第三章 函数（高效培优单元自测·提升卷）高一数学人教B版必修第一册

**基本信息** 高中数学第三章函数单元提升卷，覆盖函数单调性、奇偶性等核心知识点，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配单元复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|函数图像交点、定义域、奇偶性|单选基础辨析，多选综合判断，考查数学抽象| |填空题|3/15|二分法、方程解、对称中心|聚焦数学眼光，强化空间观念| |解答题|5/77|分段函数图像、函数性质证明、芯片生产利润模型|结合科技热点，通过分层设问（画图-求值-解不等式）考查数学思维与语言，贴合真题命题趋势|

第三章 函数 （高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 2．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．已知是一次函数，且满足，则（     ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 5．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为（     ）. A． B． C． D． 7．设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 8．若定义上的函数满足：对任意且有若的最大值和最小值分别为，则的值为（    ） A．2026 B．2027 C．4054 D．4052 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知定义域为的函数可表示为 1 2 3 4 则下列结论正确的是（    ） A． B．的值域是 C．的值域是 D．若，则 10．设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．当时， 11．已知对任意的，不等式恒成立，则下列说法正确的是（   ） A．，且 B． C．的最小值为8 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．用二分法求函数在区间上的唯一零点的近似值时，验证，取区间的中点，计算得，则此零点所在的区间是______. 13．设定义域为的函数，若关于的方程有3个不同的整数解，则等于________. 14．函数的图象的对称中心为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 16．（15分） 已知函数． (1)求 ， 的值 (2)探索 (3)利用（2）的结论求表达式： 的值． 17．（15分） 我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入万美元，且．该公司一年内共生产该款手机3万部并全部销售完时，年利润为1058万美元． (1)写出年利润W（万美元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 18．（17分） 已知定义在上的函数满足：①；②当时，． (1)求的值，并证明在上是增函数； (2)若， （ⅰ）求的值； （ⅱ）解关于的不等式． 19．（17分） 对定义域为的函数，定义阶稳区间如下：若区间，满足：函数在上单调，且对任意，，恒有，则称区间为函数的一个阶稳区间．现已知分段函数（其中为常数）． (1)当时，判断区间是否为的阶稳区间，并说明理由； (2)若，求所有长度最大的有限阶稳区间； (3)若存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，求实数的取值范围． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 （高效培优单元自测·提升卷）参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C D B D D D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ACD BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．5 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【解析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4． （2），，， 即. （3）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 16．【解析】（1）已知函数， ， ． （2）由，得， ． （3）由知 ，， ． 17．【解析】（1）总成本为万美元，销售收入为万美元， 因为生产该款手机3万部并全部销售完时，年利润为1058万美元. 所以. 当时，， 当时，， 所以； （2）①当时，， 则，当且仅当时取等号. ②当时，， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以， 综合①②知，当年产量为32万部时，W取最大值，最大利润为6104万美元. 18．【解析】（1）令， 任取， 则， ， ，则可得是上的单调增函数. （2）（ⅰ）令，得， 由得，， 则 ． （ⅱ）由得， 所以， 又函数f (x)在R上是增函数，故，解得或， 故原不等式的解集为或． 19．【解析】（1）区间是的阶稳区间，理由如下： 当时，，故， 二次函数开口向上，对称轴为，因此在上单调递增， 因为，，所以， 所以，所以， 综上，是的阶稳区间； （2）当，，在上单调递减，在上单调递增， 对于区间，在上单调递减，且 因为，，所以，所以， 所以，所以， 所以是的阶稳区间； 对于区间，在上单调递增， ， 所以，不是的阶稳区间； 综上，若，所有长度最大的有限阶稳区间； （3）（其中为常数）， 当，， 所以内不存在任何长度大于 0 的阶稳区间； 当，，二次函数开口向上，对称轴为， 所以上单调递减，上单调递增， ， 当时，在上单调递减， 因为，，所以， 所以，所以， 所以区间符合； 当时，在上单调递增， 因为，，所以， 所以，所以， 所以区间符合； 当时，对任意包含的区间， 取，足够接近（如，极小），则， 由知， 当足够小时，，即， 对应，不满足阶稳条件，因此不存在包含的阶稳区间， 所以存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，则 ， 所以实数的取值范围是. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 （高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 【答案】C 【解析】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个，只有唯一的与之对应， 若在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为1， 若不在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为0， 所以函数的图象与直线的交点个数为0或1. 2．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数的对称轴为，开口向上， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 又因为函数在上具有单调性， 所以或，即或， 所以实数的取值范围为． 3．已知是一次函数，且满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可设， 因为满足， 所以， 即，解得， 所以. 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【解析】函数的定义域为，函数有意义， 则有且，解得且， 所以函数的定义域为且. 故选：B 5．已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以当时，函数取得最小值2， 因为，而函数在闭区间上有最大值3，最小值2， 所以，即的取值范围是. 6．已知函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为（     ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数是定义在上的奇函数，且，则. 对于不等式， 若，因为在区间上单调递增，可得，不合题意； 若，由奇函数对称性可知在区间上单调递增， 可得，符合题意； 综上所述：不等式的解集为. 7．设函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若，即，即或； 若，即； 所以， 画出函数图象如下图所示： 由图可知当时，； 当时，可得， 因此则的值域是. 8．若定义上的函数满足：对任意且有若的最大值和最小值分别为，则的值为（    ） A．2026 B．2027 C．4054 D．4052 【答案】D 【解析】对任意有， 则令， 令，，， 令，则，故为上的奇函数， 则有， 所以， 故，故选D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知定义域为的函数可表示为 1 2 3 4 则下列结论正确的是（    ） A． B．的值域是 C．的值域是 D．若，则 【答案】ABD 【解析】，A正确；的值域是，B正确，C错误； 因为，所以，所以，所以，D正确. 10．设是定义域为的单调函数，对，则（ ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．当时， 【答案】ACD 【解析】在等式中， 对于A，令，可得，则，故A正确； 对于C，令可得，则， 因为函数的定义域为， 令可得，则， 故函数为奇函数，故C正确； 对于B，是定义域为的单调函数，因为， 所以是上的增函数，故B错误； 对于D，由上分析可知是上的增函数， 当时，，即， 因此，故D正确. 11．已知对任意的，不等式恒成立，则下列说法正确的是（   ） A．，且 B． C．的最小值为8 D．的最小值为 【答案】BC 【解析】当时，对任意的，不等式恒成立 等价于对任意的，不等式恒成立，显然不成立； 则，故B正确； 令，在同一坐标系中作出其大致图象，如图所示： 则，解得，故A错误； ，当且仅当，即时，等号成立，故C正确； ，因为，所以取不到，故D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．用二分法求函数在区间上的唯一零点的近似值时，验证，取区间的中点，计算得，则此零点所在的区间是______. 【答案】 【解析】根据零点存在定理，若，则在开区间内存在零点. 已知初始区间，中点，且， 所以零点落在区间. 13．设定义域为的函数，若关于的方程有3个不同的整数解，则等于________. 【答案】5 【解析】函数的图象如图所示： 函数的值域为， 令，则方程，可化为，若此方程无正根，则方程无根， 若此方程有一个非1的正根，则方程有两根； 若此方程有一个等于1的正根，则方程有三根； 此时， 若此方程有两个非1的正根，则方程有四根； 若此方程有一个非1，一个等于1的正根，则方程有五根； 综上. 14．函数的图象的对称中心为________． 【答案】 【解析】函数， 它的定义域为，． 又， 所以，故的图象的对称中心为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 【解析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4． （2），，， 即. （3）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 16．（15分） 已知函数． (1)求 ， 的值 (2)探索 (3)利用（2）的结论求表达式： 的值． 【解析】（1）已知函数， ， ． （2）由，得， ． （3）由知 ，， ． 17．（15分） 我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完，每万部的销售收入万美元，且．该公司一年内共生产该款手机3万部并全部销售完时，年利润为1058万美元． (1)写出年利润W（万美元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 【解析】（1）总成本为万美元，销售收入为万美元， 因为生产该款手机3万部并全部销售完时，年利润为1058万美元. 所以. 当时，， 当时，， 所以； （2）①当时，， 则，当且仅当时取等号. ②当时，， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以， 综合①②知，当年产量为32万部时，W取最大值，最大利润为6104万美元. 18．（17分） 已知定义在上的函数满足：①；②当时，． (1)求的值，并证明在上是增函数； (2)若， （ⅰ）求的值； （ⅱ）解关于的不等式． 【解析】（1）令， 任取， 则， ， ，则可得是上的单调增函数. （2）（ⅰ）令，得， 由得，， 则 ． （ⅱ）由得， 所以， 又函数f (x)在R上是增函数，故，解得或， 故原不等式的解集为或． 19．（17分） 对定义域为的函数，定义阶稳区间如下：若区间，满足：函数在上单调，且对任意，，恒有，则称区间为函数的一个阶稳区间．现已知分段函数（其中为常数）． (1)当时，判断区间是否为的阶稳区间，并说明理由； (2)若，求所有长度最大的有限阶稳区间； (3)若存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，求实数的取值范围． 【解析】（1）区间是的阶稳区间，理由如下： 当时，，故， 二次函数开口向上，对称轴为，因此在上单调递增， 因为，，所以， 所以，所以， 综上，是的阶稳区间； （2）当，，在上单调递减，在上单调递增， 对于区间，在上单调递减，且 因为，，所以，所以， 所以，所以， 所以是的阶稳区间； 对于区间，在上单调递增， ， 所以，不是的阶稳区间； 综上，若，所有长度最大的有限阶稳区间； （3）（其中为常数）， 当，， 所以内不存在任何长度大于 0 的阶稳区间； 当，，二次函数开口向上，对称轴为， 所以上单调递减，上单调递增， ， 当时，在上单调递减， 因为，，所以， 所以，所以， 所以区间符合； 当时，在上单调递增， 因为，，所以， 所以，所以， 所以区间符合； 当时，对任意包含的区间， 取，足够接近（如，极小），则， 由知， 当足够小时，，即， 对应，不满足阶稳条件，因此不存在包含的阶稳区间， 所以存在长度大于0的阶稳区间包含分界点，则 ， 所以实数的取值范围是. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $