专题05 反比例函数重难点八大题型突破-2026-2027学年（人教版九年级数学全册高频考点题型归纳与满分必刷题

专题05 反比例函数重难点八大题型突破 【题型1：反比例函数的定义】 【题型2：反比例函数性质】 【题型3：反比例函数与一次函数/二次函数的图像综合】 【题型4：反比例函数大小比较】 【题型5：反比例的系数几何意义】 【题型6：反比例函数与一次函数的大小比较】 【题型7：反比例函数与一次函数综合应用】 【题型8：反比例函数实际应用】 【题型1：反比例函数的定义】 1．下列函数中，是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一般地，形如（k为常数，且）的函数称为反比例函数．根据反比例函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是反比例函数，故本选项不合题意； B、是反比例函数，故本选项符合题意； C、不是反比例函数，故本选项不合题意； D、不是反比例函数，故本选项不合题意． 2．下列各点中，在反比例函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别将四个点的坐标代入关系式，并根据计算结果判断即可． 【详解】解：当时，， ∴点不在反比例函数的图象上； 当时，， ∴点不在反比例函数的图象上； 当时，， ∴点在反比例函数的图象上； 当时，， ∴点不在反比例函数的图象上． 3．已知变量与成反比例，当时，；那么当时，的值是（     ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】先根据反比例函数的定义设出函数解析式，再利用已知条件求出反比例函数的比例系数，最后代入的值求解即可． 【详解】解：∵与成反比例， ∴设反比例函数解析式为，即， 把，代入得， ∴反比例函数解析式为， 当 时，代入得， 解得． 4．若点在反比例函数的图象上，下列哪个点也在反比例函数图象上（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知点坐标求出反比例函数的比例系数，再根据反比例函数的性质，图象上任意点的横纵坐标乘积等于，验证各选项即可得到结果． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 即反比例函数图象上的点满足横纵坐标乘积为， 依次验证选项： 选项A ，不在该图象上； 选项B ，在该图象上； 选项C ，不在该图象上； 选项D ，不在该图象上． 【题型2：反比例函数性质】 5．反比例函数的图象在（     ）． A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】通过确定反比例函数中的符号，判断图象所在象限即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴图象位于第二、四象限． 6．反比例函数的图象大致是（     ） A．B．C．D． 【答案】C 【详解】解：反比例函数中， 该反比例函数的图象在二、四象限， 故选：C． 7．关于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．函数图象过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质依次判断各选项即可． 【详解】解：A选项，将代入，得，函数图象不过点，A错误； B选项，， 函数图象位于第二、四象限，B错误； C选项，当时，随的增大而增大，C错误； D选项，当时，，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ，D正确 ． 8．已知点在第二象限，则反比例函数的图象所在象限是（     ） A．一、三 B．二、四 C．一、二 D．三、四 【答案】A 【分析】先根据第二象限点的坐标特征列出不等式组，求出的取值范围，再结合反比例函数的定义和性质，判断的符号，进而确定反比例函数图象所在象限． 【详解】解：∵第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于，点在第二象限， ∴，且 解得，，且， ∴， ∵是反比例函数，， ∴，反比例函数的图象位于第一、三象限． 9．已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当反比例函数比例系数大于0时，在的区间内，y随x的增大而减小，据此列出不等式即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵当时，随的增大而减小， ∴反比例函数的比例系数大于0，即， 解得． 【题型3：反比例函数与一次函数/二次函数的图像综合】 10．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B．C．D． 【答案】B 【分析】根据k的正负性，分别判断反比例函数图象所在的象限以及一次函数图象经过的象限，从而确定正确选项． 【详解】解：当 时，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，选项B符合题意； 当 时，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 选项A、C、D均不符合题意． 11．函数与在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B．C．D． 【答案】A 【分析】对于一次函数：①当时，y随x的增大而增大，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限；②当时，y随x的增大而减小，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限．对于反比例函数，若，反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小；若，反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大． 【详解】解：①若， 则反比例函数的图象在第一、三象限；一次函数的图象经过第一、二、四象限； ②若， 则反比例函数的图象在第二、四象限；一次函数的图象经过第一、三、四象限； 只有A选项图象满足题意． 12．在平面直角坐标系中，二次函数（是常数，且）的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系、一次函数的图象与系数的关系、反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴为直线，求得，从而得出，则可确定直线经过第一、二、四象限，再根据当时，，从而确定反比例函数的图象在第二、第四象限，即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下， ∴ ∵二次函数图象的对称轴为直线 ∴， ∴， ∴直线经过第一、二、四象限， ∵当时，， ∴反比例函数的图象在第二、第四象限， ∴只有D选项题意． 故选：D． 13．若反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】先由反比例函数图象与性质得到，再根据选项中同一平面直角坐标系下一次函数和二次函数的图象，假设直线图象正确，判断二次函数图象是否正确即可得到答案． 【详解】解：由反比例函数的图象在二、四象限可知， A、 假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向下、对称轴、与轴交点在正半轴上， 故选项正确，符合题意； B、 假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向下、对称轴、与轴交点在负半轴上， 而选项中二次函数图象与轴交点在正半轴上，故选项错，不符合题意； C、 假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向上、对称轴、与轴交点在正半轴上， 而选项中二次函数图象对称轴、与轴交点在负半轴上，故选项错，不符合题意； D、 假设一次函数图象正确，则， ， 二次函数图象开口向上、对称轴、与轴交点在负半轴上， 而选项中二次函数图象对称轴，故选项错，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数图象与性质、一次函数图象与性质、二次函数图象与性质等知识，熟练掌握此类题目的解法，先假设其中一个图象正确，再判断另一个图象是否正确是解决问题的关键． 【题型4：反比例函数大小比较】 14．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出，，的值后比较大小. 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 15．已知，在双曲线上，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的增减性和一元一次不等式的解法．由点，点的横坐标特点及已知条件可以判断两点分别位于第二、四象限，从而根据反比例函数的增减性推出比例系数小于，求得的取值范围． 【详解】解：点的横坐标为，点的横坐标为， ，在y轴的两侧， 又 ，点，点在上， 点，点分别位于第二、四象限， 根据反比例函数的增减性，的比例系数小于，即， 解得． 16．已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的图像与性质确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限， 当时，图象位于第二象限，对应； 当时，图象位于第四象限，对应． ∵，则点在第四象限， ∴， ∵，则点在第二象限， ∴， ∴． 17．若点, ，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，确定函数图象位置与增减性，再根据各点横坐标范围比较函数值大小． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限， 且在每个象限内，随的增大而减小， ∵点横坐标， ∴点在第三象限，得， ∵点、横坐标，， ∴、都在第一象限，得，， 又∵，且第一象限内随增大而减小， ∴. 综上，，故选C． 【题型5：反比例的系数几何意义】 18．如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】先根据图象过点求出的值，再利用反比例函数的几何意义求解的面积． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∵点是图象上任意一点，轴， ∴． 19．如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，O是原点，连接，则的面积为（     ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】设与y轴交于点，根据轴可得，再结合反比例函数的系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，设与轴交于点， 轴， ， ∵点在上，点在上， ，， ． 20．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 【答案】B 【分析】延长交y轴于点E，则四边形是矩形，四边形是矩形，根据反比例函数比例系数的几何意义可得四边形的面积为3，四边形的面积为11，即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点E， ∵轴， ∴轴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 点在双曲线上， 四边形的面积为， 矩形的面积为． 21．如图，点在反比例函数 的图象上，点在反比例函数 的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】延长交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D． 轴， 轴， 点A在反比例函数的图象上， ． 轴，轴，点B在反比例函数的图象上， ， ． 22．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，轴，已知线段交反比例函数的图像于点C，连接，点C为的中点，连接，交反比例函数图像于点A．若的面积为5，则k的值为（     ） A．10 B．5 C．8 D．20 【答案】A 【分析】利用三角形中线性质得出，结合反比例函数k的几何意义求解． 【详解】解：∵C为中点，且的面积为5， ∴， ∴， ∵轴，点C在反比例函数图像上， ∴， ∴，解得， ∵该反比例函数的图像在第一象限， ∴， ∴． 23．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限分别交于点和点，过点和点作轴的垂线，垂足分别为点和点．当四边形的面积为12时，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，，，根据四边形的面积为12，得出，联立得出，根据根与系数的关系得出，代入进行求解即可． 【详解】解：设， ∴，，． ∵四边形的面积为12， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴，化简整理得， 又联立，消去得：， ∴和是方程的两根． 由一元二次方程根与系数的关系可知， ∴， ∴， 解得． 【题型6：反比例函数与一次函数的大小比较】 24．函数和的图象如图所示，当时，x的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据图象即可求解． 【详解】解：观察图像可知，当时，x的取值范围是或． 25．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】找到直线在双曲线上方时的自变量的取值范围即可. 【详解】解：由图象可知，当时，的取值范围为或. 26．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，点A的横坐标为，当时，x的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，利用函数图象解不等式，利用反比例函数和正比例函数图象的性质得到A、B关于原点对称，则点A的横坐标为1，然后写出反比例函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象关于原点对称， ∴两函数的交点A，B关于原点对称， ∵点A的横坐标为， ∴点B的横坐标为1， 当时，反比例函数的图象在正比例函数图象的上方，即第一象限内点B的左侧和第三象限内点A的左侧， ∴当时，x的取值范围为或， 故选：C． 27．如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，则不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．利用函数图象得到当一次函数图象在反比例函数图象下方时x的取值即可． 【详解】解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象下方时，x的取值范围是：或， ∴不等式的解集是：或． 故选：D． 【题型7：反比例函数与一次函数综合应用】 28．如图直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，一次函数与反比例函数综合面积问题： （1）将点代入两个函数求解即可得到答案； （2）求出一次函数与x轴的交点坐标及B点坐标，根据求解即可得到答案 【详解】（1）解：∵直线与双曲线交于点， ∴，， 解得：，， ∴解析式为：，； （2）联立两个函数得， ，解得：，， 当时，， ∴， 当时，，解得：， 当时，， ∴，， ∴． 29．如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴相交于点C，已知点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点A的坐标； (2)观察图象，不等式的解集为______； (3)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)点P的坐标为或． 【分析】（1）先将点B的纵坐标代入直线中，得到点B的完整坐标；其次将点B坐标代入反比例函数中，推出k的值，得到反比例函数解析式；最后联立两个函数的方程，求出交点A的坐标． （2）首先明确不等式的几何意义，对应图象中一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，然后结合两个交点确定解集． （3）首先根据直线与x轴交点求出点C坐标，得到的长度，即两个三角形的底边均为的长；然后结合点A纵坐标计算出，从而得到；设出点P坐标，根据反推出点P纵坐标，代入反比例函数解析式，即可得到点P坐标． 【详解】（1）解：将点B的坐标代入中，得 解得，即点． 将代入到中，得 解得 ∴反比例函数的解析式为． 联立， 得 解得，． 当时，代入，得 ∴点A的坐标为． （2）解:不等式表示一次函数的函数值大于反比例函数的函数值． 两个函数的交点为和，反比例函数自变量取值范围为，观察图象可得：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值， 因此不等式的解集为或． （3）解:将代入直线中，得，即点，． ∵点A纵坐标为2， ∴， ∴． 设点，则，得． 当时，代入反比例函数得，解得； 当时，点P与点B重合，为． ∴点P的坐标为或． 30．一次函数与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作反比例函数的图象． (1)求出，的值； (2)为线段上的点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标及的面积； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)；面积4 (3)点D的坐标为或 【分析】（1）因为点A在一次函数图象上，所以将A点横坐标代入一次函数解析式即可求出a的值；再将得到的A点坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值． （2）先设M点坐标为符合一次函数解析式的形式，根据平移规则得到N点坐标，因为N在反比例函数图象上，所以将N点坐标代入反比例函数解析式可求解M点坐标；求面积时可使用割补法、铅垂高法计算． （3）由可先判断与的位置关系，或者分D点在x轴正半轴、负半轴两种情况，结合角度相等的条件，利用平行关系、等腰三角形结合一次函数等方法求解D点坐标． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴， 解得：． （2）在中，令，得， ∴， 令，得， 解得：， ∴， ∵M为线段上的点， ∴设，且， ∵将点M向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到点N， ∴， ∵点N恰巧在反比例函数上， ∴， 解得：， ∵， ∴， 当时，， ∴； ∵， ∴． （3）解：在x轴上存在点D，使得． 当点D在x轴正半轴上时，如图，过点A作轴交x轴于点， 则， 此时点； 当点在x轴负半轴上时，如图，设与y轴交于点， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得， 解得：， ∴； 综上所述，点D的坐标为或． 31．直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在；E点的坐标为或或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 【题型8：反比例函数实际应用】 32．某蓄水池的储水量为，当排水速度为时，可将满池水全部排空． (1)写出v与t之间的函数关系式． (2)如果在内将满池水排空，那么每小时至少排水多少立方米？ (3)已知最大排水速度为，那么最少用多长时间可将满池水全部排空？ 【答案】(1)； (2)每小时至少排水； (3)最少用可将满池水全部排空． 【分析】根据“排水总量排水速度排水时间”的等量关系，变形得到函数关系式； 结合反比例函数的增减性，代入求得最小排水速度； 结合反比例函数的增减性，代入求得最少排水时间． 【详解】（1）解：由题意得，蓄水池储水量为，即排水速度与排水时间的乘积为储水量，， 整理得， ∵排水时间为正数， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：要求内排空满池水，即排水时间， 将代入，得， ∵，当时，随的增大而减小， ∴当时，， ∴每小时至少排水； （3）解：∵已知最大排水速度为，即， ∴将代入，得，解得， ∵，当时，随的增大而减小， ∴当时，， ∴最少用可将满池水全部排空． 33．生活中有各式各样的电子屏幕．在相同分辨率下，屏幕尺寸不同，屏幕的像素密度也会不同．下表记录了当分辨率为时，某些电子屏幕的尺寸x（单位：英寸）与像素密度y（单位：）的相关数据． 屏幕尺寸x/英寸 5 7 15 24 27 屏幕像素密度 440 314 147 92 81 (1)试确定屏幕像素密度y关于屏幕尺寸x的函数解析式； (2)某电子屏幕的分辨率为，屏幕像素密度约为，则该屏幕尺寸为多少（结果取整数）？ 【答案】(1)（）. (2)55英寸. 【分析】（1）根据表格数据判断y与x成反比例关系，用待定系数法求解函数解析式； （2）将代入反比例函数解析式，计算x的值． 【详解】（1）解：观察表格数据，每组x与y的乘积近似为常数，故y是x的反比例函数， 设函数解析式为， 将，代入，得， 代入其余各组数据验证，结果均与表格中y的数值近似相等， 故函数解析式为； （2）解：当时，代入，得， 解得， 答：该屏幕尺寸为55英寸． 34．港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了． (1)此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度（单位：）与卸载完所有货物的总时间（单位：）之间有怎样的函数关系？ (2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 【答案】(1) (2)至少要卸载货物 【分析】（1）先求出总的货物重量，再由货物总量求解即可； （2）令，代入（1）中所求函数解得，结合反比例函数中与的关系分析求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知货物总量为，则， 起重机平均卸载速度与卸载完所有货物的总时间之间的函数关系为； （2）解：把代入可得， 对于函数，当时，越大、越小， 要求轮船上的货物不超过卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载货物． 35．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间（分）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）． (1)上课后的第6分钟与第30分钟相比较，第______分钟时学生的注意力更集中． (2)分别求出线段和双曲线的函数关系式． (3)一道数学题，需要讲15分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？ 【答案】(1)6 (2)线段的函数关系式为，双曲线的函数关系式为 (3)教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题 【分析】本题结合分段函数的图像性质分步求解，先根据图像给出的特殊点坐标求出各段函数解析式，再通过等式计算即可． （1）分别计算第6分钟和第30分钟对应的注意力指数数值，比较两个数值的大小即可； （2）根据待定系数法即可求得一次函数和反比例函数的解析式； （3）分别在段和段计算注意力指数的时间点，再求得时长，将该时长与需要讲题的15分钟进行比较即可． 【详解】（1）解：设线段的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 线段的函数关系式为， 设双曲线的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 双曲线的函数关系式为， 把代入，得， 把代入，得， ， 第6分钟时学生的注意力更集中； （2）解：设线段的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 线段的函数关系式为， 设双曲线的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 双曲线的函数关系式为； （3）解：由题意得， 在线段段时，， 解得， 在双曲线段，， 解得， 注意力指数不低于40的总时长为（分钟）， ， 教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题． 36．为了预防“甲型”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？ (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？ (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 【答案】(1)药物燃烧时y关于x的函数关系式为；药物燃烧后y关于x的函数关系式为 (2)30分钟 (3)有效，理由如下： 把代入， 解得：， 把代入， 解得：， ∵， ∴这次消毒是有效的． 【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式，把点代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式，把点代入即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出相应的x即可； （3）把代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于等于10就有效． 【详解】（1）解：设药物燃烧时y与x之间的解析式为， 把点代入， 得 解得：， 设药物燃烧后y与x之间的解析式为， 把点代入， 得， 解得：， 故药物燃烧时y与x的函数关系式为； 药物燃烧后y与x的函数关系式为． （2）解：把，代入，得； ∵， ∴随的增大而减小， 当时，， 即从消毒开始，至少需要30分钟后学生才能进入教室． （3）略 37．【知识背景】杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，如图1，即．小明利用杠杆原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）． 【方案设计】第一步：在一根长度为的匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度），在左侧末端处固定一个金属吊钩，作为秤钩，在离左侧末端处确定支点，并用细麻绳固定； 第二步：取一个质量为的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与秤砣绳长的质量忽略不计） 任务一：在图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点右侧的处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．    (1)关于的函数关系式是________； (2)若，则的取值范围是________． 任务二：如图3，调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点右侧的处，使秤杆平衡．设重物的质量为，的长为，完成下列问题： (3)关于的函数关系式是________； (4)完成下表： … 0.5 1 2 4 … … ________ ________ ________ ________ … 任务三：如图4，在离左侧末端处确定第二个支点．现有重物约，可选用支点，和秤砣（）、（）进行称量． (5)请通过计算确定：应选择哪个支点和哪个秤砣？并说明如何判断重物是否正好为． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)见解析； (5)选择支点Q和秤砣来秤重物，当秤砣移动到离支点Q的距离为处时，秤杆平衡说明重物正好为，如果不平衡说明重物不是 【分析】（1）根据即可求出关系式； （2）根据y的范围即可求得x的范围； （3）根据即可求出关系式； （4）将x的值分别代入求解即可； （5）根据题意分别选择支点O和Q计算，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：∵ ∴ ∴； （4）解：根据题意得， … 0.5 1 2 4 … … 20 10 5 2.5 … （5）解：如图所示， 由题意知，，， 如果用支点O，则， （），不合题意，舍去； 如果用支点Q，则， ， 选择支点Q和秤砣来称重物，当秤砣移动到离支点Q的距离为处时，秤杆平衡说明重物正好为，如果不平衡说明重物不是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 反比例函数重难点八大题型突破 【题型1：反比例函数的定义】 【题型2：反比例函数性质】 【题型3：反比例函数与一次函数/二次函数的图像综合】 【题型4：反比例函数大小比较】 【题型5：反比例的系数几何意义】 【题型6：反比例函数与一次函数的大小比较】 【题型7：反比例函数与一次函数综合应用】 【题型8：反比例函数实际应用】 【题型1：反比例函数的定义】 1．下列函数中，是反比例函数的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各点中，在反比例函数图象上的是（     ） A． B． C． D． 3．已知变量与成反比例，当时，；那么当时，的值是（     ） A．2 B． C． D．3 4．若点在反比例函数的图象上，下列哪个点也在反比例函数图象上（     ） A． B． C． D． 【题型2：反比例函数性质】 5．反比例函数的图象在（     ）． A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 6．反比例函数的图象大致是（     ） A．B．C．D． 7．关于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．函数图象过点 B．函数图象位于第一、三象限 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 8．已知点在第二象限，则反比例函数的图象所在象限是（     ） A．一、三 B．二、四 C．一、二 D．三、四 9．已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【题型3：反比例函数与一次函数/二次函数的图像综合】 10．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（     ） A． B．C．D． 11．函数与在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B．C．D． 12．在平面直角坐标系中，二次函数（是常数，且）的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（   ） A．B．C．D． 13．若反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B． C．D． 【题型4：反比例函数大小比较】 14．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C．D． 15．已知，在双曲线上，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 16．已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（   ） A． B． C． D． 17．若点, ，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【题型5：反比例的系数几何意义】 18．如图是反比例函数（）的一部分图象，已知该图象过点，点是图象上任意一点，过点作轴，垂足为，则的面积是（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 19．如图，在反比例函数的图象上任取一点A，过点A作轴交反比例函数的图象于点B，O是原点，连接，则的面积为（     ） A．4 B．5 C．7 D．8 20．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点，在轴上．若四边形是矩形，则它的面积为（） A．3 B．8 C．11 D．14 21．如图，点在反比例函数 的图象上，点在反比例函数 的图象上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 22．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点B为x轴上的点，点D是第一象限内的一点，轴，已知线段交反比例函数的图像于点C，连接，点C为的中点，连接，交反比例函数图像于点A．若的面积为5，则k的值为（     ） A．10 B．5 C．8 D．20 23．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限分别交于点和点，过点和点作轴的垂线，垂足分别为点和点．当四边形的面积为12时，则（     ） A． B． C． D． 【题型6：反比例函数与一次函数的大小比较】 24．函数和的图象如图所示，当时，x的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 25．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点，当时，的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 26．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，点A的横坐标为，当时，x的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 27．如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，则不等式的解集是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【题型7：反比例函数与一次函数综合应用】 28．如图直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求的面积． 29．如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象交于A、B两点，与轴相交于点C，已知点B的坐标为． (1)求反比例函数的解析式及点A的坐标； (2)观察图象，不等式的解集为______； (3)点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标． 30．一次函数与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作反比例函数的图象． (1)求出，的值； (2)为线段上的点，将点向右平移个单位，再向上平移个单位得到点，点恰巧在反比例函数上，求出点坐标及的面积； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点坐标，若不存在请说明理由． 31．直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型8：反比例函数实际应用】 32．某蓄水池的储水量为，当排水速度为时，可将满池水全部排空． (1)写出v与t之间的函数关系式． (2)如果在内将满池水排空，那么每小时至少排水多少立方米？ (3)已知最大排水速度为，那么最少用多长时间可将满池水全部排空？ 33．生活中有各式各样的电子屏幕．在相同分辨率下，屏幕尺寸不同，屏幕的像素密度也会不同．下表记录了当分辨率为时，某些电子屏幕的尺寸x（单位：英寸）与像素密度y（单位：）的相关数据． 屏幕尺寸x/英寸 5 7 15 24 27 屏幕像素密度 440 314 147 92 81 (1)试确定屏幕像素密度y关于屏幕尺寸x的函数解析式； (2)某电子屏幕的分辨率为，屏幕像素密度约为，则该屏幕尺寸为多少（结果取整数）？ 34．港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了． (1)此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度（单位：）与卸载完所有货物的总时间（单位：）之间有怎样的函数关系？ (2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？ 35．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间（分）的变化规律如图所示（其中、为线段，为双曲线的一部分）． (1)上课后的第6分钟与第30分钟相比较，第______分钟时学生的注意力更集中． (2)分别求出线段和双曲线的函数关系式． (3)一道数学题，需要讲15分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？ 36．为了预防“甲型”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？ (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要几分钟后，学生才能进入教室？ (3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 37．【知识背景】杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，如图1，即．小明利用杠杆原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）． 【方案设计】第一步：在一根长度为的匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度），在左侧末端处固定一个金属吊钩，作为秤钩，在离左侧末端处确定支点，并用细麻绳固定； 第二步：取一个质量为的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与秤砣绳长的质量忽略不计） 任务一：在图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点右侧的处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．    (1)关于的函数关系式是________； (2)若，则的取值范围是________． 任务二：如图3，调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点右侧的处，使秤杆平衡．设重物的质量为，的长为，完成下列问题： (3)关于的函数关系式是________； (4)完成下表： … 0.5 1 2 4 … … ________ ________ ________ ________ … 任务三：如图4，在离左侧末端处确定第二个支点．现有重物约，可选用支点，和秤砣（）、（）进行称量． (5)请通过计算确定：应选择哪个支点和哪个秤砣？并说明如何判断重物是否正好为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $