第二章 一元二次函数、方程和不等式（单元测试-冲刺卷）高一数学人教A版必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式（冲刺卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则，，，. 2．若不等式的解集为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为不等式的解集为，所以， 所以且，所以. 3．已知，则取得最小值时，（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 故取得最小值时，． 4．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】关于x的一元二次不等式的解集为，则关于x的一元二次方程的两个根为，即，，，利用基本不等式求解. 【详解】关于x的一元二次不等式的解集为， 则关于x的一元二次方程的两个根为， 即，，， 则， 当且仅当即时等号成立，故的最小值是. 5．若，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用基本不等式，结合全称命题的性质进行求解即可. 【详解】， 当时，显然恒成立； 当时，,， 因，当且仅当时取等号， 因此当时，有最小值， 故可得，即的取值范围是. 6．近年来金价波动剧烈．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.顾客实际获得的黄金（    ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法判断 【答案】A 【分析】利用杠杆平衡条件求出两次称得的黄金质量，结合基本不等式判断总质量与的大小关系． 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，由天平两臂不等长可知且， 第一次称量：左盘放砝码，右盘放质量为的黄金，根据杠杆平衡条件，得，解得， 第二次称量：右盘放砝码，左盘放质量为的黄金，根据杠杆平衡条件得，解得， 总黄金质量为，由基本不等式得，因，故，等号取不到，即， 因此，即顾客实际获得的黄金大于． 7．设是满足的非负实数，记为，，，，，这六个数中的最大值，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】选取四个合适的相邻和式相加，使总和等于加上一个非负项，由此得到的下界，再构造一组非负实数使得所有相邻和都相等，验证等号成立，从而确定最小值． 【详解】设六个连续两数和为 则， 所以 整理得： 因为 ，所以 代入得： 因为，所以，故： 构造等号成立的例子： 取 验证：总和为 ，满足条件； 六个和均为 ： 此时 ，等号成立． 8．已知，且，记为的最大值，记为的最大值.已知，对任意，恒成立，则的最大值为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据基本不等式求出，的值，则恒成立可化为恒成立；令，得到；再根据一元二次不等式恒成立求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，故的最大值为1，即. 因为，所以， 所以，即，当且仅当时取等号， 所以的最大值为2，即. 则对，恒成立， 可化为对，恒成立. 令，则，故. 对，恒成立， 可化为对，恒成立. 因为，所以， 所以，此时， 所以， 当，，时，等号成立. 此时成立， 所以的最大值为. 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，，，下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】选项：由可知，即，不等式两边同时乘以正数，不等号方向不变，可得，正确； 选项：举反例：取，满足， 但，，此时，错误； 选项：作差比较大小： ， 由，可知，，因此差值大于0，即，正确； 选项：由，则，不等式两边同时乘以正数，得，化简得，正确. 10．若正数a，b满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是9 D．的最小值是5 【答案】BCD 【分析】对于A，利用基本不等式即可确定的最大值；对于B，将代入，结合二次函数的性质求最值；对于C，利用基本不等式“1”的代换有即可求最小值；对于D，将代入，利用基本不等式即可求最小值. 【详解】对于A，由基本不等式可得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 此时的最大值为，故A错误； 对于B，， 又，所以当时，有最小值为，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时等号成立， 此时有最小值是9，故C正确； 对于D，， 当且仅当时等号成立， 此时有最小值是5，故D正确. 11．已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的有（   ） A．若，则关于的不等式的解集也为 B．若，则的最小值是3 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若一元二次函数的值域为，且，则的最小值为 【答案】BC 【分析】根据同号异号可判断A；根据解集可判断出的正负，根据韦达定理可得到它们之间的关系，代入后根据基本不等式可判断B，代入后解不等式可判断C；根据值域为，可得，从而可得的表达式，代入后换元，根据基本不等式可得最值，从而判断D. 【详解】对于A，当同号时，设， 则即，亦即，此时解集相同； 当异号时，， 则即，亦即， 显然一元二次不等式与的解集不同，故A错误； 对于B，若，即的解集为， 则，且是方程的两个根，所以， 所以， 所以， 又，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是，故B正确. 对于C，若，即的解集为， 则，且是方程的两个根， 所以，所以， 则关于的不等式，即， 两边同时除以负数得，即， 其解集为或，故C正确. 因为一元二次函数的值域为，且， 所以，所以， 所以，由知， 令，则， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若实数满足，，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质，分别求出和的取值范围，再通过同向不等式的可加性计算的取值范围. 【详解】已知实数满足，， 对不等式，可得； 对不等式，可得； 将上述两个不等式相加，得，即，故的取值范围为. 13．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为________ 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集与对应方程的关系，利用韦达定理得出的参数之间的关系，再由分式不等式解法即可求得结果. 【详解】由关于的一元二次不等式的解集为可知： 1和3是方程的两根，且； 由韦达定理可得，即， 则不等式即为， 所以，可得，即， 所以，解得或； 因此不等式的解集为. 14．某希望小学的操场空地的形状是一个扇形，计划在空地上挖一个内接于扇形的矩形沙坑（如图所示），有如下两个方案可供选择．经测量，，．在方案1中，若设，，则x，y满足的关系式为__________，在方案2中，，比较两种方案，沙坑面积最大值为__________． 【答案】/ 【分析】连接，在中应用勾股定理找到关系式，注意取值范围；由基本不等式求得，结合矩形面积公式求方案一的最大值；再连接，，设，，在中应用勾股定理得，结合基本不等式、矩形面积公式求方案二最大值，比较大小即可. 【详解】方案1：连接，由，，，，得， 在中，，由，得， 显然在上单调递减，则 所以满足的关系式为（，）； 设沙坑的面积为， 由上分析得，解得， 当且仅当，即，时取等号，此时； 方案2：设沙坑的面积为，取的中点，则得， 连接，，设，，因，则， 在中，，即， 因，解得， 当且仅当时取等号，此时， 因， 所以选择第一种方案，此时沙坑面积最大，其最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知二次函数 (1)当时，求不等式的解集； (2)若二次函数的图像开口向上，且不等式的解集为，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，代入得：， 原不等式为：， 整理得：， 解得：， 所以不等式解集为. （2）由题意：二次函数开口向上，故． 不等式的解集为， 则一元二次方程的两个实数根为， 根据韦达定理：，代入得：， 解得：， 16．设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)已知函数，，解关于的不等式． 【答案】(1) (2) (3)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【详解】（1）由题意得，，即恒成立， 当时，得，不恒成立； 当时，有，解得. （2）由（1）得，令，， ， 由基本不等式得，，当且仅当，，即时等号成立， 最小值为4. （3）由题意得， ，整理得，即 当时，，解得； 当时，有两根：， 当，，解得或； 当， 时，，解得； 时，无解； 时，，解得； 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 17．某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)问多少年后该企业盈利总额最大，并求出最大值； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值年平均盈利额=盈利总额使用年数 【答案】(1)18年后盈利总额最大，最大值为275万元； (2)年平均盈利额的最大值为22万元 【详解】（1）， 当时，取得最大值，最大值为275， 所以18年后盈利总额最大，最大值为275万元； （2）设该设备的年平均盈利额为万元， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故该设备的年平均盈利额的最大值为22万元. 18．已知关于x不等式 (1)若a=-2时，求不等式的解集； (2)若a∈R，解这个关于x的不等式； (3)关于x的不等式 的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. (3) 【分析】（1）将代入不等式，解一元二次不等式即可； （2）将原不等式因式分解为，对参数进行分类讨论(，，)，并结合根的大小关系求出解集； （3）根据（2）中的解集情况，要使解集中恰有个整数，解集必须为有限区间，从而只需讨论且的情况，结合数轴列出关于端点的不等式组求解即可. 【详解】（1）当时，原不等式为， 即，因式分解得， 解得. 所以不等式的解集为. （2）原不等式可化为. ①当时，不等式化为，即，解集为； ②当时，对应方程的两根为和，因为， 所以不等式的解集为； ③当时，不等式可化为，对应方程的两根为和. 若，即时，不等式的解集为； 若，即时，不等式化为，解集为； 若，即时，不等式的解集为. 综上所述： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. （3）由（2）可知，要使不等式的解集中恰有个整数，解集必须为有限区间，因此且. ①当时（此时）， 要使区间内恰有个整数，这个整数只能是. 所以必须满足. 因为，由得；由得. 所以此时. ②当时（此时）. 要使区间内恰有个整数，这个整数只能是. 所以必须满足. 因为，由得；由得. 所以此时. 综上所述，实数的取值范围是. 19．已知二次函数，一次函数． (1)若时，的解集为，求：关于的不等式的解集． (2)若的解集为，对于任意，总存在，使得成立，求：实数的取值范围． (3)若对任意，不等式恒成立，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由一元二次不等式解集得到二次函数零点，利用韦达定理解出参数，再求解新的一元二次不等式； （2）令，问题化为，上，分类讨论并结合二次函数的性质列不等式求参数范围； （3）根据已知有恒成立，进而有，则，应用换元法并应用基本不等式求最值． 【详解】（1）当，解集为， 则， 所以，．不等式即， 因式分解，解得或， 所以不等式解集为． （2）由的解集为， 则，得，故， 令，， 且，， 要使，总，使得成立， 所以，只需，而的对称轴为， ①当，即时，只需，即， ②当，即时， 只需，即，不符合条件， ③当，即时，只需，即，不符合条件， 综上，即实数的取值范围为． （3）若对任意，不等式恒成立， 整理得恒成立，显然， 所以，则， 所以， 令，因为，所以， 若时，此时， 若时，， 当且仅当时，即时，上式取得等号， 综上：的最大值为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式（冲刺卷） 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D D A A D A C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BCD BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14．/ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) 【详解】（1）当时，代入得：， 原不等式为：， 整理得：， 解得：， 所以不等式解集为.------------------------6分 （2）由题意：二次函数开口向上，故． 不等式的解集为， 则一元二次方程的两个实数根为， 根据韦达定理：，代入得：， 解得：，------------------------13分 16．(15分) 【详解】（1）由题意得，，即恒成立， 当时，得，不恒成立； 当时，有，解得.------------------------4分 （2）由（1）得，令，， ， 由基本不等式得，，当且仅当，，即时等号成立， 最小值为4.------------------------8分 （3）由题意得， ，整理得，即 当时，，解得； 当时，有两根：， 当，，解得或；------------------------12分 当， 时，，解得； 时，无解； 时，，解得；------------------------14分 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.-----------------------15分 17．(15分) 【详解】（1）， 当时，取得最大值，最大值为275， 所以18年后盈利总额最大，最大值为275万元；------------------------7分 （2）设该设备的年平均盈利额为万元， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故该设备的年平均盈利额的最大值为22万元.------------------------15分 18．(17分) 【详解】（1）当时，原不等式为， 即，因式分解得， 解得. 所以不等式的解集为.------------------------5分 （2）原不等式可化为. ①当时，不等式化为，即，解集为； ②当时，对应方程的两根为和，因为， 所以不等式的解集为； ③当时，不等式可化为，对应方程的两根为和. 若，即时，不等式的解集为； 若，即时，不等式化为，解集为； 若，即时，不等式的解集为. 综上所述： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为.-----------------------11分 （3）由（2）可知，要使不等式的解集中恰有个整数，解集必须为有限区间，因此且. ①当时（此时）， 要使区间内恰有个整数，这个整数只能是. 所以必须满足. 因为，由得；由得. 所以此时. ②当时（此时）. 要使区间内恰有个整数，这个整数只能是. 所以必须满足. 因为，由得；由得. 所以此时. 综上所述，实数的取值范围是.------------------------17分 19．(17分) 【详解】（1）当，解集为， 则， 所以，．不等式即， 因式分解，解得或， 所以不等式解集为．------------------------5分 （2）由的解集为， 则，得，故， 令，，------------------------8分 且，， 要使，总，使得成立， 所以，只需，而的对称轴为， ①当，即时，只需，即， ②当，即时， 只需，即，不符合条件， ③当，即时，只需，即，不符合条件， 综上，即实数的取值范围为．------------------------11分 （3）若对任意，不等式恒成立， 整理得恒成立，显然， 所以，则， 所以，------------------------14分 令，因为，所以， 若时，此时， 若时，， 当且仅当时，即时，上式取得等号， 综上：的最大值为．------------------------17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第二章 一元二次函数、方程和不等式（冲刺卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若不等式的解集为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 3．已知，则取得最小值时，（     ） A． B． C． D． 4．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 5．若，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．近年来金价波动剧烈．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.顾客实际获得的黄金（    ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法判断 7．设是满足的非负实数，记为，，，，，这六个数中的最大值，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，且，记为的最大值，记为的最大值.已知，对任意，恒成立，则的最大值为（     ） A． B．1 C． D．2 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，，，下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 10．若正数a，b满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是9 D．的最小值是5 11．已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的有（   ） A．若，则关于的不等式的解集也为 B．若，则的最小值是3 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若一元二次函数的值域为，且，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若实数满足，，则的取值范围是______． 13．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为________ 14．某希望小学的操场空地的形状是一个扇形，计划在空地上挖一个内接于扇形的矩形沙坑（如图所示），有如下两个方案可供选择．经测量，，．在方案1中，若设，，则x，y满足的关系式为__________，在方案2中，，比较两种方案，沙坑面积最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知二次函数 (1)当时，求不等式的解集； (2)若二次函数的图像开口向上，且不等式的解集为，求实数m的值． 16．设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)已知函数，，解关于的不等式． 17．某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)问多少年后该企业盈利总额最大，并求出最大值； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值年平均盈利额=盈利总额使用年数 18．已知关于x不等式 (1)若a=-2时，求不等式的解集； (2)若a∈R，解这个关于x的不等式； (3)关于x的不等式 的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围. 19．已知二次函数，一次函数． (1)若时，的解集为，求：关于的不等式的解集． (2)若的解集为，对于任意，总存在，使得成立，求：实数的取值范围． (3)若对任意，不等式恒成立，求的最大值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式（冲刺卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若不等式的解集为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 3．已知，则取得最小值时，（     ） A． B． C． D． 4．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 5．若，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．近年来金价波动剧烈．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.顾客实际获得的黄金（    ） A．大于 B．小于 C．等于 D．无法判断 7．设是满足的非负实数，记为，，，，，这六个数中的最大值，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，且，记为的最大值，记为的最大值.已知，对任意，恒成立，则的最大值为（     ） A． B．1 C． D．2 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，，，下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 10．若正数a，b满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是9 D．的最小值是5 11．已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的有（   ） A．若，则关于的不等式的解集也为 B．若，则的最小值是3 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若一元二次函数的值域为，且，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若实数满足，，则的取值范围是______． 13．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为________ 14．某希望小学的操场空地的形状是一个扇形，计划在空地上挖一个内接于扇形的矩形沙坑（如图所示），有如下两个方案可供选择．经测量，，．在方案1中，若设，，则x，y满足的关系式为__________，在方案2中，，比较两种方案，沙坑面积最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知二次函数 (1)当时，求不等式的解集； (2)若二次函数的图像开口向上，且不等式的解集为，求实数m的值． 16．设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最小值； (3)已知函数，，解关于的不等式． 17．某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为40万元.设备使用年后该设备的总维修保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)问多少年后该企业盈利总额最大，并求出最大值； (2)求该设备的年平均盈利额的最大值年平均盈利额=盈利总额使用年数 18．已知关于x不等式 (1)若a=-2时，求不等式的解集； (2)若a∈R，解这个关于x的不等式； (3)关于x的不等式 的解集中恰有3个整数，求实数a的取值范围. 19．已知二次函数，一次函数． (1)若时，的解集为，求：关于的不等式的解集． (2)若的解集为，对于任意，总存在，使得成立，求：实数的取值范围． (3)若对任意，不等式恒成立，求的最大值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $