专题07 旋转 重难点七大题型突破- 2026-2027学年人教版九年级数学全册

专题07 旋转重难点七大题型突破 【题型1：利用旋转的性质求解】 【题型2：旋转中的规律探究】 【题型3：手拉手模型】 【题型4：“半角”模型】 【题型5：构造旋转模型解题 】 【题型6：奔驰模型】 【题型7：费马点模型】 【题型1：利用旋转的性质求解】 1．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：由旋转可知，，， ． 2．如图，将绕点C旋转，得到，过点A作．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质可得，可得，即可求得． 【详解】解：将绕点C旋转，得到， ， ，即， ， ． 3．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．当点，，在同一条直线上时，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由旋转的性质可得，，求出，再结合计算即可得出结果． 【详解】解：由旋转的性质可得，， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，连接，点，，恰好在同一直线上．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由旋转的性质得到，则可得，再求出，据此可得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．将绕点C逆时针旋转，得到，点A的对应点恰好落在边上，下列结论不正确的是（     ） A．若，则 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质可得到，，，，以此为基础推导其余结论．因为，所以是等腰三角形，可得与的关系。根据等腰三角形内角和关系，结合已知的度数推导旋转角的大小．因为点、、共线，所以，结合前面得到的角的等量关系，可推导和的数量关系．因为题目未给出的相关确定条件，所以判断该选项是否存在确定性，其余选项结合上述推导验证是否成立． 【详解】由旋转的性质可得， ∴， 当时，， ∴； A正确； B正确； 根据现有条件无法得到， C不正确； ； D正确． 【题型2：旋转中的规律探究】 6．如图，在直角坐标系中，边长是1的等边的顶点与原点重合，边与轴重合，把 绕点按逆时针方向旋转，同时边长增加1，得到 ，称为第1次操作；第2次操作（把绕点按逆时针方向旋转，同时边长增加1）得到 第3次操作（把 绕点 按逆时针方向旋转，同时边长增加1）得到． ，按此规律操作下去，第2024次操作得到 ，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形的变化−旋转，根据题意得出点坐标变化规律，再得出点的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：如图，分别过点B，作x轴的垂线，交x轴于E，F， 则，， ∴，，， ∴， ∵，，每操作1次，三角形的边长增加1， 则第2024次操作得到的在第一象限，且边长为2025， ∴． 7．如图，直角三角形，点、在直线上，将绕着点顺时针转到位置①，得到点，点在直线上，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，点在直线上，…，按照此规律继续旋转，直到得到点，则（    ） A．674 B．8093 C．8097 D．8100 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，以及图形的规律问题，根据题意可知，旋转三次为一组，得到的长度依次增加，，，即可得出答案． 【详解】在中，， ，，， 将绕着点顺时针转到位置①，得到点，此时， 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点， 此时， 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，得到点， 此时， ∴旋转三次为一组， ， ． 故选：C． 8．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，……，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，每旋转一次后等腰直角三角形的直角边长度就会扩大两倍，据此可确定点的横、纵坐标的绝对值，而点所在的象限是每旋转4次循环一周的，据此确定点所在象限，最终确定的坐标． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ， 又∵在第一象限， ∴， 由题意可得：，，，……， ∴得到等腰直角三角形时，， ∵在第四象限，在第三象限，在第二象限，在第一象限，……， ∴每顺时针旋转4次循环一周， ， ∴点在第一象限内， 点． 9．如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点，，，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，再将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，依次规律，多次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形的旋转、菱形的性质、勾股定理，根据旋转角是可知菱形绕点旋转，每旋转次，菱形就会回到开始的位置，所以旋转次就是旋转了个循环后，又旋转了次，根据旋转角和旋转方向画出图形，延长交轴于点，过作轴的垂线交轴于点，利用勾股定理求出，再根据点所在的象限确定点的坐标． 【详解】解：， 菱形绕点旋转，每旋转次，菱形就会回到开始的位置， ， 绕点旋转次后，菱形的位置如下图所示： 延长交轴于点，过作y轴的垂线交y轴于点， 根据题意可知，， 轴，， 是等腰直角三角形， 设， 则有， ， 解得：， ， 则， 点在第二象限， 点的坐标为， 故选：D． 【题型3：手拉手模型】 10．如图①，在中，，，点分别在边上，，连接．将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为． (1)如图②，当时，连接，填空：与的数量关系为______；与的位置关系为：______； (2)当时，与交于点F，（1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图③写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)当旋转到时，请画出图形并求出的长． 【答案】(1)； (2)解：结论还成立，证明过程如下： 由题意得，，，， ∴ ∴， ∴，； 如图所示，设与交于点G， 同理可证明， ∴， ∴结论仍然成立； (3)或 【分析】（1）证明，得到；延长交于点T，由旋转的性质可得点E在上，可证明，得到； （2）证明，得到，；设与交于点G，同理可证明，则，结论仍然成立； （3）分图4和图5两种情况，通过勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴， ∴； 如图所示，延长交于点T，由旋转的性质可得点E在上， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图4，延长交于H， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； 如图5，过D作于点H， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 综上所述，的长为或． 11．按要求解答： (1)【问题发现】在数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，是等腰直角三角形，，，点在上，连接，探究，，之间的数量关系．王林思考片刻后，利用手拉手模型解答问题如下： 如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，易证，，，，在中，，由，，可得 ，则，，之间的数量关系为______； (2)如图3，当点在线段的延长线上时，请问(1)中的结论还成立吗？请作出判断，并写出你的推导过程． 【答案】(1) (2)解：（1）中的结论仍然成立．推导过程如下： ∵，， ∴， 如图，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接 ∴，． ∵点在线段的延长线上， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，． ∵点在线段的延长线上， ∴， ∴， ∴在中，， ∵中，，， ∴， ∴， 即（1）中的结论仍然成立． 【分析】（1）由题面给出的推导：、、，用勾股定理即得数量关系； （2）旋转性质不变，仍能证得、，由得，勾股定理即得结论仍成立． 【详解】（1）解：由题意，，得，， ∴在中，(勾股定理)， ∵， ∴， ∴，，之间的数量关系为． （2）略 12．综合探究 (1)如图1，已知正方形和正方形中，点，，在同一直线上，连接，，则和的数量关系为__________，位置关系为__________； (2)如图2，将图1中的正方形绕点按顺时针方向旋转一定角度，旋转角为，和交于点．试判断和的数量和位置关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，，则长为__________． 【答案】(1)， (2)解：，，理由如下： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，设和交于点， 由对顶角相等得：， ∴，即， ∴． (3) 【分析】（1）先证出，则，，再延长，交于点，得出，由此即可得； （2）先证出，则，，再设和交于点，得出，由此即可得； （3）先求出的长，，再得出点在上，点与点重合，则，在中，利用勾股定理可得的长，进而可得的长，然后根据即可得． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长，交于点， 由对顶角相等得：， ∴，即， ∴， ∴和的数量关系为，位置关系为． （2）解：略． （3）解：如图，连接，交于点， ∵四边形和四边形都是正方形，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴如图，点在上，此时点与点重合， ∴， ∴在中，， ∴， 同理可得：， ∴． 【题型4：“半角”模型】 13．如图1：在四边形中，，，，分别是上的点，且 (1)小王同学探究此问题的方法是：把绕点A逆时针旋转，得到，证明，可得出三者间关系是_______________； (2)【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，如果成立，请说明理由； (3)【学以致用】如图3，四边形是边长为的正方形，，求的周长． 【答案】(1) (2)解：结论仍然成立． 理由如下：延长到点使，连接，如图所示： ， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； (3) 【分析】（1）根据两个三角形全等的判定与性质，证明，推出，即可得到三者间的关系； （2）延长到点使，连接，如图所示，同（1）求解即可； （3）将绕着点顺时针旋转到，如图所示，由旋转性质和正方形性质得到点三点共线，均在直线上，再由三角形全等的判定与性质得出，最后数形结合表示出的周长，代入相关线段长度计算即可． 【详解】（1）解：把绕点A逆时针旋转，得到，如图所示： ， ∵， ， ∴点在同一直线上， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ； （2）略 （3）解：将绕着点顺时针旋转到，如图所示： ，则，，， 在正方形中，，， 则， ，即点三点共线，均在直线上， ， ，则， ， 在和中， ， ∴， ， ，， ． 14．问题：如图①，点分别在正方形的边，上，，试判断，，之间的数量关系． (1)【发现证明】 小强把绕点逆时针旋转至的位置，从而发现． (2)【类比引申】 如图②，在四边形中，，，，点，分别在边上，则当与满足______关系时，仍有，请说明理由； (3)【探究应用】 如图③，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形，已知，，，，道路上分别有景点，且，，现要在之间修一条笔直的道路，这条道路的长______． 【答案】(1) 证明：如图（），在正方形中，； 由旋转得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； (2) 当时，仍有，理由如下： 如图（），延长至，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， 故答案是：； (3) 【分析】）由旋转的性质可得，得到，，，进而得到，即得到，得到，据此得到，即可求证； （）延长至，使，连接，证明，得到，，再根据，可得，进而证明，即得到； （）如图，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，可得是等边三角形，得到，又由旋转的性质得到，可得，点在的延长线上，则可得，由勾股定理求得，进而可得，即可得，得到，，最后得到，根据（）结论即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，则， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 根据旋转的性质得到，， ∵， ∴，即点在的延长线上， 在中，， ∴，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴根据（）结论有， 即这条道路的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角直角三角形性质，勾股定理，正确作出辅助线并证明三角形全等是解题的关键． 15．综合与实践 探究方法：如图1，在正方形中，已知，，点E、F分别在、上，． （1）如图1，把绕点A逆时针旋转至，直接写出线段、和之间的数量关系； 方法迁移： （2）如图2，在四边形中，已知，，点E、F分别在、上，，若、都不是直角，但满足，（1）的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； 问题应用与拓展： （3）如图1，若，，则______； （4）如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，若，则的长为______． 【答案】（1）； （2）成立， 理由：如图，把绕点旋转到，使和重合， 则，，， ， ， 、、在一条直线上， 与（1）同理得，， 在和中， ， ， ， ， ； （3）6；（4）5 【分析】（1）根据旋转的性质得出，，，求出，证，根据全等三角形的性质得出，即可求出答案； （2）结合（1）中证明过程即可求解； （3）设，则，，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； （4）作旋转后的三角形，根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出，，根据旋转的性质得出，，，求出，证，根据全等得出，设，则，，根据勾股定理得出方程，求出即可． 【详解】解：（1）把绕点逆时针旋转至，使与重合， ，，，， ， 、、共线， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （2）略 （3）设，则，，由（1）得， 在中，，即， 解得，（舍去）； 即； （4）中，，， ， 由勾股定理得：， 如图，把绕点旋转到，使和重合，连接． 则，，， ， ， ， 在和中， ， ， 设，则， ， ， ，， ， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用．运用类比的思想；首先在特殊图形中找到规律，然后再推广到一般图形中，对学生的分析问题，解决问题的能力要求比较高． 【题型5：构造旋转模型解题 】 16．按要求解答下列问题： (1)如图①，在中，，，为上一动点，连接，若，则的最小值是_________． (2)如图②，在中，，，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，，求证：． (3)如图③，在矩形中，连接，，，点为线段上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，，取的中点记为，连接， 选做一：求的最小值． 选做二：当最小时，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)证明：由旋转得，， ∵，， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， 在中，， 在等腰中， ∴； (3)选做一：最小值为；选做二：当最小时，四边形的面积为 【分析】（1）根据垂线段最短及含度直角三角形的性质，即可求解； （2）利用等腰三角形的性质及旋转的性质证明即可求解，进而证出为直角，最后结合勾股定理和等腰直角三角形的斜边平方关系完成等式证明； （3）选做一：在线段上取点，且，连接，，取的中点，连接，先证明得，则，由三角形中位线定理得，则可确定点的运动路径，根据垂线段最短可求得的最小值；选做二：当取最小值时，利用全等三角形面积相等，将的面积转化为的面积计算；再结合等腰直角三角形的性质求出的面积，两部分面积相加即可得到四边形的面积． 【详解】（1）解：当时，最短， 此时在中，，， ∴， 即的最小值为； （2）略； （3）解：选做一： 如图，在线段上取点，使，连接，，取的中点，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴，即， 在与△中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点、分别是线段、的中点， ∴， ∴， ∴点的运动路径是以为其中一个端点的线段，该线段在下方，与所夹的钝角为， 当时，取得最小值， 如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 则， ∴， ∵，， ∴， ∵当取得最小值时，， ∴点在线段上， ∵是的中点，，， ∴，， ∵， ∴由勾股定理得， 即最小值为； 选做二： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 17．如图，将两块含的三角尺的直角顶点叠放在一起，，． (1)若，则______；若，则______； (2)猜想与的大小有何数量关系；并说明理由； (3)若一开始将三角形与三角形完全重合（与重合），保持三角形不动，将三角形绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为秒，在旋转的过程中，为何值时． 【答案】(1)，； (2)解：，理由如下： ， ， ， 即． (3)为12或48时． 【分析】本题考查了旋转以及平行线的性质： （1）是两个角之和减去重合部分的角度； （2）利用来求解即可； （3）分情况讨论，利用平行线的性质得到旋转角，再计算旋转时间． 【详解】（1）解：若， 则， 若， 则． （2）略 （3）如图①， 当时， ， 即旋转角为， ． 如图②， 当时， ， 旋转角度为， ． 综上所述，为12或48时，． 18．已知，如图1，中，，，，，将绕着点C顺时针旋转得到，直线和直线相交于点F． (1)如图2，当点D落在边上时，请探究和的位置关系，并说明理由； (2)求出在旋转过程中的度数（用含的代数式表示）； (3)在图3中用尺规作图作出点E，使得旋转过程中的面积最大，此时的面积为_____． 【答案】(1)，理由见解析 (2)或 (3)见解析， 【分析】（1）由旋转的性质得到，可证明，则可证明，据此可得结论； （2）分点在线段上时和点在线段的延长线上两种情况进行求解即可； （3）过点作，连接，得到，得到当三点共线时的面积最大，进行作图，求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 由旋转的性质可得， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当点在线段上时，如图： ∵将绕着点C顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时，如图： ∵将绕着点C顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上：或； （3）解：作，当三点共线时，最大，作图如下： 过点作，连接， ∴， ∴当最大时，最大， ∵， ∴当三点共线且点和点位于点两侧时，最大； ∵, ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴； 即的最大面积为． 19．【问题背景】小明同学利用两个大小不同的正方形卡片进行“正方形旋转”的探究活动．如图1，他将边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点，使边，分别落在边，上，容易发现且． 【问题探究】将图1中正方形固定，将正方形绕点顺时针方向旋转． (1)如图2，连接，，试探究与的上述关系是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (2)如图3，小明研究发现：连接，在旋转过程中，存在与全等的情形，请直接写出此时旋转角的度数________． 【问题拓展】将图1中正方形固定，将正方形绕点顺时针方向旋转． (3)在旋转过程中，当落在射线上时，求线段的长； 【答案】(1)解：成立，理由如下： ∵边长为4的正方形，边长为2的正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长交于点M，交于点N， 则， ∴， ∴， ∴， 故. (2)或 (3)或 【分析】（1）根据正方形的性质，得到，，继而得到，证明，可得；延长，二线交于点M，与交于点N，利用全等三角形的性质，对顶角性质，余角的性质，可证明． （2）画图分类计算即可． （3）连接，交于点M或N，利用正方形的性质，勾股定理分类计算即可. 【详解】（1）略 （2）解：如图，∵， ∴， ∴， 故； 如图，∵， ∴， ∴， ∴， 故． ． （3）解：当A，G，E三点在的右侧且在同一条直线上时， 连接交于点M， ∵边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点B， ∴，，,, ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，,, ∴， ∴； 当A，G，E三点在的左侧且在同一条直线上时， 连接，交于点N， 同理可证，，，， ∴； 综上所述，的长为或. 【题型6：奔驰模型】 20．阅读下面材料，解决下列问题： (1)【阅读材料】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图1，在等边中，点P在内部，且，，，求的长．经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找三边之间的数量关系．即能求_____： (2)【学以致用】如图2，在等腰直角中，，P为内一点，，，，求的长； (3)【能力拓展】如图3，等腰三角形中，，D、E是底边上的两点且，若，，求的长． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，证明为等边三角形，得到，则可求出，再利用勾股定理求解即可； （2）把绕点C逆时针旋转得到，连接，由旋转性质可知，，，则可证明是等腰直角三角形，可求出，，再利用勾股定理求解即可； （3）将绕点C逆时针旋转得到，连接，作于点H，由旋转的性质可得，，，，证明，得到，求出，得到，则可得到，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，把绕点C逆时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，连接，作于点H， 由旋转的性质可得，，，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，∵，，， ∴， ∴，， ∴   ∴． 21．解决问题 【问题提出】 (1)如图（1），P是正方形内一点，将绕点B顺时针方向旋转与重合，若，则______（直接写出答案）． 【问题探究】 (2)如图（2），点P是等边内一点，，，，求的度数． 对于这个问题，小明是这样思考的：将绕点B顺时针方向旋转至处，连接，根据所学便可以求出的度数，请你根据小明的想法，作出图形，并求出的度数． 【问题解决】 (3)如图（3），为等腰直角三角形，，，P是内部一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意得，旋转中心为点，旋转角，对应点、到旋转中心的距离相等，即，可证为等腰直角三角形，由勾股定理求； （2）由旋转可知：，先证明是等边三角形，再证明是直角三角形，把问题转化为； （3）如图③中，将绕点逆时针旋转得到，连接，，过点作交的延长线于点．由旋转的性质可知，，，，，推出，可得，解直角三角形，求出，可得结论． 【详解】（1）解：根据旋转的性质可知，，， 为等腰直角三角形， 由勾股定理，得； （2）解：如图， 由旋转可知：， ，，， 又， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ； （3）解：如图（3）中，将△绕点逆时针旋转得到，连接，，过点作交的延长线于点． 由旋转的性质可知，，，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 的最小值为． 【题型7：费马点模型】 22．【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称为“费马点”．如图1，点是内的一点，将绕点逆时针旋转到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”． 【拓展应用】 (1)如图2，点是等边内的一点，连接，将绕点逆时针旋转得到． ①画出图形 ②当，，时，求的大小； (2)如图3，点是内的一点，且，，，求的最小值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据旋转的性质画出图形； ②先证，利用全等的性质求出对应的边长，通过勾股定理的逆定理得到，即可求出的大小； （2）将绕点顺时针旋转得到，先求出，然后证明为等边三角形，当、、、四点共线时，和最小，用勾股定理求出的值即可． 【详解】（1）①略 ②为等边三角形， ，， 又 是等边三角形， ， ， 在与中， ， ， ∴ ∴， ， ， （2）如图，将绕点顺时针旋转得到， 则， 在中，， ， ， 又， ∴， 如图，过作⊥交的延长线于点， 则， ， ， ， ， 为等边三角形， 当B、P、、四点共线时，和最小， 在中，， ， ∴的最小值为． 23．在中，． (1)，，． ①如图1，若点P是内一点，且，求的度数； ②如图2，若点P是外一点，且，求的长； (2)如图3，，点P是内一点，，，当的值最小时，直接写出的最小值． 【答案】(1)①②7 (2) 【分析】对于（1），先说明是等边三角形，将绕点B顺时针旋转得到，连接，可得是等边三角形，即可得，再根据旋转的性质说明是直角三角形，得，然后根据得出答案；②，以为一边向上作等边，作交的延长线于点F，先证明，可得，接下来说明，再求出，进而求出，然后根据勾股定理求出，则答案可得． 对于（2），将绕点B逆时针旋转得到，作，先说明，进而得出是等边三角形，结合，得，再根据两点之间线段最短可知的值最小值为的长，然后分别求出，进而得，最后根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：①在中，， ∴是等边三角形． 将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 由旋转的性质得． ∵， ∴是直角三角形，， ∴； ②如图，以为一边向上作等边，作交的延长线于点F， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，作交的延长线于点H， ∵，且， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 根据两点之间线段最短可知，当点E，F，P，C共线时，的值最小，最小值为的长． 在中，， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， 根据勾股定理，得． 的最小值是． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24．背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．    (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转60°到处，这样就可以将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 °． (2)请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图3，中，，，E、F为边上的点，且，判断、、之间的数量关系并注明； ②如图4，在中，，在内部有一点P，连接、、，求的最小值． 