上海市虹口实验中学2026-2027学年九年级上学期数学10月学情自测

2026学年第一学期第一次初三数学学科阶段练习 （考试时间：100分钟，满分150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题； 2．除第一、二大题外，其余各题无特别说明，都必须写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1. 下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于抛物线，下列说法正确的是( ) A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 与y轴的交点坐标是 D. 顶点坐标是 3. 若已知，那么等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. 如图，在中，D、E分别为边上的点，，与相交于点F，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知k、b均为常数，在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点P是的黄金分割点，．记为边长的正方形的面积为，以，为邻边的平行四边形面积为，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 二、填空题（共12小题，满分48分，每小题4分） 7. 已知a、b、c、d是成比例线段，其中、、，那么线段d的长度为______． 8. 抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，那么平移后的抛物线的表达式是______． 9. 二次函数的图象在其对称轴右侧的部分是______的（填“上升”或“下降”）． 10. 若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为______． 11. 已知二次函数的图像经过点、，那么这个二次函数的解析式为___________． 12. 已知二次函数的部分图象如图所示，若关于的一元二次方程的一个解为，则另一个解________． 13. 如图，直线，如果，那么的长是___________． 14. 如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 15. 某温室大棚的拱架呈抛物线型（图1），如图2，以拱架底部的中点O为原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，y轴与抛物线交于顶点M．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点M距底部的高度为____． 16. “嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰．新中国成立75年来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本为20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价_____________元，才能使每日利润最大． 17. 已知抛物线与x轴交于，，若，则的取值范围为______． 18. 定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的“序列数”，如：的“序列数”为．有以下结论： ①二次函数的“序列数”为； ②“序列数”为的二次函数的图像与x轴恒有两个交点； ③“序列数”为的二次函数的图像与x轴的两个交点为定点； ④“序列数”为的二次函数，如果，当时，y随x的增大而增大； 以上结论正确的有______． 三、解答题（共8小题，满分78分） 19. 已知，满足， （1）求的值； （2）若且线段是长为，的线段的比例中项，求线段的长． 20. 如图，已知，． （1）若，，．求的长； （2）求证：． 21. 如图，已知抛物线经过，两点． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 22. 抛物线经过点，，，直线经过点B，C，则： （1）该抛物线的对称轴为直线______； （2）关于x的方程的解为______； （3）关于x的不等式的解集为______． 23. 如图，在正方形中，边长，点E是边上的动点（点E不与端点C、D重合），的垂直平分线分别交于点F、H、G，交的延长线于点P． （1）当点E在边的中点时，求的值； （2）设，，求y关于x的函数表达式； 24. 【实践与探究】九（9）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程： （1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为，隧道顶部最高处距地面，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为_________________． （2）应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？ （3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了下面问题，请予解答： 如图2，过原点作一条的直线，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在线段上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 材料一：课本47页告诉我们一个基本结论——平行线分线段成比例定理1：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 材料二：数学兴趣小组成员小虹同学，结合课本51页例4的作图方法，进行深入探究，找到用“尺规作图将线段三等分”的方法． 已知：线段，如图1． 求作：点C、点D，使点C、D在线段上，且． 作法：①作射线AO．（如图2）； ②在射线上依次截取线段，使，连接； ③分别过点M、N作平行于的直线交于点C、D．则点C、D为所求的点． 【问题解决】 （1）如图3，在中，点D、F在上，E、G在上，．若，，，则______，=______，=______． （2）数学兴趣小组小海同学将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图4，再将图4沿着对角线对折一次，得到图5，对角线分别与折痕的交点K、L、M即为对角线的四等分点．请在图5中画出的三等分点N（不写作法，保留作图痕迹） （3）如图6，是的一条中线．用与上面不同的方法，用尺规作图作出的一个三等分点N，使得．（不写作法，保留作图痕迹） （4）如图7，在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．设点P是线段的一点，且，请直接写出点P的坐标（用含k的代数式表示）． 2026学年第一学期第一次初三数学学科阶段练习 （考试时间：100分钟，满分150分） 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题； 2．除第一、二大题外，其余各题无特别说明，都必须写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 二、填空题（共12小题，满分48分，每小题4分） 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】上升 【10题答案】 【答案】## 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】14 【14题答案】 【答案】##厘米 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】8 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】①③④ 三、解答题（共8小题，满分78分） 【19题答案】 【答案】（1）； （2）． 【20题答案】 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【21题答案】 【答案】（1）， （2）或 【22题答案】 【答案】（1） （2）， （3） 【23题答案】 【答案】（1） （2） 【24题答案】 【答案】（1） （2）该隧道能让最宽、最高的两辆厢式货车居中并列行驶 （3）P点的坐标为或． 【25题答案】 【答案】（1）3，， （2） （3）如图3.1，点N即为所求； （4） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $