专题01 有理数28大题型84题（期中专项训练）七年级数学上学期新教材冀教版

专题01 有理数（28大题型84题） 基础·固本强基 题型1 正数与负数 题型2 有理数的分类 题型3 数轴 题型4 相反数 题型5 绝对值 题型6 有理数大小比较 题型7 有理数的四则混合运算（重点） 题型8 有理数四则混合运算的实际应用（重点） 题型9 含乘方的有理数混合运算（重点） 题型10 有理数计算错解纠正问题（重点） 提升·进阶突破 题型11 相反意义的量 题型12 数轴上两点之间的距离（重点） 题型13 数轴上整点覆盖问题 题型14 绝对值非负性（重点） 题型15 绝对值的几何意义（重点） 题型16 有理数混合运算综合 题型17 有理数中的简便运算（重点） 题型18 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型19 含乘方的有理数混合运算题（重点） 题型20 乘方的应用 题型21 程序流程图 题型22 算24点 拔高·压轴破难 题型23 数轴上的动点问题（难点） 题型24 数轴上的翻折问题（难点） 题型25 绝对值的几何意义（最值）（难点） 题型26 数轴与绝对值结合（难点） 题型27 二进制计算问题（难点） 题型28 有理数的新定义运算（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 正数与负数（共3小题） 【步骤】判断数与 0 大小，大于 0 是正数，小于 0 是负数，0 既不是正数也不是负数。 【易错】带负号的数不一定是负数，字母 a 可正可负，0 不属于正数或负数。 1．（25-26七年级上·河南许昌·期中）在，0，，，，中，负分数有______个． 【答案】3 【分析】本题考查有理数的分数，掌握好有理数的概念是关键． 负分数是小于0的分数，需判断每个数是否为负且为分数形式． 【详解】解：在数，0，，，3.15，中， 是负分数；0不是负数；化为假分数为，是负分数；是正分数；3.15可化为，是正分数；化为分数为，是负分数． ∴负分数一共有3个． 故答案为：3． 2．（25-26七年级上·新疆哈密·期中）下列各数2，，0，，1.25，，中是非负数的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【详解】解：∵非负数是指大于等于的数， ∴在给出的数，，，，，，，中，非负数为，，，，，共个． 3．（26-27七年级上·河北沧州·期中）我国是世界上最早使用负数的国家，关于正负数的记载最早见于我国古代数学著作《九章算术》．如果公元前年记作年，则公元年可记作（     ） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】B 【详解】解：∵公元前年记作年, 即公元前年份记为负， ∴公元年份记为正，公元年可记作年． 题型2 有理数的分类（共3小题） 【步骤】先看是否整数或分数，整数含正整数、0、负整数，分数含正、负分数。 【易错】有限小数、无限循环小数属于分数；π 不是有理数，0 是整数。 4．（26-27七年级上·河北沧州·期中）把下列各有理数填在相应的集合内． ，，0，，，，，，，7． 负整数：{                         …}． 正有理数：{                         …}． 【答案】负整数：，正有理数： 【详解】略 5．（25-26七年级上·陕西安康·期中）现有一组数：，，，10，，6，，． (1)请将各数分别填入相应的集合内． 分数集合：{                  …}． 正整数集合：{                  …}． 负整数集合：{                …}． (2)将（1）中三类数的集合合并在一起________全体有理数集合．（填“是”或“不是”） 【答案】(1)分数集合：{，，，，…}；正整数集合：{10， 6，…}；负整数集合：{， ，… } (2)不是 【分析】本题主要考查了有理数分类，熟练掌握有理数定义，是解题的关键． （1）根据分数，正整数，负整数定义进行求解即可； （2）根据整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，进行求解即可． 【详解】（1）解：分数集合：{，，，，…}； 正整数集合：{10， 6，…}； 负整数集合：{，，… }． （2）解：分数集合、正整数集合、负整数集合都不包括0，故将（1）中三类数的集合合并在一起不是全体有理数集合． 6．（25-26六年级上·山东东营·期中）在下列各数，，，0，，…(每两个3之间依次增加一个2)，中，有理数有(    ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的概念，解题的关键是依据“有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，包括有限小数、无限循环小数”区分有理数与无理数． 逐一判断各数是否符合有理数的定义，统计其个数． 【详解】解：根据有理数的定义 是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 是无限循环小数，是有理数； 是整数，是有理数； 含（无理数），是无理数； …（每两个3之间依次增加一个2）是无限不循环小数，是无理数； 是有限小数，是有理数． 有理数共5个． 故选：C． 题型3 数轴（共6小题） 【步骤】画直线，定原点、正方向、单位长度，再把数对应标到数轴上。 【易错】单位长度必须统一；原点位置可自选，数轴是直线不是射线线段。 7．（25-26七年级上·浙江温州·期中）在数轴上表示数，其中在原点左边的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据数轴的性质，原点左侧的点对应负数，只需找出题目中给出的负数，统计个数即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上的原点左边的点表示的数都是负数， ∴给出的数中，负数有，，，共个， ∴在原点左边的点有个． 8．（25-26七年级上·浙江温州·期中）小明不慎将墨水滴在数轴上，则被墨迹盖住部分的整数的个数为______个． 【答案】 【分析】利用数轴确定整数的个数． 【详解】解：和之间的整数为共4个， 和之间的整数为共3个， ∴被墨迹盖住部分的整数的个数为（个）． 9．（26-27七年级上·河北唐山·期中）在单位长度为1的数轴上任取一条长度为2026的线段，则这条线段最多能覆盖的整数点（包含线段的两个端点）有（     ）个 A．2025 B．2026 C．2027 D．2024 【答案】C 【分析】当线段的两个端点均为整数点时，覆盖的整数点个数最多，然后设未知数，利用数轴上两点距离公式求解即可． 【详解】解：当线段的两个端点均为整数点时，覆盖的整数点个数最多，设线段左端点为整数，则右端点表示的数为， 此时覆盖的整数点个数为． 题型4 相反数（共3小题） 【步骤】改变数字符号，其余不变；0 的相反数是 0，两相反数到原点距离相等。 【易错】相反数仅符号不同，不是一正一负；不要把相反数和倒数弄混淆。 10．（26-27七年级上·河北唐山·期中）若的相反数的绝对值为5，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，然后求解即可． 【详解】解：由题意得 ∴或 ∴或 ∴． 11．（26-27七年级上·陕西咸阳·期中）已知数轴上点表示的数互为相反数，且点在点的右侧．若点间的距离为7，则点表示的数为（     ） A．3.5 B． C．7 D． 【答案】B 【详解】解：∵点，表示的数互为相反数． ∴，两点分别在原点两侧，且到原点的距离相等． ∵，两点间的距离为． ∴点到原点的距离为． ∵点在点的右侧． ∴点在原点左侧，表示的数为． 12．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）下列说法：①与互为相反数；②一定是负数；③互为相反数的两个数的符号必相反；④与2互为相反数；⑤任何一个有理数都有相反数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是0，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：与1互为相反数，故①说法不正确； 当时，则是非负数，故②说法不正确； 的相反数是0，故③说法不正确； ，与互为相反数，故④说法不正确； 任何一个有理数都有相反数，故⑤说法正确； ∴其中正确的有1个 故选：A 题型5 绝对值（共3小题） 【步骤】正数绝对值是本身，负数是它相反数，0 的绝对值为 0，看原数正负求值。 【易错】绝对值一定非负；绝对值相等两数，不一定相等，可能互为相反数。 13．（26-27七年级上·河北唐山·期中）若是有理数，则下列叙述正确的是（     ） A．一定是正数 B．一定是正数 C．可能是0 D．一定是负数 【答案】C 【分析】考虑的特殊情况，通过举反例判断各选项． 【详解】解：当时，，均不是正数，故、错误． ，即可能是0，故正确，D错误． 14．（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知，则 ______，______． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质，根据绝对值和平方的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零即可求解． 【详解】解： ， ，且 ， 且． ，， 解得，． 故答案为：，． 15．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）定义 若数轴上的点、分别表示数、，简记为A：a、B：b，则、两点之间的距离可表示为． 理解 (1)数轴上表示数和5的两点之间的距离是 （用含的代数式表示）； (2)若，则的值为 ； (3)若，求的值？ 【答案】(1) (2)或 (3)或3 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，涉及绝对值的应用，解题的关键是理解绝对值的几何意义和两点间的距离公式． （1）由题意即可求解； （2）根据表示数轴上数x表示的点到表示的点的距离，根据这个距离为2即可求解； （3）表示数轴上数x表示的点到1表示的点的距离与到表示的点的距离的和为8，根据此意义考虑数x表示的点在表示的点的左边、在1表示的点的右边两种情况，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：表示数轴上数x表示的点到表示的点的距离为2，而数轴上到表示的点的距离为2的点有两个，这两个点表示的数分别为1与， 即或， 故答案为：或； （3）解：表示数轴上数x表示的点到1表示的点的距离与到表示的点的距离的和为8， 由于数轴上1表示的点与表示的点的距离， 当数轴上数x表示的点在表示的点的左边，且当时，有，满足题意； 当数轴上数x表示的点在1表示的点的右边，且当，有，满足题意； 综上，或． 题型6 有理数大小比较（共3小题） 【步骤】正数大于 0，0 大于负数；负数比较，绝对值大的反而小，也可借助数轴判断。 【易错】负数比较易直接用绝对值大小判断；数轴右侧数总大于左侧，别搞反。 16．（26-27八年级上·河北衡水·期中）比较两个数的大小，结果正确的是（     ） A． B． C． D．< 【答案】D 【详解】解：A选项：∵，，， ∴，本选项错误； B选项：∵，，∴，本选项错误； C选项：∵，， ∴，本选项错误； D选项：∵，，， ∴，本选项正确. 17．（26-27七年级上·河北邢台·期中）已知下列六个有理数：，4，，，0，． (1)化简其中需要化简的数，并把这六个数表示在下面的数轴上； (2)用“<”把这六个数连接起来． 【答案】(1)，， 数轴表示为： (2) 【分析】（1）先化简，，再根据数轴的特征表示各数即可； （2）根据数轴上右边的数大于左边的数即可用“<”把这六个数连接起来． 【详解】（1）略 （2）略 18．（26-27七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)点所表示的数是__________； (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． ，，，． 【答案】(1)4 (2)， 【分析】（1）从点开始向右个单位长度可得到点； （2）先化简，，，再在数轴上确定表示各数的点的位置，最后根据在数轴上右边的数总比左边的数大，用“”号把这些数连接起来即可． 【详解】（1）解：点表示的数是，数轴上每个刻度为1个单位长度，、间相距个单位长度，故答案为． （2）解：数轴略， 由于，，， 可知． 题型7 有理数的四则混合运算（共3小题） 【步骤】先乘除后加减，有括号先算括号内；同级运算从左往右，按顺序计算。 【易错】符号最容易出错，去括号注意变号；别随意调换乘除运算顺序。 19．（26-27七年级上·河北唐山·期中）阅读下面的解题过程： 计算． 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） 回答： (1)上面解题过程从第_________步开始出现错误； (2)把正确的解题过程写出来． 【答案】(1)二 (2) ． 【分析】（1）根据有理数的乘除运算法则判断； （2）根据有理数的混合运算法则求解． 【详解】（1）略 （2）略 20．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，涉及加减乘除运算，需掌握运算顺序和符号法则． （1）根据有理数的减法进行计算即可求解； （2）先计算乘除法，再计算加法即可求解； （3）根据乘法分配律进行计算即可求解； （4）根据逆用乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 21．（25-26七年级上·湖南永州·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1)8 (2)1 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，准确的计算是解决本题的关键． （1）先去括号和绝对值，再按照有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）按照有理数的四则混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型8 有理数四则混合运算的实际应用（共3小题） 【步骤】读懂题意，设定正负，列有理数算式，按运算法则计算，最后写出实际答案。 【易错】正负意义易混淆，结果勿忘带单位；作答要贴合实际含义。 22．（25-26七年级上·河北张家口·期末）蔚州贡米是河北蔚县的特产，中国国家地理标志产品，也是古代“四大贡米”之一，已知某品牌贡米的包装上标明重量为“”，重量范围内则为重量合格品，超出重量范围则为重量不合格品．今抽查10袋该品牌贡米，每袋的标准重量是，超出部分记为正，统计成下表． 贡米的袋数 2 3 3 1 1 每袋重量与标准的差值/g 0 (1)求所抽查的10袋贡米的合格率； (2)求这10袋贡米平均每袋的重量． 【答案】(1)合格产品有9袋，合格率为； (2)这10袋贡米平均每袋的重量为 【分析】本题考查有理数的混合运算的应用，根据表格中数据列算式计算是解题的关键． （1）根据题意和表格中的数据可以得到这10袋贡米中，合格的数量； （2）根据题意和表格中的数据可以计算出这10袋贡米的总重量，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：，，，，， ∴合格产品有9袋，合格率为； （2）解：， ． 答：这10袋贡米平均每袋的重量为． 23．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）思行中学利用寒假期间对教室内墙进行粉刷，现有甲，乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷3间教室，乙工程队每天能粉刷2间教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要少用10天，在粉刷过程中，该学校要付甲工程队每天费用2500元，付乙工程队每天费用2000元． (1)求思行中学一共有多少间教室？ (2)若先由甲，乙两个工程队合作一段时间后，乙工程队停工了，甲工程队单独完成剩余部分．且甲工程队的全部工作时间是乙工程队的工作时间的2倍还多4天，求甲工程队共粉刷多少天？ (3)经学校研究，制定如下方案：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：按（2）的方式完成；请你通过计算帮学校看看哪种粉刷方案最省钱． 【答案】(1) 思行中学一共有60间教室 (2) 甲工程队共粉刷16天 (3) 选择方案一是最省钱的粉刷方案 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，有理数四则运算的实际应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． （1）设乙工程队要刷天，根据题意房间数量列出方程，再解即可； （2）设乙工程队的工作时间为天，则甲工程队的工作时间天，根据两队共粉刷间教室列出方程，再解即可； （3）分别计算出三种方案的费用，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设乙工程队要刷天，则思行中学一共有个教室， 由题意得：， 解得：， ， 答：思行中学一共有个教室； （2）解：设乙工程队的工作时间为天，则甲工程队的工作时间天， 由题意得：， 解得：， ， 答：甲工程队共粉刷天； （3）解：方案一：由甲工程队单独完成需（天）， 费用为（元）； 方案二：由乙工程队单独完成需要天， 费用为（元）； 方案三：按（2）方式完成， 费用为（元）， ， 方案一最合适， 答：选择方案一是最省钱的粉刷方案． 24．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）某呼吸机生产厂家计划每天生产300台呼吸机，但由于各种原因，实际每天生产的台数与计划相比有差别，下表是某周的生产情况（增产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)求该厂本周实际生产呼吸机的台数； (2)求该厂产量最多的一天比产量最少的一天多生产的台数； (3)该厂实行每日计件工资制，每生产一台呼吸机可得100元，若超额完成任务，则超过部分每台另奖励20元；若未完成任务，则少生产一台扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)2107台 (2)19台 (3)211010元 【分析】此题主要考查有理数的混合运算在实际生活中的应用，理解正负数的实际意义，列出算式，是解题的关键． （1）根据题意，先列出算式，进而可得答案； （2）根据题意，先列出算式，进而可得答案； （3）这一周的工资总额是基本工资加奖金，列出算式，可得答案． 【详解】（1）解： （台） 答：该厂本周实际生产呼吸机有2107台； （2）解：（台）， 答：该厂产量最多一天比产量最少一天多生产19台； （3）解： （元） 答：该厂工人这一周的工资总额是211010元． 题型9 含乘方的有理数混合运算（共3小题） 【步骤】先算乘方，再乘除后加减；有括号先算括号内，同级运算从左向右依次计算。 25．（26-27七年级上·福建莆田·期中）计算： ______． 【答案】 【分析】根据的偶次幂得，奇次幂得，再相加算出结果． 【详解】解：的偶次幂是，奇次幂是， 故原式． 26．（25-26七年级下·河南郑州·期中）定义，例如，则的结果为（     ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴ ． 27．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘除，最后加减即可求解； （2）先计算乘方，绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型10 有理数计算错解纠正问题（共3小题） 28．（25-26七年级上·河北沧州·期中）一道习题及其错误的解答过程如下表： 计算：． 解： ……第一步 ……第二步 ．……第三步 (1)请指出在第_______步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程： (3)计算： 【答案】(1)一 (2) ； 解答过程： ； (3) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“有括号的先算括号里面的，再算乘方，然后算乘除，最后算加减；同级运算，从左到右依次进行”． （1）根据运算过程进行判断即可； （2）根据乘法分配律进行计算即可； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：第一步开始出现错误，因为在去括号时，符号出现错误； 故答案为：一； （2）略 （3）解： ． 29．（25-26七年级上·河北保定·期中）（1）计算： （2）观察以下计算过程： （第一步） （第二步） ．（第三步） 以上计算过程是否正确？如果不正确，指出错误在哪一步，并写出正确的解题过程． 【答案】（1）； （2）解：不正确，错在第一步． 正确解题过程如下： ． 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）略 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 30．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）在计算“”时，嘉淇的做法如图所示． (1)在上面嘉淇的计算过程中，开始出错的步骤是________(写序号即可)； (2)在（1）中开始出错的步骤，应依据的正确运算法则是：同号两数相加，________ (3)请写出该题正确的计算过程和结果． 【答案】(1)② (2)取加数的符号，再把绝对值相加； (3) 该题正确的计算如下： 【分析】（1）根据有理数的加减法运算法则，即可求解； （2）根据有理数加法运算法则进行计算，即可求解． （3）根据有理数的加减运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：在上面嘉淇的计算过程中，开始出错的步骤是②； 故答案为：② （2）在（1）中开始出错的步骤，应依据的正确运算法则是：同号两数相加，取加数的符号，再把绝对值相加； 故答案为：取加数的符号，再把绝对值相加；． （3）略 【点睛】本题考查有理数的加减运算，掌握有理数加减运算法则（同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．异号两数相加，绝对值相等时，和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同零相加仍得这个数．减去一个数，等于加上这个数的相反数）是解题关键． 提升·进阶突破 题型11 相反意义的量（共3小题） 31．（25-26七年级下·黑龙江绥化·期中）在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．向东走3千米与向北走3千米 B．收入100元与支出200元 C．气温上升与上升 D．5个老人与5个小孩 【答案】B 【分析】本题主要考查相反意义的量，根据相反意义的量的概念，逐一判断选项，即可得到答案，熟练掌握相反意义的量的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、向东走3千米与向北走3千米，不是具有相反意义的量，故A不符合题意； B、收入100元与支出200元，具有相反意义的量，故B符合题意； C、气温上升与上升，不是具有相反意义的量，故C不符合题意； D、5个老人与5个小孩，不是具有相反意义的量，故D不符合题意， 故选：． 32．（2026·云南昆明·一模）刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作元，则亏损100元应记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】正负数可用来表示一对相反意义的量，根据题目给定的规则即可直接得出结果． 【详解】解：∵盈利与亏损是相反意义的量，规定盈利元记作元， ∴亏损元应记作元． 33．（2025·云南楚雄·二模）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，零上为正，则零下为负，进行作答即可． 【详解】解：冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作， 故选：C． 题型12 数轴上两点之间的距离（共3小题） 【步骤】取两点表示的数，用大数减小数，或求两数之差的绝对值得到距离。 【易错】距离一定是非负数；不要直接用左边数减右边数，忽略绝对值。 34．（26-27七年级上·河北沧州·期中）如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴（单位长度为1），并标出了表示的点A．珍珍设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M向右移动2个单位长度，点N向左移动1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图2所示． (1)在图1中标出原点的位置；（用“O”表示） (2)图2中，点M，N表示的数分别是________，________；M、N两点之间的距离是________； (3)第________次按键后，点M所在的位置正好是原点，并直接写出此时点N表示的数． 【答案】(1)解：根据题意，画图如下： ， 则点Ｏ即为所求． (2)，，3 (3)3， 【分析】（1）根据数轴的三要素，确定原点，并标识出来即可； （2）根据向右加，向左减，计算即可； （3）求出原点与点A的距离，用距离除以2即可得到按键的次数，再根据平移思想计算即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：根据题意，得点M表示的数为：，点N表示的数为：， M、N两点之间的距离是． （3）解：原点到点A的距离为：， 根据题意，得每按一次键盘，点M向右移动2个单位长度，点N向左移动1个单位长度， （次）， 故点N表示的数为：． 35．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【答案】(1) (2)0 (3)t的值为3或 【分析】本题考查两点之间的距离，用点表示数轴上的数，分情况讨论是解题的关键； （1）先求出之间的距离，再分别计算点P到达A点和返回时用的时间，相加即可； （2）根据P到达A点时用的时间确定路径，再计算所走路程，即可解答； （3）分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴（秒），故点P到达A点时用的时间为秒； ∵当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， 故当点P返回到点B时，； （2）解：∵P到达A点时用的时间为（秒）， 当时，，即时，点P从A点返回； ； ∴当时，点P表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，， 当点P运动到点A，然后向右运动到时， ， 综上所述，t的值为3或． 36．（25-26七年级上·河南商丘·期中）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 【答案】(1)点三点在数轴上的位置如图所示， (2)向左爬了4个单位长度 (3) 【分析】本题主要考查了数轴的表示及数轴上的点与数的对应关系、有理数的加减运算，熟练掌握数轴上点的移动规律（右移加、左移减）是解题的关键． （1）根据蚂蚁的移动方向和单位长度，确定、、三点对应的数，再在数轴上标出位置． （2）先计算点对应的数，再根据数的正负判断移动方向和单位长度． （3）逆向分析蚂蚁的移动过程，通过运算求出点表示的数． 【详解】（1）解：略． （2）解：点可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了个单位长度到达的； （3）解：由题意可知蚂蚁先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，即可以看作向右爬了个单位长度， 故点表示的数为． 题型13 数轴上整点覆盖问题（共3小题） 【步骤】求出线段两端数值，分端点是否为整点，再计算覆盖整点个数。 【易错】端点是整点时个数 = 差 + 1；端点非整点，整点个数等于两数之差。 37．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】线段的端点位置不确定，需分在整点、不在整点两类情况讨论． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当线段的起点在整点时，覆盖的整点个数为； ②当线段的起点不在整点，即在两个整点之间时，覆盖的整点个数为． 38．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的小棒，该小棒能盖住16个整点，则这根小棒的长度为_________厘米． 【答案】15或16 【分析】分小棒端点是否与整点重合两种情况，根据长度与盖住整点个数的关系计算即可． 【详解】解：∵长度为厘米（为正整数）的小棒， 端点不与整点重合时，盖住个整点， 端点与整点重合时，盖住个整点， ∴已知小棒盖住16个整点， 第一种情况：端点不与整点重合，可得，即小棒长度为16厘米， 第二种情况：端点与整点重合，可得，解得，即小棒长度为15厘米， 因此这根小棒的长度为15厘米或16厘米． 39．（26-27七年级上·四川宜宾·期中）如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据：则被淹没的整数点有（     ）个． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上两点间的整数个数计算方法，分别求出两处墨水覆盖范围内的整数个数，再求和即可． 【详解】解：左侧墨水淹没的范围在，之间， 则该范围的整数有个， 右侧墨水淹没的范围在，之间， 该范围的整数有个， 故被淹没的整数点有个． 题型14 绝对值非负性（共3小题） 【步骤】任意数的绝对值≥0；多个绝对值相加为 0，则每个绝对值都等于 0 【易错】不要误认为绝对值等于 0 的数有多个；易忽略 “同时为 0” 这个条件 40．（25-26七年级上·全国·期末）成立时，______． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质列出方程组，求出的值，然后将它们的值代入中求解即可． 【详解】， ， 解得， ． 41．（25-26七年级上·江苏南通·期中）如果两个有理数x，y满足，则的最大值__________，的最小值为__________． 【答案】 3 4 【分析】此题考查绝对值的意义，数轴上两点之间的距离． 把变为可求出的最大值；由得，将原式化为，根据两点间距离的几何意义可求其最小值为4． 【详解】解：因为，则， 所以； 因为绝对值是非负数，即， 所以当最小时，整个式子的值最大． 当时，，此时， 所以的最大值是3． 由得，， 所以，此式表示x到3的距离加上x到7的距离， 根据绝对值的性质，当x在3和7之间（包括3和7）时，距离和最小，最小值为． 所以的最小值为4． 故答案为：3；4． 42．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值和平方数的非负性，解题的关键是利用非负性求出、的值． 通过分析等式中各项的非负性，得出绝对值项和平方项均为零，进而求出和的值，再代入表达式计算． 【详解】解：∵，且左边各项非负， ， ， 代入方程得， 两边减去得， ， 且， ∴， ． 故答案为：A． 题型15 绝对值的几何意义（共3小题） 43．（26-27七年级上·宁夏银川·期中）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有三个点，，，其中，． (1)若以点为原点，写出点，表示的数； (2)若以点为原点，写出点表示的数的相反数； (3)若点，表示的数的绝对值相等，写出点表示的数． 【答案】(1)点A表示的数是，点C表示的数是1 (2)3 (3) 【分析】（1）根据原点左侧的点表示的数是负数，原点右侧的点表示的数是正数解答即可； （2）先求出点A表示的数，再求其相反数即可； （3）先求出点A到原点的距离，再求出点B到原点的距离即可求解． 【详解】（1）解：∵B为原点，，， ∴点A表示的数是，点C表示的数是1； （2）解：∵，． ∴， ∴当C为原点时，A表示的数是， ∵的相反数是3， ∴点表示的数的相反数是3； （3）解：∵点，表示的数的绝对值相等， ∴点A距离原点， ∴点A表示的数是， ∵， ∴点表示的数是． 44．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）【阅读】在数轴上，若点表示数，点表示数，则点与点之间的距离为． 例如：两点表示的数分别为，，那么． (1)若，则的值为_________． (2)当_________时，． (3)在数轴上，点表示数，点表示数．我们定义： 当时，点叫点的1倍伴随点， 当时，点叫点的2倍伴随点， … 当时，点叫点的倍伴随点． 试探究下列问题： 若点是点的1倍伴随点，点是点的2倍伴随点，是否存在这样的点和点，使得点恰与点重合，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）由题中定义直接求解即可； （2）由题中定义列式计算即可； （3）令点表示的数是、点表示的数是、点表示的数是、点表示的数是，由倍伴随点的定义及两点之间距离定义得出的值，按照表示的值，即可求出线段的长． 【详解】（1）解：由可知，数轴上表示的点与表示的点的距离为， ； （2）解：是指数轴上表示的点与表示的点的距离为， 数轴上与距离个单位长度的数是或； （3）解：令点表示的数是、点表示的数是、点表示的数是、点表示的数是， 点是点的1倍伴随点， ，则由两点之间距离定义可知或； 点是点的2倍伴随点， ，则由两点之间距离定义可知或； 若点恰与点重合，即，则由上述的值可分四种情况： 当、时，则， ，即线段的长为； 当、时，则， ，即线段的长为； 当、时，则， ，即线段的长为； 当、时，则， ，即线段的长为； 综上所述，存在这样的点和点，线段的长为或． 45．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）综合与实践： 【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．．例如：数轴上表示．与的两点间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示3和8两点之间的距离是_________；数轴上表示2和的两点之间的距离是_________； 【独立思考】 (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为_________； (3)试用数轴探究：当时m的值为_________． 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： (4)利用数轴求出的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ 【规律应用】 (5)工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使各工作台的工作人员取配件（只取一次）所走的路程最短？此时最短路程是多少米？ 【答案】(1)5，3 (2) (3)或4 (4)的最小值为3，x可取的整数值为2，3，4，5 (5)配件箱放在中间的工作台E上所走的路程最短，最短路程是40米 【分析】（1）用大数减小数便可求得两点的距离； （2）根据绝对值的几何意义用代数式表示即可； （3）根据绝对值的几何意义分两种情况讨论求解即可； （4）根据绝对值的几何意义得到表示x到2的距离和x到5的距离之和，然后分情况讨论求解即可； （5）同上利用绝对值的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：数轴上表示3和8的两点之间的距离是；数轴上表示2和的两点之间的距离是； （2）解：数轴上表示x和的两点之间的距离表示为； （3）解：表示m到1的距离等于3， 由数轴得，当m在1左边时，；当m在1右边时，； （4）解：表示x到2的距离和x到5的距离之和， 由数轴可得，当时，x到2的距离和x到5的距离之和大于2和5之间的距离3， 当时，x到2的距离和x到5的距离之和等于2和5之间的距离3， 当时，x到2的距离和x到5的距离之和大于2和5之间的距离3， ∴的最小值为3， 此时x可取的整数值为2，3，4，5； （5）解：设9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I分别为数轴上的点， 根据题意得，当配件箱放在中间的工作台E上时，能使工作台上的工作人员取配件（只取一次）所走的路程最短 ∴最短路程为（米）． 题型16 有理数混合运算综合（共3小题） 46．（26-27七年级上·四川德阳·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 47．（26-27七年级上·甘肃定西·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 48．（26-27七年级上·四川德阳·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1） 先去括号，再计算加减法； （2）按照从左到右顺序，先算除法再算乘法； （3）运用乘法分配律简化计算； （4） 运用乘法分配律简化计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型17 有理数中的简便运算（共3小题） 49．（26-27七年级上·湖南株洲·期中）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：． 【答案】 【分析】仿照材料中的倒数法，先计算原式的倒数，利用乘法分配律简化运算，再取倒数得到原式结果． 【详解】解：先求原式的倒数， 得 ， ∴ 原式． 50．（26-27七年级上·河北唐山·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 51．（25-26七年级上·浙江温州·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘法运算律的简便运算，掌握乘法分配律是解题的关键． （1）按照乘法分配律和有理数乘法运算法则计算即可； （2）按照乘法分配律和有理数乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型18 根据点在数轴的位置判断式子的正负（共3小题） 52．（26-27七年级上·天津河西·期中）已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“＞”“＜”“＝”填）； (2)根据数轴化简：______；______；______； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据在数轴上的对应点的位置判定即可； （2）根据绝对值的性质即可得出结论； （3）根据绝对值的性质求出，再代入计算即可得出结论． 【详解】（1）解：根据数轴上的排列顺序可得：； （2）解：∵， ∴，，； （3）解：∵，，且， ， ∴， ∴． 53．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)比较大小：___________0；___________0（填：“>”，“<”或“=”）； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查数轴的相关知识点，化简绝对值，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由数轴可得，且，由此即可得出结果； （2）由数轴可得，且，从而得出，，，再根据绝对值的意义化简即可得出结果． 【详解】（1）解：由数轴可得：，且， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由数轴可得：，且， ∴，，， ∴ ． 54．（2025七年级上·全国·专题练习）有理数在数轴上的位置如图所示，下列各式：①；②；③；④，错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值的几何意义及有理数的运算，熟练掌握数轴上有理数的表示、绝对值的几何意义及有理数的运算是解题的关键；由数轴可知，，，，然后依次进行排除选项即可． 【详解】解：由数轴可知，，， 则①，正确； ②，，正确； ③，错误； ④因为，，所以，正确． 因此错误的有1个． 故选A． 题型19 含乘方的有理数混合运算题（共3小题） 55．（26-27七年级上·广东广州·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 56．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）计算：． 【答案】6 【详解】解： ． 57．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 题型20 乘方的应用（共3小题） 58．（26-27七年级上·河北邢台·期中）【阅读材料】浮萍是一种生长很快的水生植物．某池塘中的浮萍，每天覆盖的面积都是前一天的2倍．已知第1天浮萍覆盖的面积为，第2天为，第3天为，第4天为，…… 【解决问题】 (1)用幂表示第8天浮萍覆盖的面积，并计算出结果； (2)第几天浮萍覆盖的面积为？ (3)若第20天浮萍恰好长满整个池塘，那么第几天浮萍恰好覆盖池塘面积的一半？ 【答案】(1)第8天浮萍覆盖的面积为，结果是； (2)第10天浮萍覆盖的面积为； (3)第19天浮萍恰好覆盖池塘面积的一半． 【分析】（1）先总结出第n天浮萍的覆盖面积是，把代入规律计算即可； （2）根据计算即可； （3）根据乘方的意义作答即可． 【详解】（1）解：第1天面积是， 第2天是， 第3天是， ∴第n天浮萍的覆盖面积是， 当时，； （2）解：∵面积为，， ∴， 即， ∴； （3）解：∵浮萍每天覆盖面积是前一天的2倍，第20天长满池塘， ∴第20天的面积第19天的面积， 即第19天的面积就是第20天满池面积的一半， ∴第19天浮萍恰好覆盖池塘面积的一半． 59．（2026·河北石家庄·一模）进位制是人们为了满足记数和运算的需求而约定的记数系统．如三进制数就是用0，1，2这三个数字来表示数的记数方式，逢三进一位．不同的进位制是可以互相转换的，若将三进制数转换为十进制数，就可以这样转换：． 解答下面问题： (1)将三进制数，转换为十进制数； (2)已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除，求的值． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据三进制转换为十进制数的转换方法计算即可； （2）先推导出，得到能被3整除，根据整个数能否被3整除，仅由剩余项d决定，即d必须是3的倍数，且三进制数的数字取值范围为0，1，2，故，即可解答． 【详解】（1）解： ， 答：三进制数转换为十进制数为16． （2）解： ， ∵三进制的四位数对应的十进制数能被3整除， ∴能被3整除， ∵，是3的倍数；，是3的倍数；，是3的倍数， ∴整个数能否被3整除，仅由剩余项d决定，即d必须是3的倍数， 又因为三进制数的数字取值范围为0，1，2， 故． 60．（25-26七年级上·河北邢台·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳计数”的方法来记录自己读书的天数，图1是他从右到左依次在排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为，按同样的方法，图2表示的天数是（　　） A．36 B．56 C．308 D．1232 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的应用；类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满六进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数． 【详解】解：图2表示的天数是， 故选：C． 题型21 程序流程图（共3小题） 61．（25-26七年级上·河北沧州·期中）有一个数值转换器，其工作原理如图．若输入的x值为23，则输出的结果是___________ 【答案】6 【分析】先将代入数值转换器计算，得到结果为，则需要再将代入数值转换器计算，得到的结果为6，即可解答． 【详解】解：当时，则， ∵， ∴当时，则， ∵， ∴输出的结果是6． 62．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． 63．（25-26七年级上·河北邢台·期末）根据如图所示的程序回答问题： (1)当嘉嘉输入2和这两个数时，请计算说明：他的输出的结果是多少？ (2)当洪洪输入和这两个数时，输出的结果是6，试求被墨水污染的数． 【答案】(1) 解：， ， ∴他的输出结果是； (2)或 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数运算，解一元一次方程，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据题意计算出的结果，若结果为正，则输出结果，若结果非正，则取绝对值输出，据此求解即可； （2）设被墨水污染的数为x，再分两种情况：的结果为正数和的结果为负数，根据题意分别建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设被墨水污染的数为x， 当的结果为正数时，则，解得， 当的结果为负数时，则，解得， 综上所述，或 ∴被墨水污染的数为或． 题型22 算24点（共3小题） 64．（25-26七年级上·全国·期末）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 【答案】(1)抽取和两张卡片，幂最大，最大为 (2)抽取、、三张卡片，乘积最小，最小为； (3)抽取、、、，（答案不唯一） 【分析】（1）如果底数是正数，指数越大，幂越大；如果底数是负数，指数必须是偶数，结果才为正数，且底数的绝对值越大、指数越大，幂越大．指数越大，幂通常越大，据此即可求解； （2）根据同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，计算积，再根据有理数的大小比较解答即可； （3）根据有理数的混合运算解答即可． 【详解】（1）解：和两张卡片，幂最大，； （2）解：根据正数大于零，正数大于负数， 故抽取的卡片上的数字之积为负数时，积最小， 抽取、和三张卡片，乘积最小，最小为； （3）解：抽取、、、，（答案不唯一） 65．（25-26七年级上·河南安阳·期中）有一种游戏叫“24点游戏”，规则是：随机抽取4个整数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．有一次小明在做“24点游戏”时抽到的4个数分别是，4，5，11，请你写出一个算式使其结果为24：______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是灵活组合数字与运算符号，构造出结果为24的算式． 通过对数字、、、11进行减法、乘法运算的组合，得到结果为24的算式． 【详解】解：计算过程：先，得到， 再将与相乘，得到6， 最后将6与4相乘，得到24， 则． 故答案为： 66．（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，小明有4张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最小，最小值是 ； (2)取4张卡片，用卡片上的4个数字，在“”选取你所需要的运算，使结果为24（每张卡片用一次）．请设计1个算式，并写出计算过程． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的运算，算24点，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）乘积最小，则积为负，分别取正数和负数中的绝对值最大的两个数进行计算即可； （2）根据运算法则和运算顺序，设计出一个算式即可． 【详解】（1）解：乘积最小，则积为负，分别取正数和负数中的绝对值最大的两个数进行计算，故最小值是； （2）解：（答案不唯一）． 拔高·压轴破难 题型23 数轴上的动点问题（共3小题） 67．（26-27七年级上·江苏盐城·期中）如图，数轴上有M，N两点和一条线段，规定：若线段的中点R在线段上（点R能与点P或点Q重合），则称点M与点N关于线段“中线对称”． （注：把一条线段分成相等的两条线段的点，叫作线段的中点） 已知点O为数轴的原点，点A表示的数为，点B表示的数为4，点C表示的数为x，若点A与点C关于线段“中线对称”，则x的最大值为________． 【答案】12 【分析】根据“中线对称”的定义，求解即可． 【详解】解：如图，根据题意可知，当点A与点C关于线段“中线对称”，点B为的中点时，x的值最大， ∵点A表示的数为，点B表示的数为4， ∴， ∴， ∴点C表示的数为， ∴x的最大值为12． 68．（25-26七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或秒． 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题，解决本题的关键是计算数轴上两点间的距离，进行分类讨论． (1)根据定义求值即可； (2)分线段在线段左侧和右侧两种情况求解； (3)根据点的运动方向和速度分情况讨论． 【详解】（1）解：（点，线段）， （点，线段）， 故答案为：，； （2）解：当线段在线段左侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 当线段在线段右侧时， 可得：（线段，线段）， 解得：； 综上所述，或； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：(不符合题意)； 当时，点表示的数是，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）， 解得：； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 则有（线段，线段）； 当时， 则有（线段，线段）； 综上所述，若（线段，线段），则有或或或秒． 69．（25-26六年级上·山东淄博·期末）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)则___________； (2)若点在数轴上运动，点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点以每秒2个单位长度向右运动．请问：运动秒后，点与点之间的距离为多少？(用含的代数式表示) (3)若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点与点分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，当秒时，试推出之间的数量关系． 【答案】(1)8 (2) (3)当时，；当时， 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，涉及线段的长度、代数式表示动点位置以及分类讨论思想，关键是根据运动速度和时间表示出各点表示的数，再结合距离公式推导数量关系． （1）数轴上两点距离为右边的数减去左边的数，点表示，点表示6，直接计算； （2）先表示运动秒后点、的表示的数：点向左运动，表示的数为；点向右运动，表示的数为．两点距离为右边表示的数减左边表示的数，即； （3）先表示运动秒后点、、的表示的数：A为，为，为．分别计算、、的距离表达式：，，，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：8； （2）解：运动秒后，点表示的数为，点表示的数为， 故； （3）解：运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为． ∴，，． 当时，，则； 当时，，则； 综上，当时，；当时，． 题型24 数轴上的翻折问题（共3小题） 70．（26-27七年级上·福建莆田·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起了对应关系，揭示了数与点之间的内在联系． 操作一： (1)折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与___________表示的点重合； 操作二： (2)折叠纸面，若使1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与数___________表示的点重合 ②若数轴上两点之间距离为9（在的左侧），且，两点经折叠后重合，则两点表示的数分别是___________，___________ 操作三： (3)在数轴上剪下8个单位长度（从到7）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠（如图所示）．若得到的这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是多少？ 【答案】(1) (2)①；②， (3)折痕处对应的点所表示的数可能是 【分析】（1）根据折叠以后重合两点表示的数的和相等求解即可； （2）①根据折叠以后重合两点表示的数的和相等求解即可； ②根据折叠以后重合两点中点是折痕确定折痕位置，再根据点的平移求解即可； （3）先根据三条线段的长度之比为求出三条线段长，再确定折痕处对应的点所表示的数． 【详解】（1）解：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则， 则表示的点与表示的点重合； （2）解：①折叠纸面，若使1表示的点与3表示的点重合，则， 表示的点与数表示的点重合； ②折叠纸面，若使1表示的点与3表示的点重合，则折痕为， 若数轴上两点之间距离为9（在的左侧），且，两点经折叠后重合，则两点到折痕的距离都是， 所以从折痕向右平移个单位长度得到，即表示的数是；从折痕向左平移个单位长度得到，即表示的数是； （3）解：因为在数轴上剪下8个单位长度（从到7）的一条线段，得到的这三条线段的长度之比为，则三条线段的长度分别为； 根据先折叠再剪断得到三条线段可以发现中间一条线段有折痕，两端的线段没有折痕； 当长度的线段是中间有折痕的线段时，此时两端的线段没有折痕且相等，则折痕为整个线段的中点，此时折痕处对应的点所表示的数是； 当长度的线段是没有折痕的线段，且靠近时，此时两端没有折痕的线段长度差，则从向右移动个单位长度到达，此时折痕两端长度一致，即折痕为从到7线段的中点，此时折痕处对应的点所表示的数是； 当长度的线段是没有折痕的线段，且靠近时，此时两端没有折痕的线段长度差，则从向左移动个单位长度到达，此时折痕两端长度一致，即折痕为从到线段的中点，此时折痕处对应的点所表示的数是； 综上所述，折痕处对应的点所表示的数可能是． 71．（25-26七年级上·广东惠州·期末）如图，数轴上的点，，分别表示数，，，其中是最大的负整数，且多项式是关于的二次多项式，一次项系数为． (1)________；________；________； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，此时与点重合的点所表示的数为________； (3)若数轴上有一点，且点表示数，则的最小值为________； (4)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为． ①请你用含的代数式表示线段和线段的长； ②是否存在常数，使的值为定值？若存在，请求出的值和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，7 (2)3 (3)12 (4)①，；②当时，的值为定值，定值为． 【分析】本题主要考查了多项式的概念、数轴上两点间的距离、折叠问题、整式的加减运算、绝对值等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据b是最大的负整数可得，根据多项式的概念可得，； （2）先求出折痕表示的数，进而可求出与点B重合的点所表示的数； （3）分、、、四种情况，分别去绝对值求最值即可解答。 （4）①先表示出点P和点Q表示的数，进而可用含t的代数式表示线段和线段的长； ②根据，当时，其值为定值,据此求解即可． 【详解】（1）解：∵b是最大的负整数， ∴； ∵多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c， ∴， ∴． 故答案为：，，7； （2）解：∵将数轴折叠，使得点与点重合， ∴折痕处的数是， ∴与点B重合的点所表示的数为． 故答案为：3； （3）解：当时，，当时，有最小值16； 当时，，当时，有最小值12； 当时，，当时，有最小值12； 当时，，当时，有最小值20； 综上，的最小值为12； （4）解：①∵后点P表示的数是，点Q表示的数是， ∴，， ②存在， ∵， ∴当，即时，的值为定值，定值为． 72．（25-26七年级上·全国·期末）【问题情境】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够运用数形结合思想解决问题．如图，在纸面上有一数轴． (1)【初步探究】按下列要求折叠纸面． ①若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数_______对应的点重合； ②若折叠后数对应的点与数6对应的点重合，则此时数0对应的点与数_______对应的点重合； ③在数轴上，A，B两点之间的距离为（点B在点A的右侧），若如②这样折叠后点A与点B重合，则点A表示的数是_______，点B表示的数是_______． (2)【深入探究】 在（1）③的条件下，数轴上有一动点P，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为（）． ①若动点P从点B出发向右运动，当t为何值时，A，P两点之间的距离为18个单位长度？ ②若动点P从点B出发向左运动，当t为何值时，A，P两点之间的距离为2个单位长度？ 【答案】(1)①；②2；③，8 (2)①2；②6或8 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上的两点间的距离，折叠的特点，数轴上表示数，一元一次方程的应用，熟练掌握折叠的两个数到折痕点数的距离相等，数轴上两点间的距离是解题的关键， （1）①根据折叠后数对应的点与数对应的点重合，得到折痕点表示的数是0，根据折叠数到折痕点数的距离相等，符号相反，计算即可； ②根据折叠后数对应的点与数6对应的点重合，得到折痕点表示的数为，由此得到，得到，计算即可； ③根据折叠后数对应的点与数6对应的点重合，得到折痕点表示的数为，设点A表示的数是，点B表示的数是，根据折叠的性质，得到，计算即可； （2）根据题意，得，根据动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒，得到． ①根据题意，得,列式计算即可； ②根据题意，得到点P表示的数为，结合，两点之间的距离为2个单位长度，得到，计算即可． 【详解】（1）解：①根据折叠后数对应的点与数对应的点重合，得到折痕点表示的数是0，根据折叠数到折痕点数的距离相等，符号相反， ∴数对应的点与数对应的点重合， 故答案为：； ②根据折叠后数对应的点与数6对应的点重合， ∴折痕点表示的数为， 设折叠后与0重合的数为x， 由此得到， 解得， 故答案为：2； ③根据折叠后数对应的点与数6对应的点重合， ∴折痕点表示的数为， 设点A表示的数是，点B表示的数是， 根据折叠的性质，得， 解得， 故答案为：； （2）解：根据题意，得， 根据动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动， 设运动时间为秒，得到． ①根据题意，得 ∴， 解得； ②根据题意，得到点P表示的数为，根据，两点之间的距离为2个单位长度， 得， 解得或． 题型25 绝对值的几何意义（最值）（共3小题） 73．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，得到当时，，进而求出符合题意的所有整数，求和即可. 【详解】解：由题意，当，即时，， ∴符合题意的所有整数为， 故. 74．（25-26六年级上·上海·期末）的最小值为______． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值的几何意义． 根据绝对值的几何意义，多个绝对值之和的最小值出现在中间的数值处．由于点从1到2026共2026个，是偶数，中间的数值为第1013个点和第1014个点的平均值，即． 【详解】解：设．当时，取得最小值． ． 故答案为． 75．（25-26七年级上·广东佛山·期中）综合与实践： 【问题情境】 数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和9两点之间的距离是 ，数轴上表示5和的两点之间的距离是 ； 【独立思考】 （2）试用数轴探究：当时，m的值为 ； （3）利用数轴，求出当时x的值； 【实践探究】 （4）请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去小明家做客，小明爷爷想考考小红，就说：“我若是小明现在这么大，小明还要34年才出生，小明若是我现在这么大，我已经98岁，是老寿星了，哈哈！”请求出小明爷爷和小明现在的年龄 【答案】（1）7，11；（2）7或；（3）4或；（4）小明爷爷现在年龄是54岁，小明现在的年龄是10岁 【分析】本题考查数轴，绝对值的意义，数轴上两点距离的表示方法：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离； （1）数轴上表示2和9两点之间的距离是，数轴上表示5和的两点之间的距离是； （2）表示m到2的距离为5，结合数轴即可得出结果； （3）表示x到3的距离与x到的距离之和为7，结合数轴即可得出结果； （4）利用爷爷和小明之间年龄差不变，结合数轴即可得出结果. 【详解】解：（1）∵， ∴数轴上表示2和9两点之间的距离是7， ∵， ∴数轴上表示5和的两点之间的距离是11. 故答案为：7，11. （2）表示m到2的距离为5，如图所示： ∵， ∴或， ∴或， ∴到2的距离为5的数是7或， 故m的值为7或. （3）表示x到3的距离与x到的距离之和为7，如图所示： ①当时，，即， 解得： ②当时，，即， ∵不成立， ∴当时不成立， ③当时，，即， 解得： 综上：x的值为4或. （4）画出数轴如图所示： 小明现在的年龄对应数轴上的点B，爷爷现在的年龄对应数轴上的点C则当点C移动到点B时，点B移动到了点A，当点B移动到点C时，点C移动到了点D， ∵爷爷和小明之间年龄差不变，即在数轴上两点之间距离不变， ∴， 又∵爷爷说：“我若是小明现在这么大，小明还要34年才出生，小明若是我现在这么大，我已经98岁” ∴点A表示，点D，表示98， ∴， ∴（岁），（岁）， 即小明爷爷现在年龄是54岁，小明现在的年龄是10岁. 题型26 数轴与绝对值结合（共3小题） 76．（25-26七年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是____________； ②在①的情况下，如果，那么为____________； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数， 的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是____________； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台，一只配件箱应该放在工作____________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是____________米； (3)若在数轴上点A、B表示的数分别是．动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒．当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． 【答案】(1)①；②5或； (2)①2；②C，12； (3)1或4.6． 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上两点之间的距离： （1）①根据两点间距离公式可得结论； ②数轴上表示和2的两点间相差3个单位长度，即或，即可求解； （2）①根据两点间的距离公式，仿照材料上的分析即可求得最小值； ②以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，点P表示配件箱的位置，表示数x，根据绝对值的意义，几何数轴上点的特点可知当时，有最小值12； （3）表示出P、Q两点表示的数，根据两点间的距离公式表示，代入计算可得答案． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②由于，则， 即或， 解得：或， 故答案为：5或； （2）解：①如图，设N、M点表示数1、2，点P表示数x，O表示原点， 则， 当点P与点N重合时，，则， 当点P在线段上且不与N重合时，， 则； 当点P在线段上且不与N重合时，， 则； 当点P在点M的右边或在点O的左边时，或， 则， ∴的最小值为2； 故答案为：2； ②如图，以C点为原点，2米为一个单位长度，A、B、C、D、E依次在数轴上排列，点P表示配件箱的位置，表示数x， 根据绝对值的意义，， 根据数轴上点的特点可知当点P与点C重合，即时，，，，此时取得最小值； 当点P在线段上（不与点C重合）时，， 则， 即； 同理，当点P在或（不与点C重合）或上或在点E的右边或在点A的左边时，均有； 综上，当点P与点C重合，即时，有最小值12； 故答案为：C；12； （3）解：由题意知，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵， ∴， 即或， 解得：或， 故t的值为1或4.6． 77．（25-26七年级上·福建南平·期中）阅读材料：点 A、B 在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离可表示为．例如： 6与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示5的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和3，数轴上另有一点P对应的数为有理数x. 请根据阅读材料回答下列问题： (1)点A与点B之间的距离 ； (2)根据几何意义，解决下列问题并填空： 当时， ；                       当时， ；                  若点P在A、B两点之间，则 ；           若， 则点P表示的有理数x为 ． (3)若点M、N 为数轴上的两个动点，若点M以每秒个单位长度的速度从点B向数轴负方向出发，点N从点A向数轴正方向出发，其运动速度是点M的3倍，求运动多少秒后点M与点N相距1个单位长度？ 【答案】(1)5； (2)5；9；5，4或； (3)5秒或秒． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离公式，行程问题，数形结合思想等。理解并掌握材料中两点之间的距离公式是解题的关键． （1）根据数轴上点A和点B表示的数计算即可； （2）根据数轴数形结合即可； （3）设运动t秒后点M与点N相距1个单位长度，分相遇前相遇后进行讨论即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：5； （2）由数轴可知： 当时，到A、B两点的距离之和为5， 所以；     当时，到A、B两点的距离之和为9， 所以；     若点P在A、B两点之间，则点P到A、B两点的距离之和为5， 所以； 因为，所以点P不在A、B两点之间， 因为，所以点P表示的有理数x为4或； 故答案为：5；9；5，4或； （3）由题可知，， 设运动t秒后点M与点N相距1个单位长度， 相遇前： ，    相遇后： ，        答：综上可知，经过5秒或7.5秒时点M与点N相距1个单位长度 78．（25-26七年级上·江西赣州·期中）【阅读材料】借助数轴能更好地理解绝对值的几何意义． 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 如：表示数轴上5这个点与原点的距离，即． 一般地，数轴上表示数m的点与表示数n的点之间的距离等于． 如：数轴上表示3的点与表示的点之间的距离为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是________；数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为________；若，则________． (2)【拓展延伸】 ①若，求x的取值范围； ②对于实数x，的最小值是________，此时________． 【方法指导】 对于问题（2），可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和． 要使这个距离之和等于4，x应该取什么位置呢？ (3)综合应用：江西某快递公司在一条东西走向的街道上设置配送点，该街道上有A，B，C，D，E五个小区，它们在数轴上对应的位置如图所示（单位：百米）： 若快递公司只能在其中一个小区设配送点，为使配送点到五个小区的距离之和最小，应选择在哪个小区设置配送点？请说明理由． 【答案】(1)8，，或 (2)①x的取值范围是；②6，1；x应该取和3之间的位置（包括和3） (3)应该选择在小区C设置配送点，理由： 设在小区A，B，C，D，E设配送点，距离之和分别为： 小区：， 小区：， 小区：， 小区：， 小区：， 因为， 所以应该选择在小区设置配送点． 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，绝对值的应用，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上的两点距离可直接进行求解前两空；第三空根据绝对值的概念求解即可； （2）根据数轴上的两点距离的几何意义可直接进行求解； （3）设在小区A，B，C，D，E设配送点，分别计算相应的距离之和，即可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是； 数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为； 若，则或， 所以或． 故答案为：8；；7或． （2）解：①由题意知， 即数轴上表示的点到和3两点的距离之和为4， 而与3之间的距离为4， 所以的取值范围是； ②表示数轴上表示的点到，1和4三点的距离之和 当表示的点正好在表示1的点处时，三个距离之和最小，最小值是6，此时． 故答案为：6；1． 可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和，要使这个距离之和等于4，x应该取和3之间的位置（包括和3）． （3）略 题型27 二进制计算问题（共3小题） 79．（25-26七年级上·江苏南通·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标注基数）． 可知：一个其它进位制数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转化成一个十进制数，反之，可以将一个十进制数表示成一个其它进位制数． 规定：当时，． 例如：，即； ，即； ，即． 【初步感知】 （1）①请把转化为十进制数为______； ②请把转化为八进制数； 【类比探究】 （2）类比十进制数的四则运算可进行其它进位制数的运算， 例如：． 计算：①； ②． 【拓展提升】 （3）小聪发现不同进制数都可以化为十进制数，故不同进制数也可以进行加法运算． 例如：． 若，则_____（结果用十进制数表示）． 【答案】（1）①142；②；（2）①；②；（3）51 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用． （1）根据题意将三进制化为十进制即可求解． （2）根据题意，类比十进制的运算规则，在相应进位制下进行计算即可求解． （3）根据题意例题进行计算先求得，，根据即可求解． 【详解】（1）①把 ， 故答案为： ② ， 即：． （2）① ② （3）∵， ， ， ， ，，且、为正整数， ，， 故答案为： 80．（25-26七年级上·重庆·期中）我们平时用的是十进制数，例如，表示十进制数要用个数字：，，，…，．在电子计算机中使用的是二进制，只用两个数字：，．例如：在二进制中，，等于十进制的，，等于十进制的．请你计算一下： (1)求二进制中的数等于十进制的数多少？ (2)已知：，请计算并写出的值（结果仍用二进制数表示）； (3)仿照二进制的说明与算法，请你计算一下，八进制中的数等于七进制的数多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是有理数的乘方，解题的关键在于阅读材料，明确十进制与二进制的转化． （1）根据十进制中的数与二进制中的数的相互转化的方法计算； （2）根据满二进一的方法将两个二进制数相加即可； （3）先将转化为十进制数，再将转化为七进制数． 【详解】（1）解：， 二进制中的数等于十进制的数； （2）解：； （3）解： ， ， 八进制中的数等于七进制的数． 81．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）综合与实践 阅读材料： 我国是最早使用十进制的国家，我们最熟悉的十进制是“逢十进一”，而计算机中常用的是“逢二进一”的二进制．也就是说“逢几进一”就是几进制，（其中为正整数，且）进制就是“逢进一”． 例如：十进制数，记作：234； 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ，记作：． 三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ，记作：． 下表是自然数对应的的部分值（其中为自然数），供计算时参考： 0 1 2 3 4 5 … 1 2 4 8 16 32 … 1 3 9 27 81 243 … 1 6 36 216 1296 7776 … 解决问题： 根据以上提供的信息，请完成以下问题： (1)把十进制数33化为二进制数______； (2)把三进制表示的数转化为十进制表示的数：______； (3)请把转换成六进制的数； (4)一个六进制两位数（其中，均为小于6的正整数）等于二进制数与三进制数的乘积，求的值． 【答案】(1) (2)245 (3) (4)10 【分析】本题主要考查了二进制，三进制，六进制和十进制数之间的互相转化，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据表格先找到33所处的大约位置，再根据十进制转化为2进制的算法得到答案即可； （2）根据三进制转化为十进制的公式和表格算出答案即可； （3）先把二进制的数转化为十进制，再把十进制的数转化为六进制即可； （4）先把二进制和三进制的数转化为十进制，根据题意求出积，进而得到答案即可； 【详解】（1）解：∵， 根据表格可知，十进制数33化为二进制数时，最高位是， ∴， 故答案为：； （2）解：由题和表格可知：， 故答案为：245； （3）解：由题和表格可知，把二进制表示的数转化为十进制表示的数： ， 由题和表格可知，把十进制数25化为六进制数： ． （4）解：把二进制表示的数转化为十进制表示的数： ． 把三进制表示的数转化为十进制表示的数： ． 由题意，得 ． 可得． ． 题型28 有理数的新定义运算（共3小题） 82．（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． ． (1)______； (2)已知：，其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)29 (2) (3)存在， 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵a为负数， ∴； （3）解：存在，理由如下， ， ∵，， ∴，， 解得，，． 83．（25-26七年级上·陕西西安·期中）对于任意的有理数、，定义一种新运算：，例如：，则的值为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了新定义，含乘方的有理数混合运算等知识，根据新运算的定义，先计算括号内的运算 ，再计算外层运算 ． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为：4． 84．（25-26七年级上·北京·期中）探究并解决问题： 对有理数a，b定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”． 按照“乘减法”运算的算式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． (1)请将下面整理的“乘减法”法则补充完整：绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得 异号得 ，并 ；绝对值相等的两数相“乘减”，都得 ；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)计算：． (3)有理数加法和乘法都有结合律，结合律在有理数的“乘减”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举一反例即可）． 【答案】(1)正；负；用较大的绝对值减去较小的绝对值；0 (2) (3)不适用，例如：，而，两者不相等 【分析】（1）根据题中的“乘减法”的算式，归纳出其计算得法则即可； （2）根据“乘减法”的运算法则计算即可； （3）举例，，即可判断结果． 【详解】（1）解：根据题意，“乘减法”法则为：绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． 故答案为：正；负；用较大的绝对值减去较小的绝对值；0． （2）解： ； （3）解：不适用． 例如：，而，两者不相等． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘法，有理数的加法，有理数加法的结合律，有理数乘法的结合律，正确理解新定义运算的法则是解题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数（28大题型84题） 基础·固本强基 题型1 正数与负数 题型2 有理数的分类 题型3 数轴 题型4 相反数 题型5 绝对值 题型6 有理数大小比较 题型7 有理数的四则混合运算（重点） 题型8 有理数四则混合运算的实际应用（重点） 题型9 含乘方的有理数混合运算（重点） 题型10 有理数计算错解纠正问题（重点） 提升·进阶突破 题型11 相反意义的量 题型12 数轴上两点之间的距离（重点） 题型13 数轴上整点覆盖问题 题型14 绝对值非负性（重点） 题型15 绝对值的几何意义（重点） 题型16 有理数混合运算综合 题型17 有理数中的简便运算（重点） 题型18 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型19 含乘方的有理数混合运算题（重点） 题型20 乘方的应用 题型21 程序流程图 题型22 算24点 拔高·压轴破难 题型23 数轴上的动点问题（难点） 题型24 数轴上的翻折问题（难点） 题型25 绝对值的几何意义（最值）（难点） 题型26 数轴与绝对值结合（难点） 题型27 二进制计算问题（难点） 题型28 有理数的新定义运算（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 正数与负数（共3小题） 【步骤】判断数与 0 大小，大于 0 是正数，小于 0 是负数，0 既不是正数也不是负数。 【易错】带负号的数不一定是负数，字母 a 可正可负，0 不属于正数或负数。 1．（25-26七年级上·河南许昌·期中）在，0，，，，中，负分数有______个． 2．（25-26七年级上·新疆哈密·期中）下列各数2，，0，，1.25，，中是非负数的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（26-27七年级上·河北沧州·期中）我国是世界上最早使用负数的国家，关于正负数的记载最早见于我国古代数学著作《九章算术》．如果公元前年记作年，则公元年可记作（     ） A．年 B．年 C．年 D．年 题型2 有理数的分类（共3小题） 【步骤】先看是否整数或分数，整数含正整数、0、负整数，分数含正、负分数。 【易错】有限小数、无限循环小数属于分数；π 不是有理数，0 是整数。 4．（26-27七年级上·河北沧州·期中）把下列各有理数填在相应的集合内． ，，0，，，，，，，7． 负整数：{                         …}． 正有理数：{                         …}． 5．（25-26七年级上·陕西安康·期中）现有一组数：，，，10，，6，，． (1)请将各数分别填入相应的集合内． 分数集合：{                  …}． 正整数集合：{                  …}． 负整数集合：{                …}． (2)将（1）中三类数的集合合并在一起________全体有理数集合．（填“是”或“不是”） 6．（25-26六年级上·山东东营·期中）在下列各数，，，0，，…(每两个3之间依次增加一个2)，中，有理数有(    ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型3 数轴（共6小题） 【步骤】画直线，定原点、正方向、单位长度，再把数对应标到数轴上。 【易错】单位长度必须统一；原点位置可自选，数轴是直线不是射线线段。 7．（25-26七年级上·浙江温州·期中）在数轴上表示数，其中在原点左边的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（25-26七年级上·浙江温州·期中）小明不慎将墨水滴在数轴上，则被墨迹盖住部分的整数的个数为______个． 9．（26-27七年级上·河北唐山·期中）在单位长度为1的数轴上任取一条长度为2026的线段，则这条线段最多能覆盖的整数点（包含线段的两个端点）有（     ）个 A．2025 B．2026 C．2027 D．2024 题型4 相反数（共3小题） 【步骤】改变数字符号，其余不变；0 的相反数是 0，两相反数到原点距离相等。 【易错】相反数仅符号不同，不是一正一负；不要把相反数和倒数弄混淆。 10．（26-27七年级上·河北唐山·期中）若的相反数的绝对值为5，则的值为（     ） A． B． C． D． 11．（26-27七年级上·陕西咸阳·期中）已知数轴上点表示的数互为相反数，且点在点的右侧．若点间的距离为7，则点表示的数为（     ） A．3.5 B． C．7 D． 12．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）下列说法：①与互为相反数；②一定是负数；③互为相反数的两个数的符号必相反；④与2互为相反数；⑤任何一个有理数都有相反数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型5 绝对值（共3小题） 【步骤】正数绝对值是本身，负数是它相反数，0 的绝对值为 0，看原数正负求值。 【易错】绝对值一定非负；绝对值相等两数，不一定相等，可能互为相反数。 13．（26-27七年级上·河北唐山·期中）若是有理数，则下列叙述正确的是（     ） A．一定是正数 B．一定是正数 C．可能是0 D．一定是负数 14．（25-26七年级上·河北唐山·期中）已知，则 ______，______． 15．（25-26七年级上·福建龙岩·期中）定义 若数轴上的点、分别表示数、，简记为A：a、B：b，则、两点之间的距离可表示为． 理解 (1)数轴上表示数和5的两点之间的距离是 （用含的代数式表示）； (2)若，则的值为 ； (3)若，求的值？ 题型6 有理数大小比较（共3小题） 【步骤】正数大于 0，0 大于负数；负数比较，绝对值大的反而小，也可借助数轴判断。 【易错】负数比较易直接用绝对值大小判断；数轴右侧数总大于左侧，别搞反。 16．（26-27八年级上·河北衡水·期中）比较两个数的大小，结果正确的是（     ） A． B． C． D．< 17．（26-27七年级上·河北邢台·期中）已知下列六个有理数：，4，，，0，． (1)化简其中需要化简的数，并把这六个数表示在下面的数轴上； (2)用“<”把这六个数连接起来． 18．（26-27七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)点所表示的数是__________； (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． ，，，． 题型7 有理数的四则混合运算（共3小题） 【步骤】先乘除后加减，有括号先算括号内；同级运算从左往右，按顺序计算。 【易错】符号最容易出错，去括号注意变号；别随意调换乘除运算顺序。 19．（26-27七年级上·河北唐山·期中）阅读下面的解题过程： 计算． 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） 回答： (1)上面解题过程从第_________步开始出现错误； (2)把正确的解题过程写出来． 20．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）计算题 (1) (2) (3) (4) 21．（25-26七年级上·湖南永州·期中）计算： (1)； (2)； 题型8 有理数四则混合运算的实际应用（共3小题） 【步骤】读懂题意，设定正负，列有理数算式，按运算法则计算，最后写出实际答案。 【易错】正负意义易混淆，结果勿忘带单位；作答要贴合实际含义。 22．（25-26七年级上·河北张家口·期末）蔚州贡米是河北蔚县的特产，中国国家地理标志产品，也是古代“四大贡米”之一，已知某品牌贡米的包装上标明重量为“”，重量范围内则为重量合格品，超出重量范围则为重量不合格品．今抽查10袋该品牌贡米，每袋的标准重量是，超出部分记为正，统计成下表． 贡米的袋数 2 3 3 1 1 每袋重量与标准的差值/g 0 (1)求所抽查的10袋贡米的合格率； (2)求这10袋贡米平均每袋的重量． 23．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）思行中学利用寒假期间对教室内墙进行粉刷，现有甲，乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷3间教室，乙工程队每天能粉刷2间教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要少用10天，在粉刷过程中，该学校要付甲工程队每天费用2500元，付乙工程队每天费用2000元． (1)求思行中学一共有多少间教室？ (2)若先由甲，乙两个工程队合作一段时间后，乙工程队停工了，甲工程队单独完成剩余部分．且甲工程队的全部工作时间是乙工程队的工作时间的2倍还多4天，求甲工程队共粉刷多少天？ (3)经学校研究，制定如下方案：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：按（2）的方式完成；请你通过计算帮学校看看哪种粉刷方案最省钱． 24．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）某呼吸机生产厂家计划每天生产300台呼吸机，但由于各种原因，实际每天生产的台数与计划相比有差别，下表是某周的生产情况（增产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)求该厂本周实际生产呼吸机的台数； (2)求该厂产量最多的一天比产量最少的一天多生产的台数； (3)该厂实行每日计件工资制，每生产一台呼吸机可得100元，若超额完成任务，则超过部分每台另奖励20元；若未完成任务，则少生产一台扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 题型9 含乘方的有理数混合运算（共3小题） 【步骤】先算乘方，再乘除后加减；有括号先算括号内，同级运算从左向右依次计算。 25．（26-27七年级上·福建莆田·期中）计算： ______． 26．（25-26七年级下·河南郑州·期中）定义，例如，则的结果为（     ） A． B． C．1 D．3 27．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）计算 (1) (2) 题型10 有理数计算错解纠正问题（共3小题） 28．（25-26七年级上·河北沧州·期中）一道习题及其错误的解答过程如下表： 计算：． 解： ……第一步 ……第二步 ．……第三步 (1)请指出在第_______步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程： (3)计算： 29．（25-26七年级上·河北保定·期中）（1）计算： （2）观察以下计算过程： （第一步） （第二步） ．（第三步） 以上计算过程是否正确？如果不正确，指出错误在哪一步，并写出正确的解题过程． 30．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）在计算“”时，嘉淇的做法如图所示． (1)在上面嘉淇的计算过程中，开始出错的步骤是________(写序号即可)； (2)在（1）中开始出错的步骤，应依据的正确运算法则是：同号两数相加，________ (3)请写出该题正确的计算过程和结果． 提升·进阶突破 题型11 相反意义的量（共3小题） 31．（25-26七年级下·黑龙江绥化·期中）在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．向东走3千米与向北走3千米 B．收入100元与支出200元 C．气温上升与上升 D．5个老人与5个小孩 32．（2026·云南昆明·一模）刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作元，则亏损100元应记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 33．（2025·云南楚雄·二模）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作（    ） A． B． C． D． 题型12 数轴上两点之间的距离（共3小题） 【步骤】取两点表示的数，用大数减小数，或求两数之差的绝对值得到距离。 【易错】距离一定是非负数；不要直接用左边数减右边数，忽略绝对值。 34．（26-27七年级上·河北沧州·期中）如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴（单位长度为1），并标出了表示的点A．珍珍设计了一个电脑程序：点M，N分别从点A同时出发，每按一次键盘，点M向右移动2个单位长度，点N向左移动1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点M，N的位置如图2所示． (1)在图1中标出原点的位置；（用“O”表示） (2)图2中，点M，N表示的数分别是________，________；M、N两点之间的距离是________； (3)第________次按键后，点M所在的位置正好是原点，并直接写出此时点N表示的数． 35．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 36．（25-26七年级上·河南商丘·期中）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 题型13 数轴上整点覆盖问题（共3小题） 【步骤】求出线段两端数值，分端点是否为整点，再计算覆盖整点个数。 【易错】端点是整点时个数 = 差 + 1；端点非整点，整点个数等于两数之差。 37．（26-27七年级上·江苏无锡·期中）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（     ） A． B． C．或 D．或 38．（26-27七年级上·江苏泰州·期中）数轴上表示整数的点为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意放上一根长为整数厘米的小棒，该小棒能盖住16个整点，则这根小棒的长度为_________厘米． 39．（26-27七年级上·四川宜宾·期中）如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据：则被淹没的整数点有（     ）个． A． B． C． D． 题型14 绝对值非负性（共3小题） 【步骤】任意数的绝对值≥0；多个绝对值相加为 0，则每个绝对值都等于 0 【易错】不要误认为绝对值等于 0 的数有多个；易忽略 “同时为 0” 这个条件 40．（25-26七年级上·全国·期末）成立时，______． 41．（25-26七年级上·江苏南通·期中）如果两个有理数x，y满足，则的最大值__________，的最小值为__________． 42．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）若，则的值为（    ）． A．2 B． C．1 D． 题型15 绝对值的几何意义（共3小题） 43．（26-27七年级上·宁夏银川·期中）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有三个点，，，其中，． (1)若以点为原点，写出点，表示的数； (2)若以点为原点，写出点表示的数的相反数； (3)若点，表示的数的绝对值相等，写出点表示的数． 44．（26-27七年级上·江苏扬州·期中）【阅读】在数轴上，若点表示数，点表示数，则点与点之间的距离为． 例如：两点表示的数分别为，，那么． (1)若，则的值为_________． (2)当_________时，． (3)在数轴上，点表示数，点表示数．我们定义： 当时，点叫点的1倍伴随点， 当时，点叫点的2倍伴随点， … 当时，点叫点的倍伴随点． 试探究下列问题： 若点是点的1倍伴随点，点是点的2倍伴随点，是否存在这样的点和点，使得点恰与点重合，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 45．（26-27七年级上·江苏徐州·期中）综合与实践： 【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A、B两点间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．．例如：数轴上表示．与的两点间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示3和8两点之间的距离是_________；数轴上表示2和的两点之间的距离是_________； 【独立思考】 (2)数轴上表示x和的两点之间的距离表示为_________； (3)试用数轴探究：当时m的值为_________． 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： (4)利用数轴求出的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ 【规律应用】 (5)工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使各工作台的工作人员取配件（只取一次）所走的路程最短？此时最短路程是多少米？ 题型16 有理数混合运算综合（共3小题） 46．（26-27七年级上·四川德阳·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； 47．（26-27七年级上·甘肃定西·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 48．（26-27七年级上·四川德阳·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 题型17 有理数中的简便运算（共3小题） 49．（26-27七年级上·湖南株洲·期中）请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：． 50．（26-27七年级上·河北唐山·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 51．（25-26七年级上·浙江温州·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 题型18 根据点在数轴的位置判断式子的正负（共3小题） 52．（26-27七年级上·天津河西·期中）已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“＞”“＜”“＝”填）； (2)根据数轴化简：______；______；______； (3)若，，求的值． 53．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)比较大小：___________0；___________0（填：“>”，“<”或“=”）； (2)化简：． 54．（2025七年级上·全国·专题练习）有理数在数轴上的位置如图所示，下列各式：①；②；③；④，错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型19 含乘方的有理数混合运算题（共3小题） 55．（26-27七年级上·广东广州·期中）计算： (1)； (2) 56．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）计算：． 57．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）计算： (1) (2)． 题型20 乘方的应用（共3小题） 58．（26-27七年级上·河北邢台·期中）【阅读材料】浮萍是一种生长很快的水生植物．某池塘中的浮萍，每天覆盖的面积都是前一天的2倍．已知第1天浮萍覆盖的面积为，第2天为，第3天为，第4天为，…… 【解决问题】 (1)用幂表示第8天浮萍覆盖的面积，并计算出结果； (2)第几天浮萍覆盖的面积为？ (3)若第20天浮萍恰好长满整个池塘，那么第几天浮萍恰好覆盖池塘面积的一半？ 59．（2026·河北石家庄·一模）进位制是人们为了满足记数和运算的需求而约定的记数系统．如三进制数就是用0，1，2这三个数字来表示数的记数方式，逢三进一位．不同的进位制是可以互相转换的，若将三进制数转换为十进制数，就可以这样转换：． 解答下面问题： (1)将三进制数，转换为十进制数； (2)已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除，求的值． 60．（25-26七年级上·河北邢台·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳计数”的方法来记录自己读书的天数，图1是他从右到左依次在排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为，按同样的方法，图2表示的天数是（　　） A．36 B．56 C．308 D．1232 题型21 程序流程图（共3小题） 61．（25-26七年级上·河北沧州·期中）有一个数值转换器，其工作原理如图．若输入的x值为23，则输出的结果是___________ 62．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 63．（25-26七年级上·河北邢台·期末）根据如图所示的程序回答问题： (1)当嘉嘉输入2和这两个数时，请计算说明：他的输出的结果是多少？ (2)当洪洪输入和这两个数时，输出的结果是6，试求被墨水污染的数． 题型22 算24点（共3小题） 64．（25-26七年级上·全国·期末）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 65．（25-26七年级上·河南安阳·期中）有一种游戏叫“24点游戏”，规则是：随机抽取4个整数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．有一次小明在做“24点游戏”时抽到的4个数分别是，4，5，11，请你写出一个算式使其结果为24：______． 66．（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，小明有4张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最小，最小值是 ； (2)取4张卡片，用卡片上的4个数字，在“”选取你所需要的运算，使结果为24（每张卡片用一次）．请设计1个算式，并写出计算过程． 拔高·压轴破难 题型23 数轴上的动点问题（共3小题） 67．（26-27七年级上·江苏盐城·期中）如图，数轴上有M，N两点和一条线段，规定：若线段的中点R在线段上（点R能与点P或点Q重合），则称点M与点N关于线段“中线对称”． （注：把一条线段分成相等的两条线段的点，叫作线段的中点） 已知点O为数轴的原点，点A表示的数为，点B表示的数为4，点C表示的数为x，若点A与点C关于线段“中线对称”，则x的最大值为________． 68．（25-26七年级上·福建福州·期末）在数轴上，点表示的数为，点表示的数为．对于数轴上的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段）． 例如：点表示的数为，则（点，），（点，线段）． 已知点为数轴原点，点，为数轴上的动点． (1)（点，线段）________，（点，线段）________； (2)若点，表示数分别为，，（线段，线段）．求的值； (3)点从原点出发，以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴正方向匀速运动，第秒以每秒个单位长度沿轴负方向匀速运动，…，按此规律运动，，两点同时出发，设运动的时间为秒，若（线段，线段），求的值． 69．（25-26六年级上·山东淄博·期末）如图所示，在数轴上点表示的数分别为，1，6，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为． (1)则___________； (2)若点在数轴上运动，点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点以每秒2个单位长度向右运动．请问：运动秒后，点与点之间的距离为多少？(用含的代数式表示) (3)若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点与点分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，当秒时，试推出之间的数量关系． 题型24 数轴上的翻折问题（共3小题） 70．（26-27七年级上·福建莆田·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起了对应关系，揭示了数与点之间的内在联系． 操作一： (1)折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与___________表示的点重合； 操作二： (2)折叠纸面，若使1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①表示的点与数___________表示的点重合 ②若数轴上两点之间距离为9（在的左侧），且，两点经折叠后重合，则两点表示的数分别是___________，___________ 操作三： (3)在数轴上剪下8个单位长度（从到7）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠（如图所示）．若得到的这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是多少？ 71．（25-26七年级上·广东惠州·期末）如图，数轴上的点，，分别表示数，，，其中是最大的负整数，且多项式是关于的二次多项式，一次项系数为． (1)________；________；________； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，此时与点重合的点所表示的数为________； (3)若数轴上有一点，且点表示数，则的最小值为________； (4)若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，运动时间为． ①请你用含的代数式表示线段和线段的长； ②是否存在常数，使的值为定值？若存在，请求出的值和的值；若不存在，请说明理由． 72．（25-26七年级上·全国·期末）【问题情境】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够运用数形结合思想解决问题．如图，在纸面上有一数轴． (1)【初步探究】按下列要求折叠纸面． ①若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数_______对应的点重合； ②若折叠后数对应的点与数6对应的点重合，则此时数0对应的点与数_______对应的点重合； ③在数轴上，A，B两点之间的距离为（点B在点A的右侧），若如②这样折叠后点A与点B重合，则点A表示的数是_______，点B表示的数是_______． (2)【深入探究】 在（1）③的条件下，数轴上有一动点P，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为（）． ①若动点P从点B出发向右运动，当t为何值时，A，P两点之间的距离为18个单位长度？ ②若动点P从点B出发向左运动，当t为何值时，A，P两点之间的距离为2个单位长度？ 题型25 绝对值的几何意义（最值）（共3小题） 73．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知整数x满足，则所有满足条件的整数x的和是________． 74．（25-26六年级上·上海·期末）的最小值为______． 75．（25-26七年级上·广东佛山·期中）综合与实践： 【问题情境】 数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和9两点之间的距离是 ，数轴上表示5和的两点之间的距离是 ； 【独立思考】 （2）试用数轴探究：当时，m的值为 ； （3）利用数轴，求出当时x的值； 【实践探究】 （4）请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题：一天，小红去小明家做客，小明爷爷想考考小红，就说：“我若是小明现在这么大，小明还要34年才出生，小明若是我现在这么大，我已经98岁，是老寿星了，哈哈！”请求出小明爷爷和小明现在的年龄 题型26 数轴与绝对值结合（共3小题） 76．（25-26七年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是____________； ②在①的情况下，如果，那么为____________； (2)探究问题：代数式的最小值是多少？ 如图，点A、B、P分别表示数， 的几何意义是线段与的长度之和， ∴当点在线段上时，； 当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 请你根据上述自学材料，探究解决下列问题： ①直接写出式子的最小值是____________； ②工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着5个工作台，一只配件箱应该放在工作____________处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程是____________米； (3)若在数轴上点A、B表示的数分别是．动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，设点的运动时间为秒．当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值． 77．（25-26七年级上·福建南平·期中）阅读材料：点 A、B 在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离可表示为．例如： 6与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示5的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点A、B对应的数分别为和3，数轴上另有一点P对应的数为有理数x. 请根据阅读材料回答下列问题： (1)点A与点B之间的距离 ； (2)根据几何意义，解决下列问题并填空： 当时， ；                       当时， ；                  若点P在A、B两点之间，则 ；           若， 则点P表示的有理数x为 ． (3)若点M、N 为数轴上的两个动点，若点M以每秒个单位长度的速度从点B向数轴负方向出发，点N从点A向数轴正方向出发，其运动速度是点M的3倍，求运动多少秒后点M与点N相距1个单位长度？ 78．（25-26七年级上·江西赣州·期中）【阅读材料】借助数轴能更好地理解绝对值的几何意义． 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 如：表示数轴上5这个点与原点的距离，即． 一般地，数轴上表示数m的点与表示数n的点之间的距离等于． 如：数轴上表示3的点与表示的点之间的距离为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是________；数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为________；若，则________． (2)【拓展延伸】 ①若，求x的取值范围； ②对于实数x，的最小值是________，此时________． 【方法指导】 对于问题（2），可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和． 要使这个距离之和等于4，x应该取什么位置呢？ (3)综合应用：江西某快递公司在一条东西走向的街道上设置配送点，该街道上有A，B，C，D，E五个小区，它们在数轴上对应的位置如图所示（单位：百米）： 若快递公司只能在其中一个小区设配送点，为使配送点到五个小区的距离之和最小，应选择在哪个小区设置配送点？请说明理由． 题型27 二进制计算问题（共3小题） 79．（25-26七年级上·江苏南通·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 为区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数（十进制数一般不标注基数）． 可知：一个其它进位制数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转化成一个十进制数，反之，可以将一个十进制数表示成一个其它进位制数． 规定：当时，． 例如：，即； ，即； ，即． 【初步感知】 （1）①请把转化为十进制数为______； ②请把转化为八进制数； 【类比探究】 （2）类比十进制数的四则运算可进行其它进位制数的运算， 例如：． 计算：①； ②． 【拓展提升】 （3）小聪发现不同进制数都可以化为十进制数，故不同进制数也可以进行加法运算． 例如：． 若，则_____（结果用十进制数表示）． 80．（25-26七年级上·重庆·期中）我们平时用的是十进制数，例如，表示十进制数要用个数字：，，，…，．在电子计算机中使用的是二进制，只用两个数字：，．例如：在二进制中，，等于十进制的，，等于十进制的．请你计算一下： (1)求二进制中的数等于十进制的数多少？ (2)已知：，请计算并写出的值（结果仍用二进制数表示）； (3)仿照二进制的说明与算法，请你计算一下，八进制中的数等于七进制的数多少？ 81．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）综合与实践 阅读材料： 我国是最早使用十进制的国家，我们最熟悉的十进制是“逢十进一”，而计算机中常用的是“逢二进一”的二进制．也就是说“逢几进一”就是几进制，（其中为正整数，且）进制就是“逢进一”． 例如：十进制数，记作：234； 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ，记作：． 三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ，记作：． 下表是自然数对应的的部分值（其中为自然数），供计算时参考： 0 1 2 3 4 5 … 1 2 4 8 16 32 … 1 3 9 27 81 243 … 1 6 36 216 1296 7776 … 解决问题： 根据以上提供的信息，请完成以下问题： (1)把十进制数33化为二进制数______； (2)把三进制表示的数转化为十进制表示的数：______； (3)请把转换成六进制的数； (4)一个六进制两位数（其中，均为小于6的正整数）等于二进制数与三进制数的乘积，求的值． 题型28 有理数的新定义运算（共3小题） 82．（24-25七年级上·云南昆明·期末）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． ． (1)______； (2)已知：，其中，a为负数，求a的值； (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 83．（25-26七年级上·陕西西安·期中）对于任意的有理数、，定义一种新运算：，例如：，则的值为_____． 84．（25-26七年级上·北京·期中）探究并解决问题： 对有理数a，b定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”． 按照“乘减法”运算的算式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． (1)请将下面整理的“乘减法”法则补充完整：绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得 异号得 ，并 ；绝对值相等的两数相“乘减”，都得 ；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)计算：． (3)有理数加法和乘法都有结合律，结合律在有理数的“乘减”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举一反例即可）． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $