期中重难点特训之易错压轴专项训练（20易错+6压轴）2026-2027学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教五四版）

期中重难点特训之易错压轴专项训练（20易错+6压轴） 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、列二次函数关系式 易错题型二、根据二次函数的定义求参数 易错题型三、比例线段 易错题型四、黄金分割 易错题型五、相似多边形的性质 易错题型六、二次函数的图像与性质 易错题型七、根据二次函数的对称性求函数值 易错题型八、待定系数法求二次函数解析式 易错题型九、已知二次函数的函数值求自变量的值 易错题型十、抛物线与x轴的交点问题 易错题型十一、二次函数与一元二次方程计算 易错题型十二、二次函数与一元二次不等式计算 易错题型十三、利用两角对应相等判定相似 易错题型十四、求两个位似图形的相似比 易错题型十五、由平行判断成比例的线段 易错题型十六、利用相似三角形的性质求解 易错题型十七、选择或补充条件使两个三角形相似 易错题型十八、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 易错题型十九、实际问题与二次函数综合应用 易错题型二十、相似三角形的性质与判定综合问题 压轴题型一、二次函数中折叠问题 压轴题型二、二次函数与几何图形综合问题 压轴题型三、二次函数中最值问题 压轴题型四、相似三角形——动点问题 压轴题型五、相似三角形的性质与判定综合问题 压轴题型六、坐标与图形综合问题 易错题型一、列二次函数关系式 1．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段检测）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 2．（25-26九年级上·上海松江·期末）观察下列两个两位数的积（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10）：．设这两个两位数的积为y，其中一个乘数为，则y关于x的函数关系式为______． 【答案】（的整数） 【分析】根据题意，易得另一个乘数为，进而得出y关于x的函数关系式即可． 【详解】解：∵两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10，一个乘数为，则：另一个乘数为， ∴（的整数）； 故答案为：（的整数）． 【点睛】本题考查二次函数的应用．解题的关键是用含的代数式表示出另一个乘数． 3．（25-26九年级上·辽宁朝阳·期中）如图，矩形绿地的长、宽各增加，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式． 【答案】 【分析】根据题意可知，增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m，再由矩形面积公式求解即可． 【详解】解：∵矩形原来的长和宽分别为30m、20m，矩形绿地的长、宽各增加xm， ∴增加后的矩形的长和宽分别为（20+x）m，（30+x）m， ∴. 【点睛】本题主要考查了从实际问题出抽象出二次函数，解题的关键在于能够熟练掌握矩形面积公式． 易错题型二、根据二次函数的定义求参数 4．（24-25九年级上·吉林长春·期中）若函数是关于x的二次函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义解答即可 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得， 故选：B． 5．（25-26九年级上·青海西宁·期中）已知是二次函数，则实数______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义可得且，即可求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 解得， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·吉林·期中）若二次函数的开口向下，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可知，，求得的值即可． 【详解】解：二次函数的开口向下， ，， 解得，， ． 易错题型三、比例线段 7．（25-26八年级下·吉林长春·期末）下列各组线段中，、、、成比例的一组是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】利用比例的基本性质，通过验证与是否相等判断四条线段是否成比例． 【详解】解：A、， ，， ， 该组线段不成比例； B、， ，， ， 该组线段成比例； C、， ，， ， 该组线段不成比例； D、， ，， ， 该组线段不成比例． 8．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）甲、乙两地的实际距离是600千米，在比例尺为的地图上，甲乙两地的距离是________． 【答案】120 【分析】本题考查了比例尺，图上距离等于实际距离乘以比例尺，将实际距离单位统一为厘米即可． 【详解】解：实际距离千米厘米， 图上距离厘米． 故答案为：120． 9．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长． (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意可设，，，再代入，即可求解； （2）根据m是a、b的比例中项，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴可设，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵m是a、b的比例中项， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 即线段的长为． 【点睛】本题主要考查了比例与比例中项问题，掌握比例性质以及比例中项定义，如果a、b、c三个量成连比例即，b叫做a和c的比例中项是解题的关键． 易错题型四、黄金分割 10．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）在学习黄金分割时，小明同学发现一个矩形的宽与长之比为黄金比．已知长为，则它的宽约为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割的应用，关键是明确黄金分割所涉及的线段的比． 根据黄金分割的比值约为0.618列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵书的宽与长之比为黄金比，书的长为， ∴书的宽约为． 故选：B． 11．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知线段是线段的黄金分割点，则_________． 【答案】 【分析】本题主要是考查了黄金分割点的概念，根据黄金分割点的概念解答即可，熟记黄金分割分成的两条线段和原线段之间的关系是解题的关键． 【详解】根据黄金分割点的概念，可知， 则， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段检测）（1）点是线段的黄金分割点，，厘米，求的长； （2）已知点是线段的黄金分割点，，求的值． 【答案】（1）厘米；（2）或． 【分析】（1）根据条件建立等式，求解即可； （2）利用分类讨论的思想讨论出黄金分割点，得出与原线段比例分别为和，然后建立等式求解． 【详解】解：（1）根据黄金分割点定义，且， 可知，此时 厘米； （2）线段的黄金分割点有两个，与原线段比例分别为和， 故或． 【点睛】本题考查了黄金分割点，解题的关键是注意黄金分割点和黄金分割的区别，一条线段的黄金分割点有两个，满足黄金分割黄金比的只有一个． 易错题型五、相似多边形的性质 13．（25-26九年级上·四川资阳·期末）如图，四边形与四边形是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形的周长为12，则四边形的周长为（    ） A．2 B．6 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查位似图形，根据位似图形的周长比等于位似比，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形与四边形是以点O为位似中心的位似图形，且， ∴四边形与四边形的周长比为， ∵四边形的周长为12， ∴四边形的周长为6； 故选B 14．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，六边形六边形，，，则六边形与六边形的周长比为________． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质． 直接根据相似多边形周长比等于相似比作答即可． 【详解】解：∵六边形六边形，，， ∴相似比为， ∴周长比为． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，四边形四边形． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)58° (2) 【分析】该题主要考查了相似多边形的性质和四边形内角和，解题的关键是掌握相似多边形的性质． （1）根据四边形内角和算出∠D的度数，再根据相似多边形的性质即可求解； （2）根据相似多边形的性质得出，即可求解． 【详解】（1）解：在四边形中，， 则， 四边形四边形， ； （2）解：四边形四边形， 又， ， 解得：． 易错题型六、二次函数的图像与性质 16．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数图象大致（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数和二次函数的图象和性质解答即可． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，两者相矛盾，不符合题意； B、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，两者一致，符合题意； C、由一次函数的图象可知，由二次函数的图象可知，两者相矛盾，不符合题意； D、当时，一次函数与二次函数的函数值，即一次函数与二次函数与y轴交于同一点，该选项的一次函数与二次函数与y轴不交于同一点，两者相矛盾，不符合题意． 17．（26-27九年级上·青海西宁·阶段检测）二次函数关于轴对称的函数解析式为__________．原函数向左平移3个单位，向上平移2个单位的解析式为__________． 【答案】 【分析】设点是二次函数关于轴对称的函数图象上一点，则点是二次函数图象上一点，求出n关于m的关系式即可得到第一空的答案；根据“上加下减，左加右减”的平移规律可得第二空的答案． 【详解】解：设点是二次函数关于轴对称的函数图象上一点，则点是二次函数图象上一点， ∴， ∴， ∴二次函数关于轴对称的函数解析式为； 二次函数向左平移3个单位，向上平移2个单位的解析式为，即． 18．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知二次函数的自变量x与函数y的部分对应值列表如下： x … 0 1 … y … ①_____ ②_____ ③_____ ④_____ … (1)补充表格： ①_____；②_____；③_____；④_____； (2)在如图平面直角坐标系中，描出上述各点并画出此函数的图象； (3)根据函数图象，当时，直接写出函数值的取值范围． 【答案】(1)①，②0，③2，④0 (2) (3) 【分析】（1）把、、、分别代入求解即可； （2）根据函数解析式，用描点法画图即可； （3）根据自变量的取值范围，结合图示，即可确定函数值的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，； （2）略 （3）解：当时，根据（2）中图示可知，． 易错题型七、根据二次函数的对称性求函数值 19．（26-27九年级上·上海闵行·单元复习）已知点，，均在抛物线上，下列排序正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定抛物线的对称轴与开口方向，通过比较三点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线开口向上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ， ． 20．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）在二次函数中，与的部分对应值如表： ．．． 0 1 3 4 ．．． ．．． 2 4 2 ．．． 下列结论：①抛物线开口向下；②当时，随的增大而减小；③抛物线与坐标轴有2个交点；④抛物线一定经过点；⑤该抛物线图象一共经过四个象限．其中正确的结论有___________．（只填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】先由，；，求出对称轴，再结合表格中和的函数值大小关系，判断开口方向，再依次对5个结论逐一辨析． 【详解】由表格，时，时， 抛物线对称轴为直线． 离对称轴更近，时的函数值大于时的函数值， 抛物线开口向下，故①正确． ∵对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随的增大而减小，不是，故②错误． 当时，，与轴交于；开口向下，存在函数值大于0和小于0的点，抛物线与轴有个交点，与坐标轴一共个交点，故③错误． ∵对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点是， ∵时， 时，即抛物线过，故④正确． 抛物线开口向下，与轴交于正半轴，与轴有两个交点，顶点在第一象限，会经过一、二、三、四，四个象限，故⑤正确． 综上，正确的是①④⑤． 21．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知二次函数中的x，y满足如表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 3 8 … (1)直接写出该函数图象的开口方向； (2)当时，求自变量x的值； (3)直接写出当时，x的取值范围． 【答案】(1)开口向上 (2)或5 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的对称性，二次函数与不等式，解题关键是根据表格分析二次函数的图象和性质． （1）根据表格中对称点，可求图象对称轴，由图象对称轴右侧的y随x增大而增大可得抛物线开口向上； （2）根据二次函数的对称性求表格中的对称点即可求得； （3）根据函数的图象经过，，以及开口方向即可确定． 【详解】（1）解：∵图象经过，， ∴图象对称轴为直线， 由表格可得，时，y随x增大而增大， ∴抛物线图象开口向上； （2）∵关于直线的对称点是， ∴当时，求自变量x的值为或5； （3）∵函数图象经过，，开口向上， ∴当时，x的取值范围为：． 易错题型八、待定系数法求二次函数解析式 22．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）二次函数的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y m n 有以下结论：①；②当时，y随x的增大而减小；③．正确的是（） A．① B．② C．③ D．②③ 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的相关性质，通过待定系数法求二次函数解析式，再判断各结论的正确性． 【详解】∵由表可知，当时，当时，当时， 即该函数图像经过点, 代入得，解得， ∴该二次函数解析式为， ∴，故①错误， ∵， ∴该函数图像开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，对称轴左侧y随x的增大而增大， 又∵该函数图像的对称轴为，包含对称轴右侧， ∴y不是始终随x的增大而减小，故②错误； 当时，，即， 当时，，即， ∴，故③正确． 故选：C． 23．（25-26九年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点和点，与轴交于点，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与轴的交点问题；待定系数法求得解析式为，令，得出，即可求解． 【详解】解：∵与x轴交于点和点， ∴ 解得： ∴ 当时， ∴     ∴ 故答案为：． 24．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式； (2)在图中画出该函数的图象； (3)根据（2）中的图象，当时，请直接写出y的取值范围． 【答案】(1)； (2)函数图象如下： (3)． 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据第（1）问中求得的函数解析式可化为顶点式，得出顶点坐标，进而画出函数图象； （3）先计算出当时的函数值，再根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：， 列表： 0 3 0 0 3 描点，连线，函数图象；略 （3）解：当时，， 当时，， ，顶点坐标为，即时，有最小值为， ∴根据图象得：当时，y的取值范围为． 易错题型九、已知二次函数的函数值求自变量的值 25．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）下列各点中，是二次函数图像上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别把、0、2代入二次函数解析式中计算出对应的函数值，然后进行判断． 【详解】解：当时，，故A错误； 当时，，故B错误； 当时，，故C错误； 当时，，故D正确； 故选：D． 26．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）的自变量与函数的几组对应值如下表，则方程的解是___________． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 5 0 ．．． 【答案】 ， 【分析】根据表格中值相等的对应点确定二次函数对称轴，再利用二次函数对称性得到对应的另一个自变量的值，即可得到方程的解． 【详解】解：由表可知和的函数值都是， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵时，，满足方程， ∴根据二次函数对称性，另一个满足的点的横坐标为， ∴方程的解是，． 27．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于，两点． (1)求，两点的坐标． (2)抛物线上点的坐标为，求的值． 【答案】(1)点的坐标是，点的坐标是； (2)或 【分析】（1）解方程，即可得到点，的坐标； （2）把点的坐标为代入函数解析式中，得到关于的一元二次方程，解方程即可求出结果． 【详解】（1）解：解方程， 分解因式可得：， 解得：，， 点在点的左侧， 点的坐标是，点的坐标是； （2）解：把点的坐标为代入， 可得：， 整理可得：， 解得：，， 的值为或． 易错题型十、抛物线与x轴的交点问题 28．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口，与轴交点位置，以及对称轴判断符号，以及的关系，即可判定A、B、C，再由抛物线与轴的交点个数判断D． 【详解】解：由抛物线开口向上可得，， 抛物线与轴交点在轴负半轴，可得 对称轴，则 故，故A正确； 由，可得，，故，故B错误，符合题意； ，故C正确； 由于抛物线与轴有两个交点，故，故D正确． 29．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，是二次函数 的部分图象，图象过点，对称轴为直线，下列结论∶；；③方程( 有实数根；．其中正确的结论为___________________(填序号)． 【答案】②③④ 【分析】先根据图象判断a，b，c符号；利用对称轴求出抛物线与轴另一个交点；将方程有无实数根转化为函数图象交点问题；结合对称轴与已知点坐标做代数代换，判断正负． 【详解】解：抛物线开口向下，可得． 对称轴 ，可得，， 所以． 抛物线与轴交于正半轴，则． ，故①错误． 对称轴，已知一个交点，根据对称性，另一交点横坐标：，交点坐标为． 当时，，②正确． 方程可变形为． 抛物线开口向下，顶点在轴上方，所以抛物线与直线有交点，方程有实数根，③正确． 图象经过点，将点代入解析式，可得． 又，把代入上式： ，， 所以，④正确． 综上，正确结论：②③④． 30．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，y的取值范围为________； (3)将该抛物线向上平移________个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 【答案】(1) (2) (3)3或4 【分析】（1）设为顶点式，运用待定系数法求解即可； （2）抛物线开口向上，有最小值，在范围内，有最小值是，求出当时，，结合函数图象可得y的取值范围； （3）根据题意分两种情况：当抛物线与x轴只有一个公共点时，当与原点相交时，结合二次函数的性质及平移的性质求解验证即可． 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为， 将代入，得，， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为； （2）∵二次函数的表达式为． ∴当时，， 当时， ∵抛物线的顶点坐标为 ∴y的最小值为， ∴当时，y的取值范围为； （3）解：当抛物线与x轴只有一个公共点时，向上平移4个单位长度得， ∴与x轴只有一个交点，即， 当时，， ∴与y轴有一个交点，即，符合题意； 当经过原点时，向上平移3个单位长度，得到函数解析式为：， 当时，， 解得：， 所得交点为，符合题意； ∴该抛物线向上平移3或4个单位后，所得抛物线与坐标轴只有两个公共点． 易错题型十一、二次函数与一元二次方程计算 31．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）下表是代数式的部分值的情况，根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（     ） x A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：方程即求代数式的值为15时的值． 当时，； 当时，． 该方程的一个正根满足． 32．（25-26九年级上·山西晋中·阶段检测）由表的对应值知，一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根的百分位上的数字是__________． x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 【答案】4 【分析】根据表格可得当时，；当时，，由此得到一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根在3.24与3.25之间，由此得到答案． 【详解】解：由表格得，当时，；当时，， 故一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根在3.24与3.25之间， ∴一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根的百分位上的数字是4， 故答案为：4． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的情况，正确理解一元二次方程的表示方法是解题的关键． 33．（26-27九年级上·上海闵行·课后作业）利用函数图象求下列方程根的近似值（结果保留小数点后一位）： (1)； (2)． 【答案】(1)方程的近似根为， (2)方程的近似根为， 【分析】（1）画出函数图象，再根据图象解答即可； （2）画出函数图象，再根据图象解答即可； 【详解】（1）解：令， 根据式子列出表格可得： 作出图象可得： 由图象可得， 方程的近似根为，； （2）解：令， 根据式子列出表格可得： 作出图象可得： 由图象可得，方程的近似根为，． 易错题型十二、二次函数与一元二次不等式计算 34．（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案． 【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 35．（24-25九年级上·重庆·期末）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是________． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据对称轴为直线，可求出当时，或，再结合图象即可求解，掌握二次函数的性质，利用数形结合求不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：由图象可知，二次函数的对称轴为直线， 当时，或， ∴通过图象可知：不等式的解集是或， 故答案为：或． 36．（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）已知二次函数 (1)求该函数的顶点坐标； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)根据图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1) (2)如图， (3) 【分析】（1）一般式化为顶点式即可得出结果； （2）五点法作图即可； （3）根据图象直接作答即可． 【详解】（1）解：， 故顶点坐标为． （2）解：列表如下： 0 1 0 3 4 3 0 画图略； （3）解：当时，， 当时，， 当时，， 由图象可知，当时，的取值范围是． 易错题型十三、利用两角对应相等判定相似 37．（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）观察下列每组三角形，不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理，对四个选项中的条件进行逐一分析，判断是否满足相似条件 【详解】解：A、，三边成比例，能判定两三角形相似，不符合题意； B、，且夹角均为，两边对应成比例且夹角相等，能判定两三角形相似，不符合题意； C、仅有一组角为相等，缺少其他条件，不能判定两三角形相似，符合题意； D、有一组相等的角为，还有一组对顶角相等，两角分别相等，能判定相似，不符合题意． 38．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，点D是上一点，添加一个条件使得，可以是___________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】观察图形可知为和的公共角，结合相似三角形的判定定理，只需再添加一组对应角相等或夹公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解： 在和中， ， 当添加条件或者或者时 ， ． 39．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，点在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴． (2)8 【分析】（1）直接利用两角对应相等的三角形相似即可证明结论； （2）根据相似三角形的性质列比例式并代入已知数据求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：由（1）可得 ∴，即，解得：． 易错题型十四、求两个位似图形的相似比 40．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，与位似，点O是它们的位似中心，若，的面积为8，则的面积为（  ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解题的关键． 先根据推导出两个三角形的位似比，再利用位似图形的面积比等于位似比的平方这一性质，结合的面积计算出的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵与位似，位似中心为， ∴与的位似比为， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 41．（24-25九年级上·陕西西安·期中）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的周长为___________． 【答案】8 【分析】本题考查位似图形的性质．根据正方形的周长为4和位似比求出，进而即可求解． 【详解】解：正方形与四边形是位似图形， 四边形是正方形， 正方形的边长为，， ， 四边形的周长为， 故答案为：8． 42．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1．与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)在图中画出位似中心O； (2)与的相似比是______； (3)请在此网格中以点C为位似中心，再画一个，使它与的相似比等于2∶1． 【答案】(1) 如图所示， (2) (3) 如图所示，即所求． 【分析】本题主要考查位似图形的知识， （1）根据两个三角形的位置找到位似中心即可； （2）根据三角形的边长求得相似比； （3）结合位似中心点和网格即可得到． 【详解】（1）解：将对应顶点连接，并延长交于O点． （2）根据对应线段长求得，， 则与的相似比． （3）略 易错题型十五、由平行判断成比例的线段 43．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）如图，AB∥CD∥EF，则在图中下列关系式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得到． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例，正确理解平行线分线段的对应比例关系是解题的关键． 44．（25-26九年级下·全国·课前预习）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．如： ____， ____． 【答案】 【解析】略 45．（25-26九年级上·山西太原·期中）如图，在中，点D是边上的一点，．    (1)尺规作图：作直线交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1) 如图所示， 直线即为所求； (2) 【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图以及平行线分线段成比例． （1）根据作一个角等于已知角，再根据同位角相等，两直线平行即可作答； （2）根据平行线分线段成比例即可作答． 【详解】（1）略 （2）由作图可知， 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 易错题型十六、利用相似三角形的性质求解 46．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，已知点D，E分别在的边，上，，，，则和的相似比是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴， 即和的相似比是． 47．（26-27九年级上·上海闵行·课后作业）如图，，，分别是的高和中线，，分别是的高和中线，且，，，则的长为_______． 【答案】4.5 【详解】解：∵，，分别是的高和中线，，分别是的高和中线， ∴，即， ∴． 48．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，点、分别在边、上，，若，，，求的长． 【答案】 【分析】利用题目条件推出，从而，代入值可得的长． 【详解】解：，， ， ， ，，， ， ． 易错题型十七、选择或补充条件使两个三角形相似 49．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）如图，在中，点，分别在边，上，再添加一个条件，仍不能判定与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：已知， A．添加后，有两组角对应相等，能判定与相似，不合题意； B．添加后，可得，有两组角对应相等，能判定与相似，不合题意； C．添加后，满足两组对应边的比相等且夹角对应相等，能判定与相似，不合题意； D．添加后，有两组对应边的比相等，但不能确定夹角相等，不能判定与相似，符合题意． 50．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，，请补充一个条件：_______________，使． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：补充条件：． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 或补充条件：． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 或补充条件：． ∵．， ∴（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 51．（26-27九年级上·湖南常德·阶段检测）如图1，在中，点D，点E分别在上． (1)添加条件：　　　，可使；（填一个即可） (2)已知． ①若，则的长为　　　； ②若的面积为2，求四边形的面积． (3)如图2，已知．求证：； (4)如图3，，，求的长． 【答案】(1)或或（填一个即可） (2)①②6 (3)证明：∵， ∴，， ∴，． ∴； (4) 【分析】（1）依据题意，根据相似三角形的判定，结合图形可以判断得解； （2）①依据题意，由，则，结合，从而可以计算得解； ②依据题意，由，则，结合，可得，则，从而计算可以得解； （3）通过已知，利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等，推导出且，从而证明； （4）通过作辅助线构造直角三角形和相似三角形，利用角度关系和勾股定理，逐步推导得出的长度． 【详解】（1）解：或或．理由如下： 当时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴． （2）解：①由题意，∵， ∴． ∵， ∴． ②∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴四边形的面积的面积； （3）略 （4）解：如图，过点A作的垂线，过点D作的垂线，两垂线交于点M，连接． ∵， ∴， ∴． 又， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴． 易错题型十八、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 52．（25-26九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，与是位似图形，点为位似中心，．若的面积为27，则的面积是（    ）    A．9 B．12 C．15 D．27 【答案】B 【分析】根据位似图形的面积比等于位似比的平方计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形，点为位似中心， ∴， ∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，掌握位似图形的面积比等于位似比的平方是解答本题的关键． 53．（25-26八年级下·江苏淮安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形．若，的周长为3，则的周长为________． 【答案】6 【分析】本题考查坐标与位似．根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，即可得出结果． 【详解】解：∵和是以原点O为位似中心的位似图形，， ∴和的相似比为：， ∴和的周长比为：， ∵的周长为3， ∴的周长为6； 故答案为：6． 54．（25-26九年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，在网格中，点是格点，是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点是点以点为位似中心的对应点．    (1)画出以点为位似中心的位似图形； (2)与的面积比是_____________． 【答案】(1) 如图所示，即为所求．    (2) 【分析】（1）根据题意画出位似图形，即可求解； （2）根据面积比等于相似比的平方，相似比等于位似比，即可求解． 【详解】（1）略 （2）与的面积比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查位似图形的画图和相似比的计算，掌握对应的方法是本题关键． 易错题型十九、实际问题与二次函数综合应用 55．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）一辆卡车要通过跨度为8米，拱高为4米的抛物线形隧道，车从隧道正中通过，为保证安全行车，在车顶到隧道顶部的距离至少要米，若卡车宽米，则卡车限高为多少米？ 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，先求出对应的抛物线解析式，进而求出当时，的值即可得到答案， 【详解】解：如图所示，建立坐标系，则可设抛物线解析式为， 把代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， ， ∴卡车限高为． 56．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知函数与的交点为A，B（A在B的右边）． (1)求点A、点B的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1)点A，B的坐标分别为 (2)3 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）将两个函数的解析式联立组成方程组，求得方程组的解就可得到交点的坐标； （2）利用求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：或 即交点A，B的坐标分别为； （2）连接 直线与y轴交于点，即， ． 57．（2026·陕西宝鸡·一模）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点为飞行距离计分的参照点，落地点超过点越远，飞行距离分越高．某滑雪赛场跳台滑雪的起跳台的高度为，基准点到起跳台的水平距离为，高度为．设运动员从起跳点起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为． (1)若运动员落地点恰好到达点，求，的值． (2)若运动员飞行的水平距离为，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过点，并说明理由． 【答案】(1)的值为，的值为60 (2)能超过， ∵运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度， ∴与的函数关系式为， 当时，， ∴他的落地点能超过点． 【分析】（1）设抛物线为，可得抛物线解析式为，即可解得答案． （2）运动员飞行的水平距离为，恰好达到最大高度，可得抛物线解析式为，当时，，从而可知他的落地点能超过点． 【详解】（1）依题意，将，代入， 得解得 ∴的值为，的值为60． （2）略 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题． 易错题型二十、相似三角形的性质与判定综合问题 58．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图是一个的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均为格点．与相交于点，则图中的面积为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、三角形面积．根据相似三角形的判定与性质求出，再根据三角形面积公式求出，，两式相减求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ， ， ， ，， ， ， ， 故选：C． 59．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，，，则与梯形面积之比为_________．    【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴与梯形面积之比为， 故答案为：． 60．（2026·上海闵行·一模）如图，在中，点、在边上，，，过点作交边于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明： ， ， 又， ∴； (2) 解：， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据“两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可得解； （2）根据平行线分线段成比例定理求出，再由比例性质及等量代换求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 压轴题型一、二次函数中折叠问题 1．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）在平面直角坐标系中，如果某点的横坐标与纵坐标的和为10，则称此点为“合适点”．例如，点，…都是“合适点”． (1)求函数的图象上的“合适点”的坐标； (2)若二次函数的图象上有且只有一个合适点”，其坐标为，求二次函数的表达式； (3)我们将抛物线在x轴下方的图象记为，在x轴及x轴上方的图象记为，现将沿x轴向上翻折得到，图象和图象两部分组成的图象记为G，当图象G上恰有两个“合适点”时，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)“合适点”的坐标为 (2) (3)或 【分析】（1）根据“合适点”定义：，与联立方程组求解． （2）点在抛物线上；“只有一个合适点”即抛物线与定直线仅有一个公共点，联立后一元二次方程，列方程组求参数． （3）由两部分构成：：原抛物线满足的部分；：沿轴向上翻折，解析式为（仅取原对应的自变量范围）；“合适点”等价直线与图形的交点；分直线与相切、直线过临界两类讨论． 【详解】（1）解：由“合适点”定义，得 ． 联立方程组： 把代入， ，， 解得． 将代入，得 ． 该“合适点”坐标为． （2）解：把点代入二次函数， “合适点”满足，联立 消去，整理得：． 图象上有且只有一个“合适点”， 该一元二次方程有唯一实数根，． 联立①②，解得 ，． 二次函数的表达式为． （3）如图所示： 解：抛物线，顶点． 是原抛物线部分，将沿轴向上翻折得到，解析式：； 是原抛物线部分； “合适点”所在定直线：． ① 当直线与翻折后的曲线相切，是第一处临界． 联立： ， 整理：． ， ∵相切条件 ∴ 解得 ． 当时，直线与无交点，只和产生个交点，满足图象恰有两个“合适点”． ② 直线与轴交点为，当该点落在原抛物线上为第二处临界． 将代入， 当时，点落在对应的自变量区间，不属于图形，此时直线与图形恰好产生个“合适点”． 综上所述，的取值范围为： 或． 2．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，抛物线y1＝﹣x2＋2向右平移1个单位得到的抛物线y2，回答下列问题： (1)抛物线y2的顶点坐标是什么？ (2)阴影部分的面积S＝ 　　． (3)若再将抛物线y2沿x轴翻折得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式． 【答案】(1)(1，2) (2)2 (3)y＝(x﹣1)2﹣2 【分析】（1）先确定二次函数y=-x2+2的顶点坐标为(0,2)，然后根据点平移的规律得到点(0，2)平移后所得对应点的坐标为(1,2)； （2）阴影部分的面积可转化为平行四边形的面积，然后根据平行四边形的面积公式求解； （3）根据关于x轴对称的点的坐标特征得到点(1,2)关于x轴对称的点的坐标为(1，-2)，由于抛物线沿x轴翻折时开口方向改变，所以可利用顶点式得到抛物线y3的解析式． 【详解】（1）解：抛物线y1＝﹣x2+2向右平移1个单位得到的抛物线y2＝﹣(x﹣1)2+2， 则抛物线y2的顶点坐标为(1,2)； （2）解：如图，根据平移的性质可得：阴影部分的面积等于平行四边形ABCD的面积， ∴阴影部分的面积S＝1×2＝2； 故答案为2； （3）解：抛物线y2＝﹣(x﹣1)2+2的顶点坐标为(1,2)， 而点(1,2)关于x轴对称的点的坐标为(1,﹣2)， 所以抛物线y3的解析式为y＝(x﹣1)2﹣2． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了关于x轴对称的点的坐标特征． 3．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，已知抛物线过点和点． (1)求抛物线L的函数解析式； (2)将抛物线L沿y轴翻折得到抛物线，与x轴交于点B和点D（点B在点D的右侧），抛物线上是否存在点Q，使得？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题考查了二次函数的图象特征，解答本题的关键是求出翻折后的函数解析式． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出翻折后的函数解析式，求出，的坐标，再根据可求出到轴的距离，从而确定的纵坐标，然后再用解析式求出的横坐标即可． 【详解】（1）将，代入，得： ， 解得：， ∴； （2）由题意得的解析式为， 令， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴Q到BD的距离为6， 当时，， ，， ∴，， 当时，，无解； 综上所述：Q的坐标为或． 4．（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）综合与探究 如图，在等腰直角三角形中，分别为边和边上的动点，，设的长为． (1)如图1，若四边形的面积为150，求的值． (2)如图2，过点作于点，过点作于点． ①当取何值时，四边形的面积最大？最大值是多少？ ②将沿翻折得到与四边形重叠部分的面积记为S，当S的值为40时，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)①当时，四边形的面积最大，最大值为100；②的值为或 【分析】（1）根据列出方程即可求解； （2）①证明四边形是矩形，易得是等腰直角三角形，由勾股定理求得，再求出，即可得四边形的面积关于x的函数关系式，由二次函数的性质即可求解； ②分以下两种情况：（i）当时；（ii）当时；根据重叠面积为40，建立关于x的方程并求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 整理得， 解得（负值已舍去）． （2）解：①， ， ． ， ， 四边形为平行四边形． ； 四边形为矩形． ∵， ∴， 的长为，则． 由勾股定理得． 设矩形的面积为， 则， 当时，四边形的面积最大，最大值为100． ②分以下两种情况： （i）当时，如图3，点在内部（含在边上）， 此时重叠面积，解得（负值舍去）． ， 符合条件． （ii）当时，如图4，点在的外部． 设此时的直角边分别与交于点和点， 由折叠知，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， 解得（舍去），． 综上所述，的值为或． 5．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图实线所示． (1)函数图象与x轴的交点坐标为______、______． (2)当时，则y的取值范围为______． (3)若直线与函数图象有4个不同的交点，则t的取值范围为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解方程，求解即可． （2）根据题意，确定新抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为，然后根据函数的增减性解答即可． （3）根据函数的最小值，结合数形结合思想，解答即可． 【详解】（1）解：令，得， 解方程，得， 故函数图象与x轴的交点坐标为． （2）解：根据题意，得， 抛物线的对称轴为直线，函数的顶点坐标为， 二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后的顶点坐标为， 新抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线，函数的最小值为，且离对称轴的距离越大，函数值就越大； 在的范围内， 函数有最小值，且最小值为， ， 当时，函数取得最大值，且最大值为， y的取值范围为． （3）解：根据题意，新抛物线的解析式为， 当时，直线与函数有三个交点； 当时，直线与函数有四个交点； 故直线与函数图象有4个不同的交点，则t的取值范围为． 压轴题型二、二次函数与几何图形综合问题 1．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)点P是抛物线对称轴上一动点，连接，，求最小时点P的坐标； (3)点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，请你画图观察，直接写出点M的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)点的坐标为 (3) 或 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）根据对称性得到，进而得到，进而得到当点在线段上时，的值最小，进行求解即可； （3）画出图象，数形结合进行求解即可. 【详解】（1）解：把点分别代入抛物线与直线，得： ，， ∴； （2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为，直线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点的横坐标为1， 又∵抛物线与轴交于两点， ∴点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小，为的值，即点在直线上， ∴当时，， ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，， 联立，解得或， ∴， ∴两点间的横坐标之间的距离为3， ∵将点M向左平移3个单位长度得到点N， ∴轴或在轴上， ∴当点与点重合时，此时线段与抛物线只有一个公共点，当点在线段之间时，线段与抛物线只有一个公共点，当点与点重合时，线段与抛物线有两个公共点，当恰好过抛物线的顶点，即时，此时线段与抛物线只有一个公共点， 综上：或. 2．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为，，点M是抛物线的顶点． (1)求二次函数的关系式； (2)点P为线段上一个动点，过点P作轴于点D．设点P的横坐标为n，的面积为S． ①求与n的函数关系式，写出自变量n的取值范围； ②求的最大值． 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）将、代入抛物线得方程组求解即可得到答案； （2）①由（1）知二次函数的关系式，得到，再由待定系数法确定直线的解析式，结合题意即可得到答案； ②由抛物线性质求最值即可得到答案． 【详解】（1）解：将，代入抛物线可得， ， 解得， 二次函数的关系式为：； （2）解：①由（1）知二次函数的关系式为：， 点是抛物线的顶点， ， 设直线的解析式为， 将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 过点作轴于点，点的横坐标为， ，， 的面积为， ，， ； ②由①知，， ， ，满足， 的面积有最大值，为． 3．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图1，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知，抛物线的对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式； (2)如图2，连接，点P是第一象限内抛物线上一点，过点作轴交于点E，求的最大值以及点P的坐标； (3)将抛物线向右平移1个单位长度，向上平移5个单位长度得新抛物线，点M是平移后新抛物线上一点，若，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)； (2)最大值为，点的坐标为； (3)或 【分析】（1）根据对称轴得出，再将点A代入求解即可确定函数解析式； （2）根据题意得出，，利用待定系数法确定直线的解析式为，设，则，得出，化为顶点式即可求解； （3）根据平移确定，再由题意得出，分两种情况分析：当点M在x上方的图象上时，如图所示，过点M作轴，当点M在x轴下方的抛物线上时，如图所示，过点M作轴，结合图形分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线, ， 解得， ∴抛物线解析式为， 又∵抛物线经过点， ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：令,得 解得， ， ， 令,得 ， 设直线的解析式为， 将代入得：     解得， ∴直线的解析式为， 设则， ， ， 当时，取得最大值，最大值为， 此时， 点的坐标为； （3）， ∵将抛物线向右平移1个单位长度，向上平移5个单位长度， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点M在x上方的图象上时，如图所示，过点M作轴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵点M是平移后新抛物线上一点， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 当时，，对应图中的点M； 当点M在x轴下方的抛物线上时，如图所示，过点M作轴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵点M是平移后新抛物线上一点， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴当时，，对应图中的点； 综上可得：或． 4．（26-27九年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整数点”．抛物线（为常数且）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点． (1)若，抛物线与轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有________个； (2)如图①，连接、、，若是直角三角形，求的值． 【答案】(1)15 (2)或 【分析】（1）当时，，可得抛物线的顶点的坐标为，再求得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，当时，，结合图形即可求得“整数点”的个数； （2）先求得抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，，，再分三种情况，当时，当时，当时，分别根据勾股定理列出方程即可求解； 【详解】（1）解：当时，， ∴抛物线的顶点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 当时，，解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 当时，， 结合图形可知，抛物线与x轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有个； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， 当时，，解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 则，，， 当时，，即， 解得：（正值舍去）； 当时，，即， 解得：（正值舍去）； 当时，，即， 此时方程无解； 综上，当或时，是直角三角形． 5．（26-27九年级上·北京东城·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．         (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图，为第四象限抛物线上一点，连接，过点作分别交、轴于、两点，当为线段的中点时，求点的坐标． (4)如图，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，求得得到点P在x轴的上方，过A作交于M，过作轴于N，证明得到，，进而可得，利用待定系数法求得直线的函数表达式为，和抛物线联立方程组求解即可； （3）利用待定系数法分别求得直线、直线和直线的函数表达式，设，，易求得，利用中点坐标公式求得，代入直线的函数解析式中求得m值即可解答； （4）过A、G分别作y轴的平行线，过M、N分别作x轴的平行线，分别交两条平行线于E、F、I、J，则四边形是矩形，根据题意设，，证明得到，，，，根据坐标与图形的性质可求得，，由列方程求得n值，进而可得答案． 【详解】（1）解：∵与轴交于、两点， ∴，解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：连接，当时，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点P在x轴的上方，如图，，过A作交于M，过作轴于N，则， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， 将代入，得，解 得， ∴直线的函数表达式为， 解方程组得，， ∴点P的坐标为； （3）解：设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为， 设，， ∵， ∴直线的函数表达式为， 将D坐标代入，得，解得， ∴， ∵为线段的中点时， ∴，即， 设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为， ∵点N在直线上， ∴， 解得，， ∴点D坐标为； （4）解：过A、G分别作y轴的平行线，过M、N分别作x轴的平行线，分别交两条平行线于E、F、I、J，则， ∴四边形是矩形， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点． ∴设，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∴，，， 同理，， ∴，， ∴， ， ∴， ∴，则， ∴， ∵四边形为的面积为， ∴由得 整理，得， 解得，（舍去）， ∴，， ∴点G坐标为． 压轴题型三、二次函数中最值问题 1．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点和点．记． (1)若，求a的值； (2)h是否存在最值，若存在，是最大值还是最小值，求出这个最值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，h有最小值 【分析】（1）当且得出，从而判定A、B关于对称轴对称，然后根据对称轴公式求解即可； （2）先求出h关于a的二次函数，然后根据二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）解：抛物线对称轴为直线 ， 且   又抛物线（）经过点和点 与关于直线对称           （2）解：当时，；当时，       是关于a的二次函数，且开口向上，对称轴为直线（满足的条件）， ∴当时，h有最小值 2．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）情境阅读：初三第一次考试10月份阶段评价马上来临，小明同学在数学复习时，再读了九年级上册书中“一元二次方程”的“数学活动”，重新思考了“活动围长方形”下图呈现的是“活动围长方形”的介绍及“小明发现”的内容： 请根据“小明发现”，分别应用一元二次方程和二次函数来解决以下问题： “能围出面积为的长方形吗？”（注：此题给出两种解决方法才能给满分） 活动  围长方形 小明发现，之前是根据一元二次方程的根的情况解决了这个问题，现在可以从二次函数最值角度解决…… 用一根的细绳围长方形 试一试，你能围出面积是的长方形吗？如果可以，计算它的长和宽，如果不可以，通过计算说明理由． 【答案】 不能围出面积是的长方形， 理由：方法一： 设长方形的长为，围成的面积为， 则， 整理得，， ∵， ∴当时，y取最大值，最大值为900， ∴用长度为长的细绳围成的长方形面积最大值为， ∴不能围出面积是的长方形； 方法二：不能围出面积是的长方形，理由如下： 设长方形的长为， 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴方程无解， ∴不能围出面积是的长方形． 【分析】方法一：设长方形的长为，围成的面积为，可得，由二次函数的性质即可求解； 方法二：设长方形的长为，可得，根据根的判别式即可求解． 【详解】略 【点睛】本题考查二次函数的实际应用、一元二次方程的实际应用，理解题意列方程和关系式是解题的关键． 3．（26-27九年级上·上海闵行·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系中，画出二次函数，，与的图象，并从开口方向、最值、增减性方面说说这些抛物线有什么特点． 【答案】画图如解图所示． 这些抛物线的特点：当时，开口向上，有最小值，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大； 当时，开口向下，有最大值，在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小． 【分析】分别画出函数图象，结合函数图象分析即可得出结果． 【详解】略． 4．（26-27九年级上·上海闵行·课后作业）如图，是边长为的等边三角形，动点同时从两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是．当点到达点时，两点停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是直角三角形？ (2)设四边形的面积为（），求（）与的函数关系式．是否存在某一时刻，使四边形的面积有最值？若存在，求出最值． 【答案】(1)或 (2)最小值为 【分析】（1）先把用含的代数式表示出来，再利用含的直角三角形的性质即可求出． （2）利用小问1用含的代数式表示的面积，再用的面积减去的面积就可得到四边形的面积为（）与某一时刻的二次函数，再根据二次函数的图像和性质即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，得． 在等边中，， ． 若是直角三角形， 则或． ①当时，， 即，解得； ②当时，， 即，解得． 综上所述，当或时，是直角三角形． （2） 解：如图，过点作于，过点作于点， 则，， ， ， 与的函数关系式为． ， ∴四边形的面积有最小值，最小值为． 5．（26-27九年级·上海·暑假作业）阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： (1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)、小、 (2)、大、5 (3)花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据阅读材料即可求解； （2）根据阅读材料即可求解； （3）根据矩形面积公式列出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）当时，代数式有最小值； （2）代数式 当时，代数式有最大值5． （3）设花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为，花园的面积为．根据题意，得 ，当时，有最大值32， 答：花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是． 压轴题型四、相似三角形——动点问题 1．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，，，，．点P从点C出发，以的速度沿向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． (1)求经过几秒，的面积等于面积的？ (2)求经过几秒，与相似？ 【答案】(1)2； (2)或 【分析】（1）设经过x秒，的面积等于面积的，根据题意列出关于x的一元二次方程即可求解； （2）设经过t秒，与相似，分①当，②当，分别列出比例式即可求解 【详解】（1）解：设经过x秒，的面积等于面积的， 由题意得：， 解得：， 答：经过2秒，的面积等于面积的， （2）解：设经过t秒，与相似， ①当，则， ∴，解得：； ②当，则， ∴，解得：； 综上所述，经过或秒，与相似． 2．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从点C出发．沿向点B移动，设P、Q两点移动后，的面积为． (1)当运动时间为多少秒时，与相似； (2)在P、Q两点移动的过程中，的面积能否等于？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)或秒 (2)解：的面积能等于． 根据题意得：， ∴， 如图，过点P作于点H，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵的面积等于， ∴， 解得：， 即此时t的值为2或3． 【分析】（1）根据勾股定理可得的长，从而得到，然后分两种情况：当时，当时，结合相似三角形的性质，即可求解； （2）过点P作于点H，则，根据，可得，再根据的面积等于，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∵，， ∴， 根据题意得：， ∴， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：； 综上所述，当运动时间为或秒时，与相似； （2）略 3．（26-27九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，，动点P，Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动）． (1)请直接用含t的代数式表示的长和的长； (2)当t等于何值时，与相似？ 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据路程=速度时间列式即可； （2）分两种情况：当时，当时，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：当时，①若，则有， ， 又， 解得； ②由，若，则有， ， 解得（不合题意，舍去）； 当时，点与点重合，如图， ，只有当时，才有， ， 解得， 综上所述，或． 4．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，在矩形中，，，点是的中点．点，分别从点，两点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点，的速度均为，当点到达点时，两个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为． (1)当秒时，的值是多少？ (2)当为何值时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据运动情况得到，，再根据求解，即可解题； （2）分两种情况：①当时，②当时，结合相似三角形性质列式求解，即可解题． 【详解】（1）解：当时，， ， ． ∵点是的中点，， ∴． ∴ ． （2）解：当运动时间为时，，． ①当时， 则， 即． 解得：． ②当时， 则时， 即． 解得：，． 综上所述，或或． 5．（25-26九年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，，，，于点D．点P从点D出发，沿线段向点C运动，点Q从点C出发，沿线段向点A运动．两点同时出发．速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．    (1)求线段的长； (2)设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)在运动过程中存在某一时刻，使得，的值为：3或1.8； 【分析】（1）由勾股定理求得，由三角形面积公式得出，即可得出结果； （2）由勾股定理求得，过点作于，则，则，得出，即，求出，，即可得出结果；，，即，进而求解即可 【详解】（1）解：，，， ， ， ， 解得：； （2）解：由（1）可得， 过点作于，如图所示： ， ， ， ，即， ， ； ， ，即：， 整理得：， 解得：，， 在运动过程中存在某一时刻，使得，的值为：3或1.8．    【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积公式、解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 压轴题型五、相似三角形的性质与判定综合问题 1．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，，，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)求的长． 【答案】(1)证明：， ， ∴． ， ∴， ， ． (2)6 (3) 【分析】（1）根据两角相等即可证明两三角形相似； （2）由（1）中两三角形相似得对应边成比例即可求解； （3）根据题意说明，再由对应边成比例求解． 【详解】（1）略； （2）解：由， 得， 即 ， ． （3）解：，， ， ， 即 ， ． 2．（26-27九年级上·广东揭阳·阶段检测）如图，在矩形中，．点P从点D出发沿向点A运动，运动到点A即停止，同时点Q从点B出发沿向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都是．连接．设点P，Q运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是菱形？ (2)是否存在某一时刻t，使得？若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)· (2)不存在这样的时刻t，理由： 假设存在时刻满足， 过作于，则， ∵矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴． ∴． 其中，，， 代入得， 整理得一元二次方程． ∴， ∴该方程无实数根， ∴不存在这样的时刻，使得． 【分析】先用含的代数式表示出线段、、、的长度，因为且，所以四边形是平行四边形． （1）如果菱形的邻边相等，那么，结合勾股定理列出关于的方程求解． （2）如果，那么，过点作的垂线，构造直角三角形，证明，得．代入，，，得，得一元二次方程． 判别式，无实数根，即得结论． 【详解】（1）解： 由题意得，运动秒后：，． ∵矩形中，， ∴，， ∴且， ∴四边形是平行四边形． 若要平行四边形为菱形，需要满足邻边相等，即． 在中，由勾股定理得：， 又， 列方程： 两边平方后化简得：， 解得，经检验：是方程的解，且符合题意． （2）略 3．（26-27九年级上·北京·阶段检测）根据背景素材，探究解决问题． 测算广告牌的高度 背景素材：如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 问题解决：如图，为测量某广告牌的高度，小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出小军的眼睛离地面的距离，，．求这个广告牌的高度． 【答案】 【分析】先根据光的反射定律，得出，再证明，结合两个三角形相似的性质，列出相似比代值，作差求解即可得到答案． 【详解】解：由光的反射定律可知，入射角等于反射角， ∴的余角等于的余角，即， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴，解得； 同理，由光的反射定律可知，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ， ∴，解得， ∴． 4．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）学习了相似三角形知识后，小明同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的较短的直角边长为米，斜边长为米，活动全程小明始终竖直站立． (1)小明先调整自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为、、（如图①），斜边平行于地面（点、、、在一直线上），且点在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为米，小明与古树的距离为米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小明又向前移动自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为、、（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点、、、在一直线上），点在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是米，那么小明向前移动了多少米？ 【答案】(1)16.6米 (2)8.75米 【分析】（1）先在中，由勾股定理求得，再利用和相似求得的长，加上，即可求得树高； （2）利用和相似求得的长，即可求得小明向前移动了多少米． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在中， ∵， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：古树的高度为16.6米； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：小明向前移动了8.75米． 5．（26-27九年级上·山东菏泽·阶段检测）综合实践课上，小组以“一线三等角”为主题展开了数学探究活动． 请解决下列问题： (1)探究规律： ①如图1，，则 ；（填“”或“”，且直接填写） ②如图2，点C在线段上，，，则的度数为 ； (2)应用规律： 如图3，点A，D，C，B在同一条直线上，，求证：； (3)拓展应用： 如图4，在四边形中，，，，，，求线段的长． 【答案】(1)①；② (2)证明：过点C作交于点H，如图， ∵， ∴，，， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）①根据相似三角形的性质，即由两组对应角相等的三角形相似可得； ②根据相似可得，再由三角形内角和可得，再根据周角即可求解． （2）作辅助线构造平行线，可得，，，再根据三角形外角的性质可得，再根据相似三角形的判定证明即可； （3）求出边长，根据勾股定理逆定理求解是直角三角形，再由（1）中的结论可得，根据边成比例可求解得，，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴，， ∴， ∴； ②当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，则． （2）略 （3）解：连接，过点B作的延长线于点E，如图， 在中，，即， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， 由（1）的结论可知，， ∴， 即， 解得，， ∴， 在中，． 压轴题型六、坐标与图形综合问题 1．（25-26九年级上·吉林松原·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务． 坐标系中两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，，那么两点的距离．例如：若点，，则． 任务： (1)若点，，则A，B两点间的距离为 ． (2)若点，，则A，B两点间的距离为 ． (3)若点，点B在y轴上，且A，B两点间的距离是5，求点B的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：∵点，， ∴A，B两点间的距离为； （2）解：∵点，， ∴A，B两点间的距离为； （3）解：由题意可设， ∵，A，B两点间的距离是5， ∴， 两边同时平方得：， ∴， ∴点B的坐标为或． 2．（25-26九年级上·云南玉溪·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别是，，．将向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，其中点、、分别为点、、的对应点． (1)请在平面直角坐标系中画出； (2)若点在轴上，且以、、为顶点的三角形的面积是，请求出点的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)或 【分析】（1）先根据平移的性质确定点、、的对应点、、，然后再顺次连接即可； （2）设，则，再根据三角形的面积公式列绝对值方程求得p的值即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图： ， 点到轴的距离为3． 设，则， 以为顶点的三角形的面积是3， ，即，解得：， 点的坐标为或． 3．（25-26八年级下·河北邯郸·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点． (1)的值是 ，的值是 ； (2)求的面积； (3)点是轴上的一点，过作垂直于轴的直线与，的交点分别为，，若点的横坐标为，当时，直接写出的值是 ． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，解题的关键是灵活应用待定系数法，学会利用数形结合思想． （1）先根据直线求出的值，再将点代入直线即可得的值； （2）求出点坐标，结合点坐标，利用三角形面积公式计算即可； （3）求出点和点的纵坐标，再由列关于的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵直线：经过点， ∴， ∴； （2）解：将代入，得：， ∴， ∴， ∴的面积； （3）解：∵点的横坐标为， ∴，， ∵， ∴， 解得或． 4．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义；若点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如图中的P，Q两点即为“等距点”． (1)已知点A的坐标为． ①在点，，中，为点A的“等距点”的是______； ②若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为______． (2)若，两点为“等距点”，求k的值． 【答案】(1)①E，②或； (2)1或2 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，理解“等距点”的定义是解题的关键． （1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可；②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行解答即可； （2）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有4的点，再根据“等距点”概念进行解答即可． 【详解】（1）解：①∵点A的坐标为到x、y轴的距离中最大值为3；点到x、y轴的距离中最大值为3；点到x、y轴的距离中最大值为4；点到x、y轴的距离中最大值为5； 与A点是“等距点”的点是E． ②∵点A的坐标为到x、y轴的距离中最大值为3，点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”， ∴a．，解得：，即； b．，解得：，即； 综上，点B的坐标为或． 故答案为①E；②或． （2）解：，两点为“等距点”， ①若，即时， ∴根据“等距点”的定义知，或，解得：（舍去）或． ②若，即或时， ∴根据“等距点”的定义知，，解得：或（舍去）． 综上，或符合题意，即k的值是1或2． 5．（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图1，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是点，点．点D是y轴正半轴上A点上方一点（不与A点重合），以为腰作等腰过点C作轴于点E． (1)若a，b满足：． ①求的度数； ②求证：； (2)如图2，过点B作，且，连接，若，求点F的坐标． 【答案】(1)①； ②证明：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； (2) 【分析】（1）①根据非负数的性质求出，，得出，根据等腰三角形的性质得出； ②证明，得出，根据，即可得出答案； （2）过点F作轴于点H，证明，得出，，根据，得出，，从而得出． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②略 （2）解：过点F作轴于点H，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形，余角的性质，非负数的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，是解题的关键． $期中重难点特训之易错压轴专项训练（20易错+6压轴） 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、列二次函数关系式 易错题型二、根据二次函数的定义求参数 易错题型三、比例线段 易错题型四、黄金分割 易错题型五、相似多边形的性质 易错题型六、二次函数的图像与性质 易错题型七、根据二次函数的对称性求函数值 易错题型八、待定系数法求二次函数解析式 易错题型九、已知二次函数的函数值求自变量的值 易错题型十、抛物线与x轴的交点问题 易错题型十一、二次函数与一元二次方程计算 易错题型十二、二次函数与一元二次不等式计算 易错题型十三、利用两角对应相等判定相似 易错题型十四、求两个位似图形的相似比 易错题型十五、由平行判断成比例的线段 易错题型十六、利用相似三角形的性质求解 易错题型十七、选择或补充条件使两个三角形相似 易错题型十八、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 易错题型十九、实际问题与二次函数综合应用 易错题型二十、相似三角形的性质与判定综合问题 压轴题型一、二次函数中折叠问题 压轴题型二、二次函数与几何图形综合问题 压轴题型三、二次函数中最值问题 压轴题型四、相似三角形——动点问题 压轴题型五、相似三角形的性质与判定综合问题 压轴题型六、坐标与图形综合问题 易错题型一、列二次函数关系式 1．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段检测）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海松江·期末）观察下列两个两位数的积（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10）：．设这两个两位数的积为y，其中一个乘数为，则y关于x的函数关系式为______． 3．（25-26九年级上·辽宁朝阳·期中）如图，矩形绿地的长、宽各增加，写出扩充后的绿地的面积y与x的关系式． 易错题型二、根据二次函数的定义求参数 4．（24-25九年级上·吉林长春·期中）若函数是关于x的二次函数，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·青海西宁·期中）已知是二次函数，则实数______． 6．（25-26九年级上·吉林·期中）若二次函数的开口向下，求的值． 易错题型三、比例线段 7．（25-26八年级下·吉林长春·期末）下列各组线段中，、、、成比例的一组是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 8．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）甲、乙两地的实际距离是600千米，在比例尺为的地图上，甲乙两地的距离是________． 9．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长． (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 易错题型四、黄金分割 10．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段检测）在学习黄金分割时，小明同学发现一个矩形的宽与长之比为黄金比．已知长为，则它的宽约为（　　） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知线段是线段的黄金分割点，则_________． 12．（25-26九年级上·上海嘉定·阶段检测）（1）点是线段的黄金分割点，，厘米，求的长； （2）已知点是线段的黄金分割点，，求的值． 易错题型五、相似多边形的性质 13．（25-26九年级上·四川资阳·期末）如图，四边形与四边形是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形的周长为12，则四边形的周长为（    ） A．2 B．6 C．4 D．5 14．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，六边形六边形，，，则六边形与六边形的周长比为________． 15．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，四边形四边形． (1)求的度数； (2)若，求的长． 易错题型六、二次函数的图像与性质 16．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数图象大致（     ） A． B． C． D． 17．（26-27九年级上·青海西宁·阶段检测）二次函数关于轴对称的函数解析式为__________．原函数向左平移3个单位，向上平移2个单位的解析式为__________． 18．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知二次函数的自变量x与函数y的部分对应值列表如下： x … 0 1 … y … ①_____ ②_____ ③_____ ④_____ … (1)补充表格： ①_____；②_____；③_____；④_____； (2)在如图平面直角坐标系中，描出上述各点并画出此函数的图象； (3)根据函数图象，当时，直接写出函数值的取值范围． 易错题型七、根据二次函数的对称性求函数值 19．（26-27九年级上·上海闵行·单元复习）已知点，，均在抛物线上，下列排序正确的是（     ） A． B． C． D． 20．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）在二次函数中，与的部分对应值如表： ．．． 0 1 3 4 ．．． ．．． 2 4 2 ．．． 下列结论：①抛物线开口向下；②当时，随的增大而减小；③抛物线与坐标轴有2个交点；④抛物线一定经过点；⑤该抛物线图象一共经过四个象限．其中正确的结论有___________．（只填序号） 21．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段检测）已知二次函数中的x，y满足如表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 3 8 … (1)直接写出该函数图象的开口方向； (2)当时，求自变量x的值； (3)直接写出当时，x的取值范围． 易错题型八、待定系数法求二次函数解析式 22．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）二次函数的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 y m n 有以下结论：①；②当时，y随x的增大而减小；③．正确的是（） A．① B．② C．③ D．②③ 23．（25-26九年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点和点，与轴交于点，则的长为_____． 24．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式； (2)在图中画出该函数的图象； (3)根据（2）中的图象，当时，请直接写出y的取值范围． 易错题型九、已知二次函数的函数值求自变量的值 25．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）下列各点中，是二次函数图像上的点是（    ） A． B． C． D． 26．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）的自变量与函数的几组对应值如下表，则方程的解是___________． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 5 0 ．．． 27．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于，两点． (1)求，两点的坐标． (2)抛物线上点的坐标为，求的值． 易错题型十、抛物线与x轴的交点问题 28．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 29．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，是二次函数 的部分图象，图象过点，对称轴为直线，下列结论∶；；③方程( 有实数根；．其中正确的结论为___________________(填序号)． 30．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，y的取值范围为________； (3)将该抛物线向上平移________个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 易错题型十一、二次函数与一元二次方程计算 31．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）下表是代数式的部分值的情况，根据表格中的数据，则关于方程的一个正根的判断正确的是（     ） x A． B． C． D． 32．（25-26九年级上·山西晋中·阶段检测）由表的对应值知，一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根的百分位上的数字是__________． x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 33．（26-27九年级上·上海闵行·课后作业）利用函数图象求下列方程根的近似值（结果保留小数点后一位）： (1)； (2)． 易错题型十二、二次函数与一元二次不等式计算 34．（24-25九年级上·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 35．（24-25九年级上·重庆·期末）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是________． 36．（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）已知二次函数 (1)求该函数的顶点坐标； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)根据图象，直接写出当时，的取值范围． 易错题型十三、利用两角对应相等判定相似 37．（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）观察下列每组三角形，不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 38．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，点D是上一点，添加一个条件使得，可以是___________． 39．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，点在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 易错题型十四、求两个位似图形的相似比 40．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，与位似，点O是它们的位似中心，若，的面积为8，则的面积为（  ） A． B．2 C．4 D． 41．（24-25九年级上·陕西西安·期中）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的周长为___________． 42．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1．与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)在图中画出位似中心O； (2)与的相似比是______； (3)请在此网格中以点C为位似中心，再画一个，使它与的相似比等于2∶1． 易错题型十五、由平行判断成比例的线段 43．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）如图，AB∥CD∥EF，则在图中下列关系式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 44．（25-26九年级下·全国·课前预习）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．如： ____， ____． 45．（25-26九年级上·山西太原·期中）如图，在中，点D是边上的一点，．    (1)尺规作图：作直线交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 直线即为所求； 易错题型十六、利用相似三角形的性质求解 46．（26-27九年级下·全国·单元复习）如图，已知点D，E分别在的边，上，，，，则和的相似比是（     ） A． B． C． D． 47．（26-27九年级上·上海闵行·课后作业）如图，，，分别是的高和中线，，分别是的高和中线，且，，，则的长为_______． 48．（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，点、分别在边、上，，若，，，求的长． 易错题型十七、选择或补充条件使两个三角形相似 49．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）如图，在中，点，分别在边，上，再添加一个条件，仍不能判定与相似的是（     ） A． B． C． D． 50．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，，请补充一个条件：_______________，使． 51．（26-27九年级上·湖南常德·阶段检测）如图1，在中，点D，点E分别在上． (1)添加条件：　　　，可使；（填一个即可） (2)已知． ①若，则的长为　　　； ②若的面积为2，求四边形的面积． (3)如图2，已知．求证：； (4)如图3，，，求的长． 易错题型十八、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 52．（25-26九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，与是位似图形，点为位似中心，．若的面积为27，则的面积是（    ）    A．9 B．12 C．15 D．27 53．（25-26八年级下·江苏淮安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形．若，的周长为3，则的周长为________． 54．（25-26九年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，在网格中，点是格点，是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点是点以点为位似中心的对应点．    (1)画出以点为位似中心的位似图形； (2)与的面积比是_____________． 易错题型十九、实际问题与二次函数综合应用 55． （25-26九年级上·安徽安庆·期末）一辆卡车要通过跨度为8米，拱高为4米的抛物线形隧道，车从隧道正中通过，为保证安全行车，在车顶到隧道顶部的距离至少要米，若卡车宽米，则卡车限高为多少米？ 56．（25-26九年级上·安徽亳州·阶段检测）已知函数与的交点为A，B（A在B的右边）． (1)求点A、点B的坐标． (2)求的面积． 57．（2026·陕西宝鸡·一模）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点为飞行距离计分的参照点，落地点超过点越远，飞行距离分越高．某滑雪赛场跳台滑雪的起跳台的高度为，基准点到起跳台的水平距离为，高度为．设运动员从起跳点起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为． (1)若运动员落地点恰好到达点，求，的值． (2)若运动员飞行的水平距离为，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过点，并说明理由． 易错题型二十、相似三角形的性质与判定综合问题 58．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图是一个的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、均为格点．与相交于点，则图中的面积为（    ） A．5 B．6 C． D． 59．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，，，则与梯形面积之比为_________．    60．（2026·上海闵行·一模）如图，在中，点、在边上，，，过点作交边于点． (1)求证：； (2)求证：． 压轴题型一、二次函数中折叠问题 1．（26-27九年级上·浙江金华·阶段检测）在平面直角坐标系中，如果某点的横坐标与纵坐标的和为10，则称此点为“合适点”．例如，点，…都是“合适点”． (1)求函数的图象上的“合适点”的坐标； (2)若二次函数的图象上有且只有一个合适点”，其坐标为，求二次函数的表达式； (3)我们将抛物线在x轴下方的图象记为，在x轴及x轴上方的图象记为，现将沿x轴向上翻折得到，图象和图象两部分组成的图象记为G，当图象G上恰有两个“合适点”时，直接写出n的取值范围． 2．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，抛物线y1＝﹣x2＋2向右平移1个单位得到的抛物线y2，回答下列问题： (1)抛物线y2的顶点坐标是什么？ (2)阴影部分的面积S＝ 　　． (3)若再将抛物线y2沿x轴翻折得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式． 3．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，已知抛物线过点和点． (1)求抛物线L的函数解析式； (2)将抛物线L沿y轴翻折得到抛物线，与x轴交于点B和点D（点B在点D的右侧），抛物线上是否存在点Q，使得？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（26-27九年级上·山西大同·阶段检测）综合与探究 如图，在等腰直角三角形中，分别为边和边上的动点，，设的长为． (1)如图1，若四边形的面积为150，求的值． (2)如图2，过点作于点，过点作于点． ①当取何值时，四边形的面积最大？最大值是多少？ ②将沿翻折得到与四边形重叠部分的面积记为S，当S的值为40时，直接写出此时的值． 5．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图实线所示． (1)函数图象与x轴的交点坐标为______、______． (2)当时，则y的取值范围为______． (3)若直线与函数图象有4个不同的交点，则t的取值范围为______． 压轴题型二、二次函数与几何图形综合问题 1．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)点P是抛物线对称轴上一动点，连接，，求最小时点P的坐标； (3)点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，请你画图观察，直接写出点M的横坐标的取值范围． 2．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为，，点M是抛物线的顶点． (1)求二次函数的关系式； (2)点P为线段上一个动点，过点P作轴于点D．设点P的横坐标为n，的面积为S． ①求与n的函数关系式，写出自变量n的取值范围； ②求的最大值． 3．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图1，二次函数与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．已知，抛物线的对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式； (2)如图2，连接，点P是第一象限内抛物线上一点，过点作轴交于点E，求的最大值以及点P的坐标； (3)将抛物线向右平移1个单位长度，向上平移5个单位长度得新抛物线，点M是平移后新抛物线上一点，若，直接写出点M的坐标． 4．（26-27九年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整数点”．抛物线（为常数且）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点． (1)若，抛物线与轴所围成的封闭区域内（包含边界）“整数点”共有________个； (2)如图①，连接、、，若是直角三角形，求的值． 5．（26-27九年级上·北京东城·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．         (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图，为第四象限抛物线上一点，连接，过点作分别交、轴于、两点，当为线段的中点时，求点的坐标． (4)如图，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为，直接写出点的坐标． 压轴题型三、二次函数中最值问题 1．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点和点．记． (1)若，求a的值； (2)h是否存在最值，若存在，是最大值还是最小值，求出这个最值；若不存在，说明理由． 2．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）情境阅读：初三第一次考试10月份阶段评价马上来临，小明同学在数学复习时，再读了九年级上册书中“一元二次方程”的“数学活动”，重新思考了“活动围长方形”下图呈现的是“活动围长方形”的介绍及“小明发现”的内容： 请根据“小明发现”，分别应用一元二次方程和二次函数来解决以下问题： “能围出面积为的长方形吗？”（注：此题给出两种解决方法才能给满分） 活动  围长方形 小明发现，之前是根据一元二次方程的根的情况解决了这个问题，现在可以从二次函数最值角度解决…… 用一根的细绳围长方形 试一试，你能围出面积是的长方形吗？如果可以，计算它的长和宽，如果不可以，通过计算说明理由． 3．（26-27九年级上·上海闵行·课后作业）在如图所示的平面直角坐标系中，画出二次函数，，与的图象，并从开口方向、最值、增减性方面说说这些抛物线有什么特点． 4．（26-27九年级上·上海闵行·课后作业）如图，是边长为的等边三角形，动点同时从两点出发，分别沿方向匀速移动，它们的速度都是．当点到达点时，两点停止运动．设点的运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，是直角三角形？ (2)设四边形的面积为（），求（）与的函数关系式．是否存在某一时刻，使四边形的面积有最值？若存在，求出最值． 5．（26-27九年级·上海·暑假作业）阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： (1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 压轴题型四、相似三角形——动点问题 1．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，，，，．点P从点C出发，以的速度沿向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． (1)求经过几秒，的面积等于面积的？ (2)求经过几秒，与相似？ 2．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以的速度从点C出发．沿向点B移动，设P、Q两点移动后，的面积为． (1)当运动时间为多少秒时，与相似； (2)在P、Q两点移动的过程中，的面积能否等于？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 3．（26-27九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，，动点P，Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动）． (1)请直接用含t的代数式表示的长和的长； (2)当t等于何值时，与相似？ 4．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，在矩形中，，，点是的中点．点，分别从点，两点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点，的速度均为，当点到达点时，两个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为． (1)当秒时，的值是多少？ (2)当为何值时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似？请说明理由． 5．（25-26九年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，，，，于点D．点P从点D出发，沿线段向点C运动，点Q从点C出发，沿线段向点A运动．两点同时出发．速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．    (1)求线段的长； (2)设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 压轴题型五、相似三角形的性质与判定综合问题 1．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，，，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)求的长． 2．（26-27九年级上·广东揭阳·阶段检测）如图，在矩形中，．点P从点D出发沿向点A运动，运动到点A即停止，同时点Q从点B出发沿向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都是．连接．设点P，Q运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是菱形？ (2)是否存在某一时刻t，使得？若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由． 3．（26-27九年级上·北京·阶段检测）根据背景素材，探究解决问题． 测算广告牌的高度 背景素材：如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 问题解决：如图，为测量某广告牌的高度，小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出小军的眼睛离地面的距离，，．求这个广告牌的高度． 4．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）学习了相似三角形知识后，小明同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的较短的直角边长为米，斜边长为米，活动全程小明始终竖直站立． (1)小明先调整自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为、、（如图①），斜边平行于地面（点、、、在一直线上），且点在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为米，小明与古树的距离为米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小明又向前移动自己的位置至点，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为、、（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点、、、在一直线上），点在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是米，那么小明向前移动了多少米？ 5．（26-27九年级上·山东菏泽·阶段检测）综合实践课上，小组以“一线三等角”为主题展开了数学探究活动． 请解决下列问题： (1)探究规律： ①如图1，，则 ；（填“”或“”，且直接填写） ②如图2，点C在线段上，，，则的度数为 ； (2)应用规律： 如图3，点A，D，C，B在同一条直线上，，求证：； (3)拓展应用： 如图4，在四边形中，，，，，，求线段的长． 压轴题型六、坐标与图形综合问题 1．（25-26九年级上·吉林松原·期末）阅读下列材料，并完成相应的任务． 坐标系中两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点，，那么两点的距离．例如：若点，，则． 任务： (1)若点，，则A，B两点间的距离为 ． (2)若点，，则A，B两点间的距离为 ． (3)若点，点B在y轴上，且A，B两点间的距离是5，求点B的坐标． 2．（25-26九年级上·云南玉溪·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别是，，．将向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，其中点、、分别为点、、的对应点． (1)请在平面直角坐标系中画出； (2)若点在轴上，且以、、为顶点的三角形的面积是，请求出点的坐标． 3．（25-26八年级下·河北邯郸·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点． (1)的值是 ，的值是 ； (2)求的面积； (3)点是轴上的一点，过作垂直于轴的直线与，的交点分别为，，若点的横坐标为，当时，直接写出的值是 ． 4．（25-26九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义；若点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如图中的P，Q两点即为“等距点”． (1)已知点A的坐标为． ①在点，，中，为点A的“等距点”的是______； ②若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为______． (2)若，两点为“等距点”，求k的值． 5．（25-26九年级上·广东汕头·期末）如图1，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是点，点．点D是y轴正半轴上A点上方一点（不与A点重合），以为腰作等腰过点C作轴于点E． (1)若a，b满足：． ①求的度数； ②求证：； (2)如图2，过点B作，且，连接，若，求点F的坐标． $