第三章 函数的概念与性质（单元测试-冲刺卷）高一数学人教A版必修第一册

第三章 函数的概念与性质（冲刺卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若有意义，则，解得，故B正确. 2．若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，可设， 由，所以. 所以. 3．已知函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】A 【详解】因为，所以，所以. 4．已知函数的定义域为R，为偶函数，在上单调递减，且．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是偶函数推得的图象关于直线对称，利用函数的对称性与单调性,结合题设条件求解抽象不等式即可. 【详解】因为是偶函数，所以，即的图象关于直线对称． 又在上单调递减，且，则在上单调递增，且， 故等价于．所以． 5．定义符号函数，设函数，其中，.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对不等式分类讨论，即，分别求出，然后由解不等式即可. 【详解】①当时，； ②当时，； ③当时，； 综上所述，，其图象如图所示： 结合图象，由可得， 当时，可得，解得； 当时，，不满足题意； 当时，可得，解得； 综上所得，实数的取值范围是. 6．函数的图象如图所示，其右侧部分与轴正半轴无限接近，但永不相交．下列的取值中，只有唯一的值与之对应的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图象可知，当时，函数的图象与直线的交点有且仅有一个. 即时，只有唯一的值与之对应. 7．记，已知 ，则的最小值为（   ） A．4 B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】因为，所以， 等号成立时， 因为，等号成立时， 故的最小值为 8．设是定义在上的连续函数，且满足.令.若是奇函数，则称为“平方奇差函数”.已知为“平方奇差函数”，令.给出下列命题： ①；②是偶函数；③若是常值函数，则满足条件的只有两个. 其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用为“平方奇差函数”的定义可知，对于命题①，令，可得，解得；对于命题②，由已知可得为周期函数，结合，可得是偶函数；对于命题③，若是常值函数，设，则.再由，可知或，故命题③正确. 【详解】因为为“平方奇差函数”， 所以 化简可得. 对于命题①，令，则， 解得或，故命题①正确； 对于命题②，， 因为，结合 可得， 若是偶函数，则，即证 即证， 即证， 即证 即证或 若等价于符合题意. 因为，所以的情况不存在， 综上， 是偶函数，命题②正确. 对于命题③，若是常值函数，设，则. 因为为奇函数，得， 即，又因为， 所以，解得或. 所以或.故命题③正确. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若函数，则（     ） A． B．的定义域为 C． D． 【答案】AB 【分析】依次代入求值求定义域、计算复合函数、判断，逐一检验四个选项对错. 【详解】对于A：将代入，得，A正确； 对于B：由，解得或，所以定义域为，B正确; 对于C：由A得，则，C错误； 对于D：代入得，D错误. 10．已知函数与满足，，，则（     ） A． B．是偶函数 C． D． 【答案】BCD 【分析】先由条件得到，的解析式，再逐项分析即可。 【详解】令，得， 令，得， 再令，有，所以， 令，则，因此，. A选项：，不一定等于，故A不正确； B选项：，是偶函数，故B正确； C选项：故C正确； D选项：，，故D正确. 11．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（    ） A．存在，有 B．对任意，都存在， C．若，，则有 D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形 【答案】AC 【详解】由题意，当是有理数时，；当是无理数时，. 对于A ，当是无理数时，也是无理数，， ，故A正确； 对于B，当是无理数时，若为有理数，则是无理数，，，，故B错误； 对于C，由题意知函数的值域为，当且时，，， 所以，故 C正确； 对于D，由函数的值域为，可知△三个顶点的纵坐标要么有两个和一个，要么有两个和一个， 不妨设，，如图，在等腰直角△中，取斜边AC的中点D， ，所以， 故当即是有理数时，也是有理数，从而有，这与矛盾，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知．则_____. 【答案】 【详解】由得，故. 13．若对任意，在，则函数在上的最大值M与最小值m的和______． 【答案】8 【分析】先根据得到是奇函数，进而可判断也是奇函数，进而可得. 【详解】在中，令得，即， 令得，即，是奇函数， 令，则， 故是奇函数， 所以在对称区间上， 当时，，. 14．函数的值域为，则的取值范围是_______. 【答案】 【详解】解：由题意得：因为当时，，开口向下，对称轴为， 当时，函数在上递减，此时， 要使函数的值域为，则有 ，解得： 当时，函数在上递增，上递减，此时， 要使函数的值域为，则有，解得： 综上，的取值范围是，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知，，求： (1)函数的定义域； (2)的值； (3)的解析式． 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）由，得且，故的定义域为； （2）； （3）由得， 则. 16．已知函数是定义在上的奇函数，满足， (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上为增函数， 证明如下：任取且， 则 因为，所以，， 则，即， 故在上为增函数； (3) 【分析】（1）求解含参奇函数的解析式，可优先利用 奇函数在原点处有定义则快速求得常数项参数，再结合已知函数值求解剩余参数；（2）用定义证明函数单调性，核心是作差后通过通分、因式分解变形，结合自变量的取值范围判断差的符号，进而确定函数的增减性；（3）双变量恒成立问题可分步消元：先对x求函数最值，将问题转化为单参数恒成立问题，再结合一次函数的端点最值性质求解参数范围. 【详解】（1）函数是定义在[-3,3]上的奇函数，则，即，解得， 又因为，即， 解得，经检验可得， 符合题意.综上所述，； （2）略 （3）由（2）可知，函数在区间上单调递增， 所以， 由于对恒成立， 则对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 构造函数，其中， 所以，即， 解得或或， 所以实数的取值范围是 17．某公司携高端智能产品亮相展会，宣布将大举进军嘉兴市场．该产品年固定研发成本为50万，每台产品生产成本为60元，展现了公司对技术创新的坚定投入与市场拓展的雄心壮志．嘉兴市场将成为其展示智能科技魅力、引领生活新风尚的重要舞台．设该公司一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，． (1)求； (2)求年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入－成本）； (3)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)180（万元） (2) (3)当年产量为29万台时利润最大，最大利润为2360万元 【分析】（1）直接代入计算即可； （2）由可得结果； （3）分别求出分段函数每一段的最大值即可求解． 【详解】（1）（万元）． （2）生产万台的成本为万元，销售收入为万元， 当时，， 当时，， 故． （3）当时，在上单调递增， 故（万元）， 当时，， 当即时取等，故（万元）， 因为，所以当年产量为29万台时利润最大，最大利润为2360万元． 18．已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)若两个不相等的正数，满足，求的最小值； (3)求函数在区间上的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）且说明，关于对称轴对称,进而利用换元法，利用基本不等式1的代换可求的最小值； （3）分，和，结合二次函数的性质可求得函数在区间上的最大值． 【详解】（1）设（）， 由，得． ， 又， ，解得，， ． （2）， 图象关于直线对称， 且，，且，，，． ， 设，则，， 原式． ， 用“乘1法”： ] ， 当且仅当，即，时取等号， 此时，， 原式的最小值为． （3），其对称轴为，开口向下． ①当，即时，在上单调递减， ； ②当，即时，对称轴在区间内， ； ③当，即时，在上单调递增， ． 综上所述，. 19．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”． (1)写出函数的一个“优美区间”； (2)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单调性和值域分析可知，再结合值域列式求解即可； （2）设是已知函数定义域的子集，通过是已知函数的“优美区间”，则，说明，是方程的两个同号且不等的实数根，转化求解的最大值. 【详解】（1）因为在内单调递减，在内单调递增，且， 设是该函数的“优美区间”，则， 可知函数在内单调递增， 则，解得， 所以函数的“优美区间”为. （2）设是已知函数定义域的子集， 因为的定义域为，则或， 而函数在上单调递增， 若是已知函数的“优美区间”，则， 所以，是方程，即的两个同号且不等的实数根， 因为，则，同号， 可得，解得或， 因为， 所以当时，取得最大值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质（冲刺卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 2．若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 4．已知函数的定义域为R，为偶函数，在上单调递减，且．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．定义符号函数，设函数，其中，.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．函数的图象如图所示，其右侧部分与轴正半轴无限接近，但永不相交．下列的取值中，只有唯一的值与之对应的是（      ） A． B． C． D． 7．记，已知 ，则的最小值为（   ） A．4 B． C．2 D．3 8．设是定义在上的连续函数，且满足.令.若是奇函数，则称为“平方奇差函数”.已知为“平方奇差函数”，令.给出下列命题： ①；②是偶函数；③若是常值函数，则满足条件的只有两个. 其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若函数，则（     ） A． B．的定义域为 C． D． 10．已知函数与满足，，，则（     ） A． B．是偶函数 C． D． 11．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（    ） A．存在，有 B．对任意，都存在， C．若，，则有 D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知．则_____. 13．若对任意，在，则函数在上的最大值M与最小值m的和______． 14．函数的值域为，则的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知，，求： (1)函数的定义域； (2)的值； (3)的解析式． 16．已知函数是定义在上的奇函数，满足， (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围. 17．某公司携高端智能产品亮相展会，宣布将大举进军嘉兴市场．该产品年固定研发成本为50万，每台产品生产成本为60元，展现了公司对技术创新的坚定投入与市场拓展的雄心壮志．嘉兴市场将成为其展示智能科技魅力、引领生活新风尚的重要舞台．设该公司一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，． (1)求； (2)求年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入－成本）； (3)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润． 18．已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)若两个不相等的正数，满足，求的最小值； (3)求函数在区间上的最大值． 19．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”． (1)写出函数的一个“优美区间”； (2)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质（冲刺卷） 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B A C B B A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AB BCD AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 8 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) 【详解】（1）由，得且，故的定义域为；------------------------4分 （2）；------------------------8分 （3）由得， 则.------------------------13分 16．(15分) 【详解】（1）函数是定义在[-3,3]上的奇函数，则，即，解得， 又因为，即， 解得，经检验可得， 符合题意.综上所述，；------------------------5分 （2）在上为增函数， 证明如下：任取且， 则 因为，所以，， 则，即， 故在上为增函数；------------------------10分 （3）由（2）可知，函数在区间上单调递增， 所以， 由于对恒成立， 则对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 构造函数，其中， 所以，即， 解得或或， 所以实数的取值范围是------------------------15分 17．(15分) 【详解】（1）（万元）．------------------------4分 （2）生产万台的成本为万元，销售收入为万元， 当时，， 当时，， 故．------------------------10分 （3）当时，在上单调递增， 故（万元）， 当时，， 当即时取等，故（万元）， 因为，所以当年产量为29万台时利润最大，最大利润为2360万元．-------------------15分 18．(17分) 【详解】（1）设（）， 由，得． ， 又， ，解得，， ．------------------------5分 （2）， 图象关于直线对称， 且，，且，，，． ， 设，则，， 原式． ， 用“乘1法”： ] ， 当且仅当，即，时取等号， 此时，， 原式的最小值为．-----------------------11分 （3），其对称轴为，开口向下． ①当，即时，在上单调递减， ； ②当，即时，对称轴在区间内， ； ③当，即时，在上单调递增， ． 综上所述，.------------------------17分 19．(17分) 【详解】（1）因为在内单调递减，在内单调递增，且， 设是该函数的“优美区间”，则， 可知函数在内单调递增， 则，解得， 所以函数的“优美区间”为.------------------------8分 （2）设是已知函数定义域的子集， 因为的定义域为，则或， 而函数在上单调递增，------------------------11分 若是已知函数的“优美区间”，则， 所以，是方程，即的两个同号且不等的实数根， 因为，则，同号， 可得，解得或， 因为， 所以当时，取得最大值.------------------------17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第三章 函数的概念与性质（冲刺卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 2．若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 4．已知函数的定义域为R，为偶函数，在上单调递减，且．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．定义符号函数，设函数，其中，.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．函数的图象如图所示，其右侧部分与轴正半轴无限接近，但永不相交．下列的取值中，只有唯一的值与之对应的是（      ） A． B． C． D． 7．记，已知 ，则的最小值为（   ） A．4 B． C．2 D．3 8．设是定义在上的连续函数，且满足.令.若是奇函数，则称为“平方奇差函数”.已知为“平方奇差函数”，令.给出下列命题： ①；②是偶函数；③若是常值函数，则满足条件的只有两个. 其中真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若函数，则（     ） A． B．的定义域为 C． D． 10．已知函数与满足，，，则（     ） A． B．是偶函数 C． D． 11．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）定义了一个“奇怪的函数”其中为实数集，为有理数集．则关于函数有如下四个命题，正确的为（    ） A．存在，有 B．对任意，都存在， C．若，，则有 D．存在三个点，，，使为等腰直角三角形 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知．则_____. 13．若对任意，在，则函数在上的最大值M与最小值m的和______． 14．函数的值域为，则的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知，，求： (1)函数的定义域； (2)的值； (3)的解析式． 16．已知函数是定义在上的奇函数，满足， (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并利用定义证明； (3)若对，都有对恒成立，求实数的取值范围. 17．某公司携高端智能产品亮相展会，宣布将大举进军嘉兴市场．该产品年固定研发成本为50万，每台产品生产成本为60元，展现了公司对技术创新的坚定投入与市场拓展的雄心壮志．嘉兴市场将成为其展示智能科技魅力、引领生活新风尚的重要舞台．设该公司一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，． (1)求； (2)求年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入－成本）； (3)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润． 18．已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)若两个不相等的正数，满足，求的最小值； (3)求函数在区间上的最大值． 19．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“优美区间”． (1)写出函数的一个“优美区间”； (2)已知函数有“优美区间”，当变化时，求出的最大值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $