专题02 二次函数 十四大题型突破 -2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以二次函数概念为起点，通过14类题型系统覆盖图像性质、最值应用、几何综合等核心考点，构建从基础到综合的知识逻辑链，培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|6题|定义辨析及参数求解|从概念生成到定义应用| |图像性质|17题|特殊与一般式图像、平移及对称轴确定|性质推导与图像直观结合| |综合应用|41题|最值、交点、方程根及不等式解集问题|知识拓展至几何与代数综合|

专题02 二次函数十四大题型突破 【题型01 ：二次函数的概念】 【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】 【题型03：列出二次函数关系式】 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】 【题型09：二次函数的平移变换】 【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【题型11：抛物线与x轴的交点问题】 【题型12：二次函数的交点个数问题】 【题型13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【题型14：根据交点确定不等式的解集】 【题型01 ：二次函数的概念】 1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数，一定属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】 4．若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 5．若是二次函数，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 6．若点在函数的图象上，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 【题型03：列出二次函数关系式】 7．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 8．兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 9．用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 10．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】 11．二次函数的图象必经过点（     ） A． B． C． D． 12．二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 13．由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 14．如图，已知二次函数，当时，则函数y的最小值和最大值（   ） A．和14 B．和14 C．和 D．和2 15．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 16．已知点都在二次函数的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是（   ） A． B． C． D． 17．某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下．该抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】 18．如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 19．如图，点A在抛物线上运动．过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为_______． 20．如图，点，是抛物线：上的两点，将抛物线向左平移得到抛物线，且曲线段AB扫过的阴影部分面积为5，则抛物线的解析式为______．    21．如图，平行于轴的直线被抛物线、所截．当直线向右平移5个单位时，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为______平方单位． 22．如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线上的任意一点，过点A作轴交抛物线于点B，若，则点B到x轴的距离为______． 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 23．二次函数的最大值是（     ） A． B． C．1 D．0 24．点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B．C． D． 25．将二次函数化为的形式，正确的是（   ） A． B． C．D． 26．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 27．已知二次函数，其中，则函数值的最大值是（    ） A． B． C． D． 28．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．函数有最大值 29．已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表，那么关于它的图象，下列判断错误的是（    ） … 0 1 2 … … 1 2 1 … A．开口向下 B．当时， C．当时， D．当时， 【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 30．若二次函数，当时，y有最大值4，最小值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 31．当时，二次函数（为常数，且）有最小值，则的值为（   ） A． B． C．4 D．4或 32．二次函数（为常数），当时，的最小值为，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 33．已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最大值与最小值之差为，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】 34．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（     ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 35．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 36．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 37．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④D．①②③④ 38．如图是二次函数图象的一部分，直线是对称轴，有下列判断：①；②；③若，是抛物线上两点，则，④，其中正确的是（   ） A．①②④ B．①③④ C．②③ D．①②③④ 【题型09：二次函数的平移变换】 39．在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C．D． 40．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 41．将抛物线向左平移1个单位，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 42．将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】 43．抛物线的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 44．二次函数的图象的对称轴为_______________． 45．关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 【题型11：抛物线与x轴的交点问题】 46．如图是二次函数图象的一部分，它的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，则与x轴的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 47．二次函数与轴的交点坐标是（     ） A．， B．， C．， D．， 48．抛物线与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 49．抛物线与x轴的一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 50．已知抛物线与x轴交于，两点，则线段的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 51．抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【题型12：二次函数的交点个数问题】 52．拋物线与坐标轴交点个数为（     ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 53．抛物线与坐标轴的公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 54．已知抛物线与坐标轴存在三个交点，则可以取的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 55．在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴只有一个交点，则k的值可能为（　　） A． B． C． D．0 【题型13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 56．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 57．若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 58．如图，抛物线与直线相交于点，点，则关于x的方程的解为_________． 59．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为___________ 【题型14：根据交点确定不等式的解集】 60．已知二次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是______；当时，x的取值范围是______． 61．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 62．已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为______． 63．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，则不等式的解集是_____． 64．抛物线如图所示，若，则的取值范围是____________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数十四大题型突破 【题型01 ：二次函数的概念】 【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】 【题型03：列出二次函数关系式】 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】 【题型09：二次函数的平移变换】 【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【题型11：抛物线与x轴的交点问题】 【题型12：二次函数的交点个数问题】 【题型13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 【题型14：根据交点确定不等式的解集】 【题型01 ：二次函数的概念】 1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，正确理解二次函数的定义是关键．形如（a，b，c是常数，）的函数为二次函数．根据二次函数的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：选项A、，属于二次函数，符合题意； 选项B、是正比例函数，不符合题意； 选项C、是一次函数，不符合题意； 选项D、是反比例函数，不符合题意． 故选：A． 2．下列函数，一定属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，形如（、、为常数，）的整式函数为二次函数是解题的关键． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．将展开得，符合二次函数定义，是二次函数； B．当时，是一次函数，故该函数不一定是二次函数； C．是一次函数，不符合二次函数定义 D．中含有分式，不是整式函数，不符合二次函数定义． 故选A． 3．二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，关键是熟练应用定义解题； 二次函数的一般形式为 （其中 ，， 是常数且），称为二次项系数，称为一次项系数，称为常数项． 【详解】解：对于二次函数 ，其一般形式中，，， 因此二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，，． 【题型02 ：根据二次函数的定义求参数】 4．若函数（为常数）的图象与轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】分两种情况分析：①当时，②当时，分别利用一次函数与二次函数与坐标轴的交点问题求解即可． 【详解】解：①当时，直线与轴有交点， ∴符合题意． ②当时，抛物线与轴有交点，即关于的方程有实数根， ∴，解得． ∴当且时，符合题意． 综上所述，的取值范围是． 5．若是二次函数，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，二次函数的一般形式为()，根据定义列出关于的方程与不等式，进而求解的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，且． 由，得，解得或． 又∵，即， ∴． 故选：A． 6．若点在函数的图象上，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将点代入函数解析式，直接求解a的值即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴当时，， 代入得：， 解得：． 故选：A． 【题型03：列出二次函数关系式】 7．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 8．兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出降价后每斤的盈利及销售量，再相乘即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每降价元多售出斤， ∴降价元多售出斤， ∴销售量为斤， ∴， 故选：． 9．用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得米，进而根据矩形的面积公式解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，米， ∴， 故选：． 10．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据病毒传播模型，每轮传染中每人传染x人，最初1人感染，经过两轮传染，总感染人数y等于. 【详解】解：最初有1人感染，第一轮传染中，1人传染x人，新感染人数为人， 第一轮后总感染人数为人， 第二轮传染开始有人感染，每人传染x人，新感染人数为人， 第二轮后总感染人数为（人）， 故y与x的函数关系式为. 故答案为： 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】 11．二次函数的图象必经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项中点的横坐标代入验证即可得解． 【详解】解：当时，，选项A不符合题意； 当时，，选项B符合题意； 当时，，选项C不符合题意； 当时，，选项D不符合题意． 12．二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的顶点式可得答案，即二次函数的顶点坐标为． 【详解】解：∵二次函数， ∴顶点坐标为． 13．由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据二次函数顶点式的性质，逐项判断即可得到正确结果． 【详解】解：对于二次函数，其中，，， ， 抛物线开口向上，A选项错误； 顶点式的对称轴为直线， 对称轴为直线，B选项错误； 抛物线与轴交点，令代入解析式：， 与轴交点纵坐标为，不是，C选项错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小，D选项正确 故选：D． 14．如图，已知二次函数，当时，则函数y的最小值和最大值（   ） A．和14 B．和14 C．和 D．和2 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象得函数的最值是解题的关键．先求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可． 【详解】解：∵二次函数，对称轴为：直线， 又∵， ∴时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， 由图象可知：在内，时，y有最大值，， 时，y有最小值，， 故选：B． 15．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及开口方向．根据二次函数的性质，由二次函数得到其顶点坐标与开口方向； 然后根据顶点坐标与开口方向，判定出函数图象即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上， 又∵， ∴开口向上． 故选：D． 16．已知点都在二次函数的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数开口向下，顶点处函数值最大，距离对称轴越近函数值越大是解题的关键． 先求出二次函数的开口向下，对称轴为，再求出三点到对称轴的距离并比较大小，最后距离对称轴越近函数值越大即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线的开口向下，对称轴为， ∴点离对称轴越近，值越大． 计算各点横坐标与对称轴的距离： 点与对称轴的距离为， 点与对称轴的距离为， 点与对称轴的距离为：， ∵， ∴ ． 故选：C． 17．某抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下．该抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质，形状相同则二次项系数绝对值相等，开口向下则系数为负，顶点代入顶点式解答即可． 【详解】解：∵抛物线与抛物线的形状相同，且顶点为，开口向下． ∴该抛物线的函数表达式为． 故选：C． 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】 18．如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 19．如图，点A在抛物线上运动．过点A作轴于点C，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为_______． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、矩形的性质，先利用抛物线的顶点式求出顶点坐标为，再根据矩形的性质得到，再根据二次函数的性质求出的最小值，即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线 ∴抛物线的顶点坐标为， ∵矩形， ∴， ∵轴于点C， ∴当点A在抛物线的顶点时，有最小值，最小值为3， ∴对角线的最小值为3． 故答案为：3． 20．如图，点，是抛物线：上的两点，将抛物线向左平移得到抛物线，且曲线段AB扫过的阴影部分面积为5，则抛物线的解析式为______．    【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移、二次函数的综合题等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 由题意知，图中阴影部分的面积是平行四边形的面积，根据点A、B的坐标求得该平行四边形的一高为1，结合平行四边形的面积公式求得底边长为5，即平移距离是5，然后结合平移规律解答即可． 【详解】解：如图：∵曲线段扫过的面积为5（图中的阴影部分），点，， ∴平行四边形的高为， ∵曲线段AB扫过的阴影部分面积为5， ∴，即， 即将函数的图象沿x轴向左平移5个单位长度得到一条新函数的图象， ∴抛物线的解析式是，即． 故答案为：．    21．如图，平行于轴的直线被抛物线、所截．当直线向右平移5个单位时，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为______平方单位． 【答案】20 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．利用抛物线的对称轴，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积等于平行四边形的面积，如图，设，则，所以，然后利用平行四边形的面积公式计算出平行四边形的面积，从而得到直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积． 【详解】解：如图，直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积等于平行四边形的面积， 设，则， ∴， ∴平行四边形的面积， ∴直线被两条抛物线所截得的线段扫过的图形面积为20． 故答案为：20． 22．如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线上的任意一点，过点A作轴交抛物线于点B，若，则点B到x轴的距离为______． 【答案】1 【分析】该题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答； 根据二次函数的对称性解答即可； 【详解】解：轴，， ∴关于对称轴对称， ， ， ， ∴， 到x轴的距离为， 故答案为：1． 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 23．二次函数的最大值是（     ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】利用平方的非负性推导函数的最大值． 【详解】解： ， ， 当时，取得最大值． 24．点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线，可得对称轴为直线，，即当时，随着的增大而减小，由点关于对称轴对称的点坐标为，，可得． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴点关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴． 25．将二次函数化为的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了把化成顶点式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，进而选出正确选项． 【详解】解：， 故选：B． 26．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的增减性由开口方向和对称轴决定，先求对称轴，再根据开口方向判断增减区间． 【详解】解：∵二次函数为，其中，，， ∴对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， 故选：B． 27．已知二次函数，其中，则函数值的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数开口向上，最大值出现在端点处，再比较端点和顶点的函数值即可．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴该二次函数的图象开口向上，顶点为，最小值为， 当时，， 当时，， ∵， ∴当时，函数值的最大值为． 故选：D． 28．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．函数有最大值 【答案】C 【分析】通过将二次函数化为顶点形式，分析开口方向、对称轴、顶点坐标和函数最值． 【详解】 将二次函数化为顶点式：， A、二次项系数，故抛物线开口向上，A错误，不符合题意； B、对称轴为直线，B错误，不符合题意； C、顶点坐标为，C正确，符合题意； D、开口向上， 函数有最小值，无最大值，D错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】将二次函数化为顶点式是分析其性质的关键，可直接得出开口方向、对称轴和顶点坐标． 29．已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表，那么关于它的图象，下列判断错误的是（    ） … 0 1 2 … … 1 2 1 … A．开口向下 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质．利用待定系数法求得二次函数的解析式，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】解：由表格知二次函数的图象经过点和， ∴抛物线的对称轴为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为， 将代入得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 当时，，故D正确，不符合题意，C错误，符合题意； ∵， ∴抛物线开口向下，当时，函数有最大值为，故A正确，不符合题意； ∴当时，，故B正确，不符合题意；     故选：C． 【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 30．若二次函数，当时，y有最大值4，最小值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数在给定区间内的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键．首先将函数配方为顶点式，确定对称轴和顶点坐标，由最大值4可得对称轴必须在区间内，从而确定m的上限，同时由最小值可得，即可得到答案． 【详解】解： 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为， 当时，y取最大值4， 需满足， 即， 当时，， 解得或， 直线与抛物线的交点为和， 为保证最小值恰为，需使区间内所有点的纵坐标都大于或等于， ， 结合， 可得． 故选：B． 31．当时，二次函数（为常数，且）有最小值，则的值为（   ） A． B． C．4 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质．由题意可得二次函数的对称轴为直线，再分两种情况：当时，当时，分别利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，该二次函数有最小值， ∴当时，当时，， ∴， 解得：； 当时，对称轴为直线， 故当时，取得最小值为， ∴， 解得：； 综上所述，的值为4或， 故选：D． 32．二次函数（为常数），当时，的最小值为，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值问题．先求得抛物线对称轴为直线，分、和，三种情况进行分析，求得m的值即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向上， 当时，函数值y的最小值为， ①当时，则最小值在处， 此时， 解得，不符合题意，舍去； ②当，则最小值在处， 此时， 解得，不符合题意，舍去； ③当，则最小值在处， 此时， 解得或（不符合题意，舍去）； ∴ 常数m的值为2． 故选：C． 33．已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最大值与最小值之差为，则的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由二次函数可得对称轴为直线，然后分当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下即可求解． 【详解】解：由二次函数可得对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上， ∴当时，函数由最小值， 当时，函数由最大值， ∵函数的最大值与最小值之差为， ∴， 解得：； 当时，抛物线开口向下， ∴当时，函数由最大值， 当时，函数由最小值， ∵函数的最大值与最小值之差为， ∴， 解得：； 综上可知：的值为或， 故选：． 【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】 34．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（     ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴， ，结论①正确； ②∵抛物线对称轴为直线， ， ． ∵抛物线经过点， ， ，即，结论②正确； ③∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，结论③错误． 综上，正确的有①②，共2个， 故选C． 35．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 【答案】C 【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图可知，抛物线与轴有两个不同的交点， 则，故①正确． ②③由图可知，抛物线的开口向上，则， 抛物线的对称轴为，，故③正确； ，， 抛物线交轴于负半轴，可得：， ，故②正确． ④由图可知，当时，，故④不正确． 综上所述：以上结论正确的有①②③． 36．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线开口方向判断的符号，根据对称轴判断与的关系，根据抛物线与轴交点判断的符号，从而判断①②；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，结合开口方向判断时的函数值符号，从而判断③；根据抛物线在处取得最小值判断④；根据点离对称轴的远近判断函数值的大小，从而判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； ， ，所以②正确； 对称轴为，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， 抛物线开口向上， 当时，， 当时，，所以③错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，有最小值， 对于任意实数，都有， ， ，所以④正确； 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向上， ，所以⑤正确； 综上所述，说法正确的有①②④⑤，共4个． 37．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置以及最值性质，逐项判断各结论的正确性即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则； ∵对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵当时，图象在轴下方， ∴，故②正确； 对称轴为直线， 与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值， ∴当时，，即，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 38．如图是二次函数图象的一部分，直线是对称轴，有下列判断：①；②；③若，是抛物线上两点，则，④，其中正确的是（   ） A．①②④ B．①③④ C．②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象和性质，理解题意是解决本题的关键． ①根据直线是对称轴，结合对称轴公式可得，进而即可判断；②求出当时的值，再结合图象判断即可；③求出两点距离函数对称轴的距离即可判断；④由图象可知抛物线与轴有两个交点，进而即可判断． 【详解】解：①∵二次函数对称轴为， ∴ ，故①正确． ②当时， ， 由图像可知，在到之间，且时，时，开口向下， ∴时， ∴ ，故②正确； ③由题意得，抛物线的对称轴为， ∴到的距离为，到的距离为， ∵抛物线开口向下，距离对称轴越近，函数值越大， ∴，故③正确． ④由图象可得，抛物线与轴有两个交点， ∴判别式，故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④． 故选D． 【题型09：二次函数的平移变换】 39．在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 40．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】B 【分析】将抛物线平移问题转化为其顶点的平移问题求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线． 41．将抛物线向左平移1个单位，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵二次函数图象的平移规律为：左右平移时对进行变化，符合“左加右减”规则，即向左平移个单位时，将原解析式中的替换为． 原抛物线解析式为，向左平移个单位， ∴将原解析式中的替换为， 得到新抛物线解析式为． 42．将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，平移得到的抛物线的解析式为． 【题型10：已知抛物线上对称的两点求对称轴】 43．抛物线的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题．抛物线的对称轴可通过求其与x轴交点坐标，再求出这两个交点坐标的中点得到对称轴，即可作答． 【详解】解：∵， ∴令时，则， 解得， 即抛物线与x轴的交点坐标分别是， 则对称轴为直线， 故选：B． 44．二次函数的图象的对称轴为_______________． 【答案】2 【分析】先求出二次函数图象与轴的交点坐标，利用二次函数的对称性计算对称轴. 【详解】解：∵ 二次函数 与轴相交时 ， ∴， 解得，， ∴图象与轴的交点坐标为和， ∴二次函数图象的对称轴为直线. 45．关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则抛物线的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，利用对称性求对称轴．根据题意，得到抛物线与轴的两个交点坐标为，，对称性得到对称轴为即可． 【详解】解：∵的两个实数根分别为，， ∴抛物线与轴的两个交点坐标为，， ∴对称轴为； 故选：B． 【题型11：抛物线与x轴的交点问题】 46．如图是二次函数图象的一部分，它的对称轴是直线，与x轴的一个交点为，则与x轴的另一个交点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确利用抛物线的对称性分析是解题关键．直接利用抛物线的对称性进而得出另一个交点坐标． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点是：． 故选：D． 47．二次函数与轴的交点坐标是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】二次函数与轴交点的纵坐标为，令解一元二次方程即可． 【详解】解：令，得， 因式分解得， 解得， 二次函数与轴的交点坐标为，． 48．抛物线与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，求抛物线与x轴的交点只需令解方程即可． 将点A的坐标为代入得：，然后代入解析式，求出时x的值即可得． 【详解】解：将点A的坐标为代入得： ∴， 令，则有：，即 解得，，， ∴点B的坐标是， 故选：D． 49．抛物线与x轴的一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，与x轴的交点坐标中，即，解方程求出x即可． 【详解】解：抛物线与x轴相交，则， 解得：或， 抛物线与x轴的交点坐标有：，， 故选：B． 50．已知抛物线与x轴交于，两点，则线段的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是根据抛物线的对称轴求出点A的坐标； 先求出抛物线的对称轴，再根据，两点，关于直线对称，求出A点的坐标，即可得出答案． 【详解】解： 的对称轴为， 与关于直线对称．A点的坐标是∶， 线段的长度； 故选：B． 51．抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴上的点横坐标为，代入抛物线解析式计算值即可得到交点坐标． 【详解】解：∵轴上所有点的横坐标都为， ∴在抛物线中，令， 得， ∴抛物线与轴的交点坐标是． 【题型12：二次函数的交点个数问题】 52．拋物线与坐标轴交点个数为（     ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题，解方程等知识点，当时，计算出，则抛物线与y轴的交点坐标为，再解方程得抛物线与x轴无交点，从而可判断抛物线与坐标轴的交点个数，熟练掌握抛物线与坐标轴的交点的性质是解决此题的关键． 【详解】当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 当时，， ∵， ∴方程无解， ∴抛物线与x轴无交点， ∴抛物线与坐标轴有1个交点， 故选：B． 53．抛物线与坐标轴的公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】分别计算抛物线与x轴、y轴的公共点个数，然后相加即可． 【详解】解：∵抛物线， 当时，， ∴抛物线与y轴有1个公共点； 令，得， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有2个公共点， ∴公共点总个数为． 54．已知抛物线与坐标轴存在三个交点，则可以取的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】抛物线要求二次项系数不为0，抛物线与轴恒有1个交点，要使总交点数为3，则抛物线与轴需要有2个不同交点，利用一元二次方程根的判别式求解范围，结合选项得出结果． 【详解】 是抛物线， 二次项系数满足，即，排除选项； 当时，代入得， 抛物线与轴恒有个交点， 要使抛物线与坐标轴共三个交点，需抛物线与轴有2个不同交点； 即一元二次方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得； 综上可得a的范围是且； 结合选项可知，只有选项的4符合要求． 55．在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴只有一个交点，则k的值可能为（　　） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及一元二次方程的判别式．根据二次函数与一元二次方程的关系可得，不能有两个不等的实数根，即，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与坐标轴只有一个交点， ∴， 解得， 故选：D． 【题型13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况】 56．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 【答案】 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解求解即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，该抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由图像可知，方程的解是． 57．若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，从而得出该二次函数与x轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴该二次函数图象与x轴的另一个交点为， ∴关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为， 故答案为：． 58．如图，抛物线与直线相交于点，点，则关于x的方程的解为_________． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数、一次函数的图象与方程的关系，正确理解交点的意义是解题的关键． 根据图象和交点的坐标即可求解． 【详解】解：抛物线与直线相交于点，点， 关于x的方程的解为，． 故答案为：，． 59．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为___________ 【答案】， 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，涉及一元二次方程与二次函数的关系．先求出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性可知，关于直线的对称点为，因此一元二次方程的根为1与； 【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为， ∴关于直线的对称点为， 一元二次方程的根为与； 即，． 故答案为：，． 【题型14：根据交点确定不等式的解集】 60．已知二次函数的图象如图所示，当时，x的取值范围是______；当时，x的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】根据抛物线图象与x轴交于，利用图象法直接可得出当与时，x的取值范围． 【详解】解：∵抛物线图象与x轴交于 ，，又抛物线开口向上， ∴由图象可得，当时，x的取值范围是， 当时，x的取值范围是或． 61．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 62．已知二次函数与一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．观察图象确定二次函数的图象位于一次函数的图象下方时的取值范围即可． 【详解】解：观察图象可知，当时，二次函数的图象位于一次函数的图象下方， 不等式的解集为． 故答案为：． 63．如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，则不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】本题考查不等式与函数的关系及函数图象交点问题，理解图象的点坐标特征和数形结合思想是解答此题的关键． 结合图象，当时，一次函数的图象在二次函数的图象上方，此时二次函数值小于一次函数值，即可确定不等式的解集． 【详解】解：∵， 即二次函数值小于一次函数值， 抛物线与直线交点为，， 当时，一次函数的图象在二次函数的图象上方，此时二次函数值小于一次函数值， 即的解集为， 故答案为：． 64．抛物线如图所示，若，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一元一次不等式的关系，关键是看图象找出抛物线与轴的交点坐标，进而得到不等式的解集； 由图象在轴下方的部分对应的的取值范围即可得出答案． 【详解】解：∵由图象可知抛物线与轴的一个交点为，抛物线与轴的另一个交点是， ∵， ∴， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $