20.5 测量与计算（分层作业练题型）数学新教材北京版九年级上册

分层作业 20.5测量与计算 目 录 A组 巩固过关 题型01 仰角俯角问题 题型02方位角问题 题型03 坡度坡比问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 仰角俯角问题题型01 1．如图，旗杆底部为点垂直水平地面．小明站在地面处观测旗杆顶端，测得仰角为，下列三角函数关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，飞机在空中处探测到它的正下方地平面上目标，从飞机上看地平面指挥台的俯角为，此时飞机与指挥台的距离为，则此时飞行高度为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，飞机的飞行高度为，此时从飞机上看地面控制点A的俯角为，飞机到控制点的距离为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 5．白塔是中国现存最早木塔之一．小明想测量白塔的高度，在离白塔底端正前方米的处，用高为米的测角仪测得白塔顶部处的仰角为，则白塔的高度为（   ）米． A． B． C． D． 6．如图，某小区监控摄像头安装在竖直墙面的支架上，镜头中心A到墙面底部O的竖直距离为．观测地面上点B时，镜头俯角为；观测点B右侧的点C时，镜头俯角为，则地面上的B，C两点之间的距离约为_________m．（结果精确到0.1，参考数据：） 7．（2026·湖北武汉·一模）如图，从热气球C上测得两建筑物、底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为100米，且点、、在同一直线上，则建筑物、之间的距离________米（结果精确到1米，）． 8．热气球的探测器显示，从热气球处看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，处与高楼的水平距离为，这栋高楼有多高？（结果精确到，参考数据：，，，） 9．（2026·安徽六安·二模）观众坐在春晚现场的位置观看舞台上的大屏幕．从点看屏幕顶端的仰角约为，看屏幕底端的俯角约为点距离屏幕所在墙面的水平距离约为，求舞台上的大屏幕的高度约是多少米？（精确到，参考数据：，，．） 10．（2026·陕西咸阳·一模）香积寺塔是陕西省风景名胜区的主要景点之一，在历史上曾有“古塔穿云”、“塔影团圆”等雅称．安安利用周末完成了对香积寺塔高度的测量．如图，安安在地面上的点C处测得香积寺塔顶端A的仰角的度数为；随后，安安从点C处沿方向移动18米到达点D处（即米），在点D处测得香积寺塔顶端A的仰角的度数为．已知，点B、C、D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助安安求出香积寺塔的高度．（参考数据：，，，，，） 方位角问题题型02 11．如图，在点处有一艘轮船，测得在其北偏西方向有一座灯塔，这时在处的轮船与灯塔之间的距离为千米，轮船以每小时千米的速度沿正北方向匀速行驶到处，点在灯塔的正东方向，则此轮船行驶的时间约为（     ）（参考数据：） A．2.1小时 B．1.7小时 C．1.3小时 D．1.2小时 12．如图，，两景点相距，景点位于景点A北偏东方向上，位于景点北偏西方向上，则，两景点相距（   ） A． B． C． D． 13．（25-26九年级上·山东济宁·期中）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离（   ） A． B． C． D． 14．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 15．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，一条笔直的东西公路的北边有一个建筑物，小明在公路上的点处测得建筑物在北偏东的方向上；小明向东走20米到达点处，测得建筑物在北偏东方向上．则建筑物到公路的距离为（   ） A．10米 B．米 C．15米 D．米 16．（2026·辽宁丹东·一模）如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的处，此时，处与处的距离约是________海里．（精确到海里，参考数据：，，） 17．如图，在一笔直的海岸线上有两个观测站，在的正西方向，从观测站测得船在北偏东的方向，从观测站测得船在北偏西的方向，且船离观测站的距离为，则两个观测站之间的距离为_________________．（结果用根号表示）． 18．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西的方向，从B测得小船在北偏东的方向． (1)填空：______度，______度； (2)过点作的延长线于点，求垂线段的长度； (3)小船从点P处沿射线的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西的方向．求点C与点B之间的距离．（结果保留根号） 19．一艘船以的速度向正东航行，在处测得灯塔C在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上．已知在灯塔的四周内有暗礁．（参考数据：） (1)求灯塔到航线的垂直距离的长度（结果保留一位小数）； (2)这艘船继续向东航行是否安全？请说明理由． 20．如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围300米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从向东走900米到达处，测得在点的北偏西方向上．是否穿过古建筑保护群？为什么？（参考数据：） 坡度坡比问题题型03 21．如图，已知传送带和地面所成斜坡的坡度比为，把物体从地面点处送到离地面2米高的点处，则传送带的水平距离为（     ） A．米 B．4米 C．米 D．8米 22．水坝是人类治水的重要工程，类型多样．图1为某重力坝模型，图2为其横断面示意图，已知背水坡的坡度i为，坝底的水平宽度为，则背水坡的铅直高度为（     ） A． B． C． D． 23．如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角为，两树间的坡面距离，则这两棵树的水平距离约为（     ） A． B． C． D． 24．（2026·河北沧州·三模）如图，一辆卡车沿坡角为的斜坡向上行驶，当行驶1000米时，高度上升了（  ） A．米 B．米 C．米 D．米 25．一名滑雪运动员沿倾斜角为的斜坡，从滑行至，若，则这名运动员的高度下降了（     ） A． B． C． D． 26．（23-24九年级上·四川资阳·期末）如图，某兴趣小组想测量某时刻飞机的高度，在地面点处设置了一个观察点，沿水平方向前进千米到达点处，再沿坡比的斜坡行走千米到达观察点处，某时刻空中点处有一架正在降落的飞机，在处测得飞机的仰角为，同时在处测得飞机的仰角为，求此时飞机的高度？ 27．某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是一条抛物线，经测量，P处的喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点与水平线的距离为，建立如图所示的直角坐标系，水柱距喷水头的水平距离为，水柱距水平线的高度是． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若斜坡的坡比为，斜坡OA上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从P处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶？并说明理由． 28．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图是某水库大坝的横截面，坝高米，背水坡的坡度为．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为，求背水坡新起点与原起点之间的距离．（结果保留根号） 1．如图，两建筑物间的水平距离为30m，从A点测得C点的俯角为30°，D点的俯角为45°，则建筑物CD的高为（     ） A． B．20m C． D． 2．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，高度为．某人笔直站在离摄像头水平距离的点处，他的身高为，头部高度为，若此人要能被摄像头识别，则的取值范围为（参考数据：，，）（    ） A． B． C． D． 3．如图，某地修建高速公路，要从地向地修一座隧道（，在同一水平面上），为了测量，两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从地出发，垂直上升到达处，在处观察地的俯角为，则，两地之间的距离为（     ） A． B． C． D． 4．陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座点米的点处测量，塑像底部点的仰角为，顶部点的仰角为，点在同一条直线上，则塑像的高度为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 5．如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距（     ）米． A． B． C． D． 6．如图，已知外婆家在小明家的正东方向，学校在外婆家的北偏西方向，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（     ） A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．北偏东方向 D．北偏东方向 7．如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 8．位于某海域A处的观测点获悉，在其正东方向a海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援，该观测点立即把消息告知观测点南偏西（）且与其相距b海里处的救援船，救援船立即前往B处，则该救援船需要航行的距离为（     ）（参考公式：）． A． B． C． D． 9．如图，水坝的横截面为四边形，，高，迎水坡面的坡度，则迎水坡面的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（     ） A．8米 B． C． D． 11．（2022·河北邯郸·三模）如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是（     ） A． B． C． D． 12．如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为a米，则窗角C到窗框的距离的长度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 13．为了测量被池塘隔开的，两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中，，交于，在上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①，；②，，；③，，；④，，．能根据所测数据，求出，间距离的有（      ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 14．如图，一长度不变的梯子与地面的夹角为，关于，的值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（     ） A．的值越小，梯子越陡 B．的值越小，梯子越陡 C．梯子的倾斜程度与的值无关 D．梯子的倾斜程度与的值无关 15．如图①是位于宜宾市南溪区欢乐田园的摩天轮“长江之眼”，该摩天轮有吊舱48个，一次最多可承载288人，是川南最大的摩天轮．图②是它的平面示意图，是摩天轮的直径，兰兰从C点沿着坡度的斜坡走了12米到达登舱平台上的点D，登上摩天轮吊舱后，在摩天轮顶端M测得地面上点A的俯角为，测得地面上点B的俯角为，已知A、B两点的距离为74米，，（在同一条直线上）．（参考数据：） (1)求D点到地面的距离； (2)求摩天轮的高度（结果保留整数）． 16．综合与实践活动中，某数学兴趣小组要利用测角仪测量建筑物的高度．如图，建筑物前有个斜坡，已知，，，，在同一条水平直线上．某学习小组在处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌． (1)求点到地面的距离的长； (2)求建筑物的高度（结果保留整数．（参考数据：，，，） 17．重庆涪陵美心红酒小镇景区（大家常称蔺市洋人街），属于国家级旅游景区．景区内有、、、，个景点，如图，景点位于景点的正东方向千米处，是一条横向公路，景点位于景点的正北方向，景点位于景点的北偏东方向千米处，景点又位于景点的西北方向（北偏西）．（参考数据：，，） (1)请求出之间的距离；（结果保留根号） (2)小王，小李在游景区时，小王从景点沿着正东方向匀速直线运动，小李从景点沿着某条直线匀速运动．已知小李的速度与小王的速度之比为，两人同时出发，在公路上某处会合．请问：小李和小王会合时，小王一共走路多少千米？（结果保留小数点后一位） 18．综合与实践． 如图，综合与实践小组的同学发现，某小区单元门口设有台阶，且没有无障碍通道，对日常依靠轮椅和拐杖出门的老人存在安全隐患．综合与实践小组查阅资料，整理该小区无障碍通道设计方案如下． 【信息采集】 国家《无障碍设计规范》强制要求（保障老人通行安全）：轮椅坡道起点、终点、中间休息平台的水平长度不应小于（满足轮椅转身、停留需求）；无障碍出入口的轮椅坡道净宽度不应小于． 某单元门口数据采集： 入户台阶总高度为；入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为． 计划修建的轮椅通行坡道的坡度为． 【方案设计】 方案一：单段直坡道 如图，入户台阶高度，坡道起点和终点休息平台的水平长度为，为单段直坡道． 方案二：两段式折返坡道 如图，入户台阶高度，坡道起点和中间休息平台的水平长度（终点为单元门前人行道，无需另外设计平台），和为两段式折返坡道． 【问题解决】 (1)结合国家《无障碍设计规范》强制要求，计算方案一中的长度，并判断方案一是否可行； (2)结合题意判断方案二是否可行，并说明理由． 1．【实际情境】如图，客轮在海上以的速度由向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，处在南偏东方向上，航行后到达处，在处测得在北偏东方向上，则到灯塔的距离是（     ） A． B． C． D． 2．【实际情境】电力公司在改造电网时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为的山坡的平台上（如图），测得，米，米，米，则铁塔的高度约为（     ）（参考数据：，，） A．米 B．米 C．米 D．米 3．【几何综合】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为，，无人机沿水平线方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为．无人机距地面的垂直高度用表示，点M，C，D在同一条直线上，其中米，则河流的宽度（     ） A．160米 B．米 C．米 D．米 4．【实际情境】（2026·河北邯郸·三模）某数学活动小组利用无人机测量一温室大棚的高度．如图，无人机在距离水平地面20 m的点P处，测得大棚左端底部A的俯角为，测得大棚最高点C的俯角为．已知大棚的跨度，曲线可看作一段圆弧，则大棚的最大高度（点C到地面的距离）约为（     ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 5．【几何综合】（2026·重庆武隆·二模）如图，正方形的边长为，为边上一点，，连接，过点作的垂线交于点，点在线段上，连接．若，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 6．【跨学科融合物理】物理课关于光的反射规律探究实验中，某课外兴趣小组在实验环境模拟日常室内场景，如图，一束光从天花板点P射入，经过光滑的地板反射到天花板上形成光斑，第一小组和第二小组的入射光线与地板的夹角分别为α，β已知天花板与地板是平行的，且它们的高度为，当，时，则第一小组和第二小组的光斑距离为（     ） A． B． C． D． 7．【实际情境】“锦瑟无端五十弦，一弦一柱思华年”瑟（如图）是中国古代汉族弹拨乐器，其形制优雅，弦与柱之间暗含几何之妙．如图是平放于琴台之上，图是其部分结构的抽象示意图，垂直于琴台的琴码，撑起了和两段琴弦．已知琴码高度为，． (1)若，求两段琴弦在琴台上的平行投影的长度．（结果精确到，参考数据：，，，） (2)给瑟调音时，为达到最佳音准效果，需要适当垫高并左右移动琴码．如图，将琴码调整至处，此时．已知弦和长度相等，求琴码垫高的高度． 8．【综合实践】综合与实践 【活动主题】为支持美丽乡村建设，班级同学前往村开展综合实践活动，帮助村民测算新建公路的长度． 【问题背景】如图，村到公路的乡村小路为，为进一步方便通行，现准备新建一条公路，连接村和公路（所在的直线为）． 【工具准备】皮尺、测角仪、测平仪、计算器等． 【测量过程】测得，且点在同一平面上． 【数据信息】用计算器计算得如下参考数据：． 【问题解决】请你根据以上数据信息，求新建公路的长． 9．【实际情境】如图是一款手推婴儿车，图是该款婴儿车的车架示意图，，为半径均为的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为，推手支架的支点恰好为的中点．已知．（参考数据：，，，．） (1)求主支架杆点距地面的高度；（结果精确到） (2)手推婴儿车的车把高度合适范围一般在，即握把距地面的高度范围是．若推手支架的长为，，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由． 10．【实际情境】如图①，、是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为，铁塔顶端C的仰角为，沿着向前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为．已知，点E、B、D构成的中，． (1)图②是图①中的一部分，求铁塔的高度； (2)小明说，在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔的高度，那么可以测量的角是 ，若将这个角记为α，则铁塔的高度是 ；（用含的式子表示） (3)小丽说，除了在点E处测量角的度数外，还可以在点F处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔的高度，那么可以测量的线段是 ．（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据：，，，，，，，，） 11．【代几综合】（2026·江苏南京·三模）如图，有一座抛物线形拱桥，桥的两端分别为点A、B，顶点为D，点C是的中点且，．拱桥右侧远处有一座山，山顶记为点F，山高为，已知山顶F到点A的水平距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)一个人站在拱桥上的点P处，且点P到点A的水平距离为，人的眼睛位置为点Q，点Q在点P的正上方，且． ①请判断人眼在点Q处能否直接看到山顶F，并说明理由； ②下列结论中，正确的有 ． （a）在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等； （b）在拱桥的段有一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等； （c）人从点D走到点B的过程中，当人位于点D时，眼睛Q点到山顶F的距离最近； （d）人从点D走到点B的过程中，当人位于点B时，眼睛Q点到山顶F的距离最近． 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（2025·吉林长春·中考真题）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（2023·湖北十堰·中考真题）如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 20.5测量与计算 参考答案 A组 巩固过关 题型01 仰角俯角问题 1.C 2.C3.B4.A5.A 6.2.2 7.273 8.145.7m 9.【解析】解：如图， D 在Rt△DAE中，∠DAE=45°，AE=10m, .DE=AE.tan45°=10m, 在RIACAE中，∠EAC=15°，AE=10m ∴EC=AE.tanl5°≈2.7m, .DC=DE+EC=10+2.7=12.7m 答：这个大屏幕的高度DC约是12.7m 10.【解析】解：依题意，得CD=18米，∠ACB=63.4°，∠ADB=47.8°， ,AB⊥BD, 六在RtsABD中，tan∠ACB= BC 则AB=BC×tan63.4°≈2.00BC: 1/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 六在Rts4BD中，an∠ADB= BD 则AB=BD×tan47.8°≈1.10BD. ∴.2.00BC=1.10BD, .BC=0.55BD .CD=BD-BC=BD-0.55BD=0.45BD. 即18=0.45BD BD=40米 ∴香积寺塔的高度AB≈1.10×40=44（米）. 颗型02 方位角问题 11.C12.B 13.C14.A15.B16.64.7 12.（5+) 18.【解析】(1)解：如图， M 北 北 48% F 60 B A 由题意得，∠FAC=60°，∠EBP=45°，EB⊥AB,FA⊥AB, .∠PBA=90°-45°=45°，∠PAB=90°-60°=30°： (2)解：BM⊥AP,∠PAB=30°， .BM=2MB=2×2=Ikm: (3)解：根据题意得：∠EBC=15°， .∠ABC=∠ABE+∠EBC=105 ∴在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°， 在Rt△BCM中，∠BMC=90°，∠C=45°， :BC=BM=2BM=km sinC ∴.点C与点B之间的距离大约为√2km 19.【解析】(1)解：过点C作CD1AB于点D 2/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 C 309 60° B 乃>东 由题意可知∠CBD=90°-30°=60°，∠CAB=90°-60°=30° ∠ACB=∠CBD-∠CAB=30 .∠CAB=∠ACB=30°， .BC=AB=35×2=70(km) 在RtABCD中，∠CBD=60°， :cD=BCxsin∠CBD=70x5=35N5≈60.6kml. 2 ∴.灯塔C到航线AB的垂直距离为60.6km; (2)解：安全，理由如下： .60.6>35 ∴这艘船继续向东航行安全. 20.【解析】 解：不会穿过古建筑保护群，理由如下： 如图，过C作CH⊥AB于H, C E F 459 60 D M- A H B 设CH=x, 由已知有∠EAC=45°，∠FBC=60°， 则∠CAH=45°，∠CBA=30°， 在RtAACH中，AH=CH=x, 在RtHBC中，an∠HBC=C HB HB=CHx B=an30-5 =V3x 3 AH +HB=AB, 3/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .x+V3x=900, 解得x≈329， 329>300 .MN不会穿过古建筑保护群. 颗型03 坡度坡比问题 21.B22.A 23.B24.B25.A 26.【解析】解：过点M作MN⊥AB于点N,过点C作AB延长线的垂线，垂足为点D,作CE⊥MN于 点E,设ME=h千米， :BC=2千米，i=1:V5, :CD2+N3CD=22, .CD=1千米， :.EN=1千米，BD=V3千米， 又：AB=4千米， :AD=(4+B)千米， 又，在RtAMCE中，∠MCE=30°，ME=h. .tan∠McE=ME Bc,即am∠30°=力=3 EC 3 .EC=3h=DN .AN AD-DN=4+3-3h. 又：在Rt△AMN中，∠MAN=60°， AN,即tan∠60°=1+h tan∠MAN=MN 4+√3-3h v3 解程：5 MN=5+I=3t5 2 此时飞机的病度为侵3)千米 4/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M E 301C 60° B 27.【解析】(1)解：设y与x之间的函数表达式为y=a(x-hM)+k, 由题意，得图象的顶点坐标为(4,5)， ∴.抛物线的关系式为y=a(x-4)2+5. ,抛物线y=a(x-4)2+5经过点(0,1)， .a(0-42+5=1. 1 解得a= 4 ÷抛物线的关系式为y=一4c-4+5: (2) 不能，理由如下： 如图，延长EC交x轴于点H,则CH⊥OB, 4 由题意可知点E,C,H的横坐标为5，即 ，斜坡的坡比为 O 4FBx 0H=5m 1:2.5 CH 1 …0H2.5 ∴.CH=2m .CE=2.9m. ∴.EH=CE+CH=4.9m」 当x=5时，少=6-4y+5=475. 4 .4.9>4.75 ∴，点P处喷出的水柱不能越过这棵树的树顶。 28.【解析】解：4=1：l,CD=20米， 5/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD =1,则BD=20米， :.BD 设AB=x米， CD 1 20 1 .4=D3,即20+x5, = 解得，x=20V3-20, 经检验，当x=20W3-20时，原方程有意义， .AB=20N3-20(米)， “背水坡新起点A与原起点B之间的距离为(203-20)米. B组 能力进阶 1.A2.C3.A4.C5.A 6.D7.A8.C9.A10.D11.D12.D13.C 14.B 15.【解析】(1)解：如图，过点D作DE⊥AB于点E, M D EC B A ,斜坡坡度i=1:V3, .tan∠DCE= 1V5 33, .∠DCE=30°， :在RIADCE中，CD=l2米， 0E=cD-xl2=6(米) 答：D点到地面的距离为6米。 (2)解：如图，延长MN交AB于点F,则MF⊥AB, 6/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M D EC B A 由题可得：∠A=30°，∠MBC=45°，NF=DE=6米，AB=74米， ∴.MF=BF, 设MF=BF=x米，则AF=AB+BF=(x+74)米， 在RESMFA中，tanA= AF .tan30°=x 3 x x+74,即3x+74' 解得x=37+37V3≈37+37×1.73≈101， 即MF=BF=101米， .MN=MF-NF=101-6=95(米)， 答：摩天轮的高度MN为95米， 16.【解析】(1)解：由题意得∠BHA=90°，AB=20m,∠BAH=a, .BH=AB·sina=20x0.60=12(m), 答：点B到地面的距离BH的长为12m; (2)解：过点B作BF⊥EC于点F,如图，则∠BFC=90°， 22B 45a H A 根据题意，∠EBF=22°，∠DAC=45°，DE=2m, .∠BFC=∠FCH=∠H=90°， ∴四边形CHBF是矩形， ∴.FC=BH=12m,FB=CH, .∠DAC=45°， tan∠DAC=D =1, CA .'DC=CA. 7/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠BHA=90°，AB=20m,∠BAH=, .AH=AB.cosa=20x0.80=16(m）, ..BF=CH=CA+AH=DC+16(m),EF=ED+DF=DE+(DC-FC)=DC-10(m), ,tan∠EBF= EF BE ∴.tan22°≈ DC-10 DC+16 04=DC-10 DC+16, 解得DC≈27， 答：建筑物DC的高度约为27m. 17.【解析】(1)解：过点D作DH⊥AB于H,作DN⊥BC交BC的延长线于N. D N 45o 1 人60° A H B :景点D位于景点A的北偏东30°方向，AB为正东方向， ∴.∠DAH=90°-30°=60° 在Rt△ADH中，∠AHD=90°，AD=10千米， :AH=ADos60°=10x)=5(千米)， 2 DH=AD-sh60°=10x5=55(千米). 2 DH⊥AB,DN⊥BC,BC⊥AB, ∴.∠DHB=∠HBN=∠BND=90°， ∴四边形DHBN为矩形， .DN=BH=AB-AH=12-5=7(千米)，BN=DH=5N3(千米). ,景点D位于景点C的西北方向，且射线CN指向正北， .∠DCN=45° 在RtADNC中，∠DNC=90°， 8/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CDN=90°-∠DCN=45 .CN=DN=7(千米). .BC=BW-CN=5V3-7(千米). 答：B、C之间的距离为(55-7）千米 (2)解：设两人会合于公路AB上的点P,小王一共走了x千米，则AP=x,小李走的路程为DP. D C HP B ,两人同时出发、同时会合，小李的速度与小王的速度之比为3：2， DP:AP=3:2即DP=x 2 由(1)知AH=5千米，DH=55千米，则Dm=(55=75 H、P都在线段AB上，AH=5,AP=x, HP2=(x-5}. 在Rt△DHP中，∠DHP=90°， .DP2=DH2+HP2=(x-5)2+75 ÷-6k-旷+5，即2x=-10m+10m， 整理，得x2+8x-80=0, 解得x=4V6-4,x2=-4V6-4, .x>0 :x=4v6-4=4N6-」 V6≈2.45 .x≈4×1.45=5.8，且0<5.8<12，会合点P在线段AB上，符合题意. 答：小李和小王会合时，小王一共走了约5.8千米 18.【解析】(1)解：如图，过C作CM⊥BE于点M, 9/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D M .∠CMB=∠CMD=∠A=∠B=90°， ∴四边形ABMC是矩形， .'AB=CM=0.3m,AC=BM =1.6m. 由题意可知，坡道的坡度为1：12， .CM:DM=1:12, .0.3:DM=1:12, .DM=3.6m. .AC=1.6m,DE=1.6m. .BE=BM+DM+DE=1.6+3.6+1.6=6.8(m), ,入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为6m,且6.8>6， 方案一不可行， 答：方案一中BE的长度为6.8m,方案一不可行： (2)方案二可行，理由如下： 如图，过点C作ED的垂线，交ED的延长线于点G,记ED的延长线交AB于点P, E A P B ∴.四边形APGC和EFBP是矩形， .'.GP=AC=1.6m,AP=CG,BP=EF,BF=EP, 设AP=CG=m,则BP=EF=(0.3-x)m, 坡道的坡度为：12， ∴.tan∠CDG=tan∠DBF=l 12 EP∥BF, .∠DBF=∠BDP, .∠CDG=∠BDP ∴tan∠CDG=tan∠BDP=I 12’ .'DG=- CG an∠CDG 12cG=12xm.r=mg0p=12ar=1203-9Om. DP-DG=1.6, 10/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1203-功12=16，解得2 ∴.DG=lm,DP=2.6m, BF=EP=ED+DP=1.6+2.6=4.2(m), .4.2<6. 方案二可行. C组 思维拔高 1.D2.B3.B4.A5.B 6.C 7.【解析】(1)解：由题意得AB⊥EF,AB=6Cm,所以△ABC,△ABD,△AB'D都是直角三角形. 在R1aABC中，∠ABC=90°，∠ACB=20°，AB=6Cm」 tan∠ACB= AB BC AB 6 .BC= ≈16.67cm tan20°0.36 在R△ABD中，∠ABD=90°，∠ADB=30°，AB=6cm. tan∠ADB=AB BD ..BD=- AB 6 =6V3≈6×1.73=10.38cm tan30°√5 3 CD=BC+BD≈16.67+10.38=27.05≈27cm. (2)解：在RIAABD中，∠ABD=90°，∠ADB=30°，AB=6Cm. 根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半， .AD=2AB=12cm 由题可知AD=AD=12cm, 在Rt△A'B'D中，∠AB'D=90°，∠A'DB=45°， sin∠A'DB=ArB AD' =D.sin45=12x-6cm. 2 11/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 琴码垫高的高度为A'B'-AB=(6N2-6)cm 8.【解析】 F打 100° A26 E D 解：如图，过点B作BE⊥AD于点E,过C作CF⊥BE于点F, ∠ADC=90°， ∴四边形DEFC为矩形， ∴.∠DCF=90°，DE=CF 在Rt△ABE中，AB=500m,∠BAE=26°， AE=AB×cos26≈500×0.90=450(m), 在RtaBCF中，BC=200m, ∠BCF=100°-90°=10°， CF=BC×cos10°≈200×0.98=196(m) ∴.AD=AE+DE=AE+CF=450+196=646(m) 答：新建公路AD的长约为646m. 9.【解析】(1)解：连接CM, A C D 77777777777777 .BC⊥BM,BM=BC=48cm. .∠BMC=45°，MC=VBC2+BM2=V482+482=48v2cm, 由题意得∠BMN=45°， :.∠CMN=90°，即CM⊥MN, .⊙M的半径为l0cm, ∴主支架杆C点距地面的高度为：48W2+10≈77.7cm: (2)不符合要求，理由如下： 12/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过点D作POMN交CM于点，过点A作AE⊥DP于点E, 777777777777 ∴.∠CQD=∠CMW=90° 由(1)可知，∠MCB=∠BMC=45°， .∠CD0=45° .∠PDB=∠CD0=45°， .∠ADB=80°」 .∠ADP=35° 在RADE中，：sin35°=E-4 ≈0.57， AD 65 .AE≈37.lcm, D是BC的中点， :.CD=1BC=24cm, 2 .CQ-CD-sim LCDQ-24x16.9cm, 2 ∴握把A距地面的高度为：37.1+77.7-16.9≈97.9cm, .97.9cm>95cm, 不符合要求. 10.【解析】(1)解：在Rt△ABE中，∠ABE=90°，∠E=39°， BE,即BE=AB .'.tan390= tan39°， 在RtABF中，∠ABF=90°，∠AFB=53°， tan53°= BF,即BF=AB tan530, .EF EB-FB=20. tan39°tan530=20,即44 .AB AB AB=20 AB 53 13/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=40米： (2)解：可以测量的角是∠BED, AB=40米： BE=AB 40 tan39°-4 =50 (米)， 5 在Rt△BED中，∠EBD=90°，∠BED=a, BE BE 50 .'cosa= DE,即DE= cosa cosa 在Rt△CED中，∠CDE=90°，∠CED=27°， .tan27°= CD DE' 1.5025 .CD=DE.tan27°≈ 2 cosa cosa: (3)解：在点F处再测量FD长度或F到DE的距离，通过计算也可求出铁塔CD的高度， ①测得FD=m,如图， 76 图① BF=,B。=40=30 在 中， tan53° 4 (米)， Rt△BDF ∠FBD=90° 3 ∴.利用勾股定理可得，BD=√DF2-BF2=Vm2-30=Vm2-900, 在Rt△BED中，BE=50米， ∴.利用勾股定理可得，DE=√BE2+BD2=V50+m2-900=Vm2+1600, 在R△CED中，CD=DE-an27m+160。 ②测得F到DE的距离为n,如图，过点F作FG⊥ED于点G,即FG=n, 14/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 70 G 图① ∴.∠EGF=90°=∠EBD .EG=VEF2-FG=V202-7=√400-7， .COS∠BED= EG BE EF DE V400-n 50 20 DE' .DE= 1000 V400-n2, 在R△CED中，CD=DE-tm27P≈)100 500 2√400-n2V400-n2· 11.【解析】(I)解：如图，以AB为x轴，CD为y轴，建立坐标系， y米D ..AC=CB=10m,CD=10m. .A(-10,0),B(10,0),D(0,10), 设抛物线为y=ax2+10, .100a+10=0. 1 解得：a=10, 10r+10(-10≤x≤10). 1 ∴抛物线为：y= (2)解：①人眼在点Q处能直接看到山顶F理由如下： 如图，连接F, 15/18 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 A CB E ,点P到点A的水平距离为2m, 5,-8为0 ×(-8)2+10=3.6. .P(-83.6) .P9=1.6m 0(-8,5.2, :山高为331m,山项F到点A的水平距离为364m. .CE=354, .F(354,331), 设直线OF为y=x+b 「-8k+b=5.2 [k=0.9 ·354k+b=331解得：16=12.4： ∴直线QF为y=0.9x+12.4, a9x+124-(0+0 =0.1x2+0.9x+2.4 =0.1(x2+9x)+2.4 = +0.375>0, ∴.人眼在点Q处能直接看到山顶F ②(a)如图，连接QF,过作QH⊥EF于H, A CB E 0(-8,5.2), .H(354,5.2）, 16/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EF=331,AE=364, .0H=362,FH=331-5.2=325.8, :tan∠F0H=3258=0.9, 362 如图，若存在拱桥的AD段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等，即MG, 设w(x0r+10,则G(x160+10,即G(0r+16 ∴01=34-g月=31-(0+1602+3194. tan∠FgH=tan∠FGl=l 1x2+319.4 =0.9 354-x 整理得：（x+)(x+8)=0, 解得：=-1，x2=-8(与P重合)， .(a)符合题意： (b)由(a)可得在拱桥的BD段不存在一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等； (c)(d)当MG在BD段， :Gx-10+1.6, F(354,331) GF=(-354+0r+116-31】 =(x-354+02-3194 -6x-354+62+3194） 当x=0时， GF2=3542+319.42=227332.36, 当x=5时， GF2=3492+321.92=225420.61. 当x=10时， GF2=3442+329.42=226840.36: ∴.(c)(d)都不符合题意 17/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展 链接中考 1.D2.B3.D 18/18 分层作业 20.5测量与计算 目 录 A组 巩固过关 题型01 仰角俯角问题 题型02方位角问题 题型03 坡度坡比问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 仰角俯角问题题型01 1．如图，旗杆底部为点垂直水平地面．小明站在地面处观测旗杆顶端，测得仰角为，下列三角函数关系式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义，判断解答即可． 【详解】解：根据题意，得，，． 2．如图，飞机在空中处探测到它的正下方地平面上目标，从飞机上看地平面指挥台的俯角为，此时飞机与指挥台的距离为，则此时飞行高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线性质得出，在中利用正弦函数定义建立与的关系． 【详解】解：由题意可知飞机水平视线与地面平行， ∴， 在中，，， ∵， ∴． 3．（2026·江苏镇江·中考真题）如图，飞机的飞行高度为，此时从飞机上看地面控制点A的俯角为，飞机到控制点的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质将俯角转化为直角三角形的内角，利用正弦函数的定义列式求解即可． 【详解】解：由题意可知，水平线与地面平行， 等于俯角，即， 在中，，， ， ， ． 4．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据俯角的定义及平行线的性质得出 ，在 中，利用正弦函数的定义 即可求出的长，最后代入近似值计算即可． 【详解】解：由题意可知，水平视线与地面平行， 在 中，，， ， ． 5．白塔是中国现存最早木塔之一．小明想测量白塔的高度，在离白塔底端正前方米的处，用高为米的测角仪测得白塔顶部处的仰角为，则白塔的高度为（   ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于点，根据题意得，然后证明四边形是矩形，所以米，米，在中，，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，米， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴白塔的高度为米． 6．如图，某小区监控摄像头安装在竖直墙面的支架上，镜头中心A到墙面底部O的竖直距离为．观测地面上点B时，镜头俯角为；观测点B右侧的点C时，镜头俯角为，则地面上的B，C两点之间的距离约为_________m．（结果精确到0.1，参考数据：） 【答案】2.2 【分析】过点作，由题意可得，， ，，在中，解直角三角形求出，在中，解直角三角形求出，再根据求解即可． 【详解】解：过点作 ∴，， 由题意可得，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 7．（2026·湖北武汉·一模）如图，从热气球C上测得两建筑物、底部的俯角分别为和，如果这时气球的高度为100米，且点、、在同一直线上，则建筑物、之间的距离________米（结果精确到1米，）． 【答案】273 【分析】根据特殊三角函数值进行计算与的值，即可求出建筑物A、B之间的距离． 【详解】解：由题意知， ， 在中，， 解得， 在中，， 解得， ， 8．热气球的探测器显示，从热气球处看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，处与高楼的水平距离为，这栋高楼有多高？（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】 【详解】解：由题意得，，，， ∴，， ∴这栋高楼的高为． 9．（2026·安徽六安·二模）观众坐在春晚现场的位置观看舞台上的大屏幕．从点看屏幕顶端的仰角约为，看屏幕底端的俯角约为点距离屏幕所在墙面的水平距离约为，求舞台上的大屏幕的高度约是多少米？（精确到，参考数据：，，．） 【答案】这个大屏幕的高度约是． 【分析】根据三角函数分别求出，再求出即可． 【详解】解：如图， 在中，， ， 在中， ， ． 答：这个大屏幕的高度约是． 10．（2026·陕西咸阳·一模）香积寺塔是陕西省风景名胜区的主要景点之一，在历史上曾有“古塔穿云”、“塔影团圆”等雅称．安安利用周末完成了对香积寺塔高度的测量．如图，安安在地面上的点C处测得香积寺塔顶端A的仰角的度数为；随后，安安从点C处沿方向移动18米到达点D处（即米），在点D处测得香积寺塔顶端A的仰角的度数为．已知，点B、C、D在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助安安求出香积寺塔的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】米 【分析】先理解题意，在中，把数值代入整理得，同理得，然后，最后计算，即可作答． 【详解】解：依题意，得米，，， ∵， ∴在中， 则； ∴在中， 则， ∴， ∴， ∴， 即， ∴米． ∴香积寺塔的高度（米）． 方位角问题题型02 11．如图，在点处有一艘轮船，测得在其北偏西方向有一座灯塔，这时在处的轮船与灯塔之间的距离为千米，轮船以每小时千米的速度沿正北方向匀速行驶到处，点在灯塔的正东方向，则此轮船行驶的时间约为（     ）（参考数据：） A．2.1小时 B．1.7小时 C．1.3小时 D．1.2小时 【答案】C 【分析】利用中的三角函数关系求出的长，再用路程除以速度得到轮船行驶时间． 【详解】解：由题意可得，，，千米， ∴在中，，即，解得千米， ∴行驶时间（小时）， 取，得（小时）， 故C选项符合题意． 12．如图，，两景点相距，景点位于景点A北偏东方向上，位于景点北偏西方向上，则，两景点相距（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，，根据三角形的内角和定理可得，由角所对的直角边和斜边的关系，可得，根据勾股定理即可得． 【详解】解：∵景点位于景点A北偏东方向上，位于景点北偏西方向上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，两景点相距， ∴． ∴，两景点相距． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形的内角和定理，含角的直角三角形，解直角三角形的应用． 13．（25-26九年级上·山东济宁·期中）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解直角三角形的方位角应用．过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【详解】解：过点A作，垂足为． ， ， ． ， 在中， ， ． ， 依题意， 则 在中， ， ， ． 故选：C 14．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 【答案】A 【分析】本题主要利用方向角、三角形外角性质、等角对等边的性质以及正弦函数的定义来求解，准确计算是解题的关键． 根据题意可得到，，再根据三角形外角性质得到，利用等角对等边得到，再利用正弦值求解即可． 【详解】由题意得：，，， 是的一个外角， ， ， ， 在中，（千米）． 点到直线的距离为千米． 故选：． 15．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，一条笔直的东西公路的北边有一个建筑物，小明在公路上的点处测得建筑物在北偏东的方向上；小明向东走20米到达点处，测得建筑物在北偏东方向上．则建筑物到公路的距离为（   ） A．10米 B．米 C．15米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的知识，解决此题的关键是弄清直角三角形的三边与其锐角的关系，进而列出有关的等式，解之即可． 分别在两个直角三角形中由锐角三角函数的定义用分别表示出、，利用两线段的差等于20 列出关于线段的式子，求得即可． 【详解】解：过点C作，， ∵在中，， ， ∵在 中，， ， ∵米， 米， 解得：米． 故选：B． 16．（2026·辽宁丹东·一模）如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的正东方向上的处，此时，处与处的距离约是________海里．（精确到海里，参考数据：，，） 【答案】 【详解】解：由题意可知，，，， ， 海里， 海里， 即处与处的距离约是． 17．如图，在一笔直的海岸线上有两个观测站，在的正西方向，从观测站测得船在北偏东的方向，从观测站测得船在北偏西的方向，且船离观测站的距离为，则两个观测站之间的距离为_________________．（结果用根号表示）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，解决本题的关键是掌握构建直角三角形． 如图，过点C作于点D，从而两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点D， 则，，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在一笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西的方向，从B测得小船在北偏东的方向． (1)填空：______度，______度； (2)过点作的延长线于点，求垂线段的长度； (3)小船从点P处沿射线的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西的方向．求点C与点B之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，直角三角形的性质，解题的关键是正确理解题意，构造直角三角形． （1）根据方位角的定义即可求解； （2）根据直角三角形的性质求解即可； （3）先求出，再解即可． 【详解】（1）解：如图， 由题意得，，，， ∴，； （2）解：∵，， ∴； （3）解：根据题意得：， ∴ ∴在中，． 在中，，， ， 点与点之间的距离大约为． 19．一艘船以的速度向正东航行，在处测得灯塔C在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上．已知在灯塔的四周内有暗礁．（参考数据：） (1)求灯塔到航线的垂直距离的长度（结果保留一位小数）； (2)这艘船继续向东航行是否安全？请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：安全，理由如下： ∵ ∴这艘船继续向东航行安全． 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确构造直角三角形． （1）过点C作于点D，先得到，然后解即可； （2）由求解得到的与进行比较即可． 【详解】（1）解：过点C作于点D    由题意可知， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴灯塔到航线的垂直距离为； （2）略 20．如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围300米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从向东走900米到达处，测得在点的北偏西方向上．是否穿过古建筑保护群？为什么？（参考数据：） 【答案】 解：不会穿过古建筑保护群，理由如下： 如图，过C作于H， 设， 由已知有，， 则，， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵． ∴不会穿过古建筑保护群． 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 过点C作于H．与都可以根据锐角三角函数用表示出来．根据的长，得到一个关于的方程，解出的长．从而判断出这条公路会不会穿过古建筑保护群． 【详解】略 坡度坡比问题题型03 21．如图，已知传送带和地面所成斜坡的坡度比为，把物体从地面点处送到离地面2米高的点处，则传送带的水平距离为（     ） A．米 B．4米 C．米 D．8米 【答案】B 【分析】根据坡度比等于垂直距离与水平距离的比，列出关系式即可求解． 【详解】解：∵传送带和地面所成斜坡的坡度比为， ∴， ∴（米）， 即传送带的水平距离为4米． 22．水坝是人类治水的重要工程，类型多样．图1为某重力坝模型，图2为其横断面示意图，已知背水坡的坡度i为，坝底的水平宽度为，则背水坡的铅直高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据坡度的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：，坡度i为， ， ， ． 23．如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角为，两树间的坡面距离，则这两棵树的水平距离约为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示作出辅助线，得到，再利用余弦的定义，得到，即可解答． 【详解】解：如图所示，过点作平行于水平面，过点作于点，则为所求， 由题意可知：， 则，即， ∴ 则这两棵树的水平距离约为． 24．（2026·河北沧州·三模）如图，一辆卡车沿坡角为的斜坡向上行驶，当行驶1000米时，高度上升了（  ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】在直角三角形中，利用三角函数的定义，找出竖直高度与斜坡长度、倾斜角的关系来求解． 【详解】解：令行驶1000米至点B，过点B作于O， 在中，，米，． ∴， 米， 即卡车在竖直方向上升的高度为米． 25．一名滑雪运动员沿倾斜角为的斜坡，从滑行至，若，则这名运动员的高度下降了（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦的定义，在中，求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在中，， ∴， ∴这名运动员的高度下降了． 26．（23-24九年级上·四川资阳·期末）如图，某兴趣小组想测量某时刻飞机的高度，在地面点处设置了一个观察点，沿水平方向前进千米到达点处，再沿坡比的斜坡行走千米到达观察点处，某时刻空中点处有一架正在降落的飞机，在处测得飞机的仰角为，同时在处测得飞机的仰角为，求此时飞机的高度？ 【答案】此时飞机的高度为千米． 【分析】过点作于点，过点作延长线的垂线，垂足为点，作于点，由坡比，结合勾股定理，可得，，解和可得，即可得此时飞机的高度． 【详解】解：过点作于点，过点作延长线的垂线，垂足为点，作于点，设千米， ∵千米，， ∴， ∴千米， ∴千米，千米， 又∵千米， ∴千米， 又∵在中，，， ∴，即， ∴， ∴， 又∵在中，， ，即， 解得， ∴， ∴此时飞机的高度为千米． 27．某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是一条抛物线，经测量，P处的喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点与水平线的距离为，建立如图所示的直角坐标系，水柱距喷水头的水平距离为，水柱距水平线的高度是． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若斜坡的坡比为，斜坡OA上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从P处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶？并说明理由． 【答案】(1) (2) 不能，理由如下： 如图，延长交x轴于点H，则， 由题意可知点E，C，H的横坐标为5，即，斜坡的坡比为， ∴， ∴． ∵， ∴． 当时，， ∵， ∴点P处喷出的水柱不能越过这棵树的树顶． 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数的应用，坡比， 对于（1），先设二次函数的顶点式，再将代入可得答案； 对于（2），延长交x轴于点H，则，再根据坡比求出，进而求出，然后令求出y，比较得出答案即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为， 由题意，得图象的顶点坐标为， ∴抛物线的关系式为． ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）略 28．（25-26九年级上·山东威海·期中）如图是某水库大坝的横截面，坝高米，背水坡的坡度为．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为，求背水坡新起点与原起点之间的距离．（结果保留根号） 【答案】背水坡新起点与原起点之间的距离为米 【分析】本题主要考查坡比解直角三角形，理解坡比是关键． 根据坡比得到米，设米，由坡比的计算得到，由此即可求解． 【详解】解：∵米， ∴，则米， 设米， ∴，即， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴（米）， ∴背水坡新起点与原起点之间的距离为米． 1．如图，两建筑物间的水平距离为30m，从A点测得C点的俯角为30°，D点的俯角为45°，则建筑物CD的高为（     ） A． B．20m C． D． 【答案】A 【分析】延长交过点的水平线于点，构造两个直角三角形，分别求出和的长，利用 求解． 【详解】解：延长交过点的水平线于点，如图， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ． 故答案为 A． 2．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头的仰角、俯角均为，高度为．某人笔直站在离摄像头水平距离的点处，他的身高为，头部高度为，若此人要能被摄像头识别，则的取值范围为（参考数据：，，）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，延长交于点，则四边形为矩形，从而可得，，再解直角三角形即可得解． 【详解】解：如图，过点作于，延长交于点， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴，即他的身高不能超过， ∵头部高度为， ∴他的身高不能低于， ∴h的取值范围为． 3．如图，某地修建高速公路，要从地向地修一座隧道（，在同一水平面上），为了测量，两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从地出发，垂直上升到达处，在处观察地的俯角为，则，两地之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题可知，， ． 4．陈垣是中国杰出的历史学家、教育家，陈垣故居位于广东省江门市，故居的前面矗立着陈垣先生的半身塑像，如图，从塑像正前方距离底座点米的点处测量，塑像底部点的仰角为，顶部点的仰角为，点在同一条直线上，则塑像的高度为（   ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】在中，，在中，，即可求出答案． 【详解】解：由题意得，在中， ， 在中，， ∴米． 5．如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则、两点相距（     ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作的垂线交于，是直角三角形和直角三角形的公共直角边，先求出，再求、，进而得出的长． 【详解】解：过点作的垂线交于， 点在点的正东方向， ，， 在中，米， （米），（米）， 在中，， 米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中是解题的关键． 6．如图，已知外婆家在小明家的正东方向，学校在外婆家的北偏西方向，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（     ） A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．北偏东方向 D．北偏东方向 【答案】D 【分析】由题意可知：学校、小明家和外婆家构成了一个等腰三角形，其中小明家到学校与外婆家到学校的距离相等，再根据地图上的方向辨别方法，即“上北下南，左西右东”即可得出学校在小明家的东偏北（或者北偏东），据此解答即可． 【详解】解：据分析可知：因为学校、小明家和外婆家构成了一个等腰三角形，所以学校在小明家的北偏东． 7．如图所示，在距离铁轨的处，观察由南京开往上海的“和谐号”动车，当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上，则这列动车的平均车速是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，利用垂直的定义可证得，利用已知条件可知，，可得到，的长，然后根据，代入计算求出的长，即可求出这列动车的平均车速． 【详解】解：过点作于点， ∴， 当动车车头在处时，恰好位于处的北偏东方向上，后，动车车头到达处，恰好位于处的西北方向上， ，， ，， ， 这列动车的平均车速为． 8．位于某海域A处的观测点获悉，在其正东方向a海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援，该观测点立即把消息告知观测点南偏西（）且与其相距b海里处的救援船，救援船立即前往B处，则该救援船需要航行的距离为（     ）（参考公式：）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设救援船位置为点，过点作直线，垂足为，根据条件求出，进一步根据锐角三角函数求出，，即可得，根据勾股定理求出，再结合即可得答案． 【详解】解：设救援船位置为点，过点作直线，垂足为． ∵ 点在点的南偏西方向， ∴与正南方向夹角为，且， 又∵ ，为正东方向， ∴ 为南北方向，点在的延长线上，， 在中，，， ∵ ， ∴ .， 在中，由勾股定理得 ：， ∵ ， ∴ ． 9．如图，水坝的横截面为四边形，，高，迎水坡面的坡度，则迎水坡面的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点A作，先用三角函数求出的长，再用勾股定理求出的长． 【详解】解：过点A作，垂足为F，如下图所示， 由题意可知， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 迎水坡面的坡度， ， 即， ， 在中，，，，由勾股定理得： ． 10．如图，大坝的横截面是梯形，斜坡的坡比，背水坡的坡比，若的长度为米，则斜坡的长度为（     ） A．8米 B． C． D． 【答案】D 【分析】分别过B、C作于点E，于点F，证明四边形为矩形，则，设，则，在中，根据勾股定理求得，再利用坡比概念求得，进而利用正弦定义求解即可． 【详解】解：分别过B、C作于点E，于点F， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ． ∴四边形为矩形，则， ∵斜坡的坡比， ∴设，则， 在中，根据勾股定理，得， ，解得或（不合题意，舍去）， 则， 又∵背水坡的坡比， ， ，则． 11．（2022·河北邯郸·三模）如图，小明在处测得处的俯角为，处的俯角为，，，若斜面坡度为，则斜坡的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平行于水平线，，，可得，根据坡度的定义得出，根据正切函数的定义及特殊角的三角函数值得出，根据俯角的定义得出，，根据角的和差关系得出，，即可得出，，可得是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】解：如图，设平行于水平线，，， ∴， ∵斜面坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵在处测得处的俯角为，处的俯角为， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴． 12．如图①，天窗打开后，天窗边缘与窗框夹角为，它的示意图如图②所示．若长为a米，则窗角C到窗框的距离的长度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】解：在中，， ∴米． 13．为了测量被池塘隔开的，两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中，，交于，在上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①，；②，，；③，，；④，，．能根据所测数据，求出，间距离的有（      ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】根据解直角三角形和相似三角形的判定和性质，逐项判断即可． 【详解】解：①已知和，则在中，，即，故①可以； ②在中，，即， 在中，，即， ， ，可求出，故②可以； ③，， ， ， ， ， ，故③可以； ④已知，，，则，只知道和，求不出，故④不可以； 综上所述，求出，间距离的有3组． 14．如图，一长度不变的梯子与地面的夹角为，关于，的值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（     ） A．的值越小，梯子越陡 B．的值越小，梯子越陡 C．梯子的倾斜程度与的值无关 D．梯子的倾斜程度与的值无关 【答案】B 【分析】根据正弦和余弦的定义逐一判断即可． 【详解】解：如图所示， 根据题意可得，长度不变， ∴， ∴的值越小，则的值越小，此时梯子越平缓，故A、C错误； 的值越小，则的值越小，此时梯子越陡，故B说法正确，D说法错误． 15．如图①是位于宜宾市南溪区欢乐田园的摩天轮“长江之眼”，该摩天轮有吊舱48个，一次最多可承载288人，是川南最大的摩天轮．图②是它的平面示意图，是摩天轮的直径，兰兰从C点沿着坡度的斜坡走了12米到达登舱平台上的点D，登上摩天轮吊舱后，在摩天轮顶端M测得地面上点A的俯角为，测得地面上点B的俯角为，已知A、B两点的距离为74米，，（在同一条直线上）．（参考数据：） (1)求D点到地面的距离； (2)求摩天轮的高度（结果保留整数）． 【答案】(1)D点到地面的距离为6米 (2)摩天轮的高度为95米 【分析】（1）过点D作于点E，根据坡度的定义可求得，即可根据直角三角形中30度所对直角边等于斜边的一半求解； （2）延长 交于点F，则，根据俯角的定义和平行线的性质可知，，可设米，则米，然后根据，即可求解出x的值，从而求得． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点E， ∵斜坡坡度， ∴， ∴， ∵在中，米， ∴（米） 答：D点到地面的距离为6米． （2）解：如图，延长 交于点F，则， 由题可得：，，米，米， ∴， 设米，则米， 在中，， ∴，即， 解得， 即米， ∴（米）， 答： 摩天轮的高度为95米． 16．综合与实践活动中，某数学兴趣小组要利用测角仪测量建筑物的高度．如图，建筑物前有个斜坡，已知，，，，在同一条水平直线上．某学习小组在处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌． (1)求点到地面的距离的长； (2)求建筑物的高度（结果保留整数．（参考数据：，，，） 【答案】(1)点到地面的距离的长为； (2)建筑物的高度约为． 【分析】利用中的正弦求解即可； 过点作于点，先判断四边形是矩形，求出，证明，得到，，最后在中，利用求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， 答：点到地面的距离的长为； （2）解：过点作于点，如图，则， 根据题意，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， 答：建筑物的高度约为． 17．重庆涪陵美心红酒小镇景区（大家常称蔺市洋人街），属于国家级旅游景区．景区内有、、、，个景点，如图，景点位于景点的正东方向千米处，是一条横向公路，景点位于景点的正北方向，景点位于景点的北偏东方向千米处，景点又位于景点的西北方向（北偏西）．（参考数据：，，） (1)请求出之间的距离；（结果保留根号） (2)小王，小李在游景区时，小王从景点沿着正东方向匀速直线运动，小李从景点沿着某条直线匀速运动．已知小李的速度与小王的速度之比为，两人同时出发，在公路上某处会合．请问：小李和小王会合时，小王一共走路多少千米？（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)千米． (2)会合时小王一共走了千米． 【分析】（1）作于，由方向角得，在Rt中利用特殊角三角函数值求出、；作交的延长线于，由得为等腰直角三角形，，由求出的长； （2）设两人会合于公路上的点、，由两人同时出发、同时会合，把速度比转化为路程比；在Rt中用勾股定理建立关于的一元二次方程，解方程并根据实际意义检验根． 【详解】（1）解：过点作于，作交的延长线于． ∵景点位于景点的北偏东方向，为正东方向， ∴． 在Rt中，，千米， ∴（千米）， （千米）． ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴（千米），（千米）． ∵景点位于景点的西北方向，且射线指向正北， ∴． 在Rt中，， ∴， ∴（千米）． ∴（千米）． 答：、之间的距离为千米． （2）解：设两人会合于公路上的点，小王一共走了千米，则，小李走的路程为． ∵两人同时出发、同时会合，小李的速度与小王的速度之比为， ∴，即． 由（1）知千米，千米，则． ∵、都在线段上，，， ∴． 在Rt中，， ∴． ∴，即， 整理，得， 解得，． ∵， ∴． ∵， ∴，且，会合点在线段上，符合题意． 答：小李和小王会合时，小王一共走了约千米． 【点睛】本题考查方向角、解直角三角形、矩形的判定与性质、等腰直角三角形、勾股定理以及一元二次方程的应用；解题关键：一是抓住方向角与正东、正北方向互相垂直，把北偏东、北偏西转化为与，通过作垂线构造Rt、Rt与矩形，利用特殊角三角函数值和等腰直角三角形完成线段长度的转化；二是第（2）问抓住“两人同时出发、同时会合”，把速度比转化为路程比，设后在Rt中用勾股定理建立一元二次方程，解出后须检验根的实际意义，取． 18．综合与实践． 如图，综合与实践小组的同学发现，某小区单元门口设有台阶，且没有无障碍通道，对日常依靠轮椅和拐杖出门的老人存在安全隐患．综合与实践小组查阅资料，整理该小区无障碍通道设计方案如下． 【信息采集】 国家《无障碍设计规范》强制要求（保障老人通行安全）：轮椅坡道起点、终点、中间休息平台的水平长度不应小于（满足轮椅转身、停留需求）；无障碍出入口的轮椅坡道净宽度不应小于． 某单元门口数据采集： 入户台阶总高度为；入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为． 计划修建的轮椅通行坡道的坡度为． 【方案设计】 方案一：单段直坡道 如图，入户台阶高度，坡道起点和终点休息平台的水平长度为，为单段直坡道． 方案二：两段式折返坡道 如图，入户台阶高度，坡道起点和中间休息平台的水平长度（终点为单元门前人行道，无需另外设计平台），和为两段式折返坡道． 【问题解决】 (1)结合国家《无障碍设计规范》强制要求，计算方案一中的长度，并判断方案一是否可行； (2)结合题意判断方案二是否可行，并说明理由． 【答案】(1)方案一中的长度为，方案一不可行； (2)方案二可行，理由如下： 如图，过点作的垂线，交的延长线于点，记的延长线交于点， ∴四边形和是矩形， ∴，，，， 设，则， ∵坡道的坡度为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴，， ∴， ∵， ∴方案二可行． 【分析】过作于点，可得四边形是矩形，则，，由题意可知，坡道的坡度为，所以，解得，然后通过，然后与比较即可； 过点作的垂线，交的延长线于点，记的延长线交于点，则有四边形和是矩形，所以，，，，设，则，根据题意得，然后证明，根据，即，解得，所以，，则，然后与比较即可． 【详解】（1）解：如图，过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意可知，坡道的坡度为， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为，且， ∴方案一不可行， 答：方案一中的长度为，方案一不可行； （2）略． 1．【实际情境】如图，客轮在海上以的速度由向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，处在南偏东方向上，航行后到达处，在处测得在北偏东方向上，则到灯塔的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，．过点作，垂足为点，利用三角函数分别求出和的值，进而可得． 【详解】解：∵客轮在海上以的速度由向航行，航行后到达处， ∴， ∵在处测得灯塔在北偏东方向上，处在南偏东方向上，正北与正南方向成一条直线， ∴， ∵处在南偏东方向上，， ∴在的北偏西方向， ∴， ∴， 过点作，垂足为点，即，如图： ∴， ∴， ∴． 2．【实际情境】电力公司在改造电网时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为的山坡的平台上（如图），测得，米，米，米，则铁塔的高度约为（     ）（参考数据：，，） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】如图：延长交于G，过C作于F，得到，设，，再解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图：延长交于G，过C作于F， ∴（米）， ∵山坡的坡度为， ∴， 设，， ∴由勾股定理得：（米），即（米）， ∴米，米， ∴米， ∵， ∴米， ∴米． 3．【几何综合】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为，，无人机沿水平线方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为．无人机距地面的垂直高度用表示，点M，C，D在同一条直线上，其中米，则河流的宽度（     ） A．160米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】过B作于点N，因为，均垂直，所以四边形是矩形，可得．在中，因为已知，结合米，利用勾股定理求出的长度．在中，因为仰角为，，利用角的正切值求出的长度．因为，代入对应长度即可得到的表达式． 【详解】 解：∵， ∴A处俯角等于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 过作于， 则四边形是矩形， ∴，． 在中，，， ∴． ∴． ∴米． 4．【实际情境】（2026·河北邯郸·三模）某数学活动小组利用无人机测量一温室大棚的高度．如图，无人机在距离水平地面20 m的点P处，测得大棚左端底部A的俯角为，测得大棚最高点C的俯角为．已知大棚的跨度，曲线可看作一段圆弧，则大棚的最大高度（点C到地面的距离）约为（     ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构造直角三角形，利用给定的三角函数值先后求出与后即可求解． 【详解】解：如图，分别过点A与点C作地面的垂线，分别交过P点的水平线于点E与点D，其中交于点O， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵C点是圆弧的最高点，大棚的跨度， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 5．【几何综合】（2026·重庆武隆·二模）如图，正方形的边长为，为边上一点，，连接，过点作的垂线交于点，点在线段上，连接．若，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，可证，根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，根据等角对等边可知，根据可得，根据，可证，根据相似三角形的对应边比例可以求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为， 四边形为正方形， ，， ， ，， ， 在和中，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 6．【跨学科融合物理】物理课关于光的反射规律探究实验中，某课外兴趣小组在实验环境模拟日常室内场景，如图，一束光从天花板点P射入，经过光滑的地板反射到天花板上形成光斑，第一小组和第二小组的入射光线与地板的夹角分别为α，β已知天花板与地板是平行的，且它们的高度为，当，时，则第一小组和第二小组的光斑距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别过点P，A，B作的垂线，利用入射角等于反射角和平行线间的距离相等，证明全等三角形，借助特殊角的锐角三角函数值求出和，再作差即可． 【详解】解：如图，设第一小组和第二小组的入射光线与地板的交点分别为C，D，作，，，则， 又， ∴，四边形和四边形都为矩形， 在中，； 在中，， ∵，，， ∴， ∴， 同理，， ∴，， ∴． 7．【实际情境】“锦瑟无端五十弦，一弦一柱思华年”瑟（如图）是中国古代汉族弹拨乐器，其形制优雅，弦与柱之间暗含几何之妙．如图是平放于琴台之上，图是其部分结构的抽象示意图，垂直于琴台的琴码，撑起了和两段琴弦．已知琴码高度为，． (1)若，求两段琴弦在琴台上的平行投影的长度．（结果精确到，参考数据：，，，） (2)给瑟调音时，为达到最佳音准效果，需要适当垫高并左右移动琴码．如图，将琴码调整至处，此时．已知弦和长度相等，求琴码垫高的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在直角三角形中，已知，，利用正切求出约等于，在直角三角形中，已知，，利用正切求出约等于，加得到的长度约为． （2）在直角三角形中，已知，，利用含 30 度角的直角三角形性质求出，则，在直角三角形中，，利用正弦求出，用减去得到琴码垫高的高度为． 【详解】（1）解：由题意得，，所以，，都是直角三角形． 在中，，，． ， ． 在中，，，． ， ． ． （2）解：在中，，，． 根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半， ． 由题可知． 在中，，， ， ． 琴码垫高的高度为． 8．【综合实践】综合与实践 【活动主题】为支持美丽乡村建设，班级同学前往村开展综合实践活动，帮助村民测算新建公路的长度． 【问题背景】如图，村到公路的乡村小路为，为进一步方便通行，现准备新建一条公路，连接村和公路（所在的直线为）． 【工具准备】皮尺、测角仪、测平仪、计算器等． 【测量过程】测得，且点在同一平面上． 【数据信息】用计算器计算得如下参考数据：． 【问题解决】请你根据以上数据信息，求新建公路的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用锐角三角函数找边和角的关系．过点作于点，过作于点则构造了、和矩形，进而利用三角函数计算线段的长即可求得答案． 【详解】 解：如图，过点作于点，过作于点 四边形为矩形， ， 在中，， ， 答：新建公路的长约为． 9．【实际情境】如图是一款手推婴儿车，图是该款婴儿车的车架示意图，，为半径均为的圆形轮胎的圆心，后轮支架杆与地面所成的角为，主支架杆与所成的角度为，推手支架的支点恰好为的中点．已知．（参考数据：，，，．） (1)求主支架杆点距地面的高度；（结果精确到） (2)手推婴儿车的车把高度合适范围一般在，即握把距地面的高度范围是．若推手支架的长为，，则此手推婴儿车的车把是否符合要求，请说明理由． 【答案】(1) (2)不符合要求，理由如下： 过点作交于点，过点作于点， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴． 在中，∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴握把距地面的高度为：， ∵， ∴不符合要求． 【分析】（1）连接， 利用勾股定理求得的长，再推出，即可求解； （2）过点作交于点，过点作于点，求得，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴，， 由题意得， ∴， 即， ∵的半径为， ∴主支架杆点距地面的高度为：； （2）略 10．【实际情境】如图①，、是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为，铁塔顶端C的仰角为，沿着向前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为．已知，点E、B、D构成的中，． (1)图②是图①中的一部分，求铁塔的高度； (2)小明说，在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔的高度，那么可以测量的角是 ，若将这个角记为α，则铁塔的高度是 ；（用含的式子表示） (3)小丽说，除了在点E处测量角的度数外，还可以在点F处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔的高度，那么可以测量的线段是 ．（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据：，，，，，，，，） 【答案】(1)米 (2)， (3)或点F到的距离 【分析】（1）解直角三角形表示出，，然后根据求解即可； （2）可以测量的角是，求出，然后解直角三角形表示出，最后在中，由正切可求； （3）测得长度或点F到的距离，利用解直角三角形和勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴，即， 在中，，， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴米； （2）解：可以测量的角是， ∵米； ∴（米）， 在中，，， ∴，即， 在中，，， ∴， ∴； （3）解：在点F处再测量长度或F到的距离，通过计算也可求出铁塔的高度， ①测得，如图， 在中，，（米）， ∴利用勾股定理可得，， 在中，米， ∴利用勾股定理可得，， ∴在中，； ②测得F到的距离为n，如图，过点F作于点G，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 11．【代几综合】（2026·江苏南京·三模）如图，有一座抛物线形拱桥，桥的两端分别为点A、B，顶点为D，点C是的中点且，．拱桥右侧远处有一座山，山顶记为点F，山高为，已知山顶F到点A的水平距离为． (1)请建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)一个人站在拱桥上的点P处，且点P到点A的水平距离为，人的眼睛位置为点Q，点Q在点P的正上方，且． ①请判断人眼在点Q处能否直接看到山顶F，并说明理由； ②下列结论中，正确的有 ． （a）在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等； （b）在拱桥的段有一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等； （c）人从点D走到点B的过程中，当人位于点D时，眼睛Q点到山顶F的距离最近； （d）人从点D走到点B的过程中，当人位于点B时，眼睛Q点到山顶F的距离最近． 【答案】(1) (2)解：①人眼在点Q处能直接看到山顶F.理由如下： 如图，连接， ∵点P到点A的水平距离为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵山高为，山顶F到点A的水平距离为． ∴， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， ∴ ， ∴人眼在点Q处能直接看到山顶F. ②（a） 【分析】（1）如图，以为轴，为轴，建立坐标系，设抛物线为，再利用待定系数法求解即可； （2）①连接，求解，，，求解直线为，计算，进一步结合配方法可得答案； ②（a）如图，连接，过作于，求解，如图，若存在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等，即，设，则，可得，可得（a）符合题意；（b）不符合题意；当在段，可得，计算，，时的值，可得（c）（d）都不符合题意. 【详解】（1）解：如图，以为轴，为轴，建立坐标系， ∵，， ∴，，， 设抛物线为， ∴， 解得：， ∴抛物线为：. （2）解：①略 ②（a）如图，连接，过作于， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 如图，若存在拱桥的段有一个与P不重合的M点与人在P点处看山顶F的仰角相等，即， 设，则，即， ∴，， ∴， 整理得：， 解得：，（与重合）， ∴（a）符合题意； （b）由（a）可得在拱桥的段不存在一点M与人在P点处看山顶F的仰角相等； （c）（d）当在段， ∵，， ∴ 当时， ， 当时， ， 当时， ； ∴（c）（d）都不符合题意. 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 2．（2025·吉林长春·中考真题）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的定义是解题的关键． 由题意得四边形是矩形，则，那么，再解即可． 【详解】解：由题意得，四边形是矩形， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2023·湖北十堰·中考真题）如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】在中，求得米，在中，求得米，即可得到的长度． 【详解】解：在中，，， ∴米， 在中，，， ∴， ∴（米）， ∴（米） 故选：D． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $