精品解析：福建省厦门集美中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026—2027学年第一学期九年级10月阶段性练习 数学 本试卷共6页．满分150分． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、方程是一元二次方程，符合题意； B、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，不是一元二次方程，因此该方程不一定是一元二次方程，不符合题意． 2. 关于一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．先求出方程根的判别式的值，然后根据方程根的判别式与根的情况的关系即可解答． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3. 用配方法解一元二次方程x2﹣8x=9时，应当在方程的两边同时加上(　　) A. 16 B. ﹣16 C. 4 D. ﹣4 【答案】A 【解析】 【详解】x2﹣8x=9配方，得x2﹣8x+42=9+42，即（x－4）2=25，方程左右两边同时加上16. 故选A. 点睛：二次项系数为1时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方. 4. 如果将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．直接根据二次函数图象平移的法则即可得出结论． 【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得抛物线的表达式是． 故选：A 5. 抛物线的最大值是（ ） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴当时，取得最大值． 6. 某种药品经过两次降价，单价由100元降为81元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 利用该种药品经过两次降价后的价格=原价每次降价的百分率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：B． 7. 抛物线经过点和原点，该抛物线的对称轴是（ ） A. 轴 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵抛物线经过和两点， ∴把代入解析式得，把代入解析式得， 将代入上式，得， ∴对称轴为直线． 8. 如表是一组二次函数的自变量和函数值的关系，那么方程的一个近似根是（ ） 1 2 3 4 3 9 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出方程的一个根在2与3之间，然后利用待定系数法确定，结合选项代入求解即可． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴方程的一个根在2与3之间，排除A、D； 将，和，代入， 得，， 解得，， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴方程的一个近似根为． 9. 一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合．观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方，即可求解． 【详解】解：观察图象得：当时，二次函数图象位于一次函数图象的上方， ∴不等式的解集为， 即不等式的解集为． 故选：C． 10. 已知，的图象经过点和点，且，则a的取值范围是（） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质及不等式的求解。求出二次函数在给定两点处的函数值表达式，再根据 建立不等式求解以及要是二次函数有意义，求解即可。 【详解】∵二次函数的图象经过点和点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴a的取值范围是或， 故选：D. 二、填空题（本大题有6小题，共24分） 11. 一元二次方程的一次项系数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式，对应找出给定方程的一次项系数即可得到结果． 【详解】解：将原方程整理为标准形式得，对比一元二次方程一般形式，可得一次项系数为． 12. 若，是方程的两个实数根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】确定一元二次方程的对应系数，代入根与系数的关系计算即可得到结果． 【详解】解：∵对于一元二次方程， 若、是它的两个实数根，两根和满足， ∵方程中，，， ∴． 13. 若是方程的一个根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入原方程，解关于的一元一次方程，即可得出的值． 【详解】解：是方程的一个根， ， 整理得，即， 解得． 14. 若函数是关于的二次函数，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将函数整理为一般形式，根据二次函数的定义，令二次项系数不为即可求解． 【详解】解：， ∵该函数是关于的二次函数， ∴， ∴． 15. 有四组一元二次方程：和；和；和；和．这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“相关方程”．请写出一个有两个不相等实数根但没有“相关方程”的一元二次方程：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念和一元二次方程的判别式，掌握相关知识并且理解题中定义的“相关方程”是解题的关键． 根据题中“相关方程”的定义，没有常数项的一元二次方程一定没有“相关方程”，从而得解． 【详解】解：根据题中“相关方程”的定义，没有常数项的一元二次方程一定没有“相关方程”，再根据条件“有两个不相等实数根”可知，是满足条件的一元二次方程， 故答案为：（答案不唯一）． 16. 已知抛物线，其中满足，且点，，在该抛物线上，则、、的大小关系为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用点，，在抛物线上，求出，，，再作差根据的范围确定差的正负性即可确定、、的大小关系． 【详解】解：∵点，，在抛物线上， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） ， （2） ， （3） ， 【解析】 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： ∴  解得，； 【小问3详解】 解： ∴或， 解得，． 18. 解答下列各题： （1）二次函数图象过点，．求该二次函数的解析式； （2）已知二次函数的，的部分对应值如表所示： … 0 1 2 … … 1 2 1 … 求此二次函数的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将已知两点坐标代入二次函数解析式，解方程组求出待定系数、的值； （2）选取表格中三组、的对应值代入二次函数解析式，解方程组求出待定系数、、的值． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象过点，， ∴代入得， 解得， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：选取表格中三组对应值：时，时，时，代入解析式得， ， 解得， ∴此二次函数的解析式为． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）若两个实数根和满足，求k的整数值． 【答案】（1） （2）整数k的值为或0 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的求出求参数，根与系数的关系， （1）由一元二次方程的根的情况列得，由此求出k的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入得到不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：，， 由已知得， 所以； 【小问2详解】 由根与系数得关系可知，， 因为， 所以， 解得， 由（1）知， 所以，， 所以，整数k的值为或0． 20. 已知抛物线． （1）当时，求抛物线与轴的交点坐标； （2）若抛物线与轴交于，两点，且，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）当代入得，令，则，从而求解； （）由题意可得抛物线的对称轴为直线，设，，则，整理得，又，所以，联立方程组或，得出抛物线与轴的交点坐标为和，然后把代入抛物线即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：当时，则， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为； 【小问2详解】 解：由题意可得抛物线的对称轴为直线， 设，， ∴，整理得， ∵， ∴， ∴或， 联立得：或， 解得：或， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， 把点代入中，得， ∴的值为． 21. 阅读下面的材料，解答后面的问题． 材料：解方程 解：设，原方程变为，解得或． 当时，即，解得；当时，即，解得． 综上所述，原方程的解为，，，． 问题： （1）上述解答过程采用的数学思想方法是___________． A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法 （2）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为___________． （3）解方程：； 【答案】（1）C （2） （3），，， 【解析】 【分析】本题考查换元法在解方程中的应用，解一元二次方程． （1）阅读材料中的解方程过程采用的数学思想方法是换元法； （2）根据题意可得，求解即可； （3）设，原方程变为，可得，，从而可得原方程的解． 【小问1详解】 解：阅读材料中的解方程过程采用的数学思想方法是换元法， 故选：C． 【小问2详解】 解：根据题意可得， 解得， 故答案为：． 【小问3详解】 解：设， 原方程变为， 解得，， 当时，即， 解得，； 当时，即， 解得，， ∴原方程的解为，，，． 22. 为弘扬地方文化，让更多游客了解济南，我市某文旅公司推出多款文创产品，已知某款文创产品的成本价为元，当售价为元时，每天可以售出件；经调查发现，售价每降价元，每天可多售出件． （1）为让利于游客，该款文创产品应该降价多少元，这个文旅公司每天的利润为元； （2）设该文旅公司每天售卖该款文创产品的利润为w元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）元 （2）售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键； （1）设该款文创产品降价元，根据每件的利润销售数量销售利润，即可列出方程，解方程即可得解； （2）设该款文创产品降价元，根据每件的利润销售数量销售利润，即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设该款文创产品降价元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：，， 因为要让利于游客，在保证利润目标实现的情况下，降价幅度越大，对游客越有利，所以取，舍去， 故保证每天利润为元的前提下，为最大程度让利于游客，该款文创产品应该降价元． 【小问2详解】 解：设该款文创产品降价元， 则， ． ∵， ∴当时，取最大值为元，此时销售价为元， 故售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元． 23. 我国古代数学典籍《九章算术》中有通过运算、推理估算一个正整数的算术平方根的方法．以估算一个四位数N的算术平方根为例，具体步骤如下： ①先估算N的算术平方根的整数部分． （ⅰ）分析：先近似认为N的算术平方根只有整数部分．因为N是四位数，其算术平方根的整数部分应为两位数，设整数部分的十位与个位数字分别为，，估计N为． （ⅱ）估计，如：若，因为1257介于和之间，可估计为3． （ⅲ）估计，如：若，把代入（ⅰ）中的式子，因为，则估计即为357，而357介于与之间，可估计为5．同时可知1257的算术平方根还有小数部分． ②再估算N的算术平方根的小数部分． N的算术平方根实际上包括整数部分和小数部分．设小数部分为，估计为．如：若，则估计为，即．由此可估计1257的算术平方根为． （1）依照上述步骤，估计方程的一个正数根； （2）请解释步骤②中估计为的合理性． 【答案】（1）方程的一个正根为 （2） 因为N的算术平方根整数部分和小数部分分别为，， 所以．所以． 省略后，被开方数N的误差为． 因为，所以，即． N是一个四位数，省略对估计的结果影响很小， 所以． 所以． 所以估计为是合理的． 【解析】 【分析】此题考查了算术平方根和无理数的估算等知识，熟练掌握算术平方根的应用是解题的关键． （1）根据题目中的方法进行解答即可； （2）求出，得到． 省略后，被开方数N的误差为．因为，所以，即．N是一个四位数，省略对估计的结果影响很小，所以．即可得到结论． 【小问1详解】 解：因为方程可化为， 所以方程的正根可表示为． ①估计1530的整数部分 估计1530为． 因为，所以估计为3． 将代入，估计即为630． 因为， 所以估计为9． ②估计1530的小数部分 将，，代入中， 所以估计为． 所以估计为． 所以方程的一个正根为． 【小问2详解】 略 24. 在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于点，与轴交于点，（在的左侧），如图所示，若四边形是矩形． （1）直接写出点的坐标； （2）平移抛物线得到抛物线，使抛物线经过点与点． ①写出平移的方向和距离，并说明理由； ②证明：矩形在抛物线开口内的部分与它在抛物线开口内的部分面积相等． 【答案】（1）点的坐标为 （2） ①平移的方向为向左，平移的距离为1个单位长度，理由如下： 由可得． 所以将拋物线向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为，即． 对于，当时，；当时，． 所以抛物线经过，． ②证明：对于抛物线：，当时，； 当时，，． 可得，，． 设抛物线与轴交于另一点， 令，解得，． 可得． 设是拋物线左侧图象上的任意一点， 则其关于的对称点在抛物线对称轴右侧图象上． 由（2）①得，向左平移1个单位长度得到在抛物线的右侧图象上． 因为与关于的对称， 即所在的这一侧图象上任意一点关于的对称点都在所在的这一侧图象上，反之亦然． 所以抛物线左侧图象与抛物线的右侧图象关于对称． 又和，和，和都关于对称， 所以“曲边四边形”和“曲边四边形”关于对称． 所以矩形在拋物线开口内的部分与它在抛物线开口内的部分面积相等． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数和特殊四边形综合题，数形结合是解题的关键． （1）求出，，，根据四边形是矩形即可得到答案； （2）①根据二次函数的平移规律进行解答即可；②证明“曲边四边形”和“曲边四边形”关于对称，即可得到结论． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得，， ∵在的左侧， ∴，， 把代入，得， ∴； ∵四边形是矩形， ∴ ∴点的坐标为． 【小问2详解】 ①略 ②略 25. 如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求以点、、为顶点的三角形的面积； （2）点是线段上方抛物线上的一动点，过作轴的平行线，交线段于点． ①当四边形为平行四边形时，求点的坐标； ②当时，在点运动过程中，抛物线上是否始终存在与不重合的点，使得，请说明理由． 【答案】（1） （2）① ②抛物线上始终存在与不重合的点； 理由如下：点在抛物线上， ， 轴， 直线为， 点关于直线的对称点为， 设直线的解析式为， 把坐标代入，得 解得：， 直线的解析式为， 联立方程组： 整理得，， 解得，，， 对应点， 点的横坐标为， 代入抛物线，得： ， ， ， ， 点在射线上， 射线与射线关于直线对称， ， 点始终存在． 【解析】 【分析】（1）求出抛物线与坐标轴的交点，再利用三角形面积公式求解． （2） ①求出直线的解析式，利用平行四边形一组对边平行且相等列方程． ②作射线与射线关于直线对称，求射线与抛物线除点外的另一个交点，并验证该点始终存在． 【小问1详解】 解：令， ， 整理得：， ， 解得：，， 点在点的左侧， ，， 令，得， ， ， ． 【小问2详解】 解：设， 点在抛物线上， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得： 解得：，， 直线的解析式为， 轴， ， ， ， ， ①四边形为平行四边形， ， ， 整理得：， ， ， ． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期九年级10月阶段性练习 数学 本试卷共6页．满分150分． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 3．可以直接使用2B铅笔作图． 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实数根 3. 用配方法解一元二次方程x2﹣8x=9时，应当在方程的两边同时加上(　　) A. 16 B. ﹣16 C. 4 D. ﹣4 4. 如果将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的最大值是（ ） A. 1 B. C. 4 D. 6. 某种药品经过两次降价，单价由100元降为81元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线经过点和原点，该抛物线的对称轴是（ ） A. 轴 B. C. D. 8. 如表是一组二次函数的自变量和函数值的关系，那么方程的一个近似根是（ ） 1 2 3 4 3 9 A. B. C. D. 9. 一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A. B. C. D. 或 10. 已知，的图象经过点和点，且，则a的取值范围是（） A. B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（本大题有6小题，共24分） 11. 一元二次方程的一次项系数是__________． 12. 若，是方程的两个实数根，则________． 13. 若是方程的一个根，则的值为__________． 14. 若函数是关于的二次函数，则的取值范围是__________． 15. 有四组一元二次方程：和；和；和；和．这四组方程具有共同特征，我们把具有这种特征的一组一元二次方程中的一个称为另一个的“相关方程”．请写出一个有两个不相等实数根但没有“相关方程”的一元二次方程：_______． 16. 已知抛物线，其中满足，且点，，在该抛物线上，则、、的大小关系为____________________． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）； （3）． 18. 解答下列各题： （1）二次函数图象过点，．求该二次函数的解析式； （2）已知二次函数的，的部分对应值如表所示： … 0 1 2 … … 1 2 1 … 求此二次函数的解析式． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数的取值范围； （2）若两个实数根和满足，求k的整数值． 20. 已知抛物线． （1）当时，求抛物线与轴的交点坐标； （2）若抛物线与轴交于，两点，且，求的值． 21. 阅读下面的材料，解答后面的问题． 材料：解方程 解：设，原方程变为，解得或． 当时，即，解得；当时，即，解得． 综上所述，原方程的解为，，，． 问题： （1）上述解答过程采用的数学思想方法是___________． A．加减消元法 B．代入消元法 C．换元法 D．待定系数法 （2）若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为___________． （3）解方程：； 22. 为弘扬地方文化，让更多游客了解济南，我市某文旅公司推出多款文创产品，已知某款文创产品的成本价为元，当售价为元时，每天可以售出件；经调查发现，售价每降价元，每天可多售出件． （1）为让利于游客，该款文创产品应该降价多少元，这个文旅公司每天的利润为元； （2）设该文旅公司每天售卖该款文创产品的利润为w元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 23. 我国古代数学典籍《九章算术》中有通过运算、推理估算一个正整数的算术平方根的方法．以估算一个四位数N的算术平方根为例，具体步骤如下： ①先估算N的算术平方根的整数部分． （ⅰ）分析：先近似认为N的算术平方根只有整数部分．因为N是四位数，其算术平方根的整数部分应为两位数，设整数部分的十位与个位数字分别为，，估计N为． （ⅱ）估计，如：若，因为1257介于和之间，可估计为3． （ⅲ）估计，如：若，把代入（ⅰ）中的式子，因为，则估计即为357，而357介于与之间，可估计为5．同时可知1257的算术平方根还有小数部分． ②再估算N的算术平方根的小数部分． N的算术平方根实际上包括整数部分和小数部分．设小数部分为，估计为．如：若，则估计为，即．由此可估计1257的算术平方根为． （1）依照上述步骤，估计方程的一个正数根； （2）请解释步骤②中估计为的合理性． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于点，与轴交于点，（在的左侧），如图所示，若四边形是矩形． （1）直接写出点的坐标； （2）平移抛物线得到抛物线，使抛物线经过点与点． ①写出平移的方向和距离，并说明理由； ②证明：矩形在抛物线开口内的部分与它在抛物线开口内的部分面积相等． 25. 如图，已知抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． （1）求以点、、为顶点的三角形的面积； （2）点是线段上方抛物线上的一动点，过作轴的平行线，交线段于点． ①当四边形为平行四边形时，求点的坐标； ②当时，在点运动过程中，抛物线上是否始终存在与不重合的点，使得，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $