周周练15 29.3 弧长和扇形面积（数学新教材人教版九年级上册）

2026-2027学年九年级上学期数学周周测15 29.3弧长和扇形面积 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（25-26八年级下·上海普陀·期末）下列表述中，两个变量成正比例的是（     ） A．小普的身高h与他的体重m B．当圆的半径一定时，弧长l与其所对的圆心角n C．圆的面积S与其半径r D．当路程一定时，速度v与所需要的时间t 2．（2026·湖南邵阳·模拟预测）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 3．折扇最早出现于我国南北朝时期，《南齐书》中说：“司徒褚渊入朝，以腰扇障日．”这里的“腰扇”在《通鉴注》中的解释为折叠扇．如图，一折扇的骨柄长为21cm，折扇张开后为扇形，圆心角为，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽合肥·二模）一滑轮装置如图，滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动（取），当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26六年级下·上海松江·期末）一个圆锥，根据下列所给条件能计算出它的侧面积的是（     ） ①圆锥侧面展开图的圆心角，圆锥的母线长； ②底面圆的面积，圆锥的母线长； ③圆锥侧面展开图的圆心角，底面圆的半径； ④圆锥侧面展开图的圆心角，底面圆的周长． A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 6．某圆锥底面直径为，母线长为，则该圆锥侧面积为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·浙江宁波·二模）如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若，则点经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 8．（2026·江苏镇江·二模）小红在一张边长为的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是2，则圆锥的母线为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 10．（25-26九年级上·四川广安·期末）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知扇形的弧长是，面积为，则该扇形的圆心角为__________． 12．（25-26六年级下·上海青浦·期末）现有一个圆锥与一个圆柱，它们的高相等，其中一个图形的体积是，且底面半径为3，另一个图形体积是，则另一个图形的底面半径是______． 13．（2026·广东茂名·一模）将两块全等的三角板和按如图所示的位置放置．，，若三角板绕点C沿逆时针方向旋转，使点E恰好落在斜边上，则点A运动路径的长度为_______． 14．（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，酒瓶中装有一些酒（装酒部分为圆柱体），倒进一只酒杯中（装酒部分为圆锥），酒杯口的直径是酒瓶底面直径的一半（酒瓶、酒杯厚度忽略不计，数据如图），共能倒满____________杯． 15．（2024·河南南阳·一模）如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为______．    16．（2025·吉林长春·一模）如图，是的直径，是一条弦，延长至点，使，连结，过点作，垂足为点．给出下面五个结论： ①； ②是的切线； ③； ④当时，若，则阴影部分图形的面积为； ⑤当时，与的面积比为． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（25-26七年级上·河南驻马店·开学考试）茶香香薰作为香薰界的新宠，可使人心情平静．下图是一个圆锥形的塔香，点了1分钟后，剩余部分的高刚好等于原来高的一半，求剩余部分的体积． 18．在边长为1的正方形网格中如图所示： (1)以点C为位似中心，作出的位似图形，使其位似比为．且位于点C的异侧，并表示出的坐标； (2)作出绕点C顺时针旋转后的图形，并表示出的坐标； (3)在（2）的条件下求出点B经过的路径长（结果保留π）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测15 29.3弧长和扇形面积 时间：45分钟 分值：60分 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（25-26八年级下·上海普陀·期末）下列表述中，两个变量成正比例的是（     ） A．小普的身高h与他的体重m B．当圆的半径一定时，弧长l与其所对的圆心角n C．圆的面积S与其半径r D．当路程一定时，速度v与所需要的时间t 【答案】B 【分析】若两个变量满足（为不等于0的常数），则两个变量成正比例，根据定义逐一分析各选项即可. 【详解】解：A、身高与体重没有固定的比值关系，故两个变量不成正比例，不符合要求； B、弧长公式为，∵半径一定，∴是不为0的常数，可得，符合正比例关系定义，故两个变量成正比例，符合要求； C、圆面积公式为，不是定值，故两个变量不成正比例，不符合要求. D、 路程一定时，，可得，两个变量成反比例，不成正比例，不符合要求. 2．（2026·湖南邵阳·模拟预测）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解出的半径． 【详解】解：设的半径为， ∵，，， 代入公式得， 解得，即的半径为． 3．折扇最早出现于我国南北朝时期，《南齐书》中说：“司徒褚渊入朝，以腰扇障日．”这里的“腰扇”在《通鉴注》中的解释为折叠扇．如图，一折扇的骨柄长为21cm，折扇张开后为扇形，圆心角为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的长． 4．（2026·安徽合肥·二模）一滑轮装置如图，滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动（取），当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧长公式得到，即可得到答案． 【详解】解：重物上升， 故， 即， 解得，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为． 5．（25-26六年级下·上海松江·期末）一个圆锥，根据下列所给条件能计算出它的侧面积的是（     ） ①圆锥侧面展开图的圆心角，圆锥的母线长； ②底面圆的面积，圆锥的母线长； ③圆锥侧面展开图的圆心角，底面圆的半径； ④圆锥侧面展开图的圆心角，底面圆的周长． A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】圆锥侧面积等于其侧面展开扇形的面积，只需根据已知条件推导出计算侧面积所需的量，即可判断能否计算侧面积． 【详解】解：设圆锥底面半径为，母线长为，侧面展开图圆心角为，圆锥侧面积，且侧面展开扇形弧长等于底面周长，即， ① 已知和，由扇形面积公式，可直接计算侧面积，①符合要求； ② 已知底面圆面积，由可求出，又已知，代入，可计算侧面积，②符合要求； ③ 已知和，由可求出，代入可计算侧面积，③符合要求； ④ 已知和底面周长，由可求出，再由扇形面积公式可计算侧面积，④符合要求。 因此①②③④都能计算圆锥侧面积． 6．某圆锥底面直径为，母线长为，则该圆锥侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据底面直径求出底面半径，再代入圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：底面半径， 圆锥侧面积． 7．（2026·浙江宁波·二模）如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若，则点经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据旋转的性质推出，再根据弧长的公式求解即可． 【详解】解：∵绕点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴点经过的路径长为． 8．（2026·江苏镇江·二模）小红在一张边长为的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图及弧长计算公式是解题的关键；根据圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长可进行求解． 【详解】解：由题意得：扇形的半径等于正方形的边长，即，圆心角， 扇形的弧长为， 设圆锥底面圆的半径为， 圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， ， ． 9．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是2，则圆锥的母线为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：． 先算圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长． 【详解】解：圆锥的底面周长， 则：， 解得． 故选：B． 10．（25-26九年级上·四川广安·期末）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧面展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧面展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵底面圆半径为2， 底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． 圆锥的母线长为， ， ∴， 故最短路径长是． 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知扇形的弧长是，面积为，则该扇形的圆心角为__________． 【答案】 /30度 【分析】根据扇形面积公式结合已知弧长和面积求出扇形半径，再利用弧长公式计算得到圆心角度数． 【详解】解：设扇形半径为，圆心角为， 由扇形面积公式，将，代入得：， 解得， 将，代入弧长公式得：， 解得， 即该扇形的圆心角为． 12．（25-26六年级下·上海青浦·期末）现有一个圆锥与一个圆柱，它们的高相等，其中一个图形的体积是，且底面半径为3，另一个图形体积是，则另一个图形的底面半径是______． 【答案】1或3 【分析】分两种情况讨论，即体积为的图形是圆柱或圆锥，分别利用圆柱和圆锥的体积公式计算公共高，再求解另一个图形的底面半径． 【详解】解：设两个图形的高都为h，另一个图形的底面半径为r，分两种情况计算： ①当体积的图形是圆柱，另一个图形为圆锥时： ∵圆柱体积公式为，已知， ∴，解得 ∵圆锥体积公式为，已知， ∴，解得，半径为正，得； ②当体积的图形是圆锥，另一个图形为圆柱时： ∵圆锥体积公式为，已知， ∴，解得 ∵圆柱体积公式为，已知， ∴，解得，半径为正，得 综上，另一个图形的底面半径为1或3． 13．（2026·广东茂名·一模）将两块全等的三角板和按如图所示的位置放置．，，若三角板绕点C沿逆时针方向旋转，使点E恰好落在斜边上，则点A运动路径的长度为_______． 【答案】 【分析】利用三角板全等的性质，可得，结合，可判定的形状，进而得到的度数，该角度即为三角板的旋转角，进而求出点A运动路径对应的圆心角．最后使用弧长公式，代入旋转角度数和半径的长度，即可计算出路径长度． 【详解】由题意可知：是直角三角形，，， 两块三角板全等，因此旋转后可得 ． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 点的运动路径是以为圆心、为半径的圆弧， ∴点A运动路径的长度为 ． 14．（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，酒瓶中装有一些酒（装酒部分为圆柱体），倒进一只酒杯中（装酒部分为圆锥），酒杯口的直径是酒瓶底面直径的一半（酒瓶、酒杯厚度忽略不计，数据如图），共能倒满____________杯． 【答案】30 【分析】设酒杯口的半径为，则酒瓶的半径为，根据圆锥和圆柱的体积公式，分别求出酒杯和酒瓶中酒的体积，即可得解． 【详解】解：设酒杯口的半径为，则酒瓶的半径为， ∴酒杯的体积为，酒瓶中酒的体积为， ∵， ∴共能倒满30杯． 15．（2024·河南南阳·一模）如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为______．    【答案】 【分析】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，勾股定理的应用，熟记正六边形的性质是解本题的关键． 如图，连接，标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，证明扇形与扇形重合，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，标注直线与圆的交点， 由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，    ∴，， ∴， ∴扇形与扇形重合， ∴， ∵为等边三角形，，过作于， ∴，，， ∴； 故答案为：． 16．（2025·吉林长春·一模）如图，是的直径，是一条弦，延长至点，使，连结，过点作，垂足为点．给出下面五个结论： ①； ②是的切线； ③； ④当时，若，则阴影部分图形的面积为； ⑤当时，与的面积比为． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 【答案】②④/④② 【分析】连接，根据是的直径，得出，根据已知可得垂直平分，即可判断①，根据中位线的性质即可判断②，根据等边对等角可得，进而判断③；根据平行线的性质可得，进而得出是等腰直角三角形，再根据扇形面积减去的面积即可判断④；根据已知可得，进而得出与的面积比为，即可判断⑤，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径 ∴ 又∵， ∴垂直平分 ∴故①错误； ∵分别为的中点， ∴ ∵， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线；故②正确 ∵，即， 又 ∴ ∴，故③错误， 当时， ∴ ∴， ∵，则是等腰直角三角形， 又， ∴，故④正确 ∵ ∴ 当时， ∴与的面积比为 ∴与的面积比为，故⑤错误． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，圆周角定理，中位线的性质，切线的判定，三角形的面积，扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题：本题共2小题,第17题10分，第18题12分，共22分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（25-26七年级上·河南驻马店·开学考试）茶香香薰作为香薰界的新宠，可使人心情平静．下图是一个圆锥形的塔香，点了1分钟后，剩余部分的高刚好等于原来高的一半，求剩余部分的体积． 【答案】 【分析】根据“剩余部分的体积原圆锥体积已燃圆锥体积”列式求解即可． 【详解】解： ， 答：剩余部分的体积为 18．在边长为1的正方形网格中如图所示： (1)以点C为位似中心，作出的位似图形，使其位似比为．且位于点C的异侧，并表示出的坐标； (2)作出绕点C顺时针旋转后的图形，并表示出的坐标； (3)在（2）的条件下求出点B经过的路径长（结果保留π）． 【答案】(1)解：如图，即为所求： 点的坐标为； (2)如图，即为所求： 点的坐标为； (3) 【分析】（1）延长到使，延长到使，则满足条件； （2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点、，从而得到，即可解答． （3）先计算出的长，然后根据弧长公式计算点B经过的路径长． 【详解】（1）解：图略，点的坐标为； （2）解：图略，点的坐标为； （3）解：， 点B经过的路径长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测15 29.3弧长和扇形面积 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（25-26八年级下·上海普陀·期末）下列表述中，两个变量成正比例的是（     ） A．小普的身高h与他的体重m B．当圆的半径一定时，弧长l与其所对的圆心角n C．圆的面积S与其半径r D．当路程一定时，速度v与所需要的时间t 2．（2026·湖南邵阳·模拟预测）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 3．折扇最早出现于我国南北朝时期，《南齐书》中说：“司徒褚渊入朝，以腰扇障日．”这里的“腰扇”在《通鉴注》中的解释为折叠扇．如图，一折扇的骨柄长为21cm，折扇张开后为扇形，圆心角为，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·安徽合肥·二模）一滑轮装置如图，滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动（取），当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26六年级下·上海松江·期末）一个圆锥，根据下列所给条件能计算出它的侧面积的是（     ） ①圆锥侧面展开图的圆心角，圆锥的母线长； ②底面圆的面积，圆锥的母线长； ③圆锥侧面展开图的圆心角，底面圆的半径； ④圆锥侧面展开图的圆心角，底面圆的周长． A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 6．某圆锥底面直径为，母线长为，则该圆锥侧面积为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·浙江宁波·二模）如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若，则点经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 8．（2026·江苏镇江·二模）小红在一张边长为的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是2，则圆锥的母线为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 10．（25-26九年级上·四川广安·期末）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知扇形的弧长是，面积为，则该扇形的圆心角为__________． 12．（25-26六年级下·上海青浦·期末）现有一个圆锥与一个圆柱，它们的高相等，其中一个图形的体积是，且底面半径为3，另一个图形体积是，则另一个图形的底面半径是______． 13．（2026·广东茂名·一模）将两块全等的三角板和按如图所示的位置放置．，，若三角板绕点C沿逆时针方向旋转，使点E恰好落在斜边上，则点A运动路径的长度为_______． 14．（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，酒瓶中装有一些酒（装酒部分为圆柱体），倒进一只酒杯中（装酒部分为圆锥），酒杯口的直径是酒瓶底面直径的一半（酒瓶、酒杯厚度忽略不计，数据如图），共能倒满____________杯． 15．（2024·河南南阳·一模）如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为______．    16．（2025·吉林长春·一模）如图，是的直径，是一条弦，延长至点，使，连结，过点作，垂足为点．给出下面五个结论： ①； ②是的切线； ③； ④当时，若，则阴影部分图形的面积为； ⑤当时，与的面积比为． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 三、解答题：本题共8小题,第17~22题7分，第23~24题10分，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（25-26七年级上·河南驻马店·开学考试）茶香香薰作为香薰界的新宠，可使人心情平静．下图是一个圆锥形的塔香，点了1分钟后，剩余部分的高刚好等于原来高的一半，求剩余部分的体积． 18．在边长为1的正方形网格中如图所示： (1)以点C为位似中心，作出的位似图形，使其位似比为．且位于点C的异侧，并表示出的坐标； (2)作出绕点C顺时针旋转后的图形，并表示出的坐标； (3)在（2）的条件下求出点B经过的路径长（结果保留π）． 19．（2026·河南平顶山·三模）如图，反比例函数的图象经过点，以点为圆心，长为半径画弧，交轴正半轴于点，以，，为顶点作菱形，若，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求图中阴影部分的面积． 20．（25-26六年级下·山东泰安·期末）盘秤是常见称量工具，其指针偏转角度随所称物体质量变化而改变．下表记录了指针转过的角度（单位：度）与称量的物品重量（单位：千克）的对应数值： 重量（单位：千克） 0 1 2 3 指针转过的角度（单位：度） 0 18 36 54 180 (1)___________；写出n与m之间的关系式为___________； (2)指针转过的角度不得超过360度，否则盘秤会受损，称量18千克的物品会对盘秤造成损伤吗？说说你的理由； (3)已知盘秤指针的长度为，当称重为的物品时指针划过的扇形面积是多少？ 21．（2026·辽宁锦州·三模）如图1，点C在直径的延长线上，且直线是的切线，切点为点D，连接，． (1)点E是弧上的任意一点，连接、，求证：； (2)如图2，的半径长为6，，点E是弧的中点，连接交于点F，连接．求阴影的面积．（结果用表示） 22．（2026·河南驻马店·二模）【材料阅读】有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做这个三角形的“等弦圆”． 【问题解决】如图，是的“等弦圆”，是截得的三条弦． (1)求证：平分． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 23．（2026·河北邯郸·三模）如图，在中，，，，以为直径作半圆．将半圆以点为中心顺时针旋转，旋转角为，半圆弧与交于点． (1)如图2，当时， ①求的长； ②求半圆被所截的弓形面积． (2)当的长与的长相等时，求的度数． (3)若半圆与重合的弧长恰好为半圆弧的一半时，请直接写出的度数． 24．（2026年河北唐山市曹妃甸区初中学业水平考试数学模拟试卷（一））如图1～图3，是半圆的直径，且，是半圆的弦（点，可分别与点，重合），将半圆沿直线翻折． (1)当点与点重合，且时，如图1．求劣弧的长； (2)当时，如图2，过点作，垂足为点，折叠后的劣弧恰好经过的中点，连接，求的值； (3)若折叠后的劣弧与直径切于点，且点是半径的中点，如图3，求折痕的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期数学周周测15 29.3弧长和扇形面积 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（25-26八年级下·上海普陀·期末）下列表述中，两个变量成正比例的是（     ） A．小普的身高h与他的体重m B．当圆的半径一定时，弧长l与其所对的圆心角n C．圆的面积S与其半径r D．当路程一定时，速度v与所需要的时间t 【答案】B 【分析】若两个变量满足（为不等于0的常数），则两个变量成正比例，根据定义逐一分析各选项即可. 【详解】解：A、身高与体重没有固定的比值关系，故两个变量不成正比例，不符合要求； B、弧长公式为，∵半径一定，∴是不为0的常数，可得，符合正比例关系定义，故两个变量成正比例，符合要求； C、圆面积公式为，不是定值，故两个变量不成正比例，不符合要求. D、 路程一定时，，可得，两个变量成反比例，不成正比例，不符合要求. 2．（2026·湖南邵阳·模拟预测）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解出的半径． 【详解】解：设的半径为， ∵，，， 代入公式得， 解得，即的半径为． 3．折扇最早出现于我国南北朝时期，《南齐书》中说：“司徒褚渊入朝，以腰扇障日．”这里的“腰扇”在《通鉴注》中的解释为折叠扇．如图，一折扇的骨柄长为21cm，折扇张开后为扇形，圆心角为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的长． 4．（2026·安徽合肥·二模）一滑轮装置如图，滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动（取），当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧长公式得到，即可得到答案． 【详解】解：重物上升， 故， 即， 解得，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为． 5．（25-26六年级下·上海松江·期末）一个圆锥，根据下列所给条件能计算出它的侧面积的是（     ） ①圆锥侧面展开图的圆心角，圆锥的母线长； ②底面圆的面积，圆锥的母线长； ③圆锥侧面展开图的圆心角，底面圆的半径； ④圆锥侧面展开图的圆心角，底面圆的周长． A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】圆锥侧面积等于其侧面展开扇形的面积，只需根据已知条件推导出计算侧面积所需的量，即可判断能否计算侧面积． 【详解】解：设圆锥底面半径为，母线长为，侧面展开图圆心角为，圆锥侧面积，且侧面展开扇形弧长等于底面周长，即， ① 已知和，由扇形面积公式，可直接计算侧面积，①符合要求； ② 已知底面圆面积，由可求出，又已知，代入，可计算侧面积，②符合要求； ③ 已知和，由可求出，代入可计算侧面积，③符合要求； ④ 已知和底面周长，由可求出，再由扇形面积公式可计算侧面积，④符合要求。 因此①②③④都能计算圆锥侧面积． 6．某圆锥底面直径为，母线长为，则该圆锥侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据底面直径求出底面半径，再代入圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：底面半径， 圆锥侧面积． 7．（2026·浙江宁波·二模）如图，将绕点逆时针方向旋转得到，若，则点经过的路径长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据旋转的性质推出，再根据弧长的公式求解即可． 【详解】解：∵绕点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴点经过的路径长为． 8．（2026·江苏镇江·二模）小红在一张边长为的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图及弧长计算公式是解题的关键；根据圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长可进行求解． 【详解】解：由题意得：扇形的半径等于正方形的边长，即，圆心角， 扇形的弧长为， 设圆锥底面圆的半径为， 圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， ， ． 9．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是2，则圆锥的母线为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：． 先算圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长． 【详解】解：圆锥的底面周长， 则：， 解得． 故选：B． 10．（25-26九年级上·四川广安·期末）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧面展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧面展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵底面圆半径为2， 底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． 圆锥的母线长为， ， ∴， 故最短路径长是． 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知扇形的弧长是，面积为，则该扇形的圆心角为__________． 【答案】 /30度 【分析】根据扇形面积公式结合已知弧长和面积求出扇形半径，再利用弧长公式计算得到圆心角度数． 【详解】解：设扇形半径为，圆心角为， 由扇形面积公式，将，代入得：， 解得， 将，代入弧长公式得：， 解得， 即该扇形的圆心角为． 12．（25-26六年级下·上海青浦·期末）现有一个圆锥与一个圆柱，它们的高相等，其中一个图形的体积是，且底面半径为3，另一个图形体积是，则另一个图形的底面半径是______． 【答案】1或3 【分析】分两种情况讨论，即体积为的图形是圆柱或圆锥，分别利用圆柱和圆锥的体积公式计算公共高，再求解另一个图形的底面半径． 【详解】解：设两个图形的高都为h，另一个图形的底面半径为r，分两种情况计算： ①当体积的图形是圆柱，另一个图形为圆锥时： ∵圆柱体积公式为，已知， ∴，解得 ∵圆锥体积公式为，已知， ∴，解得，半径为正，得； ②当体积的图形是圆锥，另一个图形为圆柱时： ∵圆锥体积公式为，已知， ∴，解得 ∵圆柱体积公式为，已知， ∴，解得，半径为正，得 综上，另一个图形的底面半径为1或3． 13．（2026·广东茂名·一模）将两块全等的三角板和按如图所示的位置放置．，，若三角板绕点C沿逆时针方向旋转，使点E恰好落在斜边上，则点A运动路径的长度为_______． 【答案】 【分析】利用三角板全等的性质，可得，结合，可判定的形状，进而得到的度数，该角度即为三角板的旋转角，进而求出点A运动路径对应的圆心角．最后使用弧长公式，代入旋转角度数和半径的长度，即可计算出路径长度． 【详解】由题意可知：是直角三角形，，， 两块三角板全等，因此旋转后可得 ． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 点的运动路径是以为圆心、为半径的圆弧， ∴点A运动路径的长度为 ． 14．（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）如图，酒瓶中装有一些酒（装酒部分为圆柱体），倒进一只酒杯中（装酒部分为圆锥），酒杯口的直径是酒瓶底面直径的一半（酒瓶、酒杯厚度忽略不计，数据如图），共能倒满____________杯． 【答案】30 【分析】设酒杯口的半径为，则酒瓶的半径为，根据圆锥和圆柱的体积公式，分别求出酒杯和酒瓶中酒的体积，即可得解． 【详解】解：设酒杯口的半径为，则酒瓶的半径为， ∴酒杯的体积为，酒瓶中酒的体积为， ∵， ∴共能倒满30杯． 15．（2024·河南南阳·一模）如图，正六边形的外接圆的半径为2，过圆心的两条直线、的夹角为，则图中的阴影部分的面积为______．    【答案】 【分析】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，勾股定理的应用，熟记正六边形的性质是解本题的关键． 如图，连接，标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，证明扇形与扇形重合，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，标注直线与圆的交点， 由正六边形的性质可得：，，三点共线，为等边三角形，    ∴，， ∴， ∴扇形与扇形重合， ∴， ∵为等边三角形，，过作于， ∴，，， ∴； 故答案为：． 16．（2025·吉林长春·一模）如图，是的直径，是一条弦，延长至点，使，连结，过点作，垂足为点．给出下面五个结论： ①； ②是的切线； ③； ④当时，若，则阴影部分图形的面积为； ⑤当时，与的面积比为． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 【答案】②④/④② 【分析】连接，根据是的直径，得出，根据已知可得垂直平分，即可判断①，根据中位线的性质即可判断②，根据等边对等角可得，进而判断③；根据平行线的性质可得，进而得出是等腰直角三角形，再根据扇形面积减去的面积即可判断④；根据已知可得，进而得出与的面积比为，即可判断⑤，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径 ∴ 又∵， ∴垂直平分 ∴故①错误； ∵分别为的中点， ∴ ∵， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线；故②正确 ∵，即， 又 ∴ ∴，故③错误， 当时， ∴ ∴， ∵，则是等腰直角三角形， 又， ∴，故④正确 ∵ ∴ 当时， ∴与的面积比为 ∴与的面积比为，故⑤错误． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，圆周角定理，中位线的性质，切线的判定，三角形的面积，扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题,第17~22题7分，第23~24题10分，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（25-26七年级上·河南驻马店·开学考试）茶香香薰作为香薰界的新宠，可使人心情平静．下图是一个圆锥形的塔香，点了1分钟后，剩余部分的高刚好等于原来高的一半，求剩余部分的体积． 【答案】 【分析】根据“剩余部分的体积原圆锥体积已燃圆锥体积”列式求解即可． 【详解】解： ， 答：剩余部分的体积为 18．在边长为1的正方形网格中如图所示： (1)以点C为位似中心，作出的位似图形，使其位似比为．且位于点C的异侧，并表示出的坐标； (2)作出绕点C顺时针旋转后的图形，并表示出的坐标； (3)在（2）的条件下求出点B经过的路径长（结果保留π）． 【答案】(1)解：如图，即为所求： 点的坐标为； (2)如图，即为所求： 点的坐标为； (3) 【分析】（1）延长到使，延长到使，则满足条件； （2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B的对应点、，从而得到，即可解答． （3）先计算出的长，然后根据弧长公式计算点B经过的路径长． 【详解】（1）解：图略，点的坐标为； （2）解：图略，点的坐标为； （3）解：， 点B经过的路径长． 19．（2026·河南平顶山·三模）如图，反比例函数的图象经过点，以点为圆心，长为半径画弧，交轴正半轴于点，以，，为顶点作菱形，若，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用菱形的性质得到，过点作于点，结合，通过特殊角的三角函数值求出点的坐标，再代入反比例函数解析式求出的值； （2）根据图形关系，用菱形的面积减去扇形的面积，计算得到阴影部分的面积． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 四边形是菱形， ， 在中，， ，， ， 反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：由题图可得，． 20．（25-26六年级下·山东泰安·期末）盘秤是常见称量工具，其指针偏转角度随所称物体质量变化而改变．下表记录了指针转过的角度（单位：度）与称量的物品重量（单位：千克）的对应数值： 重量（单位：千克） 0 1 2 3 指针转过的角度（单位：度） 0 18 36 54 180 (1)___________；写出n与m之间的关系式为___________； (2)指针转过的角度不得超过360度，否则盘秤会受损，称量18千克的物品会对盘秤造成损伤吗？说说你的理由； (3)已知盘秤指针的长度为，当称重为的物品时指针划过的扇形面积是多少？ 【答案】(1)10； (2)不会对盘秤造成损伤，理由如下： 当时，，未超过角度上限，故不会对盘秤造成损伤； (3) 【分析】（1）由表格数据可发现指针转过的角度与重量的比值是常数，即可写出关系式，再由关系式即可求解； （2）把代入关系式中求解，再结合题意求解即可； （3）先求出圆心角，再由扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由表格数据可得，， 故当时，， 解得； （2）略 （3）解：当时， ∴指针划过的扇形面积 答：当称重为的物品时指针划过的扇形面积是． 21．（2026·辽宁锦州·三模）如图1，点C在直径的延长线上，且直线是的切线，切点为点D，连接，． (1)点E是弧上的任意一点，连接、，求证：； (2)如图2，的半径长为6，，点E是弧的中点，连接交于点F，连接．求阴影的面积．（结果用表示） 【答案】(1)证明：如图1，连接， ∵直线是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ (2) 【分析】（1）根据切线的性质以及圆周角定理可知，进而可知，再根据同弧所对的圆周角相等即可求解； （2）根据两个角对应相等可证，根据相似三角形的性质可知，根据圆周角定理可知，，根据角度转化可知，根据等角对等边可知，即可求解，根据面积公式可知． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， 又∵， ∴， ∴， 即， ， ∵点E是弧的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．（2026·河南驻马店·二模）【材料阅读】有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做这个三角形的“等弦圆”． 【问题解决】如图，是的“等弦圆”，是截得的三条弦． (1)求证：平分． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，由，，，可得，得出，即可得证； （2）连接，，由平分，可得，由可得，进而得出，从而得出是等腰直角三角形，可求出，最后由即可求出结果． 【详解】（1）证明：连接，，如图所示， ∵， 又，， ， ， 平分． （2）解：由（1）得平分， ∵ ， ， ， ， 连接，，如图所示， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ， ． 23．（2026·河北邯郸·三模）如图，在中，，，，以为直径作半圆．将半圆以点为中心顺时针旋转，旋转角为，半圆弧与交于点． (1)如图2，当时， ①求的长； ②求半圆被所截的弓形面积． (2)当的长与的长相等时，求的度数． (3)若半圆与重合的弧长恰好为半圆弧的一半时，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】（1）①连接，由旋转的性质可得，，由圆周角定理可得，使用三角函数计算出，进而得到； ②由勾股定理可得，计算得，则．由直角三角形的性质可得，则，用扇形面积减去三角形的面积即可； （2）连接，同理（1）可得，则，利用长度相等构造方程，求解即可； （3）分两类讨论，当半圆弧与相交时，连接，容易证明是等腰直角三角形，则；当半圆弧与相交时，设交点为，连接，同理，则． 【详解】（1）解：①如图，连接， 由旋转的性质可得，，， ∵是半圆的直径， ∴， 在中，， ∴； ②如图，连接， 在中，点是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 同理（1）可得，， ∴， ∵的长与的长相等， ∴， 解得； （3）解： ①当半圆弧与相交时，如图，连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②当半圆弧与相交时，如图，设交点为，连接， 同理①可得，是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴； 综上所述，的度数为或． 24．（2026年河北唐山市曹妃甸区初中学业水平考试数学模拟试卷（一））如图1～图3，是半圆的直径，且，是半圆的弦（点，可分别与点，重合），将半圆沿直线翻折． (1)当点与点重合，且时，如图1．求劣弧的长； (2)当时，如图2，过点作，垂足为点，折叠后的劣弧恰好经过的中点，连接，求的值； (3)若折叠后的劣弧与直径切于点，且点是半径的中点，如图3，求折痕的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，求出，即可求出劣弧的长； （2）设的延长线与圆的交点为，连接，由折叠的性质得得，利用勾股定理求出，然后利用正切的定义即可求解； （3）设折叠后的圆弧所在的圆的圆心为，连接，设与的交点为，由勾股定理求出，得出，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设的延长线与圆的交点为，连接，如图， ∴， ∵， ∴，， 根据折叠的性质，得， ∵折叠后的劣弧恰好经过的中点， ∴， ∴， ∴， ∵在中，由勾股定理，得， ∴． （3）解：设折叠后的圆弧所在的圆的圆心为，连接，设与的交点为，如图3， 由折叠可知：，，，， ∵折叠后劣弧与直径切于点， ∴， ∵点是半径的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $