第23章 解直角三角形【章末复习】（课件）--2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件系统梳理了解直角三角形的核心知识，涵盖锐角三角函数定义、特殊角值、互余关系、解直角三角形依据及四大实际应用模型，通过知识点内在逻辑构建从概念到应用的完整知识网络。 其亮点在于采用分层练习设计，基础题巩固概念，能力题提升运算推理，综合题强化实际建模，结合高频易错汇总培养学生数学思维与应用意识，助力教师精准复习，学生高效巩固知识。

沪科版数学九年级上册第23章 解直角三角形 章末复习专项练习题 ### 一、章末核心知识点梳理 本章围绕锐角三角函数与解直角三角形实际应用两大模块展开，是初中几何计算的核心内容，所有题型均依托直角三角形模型求解，核心知识点汇总如下： 1. 三大锐角三角函数定义（Rt△ABC，∠C=90°）：正切tanA=对边/邻边，正弦sinA=对边/斜边，余弦cosA=邻边/斜边，三角函数值仅与锐角大小有关，与边长缩放无关。 2. 特殊角三角函数值：30°、45°、60°的sin、cos、tan固定数值，是快速计算的基础；核心规律：锐角越大，sin、tan值越大，cos值越小。 3. 互余两角三角函数关系：若∠A+∠B=90°，则sinA=cosB、cosA=sinB、tanA·tanB=1，常用于角度转化与化简求值。 4. 解直角三角形依据：勾股定理、两锐角互余、三角函数边角关系，已知两个独立元素（至少一条边），可求出所有未知元素。 5. 四大实际应用模型：仰角俯角、方向角、坡度坡比、一次函数k的几何意义，核心思想为将实际场景转化为直角三角形求解。 ### 二、基础巩固题（选择、填空） 1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，三边扩大为原来的5倍，则sinA的值（） A. 扩大5倍 B. 缩小1/5 C. 不变 D. 无法确定 2. 已知α为锐角，且sinα=√3/2，则α的度数为（） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 3. 若∠A+∠B=90°，sinA=0.6，则cosB=________。 4. 一次函数y=√3x−1的图象与x轴锐角的正切值为________。 5. 某堤坝坡度i=1:4，坝高6m，则坡面水平宽度为________m。 ### 三、能力提升题（计算、简答） 6. 计算：sin²45°+cos60°+tan30°·tan60°−cos²30° 7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=20，∠A=45°，求该三角形的未知边长和角度。 8. 已知斜坡坡面长13m，水平宽度12m，求斜坡的垂直高度、坡度和坡角的正切值。 ### 四、综合应用题（章末重难点） 9. 测量楼房高度，在地面A处测得楼顶仰角为30°，前进16m至B处，测得楼顶仰角为60°，求楼房高度（不计观测身高）。 10. 一艘轮船从港口O出发，沿北偏东30°方向航行24海里到达A点，求轮船到港口的正北、正东方向距离。 11. 已知直线y=kx−2过点(2,2)，求k的值、直线与x轴夹角的正切值，并求直线与坐标轴围成的三角形面积。 ### 五、参考答案与详细解析 1. 答案：C 解析：三角函数值是锐角的固有属性，仅由角度大小决定，与三角形边长缩放比例无关，故sinA不变。 2. 答案：C 解析：根据特殊角三角函数值，sin60°=√3/2，且α为锐角，故α=60°。 3. 答案：0.6 解析：∠A与∠B互余，由互余三角函数关系，cosB=sinA=0.6。 4. 答案：√3 解析：一次函数直线与x轴锐角的正切值等于|k|，本题k=√3，故tanθ=√3。 5. 答案：24 解析：坡度i=垂直高度:水平宽度=1:4，坝高6m，水平宽度=6×4=24m。 6.答案：3/4 解析：原式=(√2/2)²+1/2+(√3/3)×√3−(√3/2)²=1/2+1/2+1−3/4=3/4。 7. 答案：∠B=45°，AC=BC=10√2 解析：∠B=90°−45°=45°，三角形为等腰直角三角形，AC=BC=AB·sin45°=20×√2/2=10√2。 8. 答案：垂直高度5m，坡度12:5错误，正确为5:12，tanα=5/12 解析：垂直高度=√(13²−12²)=5m，坡度i=垂直高度:水平宽度=5:12，tan坡角=5/12。 9. 答案：8√3 m 解析：设楼高为h，由仰角关系得AD=√3 h，BD=√3 h/3，AD−BD=16，解得h=8√3 m。 10. 答案：正北12√3 海里，正东12海里 解析：北偏东30°，正北距离=24cos30°=12√3 海里，正东距离=24sin30°=12海里。 11. 答案：k=2，tanθ=2，面积=1 解析：代入点得2=2k−2，k=2；|k|=2，即tanθ=2；直线与坐标轴交点(1,0)、(0,−2)，面积=1/2×1×2=1。 ### 六、章末高频易错汇总 1. 概念混淆：混淆正弦、余弦、正切的对边、邻边、斜边对应关系，记错特殊角函数值；2. 公式误用：忽略互余角三角函数关系、sin²A+cos²A=1的核心公式，化简计算出错；3. 实际建模错误：仰角俯角、方向角、坡度题型不会画图，无法转化直角三角形，坡度颠倒长宽比例；4. 一次函数易错：忘记倾斜角正切值取k的绝对值，混淆直线倾斜程度与k的关系；5. 计算失误：根式不化简、平方运算遗漏、角度换算错误，综合题型步骤疏漏失分。 沪科版（新教材）数学九年级上册 章末复习 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/14 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第23章 解直角三角形 1. 锐角三角函数 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边． (1) ∠A的正弦： ∠A的对边 斜边 sin A = (2)∠A的余弦：cos A＝　 　　　＝　　； (3)∠A的正切：tan A＝　　 　　＝　　. ∠A的邻边 斜边 ∠A的邻边 ∠A的对边 sin 30°＝　　，sin 45°＝　　，sin 60°＝　　； cos 30°＝　　，cos 45°＝　　，cos 60°＝　　； tan 30°＝　　，tan 45°＝　　，tan 60°＝　　. 2. 特殊角的三角函数 1 3. 解直角三角形 (1) 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C的对边． 三边关系：　 　； 三角关系：__________________； 边角关系：sinA＝cosB＝____，cosA＝sinB＝___， tanA＝ tanB＝ a2＋b2＝c2 ∠A＝90°－∠B　 __________， ___________. (2) 直角三角形可解的条件和解法 ◑条件：解直角三角形时知道其中的 2 个元素(至少 有一个是边)，就可以求出其余的 3 个未知元素． ◑解法：①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边； ②知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角；③斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题． (3) 互余两角的三角函数间的关系 sin α = ， cos α = _____________， sin2α + cos2α = . tanα · tan(90°－α) = . cos (90°－α) sin (90°－α) 1 1 对于 sin α 与 tan α，角度越大，函数值越 ； 对于 cos α，角度越大，函数值越____. 大 小 (4) 锐角三角函数的增减性（0°＜α＜90°） (1) 利用计算器求三角函数值 第二步：输入角度值， 屏幕显示结果. (也有的计算器是先输入角度再按函数名称键) 第一步：按计算器 键， sin tan cos 4. 借助计算器求锐角三角函数值及锐角 (2) 利用计算器求锐角的度数 还可以利用 键，进一步得到角的度数. 第二步：输入函数值， 屏幕显示答案 (按实际需要进行精确). 方法①： °＇″ 2nd F 第一步：按计算器 键， 2nd F sin cos tan 方法②： 第二步：输入锐角函数值， 屏幕显示答案 (按实际需要选取精确值). 第一步：按计算器 键， °＇″ 2nd F (1) 仰角和俯角 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 5. 三角函数的应用 ) ) 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角，叫做方向角. 如图所示： 30° 45° B O A 东 西 北 南 (2) 方向角 45° 45° 西南 O 东北 东 西 北 南 西北 东南 ) ) ) ) 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α，有 i = tan α. 坡度通常写成 1 : m 的形式，如 i =1 : 6. 显然，坡度越大，坡角 α 就越大， 坡面就越陡. 如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l） 的比叫做坡面坡度.记作 i，即 i = . (3) 坡度，坡角 (4) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过 程是： ① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形， 转化为解直角三角形的问题）； ② 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形； ③ 得到数学问题的答案； ④ 得到实际问题的答案． A C M N ①在测点 A 安置测倾器，测得 M 的仰角∠MCE = α； E ②量出测点 A 到物体底部 N 的水平距离 AN = l； ③量出测倾器的高度AC = a，可求出 MN = ME + EN = l · tan α + a. α (1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤： 6. 利用三角函数测高 ) (2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？ ①在测点 A 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MCE = α； A C B D M N E α ②在测点 A 与物体之间的 B 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MDE = β； β ③量出测倾器的高度 AC = BD = a，以及测点 A，B 之间的距离AB = b.根据测量数据，可求出物体 MN 的高度. ) ) 名师点金 本章主要学习锐角的三角函数的定义、锐角的三角函数 值、解直角三角形以及解直角三角形的实际应用，重点考查 运用解直角三角形的知识解决一些实际应用问题，是中考的 必考内容.本章热门考点可概括为两个概念、一个运算、两个 应用、两个技巧和两种思想. 举一反三 17 考点1 两个概念 概念1 锐角的三角函数 1. 如图，根据提供的数据回答下列问题： （1）在图①中，_ _，__， ___； 1 举一反三 18 在图②中， ___， ___， ___. 1 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式 表示出你的发现并加以证明. 举一反三 19 规律：对于任意锐角 ，有 . 证明：如图，在中， , . , , . , . 举一反三 20 （2）利用你发现的规律求解以下题目： 已知 是锐角，且满足 ， 求 ， 的值. 【解】 为锐角,, . 由解得 故 的值为, 的值为 . 返回 举一反三 21 概念2 解直角三角形 2. 如图，在中， ， ,点是边的中点，以 为底边在其 右侧作三角形，使， ,连 接，则 的值为( ) D A. B. C. D. 2 举一反三 22 【点拨】设交于点，过点作 于 点 ，如图所示. 在中，点是边 的中点, . , . . ,, . 举一反三 23 , . , , . . . . 返回 举一反三 考点2 一个运算——特殊角的三角函数值与实数的运算 3. 计算： （1）[2025广安] . 【解】原式 . 举一反三 25 （2） . 原式 . 返回 举一反三 26 考点3 两个应用 应用1 解直角三角形在实际生活中的应用 4. 如图，,,是三艘军舰，舰在 舰正东方 向6海里处，舰在舰北偏西 方向4海里 处.某日8：，，， 三艘军舰同时收到渔 船发出的同一求救信号，信号的传播速度相同，则 舰与渔 船 相距_ ____海里. 举一反三 27 【点拨】根据题意可得，点是， 垂直 平分线的交点.如图，作的垂直平分线 ， 交于，作的垂直平分线，交于 ， 设交于点，作于点 ，连接 ， , 海里， 海里. ， 四边形 是矩 形，, 海里.由题意可知, 举一反三 28 , 在 中， 海里, 海里， 海 里. , 易得 , , 在 中， （海里）, 举一反三 （海里）, （海里）. 返回 举一反三 5. [2025青岛] 学校综合实践小组测量博学楼的 高度.如图，点，，，， 在同一平面内， 点，，在同一水平线上，一组成员从 高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为 ，另一组 成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走到达 点， 在点测得博学楼顶部的仰角为 ，求博学楼 的高度. （参考数据：，， ， ，， ）#2 举一反三 31 【解】如图，过点作于点 ，由题意得， ， ，， , , 举一反三 32 四边形是矩形，, , 在中， , , 设, ，则 ， , 举一反三 在中， , ，解得， . 答：博学楼的高度约为 . 返回 举一反三 应用2 解直角三角形在学科内的应用 6. 如图，在矩形中， ， ，是射线 上的一个动点，过点 作，交射线于点，射线 交射线于点，设 . （1）当点在线段上时（点与点， 都不重合），试用 含的代数式表示 的长； 举一反三 35 【解】 四边形 是矩形， , , . , , . . , 举一反三 36 . . . 举一反三 （2）当时，连接，试判断四边形 的形状，并 说明理由； 举一反三 38 四边形 是菱形.理由如下： 当时，， ， , . 四边形是矩形， . , . 举一反三 39 . . . 四边形 是平行四边形. 在中，， ， , 四边形 是菱形. 举一反三 （3）当时，求 的值. 根据,得 . 易得, . 或 ， 或,解得或 . 返回 举一反三 41 考点4 两个技巧 技巧1 “化斜为直”构造直角三角形解三角形的技巧 7. [2025广元] 如图，四边形 中， 与交于点，是 的中点， ，已知， ， ，则 的长为_ ___. 举一反三 42 【点拨】如图，过点作于点 ， 过点作于点 ，则 ，又 ， ， ，设，则 ， ，，， ，即 举一反三 43 . ， ， ， ， ， ， ， 即，是 的中点， 举一反三 ， ， ，.在 中， ， 即，解得 （负值已舍去）， . 举一反三 本题运用化斜为直法，通过作高 把斜三角形转化为两个直角三角形. 返回 举一反三 46 技巧2 “割补法”构造直角三角形求解的技巧 8. 如图，已知四边形 ， ，， ， ，，求四边形 的面积. 举一反三 47 【解】方法一（分割法） 如图①，过点 作交于点，过点 作 交于点，则 , 四边形 是矩形. ， ， , . 举一反三 48 在 中， , . 在 中， . 举一反三 . . 举一反三 方法二（补形法）如图②，延长, 相交于点 ,则 . . 在 中，, . 举一反三 .在中， . 返回 举一反三 考点5 两种思想 思想1 转化思想 9. 综合与实践：#1 【发现问题】教材中数学活动《问题出在哪里》的内容大致 如下：图①是一个 的正方形纸片，将它剪成四部分后， 再拼成图②中的矩形，图①面积 ，图 ②面积，难道 ？#1.1 举一反三 53 【提出问题】 ，这就说明图②中四个 图形之间有缝隙，即图③中，，， 四个点不在一条直 线上，那么，如何证明它们不在一条直线上呢？ 【分析问题】要证明“四点不共线”，可以简化为证明其中“三 点不共线”，观察易得，图③是一个中心对称图形，所以，证 明“，，三点不共线”或“，， 三点不共线”的道理相 同，我们不妨选择证明“，， 三点不共线”.#1.3 举一反三 【解决问题】①甲：若，， 三点共线，则 ，若 ，则三点不共线.由勾股定 理易得，，， ，显然 ； 举一反三 ②乙：若，，三点共线，则 ，若 ，则三点不共线，再借助三角函数刻画角的 大小…… ③丙：3，5，8，13， 让我想到了斐波那契数列和它的一 些性质，再结合相似三角形的有关知识…… ④丁：“三点共线问题”也可以转化为“判断一点在不在另外两 点所在的直线上”…… 请你根据乙、丙、丁三名同学的思路，任选一种方法，证明 ，， 三点不共线.#1.4.4 举一反三 【解】选择丁，证明如下： 如图，假设点在直线 上， , , . 举一反三 57 ,, , 与 假设矛盾， 点不在直线 上， 点,, 三点不共线. 返回 举一反三 思想2 分类讨论思想 10. 已知的顶点 在 的内部，点、点 在直线 同侧. （1）如图①，连接,,，若和 是等边三 角形，,,三点共线，，求 的值； 举一反三 59 【解】， 设 ， . 是等边三角形， ， 过点作，则易得 ， , ， 举一反三 60 . 是等边三角形， 是等边三角形， ， ， . 举一反三 （2）如图②，连接,, （，， 三点不共线）， ， ， . ，， ， 若，，求的值（用含 的代 数式表示）； 举一反三 62 . 在 中， ， 在 中， ， ， 举一反三 即 ， ， ， ， . 举一反三 （3）若 是等腰三角形， ， ， ，点在高上，点 在 的延长线上，连接并延长交边于点，连接， ， 当，与相似时， 的长为___. 举一反三 65 【点拨】 ， ， ， ， ， 当，与 相似时： ①当 时： 垂直平分 ， ， 举一反三 66 ， . ,， . 连接， 点在 的中垂线 上， . ， 举一反三 点在上， 点, 重合. 此时点与点 重合（不合题意， 舍去）； 举一反三 ②如图，当 时： ， ， ， ， . 过点作于点，于点 ， 举一反三 69 . ， . 设，则, ， . 与 相似, 易得，即 , 举一反三 ,， ， ， ， . ， ， . 返回 举一反三 谢谢观看 THANKS $