专题01 二次函数的概念、图象与性质十二类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版九年级下册

专题01 二次函数的概念、图象与性质 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数的定义及求参 题型二、列二次函数的表达式 题型三、二次函数的平移 题型四、一次、反比例、二次函数图象的综合判断 题型五、二次函数图象与各项系数符号关系 题型六、y=ax²的图象与性质 题型七、y=ax²+c的图象与性质 题型八、y=a（x-h）²的图象与性质 题型九、y=a（x-h）²+c的图象与性质 题型十、y=ax²+bx+c的图象与性质 题型十一、二次函数的对称性求解 题型十二、y=ax²+bx+c的最值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型分类 核心知识点 常见易错点 二次函数的定义及求参 形如y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的函数为二次函数，核心判定条件是自变量最高次数为2，且二次项系数不为0，可据此列方程或不等式求解参数取值 易忽略二次项系数a≠0的限制条件，仅根据次数为2求解参数，导致出现增根；混淆“函数是二次函数”和“函数的图象是抛物线”的判定边界，误将a=0的情况纳入二次函数范围 列二次函数的表达式 结合实际问题或几何图形的数量关系，找到两个变量间的等量关系，整理为二次函数的标准形式，同时需标注符合实际意义的自变量取值范围 容易遗漏自变量的实际取值限制，比如长度、面积类问题中自变量不能取负数或超出几何约束的数值；整理表达式时计算失误，误展开完全平方或合并同类项出错 二次函数的平移 遵循“左加右减、上加下减”的平移规则，针对顶点式y=a(x-h)²+c操作时，左右平移仅作用于x项，上下平移作用于常数项，平移前后二次项系数a保持不变 平移方向搞反，误将“左移”当成x减去平移单位；对一般式直接盲目套用平移规则，没有先转化为顶点式就进行变形，导致平移结果出错 一次、反比例、二次函数图象的综合判断 根据各类函数图象的特征，结合同一参数的取值一致性判断图象合理性，比如二次函数开口方向对应a的正负，需和一次函数斜率、反比例函数所在象限的参数符号统一 忽略多个函数的参数取值要保持统一，仅凭单个图象的局部特征判定，出现参数前后符号矛盾的误判；混淆反比例函数两支曲线的分布规律，和二次函数的象限分布错配 二次函数图象与各项系数符号关系 开口方向判定a的符号，对称轴位置x=-b/(2a)结合a的符号判定b的符号，抛物线与y轴交点纵坐标判定c的符号，还可通过特殊点x=±1、±2的函数值推导a、b、c的代数组合符号 错误记忆“左同右异”的b的符号判定规则，把对称轴在y轴左侧时a和b同号的规律搞反；代入特殊点计算组合符号时符号处理失误，误判a+b+c这类代数式的正负 y=ax²的图象与性质 图象是顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线，a>0时开口向上，x=0处取最小值0，x>0时y随x增大而增大，x<0时y随x增大而减小；a<0时性质相反， y=ax²+c的图象与性质 由y=ax²上下平移 y=a(x-h)²的图象与性质 由y=ax²左右平移 y=a(x-h)²+c的图象与性质 是二次函数的顶点式，顶点坐标为(h,c)，对称轴为直线x=h，直接可读出最值为c，增减性以对称轴为分界， y=ax²+bx+c的图象与性质 标准一般式，可通过配方或公式法推导顶点坐标(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))，对称轴为直线x=-b/(2a)，完整涵盖开口方向、增减区间、最值、与坐标轴交点等所有图象性质 用公式法计算顶点纵坐标时代入数值出错，符号处理失误；配方时二次项系数提出后，常数项的补全计算错误，导致顶点坐标求解偏差 二次函数的对称性求解 二次函数图象关于对称轴x=-b/(2a)对称，若两点函数值相等，则两点横坐标的中点在对称轴上，可利用对称性求对称点坐标、函数值或未知点的横坐标 忽略对称点必须函数值相等的前提，随意套用对称关系计算横坐标；计算两点中点时求和后忘记除以2，导致对称轴坐标计算错误 y=ax²+bx+c的最值 全体实数范围内，当a>0时函数在顶点处取最小值，a<0时在顶点处取最大值；若限定自变量取值区间，需结合对称轴和区间的位置关系判断最值在顶点还是区间端点处取到 在带约束的自变量区间内，直接默认最值取顶点处的数值，忽略对称轴不在给定区间内的情况，错将顶点最值当成区间最值；计算区间端点函数值时代入数值计算失误，得到错误的最值结果 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数的定义及求参 典例1下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 变式1-1下列函数解析式中，一定为二次函数的是（     ） A． B． C． D． 变式1-2若是二次函数，则a的值是__________． 变式1-3如果函数是关于的二次函数，那么的值是________． 类型二、列二次函数的表达式 典例2 某厂一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年一季度新产品的研发资金（万元）关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 变式2-1一个直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为，面积为，则与的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 变式2-2一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是____________． 变式2-3某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式__________． 题型三、二次函数的平移 典例3 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 变式3-1在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（     ） A． B． C． D． 变式3-2将二次函数向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新的抛物线的解析式为______． 变式3-3在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得到的新抛物线的顶点坐标是__________． 题型四、一次、反比例、二次函数图象的综合判断 典例4 若正比例函数，y随x的增大而减小，则它和二次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 变式4-1在同一坐标系中，二次函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 变式4-2一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示则的取值范围是______ ． 变式4-3抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 题型五、二次函数图象与各项系数符号关系 典例5 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 变式5-1如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的个数是（     ） ①； ②； ③若点在抛物线上，则； ④对任意实数t，总成立； ⑤． A．1 B．2 C．3 D．4 变式5-2已知二次函数的图象如图所示，则以下结论：①，②，③，④．其中正确的__________． 变式5-3如图，点是抛物线的顶点．下列结论（1）；（2）；（3）：（4）对任意实数总成立；（5）若点在抛物线上，则，正确的是__________． 题型六、y=ax²的图象与性质 典例6 二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 变式6-1已知二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 变式6-2若点和在函数的图象上，且，则与的大小关系是_______． 变式6-3用描点法画出二次函数的图象，列表如下： x … 0 2 4 y … m 0 n (1)填空：________；________； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象． 题型七、y=ax²+c的图象与性质 典例7 关于二次函数的图象与性质，下列说法错误的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y有最大值 变式7-1已知点，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 变式7-2如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，则的值为_______． 变式7-3如图所示，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）； (2)该抛物线可由抛物线向___________平移___________个单位得到； (3)当时，的取值范围是___________． 题型八、y=a（x-h）²的图象与性质 典例8 函数的图象不可能是（     ） A． B． C． D． 变式8-1已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（     ） A．1或6 B．3或6 C．1或3 D．4或6 变式8-2已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为______． 变式8-3【探究】如图，已知抛物线 （1）在坐标系中画出此抛物线y的大致图象 (不要求列表)； （2）该抛物线可由抛物线 向 平移 个单位得到； （3）当时，函数值y取值范围是 ． 【应用】已知二次函数 （h是常数），且自变量取值范围是． ①当时，求函数的最大值 ②若函数的最大值为，求h的值． 题型九、y=a（x-h）²+c的图象与性质 典例9 已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 变式9-1对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 变式9-2已知二次函数，若，则y的取值范围是_______． 变式9-3已知二次函数． (1)二次函数顶点坐标是 ； (2)完成下列表格并在如图所示的直角坐标系内画出该函数的大致图象； (3)根据图象直接回答：当时，随的增大而 （填“增大”或“减小”）； (4)当时，的取值范围是 ． 题型十、y=ax²+bx+c的图象与性质 典例10 对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 变式10-1已知点，，在二次函数的图象上，则（     ） A． B． C． D． 变式10-2当时，函数的最大值是8，则______． 变式10-3已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围． 题型十一、二次函数的对称性求解 典例11 若二次函数的图象经过点、，则的值为（     ） A． B． C． D．或 变式11-1抛物线与x轴交于点，，则它的对称轴是（     ） A． B． C． D． 变式11-2已知点，是抛物线上的两点，当时，的值是__________． 变式11-3已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点的坐标．（用含的式子表示） (2)若点均在抛物线上，求线段的长． (3)若该抛物线经过点，且，求的取值范围． 题型十二、y=ax²+bx+c的最值 典例12 在平面直角坐标系中，已知二次函数，当自变量满足时，的最大值为，的最小值为，则的值为（     ） A．7 B．11 C．22 D．26 变式12-1已知实数a，b满足，则代数式的最小值是（     ） A． B．0 C．1 D．6 变式12-2已知二次函数在时有最小值，则________． 变式12-3阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解： ∴当时，． 有最小值，最小值为2，即的最小值为2． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 填空：①代数式，则A的最小值为________； ②代数式，则B的最大值为________． (2)【类比应用】 我校劳动课基地有甲、乙两块长方形种植园，已知甲种植园的两边长分别是米、米，乙种植园的两边长分别是米、米，试比较这两块种植园的面积和的大小，并说明理由． (3)【创新应用】如图，在三角形中，，，记，，当最大时，求此时b的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若是二次函数，则的值是（     ） A． B． C．或 D． 2．下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 3．已知二次函数的图象上三点，则由大到小排列正确的是（     ） A． B． C． D． 4．二次函数与一次函数（且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 5．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①；②（m为任意实数）；③；④若是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 6．如果函数是关于x的二次函数，则_________． 7．小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的左边靠墙（墙的长度为），另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是______（写出自变量的取值范围） 8．二次函数，当自变量满足时，对应函数值的取值范围是__________． 9．如图，二次函数与反比例函数的图像在第一象限交于点，直线平行于轴，且与二次函数的图像交于点，则的面积为_____． 10．二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都为等边三角形，则的边长为________． 11．已知函数． (1)当为何值时，此函数是关于的二次函数？ (2)当为何值时，此函数是关于的一次函数？ (3)当满足什么条件时，此函数是关于的正比例函数？ 12．如图，矩形的长是、宽是，如果将长和宽都增加，矩形面积变成． (1)求与之间的函数解析式（要求化为一般式）； (2)当长和宽都增加多少时，矩形的面积变成？ 13．已知二次函数（m是常数，且）． (1)求这个二次函数的对称轴； (2)当m的值为1时，将这个二次函数图象向右平移3个单位长度，得到新的二次函数图象，求出这个新的二次函数的解析式，并求出新的二次函数在的范围内函数的值的范围． 14．已知抛物线与直线相交于，两点．点为直线上方抛物线上任意一点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点． (1)设点的横坐标为，线段的长为，求关于的函数表达式．并求出的最大值． (2)当点是的中点时，求点的坐标． 15．在平面直角坐标系中，对“郡值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“郡值”．函数图象上所有点的“郡值”中的最大值称为函数的“最优郡值”．例如：点在函数图象上，点的“郡值”为，函数图象上所有点的“郡值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数在时的“最优郡值”为． 根据定义，解答下列问题： (1)①点的“郡值”为__________； ②函数的“最优郡值”为__________； (2)线段的“最优郡值”为，求的值； (3)若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优郡值”为，求的值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数的概念、图象与性质 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数的定义及求参 题型二、列二次函数的表达式 题型三、二次函数的平移 题型四、一次、反比例、二次函数图象的综合判断 题型五、二次函数图象与各项系数符号关系 题型六、y=ax²的图象与性质 题型七、y=ax²+c的图象与性质 题型八、y=a（x-h）²的图象与性质 题型九、y=a（x-h）²+c的图象与性质 题型十、y=ax²+bx+c的图象与性质 题型十一、二次函数的对称性求解 题型十二、y=ax²+bx+c的最值 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型分类 核心知识点 常见易错点 二次函数的定义及求参 形如y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的函数为二次函数，核心判定条件是自变量最高次数为2，且二次项系数不为0，可据此列方程或不等式求解参数取值 易忽略二次项系数a≠0的限制条件，仅根据次数为2求解参数，导致出现增根；混淆“函数是二次函数”和“函数的图象是抛物线”的判定边界，误将a=0的情况纳入二次函数范围 列二次函数的表达式 结合实际问题或几何图形的数量关系，找到两个变量间的等量关系，整理为二次函数的标准形式，同时需标注符合实际意义的自变量取值范围 容易遗漏自变量的实际取值限制，比如长度、面积类问题中自变量不能取负数或超出几何约束的数值；整理表达式时计算失误，误展开完全平方或合并同类项出错 二次函数的平移 遵循“左加右减、上加下减”的平移规则，针对顶点式y=a(x-h)²+c操作时，左右平移仅作用于x项，上下平移作用于常数项，平移前后二次项系数a保持不变 平移方向搞反，误将“左移”当成x减去平移单位；对一般式直接盲目套用平移规则，没有先转化为顶点式就进行变形，导致平移结果出错 一次、反比例、二次函数图象的综合判断 根据各类函数图象的特征，结合同一参数的取值一致性判断图象合理性，比如二次函数开口方向对应a的正负，需和一次函数斜率、反比例函数所在象限的参数符号统一 忽略多个函数的参数取值要保持统一，仅凭单个图象的局部特征判定，出现参数前后符号矛盾的误判；混淆反比例函数两支曲线的分布规律，和二次函数的象限分布错配 二次函数图象与各项系数符号关系 开口方向判定a的符号，对称轴位置x=-b/(2a)结合a的符号判定b的符号，抛物线与y轴交点纵坐标判定c的符号，还可通过特殊点x=±1、±2的函数值推导a、b、c的代数组合符号 错误记忆“左同右异”的b的符号判定规则，把对称轴在y轴左侧时a和b同号的规律搞反；代入特殊点计算组合符号时符号处理失误，误判a+b+c这类代数式的正负 y=ax²的图象与性质 图象是顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线，a>0时开口向上，x=0处取最小值0，x>0时y随x增大而增大，x<0时y随x增大而减小；a<0时性质相反， y=ax²+c的图象与性质 由y=ax²上下平移 y=a(x-h)²的图象与性质 由y=ax²左右平移 y=a(x-h)²+c的图象与性质 是二次函数的顶点式，顶点坐标为(h,c)，对称轴为直线x=h，直接可读出最值为c，增减性以对称轴为分界， y=ax²+bx+c的图象与性质 标准一般式，可通过配方或公式法推导顶点坐标(-b/(2a),(4ac-b²)/(4a))，对称轴为直线x=-b/(2a)，完整涵盖开口方向、增减区间、最值、与坐标轴交点等所有图象性质 用公式法计算顶点纵坐标时代入数值出错，符号处理失误；配方时二次项系数提出后，常数项的补全计算错误，导致顶点坐标求解偏差 二次函数的对称性求解 二次函数图象关于对称轴x=-b/(2a)对称，若两点函数值相等，则两点横坐标的中点在对称轴上，可利用对称性求对称点坐标、函数值或未知点的横坐标 忽略对称点必须函数值相等的前提，随意套用对称关系计算横坐标；计算两点中点时求和后忘记除以2，导致对称轴坐标计算错误 y=ax²+bx+c的最值 全体实数范围内，当a>0时函数在顶点处取最小值，a<0时在顶点处取最大值；若限定自变量取值区间，需结合对称轴和区间的位置关系判断最值在顶点还是区间端点处取到 在带约束的自变量区间内，直接默认最值取顶点处的数值，忽略对称轴不在给定区间内的情况，错将顶点最值当成区间最值；计算区间端点函数值时代入数值计算失误，得到错误的最值结果 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数的定义及求参 典例1下列函数中，属于二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简选项C的表达式，再结合二次函数的特征逐一判断各选项． 【详解】解：A选项是一次函数，不符合； B选项含分式，不符合； C选项，是一次函数，不符合； D选项是二次函数，符合． 变式1-1下列函数解析式中，一定为二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次函数需满足三个条件：解析式为整式、自变量最高次数为2、二次项系数不为0，据此逐一判断选项. 【详解】解：A选项，未说明，当时函数不是二次函数，不符合要求； B选项，的右边为分式，不是整式，不符合二次函数定义； C选项，满足二次函数的所有条件，符合要求； D选项，化简得，是一次函数，不符合要求. 变式1-2若是二次函数，则a的值是__________． 【答案】 【分析】根据二次函数定义，分别列出次数和系数的条件，求解后舍去不符合要求的值即可． 【详解】解：根据二次函数定义可得， 解得， ， ， ． 变式1-3如果函数是关于的二次函数，那么的值是________． 【答案】或 【分析】根据二次函数的定义，的指数，二次项系数，解方程后再排除系数为的解即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴，，即， 解得：或， ∵和都满足， ∴或． 类型二、列二次函数的表达式 典例2 某厂一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年一季度新产品的研发资金（万元）关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：1月的研发资金题目直接给出，为10万元； 2月比1月增长率为x，因此2月研发资金月资金×（增长率），即万元； 3月比2月增长率同样为x，因此3月研发资金月资金×（增长率），即 万元； 把三个月的资金相加，得到一季度总研发资金的函数关系式：． 变式2-1一个直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为，面积为，则与的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为， ∴另一条直角边长为， ∵面积为， ∴与的函数解析式是． 变式2-2一个边长为10厘米的正方形，如果它的边长减少x厘米，则正方形的面积随之减少y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是____________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题列出二次函数，先计算出原正方形的面积，再计算出边长减少后的正方形的面积，作差即可得解． 【详解】解：原正方形面积为（平方厘米）， 边长减少厘米后，新正方形边长为厘米，面积为平方厘米， 则， 故答案为：． 变式2-3某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，设平均每月降价的百分率为x，则9月份的楼盘出售均价为元，则10月份的楼盘出售均价为元，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 题型三、二次函数的平移 典例3 将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线平移遵循“左加右减、上加下减”． 【详解】解：将向左平移2个单位长度得， 再向下平移1个单位长度得． 变式3-1在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”进行求解即可． 【详解】解：∵将的图象向左平移2个单位， ∴得， ∵再向下平移2个单位， ∴得． 变式3-2将二次函数向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新的抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】根据二次函数图像平移规律“左加右减，上加下减”，即可得到结果． 【详解】解：原抛物线解析式为， 将抛物线向右平移个单位，可得解析式， 再将得到的抛物线向下平移个单位，可得新的解析式为． 变式3-3在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得到的新抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【分析】原抛物线为顶点式，可直接得到原顶点坐标，根据点的平移规则计算新顶点坐标即可． 【详解】解：∵抛物线是顶点式， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∴将顶点向左平移2个单位，横坐标减2，得到横坐标为；再向上平移3个单位，纵坐标加3，得到纵坐标为； ∴新抛物线的顶点坐标是． 题型四、一次、反比例、二次函数图象的综合判断 典例4 若正比例函数，y随x的增大而减小，则它和二次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵正比例函数，y随x的增大而减小， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，且二者交于原点， 故只有C选项符合题意． 变式4-1在同一坐标系中，二次函数与的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴位置确定、的符号，进而判断的符号，结合反比例函数的图象性质进行排除． 【详解】解：对于二次函数，当时，故图象必过原点． A选项：抛物线开口向上，则；对称轴在轴右侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数的图象位于第一、三象限，符合题意； B选项：抛物线开口向下，则；对称轴在轴左侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第二、四象限，不符题意； C选项：抛物线开口向上，则；对称轴在轴左侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第二、四象限，不符题意； D选项：抛物线开口向下，则；对称轴在轴右侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第一、三象限，不符题意． 变式4-2一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示则的取值范围是______ ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，正确地识别图形是解题的关键；根据反比例函数的图象在一三象限，一次函数图象与轴的交点，二次函数的图象的对称轴位置，列不等式组，解不等式组即可得到结论． 【详解】解：根据题意得， 解得， 的取值范围是 故答案为： 变式4-3抛物线与双曲线的图象如图所示，当时，x的取值范围是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，根据函数图象找到二次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得当时，x的取值范围是或， 故答案为：或． 题型五、二次函数图象与各项系数符号关系 典例5 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过抛物线开口、对称轴、与坐标轴交点判断，，符号；利用抛物线对称性，把的函数值转移到；再将代入的函数不等式，化简判断的正负． 【详解】A：抛物线开口向下；对称轴为直线， 因为，所以； 因为抛物线与轴交于正半轴，所以； 所以，A正确． B：利用对称性：对称轴为直线，与关于对称． 从图像：时，， 所以时函数值同样小于，所以时，，正确． C：由对称轴，得，移项：，C正确． D：时，， 又， 代入：，D错误． 【点睛】二次函数图像题的关键：①开口定；对称轴判断关系式；轴交点定；②抛物线上关于对称轴对称的两点，函数值相等；③把用替换，可化简代数式，判断式子正负． 变式5-1如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的个数是（     ） ①； ②； ③若点在抛物线上，则； ④对任意实数t，总成立； ⑤． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由抛物线开口向上，对称轴，抛物线与轴的交点位置可得，所以①错误；求解抛物线与轴的另一个交点为，可得，所以②错误；判断点关于直线的对称点坐标是，可得，故③正确；求解函数的最小值为，可得不一定成立；故④错误；联立，解得，可得，进一步判断⑤正确． 【详解】解：抛物线开口向上，则，对称轴， 则， ∵， ∴，所以①错误； 抛物线对称轴为，与轴的一个交点为，则另一个交点为， ∴当时，，即，所以②错误； ∵抛物线对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴当时，随的增大而增大，点关于直线的对称点坐标是， ∵， ∴，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴函数的最小值为， 当时，， ∴对任意实数t，总成立， ∴不一定成立；故④错误； 联立，解得， ∵点， ∴，， ∴．故⑤正确； 综上所述，正确的结论有：③⑤，有个结论正确． 变式5-2已知二次函数的图象如图所示，则以下结论：①，②，③，④．其中正确的__________． 【答案】 ②③④ 【分析】根据抛物线的开口方向判断的符号，由对称轴的位置判断的符号及与的数量关系，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合时的函数值及的关系式进行推导判断． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴为直线，且， ， ，故①错误； ， ，即，故②正确； 观察图象可知，当时，图象在轴下方， ，故③正确； 由②可知， 将其代入 中， 得，整理得 ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论有②③④． 变式5-3如图，点是抛物线的顶点．下列结论（1）；（2）；（3）：（4）对任意实数总成立；（5）若点在抛物线上，则，正确的是__________． 【答案】（1）（3） 【分析】（1）通过函数图象，利用特殊值法求解； （2）利用对称轴得出系数之间的关系； （3）利用系数之间的关系以及顶点坐标确定，然后利用抛物线与轴的交点坐标列出不等式求解； （4）利用抛物线的顶点坐标求解； （5）利用函数的增减性进行判断． 【详解】解：（1）当时，函数值为负数， ∴， 该选项正确； （2）由抛物线的对称轴为直线得， ， ∴， ∴， 该选项错误； （3）∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∵， ∴， 由图象可知，抛物线与轴交于和之间， ∴， 解得， 该选项正确； （4）∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，函数值最大，为， ∴对任意实数总成立， 该选项错误； （5）若点在抛物线上，无法确定的大小， 综上，正确的选项为（1）（3）． 题型六、y=ax²的图象与性质 典例6 二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次函数可化为顶点式， ∴顶点坐标为． 变式6-1已知二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：把代入，得， 把代入，得， ∵， ∴． 变式6-2若点和在函数的图象上，且，则与的大小关系是_______． 【答案】 【分析】已知二次函数解析式和两点横坐标满足，根据二次函数的增减性即可判断纵坐标大小，先确定函数开口方向和对称轴，再判断时的增减性即可推导． 【详解】解：函数 的二次项系数为． ∴ 抛物线开口向下，对称轴为直线． ∵当时，随的增大而增大． ∵ ． ∴ ． 变式6-3用描点法画出二次函数的图象，列表如下： x … 0 2 4 y … m 0 n (1)填空：________；________； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）求出和时的函数值即可得到答案； （2）根据表格中的数据利用描点法画函数图象即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，， ∴； （2）略 题型七、y=ax²+c的图象与性质 典例7 关于二次函数的图象与性质，下列说法错误的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y有最大值 【答案】C 【分析】根据的图象与性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴，. ∵， ∴图象开口向下，A正确，不符合题意； ∵对称轴为直线，B正确，不符合题意； ∵图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴时，不随的增大而一直增大，C错误，符合题意； ∵图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，代入解析式得，即有最大值，D正确，不符合题意． 变式7-1已知点，，是抛物线上的三个点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象与性质，将函数值比大小问题转化为点到对称轴的距离问题即可． 【详解】解：在抛物线中，二次项系数，对称轴为轴， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴点离对称轴越近，对应的函数值越小， ∵， ∴． 变式7-2如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，则的值为_______． 【答案】2 【分析】由题意易得点C、B关于y轴对称，点，进而根据正方形的性质可得点，然后代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∴C、B关于y轴对称， ∵四边形是正方形， ∴，与相互平分， 令时，则有， ∴点， ∴， ∴点， 把点C代入得：，解得：或， ∵， ∴． 变式7-3如图所示，已知抛物线． (1)在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）； (2)该抛物线可由抛物线向___________平移___________个单位得到； (3)当时，的取值范围是___________． 【答案】(1) 抛物线的大致图象如下图所示： (2)上；4 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移的规律，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意可知，该抛物线开口向下，顶点坐标为，经过点，，，，即可画出大致图象； （2）根据抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行求解即可； （3）根据函数解析式可得抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，则离对称轴越远，函数值越小，据此可确定时，函数有最小值，求出函数的最小值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线线解析式为， 该抛物线的顶点坐标为，开口向下， 令，则，即该抛物线经过点和点， 令，则，即该抛物线经过点和； （2）解：抛物线可由抛物线向上平移4个单位可得到． 故答案为：上，4． （3）解：∵抛物解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当，且时，函数有最小值，最小值为， 又∵顶点坐标为，即当时，函数有最大值，最大值为4， ∴当时，． 题型八、y=a（x-h）²的图象与性质 典例8 函数的图象不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数顶点式确定顶点坐标特征对各选项的图象分析即可． 【详解】解： 函数解析式为 ， 抛物线的顶点坐标为 ， 抛物线的顶点一定在 轴上 观察图象，A、B、D选项的顶点均在轴上，C选项图象的顶点在轴正半轴上，不在轴上， 该图象不可能是函数的图象． 变式8-1已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（     ） A．1或6 B．3或6 C．1或3 D．4或6 【答案】A 【分析】先根据二次函数的性质得到当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，再分若，则当时，y最大，若，则当时，y最大，若，则最大值为0，三种情况根据最大值为进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数（h为常数）当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 若，则当时，y最大，即，解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即，解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 由上可得，h的值是6或1． 变式8-2已知，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为______． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，再计算各点到对称轴的距离，根据开口向上的二次函数的性质，点离对称轴越远对应函数值越大，即可比较大小． 【详解】解：由二次函数解析式可得，二次项系数，抛物线开口向上，对称轴为直线， 分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 由开口向上的二次函数，点离对称轴越远，对应的函数值越大， ∵， ∴． 变式8-3【探究】如图，已知抛物线 （1）在坐标系中画出此抛物线y的大致图象 (不要求列表)； （2）该抛物线可由抛物线 向 平移 个单位得到； （3）当时，函数值y取值范围是 ． 【应用】已知二次函数 （h是常数），且自变量取值范围是． ①当时，求函数的最大值 ②若函数的最大值为，求h的值． 【答案】 （1）如图， （2）上，4；（3）；[应用]①0；②1或6 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是： （1）根据画二次函数 图象的方法画图即可； （2）利用二次函数的平移规律求解即可； （3）利用二次函数的性质并结合函数图象即可得出结论； 【应用】①利用二次函数的性质求解即可； ②分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）略 （2）该抛物线可由抛物线 向上平移4个单位得到， 故答案为：上，4； （3）抛物线开口向下，当时，y有最大值为4， 当时，；当时， ∴当时，函数值y取值范围是， 故答案为：； [应用]①抛物线的开口向下，对称轴为， ∴当时，当时，y有最大值，最大值为0； ②当时，时，y随x的增大而减小，则当时，y有最大值， ∴， 解得，（舍去） 当时，时，y有最大值为0，故不符合题意； 当时，时，y随x的增大而增大，则当时，y有最大值， ∴， 解得（舍去），（舍去） 综上，若函数的最大值为，则h的值为1或6． 题型九、y=a（x-h）²+c的图象与性质 典例9 已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用抛物线的解析式求出与，再比大小即可． 【详解】解：将代入，得 ， 将代入，得 ， ∵， ∴． 变式9-1对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【详解】解：二次函数中，，开口向上，A正确； 对称轴为直线，故B错误； 顶点坐标为，C正确； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小． ∵， ∴当时，随的增大而减小，D正确． 变式9-2已知二次函数，若，则y的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先根据二次函数顶点式确定开口方向和顶点坐标，再计算给定x范围内端点的函数值，比较得到y的最值，即可确定y的取值范围． 【详解】解：已知二次函数为， ∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，顶点是函数的最高点， ∵在范围内， ∴的最大值为， 分别计算区间端点的函数值： 当时，， 当时，， ∵， ∴的最小值为， 因此的取值范围是． 变式9-3已知二次函数． (1)二次函数顶点坐标是 ； (2)完成下列表格并在如图所示的直角坐标系内画出该函数的大致图象； (3)根据图象直接回答：当时，随的增大而 （填“增大”或“减小”）； (4)当时，的取值范围是 ． 【答案】(1) (2) … 0 1 2 3 4 … 3 0 0 3 函数图象如图： (3)增大 (4) 【分析】（1）根据顶点式直接可求顶点坐标； （2）把，代入函数表达式求解函数值，即可填表，再描点、连线，即可作图； （3）根据函数图象即可求解； （4）可得时，函数取得最小值，再计算当，时的函数值，从而可得答案. 【详解】（1）解：∵． ∴顶点坐标为． （2）解：当时，，当时，， 函数图象见答案； （3）略 （4）解：当时，函数取得最小值， 当时，， 当时，， ∴当时，． 题型十、y=ax²+bx+c的图象与性质 典例10 对于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【详解】解：将抛物线解析式配方得， ∵二次项系数， ∴抛物线开口向上，A选项错误； 抛物线的对称轴为直线，B选项正确； 抛物线的顶点坐标为，C选项错误； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，D选项错误． 变式10-1已知点，，在二次函数的图象上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将各点的横坐标代入解析式表示出函数值，然后进行比较大小即可． 【详解】解：分别将，，代入，得 ， ， ， ∵， ∴． 变式10-2当时，函数的最大值是8，则______． 【答案】或 【分析】先求出二次函数的对称轴，再讨论对称轴与区间的位置关系，最后就可以求出答案． 【详解】解：先求出二次函数的对称轴： ， 对称轴与区间的位置关系， 分三种情况， 情况一：对称轴在区间内，即， 此时函数在处取得最大值8， ， 解得， 因为， 所以； 情况二：对称轴在区间左侧，即，也就是 ， 此时随着的增大而减小，在处取得最大值8， ， 解得, 因为，不符合的要求， 所以要舍去； 情况三：对称轴在区间的右侧，即，也就是， 此时随着的增大而增大，在处取得最大值8， ， 解得， 因为，符合要求， 综上所述， 的值为或． 变式10-3已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围． 【答案】(1) (2)函数图象如下所示： (3) 【分析】（1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图象即可； （3）根据函数图象确定当时对应的y的取值范围即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：列表如下： … 0 1 2 3 … … 0 0 … 画图略； （3）解：由函数图象可知，当时，函数值的取值范围为． 题型十一、二次函数的对称性求解 典例11 若二次函数的图象经过点、，则的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由两点横坐标互为相反数、纵坐标相同的特征，得二次函数对称轴为y轴，结合二次项系数不为0求解． 【详解】解：∵二次函数图象过点与， ∴其对称轴为直线，即对称轴为y轴， ∴， ∴， 解得或， ∴． 变式11-1抛物线与x轴交于点，，则它的对称轴是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线是轴对称图形，其与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴为两个交点连线的垂直平分线，对称轴对应的横坐标为两个交点横坐标的平均值． 【详解】解：已知两个交点的横坐标分别为2和4，因此对称轴对应的横坐标为： 所以，对称轴为． 变式11-2已知点，是抛物线上的两点，当时，的值是__________． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称性即可解答． 【详解】解：点，关于抛物线的对称轴对称， 对称轴为直线， 抛物线的对称轴为y轴，即直线， ， ， 当时，． 变式11-3已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点的坐标．（用含的式子表示） (2)若点均在抛物线上，求线段的长． (3)若该抛物线经过点，且，求的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标是 (2) (3) 【分析】（1）将函数一般式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）点和点的纵坐标相等，点与关于对称轴对称，根据点到对称轴的距离是，即可得到答案； （3）根据题意抛物线开口向下，抛物线的对称轴是直线，点关于对称轴的对称点的横坐标是，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标是； （2）解：点和点的纵坐标相等， 点与关于对称轴对称． 抛物线的对称轴为直线, 点到对称轴的距离是， 点到对称轴的距离也是1， ； （3）解：， 抛物线开口向下， 点的坐标为， 点关于对称轴的对称点的横坐标是， ， ，解得， 的取值范围为． 题型十二、y=ax²+bx+c的最值 典例12 在平面直角坐标系中，已知二次函数，当自变量满足时，的最大值为，的最小值为，则的值为（     ） A．7 B．11 C．22 D．26 【答案】D 【分析】先将二次函数配方确定对称轴，结合开口方向与的取值范围确定最值对应的值，再根据最小值为列方程求出，进而计算； 【详解】解：将二次函数配方得， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点处取得最大值， ∵，对称轴在取值范围内， ∴当时，取最大值，即， 当时，， 当时，， ∵， ∴当时，取最小值，即， 解得， ∴． 变式12-1已知实数a，b满足，则代数式的最小值是（     ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】D 【分析】先根据得出，将代入原式变形得出，根据，求出，根据二次函数的增减性求出最小值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式 ， ∵， ∴， ∵， ∴当时，原式的值随着a的增大而增大， ∴当时，原式取最小值为6． 变式12-2已知二次函数在时有最小值，则________． 【答案】或 【分析】先将二次函数配方为顶点式得到对称轴，再分和两种情况，根据区间内最小值的位置列方程求解． 【详解】解：， 对称轴为直线，对称轴在内， 当时，抛物线开口向上， 最小值在对称轴处取得，即时，， 解得； 当时，抛物线开口向下， 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 在中，离对称轴最远， 时取得最小值，代入得， 解得； 因此或． 变式12-3阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解： ∴当时，． 有最小值，最小值为2，即的最小值为2． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 填空：①代数式，则A的最小值为________； ②代数式，则B的最大值为________． (2)【类比应用】 我校劳动课基地有甲、乙两块长方形种植园，已知甲种植园的两边长分别是米、米，乙种植园的两边长分别是米、米，试比较这两块种植园的面积和的大小，并说明理由． (3)【创新应用】如图，在三角形中，，，记，，当最大时，求此时b的值． 【答案】(1)①A的最小值为5， ②B的最大值为6． (2)，理由如下： ，， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）①将代数式A通过配方转化为完全平方的形式，再根据完全平方的非负性求最小值； ②先提出一个负号，再对括号内的式子进行配方，最后根据完全平方的非负性求最大值． （2）分别表示出甲、乙两块种植园的面积，然后通过作差法比较大小，同样需要利用完全平方公式进行变形． （3）首先需通过作高构造直角三角形，利用勾股定理建立边a与b的等量关系：然后将该关系代入目标式，转化为关于b的二次函数，最后利用配方法求最值，得到此时b的值． 【详解】（1）解：① ∴当时，， 有最小值，最小值为5，即的最小值为5． ② ∴当时，， 有最大值，最大值为6，即B的最大值为6． （2）略 （3）由题意，作于点D， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， 在中，． ∴ ∴ 化简，得 设，将代入得： ∴当时，y取得最大值， ∴当最大时，b的值为8． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．若是二次函数，则的值是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，解题需同时考虑二次项次数为、二次项系数不为两个条件，不可遗漏系数限制． 【详解】解：由二次函数定义得二次项次数为、二次项系数不为， ∴且， 解得：或， 解得：， ∴． 2．下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【分析】根据各问题中的数量关系列出y与x的函数解析式，再判断函数类型即可． 【详解】解：① 由矩形面积公式可得，即，y是x的反比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ② 由圆柱侧面积公式可得，y是x的正比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ③∵利润（售价进价）销售量， ∴， 符合二次函数定义，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 综上，y与满足的函数关系是二次函数的是③． 3．已知二次函数的图象上三点，则由大到小排列正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将各点横坐标代入解析式，求得函数值，再比较大小即可． 【详解】解：将代入，得； 将代入，得； 将代入，得； ∵， ∴． 4．二次函数与一次函数（且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数 的图象确定，的符号，再结合二次函数 的开口方向进行验证． 【详解】解： A、由一次函数图象从左往右下降可知，由二次函数图象开口向上可知，矛盾，故错误，该选项不符合题意； B、由一次函数图象从左往右上升可知，由二次函数图象开口向下可知，矛盾，故错误，该选项不符合题意； C、由一次函数图象从左往右下降可知，由二次函数图象开口向下可知，两者一致；由一次函数图象与y轴交于负半轴可知，因此，故正确，该选项符合题意； D、由一次函数图象从左往右上升可知，由二次函数图象开口向上可知 ，两者一致；由一次函数图象与y轴交于负半轴可知，因此，故错误，该选项不符合题意． 5．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：①；②（m为任意实数）；③；④若是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】先得出，，再得出，由此可得①错误；得出二次函数的最大值为，则对于任意实数，都有，由此可得②正确；根据函数图象可得当时，，由此可得③正确；根据二次函数的对称性即可得④错误． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，则结论①错误； 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， ∴对于任意实数，都有，即，则结论②正确； 由二次函数的图象可知，当时，， ∴， 又∵， ∴，则结论③正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴点、关于这个二次函数的对称轴对称， ∴， ∴，则结论④错误； 综上，正确的结论有②③． 6．如果函数是关于x的二次函数，则_________． 【答案】 【详解】解：函数是关于x的二次函数， 且， ． 7．小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的左边靠墙（墙的长度为），另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与的函数关系式是______（写出自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则矩形平行于墙的一边长为，根据矩形的面积公式可求出与的函数关系式，再根据题意求出自变量的取值范围即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则矩形平行于墙的一边长为， ∴， 又由题意得，， 解得， ∴与的函数关系式为， 故答案为：． 8．二次函数，当自变量满足时，对应函数值的取值范围是__________． 【答案】/ 【分析】将二次函数配方得到开口方向与对称轴，根据给定的范围计算区间内的最值，即可得到的取值范围． 【详解】解：，二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 自变量满足，该区间在对称轴右侧，随的增大而增大， 当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 的取值范围是． 9．如图，二次函数与反比例函数的图像在第一象限交于点，直线平行于轴，且与二次函数的图像交于点，则的面积为_____． 【答案】5 【分析】设点 的坐标，根据点 在反比例函数图像上得出横纵坐标之积为 ；利用二次函数图像的对称性得出点 的坐标，进而表示出的长，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：设点的坐标为，其中， 点在反比例函数的图像上 ． 点在二次函数的图像上，且直线平行于轴，交二次函数图像于点， 点与点关于轴对称， 点的坐标为， ， ， ， ． 10．二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都为等边三角形，则的边长为________． 【答案】 【分析】分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为、、，设，，，则，，，再根据正三角形的边长，分别表示，，的纵坐标，代入抛物线中，求、、的值，得出规律． 【详解】解：分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为、、， 设，，， 由勾股定理则，，， 在中，， 代入中，得，解得（负值已舍去），即， 在中，， 代入中，得，解得（负值已舍去），即， 在中，， 代入中，得，解得（负值已舍去），即， …， 以此类推由此可得的边长为． 11．已知函数． (1)当为何值时，此函数是关于的二次函数？ (2)当为何值时，此函数是关于的一次函数？ (3)当满足什么条件时，此函数是关于的正比例函数？ 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据二次函数的定义，可得答案； （2）根据一次函数的定义，可得答案； （3）根据正比例函数的定义，可得答案． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 当时，此函数是关于的二次函数． （2）解：由题意，得且， 解得， 当时，此函数是关于的一次函数． （3）解：由题意，得且，， 解得，， 当，时，此函数是关于的正比例函数． 12．如图，矩形的长是、宽是，如果将长和宽都增加，矩形面积变成． (1)求与之间的函数解析式（要求化为一般式）； (2)当长和宽都增加多少时，矩形的面积变成？ 【答案】(1)； (2)当长和宽都增加时，矩形的面积变成． 【分析】，根据题意，直接运用矩形面积，即可得出与的函数表达式； 把代入中求出的表达式，解方程得出边长增加的长度． 【详解】（1）解：由题意得， ∴与之间的函数解析式为； （2）解：令，则， 解得，（负值舍去）， 答：当长和宽都增加时，矩形的面积变成． 13．已知二次函数（m是常数，且）． (1)求这个二次函数的对称轴； (2)当m的值为1时，将这个二次函数图象向右平移3个单位长度，得到新的二次函数图象，求出这个新的二次函数的解析式，并求出新的二次函数在的范围内函数的值的范围． 【答案】(1) 直线 (2) 新二次函数解析式为，在范围内函数值的范围是 【分析】（1）直接利用对称轴公式进行求解即可； （2）代入得原函数解析式，根据平移规律得新解析式，结合开口方向与对称轴，在给定区间内求最值得到取值范围. 【详解】（1）解：由题意，二次函数的对称轴为直线； （2）解：当时，原函数解析式为， 配方得； 图象向右平移3个单位长度后，新函数解析式为 ，即； ∴新函数开口向上，对称轴为直线， ∵，且， ∴ 当时，取最小值； 当时，； 当时，； ∵， ∴当时，取最大值； 综上所述，时，函数值的范围是. 14．已知抛物线与直线相交于，两点．点为直线上方抛物线上任意一点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点． (1)设点的横坐标为，线段的长为，求关于的函数表达式．并求出的最大值． (2)当点是的中点时，求点的坐标． 【答案】(1)，的最大值为 (2)点的坐标为 【分析】（1）先由抛物线与直线相交于，两点，可得的取值范围，再由轴，可得，，即可求解； （2）由轴于点，可得，再根据中点坐标公式列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线相交于，两点， ∴令，整理得， 解得，， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∵点在直线上方， ∴， ∵轴，点的横坐标为， ∴，， ∵点在直线上方，点在直线上， ∴，即， ∴， ∵，， ∴当时，的最大值为． （2）解：∵轴于点， ∴， ∵，， ∴当点是的中点时，， 整理得， 解得， 由（1）可知，， ∴， 当时，， ∴点的坐标为． 15．在平面直角坐标系中，对“郡值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差称为点的“郡值”．函数图象上所有点的“郡值”中的最大值称为函数的“最优郡值”．例如：点在函数图象上，点的“郡值”为，函数图象上所有点的“郡值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数在时的“最优郡值”为． 根据定义，解答下列问题： (1)①点的“郡值”为__________； ②函数的“最优郡值”为__________； (2)线段的“最优郡值”为，求的值； (3)若二次函数图象的顶点在直线上，当时，二次函数的“最优郡值”为，求的值． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】（1）根据“郡值”的定义，点的“郡值”即为纵坐标与横坐标的差，代入计算即可；函数的“郡值”表达为，所以根据在时随的增大而减小，即可判断当时，取得最大值，故“最优郡值”为； （2）函数的“郡值”表达式为，“最优郡值”为，即的最大值为，那么需要分情况讨论的符号，根据的增减性代入对应区间的端点值计算出最大值，从而解得的值； （3）将二次函数图象的顶点代入直线，得到，然后代回二次函数解析式得，从而求出二次函数“郡值”的表达式为，由于在上的最大值为，因此需要分三种情况讨论对称轴的位置，分别是，和，根据“郡值”表达式的增减性代入对应区间端点计算最大值，从而解得的值． 【详解】（1）解：①点的“郡值”为； ②， ， 在时随的增大而减小， 时，的最大值为， 函数的“最优郡值”为． （2）解：线段， ， 的“最优郡值”为， 需要分和两种情况讨论， 当，即时，随增大而减小， 要取得最大值，则，解得，经检验符合； 当，即时，随增大而增大， 要取得最大值，则，解得，经检验符合， 综上所述，或． （3）解：二次函数图象的顶点在直线上， ， ， 二次函数“郡值”表达式为， 二次函数的“最优郡值”为，即在上的最大值为， 需要分三种情况讨论对称轴的位置． 当对称轴时，即时，在区间上随增大而减小， 当时，取得最大值，代入得，解得或（舍去）； 当对称轴时，在区间上的最大值即为顶点纵坐标，代入得，， 该情况与题意不符； 当对称轴时，在区间上随增大而增大， 当时，取得最大值，代入得，解得（舍去）或． 综上所述，或． 1 / 50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $