2026-2027学年人教版九年级数学上册数学试卷（适用于：第25～26章）

2026-2027学年第一学期人教版九年级上册数学试卷 适用于：第25、26章一元二次方程和二次函数 一、单选题 1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列关于的方程中，一定有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 3．关于抛物线与，下列说法中正确的是（   ） A．两条抛物线交于点 B．抛物线和关于x轴对称 C．两条抛物线的顶点关于原点对称 D．抛物线向左平移m个单位得到 4．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤，其中结论正确的有（    ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．设是方程的两个实数根，则的值为（　　） A．2023 B． C．2021 D． 7．用配方法解一元二次方程时，原方程应变形为（   ） A． B． C． D． 8．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（        ） A． B． C． D． 9．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，要想在2天之后涨回到原价，试估计平均每天的涨幅（    ） A．一定为5% B．在5%～6%之间 C．在4%～5%之间 D．3%～4%之间 10．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 二、填空题 11．二次函数的图像与轴的交点坐标为______． 12．有一个人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮信息的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信过程中平均一个人向_________人发送短信． 13．已知、是方程的根，则式子的值为______． 14．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 15．抛物线的开口方向___________，对称轴是___________，顶点坐标是___________． 16．若二次函数的图象过，，三点，则，，的大小关系是______（用“<”连接）． 17．二次函数y＝图像的顶点坐标是__________． 18．将二次函数的图象向上平移______个单位，可以得到二次函数的图象． 三、解答题 19．计算、解方程 （1） ； （2）； （3） ； （4）（x－3）3＝32． 20．解方程： (1)． (2)． 21． 已知二次函数 （m是常数）． (1)求证：不论m为何值，该函数图像与x轴总有两个公共点； (2)求证： 当时，该函数图像与y轴的交点总在x轴的下方． 22．小军同学计划为一幅长寸，宽寸的创意画（图中阴影部分为其示意图）制作一个摆台画框，根据有关要求，画框的上、下边宽度相等，左、右边宽度相等，上、下边宽度是左、右边宽度的倍，若画框所占面积为创意画面积的，则摆台画框的左、右边宽度应是多少？ 23．（1）用配方法解方程：． （2）计算：． 24．（1）2x2+ 4x = 3．            （2）2(x－3)²＝x²－9                  （3）            （4） 25．（1）解方程：x2+2x﹣＝0（配方法）； （2）计算：﹣tan60°•cos30°． 26．已知关于x的一元二次方程的一个根为2，求k的值及另一个根． 27．在矩形中，已知，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动；同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)分别用含t的代数式表示与； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 2026-2027学年第一学期人教版九年级上册数学试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D D D A C D B D 1．C 【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可． 【详解】解：A、为分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、，整理后不含二次项，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、是一元二次方程，故此选项符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是． 2．C 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟知判别式是解题关键．根据二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根．逐一计算各选项的判别式，判断其是否恒大于0． 【详解】A、方程，判别式，方程无实数根，故本选项不符合题意； B、方程，判别式，方程有两个相等实数根，故本选项不符合题意； C、方程，判别式．因，故，方程恒有两个不相等实数根，故本选项符合题意； D、方程，判别式．当时，，方程有两个相等实数根，不满足“一定不相等”，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．D 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的平移，分别求出两个抛物线的对称轴，顶点坐标，与轴交点，再逐个判断即可． 【详解】解：令，则，， ∴两条抛物线交于点，故选项A错误； ∵，， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∴抛物线和关于轴对称，故选项B错误； 两条抛物线的顶点关于轴对称，故选项C错误； 抛物线向左平移m个单位得到，故D选项正确； 故选：D． 4．D 【分析】判定一元二次方程需注意两个易错点：必须是整式方程，且二次项系数不为0． 【详解】解：A选项：方程含有,两个未知数，不是一元二次方程； B选项：方程未说明，当时不是一元二次方程； C选项：方程分母含有未知数，不是一元二次方程； D选项：方程只含一个未知数，的最高次数为，且是整式方程，符合定义． 5．D 【分析】本题考查了二次函数图象与二次函数各项系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，二次函数图象与x轴的交点等知识．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图可知，抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴， 故①正确； ②抛物线开口向下得：， ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴， 故②正确； ③抛物线的对称轴为， ∴， ∴， 故③正确； ④∵抛物线的解析式化为 由函数的图象知：当时，， ∴令得， ∵， ∴， 即， 故④正确； ⑤由函数的图象知：当时，， ∴令得， 故⑤正确； ∴这些结论正确的有①②③④⑤． 故选：D. 6．A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．若是一元二次方程的两根，，． 7．C 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．根据配方法进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了解一元二次方程．通过配方法将方程左边配成完全平方形式，即可求解． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， ∴配方得，即， 故选：D． 9．B 【详解】设平均每天涨x%，根据题意可得90%（1+x%）2 =1，解得x%≈5.4%．故选B． 点睛：本题考查一元二次方程的应用——增长率问题，这道题的关键在于理解：价格上涨x%后是原来价格的（1+x%）倍． 10．D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程二次项系数不为0，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．根据题意，且，即可解答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：且， 故选：D 11． 【分析】因为轴上的点横坐标为，将代入函数解析式计算值，即可得到交点坐标． 【详解】解：轴上所有点的横坐标为， 把代入， 可得：， 二次函数的图像与轴的交点坐标为． 12．9 【分析】设每轮发送短信平均一个人向x个人发送短信，第一轮后共有人收到短信，第二轮发送短信的过程中，又平均一个人向x个人发送短信，则第二轮后共有人收到短信，根据这样经过两轮短信的发送共有90人收到同一条短信列出方程． 【详解】解：设每轮发送短信平均一个人向x个人发送短信， 则：． 整理得： 解得或（舍去） 故答案为：9． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．该类题解答的关键在于分析每一轮中发送的人数与接收的人数，并能结合题意，列出方程． 13． 【分析】根据一元二次方程根的定义，根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵、是方程的根， ∴，即，， 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 14．且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义． 根据一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义求出k的取值范围即可． 【详解】解： ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 即且． 故答案为：且． 15． 下 【分析】根据二次项系数确定开口方向，利用配方法转化为顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标． 【详解】∵，而， ∴开口方向向下． ∵， ∴对称轴是，顶点坐标是． 故答案为：下，，． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴是直线，顶点坐标为． 16． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称性和增减性；确定抛物线的对称轴，利用对称性把点C变为关于对称轴对称的另一点，利用函数的增减性即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称的另一点， ∵二次项系数为负， ∴抛物线开口向下， ∴当时，函数值随自变量的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 17．(-5,-3) 【分析】根据顶点式，其顶点坐标是，对照即可解答． 【详解】解：二次函数是顶点式， 顶点坐标为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握． 18．3 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据二次函数图象平移的规律即可得解． 【详解】解：∵ ∴二次函数的图象向上平移3个单位，可以得到二次函数的图象， 故答案为：3． 19．（1）；（2）；（3），；（4） 【分析】（1）根据开平方、绝对值、负指数幂的概念计算即可； （2）根据开平方、开立方、零指数的概念计算即可； （3）先系数化成1，再用直接开平方法可求得方程的解； （4）先系数化成1，再用直接开立方法可求得方程的解. 【详解】（1） （2） （3） 系数化为1得： 直接开平方得：，即 方程的解是：， （4） 数化为1得： 直接开立方得： 方程的解是： 【点睛】本题考查了开平方、绝对值、零指数幂、负指数幂的计算以及直接开平方、开立方解一元二次，熟练掌握相关概念的方法步骤是解题的关键. 20．(1), (2)，． 【分析】（1）把系数化为“1”后利用直接开平方法解答即可． （2）因式分解得，再解出即可． 【详解】（1）解： ， ， 或， ∴，． （2）解： ， ， ， ∴或， ∴，． 21．(1)证明：令y=0，则−x2+2(m−4)x+m2−1=0 ∴ ∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； (2) 证明：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数与y轴的交点坐标为， ∵当时，， ∴当时，该函数图像与y轴的交点总在x轴的下方． 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴，与y轴的交点问题，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根的判别式． （1）令，即可把二次函数化为一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）先求出二次函数与y轴的交点坐标为，则当时，，由此即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 22．寸 【分析】本题考查一元二次方程的建立与求解，矩形面积公式，根据题意构建关于画框宽度的一元二次方程是解题关键． 设画框左右宽度为寸，进而表示出上下宽度，再结合矩形面积公式与题目中的面积比例关系列出一元二次方程，求解后根据实际意义舍去负根，最终得出画框宽度． 【详解】解：设摆台画框的左、右边宽度为寸，则上、下边宽度为寸， 已知创意画的长为寸，宽为寸，则创意画的面积为平方寸， 画框所占面积为创意画面积的， 画框的面积为平方寸， 画框与创意画的总面积为平方寸， 带画框的整体长为寸，宽为寸， ， 可得， 即， 解得，（不合题意，舍去）， 故摆台画框的左、右边宽度为寸． 答：摆台画框的左、右边宽度应是寸． 23．（1）；（2）-1 【分析】（1）利用配方法直接解方程即可； （2）利用特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】（1）解：方程两边同除以2得， 配方得，即， 开方得， 解得． （2）解：原式 【点睛】本题主要考查解一元二次方程及三角函数综合运算，掌握配方法及特殊角的三角函数是关键． 24．（1），；（2），；（3），；（4），． 【分析】（1）移项后，用公式法进行求解； （2）移项变形后，用因式分解法进行求解； （3）方程整理后，用因式分解法进行求解； （4）方程整理后，用配方法进行求解． 【详解】解：（1）方程整理得：， ∵a＝2，b＝4，c＝－3， ∴△＝16+24＝40＞0， ∴， ∴，； （2）方程变形得：2(x－3)²－（x+3）（x－3）＝0， 因式分解得：（x－3）（2x－6－x－3）＝0， ∴x－3＝0或2x－6－x－3＝0， ∴，； （3）方程整理得：， 因式分解得：， ∴x－3＝0或5x+9＝0， ∴，； （4）方程整理得：， 配方得：， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 25．（1）x1＝1，x2＝﹣5；（2）． 【分析】（1）先整理为一般式，再利用配方法求解即可； （2）先代入三角函数值，再进一步计算即可． 【详解】解：（1）原方程变形为：x2+4x=5， ∴x2+4x+4=5+4， ∴（x+2）2=9， ∴x+2=±3， 则x=﹣2±3， ∴x1=1，x2=﹣5； （2）原式= = = =． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．还考查了特殊角的三角形函数值． 26．，另一根为 【分析】本题考查了一元二次方程的解的知识，根与系数的关系，由于一根为2，把代入方程即可求得的值．然后根据两根之积即可求得另一根．解题时可利用根与系数的关系使问题简化，难度不大． 【详解】解：方程的一个根为2， ， 解得， 设另一根为， ， ， ，另一根为． 27．(1)， (2) (3)存在 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理的应用．关键是熟练掌握线段长的表达式，矩形面积公式，三角形面积公式． （1）依据点P和点Q运动的速度和时间可求得的长，然后依据可求得的长； （2）中，依据勾股定理可得到关于t的方程，从而可求得t的值； （3）先求得矩形的面积，然后由五边形的面积可求得，然后依据列出关于t的方程，从而可求得t的值． 【详解】（1）∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动， ∴． ∵， ∴． ∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动， ∴． （2）在中，依据勾股定理得：． 即． 解得： （不合题意舍去），． 故当秒时，的长度等于． （3）存在秒，使得五边形的面积等于．理由如下： ∵长方形的面积是：，五边形的面积等于， ∴的面积为：． ∴． 解得：（不合题意舍去），． 故当秒时，使得五边形的面积等于． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $