专题09 圆 压轴四大模型突破- 2026-2027学年人教版九年级数学全册

专题09 圆压轴四大模型突破 【模型1：点圆最值问题】 【模型2：定弦定角】 【模型3：四点共圆】. 【模型4：瓜豆原理】 【模型1：点圆最值问题】 1．如图，平面直角坐标系中有一个圆，圆心为，半径为3，其中点A坐标为，点M是上的一个动点，连接，取中点N，连接，则的最大值（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 2．如下图，在平面直角坐标系中，已知点，，为平面内的动点，且满足为直线上的动点，则线段长的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，矩形中，，，P是直线上的一个动点，，沿翻折形成，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【模型2：定弦定角】 4．如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的长是（     ） A．1 B． C． D． 5．如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为（     ） A．2 B． C．4 D． 6．如图，，垂足为点C，，，点M是平面内的一个动点，且满足，则线段的最大值为（   ） A．10 B．8 C． D． 7．如图，点D在半圆O上，半径，，点C在弧上移动，连接是上一点，且，连接，点C在移动的过程中，的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．如图，菱形的边长为4，，为边上的中点，P为直线上方左侧的一个动点，且满足，则线段长度的最大值是（　　） A． B．4 C． D． 9．如图，在中，，D 是内部的一个动点，满足，则线段长的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 10．如图，在矩形中，是矩形内一动点，且满足，则线段的最小值是（    ） A． B． C．8 D．5 【模型3：四点共圆】. 11．如图，中，，，过点任作一条直线，将线段沿直线翻折得线段，直线交直线于点直线交直线于点． (1)小智同学通过思考推得当点在上方时，的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程： ， 、、三点在以为圆心，以为半径的圆上． ______（填写数量关系） ______ (2)如图，连接，求证：、、、四点共圆； (3)线段最大值为______；若取的中点，则线段的最小值为______． 12．【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 13．“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．    提出问题： 如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么A，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点A，，的，在劣弧上取一点（不与A，重合），连接，，则（依据1）， ∵，∴， ∴点A，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点，在点A，，所确定的上（依据2）， ∴点A，，，四点在同一个圆上． 反思归纳： （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：__________________________________________________； 依据2：__________________________________________________． （2）如图3，在四边形中，，，则的度数为__________． 拓展探究： （3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，，．求证：A，，，四点共圆． 14.阅读理解：    （1）问题初现：如图1，在中，，D是外一点，且，则 ； 思路：若以点A为圆心，为半径画，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到的度数 （2）问题解决：如图2，在四边形中，，求的度数； 思路：可以通过证明A、B、C、D四点共圆，再利用圆周角的性质求出∠BAC的度数．请写出详细的解题过程． （3）问题拓展：如图3，在中，，是边上的高，且，则 ． 【模型4：瓜豆原理】 15．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为D，P是以点为圆心，4为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接．则线段的最小值是（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 16．如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则 的最小值为（     ） A． B． C． D． 17．如图，以为直径的半圆，是弧的中点，是弧上任意一点，，交于点．若，则长的最小值为（     ） A．4 B． C． D． 18．如图，在半径为4的中，弦，是上的一动点（不与点重合），是的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 19．已知如图，，点E在圆弧上运动，点M是中点，线段绕点M顺时针旋转得到线段，，则的最小值为（   ） A．12 B． C． D． 20．如图，是正方形的边的中点，是正方形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转得到线段．连接．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 21．如图，是的直径，，弦是上的动点，取的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 22．如图，内接于为的直径，点D，E分别为上的动点（不与点A，点B，点C重合），且，F为的中点，分别连接，若，则的最大值为（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 23.如图，在等腰中，点在边上，，将线段绕点C逆时针旋转（其中）到，连接，以为边作，连接，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 24．如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ）    A． B． C．6 D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 圆压轴四大模型突破 【模型1：点圆最值问题】 【模型2：定弦定角】 【模型3：四点共圆】. 【模型4：瓜豆原理】 【模型1：点圆最值问题】 1．如图，平面直角坐标系中有一个圆，圆心为，半径为3，其中点A坐标为，点M是上的一个动点，连接，取中点N，连接，则的最大值（     ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】C 【分析】取点，连接，，，根据三角形中位线定理得到，当，，三点共线时最大，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：取点，连接，，， ，， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， ， ∵ ∴ 当点在的延长线上时，取得最大值， 在中，， ， 的半径为， 的最大值为， 的最大值为． 2．如下图，在平面直角坐标系中，已知点，，为平面内的动点，且满足为直线上的动点，则线段长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，圆周角定理等知识．取的中点E，过点E作直线的垂线，垂足为D，求出长即可求出答案． 【详解】解：取的中点E，过点E作直线的垂线，垂足为D， ∵点，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴点C在以为直径的圆上， ∴线段长的最小值为． 故选：D． 3．如图，矩形中，，，P是直线上的一个动点，，沿翻折形成，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、翻折的性质、勾股定理等知识点，利用定点定长构造辅助圆是解题的关键． 由翻折的性质可得，得点F在以E为圆心，为半径的圆上运动，连接，作于G，然后运用勾股定理求出，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：连接，作于G， ∵P是直线上的一个动点，， ∴， ∴点F在以E为圆心，为半径的圆上运动， ∵矩形中，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为． 故选D． 【模型2：定弦定角】 4．如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的长是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理得，又长度一定，则点P在以中点O为圆心，长为半径的圆上运动，所以当B、P、O三点共线时，最短；在中，利用勾股定理可求的长，并得到点P是的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质可求解． 【详解】解：， ∴， 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆，则点P在此圆上运动，当B、P、O三点共线时，最短， ， ，， ， ， ∴点P是的中点， ∴在中，． 5．如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】先利用正方形的边相等、内角为直角的性质，结合证明，进而推出，从而确定点G的运动轨迹是以为直径的圆弧， 将求线段最小值问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题，当O，G，D共线时，有最小值，用点到圆心的距离减去半径即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点G的运动轨迹是以为直径的圆弧，当O，G，D共线时，有最小值， 如图，以为直径作，连接， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】“定弦定角”模型是发现隐圆、进而求解最值的关键核心． 6．如图，，垂足为点C，，，点M是平面内的一个动点，且满足，则线段的最大值为（   ） A．10 B．8 C． D． 【答案】B 【详解】如图，，， ，， ， 即点M在以为直径的圆上， 取的中点O，连接并延长交于点， B，O，三点共线，此时的值最大， ，， ． ， 在中， ， 即的最大值为8， 故选：B． 7．如图，点D在半圆O上，半径，，点C在弧上移动，连接是上一点，且，连接，点C在移动的过程中，的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、勾股定理、半圆或直径所对圆周角为直角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线． 根据题意，得到点在以点为圆心的上运动，当点三点共线时，的值最小，由半圆或直径所对圆周角为直角，结合勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴当点在上运动时，点在以为直径的圆弧上运动，该弧交于点，与交于点，如图所示， 取线段的中点为，连接， ∴点在以点为圆心的上运动， 在中，，点为中点，， ∴， ∵， ∴当点三点共线时，的值最小， 在中，是直径，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值是8， 故选：D ． 8．如图，菱形的边长为4，，为边上的中点，P为直线上方左侧的一个动点，且满足，则线段长度的最大值是（　　） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的性质、圆周角定理、菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确找出点的运动轨迹是解题关键．连接，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，则可得，再根据圆周角定理可得点的运动轨迹是以为直径的一段圆弧，取的中点，连接，并延长交于点，则线段长度的最大值是，然后利用勾股定理求出，，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵菱形的边长为4，，为边上的中点， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹是以为直径的一段圆弧， 如图，取的中点，连接，并延长交于点，则线段长度的最大值是， ∴， ∴， ∴， 即线段长度的最大值是， 故选：C． 9．如图，在中，，D 是内部的一个动点，满足，则线段长的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最值问题．根据，推出，得到点在以为直径的圆上，取的中点，连接，，根据，求出最小值即可．解题的关键是确定点的运动轨迹． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上， 取的中点，连接，，则： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为2． 故选A． 10．如图，在矩形中，是矩形内一动点，且满足，则线段的最小值是（    ） A． B． C．8 D．5 【答案】A 【分析】根据矩形的性质，得，结合，得到故，得到在以为直径的圆E上，此时点E为的中点，当点E,P，D三点共线时，线段有最小值，根据勾股定理计算即可，本题考查了矩形的性质，辅助圆的构造方法，圆的性质，勾股定理，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 【详解】∵矩形中， ∴，，， ∵， ∴ 故， ∴在以为直径的圆E在矩形内部的弧上，此时点E为的中点， 连接，设与圆弧的交点为F， 当点E,P，D三点共线时，线段有最小值， 此时点P与点F重合， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【模型3：四点共圆】. 11．如图，中，，，过点任作一条直线，将线段沿直线翻折得线段，直线交直线于点直线交直线于点． (1)小智同学通过思考推得当点在上方时，的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以下推理过程： ， 、、三点在以为圆心，以为半径的圆上． ______（填写数量关系） ______ (2)如图，连接，求证：、、、四点共圆； (3)线段最大值为______；若取的中点，则线段的最小值为______． 【答案】(1)；； (2)解：连接，取的中点，连接，如图， ，， ∴， ， 由折叠知，， 由知，， ， ， ， ， ， 点、、、在以点为圆心的圆上， 即、、、四点共圆； (3)；． 【分析】（1）根据，得、、三点在以为圆心以为半径的圆上，根据圆周角定理可知的度数； （2）取的中点，连接，可证，则点在以为直径的圆上，即可得出结论； （3）根据直径是圆中最大的弦知当经过圆心时，线段的最大值为；先求出，，再判断出当经过点时，最短，此时，从而解决问题． 【详解】（1）解：， 、、三点在以为圆心以为半径的圆上， ， 故答案为：，； （2）略 （3）解：如图， ，，三点在以为圆心，以为半径的圆上， 当经过圆心时，线段的值最大，最大值为； 如图， 取的中点，连接， 是的中点， ，， ， ， 在中，，根据勾股定理得，， 由知，点，，，在以为直径的圆上， 连接，则， ， 当经过点时，最短，此时， ， 即线段的最小值为， 故答案为；． 12．【推理证明】 （1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明思路完成证明过程． 【尝试应用】 （2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】 （3）在（2）的基础上，若，，直接写出线段的长． 【答案】 （1）证明：连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上． （2）如图，； （3）． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半证明，即可得出结论； （2）以为直径作圆，交于点P，由直径所对圆周角等于，即可得出； （3）由正方形性质和勾股定理求出，再证明得是等腰直角三角形，由此求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵在正方形中，，， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， 又∵是直角三角形，， ∴， ∴ 又∵， ∴即 ∴． 【点睛】本题考查了证明四点共圆以及圆周角定理，正方形性质、直角三角形性质、勾股定理等知识，添加合适的辅助线是解题的关键． 13．“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．    提出问题： 如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么A，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点A，，的，在劣弧上取一点（不与A，重合），连接，，则（依据1）， ∵，∴， ∴点A，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）， ∴点，在点A，，所确定的上（依据2）， ∴点A，，，四点在同一个圆上． 反思归纳： （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：__________________________________________________； 依据2：__________________________________________________． （2）如图3，在四边形中，，，则的度数为__________． 拓展探究： （3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，，．求证：A，，，四点共圆． 【答案】（1）圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； （2）45°； （3）证明：∵， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴A，，，四点共圆． 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质、过不在同一直线上的三点确定一个圆解答即可； （2）根据四点共圆、圆周角定理解答； （3）根据轴对称的性质得到，，，，进而得到，即可证明结论． 【详解】解：（1）依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆． 故答案为：圆内接四边形对角互补  过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆 （2）∵， ∴点A，，，四点在同一个圆上， ∴， ∵， ∴． 答案：45° （3）略 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质、轴对称的性质，正确理解四点共圆的条件是解题的关键． 14.阅读理解：    （1）问题初现：如图1，在中，，D是外一点，且，则 ； 思路：若以点A为圆心，为半径画，则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到的度数 （2）问题解决：如图2，在四边形中，，求的度数； 思路：可以通过证明A、B、C、D四点共圆，再利用圆周角的性质求出∠BAC的度数．请写出详细的解题过程． （3）问题拓展：如图3，在中，，是边上的高，且，则 ． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解； （2）由A、B、C、D共圆，得出； （3）作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接．利用圆周角定理推知是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得；在等腰中，利用勾股定理得到，进而求解． 【详解】解：（1）如图，   ， ∴以点A为圆心，长为半径画圆，点B、C、D必在上， 是的圆心角，而是圆周角， ， 故答案为：； （2）如图2，取的中点O，连接，   ， ∴点共圆， ， ， ； （3）如图3，作的外接圆，过圆心作于点于点E，作于点F，连接，   ， ， 在中，， ， ， ，O为圆心， ， ． 在中，，， ， ， ∴四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，考查了垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理等知识，难度偏大，熟练掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质以及勾股定理及作出合理的辅助线是解题的关键． 【模型4：瓜豆原理】 15．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，顶点为D，P是以点为圆心，4为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接．则线段的最小值是（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】先求抛物线与x轴交点A、顶点D的坐标，令抛物线解析式中求解A点坐标，根据顶点式或顶点坐标公式求D点坐标．利用Q是中点的条件，结合三角形中位线定理，找和P点相关线段的数量关系，确定Q点的运动轨迹．计算D点到Q点轨迹圆心的距离，再根据圆上一点到定点的最短距离为两点距离减半径，求出的最小值． 【详解】令抛物线中， 解得， 结合图像A在x轴负半轴，得； 抛物线的顶点D在y轴上，坐标为． 连接和， ∵Q是的中点，A点是定点，取线段的中点M， 根据三角形中位线定理，可得． ∵圆C半径为4， ∴， ∴， ∴Q点的轨迹是以定点M为圆心、半径为2的圆． ∵、， ∴中点M的坐标为； 根据两点距离公式 ， 点D到圆M上点的最短距离为“点到圆心的距离减去半径”， ∴的最小值为． 16．如图，在中，，，，是以斜边为直径的半圆上一动点，为的中点，连接，则 的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的中点为O，连接，，先根据直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理得到，，进而推导出，根据三线合一得到，则点M在以为直径的圆上运动，设圆心为，连接，当M在线段上即点处时，最小，过作于H，证明是等边三角形得，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，进而可得答案． 【详解】解：如图，设的中点为O，连接，， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是以斜边为直径的半圆上一动点， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 则点M在以为直径的圆上运动，设圆心为，连接，当M在线段上（即点处）时，最小， 过作于H，则， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 17．如图，以为直径的半圆，是弧的中点，是弧上任意一点，，交于点．若，则长的最小值为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】设以为直径的半圆的圆心为点O，连接，可求出，则，进而可证明；作的外接圆，其圆心为点，在优弧上取一点G，连接，可证明，证明，得到，则，根据，可得当三点共线时，有最小值，最小值为的值，即为． 【详解】解：如图所示，设以为直径的半圆的圆心为点O，连接， ∵是弧的中点，是半圆的直径， ∴， ∴， ∵，即， ∴； 如图所示，作的外接圆，其圆心为点，在优弧上取一点G，连接， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为的值，即为． 18．如图，在半径为4的中，弦，是上的一动点（不与点重合），是的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，一点到圆上的距离的最值问题；连接，，，取的中点，连接，，结合90度的圆周角所对的弦是直径，故点在以为直径的圆上运动，即得出点在以为半径的上运动，当点运动至的延长线与的交点处时，取得最大值为，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：连接，，，取的中点，连接，， 是的中点， ， ∵点是的中点 ， 在整个运动过程中， 结合90度的圆周角所对的弦是直径，故点在以为直径的圆上运动， 即点在以为半径的上运动， 当点运动至的延长线与的交点处时，取得最大值为， ，， ∵ 即 ， ， 的最大值为， 故选：A 19．已知如图，，点E在圆弧上运动，点M是中点，线段绕点M顺时针旋转得到线段，，则的最小值为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，使得，连接，过点作交延长线于点，则，由，得到，结合，易证四边形是正方形，由，点M是中点，得到，进而求出，利用勾股定理求出，由旋转的性质得到，推出，易证，推出，即可得到点是在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，当三点共线时，有最小值，根据的最小值为即可求解． 【详解】解：如图，过点作，使得，连接，过点作交延长线于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵，点M是中点， ∴，， ∴， ∴， 由旋转的性质得到， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴点是在以点为圆心，为半径的圆弧上运动， 当三点共线时，有最小值， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆外一点到圆上的最短距离，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线，构造三角形全等，找到点F的运动轨迹是解题的关键． 20．如图，是正方形的边的中点，是正方形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转得到线段．连接．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键．连接，将以为中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解． 【详解】解，如图，连接，将以为中心，逆时针旋转，点的对应点为， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， 由旋转得：， ， ， 的值最小为． 故选：B． 21．如图，是的直径，，弦是上的动点，取的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定、勾股定理、垂径定理等知识，解题的关键是正确寻找点D的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．如图，连接，首先证明点的运动轨迹为以为直径的，连接，当点在的延长线上时，的值最大，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为以为直径的，连接， ∵， ∴当点在的延长线上时，的值最大， ∵是的直径，，弦， ∴， ∴是等边三角形， ， 取的中点，连接， 则，， 在中，， ， ， ∴的最大值为， 故选：B． 22．如图，内接于为的直径，点D，E分别为上的动点（不与点A，点B，点C重合），且，F为的中点，分别连接，若，则的最大值为（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】如图1，过点作于，以点为圆心，以为半径作圆，由勾股定理得：，为的中位线，当点，在上运动时，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：，如图2：此时，即的最大值为4，由此即可求解． 【详解】解：如图1，过点作于，以点为圆心，以为半径作圆， ∵为的直径， ∴， 在中，，，由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴为的中位线， ∴，即弦的弦心距， ∵点为的中点， ∴为弦的弦心距， ∵， ∴， ∴当点，在上运动时，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点在的延长线上时，为最大， 如图2：此时，即的最大值为4， 故选：B． 23.如图，在等腰中，点在边上，，将线段绕点C逆时针旋转（其中）到，连接，以为边作，连接，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】作平行四边形，连接，设与交于O，则四边形是菱形，求出的长，进而求出的长，再证明四边形是平行四边形，得到，进而得到点F在以点P为圆心，半径为1的圆上运动，则当D、P、F三点共线，且点P在上时， 有最大值，最大值为． 【详解】解：如图所示，作平行四边形，连接，设与交于O， ∵， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 由平行四边形的性质可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴点F在以点P为圆心，半径为1的圆上运动， ∴当D、P、F三点共线，且点P在上时， 有最大值，最大值为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，平行四边形的性质与判定，勾股定理，菱形的性质与判定，旋转的性质等等，作出辅助线确定点F的轨迹是解题的关键． 24．如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ）    A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】取点B关于直线的对称点M，连接，两线交于点O，连接，，，过O作于点N，根据勾定理求出，结合四点共线时最小即可得到答案； 【详解】解：取点B关于直线的对称点M，连接，两线交于点O，连接，，，，过O作于点N，    ∵正方形，E是的中点． ∴，，， ∵点Q是的中点， ∴， ∴点Q在以O为圆心，半径为1的圆上运动， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴当、 、、四点共线时的值最小， ， ∴的最小值为： ， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称最小距离和问题，正方形的轴对称性质，圆上动点最小距离问题，勾股定理，解题的关键是找到点Q的轨迹． 1 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