3.3 相似三角形判定定理的证明同步分层练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

3.3　相似三角形判定定理的证明　同步分层练习 （北师大版　九年级上册　第三章　图形的相似） 满分：100 分　时间：60 分钟　　 班级：__________　姓名：__________　学号：__________ 一、基础巩固（共 40 分） （一）选择题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1. 如图，直线 ₁∥₂∥₃，直线 AC 与直线 DF 被这组平行线所截，交点依次为 A、B、C 和 D、E、F。下列比例式中，不正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，在 △ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上。下列条件中，不能判定 DE∥BC 的是（　　） A. AD:DB=AE:EC B. AD:AB=AE:AC C. AB:DB=AC:EC D. AD:DB=AE:AC 3. 如图，直线 与一组间距相等的平行线相交，点 A、B、C 在同一条直线 l 上，依次位于第 1 条、第 3 条、第 6 条平行线上。若 AB=4 cm，则 BC 的长为（　　） A. 4 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 12 cm 4. 在用“平行线分线段成比例”证明“两角分别相等的两个三角形相似”时，教材采用的辅助线作法是：在 AB 上截取 AD=A′B′，过点 D 作 DE∥BC，交 AC 于点 E。关于这条辅助线的作用，下列说法正确的是（　　） A. 由 DE∥BC 即可直接得到 △ABC∽△A′B′C′ B. 由 DE∥BC 得到 △ADE∽△ABC，再证 △ADE≌△A′B′C′，从而得 △ABC∽△A′B′C′ C. 由 AD=A′B′ 可直接得到 △ADE≌△ABC D. 由 DE∥BC 可直接得到 △ADE≌△ABC 5. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠A=∠D=60°，AB=6，AC=8，DE=3，DF=4，则 △ABC 与 △DEF（　　） A. 相似，相似比为 2:1 B. 相似，相似比为 1:2 C. 不相似 D. 无法确定是否相似 6. 已知 △ABC 的三边长分别为 6、7.5、9，△DEF 的一边长为 4，且 △DEF∽△ABC，则 △DEF 的另两边长分别为（　　） A. 5，6 B. 5，6.5 C. 6，7.5 D. 8，10 （二）填空题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分） 7. 如图，在 △ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC。若 AD=3，DB=2，AE=4.5，则 EC=____________。 8. 补全“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的证明过程。 已知：在 △ABC 和 △A′B′C′ 中，∠A=∠A′，=。 求证：△ABC∽△A′B′C′。 证明：在 AB 上截取 AD=A′B′，过点 D 作 DE∥BC，交 AC 于点 E。 ∵ DE∥BC，∴ △ADE∽△ABC，∴ =。 ∵ AD=A′B′，∴ =。又 =，∴ AE=__________。 又 ∠A=∠A′，AD=A′B′，∴ △ADE≌△__________（SAS）。 ∴ △ABC∽△A′B′C′。 9. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，连接 AE 并延长，交 DC 的延长线于点 F。若 AB=6，则 DF=____________。 10. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，点 F 在 CD 上，且 △ABE∽△ECF。若 AB=4，则 CF=____________。 （三）解答题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分） 11.（5 分）已知：在 △ABC 和 △A′B′C′ 中，∠A=∠A′，∠B=∠B′。 求证：△ABC∽△A′B′C′ 12.（5 分）如图，在 △ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，且 AD:DB=AE:EC。 （1）求证：DE∥BC； （2）若 AD=3，DB=6，DE=4，求 BC 的长 二、综合运用（共 40 分） （一）选择题（本大题共 3 小题，每小题 3 分，共 9 分） 13. 在 △ABC 中，点 D 在边 AB 上，点 E 在边 AC 上，且 DE∥BC。若 AD=2，DB=4，则 AE:EC 等于（　　） A. 1:2 B. 2:1 C. 1:3 D. 2:3 14. 如图，AB∥CD，AC 与 BD 相交于点 O。若 AO=4，OC=6，BD=10，则 OB 的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 15. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是 BC 延长线上一点，连接 AE，交 CD 于点 F，则图中相似三角形共有（　　） A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对 （二）填空题（本大题共 3 小题，每小题 3 分，共 9 分） 16. 如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E 在对角线 AC 上，且 AE:CE=1:2。过点 E 作 EF⊥AB 于点 F，EG⊥BC 于点 G，则 DE 的长为____________。 17. 如图，AD 是 △ABC 的中线，点 E 是 AD 的中点，连接 BE 并延长交 AC 于点 F，则 AF:FC=____________。 18. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=5，点 E 在边 AD 上，且 AE=1，点 F 在边 CD 上，连接 BE、EF，且 EF⊥BE，则 DF=____________。 （三）解答题（本大题共 3 小题，共 22 分） 19.（7 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D。 （1）求证：△ACD∽△CBD； （2）若 AD=4，BD=9，求 CD 和 AC 的长。 20.（8 分）如图，点 D、E 在 △ABC 的边 BC 上，△ADE 是等边三角形，且 △ABD∽△CAE。若 BD=2，CE=8。 （1）求 ∠BAC 的度数； （2）求 △ADE 的周长。 21.（7 分）如图，在 △ABC 中，点 D 在边 AB 上，连接 CD，且 ∠ACD=∠B。 （1）求证：△ACD∽△ABC； （2）若 AD=4，BD=5，求 AC 的长； （3）求 △ACD 与 △ABC 的相似比。 三、拓展题（共 20 分） 22.（3 分）如图，点 D 在 △ABC 的边 BC 上，且 ∠BAD=∠C。若 AB=4，BD=2，则 CD 的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 23.（3 分）如图，在 △ABC 中，∠BAC=90°，点 D 是边 AB 的中点，点 E 在边 AC 上，DE∥BC，点 F 是 DE 的中点，连接 AF 并延长交 BC 于点 G。若 BC=12，则 FG=____________。 24.（6 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，BC=10，点 E 是边 BC 上一点，且 BE=6，DF⊥AE 于点 F。 （1）求证：△ABE∽△DFA； （2）求 DF 和 EF 的长。 25.（8 分）如图，在 △ABC 中，AB=AC=5，BC=8，点 D 是边 BC 上一点（不与点 B、C 重合），点 E 在边 AC 上，连接 AD、DE，且 ∠ADE=∠B。 （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若 BD=2，求 CE 的长； （3）若 CE=3，求 BD 的长。 参考答案与解析 题号 1 2 3 4 5 6 13 14 15 22 答案 D D B B A A A B C B 1. 【答案】D 【解析】∵ l₁∥l₂∥l₃，∴ =，A 正确；由比例的性质可得 =，B 正确；=，C 正确；D 中 =，左边是“上比下”，右边是“下比上”，与平行线分线段成比例所得的结论不符，D 错误。故选 D。 2. 【答案】D 【解析】由平行线分线段成比例可知，DE∥BC 等价于 AD:AB=AE:AC，也等价于 AD:DB=AE:EC，还等价于 AB:DB=AC:EC。A、B、C 均能判定 DE∥BC；D 中 AD:DB=AE:AC 的对应关系与 AD:DB=AE:EC 不一致，不能判定。故选 D。 3. 【答案】B 【解析】设相邻两条平行线间的距离为 d。点 A 与点 B 之间相隔 2 个距离 d，点 B 与点 C 之间相隔 3 个距离 d。由平行线分线段成比例，得 AB:BC=2:3。∵ AB=4 cm，∴ =，即 =，∴ BC=6 cm。故选 B。 4. 【答案】B 【解析】证明“两角分别相等的两个三角形相似”的思路是：先由 DE∥BC 得到 △ADE∽△ABC，再由 ∠A=∠A′、AD=A′B′、∠ADE=∠B=∠B′ 证得 △ADE≌△A′B′C′（ASA），最后由相似的传递性得到 △ABC∽△A′B′C′。A、C、D 均不正确。故选 B。 5. 【答案】A 【解析】∵ ==2，==2，∴ =。又 ∠A=∠D=60°，∴ △ABC∽△DEF（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似），相似比为 AB:DE=2:1。故选 A。 6. 【答案】A 【解析】∵ 6:7.5:9=4:5:6，∴ △ABC 三边之比为 4:5:6。∵ △DEF∽△ABC，且 △DEF 的一边长为 4，∴ △DEF 的三边长分别为 4、5、6（此时 4 对应 △ABC 中长为 6 的边），∴ 另两边长分别为 5 和 6。故选 A。 7. 【答案】3 【解析】∵ DE∥BC，∴ =。∵ AD=3，DB=2，AE=4.5，∴ =，∴ EC=3。 8. 【答案】A′C′；A′B′C′ 【解析】由 = 与 = 可得 =，∴ =，∴ AE=A′C′。又 ∠A=∠A′，AD=A′B′，∴ △ADE≌△A′B′C′（SAS）。∴ △ABC∽△A′B′C′。 9. 【答案】12 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB∥CD，AB=CD=6。∵ E 是 BC 的中点，∴ BE=CE。∵ AB∥CF，∴ ∠BAE=∠F，∠B=∠ECF，∴ △ABE≌△FCE（AAS），∴ CF=AB=6。∴ DF=DC+CF=6+6=12。 10. 【答案】1 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形，AB=4，∴ BC=4，∠B=∠C=90°。∵ E 是 BC 的中点，∴ BE=EC=2。∵ △ABE∽△ECF，∴ =，∴ =，∴ CF=1。 11. 【证明】在 AB 上截取 AD=A′B′，过点 D 作 DE∥BC，交 AC 于点 E。 ∵ DE∥BC，∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C，△ADE∽△ABC。∵ ∠B=∠B′，∴ ∠ADE=∠B′。∵ ∠A=∠A′，∠A+∠B+∠C=180°，∠A′+∠B′+∠C′=180°，∴ ∠C=∠C′，即 ∠AED=∠C′。在 △ADE 和 △A′B′C′ 中，∵ ∠A=∠A′，AD=A′B′，∠ADE=∠B′，∴ △ADE≌△A′B′C′（ASA）。∴ △ADE∽△A′B′C′。又 △ABC∽△ADE，∴ △ABC∽△A′B′C′。 12. 【答案】（1）见解析；（2）BC=12 （1）证明：∵ AD:DB=AE:EC，∴ =。又 ∠A=∠A，∴ △ADE∽△ABC，∴ ∠ADE=∠B，∴ DE∥BC。（2）解：∵ AD=3，DB=6，∴ AB=9。∵ △ADE∽△ABC，∴ =，即 =，∴ BC=12。 13. 【答案】A 【解析】∵ DE∥BC，∴ AE:EC=AD:DB=2:4=1:2。故选 A。 14. 【答案】B 【解析】∵ AB∥CD，∴ ∠A=∠C，∠B=∠D，∴ △AOB∽△COD，∴ =。∵ AO=4，OC=6，∴ ==。∵ BD=OB+OD=10，∴ OB=4。故选 B。 15. 【答案】C 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD∥BE，AB∥CD。∵ AD∥BE，∴ ∠ADF=∠E，又 ∠AFD=∠EFC，∴ △ADF∽△ECF。∵ AB∥CD，即 AB∥CF，∴ ∠ABE=∠FCE，∠BAE=∠CFE，∴ △ABE∽△FCE，即 △FCE∽△ABE。由相似的传递性得 △ADF∽△ABE。∴ 图中相似三角形共有 3 对。故选 C。 16. 【答案】2 【解析】设正方形 ABCD 的顶点分别为 A(0,0)、B(6,0)、C(6,6)、D(0,6)。∵ AC 是对角线，且 AE:CE=1:2，∴ AE:AC=1:3，点 E 的坐标为 (2,2)。∴ 点 E 到 AD 的距离为 2，到 CD 的距离为 6−2=4。过点 E 作 EH⊥CD 于点 H，则 DH=2，EH=4。在 Rt△DEH 中，DE====2。 17. 【答案】1:2 【解析】过点 D 作 DG∥BF，交 AC 于点 G。∵ D 是 BC 的中点，DG∥BF，∴ G 是 FC 的中点，即 FG=GC。∵ E 是 AD 的中点，EF∥DG，∴ F 是 AG 的中点，即 AF=FG。∴ AF=FG=GC，∴ AF:FC=AF:(FG+GC)=1:2。 18. 【答案】 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠A=∠D=90°，AD=BC=5。∵ EF⊥BE，∴ ∠BEF=90°，∴ ∠AEB+∠DEF=90°。在 Rt△ABE 中，∠AEB+∠ABE=90°，∴ ∠ABE=∠DEF。∴ △ABE∽△DEF，∴ =。∵ AE=1，AD=5，∴ DE=AD−AE=4，∴ =，∴ DF=。 19. 【答案】（1）见解析；（2）CD=6，AC=2 （1）证明：∵ CD⊥AB，∴ ∠ADC=∠CDB=90°。∵ ∠ACB=90°，∴ ∠A+∠ACD=90°。又 ∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°，∴ ∠A=∠BCD。在 △ACD 和 △CBD 中，∵ ∠ADC=∠CDB=90°，∠A=∠BCD，∴ △ACD∽△CBD。（2）解：∵ △ACD∽△CBD，∴ =，∴ CD²=AD·BD=4×9=36，∴ CD=6。在 Rt△ACD 中，AC====2。 20. 【答案】（1）120°；（2）12 （1）解：∵ △ADE 是等边三角形，∴ ∠ADE=∠AED=∠DAE=60°，AD=AE。∵ 点 D、E 在边 BC 上，∴ ∠ADB=180°−∠ADE=120°，∠AEC=180°−∠AED=120°。∵ △ABD∽△CAE，∴ ∠B=∠CAE，∠BAD=∠C。∴ ∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠EAC=∠C+60°+∠B。在 △ABC 中，∠B+∠C=180°−∠BAC，∴ ∠BAC=(180°−∠BAC)+60°，∴ 2∠BAC=240°，∴ ∠BAC=120°。（2）解：∵ △ABD∽△CAE，∴ =，∴ AD·AE=BD·CE。∵ AD=AE，∴ AD²=BD·CE=2×8=16，∴ AD=4（负值舍去）。∴ △ADE 的周长=3AD=12。 21. 【答案】（1）见解析；（2）AC=6；（3）2:3 （1）证明：在 △ACD 和 △ABC 中，∵ ∠A=∠A，∠ACD=∠B，∴ △ACD∽△ABC。（2）解：∵ △ACD∽△ABC，∴ =，∴ AC²=AD·AB。∵ AD=4，BD=5，∴ AB=9，∴ AC²=4×9=36，∴ AC=6（负值舍去）。（3）解：∵ △ACD∽△ABC，∴ 相似比=AC:AB=6:9=2:3。 22. 【答案】B 【解析】∵ ∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴ △ABD∽△CBA，∴ =，∴ AB²=BD·BC。∵ AB=4，BD=2，∴ 16=2BC，∴ BC=8，∴ CD=BC−BD=8−2=6。故选 B。 23. 【答案】3 【解析】∵ ∠BAC=90°，点 D 是 AB 的中点，DE∥BC，∴ DE 是 △ABC 的中位线，AE=EC，DE=BC=6。∵ F 是 DE 的中点，∴ DF=FE=3。∵ DF∥BG，∴ △AFD∽△AGB，∴ ==，∴ BG=2DF=6；同理 △AFE∽△AGC，∴ ==，∴ GC=2FE=6。∴ BG+GC=12=BC，即点 G 是 BC 的中点。∴ AG 是 Rt△ABC 斜边上的中线，∴ AG=BC=6。又 ==，∴ F 是 AG 的中点，∴ FG=AG=3。 24. 【答案】（1）见解析；（2）DF=8，EF=4 （1）证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠B=90°，AD∥BC，∴ ∠AEB=∠DAF。∵ DF⊥AE，∴ ∠DFA=90°，∴ ∠DFA=∠B。在 △ABE 和 △DFA 中，∵ ∠B=∠DFA，∠AEB=∠DAF，∴ △ABE∽△DFA。（2）解：在 Rt△ABE 中，AB=8，BE=6，∴ AE===10。∵ AD=BC=10，∴ AE=AD=10。∵ △ABE∽△DFA，∴ ==。∵ AE=DA=10，即相似比为 1，∴ DF=AB=8，AF=BE=6，∴ EF=AE−AF=10−6=4。 25. 【答案】（1）见解析；（2）CE=；（3）BD=3 或 BD=5 （1）证明：∵ AB=AC，∴ ∠B=∠C。∵ ∠ADC 是 △ABD 的外角，∴ ∠ADC=∠B+∠BAD。又 ∠ADC=∠ADE+∠EDC，且 ∠ADE=∠B，∴ ∠BAD=∠EDC。在 △ABD 和 △DCE 中，∵ ∠B=∠C，∠BAD=∠EDC，∴ △ABD∽△DCE。（2）解：∵ BC=8，BD=2，∴ DC=BC−BD=6。∵ △ABD∽△DCE，∴ =，即 =，∴ CE=。（3）解：设 BD=x，则 DC=8−x。∵ △ABD∽△DCE，∴ =，即 =，∴ x(8−x)=15，整理得 x²−8x+15=0，解得 x=3 或 x=5。∵ 0<x<8，∴ BD=3 或 BD=5。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $