23.2 第3课时 方向角问题（课件）--2026-2027学年沪科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“解直角三角形中的方向角问题”，通过轮船航行情境导入，引导学生观察思考方向描述方法，进而明确方向角定义，构建从实际问题到数学概念的学习支架，衔接锐角三角函数等前置知识。 其亮点在于以实际问题为载体，通过作垂线构建直角三角形，培养数学眼光（几何直观），严谨推理与运算过程体现数学思维（推理能力），方法归纳形成模型意识（数学语言）。实例丰富如轮船避暗礁、海轮定位等，助力学生提升应用能力，教师可直接用于教学，提高效率。

沪科版数学九年级上册23.2（第3课时）方向角问题专项练习题 ### 一、知识点梳理 方向角是解直角三角形实际应用的重要题型，常用于航海、测绘、位置判定等问题。以观测点为中心，以正北、正南方向为基准，描述物体偏向东或西的锐角，叫做方向角。常见表述：北偏东、北偏西、南偏东、南偏西。特殊方向：东北方向即北偏东45°，西北方向即北偏西45°，东南方向即南偏东45°，西南方向即南偏西45°。解题核心：所有方向角均从南北基线算起，结合平行线性质、垂直关系构造直角三角形，将航行距离、两点间距、位置高度等实际问题转化为解直角三角形模型求解。 ### 二、基础巩固题（选择、填空） 1. 北偏西30°的正确含义是（） A. 从正西向北偏转30° B. 从正北向西偏转30° C. 与正北夹角60° D. 与正西夹角30° 2. 东北方向对应的方向角度数为（） A. 北偏东30° B. 北偏东45° C. 南偏东45° D. 北偏东60° 3. 南偏西60°，也可以表述为西偏南________。 4. 若A在B的北偏东25°，则B在A的________方向。 5. 一艘船从港口出发，沿北偏东45°方向航行，此方向与正东方向夹角为________。 ### 三、能力提升题（计算题） 6. 一艘轮船从港口O出发，向北偏东30°方向航行20海里到达A点，求轮船相对于港口的正东、正北方向距离。 7. 观测点P测得小岛A在北偏西60°方向，PA距离为16km，求小岛A到观测点正北基线的垂直距离。 8. 某渔船在海面航行，位于灯塔南偏东45°方向，距离灯塔12海里，求渔船到灯塔正南方向的水平距离。 ### 四、综合应用题 9. 如图，港口O有两艘船，甲船沿北偏东60°方向航行，乙船沿南偏东30°方向航行，两船航线互相垂直，若甲船航行18海里，求两船此时的直线距离。 10. 在海边观测站A，测得小岛B在北偏东30°方向，向前直行400米到达观测站C，测得小岛B在正北方向，求小岛B到观测站C的距离。 11. 一艘海轮从A港出发，沿北偏东45°方向航行至B处，再沿南偏东60°方向航行至C处，A、C两港正东方向对齐，已知AB=20√2 海里，求BC的长度。 ### 五、参考答案与详细解析 1. 答案：B 解析：方向角基准为南北方向，北偏西30°即从正北方向向西偏转30°。 2. 答案：B 解析：东北方向为正北与正东角平分线，固定为北偏东45°。 3. 答案：30° 解析：南北、东西方向互相垂直，90°−60°=30°，即西偏南30°。 4. 答案：南偏西25° 解析：两点相对方向角度相等、方向相反，北偏东对应南偏西。 5. 答案：45° 解析：北偏东45°为正北、正东角平分线，与正东方向夹角为45°。 6. 答案：正北10√3海里，正东10海里 解析：构造直角三角形，北偏东30°，正北距离=20cos30°=10√3，正东距离=20sin30°=10。 7. 答案：8√3 km 解析：北偏西60°，垂直正北基线的距离为PA·sin60°=16×√3/2=8√3 km。 8. 答案：6√2 海里 解析：南偏东45°，正南水平距离=12×cos45°=6√2 海里。 9. 答案：36海里 解析：由题意得两船航线夹角90°，构成直角三角形，角度分别为60°、30°，斜边距离=2×18=36海里。 10. 答案：400√3 米 解析：∠BAC=30°，AC=400米，Rt△ABC中，BC=AC·tan30°的反比关系，BC=400√3 米。 11. 答案：20√3 海里 解析：由方位角得直角三角形，AB=20√2，分解得竖直高度20海里，结合60°角三角函数，BC=20√3 海里。 ### 六、易错点总结 1. 混淆方向角基准，错以东西方向为起始边，导致角度读取错误；2. 不会判断两点相对方位，记反相对方向角，出现北偏东对应北偏西等错误；3. 无法根据题意画出方位图，找不到隐藏直角三角形，不能转化边角关系；4. 不会换算复合方向角，无法实现北偏西、西偏北角度互换；5. 复杂双点航行题型中，不会利用角度和差、平行线性质推导内角，解题思路卡顿。 沪科版（新教材）数学九年级上册 23.2 第3课时 方向角问题 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/14 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第23章 解直角三角形 如图，一艘轮船从 A 点出发，航行路线为 AC、CB，你知道如何准确描述此过程轮船航行的方向吗？ 【观察与思考】 情境导入 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角，叫作方向角. 如图所示： 30° 45° B O A 东 西 北 南 45° 45° 西南 O 东北 东 西 北 南 西北 东南 北偏东 30° 南偏西 45° ( ( ( ( 情境导入 引例 如图，一船以 20 n mile/h 的速度向正东航行，在A 处测得灯塔 C 在北偏东 60° 方向上，继续航行 1 h 到达 B 处，再测得灯塔 C 在北偏东 30° 方向上.已知灯塔C 四周 10 n mile 内有暗礁，问这船继续向正东航行，是否安全？ A C B 60° 与方向角有关的实际问题 D 【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔 C 到 AB 航线的距离是否大于 10 n mile. 北 东 1 探究新知 解：由点 C 作 CD⊥AB， 设 CD = x， 则在 Rt△ACD 中， 在 Rt△BCD 中， 解得 . 所以，这船继续向东航行是安全的. A C B D 30° 60° 北 东 由 AB = AD - CD，得 探究新知 例1 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65° 方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到 0.01 n mile）？ 65° 34° P B C A 典例精析 探究新知 65° 34° P B C A 解：如图 ，在Rt△APC中， PC = PA·cos(90°－65°) = 80×cos25° ≈ 80×0.91 = 72.505. 在 Rt△BPC 中，∠B = 34°， 因此，当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向 时，它距离灯塔P大约 129.70 n mile． 探究新知 1. 如图所示，A、B两城市相距 200 km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路 (即线段 AB)，经测量，森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30° 和 B 城市的北偏西 45° 的方向上．已知森林保护区的范围在以 P 点为圆心，100 km 为半径的圆形区域内， 请问：计划修筑的这条高速 公路会不会穿越保护区 (参考数据： ≈1.732， ≈1.414)． 200 km 练一练 探究新知 200km 解：过点 P 作 PC⊥AB，C 是垂足． 则∠APC＝30°，∠BPC＝45°， AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°. ∵AC＋BC＝AB， ∴PC · tan30°＋PC · tan45°＝200， 即 PC＋PC＝200. 解得 PC ≈ 126.8 km＞100 km. 答：计划修筑的这条高速公路 不会穿越保护区． C 探究新知 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 方法归纳 探究新知 例2 一条东西走向的高速公路上有两个加油站 A，B，在 A 的北偏东 45° 方向还有一个加油站 C，C 到高速公路的最短距离是 30 km，B，C 间的距离是 60 km，想要经过 C 修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口 P 到 B，C 的距离相等，请求出交叉口 P 到加油站 A 的距离 (结果保留根号)． 分析：此题针对点 P 的位置分两种情况讨 论，即点 P 可能在线段 AB 上，也可能在 BA 的延长线上． 探究新知 解：分两种情况： (1)如图①，在 Rt△BDC 中，CD＝30 km，BC＝60 km， ∴∠B＝30°.∵PB＝PC，∴∠BCP＝∠B＝30°. ∴在 Rt△CDP 中，∠CPD＝∠B＋∠BCP＝60°. 在 Rt△ADC 中，∵∠A＝45°， ∴AD＝DC＝30 km. 探究新知 (2)如图②，同理可求得 km， AD＝30 km. 探究新知 求一般三角形的边长或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 方法总结 探究新知 例3 如图，一架飞机从 A 地飞往 B 地，两地相距 600 km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成 30° 角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成 45° 角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程 600 km 远了多少？ 解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D， ∵AD＋BD＝AB， 探究新知 ∴在 Rt△BCD 中， ∴AC＋BC＝ 在 Rt△ACD 中， 747－600＝147 (km)． 答：飞机的飞行路程比原来的路程 600 km 远了 147 km. 探究新知 名师点金 解决与方位角有关的实际问题时，应先在每个位置中心 建立方向标，然后根据方位角标出图中已知角的度数，最后 在某个直角三角形内利用锐角三角函数解决问题. . . . . 举一反三 17 应用1 同一点的方位角的应用 （第1题） 1. 如图是东西流向且河岸平行的一段河道， 点，分别为两岸上的点，且点在点 的 正南方向，由点向正西方向走 米到达点 ，此时测得点在点的南偏西 方向上， 则河宽 的长为_ _________. 米 举一反三 18 （第1题） 【点拨】连接, , 该河道为东西流 向且与河岸平行，点在点 正南方向， . 点在点的南偏西 方向上， . 点向正西方向走米到达点, 米. 又, 米. 返回 举一反三 19 （第2题） 2. 端午节，赛龙舟，小亮在点 处观看400 米直道竞速赛，如图所示，赛道 为东西 方向，赛道起点位于点的北偏西 方 向上，终点位于点的北偏东 方向 上，米，则点到赛道 的距离 为( ) B A. 米 B. 米 C. 87米 D. 173米 举一反三 20 【点拨】如图，过点作于 , 设 米. , 米. , 米. 米, , 即点 到赛道的距离为 米. 返回 举一反三 21 应用2 不同点的方位角的应用 （第3题） 3. 如图，某渔船正在海上 处捕鱼，先向北 偏东 的方向航行到 处，然后右转 再航行到处.在点 的正南方向， 点的正东方向的 处有一条船，也计划驶往 处，那么它的航向是( ) C A. 北偏东 B. 北偏东 C. 北偏东 D. 北偏东 举一反三 22 【点拨】如图，连接 , 由题意得 , , , , , , , , 举一反三 23 , , 即处在处的北偏东 方向，故选 C. 返回 举一反三 （第4题） 4. 某次军事演习中,一艘船以 的速度向正东航行.如图，在出发地 测得小岛在它的北偏东 方向, 后到达处,测得小岛 在它的北偏西 29.3 方向,则该船在航行过程中与小岛 的最近距离约为_____ . （参考数据:,. 结果精确到 ） 举一反三 25 【点拨】如图，过点作 于点 ,则 的长即为该船在航行过程中与 小岛 的最近距离.由题意得 , .易得 , , ， 该船在航行过程中与小岛的最近距离约为 . 返回 举一反三 26 5. [2025长沙] 如图，某景区内两条互相垂直 的道路，交于点，景点，在道路 上，景 点在道路 上.为了进一步提升景区品质，景区 管委会在道路上又开发了风景优美的景点 .经 （1）求 的度数； 测得景点位于景点的北偏东 方向上，位于景点 的北 偏东 方向上，景点位于景点的南偏西 方向上.已 知 . 举一反三 27 【解】如图，由题意可得 , ,， . , . . 举一反三 28 （2）求景点与景点 之间的距离.（结果保留根 号） ， . 由（1）得 . . 又， . 在中，， ， ， 举一反三 29 . . , ， . . 景点与景点 之间的距离为 . 返回 举一反三 方向角：指北方向或指南方向与目标方向线所成的小于 90° 的水平角，叫方向角. 解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系. 课堂小结 谢谢观看 THANKS $