23.2 解直角三角形及其应用（第3课时方向角问题）（教学课件）数学新教材沪科版九年级上册

【新教材】沪科版·九年级上册 第23章 解直角三角形 23.2解直角三角形及其应用 第3课时 方向角问题 学 习 目 标 1 2 3 结合测量、航行等实际问题，理解仰角、俯角、方向角的概念，能在图形中准确标出并运用这些角。 经历“画图—建模—求解—检验”的完整过程，会把实际问题抽象为解直角三角形的数学模型。 体会数形结合与方程思想，感受三角函数在测量、航海等领域的实际价值，发展应用意识。 情景导入 如图，一艘船以 20 n mile/h 的速度向正东方向航行。在 A 处测得灯塔 C 在北偏东 60° 的方向上，继续航行 1 h 到达 B 处，再测得灯塔 C 在北偏东 30° 的方向上。已知灯塔 C 周围 10 n mile 内有暗礁，这艘船继续向正东方向航行是否安全？ C 方位角的定义：以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫作方位角. 如图所示： O 东 西 北 南 45° 45° 西南 东北 西北 东南 南偏西 北偏西 南偏东 OA的方向是 ； OB的方向是 ； OC的方向是 ； 知识回顾 仰角和俯角 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 知识回顾 新知探究 如图，某校九年级学生要测量当地电视塔的高度 AB，因为不能直接到达塔底 B 处，他们在与电视塔底 B 成一直线的 C、D 两处地面上，用测角器测得电视塔顶端 A 的仰角分别为 45° 和 30°。同时量得 CD 为 100 m。已知测角器高 DB 为 1 m，求电视塔的高度约为多少米（精确到 1 m）？ 新知探究 解：设A 在Rt△A中,由∠A . 在Rt△A=30°，得 tan∠A= = , 即 解方程，得 x=50（1 检验： x=50（1）是原方程得根. ∴AB=+B =50（1）+1. ≈138（m） 答：电视塔的高度约为138m. 方法归纳 ① 画图建模：把实际问题抽象成数学问题，并画出几何图形； ② 设未知数：通常设公共边（如塔高、距离）为 x； ③ 列方程：在两个直角三角形中分别表示相关线段，找等量关系； ④ 解方程并检验：注意单位、精确度与实际意义。 口诀：“一设二造三列解”——设出公共边，在两个直角三角形中各用一次锐角三角函数，线段的和与差就是已知距离。 新知探究 如图，一艘船以 20 n mile/h 的速度向正东方向航行。在 A 处测得灯塔 C 在北偏东 60° 的方向上，继续航行 1 h 到达 B 处，再测得灯塔 C 在北偏东 30° 的方向上。已知灯塔 C 周围 10 n mile 内有暗礁，这艘船继续向正东方向航行是否安全？ C 新知探究 解：过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x nmile. 在Rt△ACD中，AD= = = （nmile） 在Rt△BCD中，BD= = （nmile） 由AB=AD-BD,得 - 即 = ==20 解方程，得 x=10 答:这艘船继续向正东方向航行是安全的. 1.画图分析：根据方位角描述绘制示意图，标注已知角度和边长，利用平行线性质建立角度关系。 2.构造直角三角形：通过方位角确定直角三角形的边角关系， (1)若已知某点的方位角和距离，可利用锐角三角函数计算垂直高度或水平距离。 (2)若涉及两次观测，需通过公共边建立方程。 方法归纳 1.如图,建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC相距40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为50°,观察旗杆底部B的仰角为45°,求旗杆的高度(结果保留小数点后一位). 新知巩固 解:在 Rt△ADC 中, 新知巩固 在Rt△BCD中，∠BDC=45°，∠BCD=90°，则∠DBC=45°， 所以BC=CD=40m 2.如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，这时，海轮所在的处距离灯塔有多远（结果取整数）？ 65° 34° P B C A 解：如图 ，在中， ≈. 在中，， ∴ ∴当海轮到达位于灯塔P的南偏东方向时，它距离灯塔大约e． 新知巩固 如图，在某海域一艘巡逻舰由东向西匀速航行，速度为，该巡逻舰上午在A处发现北偏西方向的C处船甲正在由南向北匀速航行，后，巡逻舰航行到B处，发现船甲在其北偏西方向且距其的D处．请你根据相关数据，求船甲的速度．（结果精确到．参考数据： ， ， ） 解：如图，延长、相交于点E，则， 在中，， ， ∴（）， ∵， ∴（）， ∴（）， 巩固提升 在中，， ∴（）， ∴（）， ∴甲船的速度为()， 答：船甲的速度为． 巩固提升 （2026•内江）某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲）．某数学实践小组开展实地测量活动，探测这座孔子雕像的高度．如图乙，测量人员在雕像前的C处，测得雕像顶端A的仰角为45°，沿水平方向向雕像行走12米到达观测点D处，测得雕像顶端A的仰角为60°．雕像底端B与观测点D、C在同一条水平直线上，且AB⊥BC．求孔子雕像的高度AB．（结果保留根号）   真题感知 解：设BD＝xm， ∵CD＝12m， ∴BC＝BD+CD＝（x+12）m， 在Rt△ABD中，∠ADB＝60°， ∴AB＝BD•tan60°=x（m）， 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°， ∴AB＝BC•tan45°＝（x+12）m， ∴x＝x+12， 解得：x＝6+6， ∴AB=x＝（18+）m， ∴孔子雕像的高度AB为（18+）m． 真题感知 解：设BD＝xm， ∵CD＝12m， ∴BC＝BD+CD＝（x+12）m， 在Rt△ABD中，∠ADB＝60°， ∴AB＝BD•tan60°=x（m）， 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°， ∴AB＝BC•tan45°＝（x+12）m， ∴x＝x+12， 解得：x＝6+6， ∴AB=x＝（18+）m， ∴孔子雕像的高度AB为（18+）m． 真题感知 真题感知 （2026•安徽）湖中有两个小岛，分别用点A，B表示，B在A的北偏东37°方向上．为了测量A，B间的距离，综合实践小组在观测点C处测得A在C的正北方向，沿着北偏东56°方向行走至另一观测点D，测得A在D的正西方向，B在D的北偏西53°方向上，平面示意图如图所示．已知C，D间的距离为660m，求A，B间的距离（精确到0.1m）． 参考数据：sin56°≈0.83，cos56°≈0.56，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80．   解：由题意可得∠CAD＝90°，∠BAD＝90°﹣37°＝53°，∠BDA＝90°﹣53°＝37°，CD＝660m， ∴∠ABD＝180°﹣37°﹣53°＝90°， 在Rt△CAD中，∠ACD＝56°，sin56°≈0.83， ∴AD≈0.83×660＝547.8（m）， 在Rt△ABD 中，∠BDA＝37°，sin37°≈0.60， ∴AB≈0.60×AD＝0.60×547.8＝328.68（m）≈328.7（m）， ∴A，B间的距离约为328.7m． 真题感知 课后小结 1.本节课你有哪些收获？ 2.利用解直角三角形的知识解决有关方位角问题的一般步骤是什么？ 3.你认为运用解直角三角形知识还可以解决哪些实际问题？ 1.如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为_____ 2.如图所示的是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线与地面的夹角分别为和．该大灯照亮地面的宽度为2.1 m，则该大灯距地面的高度约为________(参考数据：，，，) 3千米 课后练习 课后作业 1.基础性作业：课本146页练第1题和第2题. 3.拓展性作业：设计一个测量旗杆高度的方案：需要哪些数据？画出示意图并写出计算过程. 2.发展性作业：如图，甲、乙两艘货船分别从港口A和港口B同时出发向港口C直线航行运送货物．已知港口A位于港口B北偏西18.4°的方向上，港口C位于港口A北偏东53°的方向上，AB＝100海里，AC＝500海里，甲船航行速度为10海里/时，乙船的航行速度大约是多少海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C（结果保留根号）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin18.4°≈，cos18.4°≈，tan18.4°≈） 感谢聆听! $