专题04 二次函数与几何压轴综合十一大题型突破-2026-2027学年人教版 九年级数学上册全册高频考点题型归纳与满分必刷题

专题04 二次函数与几何压轴综合十一大题型突破 【题型01 ：二次函数与角问题】 【题型02 ：二次函数与线段问题】 【题型03：二次函数与面积综合】 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】 【题型09：二次函数的其他问题】 【题型10：二次函数种的新定义问题】 【题型11：二次函数与全等三角形存在性问题】 【题型01 ：二次函数与角问题】 1．如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当点P在x轴上方时，取点，连接，可证明，推出，则点P在射线上，求出直线的解析式为，联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可；当点P在x轴下方时，取点，连接，同理可证明点P在射线上，联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于，两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，当点P在x轴上方时，取点，连接， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在x轴下方时，取点，连接， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为且图象经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或． 【分析】（1）将点和点坐标代入求解即可； （2）分两种情况讨论，当点E在上方的抛物线上，当点E在下方的抛物线上，画出图形，根据∠分情况求解即可． 【详解】（1）解：由条件可得， 解得， 抛物线； （2）解：当点E在上方的抛物线上，如图， 当时，， 则， 设直线表达式为，则由题意得： ， 解得： ∴直线表达式为， 由条件可知， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去）或， ∴点的坐标为； 当点E在下方的抛物线上，如图，设交于点G， 由条件可知， 设，则， 解得， 则， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为，联立， 解得（舍去）或， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 3．已知：如图，二次函数与x轴交于点A，B，点A在点B左侧，交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限的抛物线上有一点D，连接，若，求点D坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点D作于点E，可证明是等腰直角三角形，得到；求出设，则，则可得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数与y轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过点D作于点E， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； 在中，当时，， 解得或， ∴ 设，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 4．已知二次函数，其图象过点． (1)求二次函数的解析式 ； (2)当时，求二次函数的最大值； (3)将抛物线向下平移个单位后，如图所示与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，连接，抛物线上存在点Q，使得．请求出直线的解析式． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质及平移，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据待定系数法求出解析式，再根据对称轴公式即可得出答案； （2）求出抛物线的对称轴为直线，可得当时，y随x的增大而减小，即可得出答案； （3）分两种情况：当点在轴下方的抛物线上时；当点在轴上方的抛物线上时；先画出图形再根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：将点代入得： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y的值最大，为 即当时，二次函数的最大值为； （3）解：由已知可得二次函数解析式为：， 则点，点，， 当点在轴下方的抛物线上时，在的延长线上取一点，使，连接，若与抛物线有交点，设与抛物线交于点，过点作轴于轴于， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， 设的解析式为：， ， 解得：， 的解析式为：， 当点在轴上方的抛物线上时，延长到，使，连接并延长交轴于，若与抛物线有交点， 设交抛物线于点， 轴，， ， 同理可得，直线的解析式为：， 综上所述直线的解析式为：和． 【题型02 ：二次函数与线段问题】 5．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)设点Q是线段上的动点，作直线轴于点D，交抛物线于点E，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，二次函数的最值问题，利用数形结合思想解决问题是本题的关键． （1）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）求出直线解析式为，设点，则点，根据二次函数的最值求法，可求的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴点， 设直线解析式为， ∵直线过点，， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 设点，如图， 则点， ， ∵， 当时，有最大值，最大值为． 6．如图，直线与x轴、y轴分别交于点B，A，抛物线经过点A， (1)求抛物线的解析式； (2)为直线上方抛物线上一点，过点P作轴交直线于点D，求线段的最大值及此时点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)线段的最大值为及此时点的坐标为 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，二次函数的解析式求解，二次函数的最值问题和函数图象上点的坐标关系． （1）根据一次函数，分别令和，求出直线与轴、轴的交点、点的坐标，然后根据抛物线经过点、，将这两点坐标代入抛物线解析式得出方程组并求解得出抛物线解析式即可； （2）设点的坐标为，由于轴交直线于点，得到点横坐标为，代入直线得出点坐标，然后用点纵坐标减去点纵坐标求出线段长度的解析式，然后将其化为顶点式得出当时，取得最大值，最大值为，最后将代入抛物线解析式求出点纵坐标即可． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于点、， 当时，，解得， 当时，，解得， ，． 抛物线经过点，， 将点，代入， 得， 解得， 抛物线解析式为， 即． （2）解：设点的坐标为， 轴交直线于点， 点的坐标为， ， 将整理成顶点式可得 该二次函数图象开口向下，当时，取得最大值，最大值为． 将代入抛物线解析式得， 点的坐标为． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y 轴交于点C，点P为直线上方抛物线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)过点作y轴的平行线交于点M，求线段时点的坐标； (3)过作轴，交于M，当的值最大时，求的坐标和的最大值． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为和的最大值为 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据抛物线的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，则，再根据建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （3）设点的坐标为，则点的坐标为，先求出，再利用二次函数的性质求出最小值，由此即可得． 【详解】（1）解：当时，， 解得或， ∵抛物线与轴交于点和点，在的左侧， ∴，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为． （2）解：设点的坐标为， 由（1）可知，， ∵点为直线上方抛物线上一动点， ∴， ∵过点作轴的平行线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． （3）解：由题意，设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，当时，的值最大值，最大值为， 此时， 综上，点的坐标为和的最大值为． 8．已知关于x的二次函数． (1)若该函数图象经过． ①求a的值； ②设抛物线与x轴正半轴交于点B，交y轴于点C，点P是直线上的动点，求的最小值． (2)在时，该函数的最大值与最小值之差为12，求a的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、待定系数法求函数表达式、点的对称性等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏． （1）①将点代入抛物线表达式即可求解； ②点B关于函数对称轴的对称点为点A，连接交于点P，则点P为所求点，进而求解； （2）当时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在时取得最大值，当时，当时，，则，即可求解，当时，同理可解． 【详解】（1）①将点代入抛物线表达式得：，解得； ②由①知，抛物线的表达式为，对称轴为， 设抛物线与x轴的另外一个交点为A， 令，解得， 故点A、B的坐标分别为， 令，解得，， 由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线，即点P在函数的对称轴上， ∵点B关于函数对称轴的对称点为点A，连接交于点P，则点P为所求点， 即为最小， 故的最小值； （2）抛物线的对称轴为直线， 则比距离对称轴更远， 当时，抛物线开口向上，则抛物线在时取得最小值，在时取得最大值， 当时，最小值为， 当时，最大值为， ∵该函数的最大值与最小值之差为12， ∴，解得 当时，抛物线开口向下，则抛物线在顶点处取得最大值，在时取得最小值， ∵该函数的最大值与最小值之差为12， ∴，解得； 故． 【题型03：二次函数与面积综合】 9．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)在直线的下方的抛物线上，是否存在点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标是时，有最大面积，最大面积是． 【分析】（1）根据直线的解析式求出点、的坐标，再根据抛物线的对称性求出点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）根据抛物线的对称轴是，可以求出抛物线的最小值为，最大值为，即可得到的取值范围； （3）过点作直线轴，交直线于点，设点的坐标是，即可得到点的坐标为，根据三角形的面积公式可得：，根据二次函数的性质可知当点的坐标是时，有最大面积，最大面积是． 【详解】（1）解：当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， 设点的坐标是， 抛物线的对称轴为直线， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 当时，可得：， 点的坐标是， 把点、、的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线有最小值，最小值为， 当时，， 当时，， 当时，； （3）解：设点的坐标是， 如下图所示，过点作直线轴，交直线于点， 则点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 整理可得：， 当时有最大面积，最大面积是， 此时，即点的坐标是． 10．如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线． (1)求顶点的坐标及抛物线的函数表达式； (2)求的面积． 【答案】(1), (2)3 【分析】（1）利用抛物线对称性求出另一个x轴交点，设交点式代入B点求解析式，再代得顶点C． （2）求出直线，用对称轴截出线段作底，以水平距离为高算出面积． 【详解】（1）解：根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的两个交点的对称轴即为， 设另一个交点为，则有，解得， ∴抛物线与x轴的交点为、， ∴设抛物线交点式为， 又∵抛物线过点， 代入、有，解得， ∴抛物线解析式为， ∵点C为顶点，即代入有， 故． （2）解：记对称轴与交于点M， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴ ． 11．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)填空：__________，__________； (2)设为此抛物线的对称轴上一点，当的面积等于的面积时，求点坐标； 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）因为抛物线过A、B两点，所以将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可求出m、n的值． （2）设直线交对称轴于点M，令代入抛物线解析式即可得到C点坐标；以为底，为高，用三角形面积公式计算的面积，将抛物线化为顶点式得对称轴，求出直线的解析式，得到点Ｍ坐标，由写出其表达式，根据，得到关于的方程，解方程求出的值，即可得到D点坐标． 【详解】（1）解：把，代入，得：， 解得； （2）解：， ∴此抛物线的对称轴是直线， 当时，， ， 设直线的表达式为，直线交直线于点M， 把，代入，得： ， 解得：， ∴直线的表达式为， 当时，， ， ，，， ， ， ∵的面积等于的面积， ， ， ∴，， 或． 12．如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）由题意易得，，然后根据待定系数法进行求解即可； （2）连接，由题意易得，，设点，且，然后可得，进而根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线得：，解得：， ∴， 把代入直线得：， ∴， ∵抛物线经过，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图所示： ∴， ∵，， ∴，， 设点，由题意知， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，此时点的坐标为． 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】 13．如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 【分析】本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求法，平行四边形的性质． （1）根据二次函数解析式写出对称轴方程即可； （2）根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线； （2）解：存在， 令，则， 令，则， ∴， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， 设， 当为对角线时，， 解得：， ， 当为对角线时，则， 解得：， ， 当为对角线时，则， 解得：， ， 综上所述，P点坐标为或或． 14．如图，抛物线经过点，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在．求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或和 【分析】（1）首先求出，然后利用求出，然后利用待定系数法求解； （2）首先求出抛物线的对称轴为直线，设，然后分三种情况讨论，分别根据平行四边形的性质和中点坐标公式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， ， ， ， ， 把，代入得，， ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵，， ①当是平行四边形的对角线时， ∴， ∴， ∴； ②当是平行四边形的对角线时， ∴， ∴， ∴； ③当是平行四边形的对角线时， ∴， ∴， ∴； 综上，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，或和． 15．如图，抛物线经过、两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m（），连接、、、． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当的面积等于的面积的4倍时，求m的值． (3)当时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)或或或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，平行四边形，三角形的面积，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将点，代入，即可求解析式； （2）过点作轴交于点，求出的直线解析式，设，则，根据列方程即可求的值； （3）设，，分三种情况讨论：①当和为平行四边形对角线时；②当和为平行四边形的对角线时；③当和为平行四边形的对角线时，因为平行四边形对角线互相平分，所以对角线中点重合，根据中点公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入， ， ， ； （2）解：令，则， ， ， ， ， ， 的面积是的面积的4倍， ， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为，代入 ， ， ， ，则， ， ， ， 即 ， （3）解：存在点使得以点A，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ， ， 设，， ∵平行四边形对角线互相平分， ∴对角线中点重合， ①当和为平行四边形对角线时， 此时， 或， 或（舍去）； ②当和为平行四边形的对角线时， 此时， 或， 或（舍去）； ③当和为平行四边形的对角线时， 此时， 或， 或； 综上所述：点的坐标为或或或． 16．如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，连接，，P为抛物线上一动点(不与点A,B重合)，图中虚线是抛物线对称轴．    (1)求该二次函数的解析式； (2)当点在上方时，连接，，求的最大值； (3)点M在抛物线的对称轴上，连接，是否存在点M，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点M的坐标为或或 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出直线的解析式为，过点P作轴于点C，交于点D，设点P的横坐标为，则，根据，结合二次函数的性质，即可得出答案； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，设点M的坐标为，点P的坐标为，分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据中点坐标公式列出方程组，解方程组，得出点M的坐标即可． 【详解】（1）解：， ， 将代入得： ， 解得：， ∴二次函数解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将代入得：， ∴直线的解析式为， 如解图，过点P作轴于点C，交于点D，    设点P的横坐标为， 则， ， ， ∴当时，取得最大值，最大值为； （3）解：存在； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点M的坐标为，点P的坐标为， 由已知可知：， 当为对角线时，， 解得：， ∴此时点M的坐标为； 当为对角线时，， 解得：， ∴此时点M的坐标为； 当为对角线时，， 解得：， ∴此时点M的坐标为； 综上：点M的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，平行四边形的性质，中点坐标公式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】 17．综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】本题考查待定系数法求解析式，两点间距离公式，菱形的性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）分别把，代入一次函数，求出点C，点A的坐标，将点A，C的坐标代入抛物线，求出b，c的值，即可解答； （2）由题意可得点M，E，D的横坐标相同，因此得到点，点，根据两点间距离公式即可解答； （3）根据菱形的邻边相等分三种情况：①；②；③求解即可． 【详解】（1）解：将代入一次函数，得， 点C的坐标为， 将代入一次函数，得，解得， 点A的坐标为， 将点A，C的坐标代入抛物线， 得，解得， 这个二次函数的解析式为． （2）解：∵过点作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点， 点，点， ， （3）存在．如图，以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形时，分以下三种情况： 由（）可得，点，，， ， ， ， ①当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为； ②当时，， 解得，舍去， 此时点M的坐标为； ③当时，， 解得，（舍去），（舍去）， 此时点M的坐标为． 综上所述，存在满足题意的点F，此时点M的坐标为或或． 18．如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标； (3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为9，此时点P的坐标为； (3)或或或 【分析】1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）连接，设点P的坐标为，再由四边形面积，结合二次函数的性质解答，即可求解； （3）设点F的坐标为，分两种情况： 当为边，为对角线时，；当为边，为对角线时，，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点， ∴， 当时，， ∴点， ∴， 如图，连接， 设点P的坐标为， ∴四边形面积 ， ∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值为9， 此时点P的坐标为； （3）解：∵点， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 19．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）因为抛物线经过点，两点，所以由待定系数法即可求解； （2）先待定系数法求出直线的表达式为：，再由四边形的面积，即可求解； （3）分两种情况：①当为边，为对角线时；②当为边，为对角线时，根据菱形的性质即可求解． 【详解】（1）抛物线经过点，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：由抛物线的表达式知，点，其对称轴为直线，点， 连接交直线于点， 设直线的表达式为 把，代入 得 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点， 则， 则四边形的面积 ； （3）解：由（2）得抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， ①当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或； ②当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或， 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 20．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B，C三点的坐标． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在；或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数图象和性质、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和待定系数法是解题的关键． （1）分别令，，即可求出三点的坐标； （2）根据三点的坐标求直线的函数表达式，根据直线的表达式设点D的坐标为，然后分为四边形是菱形和四边形是菱形两种情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：对于来说， 当时 ，； 故点， 当时，有， 解得：， ∴，； （2）解：存在： 设直线的表达式为：； 将，代入得： ， 解得： 故直线的表达式为： ； 设点D的坐标为，其中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴当时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或； 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】 21．如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或，当点的坐标为时，原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可 （2）设，分三种情况讨论：①以为对角线时，由，求出m的值，再由中点坐标公式，求得，则平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；②以为对角线时，点P在x轴上，则，从而求得，则平移的方向为向左平移1个单位长度；③以为对角线时，矩形不存在 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，点的平移性质是解题的关键 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，． 将，代入， 得解得 抛物线的表达式为， ， 顶点的坐标为； （2）存在． 如图，设． ①以为对角线． 此时，，， ， 即，解得． ，为矩形的对角线，由中点坐标公式，得， 平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度． ②以为对角线． ，点在轴上， ，则， 平移的方向为向左平移1个单位长度． ③以为对角线时，矩形不存在． 综上所述，点的坐标为或，当点的坐标为时， 原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度； 当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 x 轴于、两点，交 y 轴于点 C．一次函数与抛物线交于 A 、D 两点，交y 轴于点 E ． (1)求抛物线的解析式； (2)若点 P 是第四象限内抛物线上的一动点，过点 P 作 轴交 于点 M，求出 的最大值及相应的点 P 的坐标； (3)将抛物线沿着射线 AE 方向平移了个长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线 交于 R 点，点 H 是原抛物线对称轴上一动点，在平面内是否存在 N 点，使得以点 A、 R、H、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)取得最大值9，点 (3)点N的坐标为或或或 【分析】（1）根据题意将点坐标代入求解即可； （2）根据题意求得一次函数解析式，即可判定为等腰直角三角形，得到为等腰直角三角形，则，设点，则点，有化简得到二次函数求最值即可； （3）根据题意可知抛物线沿着x轴和y轴正方向各平移1个单位，得到新的抛物线为，即可得到点，即可设点H的坐标为，设点N的坐标为，可知A，R两点在对称轴两侧，若以为矩形的边，过A，R两点作的垂线与对称轴的交点即H点，H点在直线上面时当A点平移至R点时，H点平移至N点，H点在直线下面时当A点平移至R点时，N点平移至H点，根据平移性质和矩形对角线相等建立方程组求出N点坐标；若以为矩形的对角线，则线段的中点坐标和线段的中点坐标重合且，由此建立方程组求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交 x 轴于、两点， ∴，解得， 则抛物线的解析式； （2）解：∵一次函数过点， ∴，解得， 则一次函数解析式， ∴点， ∴， 则为等腰直角三角形， ∵轴，且设与x轴交于点H，如图， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设点，则点， ∴ ， 当时，取得最大值9，点； （3）解：∵抛物线沿着射线 AE 方向平移了个长度得到新的抛物线， ∴抛物线沿着x轴和y轴正方向各平移1个单位， ∴新的抛物线为， 联立得，解得， 则点， 由原抛物线的表达式知，其对称轴为直线，故设点H的坐标为，设点N的坐标为， ①当是边时， 点A向右平移3个单位向下平移3个单位得到点R， 则点向右平移3个单位向下平移3个单位得到点，且， 即或， 解得：或 故点N的坐标为或； ②当是对角线时， 由中点坐标公式和得： ，解得或， 故点N的坐标为或． 综上，点N的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，勾股定理解直角三角形，二次函数的性质，矩形的性质和坐标的平移；根据平移特征和矩形性质列出方程组是解题关键． 23．如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分． (1)①线段的长为_______． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，对称轴，勾股定理，矩形的性质，解本题的关键是用角平分线得到直线解析式． （1）①令，求出抛物线与轴的交点坐标； ②根据抛物线解析式确定出对称轴，和轴交点坐标； （2）先设出点的坐标，分两种情况计算，利用矩形的对角线互相平分来确定出点的坐标，再用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：①令，则， 或， ，， ， 故答案为：； ②二次函数， ，对称轴， ， 平分， 点关于轴的对称点，在直线上， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，， 点是抛物线和直线的交点， ． （2）解：设， ，． 以、、、为顶点的四边形是矩形， ①以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去，或， ， ②以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去或 ， ③以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ，此方程无解， 即：存在，或． 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】 24．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点E，已知点B的坐标为，经过点B的直线与抛物线另一个交点D的坐标为，连接． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若点F在x轴上，则当的值最小时，求点F的坐标； (3)若点P是y轴上的一点，使得为等腰三角形，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为；直线的解析式为 (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）可求出，顶点E的坐标为；，作点C关于x轴的对称点G，连接，则，，可证明当三点共线时，有最小值，即此时有最小值；求出直线的解析式，进而求出直线与x轴的交点坐标即可得到答案； （3）求出点A坐标，进而求出的长，再分，和三种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点B和点D的坐标代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴； ∵抛物线解析式为， ∴顶点E的坐标为； 如图所示，作点C关于x轴的对称点G，连接，则，， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点F的坐标为； （3）解：在中，当时，解得或， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，则点P的坐标为或； 当时，∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，设点P的坐标为， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标． 【答案】(1) (2)点B的坐标为或或 【分析】本题考查了利用待定系数法求解函数解析式，以及二次函数与等腰三角形的综合应用. 用待定系数法将两点代入表达式，求出未知系数a，c的值. 设，考虑等腰三角形存在的两种可能情况，利用等腰三角形的性质两腰相等建立等式求解B点坐标. 【详解】（1）解：抛物线经过点，且与y轴交于点. 解得 ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：设． 是以为腰的等腰三角形，∴分以下两种情况讨论： ①当时，点B和点P关于y轴对称． ； ②当时，， ， 整理，得， 解得． 当时，； . 当时，． . 综上所述，点B的坐标为或或． 26．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)；面积最大值为 (3)点M的坐标为，， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质的综合应用，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数的图象和性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）如图，过点P作轴交于点E，先用含m的解析式表示出，再利用二次函数的性质即可得解； （3）分①当时，②当时，两种种情况讨论，即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， 将代入得， 由①②得，，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：令得， ∴，， ∴， 令得， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解方程得， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交于点E， 设P点坐标为，则，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴此时P点坐标为； （3）解：∵对称轴与x轴交于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，、 ①当时， 如图所示有，， ②当时，过点C作， ∵，， ∴， ∴， 综上所述：点M的坐标为，，． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求直线和抛物线的解析式． (2)若是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以三点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式；抛物线的解析式 (2)存在，点M坐标为或或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解解析式即可； （2）先求出抛物线的对称轴为直线，设，可得，，，再分类讨论即可； 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将点，分别代入得： ， 解得： 直线的解析式为； ∵抛物线与轴交于点，，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵，， ∴，， ， 当时， ∴， 解得：， ∴或； 当时， ∴， 解得：， ∴， 综上：点M坐标为或或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数和二次函数的解析式，勾股定理的应用，等腰三角形的定义，二次函数的图象与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】 28．如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或； 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）将点和代入抛物线的函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴，进而设点，利用坐标两点距离公式，得到，再根据是以为斜边的直角三角形，利用勾股定理列方程，求出的值，即可得到点的坐标； 【详解】（1）解：抛物线交轴于，交轴于点， ， 解得：， 抛物线的函数解析式为． （2）解：存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设点， ， ， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 整理得：， 解得：， 存在点使得是以为斜边的直角三角形，点的坐标为或． 29．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，P的坐标是或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，对称性求出点坐标即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 30．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点 (1)求抛物线的表达式； (2)若在抛物线上存在点，使得，是以为直角边的直角三角形，求出所有点的坐标 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，解方程组，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意求出，用待定系数法求函数解析式即可 （2）先求出直线的解析式，分两种情况讨论当时，当时，分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴，， ， 将代入得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：将代入得， ， 直线的解析式为， 抛物线对称轴与轴交于点， 当时，， ， 设，则，，， 当时，由， ， 即， 解方程组得或， 点的坐标为； 当时，， ， 即， 解方程组得或， 点的坐标为或， 综上所述，点的坐标为或或． 31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交轴正半轴于点． (1)求的值及点的坐标； (2)抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)抛物线上存在点，使是以为直角边的直角三角形．点的坐标为或 【分析】（1）根据已知的坐标代入抛物线表达式中即可求出，再根据求出的函数表达式令即可求出点的坐标为． （2）需要分两种情况讨论，当点为直角顶点时，当点B为直角顶点时，先求出直线表达式，再根据直线与抛物线交点计算点的坐标即可． 【详解】（1）解：将代入中， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线交轴正半轴于点， ∴令，则， 解得，， ∴点的坐标为． （2）存在， 当点为直角顶点时，如图， ∵点，点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴点坐标为， 设直线的解析式为， 把点和点分别代入中， 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 直线与抛物线交于点，坐标即为要求的坐标， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴． 当点B为直角顶点时，如图 ∴， 由（1）可知是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴点坐标为 设直线的解析式为， 把点和点分别代入中， 得：， 解得： ∴直线的解析式为， 直线与抛物线交于点，坐标即为要求的坐标， 由题意得：， 解得：（舍去），， 当时，， ∴． 综上所述，抛物线上存在点，使是以为直角边的直角三角形．点的坐标为或． 【题型09：二次函数的其他问题】 32．如图，在平面直角坐标系中，，，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当时，求的取值范围； (3)连接，若二次函数的图象向上平移个单位长度时，与线段有一个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围为________． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3)或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据二次函数的增减性进行求解即可； （3）分3种情况，求出临界点，即可得出结果. 【详解】（1）解：将，代入，得 解得 ， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：抛物线开口向下，顶点坐标为， 对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ， 时，为此时的函数最小值， 当时，函数最大值为， 当时，的取值范围是； （3）解：二次函数的图象向上平移个单位长度后解析式为， 此时顶点坐标为，当顶点落在线段上时， ，解得， 当函数图象向上移动，经过点时，， 解得， 当函数图象经过点时，， 解得， 当或时，函数图象与线段有一个公共点. 33．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)已知当时，函数值的取值范围是． ①求和的值； ②将该抛物线在间的部分记为图象，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，此时将翻折所得部分与未翻折部分组成的新图象记为．设图象的最高点、最低点的纵坐标分别为，，若，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)①，；② 【分析】（1）依据题意，根据函数的对称轴是直线，进而可以得解； （2）①依据题意，由函数对称轴为直线，当时，在时，函数取得最小值，即，在时，函数取得最大值，即，结合函数值的取值范围是，进而可以计算得解； ②根据①可得，得出抛物线的表达式为：，顶点坐标为．求出则时，，设图象折叠后顶点的对应点为，画出对应图形，点是函数所处的位置，图象为区域，根据点，点，求出点，依据题意，分在点下方、上方两种情况分别列不等式求解即可． 【详解】（1）解：已知抛物线， ∴函数的对称轴是直线． （2）解：①由题意，∵函数对称轴为直线，， ∴当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大， 当时，， 当时， 在时，函数取得最小值，即， ∵， ∴在时，函数取得最大值，即， ∵当时，函数值的取值范围是， ∴，， ，； ②根据①可得， ∴抛物线的表达式为：，顶点坐标为． 则时，， 设图象折叠后顶点的对应点为，点是函数所处的位置，图象为区域， ∵点，点，则点， 当点在点下方时，，解得：． ∵函数的最高点为，最低点为， ， ， ； 当点在点上方时，，解得：． ∵函数的最高点为，最低点为， ， ， ∴； ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及了二次函数的对称轴、二次函数的最值、二次函数与翻折问题，解不等式组，掌握数形结合的数学思想是解题关键． 34．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， 是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，拋物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象． (1)求抛物线的解析式； (2)若点位于线段上方，求面积的最大值； (3)若图象的最大值与最小值的差为4，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)的取值范围是或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标与图形，二次函数几何综合，二次函数的最值，以及二次函数图象与性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． （1）利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据二次函数得到点，设直线的解析式为，待定系数法求出直线的解析式，过点作轴，交于点，利用坐标和三角形面积公式求解，得到面积的表达式，再结合二次函数最值，即可解题； （3）根据图象的最大值与最小值的差为4，分情况讨论①当点在点上方时，②当点在点下方时，结合二次函数的最值，以及二次函数对称性求解，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为，与轴交于点； ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 点位于线段上方，点的横坐标为， ， 过点作轴，交于点， ， ， ， 面积的最大值为； （3）解：图象的最大值与最小值的差为4， ①当点在点上方时， ，且， ， 解得或0（舍去）， ， ②当点在点下方时， 此时点在点左侧，不满足题意， 点在点右侧， ， 解得或（舍去）， 综上所述，的取值范围是或． 35．琪琪在学习二次函数之后，想用二次函数的知识解决生活中的实际问题．她观察发现，家中有一款铁艺工艺品（厚度忽略不计），它由两个成轴对称的“花瓣”构成，图1是该工艺品的平面示意图，“花瓣”外边缘可以近似的看成抛物线形，内边缘是线段．如图2，两个“花瓣”公共顶点为O，对称轴为直线，内边缘为线段，淇淇测得外边缘上一点C与O点水平距离为1（）时，C点到对称轴的距离为（），A点与O点水平距离（），A到对称轴的距离为（）． (1)如图3，以O为原点，以直线为x轴，建立平面直角坐标系． ①求出对称轴上方抛物线的解析式； ②点E在抛物线上，且点E到对称轴的距离最大，求点E的坐标； (2)如图3，琪琪想在工艺品上安装4条竖直的铁丝，每条铁丝的两端分别固定在同一花瓣的内、外边缘上，且使得安装后的工艺品仍然关于直线对称．琪琪说：总长的铁丝一定够用（不考虑损耗）．你认为琪琪的说法对吗？并说明理由； (3)琪琪想：若把这个“花瓣”形工艺品平放在一个正方形的托盘中，这个正方形托盘边长的最小值是多少呢？请直接写出这个最小值． 【答案】(1)①，② (2) 解：琪琪的说法对，理由如下： 设直线表达式为， 直线过点， ， 解得， 直线表达式为， ， 在同一花瓣的内、外边缘上安装竖直的铁丝最大长度是， 安装4条竖直的铁丝总长度小于，总长的铁丝一定够用， 所以琪琪的说法正确； (3) 【分析】本题考查的是二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键， （1）①用待定系数法求二次函数表达式即可；②求出二次函数顶点坐标即可； （2）先求出直线表达式为，进而利用二次函数性质求出在同一花瓣的内、外边缘上安装竖直的铁丝最大长度即可解决问题； （3）根据图象得出当直线与抛物线有唯一公共点时正方形边长最小，求出此时直线表达式及点坐标，进而求出正方形对角线长度，再利用三角函数求出正方形边长； 【详解】（1）解：①抛物线过点， 设抛物线的解析式为， 由题意得：， 抛物线过点， ， 解得， 抛物线的解析式为； ②， 点坐标为； （2）略 （3）解：如下图所示，这个“花瓣”形工艺品平放在一个正方形的托盘中时，所需正方形边长最小， 四边形为正方形， ， ， 设， 则， 设直线表达式为， 把代入，， 解得：， 直线表达式为， 由图可知当直线与抛物线有唯一公共点时正方形边长最小， 有两个相等的实数根， 化简方程，得：， ，即， 解得：， 直线表达式为， 当时，，即， 由（1）知，抛物线的顶点坐标， 抛物线的对称轴为直线， 由对称性可知正方形的顶点， 则， 此时所需正方形边长， 这个正方形托盘边长的最小值是． 【题型10：二次函数种的新定义问题】 36．新定义：我们把二次函数与二次函数（其中，且a，b，c均为常数）称之为“相关二次函数”．已知二次函数的图像与轴交于点．二次函数的“相关二次函数”为． (1)的值为___________，的解析式为___________； (2)当时，二次函数上的点与二次函数上的点之间的距离为5，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将代入得到关于m的方程求解即可；根据“相关二次函数”的定义写出的解析式即可； （2）先分别用t表示点P、点Q的坐标，再根据两点间距离为5列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于点， ∴，即，解得：； ∴二次函数， ∴二次函数的“相关二次函数”为． （2）解：由（1）可得，， ∴当时，，， ∵点与点之间的距离为5， ∴，即，解得：或． 37．定义：函数图象上的点，把满足纵坐标是横坐标的2倍的点叫作这个函数的“巧点”，例如是函数的“巧点”：是函数的“巧点”． (1)函数的图象上是否存在“巧点”？若存在，请求出函数的“巧点”；若不存在说明理由； (2)动点分别在直线上，直线过直线的“巧点”，在直线上分别取点，试求的最小值； (3)将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有一个“巧点”，求点的坐标． 【答案】(1)存在， (2) (3) 【分析】本题考查的是二次函数的性质， （1）根据“巧点”定义设“巧点”的坐标为，将其代入计算即可； （2）先求出直线的“巧点”分别为，计算得出，根据二次函数性质求出最值即可； （3）设点，先求出顶点为，进而得出旋转后的函数图象的解析式为，再联立求出t值即可求出结论． 【详解】（1）解：存在．设“巧点”的坐标为，将其代入， 得，解得， “巧点”为． （2）动点分别在直线上， ， 同（1）可得直线的“巧点”分别为， 设直线表达式为， 则， 解得：， ， ， 当时，取最小值，为． （3）设点． ， 其顶点为． 点关于点的对称点为， 旋转后的函数图象的解析式为． “巧点”的纵坐标为横坐标的2倍， 巧点在直线上． 联立， ，令， 解得． ． 38．【定义】若二次函数的顶点在直线上，则此二次函数叫做直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数． (1)若二次函数是直线的开心函数，求k的值； (2)若二次函数是直线的开心函数． ①求用含m的代数式表示； ②若当时，y的最小值为，求m的值． 【答案】(1) (2)①；②或3 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数表达式，新定义等，分类求解是解题的关键． （1）由函数的表达式知，顶点坐标为：，将代入，即可求解； （2）①由函数的表达式知，顶点坐标为：，将代入得：，即可求解； ②当时，则抛物线在时，取得最小值，即，则舍去或3，即；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， 将代入得：， ∴； （2）①∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， 将代入得：， ∴； ②由①知，抛物线的表达式为：，顶点坐标为：， 当时，， 当时，同理可得：， 当，即：时，则抛物线在时，取得最小值， 即，则舍去或3，即； 当，即：时，则抛物线在顶点，取得最小值， 即，则； 当，即：时，时，函数取得最小值， 即，无解， 综上，或 39．新定义：若函数的图象恒过定点那么就称此函数为恒点函数． (1)若函数为恒点函数则________，该函数图象与坐标轴围成图形的面积为________； (2)已知二次函数 ①试判断该函数是否为恒点函数，并说明理由； ②若，当该函数图象的顶点在最高位置时，图象上有两点，且，请直接写出的取值范围________． 【答案】(1)；1； (2)①该函数是恒点函数，理由如下： 将代入， 得， 不论a，b取何值，函数图象恒过， 该函数是恒点函数； ②或 【分析】（1）利用恒点函数过定点代入求，再求出函数与两坐标轴的交点计算三角形面积； （2）①将代入二次函数，验证是否恒为即可判断；②先求出顶点纵坐标，结合得到顶点最高时的参数关系，得到对称轴，再根据开口向上的二次函数的函数值与点到对称轴距离的关系求解的范围． 【详解】（1）解：∵是恒点函数， ∴其图象过点， 将代入， 得 解得， ∴函数解析式为， 令，得， ∴函数与轴交于， 又∵其与轴交于， ∴围成三角形的面积为； （2）解：①略 ②由题意得，的顶点纵坐标为， ，， ∴， 当顶点在最高位置时，即此时的顶点纵坐标最大， 此时 解得， ∴二次函数的对称轴为，且抛物线开口向上， ∴点到对称轴的距离越大，对应函数值越大， ∵点到对称轴的距离为， 又， 点到对称轴的距离大于，即 解得或． 【题型11：二次函数与全等三角形存在性问题】 40．如图，在平面直角坐标系中，二次函数（a、b为常数，）的图象与x轴交于点和点，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，点P是该二次函数图象上第四象限内的动点，过点P作轴于点G，Q是x轴上的点，要使以P、Q、G为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P、Q的坐标． 【答案】(1) (2)当P的坐标为时，Q的坐标为或；当P的坐标为时，Q的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质． （1）将、代入中，解二元一次方程组即可； （2）先根据二次函数解析式求出，进而得，，再分两种情况讨论：①若，如图1，则由可求出P点坐标，进而可求G、Q的坐标；②若，如图2，则由可求出P点坐标，进而可求G、Q的坐标． 【详解】（1）解：将、代入中， 得， 解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：， ， ， ， ，                             ①若，如图1， ， 在中，令得： ， 解得（舍去），， ， ， ；                         ②若，如图2， ， 在中，令得： ， 解得（舍去），， ， ， ． 综上所述，以P、Q、G为顶点的三角形与全等，当P的坐标为时，Q的坐标为或；当P的坐标为时，Q的坐标为或． 41．综合运用：如图，抛物线与x轴交于点，点B，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)如图1，点M是抛物线上一点，且横坐标为m，连接，若，求m的值； (3)如图2，将抛物线平移后得到顶点为B的抛物线，点P为抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点R．当以点P、Q、R为顶点的三角形与全等时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先利用待定系数法求得直线的解析式，分为当M点在x轴上方时，当M点在x轴下方时两种情况求得直线的解析式，再和抛物线联立方程组求解即可； （3）先求得，进而求得平移后抛物线的解析式，设，则，，分当P在Q点上方时和当点P在Q点下方时两种情况，利用全等三角形的性质和坐标与图形性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得． 抛物线所对应的函数解析式为； （2）解：当时，， ∴    ， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当M点在x轴上方时，如图1， ∵， ∴， 则设直线的解析式为， ∵直线经过点C，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， 解得：，（舍去）， ∴； 当M点在x轴下方时，如图1，设直线与y轴的交点为E，则，作E关于x轴对称的点F，则，连接并延长交抛物线于点，此时，则满足题意， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得：，（舍去）， ∴， 综上，m的值为或； （3）解：∵抛物线的图象过点，对称轴为直线， ∴， ∵抛物线平移后得到，且顶点为点B， ∴， 即． 设，则， 由题意，点Q、R关于抛物线的对称轴对称，且对称轴为直线， ∴， ①如图2，当P在Q点上方时， ，， ∵与全等，，，， ∴当且时，且，则， ∴，； 当且时，且，无解； ②如答图3，当点P在Q点下方时， 同理：，， 当且时，且，则， ∴，； 当且时，且，无解； 综上可得P点坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移、坐标与图形、全等三角形的性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，运用数形结合和分类讨论思想是解答的关键． 42．如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围； (3)抛物线的对称轴与轴交于点，点坐标为，试问在该抛物线上是否存在点，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）将，两点的坐标代入解析式可得抛物线的解析式； （2）根据二次函数的性质可求的取值范围； （3）在x轴上方的不存在，点只可能在轴的下方，按照题意，分别求解即可． 【详解】（1）解：将、代入抛物线得： ， 解得：， 抛物线的函数解析式为：； （2）令， 解得：或，即、， 抛物线的对称轴为， ∵， ∴当时，， 当时，函数的最小值为顶点纵坐标的值：， 故的取值范围为； （3）存在 到轴的距离为，由图象可知， 则点在轴下方，点到轴的距离为， 当时，， 解得：或， 点的坐标为或． ∵关于x轴对称 ∴与全等， ∵关于抛物线的对称轴对称 ∴与全等 43．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A、C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是上的点．要使得以P、D、E为顶点的三角形与全等，请求出点P、点E的坐标； 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或或或，或或或 【分析】（1）先求出的坐标，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）过点作垂直于轴交于点，设，，则，由即可求解； （3）抛物线对称轴为直线．，，．设，则，分两种情况当，时，，此时，当，时，，此时，求解即可． 【详解】（1）解：把代入得； 把代入得． ，． 抛物线经过三点， ， 解得． 抛物线的解析式为； （2）过点作垂直于轴交于点，设，则， 则， ， 当时，最大，此时． 当坐标为时，取得最大值． （3）∵， ∴抛物线对称轴为直线． ∵过点P作l的垂线，垂足为D， ∴， ∵， ∴， ∴，． 设，则 当，时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或， ， 或． 当，时，， 此时， 解得或． ∴点坐标为或， ， 或． 综上：点坐标为或或或，或或或． 【点睛】本题考查了二次函数求解析式，二次函数的性质，三角形全等的性质，最值问题等，熟练掌握各知识点，能准确作出辅助线，并结合图形列出相应关系式是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数与几何压轴综合十一大题型突破 【题型01 ：二次函数与角问题】 【题型02 ：二次函数与线段问题】 【题型03：二次函数与面积综合】 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】 【题型09：二次函数的其他问题】 【题型10：二次函数种的新定义问题】 【题型11：二次函数与全等三角形存在性问题】 【题型01 ：二次函数与角问题】 1．如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标． 2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为且图象经过点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图2，连接，，若抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 3．已知：如图，二次函数与x轴交于点A，B，点A在点B左侧，交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限的抛物线上有一点D，连接，若，求点D坐标． 4．已知二次函数，其图象过点． (1)求二次函数的解析式 ； (2)当时，求二次函数的最大值； (3)将抛物线向下平移个单位后，如图所示与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，连接，抛物线上存在点Q，使得．请求出直线的解析式． 【题型02 ：二次函数与线段问题】 5．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)设点Q是线段上的动点，作直线轴于点D，交抛物线于点E，求线段长度的最大值． 6．如图，直线与x轴、y轴分别交于点B，A，抛物线经过点A， (1)求抛物线的解析式； (2)为直线上方抛物线上一点，过点P作轴交直线于点D，求线段的最大值及此时点P的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y 轴交于点C，点P为直线上方抛物线上一动点． (1)求直线的解析式； (2)过点作y轴的平行线交于点M，求线段时点的坐标； (3)过作轴，交于M，当的值最大时，求的坐标和的最大值． 8．已知关于x的二次函数． (1)若该函数图象经过． ①求a的值； ②设抛物线与x轴正半轴交于点B，交y轴于点C，点P是直线上的动点，求的最小值． (2)在时，该函数的最大值与最小值之差为12，求a的值． 【题型03：二次函数与面积综合】 9．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)在直线的下方的抛物线上，是否存在点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由． 10．如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线． (1)求顶点的坐标及抛物线的函数表达式； (2)求的面积． 11．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)填空：__________，__________； (2)设为此抛物线的对称轴上一点，当的面积等于的面积时，求点坐标； 12．如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 【题型04：二次函数与平行四边形存在性问题】 13．如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，抛物线经过点，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在．求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，抛物线经过、两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m（），连接、、、． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当的面积等于的面积的4倍时，求m的值． (3)当时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点A、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，连接，，P为抛物线上一动点(不与点A,B重合)，图中虚线是抛物线对称轴．    (1)求该二次函数的解析式； (2)当点在上方时，连接，，求的最大值； (3)点M在抛物线的对称轴上，连接，是否存在点M，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型05：二次函数与菱形存在性问题】 17．综合运用：如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点C，二次函数的图象经过A，C两点，并与x轴交于点．点是线段上一个动点（不与点O，A重合），过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线相交于点E和点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)用含m的代数式表示，； (3)点F是平面内一点，是否存在以C，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 18．如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标； (3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 19．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B，C三点的坐标． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【题型06：二次函数与矩形存在性问题】 21．如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 x 轴于、两点，交 y 轴于点 C．一次函数与抛物线交于 A 、D 两点，交y 轴于点 E ． (1)求抛物线的解析式； (2)若点 P 是第四象限内抛物线上的一动点，过点 P 作 轴交 于点 M，求出 的最大值及相应的点 P 的坐标； (3)将抛物线沿着射线 AE 方向平移了个长度得到新的抛物线，新抛物线与原抛物线 交于 R 点，点 H 是原抛物线对称轴上一动点，在平面内是否存在 N 点，使得以点 A、 R、H、N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分． (1)①线段的长为_______． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） (2)设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 【题型07：二次函数与等腰三角形存在性问题】 24．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点E，已知点B的坐标为，经过点B的直线与抛物线另一个交点D的坐标为，连接． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若点F在x轴上，则当的值最小时，求点F的坐标； (3)若点P是y轴上的一点，使得为等腰三角形，求点P的坐标． 25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标． 26．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值； (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使是以为腰的等腰三角形，求点的坐标． 27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求直线和抛物线的解析式． (2)若是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以三点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型08：二次函数与直角三角形存在性问题】 28．如图，抛物线交轴于两点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 29．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 30．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点 (1)求抛物线的表达式； (2)若在抛物线上存在点，使得，是以为直角边的直角三角形，求出所有点的坐标 31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，交轴正半轴于点． (1)求的值及点的坐标； (2)抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【题型09：二次函数的其他问题】 32．如图，在平面直角坐标系中，，，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)当时，求的取值范围； (3)连接，若二次函数的图象向上平移个单位长度时，与线段有一个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围为________． 33．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴； (2)已知当时，函数值的取值范围是． ①求和的值； ②将该抛物线在间的部分记为图象，将图象在直线下方的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，此时将翻折所得部分与未翻折部分组成的新图象记为．设图象的最高点、最低点的纵坐标分别为，，若，求的取值范围． 34．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， 是抛物线上的任意一点（不与点重合），点的横坐标为，拋物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图象． (1)求抛物线的解析式； (2)若点位于线段上方，求面积的最大值； (3)若图象的最大值与最小值的差为4，求的取值范围． 35．琪琪在学习二次函数之后，想用二次函数的知识解决生活中的实际问题．她观察发现，家中有一款铁艺工艺品（厚度忽略不计），它由两个成轴对称的“花瓣”构成，图1是该工艺品的平面示意图，“花瓣”外边缘可以近似的看成抛物线形，内边缘是线段．如图2，两个“花瓣”公共顶点为O，对称轴为直线，内边缘为线段，淇淇测得外边缘上一点C与O点水平距离为1（）时，C点到对称轴的距离为（），A点与O点水平距离（），A到对称轴的距离为（）． (1)如图3，以O为原点，以直线为x轴，建立平面直角坐标系． ①求出对称轴上方抛物线的解析式； ②点E在抛物线上，且点E到对称轴的距离最大，求点E的坐标； (2)如图3，琪琪想在工艺品上安装4条竖直的铁丝，每条铁丝的两端分别固定在同一花瓣的内、外边缘上，且使得安装后的工艺品仍然关于直线对称．琪琪说：总长的铁丝一定够用（不考虑损耗）．你认为琪琪的说法对吗？并说明理由； (3)琪琪想：若把这个“花瓣”形工艺品平放在一个正方形的托盘中，这个正方形托盘边长的最小值是多少呢？请直接写出这个最小值． 【题型10：二次函数种的新定义问题】 36．新定义：我们把二次函数与二次函数（其中，且a，b，c均为常数）称之为“相关二次函数”．已知二次函数的图像与轴交于点．二次函数的“相关二次函数”为． (1)的值为___________，的解析式为___________； (2)当时，二次函数上的点与二次函数上的点之间的距离为5，求的值． 37．定义：函数图象上的点，把满足纵坐标是横坐标的2倍的点叫作这个函数的“巧点”，例如是函数的“巧点”：是函数的“巧点”． (1)函数的图象上是否存在“巧点”？若存在，请求出函数的“巧点”；若不存在说明理由； (2)动点分别在直线上，直线过直线的“巧点”，在直线上分别取点，试求的最小值； (3)将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有一个“巧点”，求点的坐标． 38．【定义】若二次函数的顶点在直线上，则此二次函数叫做直线的开心函数．例如：二次函数的顶点为在直线上，所以二次函数是直线的开心函数． (1)若二次函数是直线的开心函数，求k的值； (2)若二次函数是直线的开心函数． ①求用含m的代数式表示； ②若当时，y的最小值为，求m的值． 39．新定义：若函数的图象恒过定点那么就称此函数为恒点函数． (1)若函数为恒点函数则________，该函数图象与坐标轴围成图形的面积为________； (2)已知二次函数 ①试判断该函数是否为恒点函数，并说明理由； ②若，当该函数图象的顶点在最高位置时，图象上有两点，且，请直接写出的取值范围________． 【题型11：二次函数与全等三角形存在性问题】 40．如图，在平面直角坐标系中，二次函数（a、b为常数，）的图象与x轴交于点和点，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，点P是该二次函数图象上第四象限内的动点，过点P作轴于点G，Q是x轴上的点，要使以P、Q、G为顶点的三角形与全等，求满足条件的点P、Q的坐标． 41．综合运用：如图，抛物线与x轴交于点，点B，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为点． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)如图1，点M是抛物线上一点，且横坐标为m，连接，若，求m的值； (3)如图2，将抛物线平移后得到顶点为B的抛物线，点P为抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线于点R．当以点P、Q、R为顶点的三角形与全等时，请直接写出点P的坐标． 42．如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围； (3)抛物线的对称轴与轴交于点，点坐标为，试问在该抛物线上是否存在点，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 43．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A、C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)点P是抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是上的点．要使得以P、D、E为顶点的三角形与全等，请求出点P、点E的坐标； 1 学科网（北京）股份有限公司 $