专题18 二次函数中的特殊三角形存在性问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

专题18 二次函数中的特殊三角形存在性问题的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中的等腰三角形存在性问题 题型二、二次函数中的直角三角形存在性问题 题型三、二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 题型四、二次函数中的相似三角形存在性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：在抛物线上或坐标系中，探究满足等腰、直角或等腰直角三角形的动点是否存在，需分类讨论。 - 解题方法：等腰三角形用两腰相等（距离公式）列方程；直角三角形用斜率垂直（\(k_1k_2=-1\)）或勾股定理；等腰直角结合两者，注意分类不重不漏。 - 易错提醒：忽视动点与顶点重合的临界情况；分类讨论时遗漏某种腰或直角对应情形；计算中根号开方时丢负根；未检验所求点是否在抛物线或给定范围内。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中的等腰三角形存在性问题 典例1如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是抛物线上轴上方的一个动点，当的面积为时，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）把点的坐标代入抛物线中可得的值，从而可得抛物线的解析式； （2）根据的面积为列方程可得点的坐标； （3）由等腰三角形行政，分情况讨论：①当时；②当时；③当时，从而可以解答． 【详解】（1）解：把点的坐标代入抛物线中得： ， 抛物线的解析式为：； （2）解：当时，，解得，， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， ； （3）解：当时，时， ， ， ， ①当时，； ②当时，； ③当时，设，则， 在中，，即，解得， ， ； 综上，点的坐标为或或． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与两定点构成等腰三角形，求动点坐标，常分三类（三边任一等）。 2.方法：设动点坐标，利用距离公式表示三边平方，分情况列方程（如两腰相等），解方程并验证。 变式1-1如图，在平面直角坐标系中，经过点的抛物线（为常数，且）与x轴交于两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式和点D的坐标； (2)将抛物线向左平移个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为E，连接，请问在平移过程中，是否存在m的值，使得是等腰三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，顶点D的坐标为； (2)m的值为或5或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）利用待定系数法可求得抛物线的函数表达式，配方成顶点式即可求得顶点D的坐标； （2）根据平移的性质得到，则顶点E的坐标为，利用两点之间的距离公式求得，，，分或或三种情况讨论，列出方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵经过点的抛物线，且对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， ， ∴顶点D的坐标为； （2）解：由题意将向左平移个单位长度后得到抛物线， ∴， ∴的顶点E的坐标为， 对于，令，则， ∴与y轴交于点C的坐标为， 即，，其中， ∴， ， ， 当时，则， 解得（舍去）或，此时，，符合题意； 当时，则， 此时，，符合题意； 当时， 则，解得，此时，，符合题意； 综上，m的值为或5或． 变式1-2如图，点为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、两点（点在轴上），与二次函数图象的对称轴交于点． (1)求的值及点坐标； (2)连接、，求的面积． (3)在该二次函数的对称轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3)或或或 【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值，利用待定系数法可求抛物线解析式； （2）先求出然后根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解. 【详解】（1）∵直线过点， ∴， ∴， ∴， ∴， 二次函数解析式为 顶点坐标为； （2）由（1）知， 直线的解析式为，，二次函数对称轴为直线， ∵直线与二次函数图象的对称轴交于点， ∴设点， ∴， ∴， ∴的面积； （3）存在点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形. ∵顶点坐标为 ∴对称轴为直线 过点作于点， 在中，， ①当时，设，在中，， 即， 解之得 ， ； ②当时，根据等腰三角形三线合一得， ， ； ③当时，， ， 综上所述：点的坐标为或或或 变式1-3【问题背景】 抛物线的图象与x轴交于点，B，顶点为C，与y轴交于点D，与一次函数的图象交于点A，E． 【构建联系】 （1）填空：______，______，点E的坐标为______． （2）如图1，点P为x轴上方抛物线上一点，连接，，当时，求点P的坐标． 【深入探究】 （3）如图2，在（2）的条件下，将点B沿的方向平移个单位长度，得到点．若将线段沿的方向平移，得到线段，则在平移过程中，点P，M，N能否构成等腰三角形？若能，请直接写出点N的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；3； （2） （3）能，点N的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法即可求出b、c的值，联立方程组，解方程组即可求出点E的坐标； （2）过点P作轴，交于Q，设，则，，根据，得，解方程即可求解； （3）过作轴于H，过C作轴于G，证明，得出，，则，根据待定系数法求出直线解析式，则，故线段沿的方向平移就是将线段沿的方向平移，设且，则，然后分；；三种情况讨论，根据两点间距离公式构建关于x的方程求解即可． 【详解】解：（1）把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴， 联立方程组， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：，2，； （2）过点P作轴，交于Q， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， 当时，，此时点P在x轴上，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意， ∴； （3）令，解得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 过作轴于H，过C作轴于G， ∵点B沿的方向平移个单位长度，得到点， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式， 又直线解析式为， ∴， ∴线段沿的方向平移就是将线段沿的方向平移， ∵平移， ∴ 设且，则， 当时，， 解得（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴，， ∴； 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴，， ∴； 综上，N的坐标为或． 题型二、二次函数中的直角三角形存在性问题 典例2如图，已知抛物线与坐标轴交于三点，，．是轴上方抛物线上一点，连接．      (1)求抛物线的解析式； (2)当点在第一象限时，连接，的面积是6，求点的坐标； (3)是否存在点的位置，使得是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点的位置使得是直角三角形，点的坐标是或 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴于点，交于点，求出直线的解析式，设，则，，根据，进行求解即可； （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，可知：，，， 将，，代入， 得：，解得， 则抛物线解析式为； （2）解：作轴于点，交于点， 设直线的解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， ，， ， ∵，， ∴． ． 解得，（舍去）， 当时，， 点坐标为； （3）解：存在． 设，作轴于点，于点，则，， 若， ∵， ∴， ， ， ， ， 解得，（舍去）， 此时，点坐标为． 若，则，， ， ， ， ， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 由题意，， ， 解得，，， ∵ ∴不符合题意，舍去， ∴ ， 综上，存在点的位置使得是直角三角形，点的坐标是或． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与两定点构成直角三角形，求动点坐标，常分三类（每个角为直角）。 2.方法：设动点坐标，利用斜率乘积为-1或勾股定理列方程，分三种直角情况求解并检验是否在抛物线上。 变式2-1如图1，若二次函数图象与轴交于点A和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积最大值为，此时 (3)点P的坐标为，，或． 【分析】（1）代入点坐标求出参数值即可； （2）利用分割法或作差法，先求出的解析式，再设出参数，表示出对应三角形的底和高，构造的面积的函数，利用二次函数求最值的方法即可； （3）设出点P的坐标，分别用参数表示，，计算出，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入，得解得 ∴． （2）解：如图，过点P作轴，交于点Q， 设直线的解析式为， 代入点，得，解得， ∴， 设点，则点， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为， 此时， ∴． （3）解：抛物线的对称轴为直线， ∴设点， ∴， ， ， 分三种情况， 第一种，当为斜边时，， ∴， 解得， 第二种，当为斜边时，， ∴， 解得， 第三种，当为斜边时，， ∴， 解得， ∴点P的坐标为，，或． 变式2-2如图，一条抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标是，并且． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上之间的动点，过点作垂直于轴于点，交直线于点，连接、，当的面积最大时，求出点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或； 【分析】（1）先求出、两点坐标，再设交点式，将点坐标代入求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，进而得出，根据得到关于的二次函数，再配方求最值即可； （3）分两种情况讨论：①当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴于点；②当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，根据等腰直角三角形的判定和性质，找出相等线段，再设点坐标，进而得到一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：点的坐标是， ， ， ，， ，， 抛物线与轴交于、两点， 设抛物线的解析式为， 与轴交于点， ， 解得：， ， 即抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 点是抛物线上之间的动点， 设， 轴，交直线于点， ， ， ， ， 当时，有最大值为8， ， 即当的面积最大时，求出点的坐标为； （3）解：存在，理由如下： ①当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设， ，， ， ， 解得：，（舍）， 当时，， ； ②当点为直角顶点时，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， 是等腰直角三角形， ， 设， ，， ， ， 解得：，（舍）， 当时，， ， 综上可知，抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或； 变式2-3综合运用 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于点 A．C(点 A 在点 C的右侧)．与y轴交于点 B．直线经过点A，B． (1)求A，B，C 三点的坐标及直线的表达式． (2)P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴交直线于点 Q，设点 P 的横坐标为．的长为 L． ①求L与m的函数关系式，并写出m的取值范围； ②若与交于点D， 求 m的值． (3)设抛物线的顶点为M，问在y轴上是否存在一点 N，使得为直角三角形？若存在，直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①② (3)存在，或或或 【分析】（1）令，求出值，令，求出的值，进而得到的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）①求出点坐标，根据两点间的距离求出的解析式，根据点在第二象限，写出m的取值范围即可； ②证明，得到，进行求解即可； （3）分别以为直角顶点，为直角顶点和为直角顶点三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴， ∵直线经过点A，B ∴，解得：， ∴； （2）①∵点 P 的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P是第二象限内抛物线上的一个动点， ∴； ∴； ②∵轴，与交于点D， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍去）或， ∴； （3）存在，设点， ∵， ∴， ∵， ∴； ①当点为直角顶点时：，解得：， ∴； ②当点为直角顶点时，，解得：， ∴； ③当点为直角顶点时：，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 题型三、二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 典例3如图，抛物线与轴相交于点和点． (1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标； (2)在抛物线上有一点，过点作轴的垂线交轴于点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)，抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为； (2)点的坐标为或． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）利用待定系数法求出解析式，然后配成顶点式即可； （）由是等腰直角三角形，则有，设点的坐标为，则点，则，，得出，然后解方程即可． 【详解】（1）∵抛物线与轴相交于点和点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵； ∴抛物线的对称轴是直线，顶点坐标为； （2）解：如图，∵轴于点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵点在抛物线上， ∴设点的坐标为，则点， ∴，， ∴， ∴或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点的坐标为或． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与两定点构成等腰直角三角形，求动点坐标，需同时满足等腰和直角。 2.方法：设动点坐标，分两类（直角顶点为动点或定点），用距离相等和垂直条件列方程组求解并验证。 变式3-1【综合探究】 如图，抛物线 与轴交于， 两点，与轴交于点， 作直线， 其中点， 点． 若点在线段上运动（点 不与点，重合）， 过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若，求此时点的坐标； (3)是否存在点使得为等腰直角三角形？ 若存在，请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】（）把点， 点代入即可求解； （）由抛物线的解析式为，求出，再利用待定系数法求出直线解析式为，设，则，，故有，，再通过列出方程，然后解方程即可； （）分当时和当时两种情况分析即可； 本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的性质，一元二次方程，掌握这些知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴，解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：由（）得：抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 设，则，， ∴，， ∵， ∴，整理得：， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； （3）解：存在，理由： ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴； 当时，，如图， ∴，解得：，（舍去）， ∴此时； 当时，如图，作于点，则有， ∴，解得：，（舍去）， ∴此时； 综上可知：点的坐标为或． 变式3-2如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点D在抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点D在x轴上方抛物线上，的面积为3时，求点D的坐标； (3)当点D在x轴上方抛物线上时，在对称轴上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求解析式，二次函数与面积问题，二次函数与等腰三角形； （1）把，代入计算即可； （2）设根据的面积为3列方程计算即可； （3）设点P的坐标为，，由是以为斜边的等腰直角三角形可得，，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设， ∵点D在x轴上方抛物线上， ∴到x轴的距离为， ∵的面积为3， ∴，即， 整理得：， 解得：， ∴点D的坐标为或； （3）解：抛物线的对称轴为直线， 设，， ∴，，， ∵由是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， 由，可得， 整理得，， 由，可得， 把代入得， ∴， ∵点D在x轴上方抛物线上， ∴， ∴， ∴，， 把代入得时，解得， ∴， ∴点P的坐标为或． 变式3-3二次函数的图象交轴于点，点两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，当时，求的面积； (3)在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）依据二次函数经过点和两点，代入到解析式中计算即可得出结果； （2）由题意可知，面积为，分别计算出和的长度即可得出结果； （3）首先，在等腰中，利用勾股定理得到点到或点的距离，然后，运用两点距离公式建立等式，计算得到点横坐标，由于点横坐标与点横坐标相等，所以将坐标代入二次函数解析式即可得到结果． 【详解】（1）解：二次函数，过点，点， 点坐标代入解析式可得： ， 解得： ， 二次函数解析式为． （2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动， 当时，点坐标为， 将点和代入到直线中可得， ，， 直线． 直线， 令，代入直线可得， 同理，代入二次函数中得到， ，， 面积为． （3）设直线上存在一点，使得是以为直角的等腰直角三角形， 点和，由两点距离公式可知， ， 在等腰中，应用勾股定理可知， ， ， 利用两点距离坐标公式可知， ， ， 将可得， ， 将式代入式可得， ， 整理得： 解得：或． 点横坐标为或， 点与点横坐标相同， 点横坐标为或， 分别代入二次函数解析式可得， 或， 点的坐标为或． 题型四、二次函数中的相似三角形存在性问题 典例4（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴负半轴交于点C，且，抛物线的顶点为M． (1)求a、c的值； (2)证明：为直角三角形； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)证明：由（1）得， ， ∴顶点坐标为， ∵，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形； (3)存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，点坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得顶点坐标，利用勾股定理求得各边的长，证明是直角三角形即可； （3）根据，，分，，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据题意，得， 解得， 故，； （2）略 （3）解：令，则， 解得或， ∴， ∵，点，， ∴，，， ∴， 当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点F， 则， ∴， ∴． 当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点G， 则， ∴， ∴； 综上所述，存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，点坐标为或． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与已知点构成相似三角形，求动点坐标，需分类对应边。 2.方法：设动点坐标，分情况讨论对应顶点顺序，利用相似比列方程（或坐标比例），解出后验证。 变式4-1（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线经过点，． (1)求点的坐标和抛物线的解析式； (2)为轴上一个动点，过点垂直于轴的直线与直线和抛物线分别交于点、，点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）把点坐标代入直线解析式可求得，则可求得点坐标，由、的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由点坐标可表示、的坐标，从而可表示出、、的长，分和两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）解：∵与轴交于点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴； ∵抛物线经过点，， ∴，解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：由（1）可知直线解析式为， ∵为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，， ∴，， ∴，， ， ∵相似，且， ∴或， 当时，则有， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得（舍去）或， ∴； 当时，过点作轴于点， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴． 综上可知当以，，为顶点的三角形与相似时，点的坐标为或． 变式4-2（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，抛物线与轴相交于点，且经过两点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点为轴下方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点的坐标以及面积最大值； (3)抛物线顶点为，对称轴与轴的交点为，点为轴上一动点，请问是否存在点以为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时最大为： (3)或或或 【分析】（1）利用待定系数法求函数关系式即可； （2）设，找到与的函数关系式，求最值即可； （3）分情况讨论两三角形相似时的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且经过两点， ∴， 解得：， 即：； （2）解：连接， 当时，，即：， 设，且， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴， ∵ ∴开口向下， ∴当时，最大为：， 时，最大为：； （3）答：存在，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， 即：，解得：， ∴或； 当时，， 即：，解得：， ∴或 综上：或或或． 变式4-3（2026·甘肃嘉峪关·模拟预测）直线分别交x轴、y轴于A、B两点，绕点O按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过A、C、D三点． (1)写出点A、B、C、D的坐标； (2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标； (3)在直线上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)抛物线的解析式为，顶点 (3)符合要求的点的坐标分别为，，， 【分析】（1）在中，当时，，即，当时，，解得，即，由旋转的性质可得，，即可得解； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再将解析式化为顶点式即可得解； （3）过点作轴于，由勾股定理逆定理得出，从而可得，求出直线的解析式为，设点，再分两种情况：当时，；当时，，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， 由旋转的性质可得：，， ∴，； （2）解：设抛物线的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点； （3）解：如图，过点作轴于， ， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点Q在直线上， ∴设点， ∵以点A、B、Q为顶点的三角形与相似， ∴当时，， ∴， 即， 解得：， ∴，； 当时，， ∴， 即， 解得：， ∴，， 综上所述，符合要求的点的坐标分别为，，，． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、解答题 1．（2025·陕西渭南·二模）如图，抛物线（a，b为常数，）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，D为第三象限抛物线上的动点，轴，交线段于点E． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)是否存在以C，D，E为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质及相似三角形的判定与性质． （1）根据已知条件将抛物线化为交点式，再将式子展开后与抛物线表达式进行对比，得到，再将代入原式得到抛物线的表达式即可； （2）先求出相关点坐标和直线的表达式，再分情况讨论为等腰直角三角形的情况，最终得到点E的坐标． 【详解】（1）解：由题意得：，则， 则抛物线的表达式为：． （2）解：存在， 理由：由抛物线的表达式知，点，则为等腰直角三角形，直线的表达式为：， 当以C，D，E为顶点的三角形与相似时，则为等腰直角三角形， 当为直角时，则此时C、D关于抛物线的对称轴对称，则点， 当时，，即点，则，符合题意； 当为直角时，则此时点D为抛物线的顶点， 当时，，即点， 则，符合题意； 综上，点或． 2．（25-26九年级上·吉林白山·期末）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，，，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在x轴上方的抛物线上，连接，当是以为底的等腰三角形时，求点E的坐标． 【答案】(1) (2)点E的坐标为或． 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，等腰三角形的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求得点E的坐标为，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解： ∵，，是以为底的等腰三角形， ∴点E的坐标为， 当时，， 整理得， 解得， ∴点E的坐标为或． 3．（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，，， 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）用待定系数法解题即可； （2）求出抛物线的对称轴，分类讨论当时和当时，结合勾股定理和等腰三角形的性质求解． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，；时，； ∴，， ∵， 设二次函数解析式为， 代入得，， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：由（1）知，抛物线的对称轴为， ∴， ∵， ∴； ①如图1，当时，， ∴，； ②如图2，当时， 过点C作于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：存在，，，． 4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知抛物线经过、两点，D是抛物线的顶点 (1)求该抛物线的解析式及顶点坐标； (2)P为抛物线上一点，若使得，求出点的坐标； (3)E在y轴上，若为直角三角形，直接写出点E的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）将、两点代入，解得b、c即可得到解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）设点，根据三角形面积公式以及，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得到P点坐标． （3）先设，由（1）得，结合，运用两点距离公式表示出∴，，，再根据为直角三角形，进行分类讨论且进行作图，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：将、两点代入， ， 解得， 抛物线解析式为， ， 顶点坐标为； （2）解：，， ， 设点，则， ， 当时，， 解得，， 此时或； 当时，， 此时方程无解； 综上所述，P点坐标为或． （3）解：依题意，设， 由（1）得， ∵， ∴， ， ∵为直角三角形， ∴当时，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 此时； ∴当时，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 此时； ∴当时，如图所示： 则， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ 则 解得， 此时或， 综上：E的坐标为或或或． 5．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，与抛物线的对称轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)是对称轴上的一个动点，是否存在点到点的距离与到点的距离之差最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)是对称轴左侧的抛物线上的一个动点，点在射线上．是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点F的坐标为 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）连接并延长与对称轴相较于点，即此时点使得与的差最大．求出C的坐标，求出直线的解析式，再求出F坐标即可； （3）先判断是等腰直角三角形．分两种情况讨论即可：①；②； 本题考查二次函数的解析式的求解，两线段距离之差的最大值，二次函数与相似三角形，熟练掌握二次函数图象性质和三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线过点， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）存在，理由如下： 如图所示连接并延长与对称轴较于点，即此时点使得与的差最大． 对于二次函数，令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∵点在的图象上， ∴，解得， ∴直线的解析式为． ∵的对称轴为直线， ∴当时，， ∴点的坐标为； （3）存在，理由如下： 由（2），抛物线对称轴为直线：，设交x轴于N， ∴，即是等腰直角三角形， ∵轴， ∴易知也是等腰直角三角形， ∴． ①若，如图所示，过点作垂足为， 则，， 设横坐标为x，则， 则，即， ∴， ∴代入得，， 整理得，， 解得，（舍）， ∴此时点坐标为， ②若，如图所示， 设， 代入关系式得，， 整理得，， 解得，（舍）， ∴点的坐标为， 综上所述点的坐标为或． 6．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设第一象限内的点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标．（不写过程，直接写坐标） 【答案】(1) (2)存在，点P坐标为 (3)当是直角三角形时，点M的坐标为或或 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． （3）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为（不符合题意，舍去）， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或． 7．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点、的坐标； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标______． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，， (2)①的最大值为，此时；②，． 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线解析式，然后将代入，即可求得、的坐标； （2）①设点，其中，先利用待定系数法求得直线的表达式为，设，那么，然后利用二次函数的性质求解即可；②先求得其对称轴为，设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，先证明，得到，那么有，从而解得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：， 当时，，解得或， ∵抛物线与轴交于、两点， ∴，； 综上，抛物线的表达式为：，，； （2）解：设点，其中，连接，过点作轴的垂线交于点，连接，如图所示： 设直线为，代入，， ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∴，     ∵，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 当时，， ∴； ∴的最大值为，此时； ②∵抛物线的表达式为：， ∴其对称轴为， 设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，如图所示： ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，其中，在对称轴上， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∴，． 故答案为：，． 8．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图：已知抛物线与直线相交于点和点，点坐标为，点横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式和点坐标； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)求直线函数解析式； (4)若点是轴上方抛物线上的一个动点，轴交于点，若是等腰直角三角形，直接写出点坐标． 【答案】(1)抛物线的函数解析式为，点坐标为； (2)抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； (3)直线函数解析式为； (4)点坐标为或． 【分析】此题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，平面直角坐标系中两点间的距离，等腰直角三角形的性质，正确理解待定系数法和熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先把二次函数配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （）设，则，然后分为当，，当，两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴，解得：， ∴抛物线的函数解析式为， ∵点横坐标为，且在抛物线上， ∴， ∴点坐标为； （2）解：由（）得，抛物线的函数解析式为， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （3）解：由（）得点坐标为， ∵点坐标为， 设直线函数解析式为， ∴，解得：， ∴直线函数解析式为； （4）解：设，则， 如图，当，， ∴， 解得：（舍去）或， 此时点坐标为； 如图，当，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 此时点坐标为； 综上可得：点坐标为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 二次函数中的特殊三角形存在性问题的四类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中的等腰三角形存在性问题 题型二、二次函数中的直角三角形存在性问题 题型三、二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 题型四、二次函数中的相似三角形存在性问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：在抛物线上或坐标系中，探究满足等腰、直角或等腰直角三角形的动点是否存在，需分类讨论。 - 解题方法：等腰三角形用两腰相等（距离公式）列方程；直角三角形用斜率垂直（\(k_1k_2=-1\)）或勾股定理；等腰直角结合两者，注意分类不重不漏。 - 易错提醒：忽视动点与顶点重合的临界情况；分类讨论时遗漏某种腰或直角对应情形；计算中根号开方时丢负根；未检验所求点是否在抛物线或给定范围内。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、二次函数中的等腰三角形存在性问题 典例1如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)是抛物线上轴上方的一个动点，当的面积为时，求点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与两定点构成等腰三角形，求动点坐标，常分三类（三边任一等）。 2.方法：设动点坐标，利用距离公式表示三边平方，分情况列方程（如两腰相等），解方程并验证。 变式1-1如图，在平面直角坐标系中，经过点的抛物线（为常数，且）与x轴交于两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的函数表达式和点D的坐标； (2)将抛物线向左平移个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为E，连接，请问在平移过程中，是否存在m的值，使得是等腰三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 变式1-2如图，点为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、两点（点在轴上），与二次函数图象的对称轴交于点． (1)求的值及点坐标； (2)连接、，求的面积． (3)在该二次函数的对称轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1-3【问题背景】 抛物线的图象与x轴交于点，B，顶点为C，与y轴交于点D，与一次函数的图象交于点A，E． 【构建联系】 （1）填空：______，______，点E的坐标为______． （2）如图1，点P为x轴上方抛物线上一点，连接，，当时，求点P的坐标． 【深入探究】 （3）如图2，在（2）的条件下，将点B沿的方向平移个单位长度，得到点．若将线段沿的方向平移，得到线段，则在平移过程中，点P，M，N能否构成等腰三角形？若能，请直接写出点N的坐标；若不能，请说明理由． 题型二、二次函数中的直角三角形存在性问题 典例2如图，已知抛物线与坐标轴交于三点，，．是轴上方抛物线上一点，连接．      (1)求抛物线的解析式； (2)当点在第一象限时，连接，的面积是6，求点的坐标； (3)是否存在点的位置，使得是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与两定点构成直角三角形，求动点坐标，常分三类（每个角为直角）。 2.方法：设动点坐标，利用斜率乘积为-1或勾股定理列方程，分三种直角情况求解并检验是否在抛物线上。 变式2-1如图1，若二次函数图象与轴交于点A和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2-2如图，一条抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点的坐标是，并且． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上之间的动点，过点作垂直于轴于点，交直线于点，连接、，当的面积最大时，求出点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 变式2-3综合运用 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于点 A．C(点 A 在点 C的右侧)．与y轴交于点 B．直线经过点A，B． (1)求A，B，C 三点的坐标及直线的表达式． (2)P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴交直线于点 Q，设点 P 的横坐标为．的长为 L． ①求L与m的函数关系式，并写出m的取值范围； ②若与交于点D， 求 m的值． (3)设抛物线的顶点为M，问在y轴上是否存在一点 N，使得为直角三角形？若存在，直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明理由． 题型三、二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 典例3如图，抛物线与轴相交于点和点． (1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标； (2)在抛物线上有一点，过点作轴的垂线交轴于点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与两定点构成等腰直角三角形，求动点坐标，需同时满足等腰和直角。 2.方法：设动点坐标，分两类（直角顶点为动点或定点），用距离相等和垂直条件列方程组求解并验证。 变式3-1【综合探究】 如图，抛物线 与轴交于， 两点，与轴交于点， 作直线， 其中点， 点． 若点在线段上运动（点 不与点，重合）， 过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若，求此时点的坐标； (3)是否存在点使得为等腰直角三角形？ 若存在，请求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 变式3-2如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点D在抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点D在x轴上方抛物线上，的面积为3时，求点D的坐标； (3)当点D在x轴上方抛物线上时，在对称轴上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式3-3二次函数的图象交轴于点，点两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，当时，求的面积； (3)在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标． 题型四、二次函数中的相似三角形存在性问题 典例4（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴负半轴交于点C，且，抛物线的顶点为M． (1)求a、c的值； (2)证明：为直角三角形； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 题型模版 1.特征：抛物线上动点与已知点构成相似三角形，求动点坐标，需分类对应边。 2.方法：设动点坐标，分情况讨论对应顶点顺序，利用相似比列方程（或坐标比例），解出后验证。 变式4-1（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线经过点，． (1)求点的坐标和抛物线的解析式； (2)为轴上一个动点，过点垂直于轴的直线与直线和抛物线分别交于点、，点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 变式4-2（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，抛物线与轴相交于点，且经过两点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点为轴下方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点的坐标以及面积最大值； (3)抛物线顶点为，对称轴与轴的交点为，点为轴上一动点，请问是否存在点以为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 变式4-3（2026·甘肃嘉峪关·模拟预测）直线分别交x轴、y轴于A、B两点，绕点O按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过A、C、D三点． (1)写出点A、B、C、D的坐标； (2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标； (3)在直线上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、解答题 1．（2025·陕西渭南·二模）如图，抛物线（a，b为常数，）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接，D为第三象限抛物线上的动点，轴，交线段于点E． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)是否存在以C，D，E为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（25-26九年级上·吉林白山·期末）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，，，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在x轴上方的抛物线上，连接，当是以为底的等腰三角形时，求点E的坐标． 3．（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 4．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知抛物线经过、两点，D是抛物线的顶点 (1)求该抛物线的解析式及顶点坐标； (2)P为抛物线上一点，若使得，求出点的坐标； (3)E在y轴上，若为直角三角形，直接写出点E的坐标． 5．（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，与抛物线的对称轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)是对称轴上的一个动点，是否存在点到点的距离与到点的距离之差最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)是对称轴左侧的抛物线上的一个动点，点在射线上．是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设第一象限内的点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标．（不写过程，直接写坐标） 7．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点、的坐标； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标______． 8．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图：已知抛物线与直线相交于点和点，点坐标为，点横坐标为． (1)求抛物线的函数解析式和点坐标； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)求直线函数解析式； (4)若点是轴上方抛物线上的一个动点，轴交于点，若是等腰直角三角形，直接写出点坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $