； (2)甲乙两人解答： 当，求的值． 甲： 原式 乙： 原式 请判断谁的答案正确，并说明理由； (3)化简求值： ，其中． 【答案】(1)当时，原式；当时，原式 (2)解：甲的答案正确，理由如下： ， 当时，原式； (3) 【分析】（1）把原式化为，然后再化简即可； （2）把原式化为，然后再化简求值即可； （3）把原式化为，再根据绝对值的性质化简，然后求值即可． 【详解】（1）解：； ∴当即时，原式； 当即时，原式； （2）略 （3）解： ， ∵， ∴， ∴ ， 当时，原式． 63．（26-27九年级上·河北·期中）已知． (1)求的值； (2)如果一个三角形的三边长分别是，请化简． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先运用完全平方公式化简原式，然后利用平方根与平方数的非负性，将方程拆解为两个非负数之和为0的形式，进而求出a和b的值． （2）先根据三角形三边关系确定c的取值范围，再通过完全平方公式和绝对值化简，结合c的范围进行代数式化简． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，． （2）由（1）可得，三角形的三边长分别为5，1，c， ，即． ， ，， ． 64．（26-27八年级上·山东济南·期中）先阅读下面解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b（），使，则 ； 例：化简： 请用上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 65．（25-26八年级下·湖南湘西·期中）我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一个数的平方，如，，下面我们观察：；反之，，∴ (1)直接写出答案： ； ． (2)化简：． (3)若，则a与m，n的关系是什么？b与m，n的关系又是什么？ 【答案】(1)； (2) (3)， 【分析】（1）将3拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简，即可求解；将4拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简，即可求解； （2）将5拆分为，再根据完全平方公式和二次根式化简，即可求解； （3）将已知等式两边分别平方，根据对应相等，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，． 题型14 二次根式的混合运算（共5小题） 66．（重庆市南岸区重庆市第110中教育集团2026－2027学年度八年级数学10月教情调研试题）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别计算算术平方根、立方根，再化简绝对值，最后进行加减运算． （2）先用完全平方公式展开前面的式子，再用平方差公式计算后面的乘积，最后合并化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 67．（26-27九年级上·四川资阳·期中）计算下列各题 (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 68．（26-27八年级上·山东枣庄·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 69．（26-27八年级上·上海静安·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）首先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． （2）先将系数和被开方数分别按照乘除运算法则进行计算，再将结果化为最简二次根式；如果有变量，需要先确定变量的取值范围保证根式有意义． （3）先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再将每个根式化为最简二次根式，之后合并同类二次根式． （4）先识别完全平方公式、平方差公式的结构，对多项式进行因式分解，再结合二次根式的运算规则约分、化简． 【详解】（1）解：化简各项得， ， ， ． 代入原式得， 原式． （2）解：分别计算系数和被开方数得， 系数部分：， 被开方数部分：． 原式． （3）解：化简各项得， ， ， ． 合并得，原式． （4）解：因式分解后约分， ， ， ，得， 原式 ． 70．（26-27八年级上·广东深圳·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型15 分母有理化（共5小题） 71．（26-27八年级上·上海静安·期中）若，求的值． 【答案】 【分析】将化简成，然后化简，将值代入即可求出． 【详解】解： ， 原式 72．（26-27八年级上·山东青岛·期中）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)分母有理化：_______； (2)观察上面解答过程，请写出______； (3)若，请按照小明的方法求出的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为5 【分析】（1）利用平方差公式将题目中的式子分母有理化即可； （2）利用平方差公式将题目中的式子分母有理化即可； （3）根据小明的分析过程，分母有理化并变形得到，，再代入所求的代数式，然后求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：， ， ，即， ， ， ， ． 73．（25-26九年级上·山西·期中）观察下列等式： ① ② 解答下列问题． (1)　　　； (2)　　　；（为正整数） (3)利用上面所揭示的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)44 【分析】（1）根据题中所给的方法，分子分母同时乘以，再计算解答； （2）根据题中所给的方法，分子分母同时乘以，再计算解答； （3）根据（2）的规律对每一项进行裂项，再进行加减计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：原式 ． 74．（25-26八年级上·上海金山·期中）观察下列等式： ；；； 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第个等式：________； (2)请写出第个等式：________； (3)求的值：________； (4)数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为，所以． 所以，所以，所以， 所以，所以 利用上述方法：若，求的值． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3) (4) 【分析】（1）观察题干推导出第个等式； （2）每个等式的分母都是连续的正奇数，用含的代数式表示即可； （3）利用（2）中的规律求和即可； （4）先将分母有理化，再利用完全平方公式变形求出代数式的值． 【详解】（1）解：观察题干可知，第个等式为； （2）解：观察可得，每个等式的分母都是连续的正奇数， ∴第个等式为（为正整数）； （3）解： ； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 75．（25-26八年级下·广东珠海·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据分母有理化的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 题型16 二次根式的规律计算题（共5小题） 76．（26-27九年级上·甘肃天水·期中）阅读以下材料：观察下列等式，找找规律 ① ②； ③ (1)化简： (2)计算： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照材料中的分母有理化方法，分子分母同乘，利用平方差公式化简； （2）先将每一项进行分母有理化，再通过抵消中间项计算结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 77．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）观察以下等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式：________； (2)按照上述等式反映的规律，写出第个等式（用含的等式表示）________； (3)验证（2）中等式的正确性． 【答案】(1) (2)第个等式：，（n为正整数） (3)证明：∵左边右边， ∴等式成立． 【分析】（1）观察已知等式即可求解； （2）根据题意写出等式即可； （3）利用二次根式的性质化简证明即可． 【详解】（1）解：根据题意得：第4个等式为； （2）略． （3）略． 78．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）【观察·发现】观察下表中的式子，并发现其中的规律： 第个 第个 第个 第个 第个 第个 … … 【归纳·说理】根据上表式子所包含的规律，解决问题： (1)估计第个式子的值在哪两个连续整数之间，试说明理由； (2)写出第个式子，并化简． 【答案】(1)解：估计第个式子的值在连续整数与之间．理由如下： 由表格可知第个式子是， ∴第个式子是，其值为，且， ∴， ∴第个式子的值在连续整数与之间； (2)第个式子为；化简得． 【分析】（1）先求出第个式子的值，进而进行估算即可； （2）求出第个式子并化简即可． 【详解】（1）略； （2）解：第个式子为， ． 79．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， ．．．．．． (1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：________； (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式，并证明； (3)利用（2）中的规律计算：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）对二次根式进行通分、化简，最终开方得到整式或分式形式，并观察规律得出下一个等式的表达形式. （2）通过观察等式的分子、分母、结果的变化规律，用含的代数式表示第个等式，并进行分式的混合运算，化简得出结论． （3）利用前面的规律，将多个二次根式的乘积转化为分式的连乘，通过 “中间项全部抵消” 的连锁约分简化计算，得到答案． 【详解】（1）解：根号内的分子为：是连续奇数，第个为， 根号内的分母为：，第个为， 等式右边为：，第个为， ∴第个等式为：，即； （2）解：根号内的分子：是连续奇数， ∴第个为， 根号内的分母：， ∴第个为， 等式右边:， ∴第个为， ∴第个等式为：， 证明：左边， 为正整数， ， 原等式成立； （3）解：， ， 根据（2）中结论可得， 上式． 80．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程． 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： … 根据上述探究过程，解答下列问题： (1)仿照第3个等式，写出第4个等式______； (2)观察、归纳，得出猜想，若为正整数，用含的式子表示第个等式：______； (3)应用上述运算规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料提示计算即可； （2）由材料提示，归纳总结；运用二次根式的性质，二次根式的混合运算法则证明即可； （3）根据材料提示的方法把，再根据二次根式的乘法运算计算即可． 【详解】（1）解：第4个等式为：； （2）解：由上述计算可得，如果n为正整数，上述的运算规律为：； （3）解： ． 提升·进阶突破 题型17 分式和分式方程、实数与二次根式进阶练（共10小题） 81．（26-27七年级上·福建福州·期中）观察下列等式： ；；； 可得： (1)根据以上特征，猜想并写出：______________（不需要写出最终的计算结果）； (2)利用上述猜想计算：； (3)探究并计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据题意即可得出答案； （2）先把所求式子裂项，然后计算求解即可； （3）先把所求式子裂项，然后计算求解即可； 【详解】（1）解：由题意可知，； （2）解： ； （3）解： ． 82．（26-27七年级上·上海宝山·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ． 当，时，原式． 83．（26-27八年级上·北京通州·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算乘方，再按照分式除法运算法则计算即可； （2）先对分母因式分解，然后按照异分母分式加减法运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 84．（26-27八年级上·山东济宁·期中）已知关于的方程． (1)当时，求这个分式方程的解； (2)当此方程会产生增根时，求的值． 【答案】(1) 原分式方程的解为 (2) 的值为 【分析】（1）代入，将分式方程转化为整式方程求解，检验后得解； （2）根据增根的定义确定增根，代入整式方程求得的值． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ， 两边同乘，得， ， ， ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． （2）解：∵增根是使分式方程分母为0的根， ∴令，，得增根为， 原方程两边同乘，得， 将代入上式，得， ， ∴当方程产生增根时，的值为． 85．（2026七年级上·河北·专题练习）已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据立方根及算术平方根的定义即可求得的值； （2）将，的值代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， 解得， ∵的算术平方根是3， ∴， 解得； （2）解：由（1）得， ∴， ∴的平方根为． 86．（26-27八年级上·广东佛山·期中）已知的平方根是，是的立方根，是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】的算术平方根为 【分析】由平方根定义“一个数的平方根为，则该数等于”求出；由立方根定义求出；用夹逼法找到与相邻的两个完全平方数、，确定的范围，得到其整数部分；最后代入代数式求值，并注意所求的是算术平方根而非平方根． 【详解】解：的平方根是， ，解得． 是的立方根， ． ，即，且是的整数部分， ． ． 的算术平方根为． 87．（26-27八年级上·江苏连云港·期中）求下列各式中的： (1)； (2)． 【答案】(1) 或 (2) 【详解】（1）解：； ， 解得或； （2）解：， ， ， ． 88．（26-27八年级上·四川成都·期中）按要求完成下列各题： (1)已知的立方根是2，的算术平方根是3，求的平方根； (2)已知，，求代数式的值． 【答案】(1)的平方根为 (2)的值为 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是3， ∴，， 解得，， ∴， ∴的平方根为； （2）解：∵，， ∴． 89．（26-27八年级上·河南郑州·期中）阅读材料： 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，；… 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 根据题意，得，移项可得． 根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方可得证． 根据以上材料，解决以下问题： (1)补全小明的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则的值是_____． (3)若和为相差4的两个整数，求的值． 【答案】(1)证明：∵和为相邻的两个整数，且， ∴， 移项得， 两边同时平方，得， 即， ∴； (2) (3) 【分析】（1）对两边平方展开，整理即可证明结论． （2）利用（1）的结论，代入两被开方数的差求解． （3）根据两平方根相差4的关系列等式，平方后消去求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵和为相邻整数，， ∴由（1）的结论得， 即， 解得， ∴； （3）解：∵和为相差4的整数，， ∴， 移项得， 两边平方得， 整理得， 解得， ∴． 90．（26-27八年级上·河北·期中）形如与（a，b均为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，因为，所以与互为有理化因式． (1)判断与是不是互为有理化因式，并说明理由； (2)请直接写出的有理化因式（为正有理数）； (3)请比较与的大小． 【答案】(1)与互为有理化因式． 理由如下：因为， 所以与互为有理化因式． (2)或 (3) 【分析】（1）计算与的乘积，看结果是否不含有根号即可判断． （2）根据互为有理化因式的定义，形如与的两个代数式互为有理化因式． （3）先分别对与进行分母有理化，再进行比较即可． 【详解】（1）略 （2）解：； 的有理化因式为； 同理可得另一个有理化因式为． （3）解：因为， ， 所以， 因为， 所以． 拔高·压轴破难 题型18 分式和分式方程、实数与二次根式压轴练（共10小题） 91．（25-26七年级下·浙江台州·期末）请阅读下列材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 例如：，，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．例如将转化为几个和谐分式的和： 解：设，将右边通分，得，依据题意，得，解得，所以． (1)①分式是___________（填“和谐分式”或“非和谐分式”）． ②把和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值． (3)如果，，请用含有和的式子表示． 【答案】(1)①和谐分式；②； (2)或或； (3) 【分析】（1）将进行化简，再结合“和谐分式”的定义判断即可；②对进行化简即可； （2）设，仿照题意计算得出，，从而可得，再结合分式的值为整数，得出为整数，且，，令，则，从而可得为整数，解得或或，分情况计算即可得出结果； （3）求出，，从而可得，再结合完全平方公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①，其中为整式，分子为常数，符合和谐分式的定义，故分式是和谐分式； ②； （2）解：设， ∵， ∴，， 解得，， ∴， ∵分式的值为整数， ∴为整数，且，， 令，则， ∴为整数， 解得或或， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，满足条件的整数的值为或或； （3）解：， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴， ， ． 92．（25-26八年级下·四川巴中·期末）【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式，，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：，． (1)【概念理解】分式是___________分式，是________分式（填“真”或“假”）； (2)【方法应用】将假分式化为带分式； (3)【迁移拓展】若为整数，分式值也为整数，求所有符合条件的的值． 【答案】(1)真；假 (2) (3)或或或 【分析】（1）根据定义判断即可； （2）凑出分母的因式，拆分分子，分离整式与真分式； （3）先把假分式化为带分式，分式整体为整数，则剩余真分式部分的分子必须能被分母整除，据此列出所有整数解． 【详解】（1）解：分式：分子次数为0，分母次数为1，，是真分式； 分式：分子次数为2，分母次数为1，，是假分式． （2）解：， 带分式形式：． （3）解：， 是整数，是整数，原式整体为整数， 必须是整数，即是5的整数约数． 5的整数约数：， 分四类讨论： ，； ，； ，； ，， 同时分母，上述取值均满足分母不为0． 符合条件的整数：． 93．（25-26八年级下·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 94．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）定义：若分式与的和为（为正整数），则称分式、互为“阶分式”．例如：∵分式与的和为，∴分式与互为“阶分式”． (1)分式与互为“__________阶分式”； (2)设正数，互为倒数，为正整数，求证：分式与互为“阶分式”； (3)分式与互为“阶分式”，若为整数，则整数的值为__________ 【答案】(1) (2)证明：∵，互为倒数， ∴， ∴， ， ∴分式与互为“阶分式”． (3) 或 【分析】（1）将两个分式求和，根据结果判断即可； （2）由倒数的意义可得，再与求和即可； （3）根据题意可得分式方程，求解得，结合整数的性质可得或，排除其中无意义的根即可． 【详解】（1）解：， ∴分式与互为“阶分式”； （2）略 （3）解：∵分式与互为“阶分式”， ∴， 解得， ∵、都是整数， ∴是的因数，即或， 当时，，，原分式无意义，故舍去； 当时，，，符合题意； 当时，，，原分式无意义，故舍去； 当时，，，符合题意； 综上所述，或． 95．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期末）若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“舒适区间”为；同理，规定无理数的“舒适区间”为．例如：因为，所以，所以的“舒适区间”为，的“舒适区间”为．请解答下列问题： (1)若的“舒适区间”为，且a为偶数，求的小数部分； (2)实数x，y，m满足关系式：，求的“舒适区间”． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）求出，分两种情况进行解答即可； （2）求出，由即可得到答案． 【详解】（1）解：由条件可知， ， 为偶数， ， 若，则，，因此小数部分为； 若，则，，因此小数部分为； 的小数部分为或； （2）解：由条件可知，， ，； ， ∴右边， ， 两边立方得：， ， ， ， ， 的“舒适区间”为． 96．（25-26八年级下·重庆南岸·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值也为 【分析】先分别化简整式部分和分式部分，合并得到最简结果，再计算出的值，代入得到最终结果． 【详解】解：原式 ， 当时，原式结果仍为． 97．（25-26八年级下·河北·期中）若关于x的方程无解，求实数a的值． 【答案】 或 【分析】本题先将分式方程化为整式方程，得到用表示的结果，根据分式方程无解的条件可知，整式方程的根是原分式方程的增根，增根使原分式方程分母为0，据此代入计算即可得到的值． 【详解】解： 方程两边同时乘以，得 整理得 解得 因为原分式方程无解， 所以是原方程的增根 原方程分母为0时，或 当时，解得 当时，解得 因此实数的值为或． 98．（26-27八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，徐老师出了一道题“已知，求的值”．聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以， 所以，所以， 所以，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ． ； (2)比较大小： （填，，，或中的一种）； (3)计算：； (4)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)2； (4)0. 【分析】（1）因为，所以的有理化因式是；把的分子、分母同时乘以，可得结果为； （2）把转化为，把转化为，因为，根据分子相同的两个分数，分母越大分数越小，可得：，从而可知； （3）分别进行分母有理化，可得，再进行计算； （4）首先把进行分母有理化，可得：，得出，再整体代入代数式计算求值即可． 【详解】（1）解：， 的有理化因式是； ； （2）解： ， ； ， ； （3）解： ； （4）解：， ∴， ∴ ． 99．（24-25八年级上·山东青岛·期中）观察下列计算：，，，… (1)______；______． (2)用含n的代数式表示你所发现的规律； (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) ； (2) 当为正整数时， (3) 【分析】（1）根据分母有理化的方法进行计算即可； （2）根据题干中提供的信息进行解答即可； （3）根据得出的规律，利用二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：， ， ， … ． （3）解： ． 100．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）定义：若两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“有理二次根式”，例如，若，则称与是关于5的“有理二次根式”；若，则称与是关于1的“有理二次根式”． (1)若与是关于4的“有理二次根式”，则的值为_______； (2)若与是关于3的“有理二次根式”，则的值为_______； (3)已知与，若与是关于2的“有理二次根式”，且，为整数，请求出，的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据“有理二次根式”的定义计算即可； （2）根据“有理二次根式”的定义得到，即可求解； （3）方法一：根据“有理二次根式”的定义得到，将左边展开后可得关于m，n的方程组，求解即可； 方法二：根据定义可得，结合m，n为整数即可解答． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：由题意，得， ∴， ∴， ∴； （3）解：方法一：由题意得，即 ，为整数， ， 解得． 方法二：由题意得 ，为整数， ，． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 分式和分式方程、实数与二次根式计算题 基础·固本强基 题型1 分式的求值计算 题型2 分式的求整计算 题型3 分式的四则混合运算 题型4 分式化简求值 题型5 解分式方程 题型6 根据分式方程解的情况求值 题型7 分式方程的增根计算 题型8 分式方程的无解计算 题型9 解平方根、立方根 题型10 与算术平方根有关的规律探索题 题型11 与立方根有关的规律探索题 题型12 实数的小数部分、整数部分计算 题型13 利用二次根式的性质化简 题型14 二次根式的混合运算 题型15 分母有理化 题型16 二次根式的规律计算题 提升·进阶突破 题型17 分式和分式方程、实数与二次根式进阶练 拔高·压轴破难 题型18 分式和分式方程、实数与二次根式压轴练 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 分式的求值计算（共5小题） 1．（25-26八年级下·河北·期中）按要求完成下列各题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）先利用分式的基本性质化简分式后再求值：，其中，． 3．（2026·北京大兴·一模）已知，求代数式的值． 4．（25-26八年级下·河北·期中）[核心素养]阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由，得， ∴，即， ∴． 请你借鉴上面的方法解答下面的问题： (1)已知，则的值为______，的值为______； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 5．（2026八年级下·河北·专题练习）已知分式． (1)当时，分式的值为0，求的值； (2)若，求分式的值． 题型2 分式的求整计算（共5小题） 6．（26-27八年级上·河北沧州·期中）已知，当时，分式无意义，当时，此分式的值为0． (1)求，的值； (2)当分式的值为正整数时，求出整数的值． 7．（25-26八年级下·广东茂名·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①；    ②；    ③； (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 8．（25-26七年级下·浙江杭州·期末）对于形如的分式，可通过配凑变形，化为一个常数与分子为常数的分式相加的形式：（m，n为常数），该方法称为分离常数法． 例如：． (1)将分式化为形式，并写出m，n的值． (2)若x为正整数，且分式的值为正整数，求x的值． 9．（25-26八年级下·山东枣庄·期末）阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：． (1)分式是 （填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为带分式； (3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数x的值． 10．（25-26七年级下·山东济南·期末）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”．如，这样的分式就是真分式，，这样的分式就是假分式． 类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如，． 根据材料，解决下列问题： 【理解知识】 (1)分式是_________分式（填“真”或“假”）； 【掌握知识】 (2)将假分式化为带分式； 【运用知识】 (3)求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 题型3 分式的四则混合运算（共5小题） 11．（26-27八年级上·山东淄博·期中）计算： (1) (2) 12．（26-27八年级上·湖南娄底·期中）计算： (1)； (2)． 13．（26-27八年级上·河北·期末）计算： (1)； (2)． 14．（26-27八年级上·河北·期中）计算： (1)； (2)． 15．（26-27八年级上·河北·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 题型4 分式化简求值（共5小题） 16．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中a满足． 17．（26-27九年级上·山东济宁·期中）先化简再求值：，选取一个合适的数代入计算． 18．（26-27八年级上·广西桂林·期中）先化简，再求值：，其中是满足不等式的正整数解． 19．（26-27八年级上·山东聊城·期中）先化简，再求值：，其中． 20．（26-27八年级上·河北秦皇岛·期中）先化简，再求值：，其中，． 题型5 解分式方程（共5小题） 21．（26-27八年级上·河北沧州·期中）解分式方程： (1)； (2)． 22．（26-27八年级上·河北秦皇岛·期中）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 23．（26-27九年级上·广东深圳·自主招生）解方程： (1)； (2)． 24．（26-27八年级上·山东淄博·期中）解分式方程： (1)； (2)． 25．（26-27九年级上·山东淄博·期中）解方程： (1)； (2)． 题型6 根据分式方程解的情况求值（共5小题） 26．（26-27八年级上·北京通州·期中）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（     ） A．且 B． C．且 D． 27．（2026·河北·模拟预测）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 28．（25-26八年级上·山东烟台·期中）已知分式方程的解为，则的值为（     ） A．2 B．3 C．7 D．12 29．（25-26八年级下·福建漳州·期中）若关于的分式方程的解为正实数，求的取值范围． 30．（25-26八年级下·河南周口·期中）已知关于的分式方程． (1)若该分式方程的解是，求的值； (2)若该分式方程的解是非负数，求的取值范围． 题型7 分式方程的增根计算（共5小题） 31．（26-27九年级·河北·暑假作业）若关于的分式方程有增根，求的值． 32．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）已知关于x的分式方程． (1)若在解此方程时产生了增根，则m的值是 ； (2)若此方程的解是正数，求m的取值范围． 33．（2026八年级下·河北·专题练习）已知关于的分式方程． (1)若分式方程有增根，求的值． (2)若分式方程的根为，求的值． (3)若分式方程的根为正数，求的取值范围． (4)若分式方程的根为正整数，求的整数值． 34．（2025七年级上·河北·专题练习）解关于x的分式方程会产生增根，求m的值． 35．（24-25七年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值． 题型8 分式方程的无解计算（共5小题） 36．（25-26八年级下·江西赣州·期中）若关于x的分式方程无解，求m的值． 37．（25-26八年级下·吉林长春·期中）若关于x的分式方程无解，求m的值． 38．（25-26八年级上·山东淄博·期末）若解关于x的方程无解，求代数式的值． 39．（25-26八年级上·重庆开州·期末）先化简，再求值：，其中使得关于的方程无解． 40．（25-26七年级上·上海·期末）已知关于的方程． (1)若，求出方程的解； (2)若方程无解，求的值． 题型9 解平方根、立方根（共5小题） 41．（26-27八年级上·江苏盐城·期中）求下列各式中x的值： (1) (2) 42．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2) 43．（2026七年级上·河北·专题练习）求下列的值： (1)； (2)； (3)． 44．（26-27八年级上·四川成都·期中）已知一个正数m的两个平方根分别是和，且，的立方根是． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 45．（26-27八年级上·江苏南京·期中）已知的算术平方根是2，的立方根为． (1)求，的值； (2)求的平方根． 题型10 与算术平方根有关的规律探索题（共5小题） 46．（25-26七年级下·江西·期中）根据下表回答下列问题： x 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 x² 196 198.81 201.64 204.49 207.36 210.25 213.16 216.09 219.04 222.01 (1)_______，__________，__________ (2)与哪个整数最接近？求的近似值（结果精确到0.01）； (3)若，则满足条件的整数n有__________个． 47．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 48．（25-26七年级下·河北沧州·期中）某数学兴趣小组在学习了平方根后，对和的性质展开了探究，请你参与并完成下列问题： (1)探究的性质（a为非负数） ①计算下列各式的值： ______        ______        ______ ______        ______        ______ ②归纳总结：对于任意非负数等于多少？ (2)探究的性质（为任意实数） ①计算下列各式的值： ______        ______        ______ ______        ______        ______ ②归纳总结：对于任意实数等于多少？ 49．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①， ②， ③， ④． (1)观察算式规律，计算______，______； (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律：______； (3)计算： 50．（25-26七年级下·江西上饶·期中）根据下表，解答下列问题： x 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 16 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 256 (1)______；______；______； (2)的平方根是______；与最接近的整数是______； (3)为宣传保护环境的重要性，某学校计划制作一个如图所示的关于环境保护的长方形宣传栏，已知该长方形宣传栏的长是宽的1.5倍，其面积为，根据表格中提供的数据，求这个长方形宣传栏的长和宽的近似值．（结果均精确到） 题型11 与立方根有关的规律探索题（共5小题） 51．（26-27八年级上·河南驻马店·期中）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【探究】 (1)根据上述等式的规律，再写出一个类似的等式：______________________； 【归纳】 (2)对于任意两个不相等的有理数a，b，若_____________，则，反之也成立； 【应用】 (3)根据（2）的结论：若与的值互为相反数，求x的立方根． 52．（26-27八年级上·广西南宁·期中）在科技节活动中，爱探究思考的小明，在实验室利用计算器计算得到下列数据： … … … 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 … (1)通过观察可以发现当被开方数扩大100倍时，它的算术平方根扩大 倍； (2)已知，根据上述规律直接写出下列各式的值： ， ； (3)小明思考：如果把算术平方根换成立方根，若，，则 ， ． 53．（25-26七年级下·山东临沂·期末）小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 54．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律． 已知，则，；已知，则，； 已知，则，；已知，则，； (1)根据小明的发现，请填空：若，那么 ；若，那么 ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用，来表示，且满足． ①求该长方形的周长． ②若将长方形的周长扩大为原来的100倍，得到新的周长，请利用（1）中所得规律，求出的值． 55．（25-26七年级下·广东广州·期中）著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 题型12 实数的小数部分、整数部分计算（共5小题） 56．（26-27八年级上·陕西咸阳·期中）在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值． (1)的整数部分为_________，小数部分为__________________． (2)已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 57．（26-27八年级上·江苏无锡·期中）已知某个正数m的两个不同的平方根分别是和，的立方根是2，的整数部分是c： (1)求m、b、c的值； (2)求的平方根． 58．（26-27八年级上·福建泉州·期中）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能用小数的形式全部表示出来．但是由于的整数部分是1，于是我们可以用来表示的小数部分．又例如： ，即， 的整数部分是2，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是_________，小数部分是_________； (2)若，为相邻的两个整数，且有成立，求的平方根； 59．（26-27八年级上·重庆长寿·期中）阅读材料：，的整数部分为2，的小数部分为． (1)的小数部分是多少？ (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求代数式的值． 60．（26-27八年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是，于是用来表示的小数部分． 又例如：，即，的整数部分是，小数部分为． (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)点表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为，小数部分为，则下列对于，的说法正确的是 （填序号即可）． ①，均为有理数；②；③；④． (3)若，分别是的整数部分和小数部分，求的值． 题型13 利用二次根式的性质化简（共5小题） 61．（25-26八年级下·四川德阳·期中）有理数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： 62．（26-27八年级上·山东青岛·期中）阅读材料：二次根式性质： ，对于被开方数是二次三项式的，先配方成完全平方式，再利用上面性质化简． 例： ；当时，原式；当时，原式． 请完成下面问题： (1)仿照例子化简： ； (2)甲乙两人解答： 当，求的值． 甲： 原式 乙： 原式 请判断谁的答案正确，并说明理由； (3)化简求值： ，其中． 63．（26-27九年级上·河北·期中）已知． (1)求的值； (2)如果一个三角形的三边长分别是，请化简． 64．（26-27八年级上·山东济南·期中）先阅读下面解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b（），使，则 ； 例：化简： 请用上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 65．（25-26八年级下·湖南湘西·期中）我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一个数的平方，如，，下面我们观察：；反之，，∴ (1)直接写出答案： ； ． (2)化简：． (3)若，则a与m，n的关系是什么？b与m，n的关系又是什么？ 题型14 二次根式的混合运算（共5小题） 66．（重庆市南岸区重庆市第110中教育集团2026－2027学年度八年级数学10月教情调研试题）计算 (1)； (2)． 67．（26-27九年级上·四川资阳·期中）计算下列各题 (1)； (2)； (3) 68．（26-27八年级上·山东枣庄·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 69．（26-27八年级上·上海静安·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 70．（26-27八年级上·广东深圳·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型15 分母有理化（共5小题） 71．（26-27八年级上·上海静安·期中）若，求的值． 72．（26-27八年级上·山东青岛·期中）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)分母有理化：_______； (2)观察上面解答过程，请写出______； (3)若，请按照小明的方法求出的值． 73．（25-26九年级上·山西·期中）观察下列等式： ① ② 解答下列问题． (1)　　　； (2)　　　；（为正整数） (3)利用上面所揭示的规律计算：． 74．（25-26八年级上·上海金山·期中）观察下列等式： ；；； 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第个等式：________； (2)请写出第个等式：________； (3)求的值：________； (4)数学课上，老师出了一道题“已知，求的值．” 聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为，所以． 所以，所以，所以， 所以，所以 利用上述方法：若，求的值． 75．（25-26八年级下·广东珠海·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如，的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简，，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 题型16 二次根式的规律计算题（共5小题） 76．（26-27九年级上·甘肃天水·期中）阅读以下材料：观察下列等式，找找规律 ① ②； ③ (1)化简： (2)计算： 77．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）观察以下等式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式：________； (2)按照上述等式反映的规律，写出第个等式（用含的等式表示）________； (3)验证（2）中等式的正确性． 78．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）【观察·发现】观察下表中的式子，并发现其中的规律： 第个 第个 第个 第个 第个 第个 … … 【归纳·说理】根据上表式子所包含的规律，解决问题： (1)估计第个式子的值在哪两个连续整数之间，试说明理由； (2)写出第个式子，并化简． 79．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， ．．．．．． (1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：________； (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式，并证明； (3)利用（2）中的规律计算：． 80．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）小强根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小强的探究过程． 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： … 根据上述探究过程，解答下列问题： (1)仿照第3个等式，写出第4个等式______； (2)观察、归纳，得出猜想，若为正整数，用含的式子表示第个等式：______； (3)应用上述运算规律计算：． 提升·进阶突破 题型17 分式和分式方程、实数与二次根式进阶练（共10小题） 81．（26-27七年级上·福建福州·期中）观察下列等式： ；；； 可得： (1)根据以上特征，猜想并写出：______________（不需要写出最终的计算结果）； (2)利用上述猜想计算：； (3)探究并计算：． 82．（26-27七年级上·上海宝山·期中）先化简，再求值：，其中，． 83．（26-27八年级上·北京通州·期中）计算： (1) (2)． 84．（26-27八年级上·山东济宁·期中）已知关于的方程． (1)当时，求这个分式方程的解； (2)当此方程会产生增根时，求的值． 85．（2026七年级上·河北·专题练习）已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 86．（26-27八年级上·广东佛山·期中）已知的平方根是，是的立方根，是的整数部分，求的算术平方根． 87．（26-27八年级上·江苏连云港·期中）求下列各式中的： (1)； (2)． 88．（26-27八年级上·四川成都·期中）按要求完成下列各题： (1)已知的立方根是2，的算术平方根是3，求的平方根； (2)已知，，求代数式的值． 89．（26-27八年级上·河南郑州·期中）阅读材料： 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，；… 小明发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 根据题意，得，移项可得． 根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方可得证． 根据以上材料，解决以下问题： (1)补全小明的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则的值是_____． (3)若和为相差4的两个整数，求的值． 90．（26-27八年级上·河北·期中）形如与（a，b均为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，因为，所以与互为有理化因式． (1)判断与是不是互为有理化因式，并说明理由； (2)请直接写出的有理化因式（为正有理数）； (3)请比较与的大小． 拔高·压轴破难 题型18 分式和分式方程、实数与二次根式压轴练（共10小题） 91．（25-26七年级下·浙江台州·期末）请阅读下列材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 例如：，，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．例如将转化为几个和谐分式的和： 解：设，将右边通分，得，依据题意，得，解得，所以． (1)①分式是___________（填“和谐分式”或“非和谐分式”）． ②把和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值． (3)如果，，请用含有和的式子表示． 92．（25-26八年级下·四川巴中·期末）【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式，，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：，． (1)【概念理解】分式是___________分式，是________分式（填“真”或“假”）； (2)【方法应用】将假分式化为带分式； (3)【迁移拓展】若为整数，分式值也为整数，求所有符合条件的的值． 93．（25-26八年级下·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 94．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）定义：若分式与的和为（为正整数），则称分式、互为“阶分式”．例如：∵分式与的和为，∴分式与互为“阶分式”． (1)分式与互为“__________阶分式”； (2)设正数，互为倒数，为正整数，求证：分式与互为“阶分式”； (3)分式与互为“阶分式”，若为整数，则整数的值为__________ 95．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期末）若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“舒适区间”为；同理，规定无理数的“舒适区间”为．例如：因为，所以，所以的“舒适区间”为，的“舒适区间”为．请解答下列问题： (1)若的“舒适区间”为，且a为偶数，求的小数部分； (2)实数x，y，m满足关系式：，求的“舒适区间”． 96．（25-26八年级下·重庆南岸·期末）先化简，再求值：，其中． 97．（25-26八年级下·河北·期中）若关于x的方程无解，求实数a的值． 98．（26-27八年级上·辽宁沈阳·期中）阅读材料：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．数学课上，徐老师出了一道题“已知，求的值”．聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答： 因为， 所以， 所以，所以， 所以，所以，所以． 请你根据上述材料和小明的解答过程，解决如下问题： (1)的有理化因式是 ． ； (2)比较大小： （填，，，或中的一种）； (3)计算：； (4)若，求的值． 99．（24-25八年级上·山东青岛·期中）观察下列计算：，，，… (1)______；______． (2)用含n的代数式表示你所发现的规律； (3)利用这一规律计算：． 100．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）定义：若两个含有二次根式的代数式，满足，且是有理数，则称与是关于的“有理二次根式”，例如，若，则称与是关于5的“有理二次根式”；若，则称与是关于1的“有理二次根式”． (1)若与是关于4的“有理二次根式”，则的值为_______； (2)若与是关于3的“有理二次根式”，则的值为_______； (3)已知与，若与是关于2的“有理二次根式”，且，为整数，请求出，的值． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $