精品解析：云南德宏州民族第一中学2025-2026学年上学期高一期中数学试卷

德宏州民族第一中学2025年秋季学期期中考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的补集、并集的定义进行求解. 【详解】由题可知，， 则，又， 则． 故选：D. 2. 已知命题p：对，有，则为（ ） A. 对，有 B. 对，有 C. ，使得 D. ，使得 【答案】C 【解析】 【分析】利用全称命题的否定为特称命题可写出命题p的否定. 【详解】根据全称命题p：对，有的否定为特称命题， 即：为，使得. 故选：C 【点睛】本题考查了含有全称量词的命题的否定，属于基础题. 3. 下列函数中，与表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的定义域，结合函数相等的定义判断即可. 【详解】函数的定义域为， 对于A选项，函数的定义域为，A选项中的函数与不表示同一函数； 对于B选项，函数的定义域为， ，B选项中的函数与不表示同一函数； 对于C选项，函数的定义域为， ，C选项中的函数与不表示同一函数； 对于D选项，函数的定义域为，且， D选项中的函数与表示同一函数. 故选：D. 4. 已知，则的表达式为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，设，则，所以，所以函数的解析式为，故选B． 考点：函数的解析式． 5. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易知，结合基本不等式，可得，从而可求出的最大值. 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以，整理得，即. 所以的最大值为. 故选：D. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等”. （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 6. 已知函数的定义域为．记的定义域为集合，的定义域为集合．则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由抽象函数的定义域求解可得集合，再由充分条件，必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】因为函数的定义域为，即，则， 则的定义域为，即； 又，则，所以， 所以的定义域为，即； 故，且，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7. 若函数是上的减函数，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数单调性的性质可以得到关于的不等式组，解这个不等式组即可求出的取值范围. 【详解】因为函数是上的减函数，所以有，解得，故本题选A. 【点睛】本题考查了已知分段函数的单调性求参数问题，数形结合是解题的关键. 8. 已知是R上的偶函数，且，，当，且时，，则当时，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用单调性的定义判断得在上单调递减，由偶函数的性质得到关于轴对称，由得到关于对称，再由求得，从而列出与在上的正负情况，由此得到的解集. 【详解】因为当，且时，， 不妨设，则，故，即， 所以在上单调递减， 又因为是R上的偶函数，所以关于轴对称，故在上单调递增， 因为，所以， 又因为，所以关于对称，故在上单调递增，即在上单调递增，且， 所以与在上的单调与正负情况如下： 0 增 减 减 增 增 由上表可知，的解集为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列图象中，能表示函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于选项ABC，当取一个值时，有唯一值与之对应，符合函数定义，故ABC正确； 对于选项D，当取一个值时，有两个值与之对应，不符合函数的定义，故D错误. 10. 下列函数值域为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，可直接判断；根据，可判断；对于，函数解析式分离常数后即可求出值域，进而可判断；根据基本初等函数的单调性可判断. 【详解】因为函数的值域为,故错误； 因为， 故函数的值域为，故正确； 因为， 故函数的值域为，则错误； 因为函数在上均单调递增， 所以当时，有最小值， 故函数的值域为，故正确， 故选： 11. 下列说法正确的有（ ）. A. 若二次不等式恒成立，则实数a的取值范围为 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，直接根据一元二次不等式恒成立的条件进行求解判断即可；对于B，根据抽象函数定义域的要求进行求解判断即可；对于C，首先根据的范围求解的取值范围，进而求解函数值域即可判断；对于D，根据方程组法求解解析式即可判断. 【详解】对于A，由于二次不等式恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为，故A错误； 对于B，已知函数的定义域为，则， 即得，因此函数的定义域为，故B正确； 对于C，已知，得，故， 所以函数的值域为，故C正确； 对于D，由，则， 由方程组，解得：，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 计算的结果为______________. 【答案】 ##0.5 【解析】 【详解】 13. 若函数是定义在上的偶函数，，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据已知条件，构造函数，利用函数的奇偶性即可得出结果． 【详解】由已知设函数，因为为上的偶函数， 所以， 即函数为上的奇函数． 因此 ． 故答案为：6． 14. 已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可. 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式化简集合A，由得，然后分和两种情况分类讨论，根据集合关系列不等式求解即可； （2）将问题转化为集合是集合的真子集，根据集合关系列不等式求解即可. 【小问1详解】 ， 因为，所以，， 当时，符合，此时有，即； 当时，因为，所以，解得； 综上， 【小问2详解】 因为是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 所以或，解得， 所以实数的取值范围为． 16. 由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台．每生产台该产品，需另投入成本万元，且，当年产量为10台时，需另投入成本500万元．由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）求出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）50台，900万元 【解析】 【分析】（1）利用利润销售收入成本公式列式求解即可； （2）利用二次函数性质和基本不等式计算求解即可. 【小问1详解】 由题意可得，当时，，故, 故当时，； 当时，． 故年利润关于年产量的函数关系式为 【小问2详解】 由（1）得当时，； 当时，； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，． 而，故当时，年利润最大，最大年利润是900万元． 综上所述，当年产量为50台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是900万元． 17. 函数为定义在上的奇函数，已知当时，. （1）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） 在上的单调递增，证明如下： 任取，，且，则， 因为，，且，所以，，， 则，即， 所以在上的单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性的定义，即可求解； （2）利用函数的性质，将问题转化成求解不等式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知在上的单调递增，且函数为上的奇函数， 故为上的增函数. 由，得， 所以，解得， 即所求的取值范围为. 18. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，． （1）求函数f（x）的解析式； （2）在给定的坐标系中画出函数f（x）在R上的图象（不用列表）； （3）讨论直线y=m（m∈R）与y=f（x）的图象的交点个数． 【答案】（1） （2） （3）当m＜0时，有2个交点；当m＝0时，有3个交点；当0＜m＜4时，有4个交点；当m＝4时，有2个交点；当m＞4时，没有交点． 【解析】 【分析】本题第（1）题利用偶函数的性质公式f（x）＝f（﹣x）可得当x＜0时的函数表达式，则即可得到函数f（x）的解析式；第（2）题可将第（1）题中函数f（x）的解析式化为顶点式，即可画出f（x）的图象；第（3）题根据第（2）题中f（x）大致图象，对m分类讨论即可得到交点个数． 【小问1详解】 由题意，当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+4（﹣x）＝﹣x2﹣4x， 又∵函数f（x）是定义在R上的偶函数， ∴当x＜0时，f（x）＝f（﹣x）＝﹣x2﹣4x， ∴函数f（x）的解析式为： f（x）． 【小问2详解】 由（1），知： 当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4；当x≥0时，f（x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4． ∴f（x），大致图象如下 【小问3详解】 根据（2）中f（x）大致图象，可知 ①当m＜0时，直线y＝m与y＝f（x）的图象有2个交点； ②当m＝0时，直线y＝m与y＝f（x）的图象有3个交点； ③当0＜m＜4时，直线y＝m与y＝f（x）的图象有4个交点； ④当m＝4时，直线y＝m与y＝f（x）的图象有2个交点； ⑤当m＞4时，直线y＝m与y＝f（x）的图象有没有交点． 【点睛】本题主要考查根据偶函数的性质写出函数完整表达式，二次函数图象画法，数形结合思想，分类讨论思想的应用，本题属中档题． 19. 已知函数对任意的m，都有，且时，． （1）求的值： （2）证明在R上为增函数； （3）设，若在上的最小值和最大值分别为a，b，且，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】(1)令，计算即可； (2)令，，可得，结合即可证明； (3)根据和的单调性可得的单调性，进而得到，利用基本不等式计算即可. 【小问1详解】 令，则，所以； 【小问2详解】 令，，且，则，所以， 故，所以在R上是增函数； 【小问3详解】 因为在上为增函数，所以在上为增函数， 故，， 所以， 因为，，所以， 又因为，所以上述等号不成立，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德宏州民族第一中学2025年秋季学期期中考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知命题p：对，有，则为（ ） A. 对，有 B. 对，有 C. ，使得 D. ，使得 3. 下列函数中，与表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的表达式为 A. B. C. D. 5. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为．记的定义域为集合，的定义域为集合．则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若函数是上的减函数，则的取值范围是 A. B. C. D. 8. 已知是R上的偶函数，且，，当，且时，，则当时，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列图象中，能表示函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列函数值域为的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的有（ ）. A. 若二次不等式恒成立，则实数a的取值范围为 B. 函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 计算的结果为______________. 13. 若函数是定义在上的偶函数，，则_____． 14. 已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为__________. 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台．每生产台该产品，需另投入成本万元，且，当年产量为10台时，需另投入成本500万元．由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）求出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 17. 函数为定义在上的奇函数，已知当时，. （1）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； （2）若，求的取值范围. 18. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，． （1）求函数f（x）的解析式； （2）在给定的坐标系中画出函数f（x）在R上的图象（不用列表）； （3）讨论直线y=m（m∈R）与y=f（x）的图象的交点个数． 19. 已知函数对任意的m，都有，且时，． （1）求的值： （2）证明在R上为增函数； （3）设，若在上的最小值和最大值分别为a，b，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $