第一章 预备知识（高效培优单元自测·强化卷）数学北师大版高一必修第一册

**基本信息** 高中数学第一章预备知识单元卷，覆盖集合运算、不等式解法、充分必要条件等核心知识点，通过分层题型考查抽象能力与推理意识，适配单元复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合交并补、真子集个数、基本不等式|基础巩固，体现数学眼光观察现实世界| |多选|3/18|不等式性质、充分不必要条件|能力提升，强化推理思维| |填空|3/15|集合关系、最值问题|聚焦核心技能，训练运算能力| |解答题|5/77|集合与不等式综合、命题真假判断|综合应用，发展数学语言表达与逻辑推理|

第一章 预备知识（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若集合，则的真子集个数为（    ） A． B． C． D． 3．已知，为正实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D．或 6．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．已知集合，集合．若，则实数的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 8．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，且，同号，则 C．若，则 D．若，则 10．对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 11．已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．已知集合，，若，则实数的取值范围是__________． 13．已知，且，则的最大值是________． 14．若，则的最大值是______． 四、解答题（本题共5小题） 15（13分）．（1）比较和的大小. （2）已知，都是正数，求证：. 16．（15分）已知集合，{或}. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 17．（15分）设集合，． (1)当时，求与； (2)若时，求实数m的取值范围． 18．（17分）已知命题：设集合，集合B是A的子集；命题：关于x的方程有实数根. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围； (3)若一个为真命题，一个为假命题，求实数的取值范围 19．（17分）已知函数． (1)若对，恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 预备知识（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 D C B A B A B A 2、 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9 10 11 BC AC AD 3、 填空题（本题共3小题，每小题5分，共20分．） 12． 13．5 14． 四、解答题（本题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15（13分）． 【答案】 （1） （2）∵，由均值不等式得，. 由不等式的性质，得，当且仅当且时，等号成立，即证. 【分析】（1）利用作差法比较大小即可； （2）根据基本不等式及不等式性质证明即可. 【详解】（1）， 所以 （2）略 16．（15分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，{或}，， 所以，解得，即的取值范围为． （2）当时，满足，此时，解得．   当时，或， 解得或，   综上，或，即的取值范围为． 17．（15分） 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分别求出集合A和B，根据交集，并集运算的定义，即可得答案. （2）根据条件，可得，分别讨论和两种情况，根据包含关系，列出不等式组，综合即可得答案. 【详解】（1）由题意，集合， 当时，集合， 所以，. （2）由，得， 当时，，解得，此时满足； 当时，则，解得， 综上，实数m的取值范围为 18．（17分） 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由条件结合关系集合B是A的子集列不等式求的范围即可； （2）根据二次方程有解得条件列不等式求的范围即可； （3）先求当真假时的范围，再求当假真时的范围，最后求并集即可. 【详解】（1）要使为真命题， 则集合，且， 所以. （2）若真则， 即， 解得或. （3）当真假时，只需，解得； 当假真时，只需或，解得， 综上所述，实数的取值范围为 19．（17分） 【答案】(1)； (2) 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立列式求出范围. （2）根据给定条件，按分类求解含参数的不等式. 【详解】（1），不等式恒成立，则，解得， 所以实数的取值范围是. （2）不等式， 当时，，解得或； 当时，，解得或， 所以当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 预备知识（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合，，所以. 2．若集合，则的真子集个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题集合可得集合， 集合的真子集个数为，故的真子集个数为. 3．已知，为正实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式可化为：， 因为 ，由基本不等式，当且仅当 ，即 时取等号． 所以原式的最小值为： 4．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】， 于是，反之不成立， 于是“”是“”的充分不必要条件. 5．不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】因为，可得，解得， 所以不等式的解集为. 6．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】全称量词改为存在量词，否定结论， 所以命题“，”的否定是“”. 7．已知集合，集合．若，则实数的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义，利用交集为空集讨论参数的取值范围． 【详解】因为； 且； 因为，故． 8．已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将恒成立问题转化为求的最小值，再借助均值不等式即可求得结果. 【详解】因为对于正实数，不等式恒成立，即即可. 因为正实数满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时取到最小值为9， 所以. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，且，同号，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对A，若异号，，，，故A错误； 对B，若同号，，，， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对C，因为，则，故C正确， 对D，若，，则，故D错误. 10．对于所有实数，使得不等式恒成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】若不等式对于所有实数恒成立，则，即， 的充分不必要条件可以是的子集，故A、C正确. 11．已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】利用基本不等式，乘1法结合条件求最值逐项分析判断即得. 【详解】由，，可得，当且仅当时取等号，故A正确； 由，，可得，当且仅当时取等号，故B错误； 由， 当且仅当时取等号，故C错误； 因为，所以 当且仅当时取等号，故D正确； 故选：AD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．已知集合，，若，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】将集合分为空集和非空集两种情况进行分类讨论，分别列出满足子集条件的不等式求出参数的范围，最后将结果取并集即可. 【详解】若集合为空集， 则有，解得， 若集合不是空集， 则有，解得， 因为，所以有，解得， 结合，可得， 综上可得，即的取值范围是. 13．已知，且，则的最大值是________． 【答案】5 【详解】当取最小值，取最大值3的时候，的最大值为5． 14．若，则的最大值是______． 【答案】 【分析】将转化为，利用基本不等式求解. 【详解】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 四、解答题（本题共5小题） 15（13分）．（1）比较和的大小. （2）已知，都是正数，求证：. 【答案】 （1） （2）∵，由均值不等式得，. 由不等式的性质，得，当且仅当且时，等号成立，即证. 【分析】（1）利用作差法比较大小即可； （2）根据基本不等式及不等式性质证明即可. 【详解】（1）， 所以 （2）略 16．（15分）已知集合，{或}. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，{或}，， 所以，解得，即的取值范围为． （2）当时，满足，此时，解得．   当时，或， 解得或，   综上，或，即的取值范围为． 17．（15分）设集合，． (1)当时，求与； (2)若时，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分别求出集合A和B，根据交集，并集运算的定义，即可得答案. （2）根据条件，可得，分别讨论和两种情况，根据包含关系，列出不等式组，综合即可得答案. 【详解】（1）由题意，集合， 当时，集合， 所以，. （2）由，得， 当时，，解得，此时满足； 当时，则，解得， 综上，实数m的取值范围为 18．（17分）已知命题：设集合，集合B是A的子集；命题：关于x的方程有实数根. (1)若是真命题，求实数的取值范围； (2)若是真命题，求实数的取值范围； (3)若一个为真命题，一个为假命题，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由条件结合关系集合B是A的子集列不等式求的范围即可； （2）根据二次方程有解得条件列不等式求的范围即可； （3）先求当真假时的范围，再求当假真时的范围，最后求并集即可. 【详解】（1）要使为真命题， 则集合，且， 所以. （2）若真则， 即， 解得或. （3）当真假时，只需，解得； 当假真时，只需或，解得， 综上所述，实数的取值范围为 19．（17分）已知函数． (1)若对，恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1)； (2) 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立列式求出范围. （2）根据给定条件，按分类求解含参数的不等式. 【详解】（1），不等式恒成立，则，解得， 所以实数的取值范围是. （2）不等式， 当时，，解得或； 当时，，解得或， 所以当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $