2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷02(人教A版必修第一册第一章～第三章)

2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷02 【人教A版】 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版必修第一册第一章～第三章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（5分）设全集 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 3．（5分）已知 ：，：，则 是 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（5分）已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 5．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A．， B．， C．， D．， 6．（5分）若幂函数 的图象经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 7．（5分）函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 8．（5分）已知定义在 上的减函数 满足 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）设全集 ，，，则（　　） A．当 时， B．当 时， C．若 ，则 D．若 ，则 10．（6分）已知 ，，且 ，则（　　） A． 的最大值为 B． 的最小值为 C． 的最小值为 D． 的最大值为 11．（6分）已知函数 ，，则（　　） A．当 时， 在 上单调递增 B．当 时， 的最小值为 C．若 在 上单调，则 或 D．若 在 上的最小值为 ，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知集合 中只有一个元素，则实数 的值为        。 13．（5分）已知 ，，且 ，则 的最小值为        。 14．（5分）已知 是定义在 上的奇函数，当 时，。若 ，则实数 的值为        。 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知 ：实数 满足 ；：实数 满足 （）。 (1)当 时，判断 是 的什么条件； (2)若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围。 16．（15分）已知函数 （）。 (1)当 时，求 在 上的值域； (2)若 对任意 恒成立，求 的取值范围。 17．（15分）已知函数 ，。 (1)判断 在 上的单调性，并用定义证明； (2)求 在 上的值域； (3)若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 18．（17分）某小区要建一个面积为 平方米的矩形花园，花园的一边利用长为 米的现有围墙，其余三边用栅栏围成。 (1)设垂直于墙的一边长为 米，写出栅栏总长 （米）关于 的函数解析式，并指出定义域； (2)当 为何值时，栅栏总长最小？最小值为多少米？ (3)若要求栅栏总长不超过 米，求 的取值范围。 19．（17分）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 。 (1)求 ， 的值； (2)判断 在 上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式 。 — — 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案与试题解析 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷02 【人教A版】 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版必修第一册第一章～第三章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答过程】 元素与集合之间的关系用“”“”表示，集合与集合之间的关系用“”“”等表示。 不含任何元素，而 含有一个元素 ，且空集是任何集合的子集，故 正确。 对于 A， 是集合，不能用“”；对于 B， 是元素，不能用“”；对于 D，两集合元素不同，不相等。 故选 C。 2．（5分）设全集 ，，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答过程】 由 得 。 所以 。 端点 不满足 ，即 ，又 ，故 应取到。 故选 A。 3．（5分）已知 ：，：，则 是 的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解答过程】 由 得 ，解得 或 ， 即 对应的集合为 ，而 对应的集合为 。 因为 是 的子集，所以 成立时 一定成立，即 是 的必要条件； 又 时 成立而 不成立，所以 不是 的充分条件。 故 是 的必要不充分条件。故选 B。 4．（5分）已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答过程】 由 得 ，，且 。 对于 A，，即 ，A 错误； 对于 B，，其中 ，，故 ，即 ，B 错误； 对于 C，取 ，，则 ，C 错误； 对于 D，，其中 ，，故 ，即 ，D 正确。 故选 D。 5．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解答过程】 两个函数相同，必须定义域相同且对应关系相同。 对于 A， 的定义域为 ，与 的定义域 不同； 对于 C， 的定义域为 ，与 的定义域 不同； 对于 D， 而 ，对应关系不同； 对于 B，两函数定义域都是 ，且 ，对应关系相同。 故选 B。 6．（5分）若幂函数 的图象经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答过程】 因为幂函数 的图象经过点 ，所以 ，即 ，解得 。 所以 ，故 。 故选 C。 7．（5分）函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答过程】 。 因为 ，所以 ，从而 ； 反之，对任意 ，由 解得 ，说明 能取到。 故值域为 。故选 A。 8．（5分）已知定义在 上的减函数 满足 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答过程】 由 在 上单调递减及 得 ，即 。 又 与 都必须在定义域 内，即 且 ， 解得 且 ，即 。 取交集得 。故选 D。 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）设全集 ，，，则（　　） A．当 时， B．当 时， C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】BC 【解答过程】 对于 A，当 时 ，而 且 ，故 不是 的子集，A 错误； 对于 B，当 时 ，，B 正确； 对于 C， 等价于 （当 时 ，与 无公共元素），C 正确； 对于 D， 等价于 ，此时 不成立，D 错误。 故选 BC。 10．（6分）已知 ，，且 ，则（　　） A． 的最大值为 B． 的最小值为 C． 的最小值为 D． 的最大值为 【答案】ABC 【解答过程】 对于 A，由基本不等式得 ，当且仅当 时取等号，A 正确； 对于 B，，当且仅当 ，即 ， 时取等号，B 正确； 对于 C，，当且仅当 时取等号，C 正确； 对于 D，，故 ，最大值为 ，D 错误。 故选 ABC。 11．（6分）已知函数 ，，则（　　） A．当 时， 在 上单调递增 B．当 时， 的最小值为 C．若 在 上单调，则 或 D．若 在 上的最小值为 ，则 【答案】ABC 【解答过程】 因为 ，其图象开口向上，对称轴为直线 。 对于 A，当 时对称轴为 ，故 在 上单调递增，A 正确； 对于 B，当 时对称轴 ，最小值为 ，B 正确； 对于 C， 在 上单调，等价于对称轴不在区间 内，即 或 ，C 正确； 对于 D，若 ，则 在 上递增，最小值为 ，得 ； 若 ，则 在 上递减，最小值为 ，得 ，与 矛盾； 若 ，则最小值为 ，得 ，矛盾。 故最小值为 时 ，D 错误。故选 ABC。 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知集合 中只有一个元素，则实数 的值为        。 【答案】 或 【解答过程】 当 时，方程化为 ，解得 ，此时 中只有一个元素，符合题意； 当 时， 中只有一个元素等价于方程有两个相等实根，即 ，解得 ， 此时方程为 ，即 ，，符合题意。 综上， 或 。 13．（5分）已知 ，，且 ，则 的最小值为        。 【答案】 【解答过程】 由 得 ，故 。 又 ，所以 。 令 ，得 ，即 ，解得 ，故 。 当且仅当 时取等号（此时 ，）。 故 的最小值为 。 14．（5分）已知 是定义在 R 上的奇函数，当 时，。若 ，则实数 的值为        。 【答案】 【解答过程】 因为 是定义在R 上的奇函数，所以 。 又 ，故 ， 所以 ，解得 。 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知 ：实数 满足 ；：实数 满足 （）。 (1)当 时，判断 是 的什么条件； (2)若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围。 【答案】(1) 是 的必要不充分条件；(2)。 【解答过程】 (1)由 得 ，解得 ，即 对应的集合 。（2分） 当 时， 对应的集合 。（1分） 因为 ，所以 成立时 一定成立；而 但 ，所以 成立时 不一定成立。（1分） 故 是 的必要不充分条件。（1分） (2) 是 的必要不充分条件，等价于 且 ，即 是 的真子集。（2分） 所以 且 ，（3分） 解得 。（2分） 又 的长度为 ， 的长度为 ，故 自动成立，所以 的取值范围为 。（1分） 16．（15分）已知函数 （）。 (1)当 时，求 在 上的值域； (2)若 对任意 恒成立，求 的取值范围。 【答案】(1)；(2)。 【解答过程】 (1)当 时，，其图象开口向上，对称轴为直线 ，且 。（2分） 所以最小值为 。（2分） 又 ，，故最大值为 。（2分） 所以 在 上的值域为 。（1分） (2) 对任意 恒成立，等价于 对任意 恒成立。（2分） 设 ，任取 ，则 ，所以 ，（3分） 故 在 上单调递增，最小值为 。（2分） 所以 ，即 。（1分） 17．（15分）已知函数 ，。 (1)判断 在 上的单调性，并用定义证明； (2)求 在 上的值域； (3)若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 【答案】(1) 在 上单调递增，证明见解析；(2)；(3)。 【解答过程】 (1) 在 上单调递增。 证明：任取 ，，且 ，（1分） 则 。（3分） 因为 ，所以 ，，，（2分） 所以 ，即 ，故 在 上单调递增。（1分） (2)由 (1) 知 在 上单调递增，所以最小值为 ，最大值为 ，（3分） 故 在 上的值域为 。（1分） (3)由 (1) 知 在 上单调递增，最小值为 。（2分） 所以 对任意 恒成立，等价于 。（1分） 故 。（1分） 18．（17分）某小区要建一个面积为 平方米的矩形花园，花园的一边利用长为 米的现有围墙，其余三边用栅栏围成。 (1)设垂直于墙的一边长为 米，写出栅栏总长 （米）关于 的函数解析式，并指出定义域； (2)当 为何值时，栅栏总长最小？最小值为多少米？ (3)若要求栅栏总长不超过 米，求 的取值范围。 【答案】(1)，；(2) 时栅栏总长最小，最小值为 米；(3)。 【解答过程】 (1)设垂直于墙的一边长为 米，则平行于墙的一边长为 米。 由围墙长 米得 ，即 ，故 。（3分） 所以 ，。（3分） (2)因为 ，所以 ，（3分） 当且仅当 ，即 ， 时取等号，此时 ，符合题意。（2分） 故当 时栅栏总长最小，最小值为 米。（1分） (3)由 得 ，即 ，（2分） 化简得 ，即 ，解得 。（2分） 又 ，所以 ，即 的取值范围为 。（1分） 19．（17分）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 。 (1)求 ， 的值； (2)判断 在 上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式 。 【答案】(1)，，；(2) 在 上单调递增，证明见解析；(3)。 【解答过程】 (1)因为 是定义在 上的奇函数，且 ，所以 。（2分） 又 ，解得 。（2分） 所以 。（1分） (2) 在 上单调递增。 证明：任取 ，，且 ，则 。（3分） 因为 ，所以 ，，即 ，且 ，（2分） 所以 ，即 ，故 在 上单调递增。（1分） (3)由 为奇函数得 。（1分） 又 在 上单调递增，所以 ，即 。（2分） 同时 与 都必须在 内，即 且 ，解得 且 ，即 。（2分） 综上，。（1分） — — 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $