3.3 相似三角形判定定理的证明 常见的三种题型 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

3.3相似三角形判定定理的证明常见的三种题型 目录 题型一平行线分线段成比例 题型二三角形相似的判定与性质 题型三相似三角形的证明与应用 题型一平行线分线段成比例 【解题技巧】平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例，如畿=等： 据此由已知比例求未知线段，注意对应线段要找准。 1.如图，直线bc,分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F,下列结论不正确的是() B D b AC BD AC BD AC CE AE BF A.CEDF B.DFCE C.BDDF D.AC-BD ∥12∥1 2.如图，直线 直线M1CDF与这三条平行线分别交于点4、BR、C和点D、日、R.若 AB=5,BC=10,EF=8 DE ,则的长为() A.3 B.4 c.5 D.6 3.如图， ,直线、b与、分别相交T点4、B、C和点D、E、F.设 4421 AB-2.BC-4.DE-3 ,则DF的长为() B F 9 A.3 B.2 c.5 D.9 4.我们已经知道“平行线分线段成比例”这个基本事实，请尝试应用这个基本事实，并结合角的关系， 证明相似三角形的预备定理， 己知：如图，DE∥BC,并分别交AB、AC于点D、E. 求证：△ADE∽△ABC. D DE 2 5.如图，已知AD∥BE∥FC,它们依次交直线1，于点ABC~和点DE、F,EF3, AC=I0.求AB,BC的长. 12 A B 题型二三角形相似的判定与性质 【解题技巧】判定两三角形相似：①两角对应相等；②两边成比例且夹角相等；③三边对应成比例 是=等=等；相似三角形对应边成比例，面积比等于相似比的平方多=k2,周长比等于相似比。 1.如图，己知AB∥CD∥EF,那么下列结论正确的是() A B E A品积 DF BC AD BE AD BC B. AD CE C.AFBC D.AFBE 2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于 2AD的长为半径作弧，两弧交于点M、N:第二步，过M、N两点作直线，分别交AB、AC于 点E、F:第三步，连接DE、DF.若BD=8,AF=6,CD=4,则BE的长是() B A.12 B.11 C.13 D.10 3.如图，在四边形ABCD中，点E,F分别在AB,CD上，且AD∥EF∥BC.若DF:DC=1:3, AE=3,则BE的长为() A E B A.3 B.6 C.8 D.9 4.如图，在△ABC中，点E在BC上，EC:BE=I1:3,点F在AC上，AF:CF=3:2,AE,BF相交于 D,则FD:BD=() B A.1:4 B.15 C.1:6 D.2:15 5.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，添加一个条件仍不能判定△ADE与△ACB相似的是 () A E D B A.∠ADE=∠ACB B.DE∥BC e把 AD DE D.AB BC 6.如图，点E是菱形ABCD的边AD上一点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F.若 AE 1 AD3MD=6,则FB的长为〈) D E B A.15 B.12 C.10 D.9 7.如图，点P是OO的弦AB延长线上一点，连接OP,取OP的中点C,若CB⊥AP,垂足为点B, AB=8,BC=3 OP 则的长为 y B P 8.如图，AD∥BE∥CF,若AB=2,AC=5,EF=6,则DE的长度是 AD 9.如图，在△ABC中，DE∥BC,AD=3,BD=5,AC=I2,则AE的长一 10.已知：如图， DE/BC.AD:BD1:.m S- D 11.如图，△ABC中，D,E分别在AB,AC上，DE∥BC,AD:DB=1:3,则△ADE与△ABC的面积 之比为 B 12.如图，己知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC,EF∥AB,且 AD:DB=3:5,那么CF:CB等于 A B 题型三相似三角形的证明与应用 【解题技巧】证明三角形相似多用“两角对应相等”（平行、等腰、公共角、对顶角、圆中同弧所对圆 周角等得到等角)；圆中常用直径所对圆周角为直角；网格中算各边长度后比较：证出相似后用对应边 成比例（相似比）求线段长或面积。 1.利用正方形纸片的折叠开展数学活动，探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的 数学思想方法， 如图1，点E为正方形ABCD的AB边上的一个动点，AB=6,将正方形ABCD对折，使点A与点B重合， 点C与点D重合，折痕为M. D D B' M M N E B 图1 图2 备用图 (I)思考探索，将正方形ABCD展平后沿过点C的直线CE折叠，使点B的对应点B落在MN上，折痕为 EC,连接DB,如图2 ①点B在以点E为圆心，以线段」 的长为半径的圆上： ②B'M= ③△DB'C为. 三角形，请证明你的结论. (2)拓展延伸（可先在备用图形上按要求画出图形，再解决下列问题.）当AB=3AE时，正方形ABCD沿 过点E的直线I(不过点B)折叠后，点B的对应点B落在正方形ABCD内部或边上， ①求△ABB'面积的最大值： ②连接MB,点P为4B的中点，点Q在B上，连接P吧，∠40=∠MBE,求BC+2PQ ,求 的最小值。 2.课本再现 推论直径所对的圆周角是 (1)补全课本再现中横线上的内容. 知识应用 (2)如图，△ABC内接于O0,D是⊙0的直径AB的延长线上一点，∠DCB=∠OAC, D ①求证：CD是OO的切线： ②过圆心O作BC的平行线交DC的延长线于点E,若AB=CE=4,求CD的长. 3.如图，AB是⊙0的直径，点C是O0上的一点，CD与AB的延长线交于点D.已知： CA=CD,∠A=30° D (1)求证：CD是⊙O的切线： (2)过点B作BE⊥CD于点E,若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积. 4.如图，已知线段AB与直线CD平行，AE是∠CAB的平分线，AE交直线CD于点E. C E D A B (I)尺规完成以下基本作图：作AE的垂直平分线，交AE于点F,连接BF并延长交直线CD于点G,(保 留作图痕迹，不写作法)： (2)在(1)的条件下，某学习小组讨论发现线段AB,AC,CG之间存在一定的数关系，请你根据该兴趣 小组的思路完成下面的填空： 解：AB=AC+CG,理由如下，如图所示， :AB∥CD,∴.∠CEA=∠EAB :AE平分∠CAB,.①，∴∠CEA=∠CAE ②， 在△ABF和△EGF中， ∠CEF=∠EAB ③ ∠EFG=∠BFA .△GEF≌△BAF(ASA),④， .EG=EC+CG,AC=CE,..AB=AC+CG. 5.[感知]如图①，在ABCD中，点E为CD的中点，连接BE并延长交AD的延长线于点F.求证：点E 是BF的中点，点D是AF的中点： [应用]如图②，在四边形ABCD中，AD/BC,∠BAD=90°，AB=4,AD=3,点E是CD的中点， BE⊥CD,BE、AD的延长线相交于点F,则AF=一· BE 1 [拓展]如图③，在△4BC中，点D是AC的中点，点B是AB上一点，EA2,BD,CB相交于点R,则 EF FC=_ A D E D B B B 图① 图② 图③ 6.阅读与理解 下面是小含同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务 D B B (I)图1中由条件“D'B∥DB和D'为AD的中点”判断点C为AB中点的依据是 (2)图2中，在线段AB外有点P,连接AP.在线段AP上确定一点H,使得∠PHB=45°.（保留作图痕 迹)； (③)图3中，求作线段B的三等分点M,位仙-写4B.(保留作图痕迹)： 3 7.操作与探究：如图，在△ABC中，∠ABC=90°. (I)动手操作：用直尺和圆规按要求作图：①作BC的垂直平分线MN交AC于点O;②以点O为圆心OC 长为半径作⊙0：③连接BO并延长交⊙0于点D,连接AD,CD.(要求：保留作图痕迹，标明字母). (2)猜想证明：在(1)所作的图形中： ①判断点A,B与OO的位置关系 ②判断四边形ABCD的形状，并进行证明. 8.如图，码头B位于码头A的南偏东30°方向，A,B之间的距离为4Okm,灯塔P在AB的中点处.轮 船甲从A出发，沿正南方向航行，轮船乙从B出发，沿正东方向航行.当甲航行到C处时，乙航行了相 同的距离到达D处，此时，C,P,D三点恰好在一条直线上.求甲航行的距离AC,(参考数据： V3≈1.73 ◆东 D 9.如图，点E是Rt△ABC斜边AB上的点，以BE为直径的OO与AC相切于D,交BC于点F,连接 DE,BD,EF. A E B F C (I)求证：BD平分∠ABC: (2若DE=25.CD=4 ⊙0 ,求 的半径 10.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）. B (1)请画出将△ABC绕点O顺时针旋转180°得到的△A'B'C': (2)请用无刻度的直尺在AC上找一点P,使AP:CP=2:3(保留作图痕迹，不写作法) BD 3 11.如图，在AABC中，DF∥AE,DE∥AC,AD2,BF=6,求EF和EC· F 12.如图，已知，在△ABC中，BA=BC=40cm,AC=60cm,点P从A点出发，沿AB以4cm/s的速度向 点B运动：同时点O从C点出发，沿CA以3Cm/s的速度向A点运动，设运动时间为x, (①)当P∥BC时，x为何值？ AAPO CQB AP (2)能否与 相似，若能，求出的长，若不能，请说明理由. (3)当 SAmcQ:SAARC=1:3 SAr阳：SaMc,(直接写答案) 时， 13.如图，在△ABC中，点D,E,F分别在AB,BC,AC边上，DEI‖AC,EF I AB D B (I)求证：△BDE∽△EFC AF 1 (②)若FC2,BC=6,求BE的长. 14.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC边于点E,点F在边AD上，且DF=BE, 连接BF交AE于点H D (I)求证：四边形AECF是矩形： (2)若BF平分∠ABC,且BE=2,AB=6,求线段AH的长. 参考答案 题型一平行线分线段成比例 1.B 【详解】解：，allblle, AC BD AE BF CE=DF,AC=BD,AD正确，故不符合要求； AC CE BDDF,C正确，故不符合要求： AC BD DFCE,B错误， 故符合要求： 故选：B 2.B :1∥g2∥13 【详解】解： AB DE BC EF .5 DE 108, DE=4, 故选：B 3.B 4I42113 【详解】解： AB DE BC EF :MB=2,BC=4,DE=3 22 4 EF EF=3, :DF=Ef+DE=3+3_9 22· 故选：B 证明：作DF∥AC交BC于点F」 D1 2 E B F FC DA BF BD' FC AD ·BCAB· .DE∥BC, AE AD ·∠I=∠B ,∠2=∠C,ECDB, AE AD AC AB FC AD AE BC AB AC DE∥BC,DF∥AC. ∴四边形DFCE是平行四边形， .DE=FC, DE AD AE .BC AB AC 又：∠I=∠B,∠2=∠C,∠A=∠A, .△ADE∽△ABC 【详解】略 5.AB=4,BC=6 【详解】解：，AD∥BE∥FC, .AB_DE2 ·BC-EF3 AB 2 AC5' AC=10 AB 2 .105? .AB=4, .BC=10-4=6 题型二三角形相似的判定与性质 1.D 【详解】解：A.AB‖CD‖EF AD BC CD .DF CE CB 故本选项不符合题意： B.AB‖CDEF, DF CE :ADBC,故本选项不符合题意； C.ABICDI‖EF, AD BC .AFBE,故本选项不符合题意： D.:AB‖CD EF AD BC .AFBE,故本选项符合题意： 故选：D. 2.A 【详解】解：，根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线， .AE=DE,AF=DF. ∴.∠EAD=∠EDA. :AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD ∴.∠EDA=∠CAD .DE∥AC, 同理DF∥AE, .四边形AEDF是菱形， .AE=DE DF AF, ,AF=6 .AE=DE=DF=AF=6, .DE∥AC, BD BE CD AE' BD=8,AE=6,CD=4, 8 BE .46 .BE=12, 故选：A 3.B 【详解】解：DF:DC=1:3, .DF:FC=1:2, .AD∥EF∥BC」 AE DF 1 BE FC 2' BE=2AE, .AE=3. .BE=6, 故选：B. 4.B 【详解】解：如图，过点B作BG∥AC,交AF的延长线于点G, G E B 设AF=3a,CF=2a,则AC=AF+CF=5a, .BGII AC. .∴△BEGACEA,△DGAFDA, BG_BE-3, 由BEGACEA:可得ACCE ∴.BG=3AC=15a. FD AF 3a 1 由BDGPAFDA,可得BDBG15a5, 即FD:BD=1:5 故选：B. 5.D 【详解】解：∠DAE=∠CAB, ∴A、添加∠ADE=∠ACB,根据“两角相等的两个三角形相似”可以得到△ADEAACB,选项不符合题 意； B、添加DE∥BC,得到∠ADE=∠ABC,根据“两角相等的两个三角形相似”可以得到 △ADE∽△ABC,选项不符合题意： AE AD C、添加AB一AC,根据“两组边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似”可以得到△ADE∽△ACB, 选项不符合题意； AD DE D、添加AB-BC,不能判定。ADE与A4CB相似，选项符合题意. 6.D 【详解1解：DD=6 ÷AB=14D=x6=2. 1 3 3 ∴.DE=AD-AE=6-2=4, 四边形ABCD是菱形，点E在AD上，点F在BA的延长线上， ..CD=AD=AB=6,FAI CD .△FAEACDE」 ..FA AE 2 1 CDDE42 1 1 ∴FA=二CD=。×6=3」 2 2 ∴.FB=FA+AB=3+6=9」 故选：D. 7.10 【详解】解：过O作OD⊥AB于D,则∠ODB=90°， A B ..BD=2 AB, ∴AB=8, ∴.BD=4, .CB⊥AP, ∴.∠CBP=90° ∴.∠CBP=∠ODB .∴ODlI BC, PB PC .PD PO C是OP的中点， .PC=2 PO -月 B是PD的中点， ∴.PB=BD=4, BC=3, PC=VPB2+BC2=V42+32=5 .∴.OP=2PC=10, 故答案为：10. 8.4 【详解】解：AD∥BE∥CF AB DE ·BCEF .AB=2,AC=5,EF=6, .BC=AC-AB=5-2=3. 2 DE …36’ DE=4, 故答案为：4 9 9.2 【详解】解：，DE∥BC AD AE3 ·BDEC5' AE 3 ·AC8 3 9 5-34C=5X12-7 8 8 故答案为：2 10.1:9 【详解】解：，DE∥BC, △ADE∽△ABC. AD:BD=1:2, .∴.BD=2AD .AB=AD+BD=AD+2AD=3AD. SABC S.4DE S.4RC=1:9 即 11.1:16 【详解】解：DEBC. ∴.△ADEAABC AD:DB=1:3. ∴.AD:AB=AD:(AD+DB)=I:4,即AADE与AABC的相似比为4· S8a日6.即pE与ABC的面之比为6 12.5:8 【详解】解：，DE∥BC, ..AE:EC=AD:DB=3:5, .CE:CA=5:8, EF∥AB, ∴.CF:CB=CE:CA=5:8 故答案为：5：8 题型三相似三角形的证明与应用 1.①0E,②6-35，③等边三角形，证明见解新 g012,②2i ① 【详解】(1)解： 由折叠的性质可知， EB'=EB 点B在以点E为圆心，以线段BE的长为半径的圆上. ② ABCD 四边形 为正方形， .BC=CD=AD=AB=6,∠B=∠BCD=90°」 :将正方形ABCD对折，使点A与点B重合，点C与点D重合，折痕为M, MW-BC-6,W=DN=D=3,∠MC=∠AND=90 由折叠可知，B'C=BC=6. 在Rt△B'NC中，B'N=VB'C2-CW2=V6-3=3V3 .B'M=MN-B'N=6-3√5 ③ADB'C 为等边三角形. 证明：由②可知B'C-BC=CD,CW=DW, 在RtAB'ND中，B'D=VBW2+DW2=VB'C2-Cw2+DN=B'C .B'D=B'C=CD △DB'C为等边三角形. (2)解：①AB=3AE,AB=6, ∴AE=2, .'BE AB-AE=4, 由折叠性质可知，EB'=EB, 点B在以点E为圆心，以线段BE的长为半径的圆上， ∴.△ABB的面积要最大，只要以AB为底的高最长即可， ∴.当BE⊥AB时，△ABB的面积要最大，如图， D E▣ ·△ABB'的面积最大值2×6×4=12 ②∠AQP=∠AB'E Pg∥B'E、 AQ AP OB'PE' 点P为AE的中点， .AP=PE, AQ_AP=1 ..OB'PE ..A0=OB', .点为AB的中点， .PO为△AEB的中位线， ∴P0=EB,即2P0=EB, BC+2PO=B'C+EB' 如图，当E,B,C三点共线时 BC+EB最小，即 BC+2PO 取得最小值，且最小值为BC的长， D :四边形ABCD为正方形， ∴.BC=AB=6,∠ABC=90°， 在RtAEBC中，EC=VBE2+BC=V4P+6=213 BC+2P 的最小值为23 2.(1)直角： (2)①证明：0A=0C, ∴.∠OAC=∠OCA :∠DCB=∠OAC, .∴.∠OCA=∠DCB :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， ∠0CA+∠0CB=90°， ∴.∠DCB+∠OCB=90° 即∠OCD=90°， ∴.OC⊥DC, :0C是⊙0的半径， ∴CD是⊙O的切线； ②D 【详解】(1)解：直径所对的圆周角是直角： 故答案为：直角： (2)①略 ②解：OE∥BC. BD CD .·.OBCE 08=40=2,E=4 BD CD .24, 设BD=x,则CD=2x,OD=OB+BD=2+x, OC⊥DC, △OCD是直角三角形， 在RtAOCD中，OC2+CD2=OD2, .22+(2x)2=(2+x)2 解得，x=0(合去)，或 CD=8 3· 3.(1) 证明：连接OC,如图所示： B D CA=CD,∠A=30° .∠D=∠A=30°. 在⊙0中，OA=0C, .∠OCA=∠A=30°， :∠COD是△AOC的一个外角， ∠C0D=∠A+∠0CA=60° ∴.在△COD中，∠OCD=180°-∠D-∠COD=90°， ∴.OC⊥CD CD是⊙O的切线： 3V32 (2②23π 【详解】(1)略 (2)解：如图所示： A D 在RtAOCD中，∠OCD=90°，OC=2,∠D=30°，则OD=20C=4, OB=2, :OB=BD=2=号0D,即B是线段00中点， OC⊥CD,BE⊥CD, ∴.BE∥OC :由平行线分线段成比例可行-，即F是线段D中局 :BE是△COD的中位线，则BE=)0C=1, 2 在RLOCD中，CD=VOD-0C=2W5,则CE=DE=CD=5, S1=SAcon-S△BD-S前形O8C OC-CDE-E 360*元x0C =2x25-x1x5-6xmx2 2 6 =2V5-32 23 3v32 23“. 4.(1) 如图， E D (2)①LCAE=∠EAB,②AC=CE,③AF=FE,④AB=GE 【详解】(I)以A为圆心，AC为半径，画弧交AB于一点M,连接CM,交AE于点F,CF即为AE的 垂直平分线，连接BF,并延长交CD于点G,CF即为AE的垂直平分线： 证明：：AB∥CD, .∠CEA=∠EAB, :AE平分∠CAB .∠CAE=∠EAB .∠CEA=∠CAE .AC=CE, 根据作图可知：AC=AM, .AM=CE :AB∥CD, .:EF、EC 1 “AFAM, ∴.AF=EF, AC=CE, ∴.CF为AE的垂直平分线： (2)略 5.(1)证明见解析：(2)8；(3)3. 【详解】解：(1)证明：，ABCD, ∴AF‖BC,AD=BC, ∴.∠F=LEBC, ∴.在△DEF和△CEB中， ∠F=∠EBC ∠DEF=∠BEC DE=EC ∴.△DEF≌△CEB, ∴BE=EF,DF=BC=AD, ∴点E是BF的中点，点D是AF的中点： (2)与(1)同理可得△DEF2△CEB, ∴.DF=BC, 又由已知可得DFBC, ∴四边形DFCB是平行四边形， 'BE⊥CD, ∴四边形DFCB是菱形， ∴.DF=BD: ∠BAD=90°，AB=4,AD=3, ∴.BD=5, .∴.AF=AD+DF=3+5=8, 故答案为8： (3)如图，过A作AGEC交BD延长线于G, y E 与(1)同理可得△ADG≌△CDF, ∴.AG=FC, AG‖EF, EFEF BE ·FC AG BA: ,BE=1 :EA2' BEBE 11 ·BABE+EA1+23’ EF 1 ∴·FC3, 1 故答案为3· 6.(1)平行线分线段成比例基本事实的推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段 成比例 A H (2)如图， B D A M (3)如图， D 【详解】(1)解：图1中由条件“D'B∥DB和D'为AD的中点”判断点C为AB中点的依据是：平行 线分线段成比例基本事实的推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例： (2)解：如图，把线段AP向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到线段CD,连接BD,BC交线段 AP于H,则∠PHB=45°即为所求： A B APII CD,CD2=AP2=12+52=26 证明：由平移可得：理由 又BD=+5=26,BC2=4+6=52 ..CD=BD,CD2+BD2=BC2 ∴.∠CDB=90°，∠BCD=45° :AP∥CD, .∠PHB=∠BCD=45° (3)解：如图，取格点DC,且AC-2BD=4AC∥BD,连接CD交AB于M,则4M=写，即为 所求： A D 证明：AC∥BD, .△ACM∽△BDM, .AC=2,BD=4 :M-4C=1 BM BD 2 :.AM=14B 3 7.(1)见解析 (2)①点A,B在⊙O上：②四边形ABCD是矩形，理由见解析 【详解】(1)解：如图即为所求. M D O E (2)解：①点A,B在⊙0上 理由如下：直线MN垂直平分BC,∠ABC=90°， ..OE ll AB,BE=CE, CO_CE=1, :.AO BE ..CO=A0 点O是AC的中点， .ad occ. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，OB是斜边AC上的中线， 0B号4C ∴.OA=OB=0C ,OC是⊙0的半径， 点A,B在⊙O上 ②四边形ABCD是矩形. 理由如下：由作图可知，点D在⊙O上， ∴.OD=OC .OA=OC.OB=OD .四边形ABCD是平行四边形. ∠ABC=90°， ∴.ABCD是矩形， 8.7.3km 【详解】解：如图，延长AC,DB交点为E,过点P作PF⊥AE于点F,过B作BH⊥BD交CD于点 H 30 →东 由题意得，∠E=90°，∠PFA=90°，∠HBD=90, :A,B之间的距离为4Okm,P在AB的中点处， .AP=PB=20km, :RtAAPF中，∠A=30°， PF=)AP-=10km,AF=√202-10=105km), 2 PFDE P AB 为 中点， AF AP FE PB' F为AE的中点， 4E=24F-203km BE=4B2-AE2 =20km 设AC=BD=xkm, AC∥BH, ∴.∠A=∠PBH, 在△APC和△BHP中， [∠A=∠PBH AP=BP ∠APC=∠BPH' △APC≌ABPH(ASA) :AC=BH, .BD=BH, ∴.∠HDB=∠BHD=45o .∠ECD=90°-45°=45°， ∴.∠ECD=∠HDB .CE=ED, 20W3-x=20+x 解得x=10W3-10≈7.3， 答：甲航行的距离AC约为7.3km, 9.(I)证明：连接OD交EF于点G,如图. A D 与 相切于点， B FC.⊙0 AC D ∴.∠AD0=90° ∠C=90°， .OD∥BC, .∠ODB=∠DBC. .OB=OD .∠ODB=∠OBD .LOBD=∠DBC, 即BD平分∠ABC. (2)r=5 【详解】(1)略 (2)解：BE是⊙0的直径， ∴.∠BFE=∠CFG=90° :∠C=∠AD0=90° .四边形CDGF是矩形， .FG=CD=4,EF⊥OD .OGII BF, EG0E-1」 GF OB ∴.EG=GF=4, DE=2√5 .DG=DE2-EG2=2 设⊙0的半径为r, OE2=0G2+EG2 r2=42+(r-2)2 解得r=5 10.(1) 如图，△AB'C即为所求： 5、 A (2) 如图所示，点P为所求： B D ---7------- 【详解】(1)略 (2)略 11.EF=4 EC=20 3 【详解】解：，DF∥AE, BD BF ·ADEF, 36 2EF .∴.EF=4 .DE ll AC BD BE ·ADEC' 36+4 ·2EC, BC=20 3· 20 12.(1)x= 3 40 (2)能，AP的长为40cm或3 cm (3)S.mQ:S.ANc=g 【详解】(1)解：由题意得，AP=4x,C0=3x,PB=40-4x,AQ=60-3x .P2∥BC」 ..AP:AB=A0:AC 4x:40=(60-3x:60∴x=20 9 (2)解：存在.理由如下： BA=BC, A=∠C, ①AAPQ∽ACQB 时： AP AO C2CB· 即 4x:(3x=(60-3x):40 解得：x10 3 ∴.AP=4x 4 3(em) ②△APOACBO 时： AP AQ BCcO' 4x:40=(60-3x):(3x) 即： x1=10,x2=-20 解得： (舍去) .AP=4x=40(cm) 40 ·Ap的长为40cm或3cm (3)解： SAncQ:SAAMC=1:3 .CQ:AC=1:3 SA4me SA4BC=2:3 :02=20-3x :*20 3, :AP=80 PB=40 3， 3 SAwPO SAAMQ=PB:AB=1:3 3。 212 .S.wo:S.anc=S.wo: S0=339 13.(1) 证明：，DE‖AC,EF I AB ∴.∠C=∠DEB,∠B=∠CEF, .△BDE∽△EFC: (2)2 【详解】(1)略 AF 1 (2)解：：FC=2,EF‖AB, BE AF 1 ·ECFC2' :BE=BC, 3 .BC=6, 服-6=-2 14.(1) 证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC.ADI BC .BE=DF,..AF=EC ∴.四边形AECF是平行四边形. :AE⊥BC,.∠AEC=90°. .四边形AECF是矩形. (②)h=3v2 【详解】(1)略 (2)解：BF平分∠ABC,AD‖BC, ∴.∠ABF=∠CBF=∠AFB ∴.AB=AF=6 在Rt△ABE中，AE=VAB2-BE2=V62-2=42 :四边形ABCD是平行四边形， AF∥BE ∴.△AHF∽△EHB AH AF 6 =3 HE BE 2 -4B-子45-35 -41