【答案】(1)150 (2)①解：， 证明：∵，， ∴， 将将绕点逆时针旋转，得到，连接，    则：， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， 又，， ∴， ∴， ∴； ② 【分析】（1）连接，利用旋转的性质，易得为等边三角形，得到，，勾股定理定理逆定理，得到，进而推出的度数，即可得解； （2）①将绕点逆时针旋转，得到，连接，利用旋转的性质和等边对等角，得到，为直角三角形，进而得到，证明，得到，即可得出结论； ②将绕点逆时针旋转，得到，连接，，易得为等边三角形，，推出，得到当且仅当四点共线时，的值最小为的长，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：连接，    ∵将绕顶点A逆时针旋转60°到 ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：150； （2）①略 ②将绕点逆时针旋转，得到，连接，，    则：，， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， 当且仅当四点共线时，的值最小为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是通过旋转，构造全等三角形和特殊三角形．本题考查半角模型，费马点问题，难度较大，属于压轴题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 旋转重难点七大题型突破 【题型1：利用旋转的性质求解】 【题型2：旋转中的规律探究】 【题型3：手拉手模型】 【题型4：“半角”模型】 【题型5：构造旋转模型解题 】 【题型6：奔驰模型】 【题型7：费马点模型】 【题型1：利用旋转的性质求解】 1．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，，则的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，将绕点C旋转，得到，过点A作．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．当点，，在同一条直线上时，的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，连接，点，，恰好在同一直线上．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．将绕点C逆时针旋转，得到，点A的对应点恰好落在边上，下列结论不正确的是（     ） A．若，则 B． C． D． 【题型2：旋转中的规律探究】 6．如图，在直角坐标系中，边长是1的等边的顶点与原点重合，边与轴重合，把 绕点按逆时针方向旋转，同时边长增加1，得到 ，称为第1次操作；第2次操作（把绕点按逆时针方向旋转，同时边长增加1）得到 第3次操作（把 绕点 按逆时针方向旋转，同时边长增加1）得到． ，按此规律操作下去，第2024次操作得到 ，则点的坐标为（   ） A． B． C．D． 7．如图，直角三角形，点、在直线上，将绕着点顺时针转到位置①，得到点，点在直线上，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，点在直线上，…，按照此规律继续旋转，直到得到点，则（    ） A．674 B．8093 C．8097 D．8100 8．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，……，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点，，，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，再将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，依次规律，多次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型3：手拉手模型】 10．如图①，在中，，，点分别在边上，，连接．将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为． (1)如图②，当时，连接，填空：与的数量关系为______；与的位置关系为：______； (2)当时，与交于点F，（1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图③写出证明过程；若不成立，请说明理由； (3)当旋转到时，请画出图形并求出的长． 11．按要求解答： (1)【问题发现】在数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，是等腰直角三角形，，，点在上，连接，探究，，之间的数量关系．王林思考片刻后，利用手拉手模型解答问题如下： 如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，易证，，，，在中，，由，，可得 ，则，，之间的数量关系为______； (2)如图3，当点在线段的延长线上时，请问(1)中的结论还成立吗？请作出判断，并写出你的推导过程． 12．综合探究 (1)如图1，已知正方形和正方形中，点，，在同一直线上，连接，，则和的数量关系为__________，位置关系为__________； (2)如图2，将图1中的正方形绕点按顺时针方向旋转一定角度，旋转角为，和交于点．试判断和的数量和位置关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，，则长为__________． 【题型4：“半角”模型】 13．如图1：在四边形中，，，，分别是上的点，且 (1)小王同学探究此问题的方法是：把绕点A逆时针旋转，得到，证明，可得出三者间关系是_______________； (2)【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，如果成立，请说明理由； (3)【学以致用】如图3，四边形是边长为的正方形，，求的周长． 14．问题：如图①，点分别在正方形的边，上，，试判断，，之间的数量关系． (1)【发现证明】 小强把绕点逆时针旋转至的位置，从而发现． (2)【类比引申】 如图②，在四边形中，，，，点，分别在边上，则当与满足______关系时，仍有，请说明理由； (3)【探究应用】 如图③，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形，已知，，，，道路上分别有景点，且，，现要在之间修一条笔直的道路，这条道路的长______． 15．综合与实践 探究方法：如图1，在正方形中，已知，，点E、F分别在、上，． （1）如图1，把绕点A逆时针旋转至，直接写出线段、和之间的数量关系； 方法迁移： （2）如图2，在四边形中，已知，，点E、F分别在、上，，若、都不是直角，但满足，（1）的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； 问题应用与拓展： （3）如图1，若，，则______； （4）如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，若，则的长为______． 【题型5：构造旋转模型解题 】 16．按要求解答下列问题： (1)如图①，在中，，，为上一动点，连接，若，则的最小值是_________． (2)如图②，在中，，，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，，求证：． (3)如图③，在矩形中，连接，，，点为线段上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接，，取的中点记为，连接， 选做一：求的最小值． 选做二：当最小时，求四边形的面积． 17．如图，将两块含的三角尺的直角顶点叠放在一起，，． (1)若，则______；若，则______； (2)猜想与的大小有何数量关系；并说明理由； (3)若一开始将三角形与三角形完全重合（与重合），保持三角形不动，将三角形绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为秒，在旋转的过程中，为何值时． 18．已知，如图1，中，，，，，将绕着点C顺时针旋转得到，直线和直线相交于点F． (1)如图2，当点D落在边上时，请探究和的位置关系，并说明理由； (2)求出在旋转过程中的度数（用含的代数式表示）； (3)在图3中用尺规作图作出点E，使得旋转过程中的面积最大，此时的面积为_____． 19．【问题背景】小明同学利用两个大小不同的正方形卡片进行“正方形旋转”的探究活动．如图1，他将边长为4的正方形与边长为2的正方形的一个顶点重合于点，使边，分别落在边，上，容易发现且． 【问题探究】将图1中正方形固定，将正方形绕点顺时针方向旋转． (1)如图2，连接，，试探究与的上述关系是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (2)如图3，小明研究发现：连接，在旋转过程中，存在与全等的情形，请直接写出此时旋转角的度数________． 【问题拓展】将图1中正方形固定，将正方形绕点顺时针方向旋转． (3)在旋转过程中，当落在射线上时，求线段的长； 【题型6：奔驰模型】 20．阅读下面材料，解决下列问题： (1)【阅读材料】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图1，在等边中，点P在内部，且，，，求的长．经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找三边之间的数量关系．即能求_____： (2)【学以致用】如图2，在等腰直角中，，P为内一点，，，，求的长； (3)【能力拓展】如图3，等腰三角形中，，D、E是底边上的两点且，若，，求的长． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，证明为等边三角形，得到，则可求出，再利用勾股定理求解即可； （2）把绕点C逆时针旋转得到，连接，由旋转性质可知，，，则可证明是等腰直角三角形，可求出，，再利用勾股定理求解即可； （3）将绕点C逆时针旋转得到，连接，作于点H，由旋转的性质可得，，，，证明，得到，求出，得到，则可得到，，再利用勾股定理求解即可． 21．解决问题 【问题提出】 (1)如图（1），P是正方形内一点，将绕点B顺时针方向旋转与重合，若，则______（直接写出答案）． 【问题探究】 (2)如图（2），点P是等边内一点，，，，求的度数． 对于这个问题，小明是这样思考的：将绕点B顺时针方向旋转至处，连接，根据所学便可以求出的度数，请你根据小明的想法，作出图形，并求出的度数． 【问题解决】 (3)如图（3），为等腰直角三角形，，，P是内部一点，求的最小值． 【题型7：费马点模型】 22．【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称为“费马点”．如图1，点是内的一点，将绕点逆时针旋转到，则可以构造出等边，得，，所以的值转化为的值，当四点共线时，线段的长为所求的最小值，即点为的“费马点”． 【拓展应用】 (1)如图2，点是等边内的一点，连接，将绕点逆时针旋转得到． ①画出图形 ②当，，时，求的大小； (2)如图3，点是内的一点，且，，，求的最小值． 23．在中，． (1)，，． ①如图1，若点P是内一点，且，求的度数； ②如图2，若点P是外一点，且，求的长； (2)如图3，，点P是内一点，，，当的值最小时，直接写出的最小值． 24．背景资料：在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图1，当三个内角均小于120°时，费马点P在内部，当时，则取得最小值．    (1)如图2，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转60°到处，这样就可以将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 °． (2)请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图3，中，，，E、F为边上的点，且，判断、、之间的数量关系并注明； ②如图4，在中，，在内部有一点P，连接、、，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $