3.3相似三角形判定定理的证明（分层作业，14大题型）数学新教材北师大版九年级上册

分层作业 3.3 相似三角形判定定理的证明 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 由平行线判断成比例的线段 题型02 判断比例式正误 题型03 作垂线构造平行线分线段成比例 题型04 作平行线构造平行线分线段成比例 题型05 平行线分线段成比例（逆定理） 题型06 由平行截线求相关线段的长或比值 题型07 “A”字型求值 题型08 “8”字型求值 题型09 多次利用平行线分线段成比例求解 题型10 利用平行判定相似 B组 能力进阶 题型01 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合 题型02 平行线分线段成比例与三角形的重心的综合 题型03 折叠中的相似三角形 C组 思维拔高 题型 相似三角形判定定理的证明·创新性问题 由平行线判断成比例的线段题型01 1．“等分”是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看就是将一条线段五等分．如图，过线段的一个端点A任意画一条射线，在上依次取五段相等的线段、、、、，连结，再分别过点、、、画的平行线，则这些平行线就恰好将线段平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线互相平行 B．两点确定一条直线 C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例． 根据平行线分线段成比例求解即可． 【详解】根据题意可得， 这些平行线就恰好将线段平均分成五等份， 其中蕴含的数学道理是两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 故选：C． 2．在中，点、分别在边、的延长线上，，那么下列线段比中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，根据平行线分线段成比例定理，即可得，则可求得答案． 【详解】， ， 与相等的是． 故选． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 3．如图所示，若，则．依据是______． 【答案】平行线分线段成比例定理 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理求解．掌握平行线分线段成比例定理是关键． 【详解】∵ ∴． ∴依据是平行线分线段成比例定理． 故答案为：平行线分线段成比例定理． 4．如下图，，．求证：． 【答案】 见解析 【分析】利用平行线分线段成比例即可证明． 【详解】证明：，， ，， ． 5．如图，已知正方形，E为边上一点，连接． (1)用尺规完成以下基本作图：（要求：不写作法，保留作图痕迹） ①在边上截取线段，使，连接，与交于点G； ②过点A作的垂线，垂足为H； (2)在（1）所作图形中，求证：，请补全下面的证明过程． 证明：∵ ， ∴，． 由（1）知， ∴， ∴ ． ∵， ∴． ∵是的一个外角， ∴ ． 由（1）知， ∴， ∴ ， ∴． 【答案】(1) 如图，、为所作； (2)正方形为正方形，，， 【分析】本题是相似形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，平行线分线段成比例， （1）①在上截取； ②过A点作的垂线得到； （2）先利用正方形的性质得到，，再证明得到，接着证明，所以，根据利用平行线分线段成比例定理得到结论． 【详解】（1）略 （2）证明：∵正方形为正方形， ∴，， 由（1）知， ， ， ∵， ． 是的一个外角， ， 由（1）知， ， ∴， ∴． 判断比例式正误题型02 1．如图，直线l1∥l2∥l3，两条直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，则下列比例式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：根据平行线分线段成比例定理，即可进行判断. 解：∵l1∥l2∥l3， ∴，，，. ∴选项A、B、C正确，D错误. 故选D. 点睛：本题是一道关于平行线分线段成比例的题目，掌握平行线分线段成比例的相关知识是解答本题的关键 2．如图，已知，，那么下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的推论，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，由此可解． 【详解】解：，， ，． ． 故选D． 3．如图，直线，直线分别交直线，，于点A，B，C，直线分别交直线，，于点D，E，F直线，交于点，则下列结论错误的是（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可． 【详解】解：， ，A选项成立，故不符合题意； ，B选项成立，故不符合题意； ，C选项不成立，故符合题意； ，D选项成立，故不符合题意； 故选C． 4．如图，，与交于点，过点作，交线段于点，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理一一判断即可． 【详解】解：对A、B选项．∵，， ∴， ∴，，故AB正确，不符合题意； C．∵，， ∴，故C正确，不符合题意； D．∵，而， ∴，故D错误，不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 5．如图，F是平行四边形的边上一点，直线交的延长线于点E，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由四边形是平行四边形，可得，，，，然后根据平行线分线段成比例定理，对各个结论进行分析即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，，，， 故①②④正确；故③错误； 故选C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质． 作垂线构造平行线分线段成比例题型03 1．如图，菱形中，点是的中点，垂直交延长线于点，若，，则菱形的边长是（    ）      A． B． C．5 D．6 【答案】D 【分析】过C作延长线于M，根据，设，由菱形的性质表示出，由平行线分线段成比例表示出，根据勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：过C作延长线于M，    ∵， ∴设， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∵菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得或（舍去）， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．属于拔高题． 2．已知，如图，中，是边上的中线，于B，且，求证：． 【答案】 证明：过点A作，交的延长线于E． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查等腰三角形的性质；三角形的中线,平行线分线段成比例，含30度角的直角三角形的性质．过点A作，交的延长线于E，可由平行线的判定得到，再由中位线的性质和含30度角的直角三角形的性质即可证明． 【详解】略 3．（24-25九年级上·江西新余·期末）如图，在中，，，E是上一动点，以为直角边构造等腰直角，，交于点F． (1)与的位置关系是 ； (2)若，当F为的中点时，求的长． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据，得，据此可得与的位置关系； （2）过点F作于H，先求出得，再由勾股定理求得的长，证为的中位线得，，证为等腰直角三角形得，据此可得的长． 【详解】（1）解：与的位置关系是：，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：过点F作于H，如图所示： 在中，，，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 又∵点F为的中点， ∴， ∴点H为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵为等腰三角形，且， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理，理解直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． 作平行线构造平行线分线段成比例题型04 1．（25-26九年级上·上海·月考）已知，求作，则下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，主要考查了第四比例线段的作法，要熟练掌握并灵活运用．根据第四比例线段的定义列出比例式，再根据平行线分线段成比例定理对各选项图形列出比例式即可得解． 【详解】解：即， ．根据作图可知：，符合题意，故该选项符合题意； ．根据作图可知：，不符合题意，故该选项不符合题意； ．线段x无法作出，不符合题意，故该选项不符合题意； ．线段x无法作出，不符合题意，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．如图，已知点F在上，且，点D是延长线上一点，，连接与交于点N，则__________． 【答案】或 【分析】过点F作，交AC于点E，求出，得出，根据已知推出，根据平行线分线段成比例定理推出，代入化简即可． 【详解】解：过点F作，交AC于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：平行线分的线段对应成比例，此题具有一定的代表性，但也是比较容易出错的题目，解题关键求出线段之间的关系． 3．如图，在中，是边上的中线，M是的中点，的延长线交于N．求证：．    【答案】 证明：过D作交于N，如图所示：   ，， ∵M为的中点， ， ， 是边上的中线， ， ， ， ∴． 【分析】过D作交于N，证明，，即可证明结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，正确作出辅助线是解题关键． 4．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)【问题探究】如图①，已知AD是的角平分线，求证：． 小红的证明思路是过点C作，交BA的延长线于点E，利用平行线分线段成比例的基本事实即可证明．请按照小红提供的思路，利用图①完成证明过程． (2)【尝试应用】如图②，在中，，D是边AB上一点，连接CD，将沿CD所在直线折叠，点A恰好落在边BC的中点E处．若，则AB的长为_________． 【答案】 （1）证明：如图，过点C作，交BA的延长线于点E． ， ． 平分， ， ， ． （2） 【分析】本题考查了平行线分线段成比例的应用——证明三角形角平分线分线段成比例及角平分线分线段成比例的运用，掌握平行线分线段成比例及折叠性质是解题的关键． （1）过点C作，交BA的延长线于点E．通过证明，再结合平分线分线段成比例即可求证； （2）利用折叠前后图形全等并利用（1）问的结论即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由折叠，得． E是BC的中点， ． 由折叠可知，CD是的平分线， ， ． 5．综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段上时，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 【答案】（1），； （2） ，理由如下： ， ， ； （3）或 【分析】由旋转的性质可得，，可得是等边三角形，可求，由可证≌，可得； 由全等三角形的性质可得，即可求解； 分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况讨论，通过证明∽，可得，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， 将绕点逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， ， ， ， 又，， ， ， 故答案为：，； （2）略 如图，当点在线段上时，过点作，交于， ，， ， ， ， ∽， ， 设， ，， ， ， ， ， ∽， ， ， ， ； 如图，当点在线段的延长线上时，过点作，交于， 同理可求：， 综上所述：的值为或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 平行线分线段成比例（逆定理）题型05 1．（25-26九年级上·上海·期中）在中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，一定能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的逆定理的应用，需注意比例线段的对应关系．根据平行线分线段成比例定理的逆定理，如果一条直线截三角形的两边所得对应线段成比例，则这条直线平行于第三边．选项A中比例关系符合逆定理条件，能推出；其他选项的比例关系不能保证平行． 【详解】解：选项A中，， 根据平行线分线段成比例定理的逆定理，则， 选项B、C、D的比例关系均不一定能推出，可排除， 故选：A 2．（24-25九年级上·上海·月考）在中，点D、E分别在边的延长线上（如图），下列四个选项中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可． 【详解】解：当时，，A选项正确，符合题意； 当时，不能判定，B、C选项错误，不符合题意； 当时，不能判定，D选项错误，不符合题意． 故选：A． 3．在中，点、分别在边和上，，，，要使，那么的长为_____． 【答案】4 【分析】本题考查成比例线段的应用，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键 ． 【详解】解：当时，， 则， ∴， 故答案为：4 ． 4．如图，交于点，，，，当______时，可与平行． 【答案】 【分析】本题考查平行线截线段对应成比例，根据平行线截线段对应成比例求解即可得到答案； 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 由平行截线求相关线段的长或比值题型06 1．如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由两条直线被三条平行线所截，可得，进行计算即可得出答案，熟练掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解此题的关键． 【详解】解：两条直线被三条平行线所截， ， ，， ， ， 故选：B． 2．如图，五线谱是世界上通用的一种记谱法，基本结构是由五条等距离的平行线组成．直线上的三个点，，都在平行线上．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．过点作过点的平行线于，交过点的平行线于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：如图，过点作过点的平行线于，交过点的平行线于， ， ，即， 解得：， 故选：A． 3．（25-26九年级上·四川成都·质检）如图，直线与交于点，，若，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线间的线段成比例，掌握知识点是解题的关键． 根据，得到，即，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选:D． 4．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点、、，和点、、．已知，，，则的长为_____． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，列出对应线段的比例式是解题关键． 依据平行线分线段成比例定理，列出对应线段的比例式，结合，代入，，求解得出的长度． 【详解】解：∵， ， 已知，设，则，再由，，可得： ， 化简后交叉相乘： ， ， 解得， 故． 答：． 5．如图，在中，，且，，，求的长．    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例． 根据平行线分线段成比例，可得，即可求解． 【详解】解：， ． ∵，，， ∴． “A”字型求值题型07 1．如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，，已知，，，则EC的长是（    ） A．14 B．6 C．10 D．8 【答案】D 【分析】由平行线分线段成比例定理得=，代入数据计算即可． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴=， 即=， 解得EC=8， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型． 2．如图，在中，分别是边上的点，，若，则等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由平行线得出，得出对应边成比例，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴， 即， 解得：， 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，点，分别在的边，上，且，若，，，则___________． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据得到，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 4．如图，两条直线相交于点在直线上，且是直线上任意一点，过作，交于点．若，求的长． 【答案】9 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，再代入数据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5．如图，在中，点为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点，若． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． （1）根据平行线分线段成比例定理得出即可得解； （2）根据平行线分线段成比例定理得出，再结合即可得解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． “8”字型求值题型08 1．如图，已知与相交于点，，如果，，，那么等于（   ） A． B． C．4 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，根据平行线分线段成比例定理，可得，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 即， ∴， 故选：C． 2．（25-26九年级上·贵州毕节·月考）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，，，都在格点上，线段与相交于点，(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是构造辅助线，通过平行线得到相似三角形，再利用相似比求解线段比例． 【详解】解：设每个小方格的边长为1，连接，． 由网格可知，与平行且， 易证， 因此， 即； 故选：A． 3．（25-26九年级上·黑龙江·期末）如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A．15 B．12 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，求得，则，由菱形的性质得，则，所以，则，求得于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， ， 四边形是菱形，点在上，点在的延长线上， ， ， ， ， ． 故选：D． 4．如图，D、E分别在的边的延长线上，，则______． 【答案】10 【分析】根据平行线分线段成比例解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 5．（25-26九年级上·陕西·期中）如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，且，，求线段的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是平行四边形， ，． ，． ∴四边形是平行四边形． ∵，． ∴四边形是矩形． (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）首先证明，，推出四边形是平行四边形，再证明即可解决问题； （2）在中，利用勾股定理求出的长，再证明，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：平分，， ． ． ∴在中，． ∵四边形是平行四边形， ． ∴． ． ． 多次利用平行线分线段成比例求解题型09 1．如图，在中，点、、分别在边、、上，且，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解题. 【详解】解：∵,, ∴,即 ∵, ∴ 故选B. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理,属于简单题,熟悉定理内容,找到平行线是解题关键. 2．如图， 点分别在的边上， ， 点在边上， 交 于点， 点是线段的中点， 若， 则___________． 【答案】 【分析】根据已知条件推出，根据平行线分线段成比例定理求出，推出，代入求出即可． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查学生对平行线分线段成比例定理的灵活运用，关键是检查学生能否熟练地运用平行线分线段定理进行推理． 3．（24-25九年级上·湖南衡阳·月考）如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长． 【答案】， 【分析】此题考查平行线分线段成比例，利用得到，求出，，根据得到，由此求出． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴，， ∵， ， ∴． 4．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，为对角线，、分别是边上的点，连接，且，、分别交于点、． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴； (2)3 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由即可得到，即可求证； （2）由平行四边形得到，则． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 5．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）． 若将图中的垂线改为斜交，如图，ABCD，AD，BC相交于点E，过点E作EFAB交BD于点F，则： (1)还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； (2)请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明． 【答案】(1)成立 (2) 【分析】（1）由题意知，两直线平行是很关键的条件，要根据三角形平行线分线段成比例，找出关系，然后相加就得到结果； （2）要用到第一问的结论，作出各个三角形的高，再把各面积用边表示出来，即可找到关系． 【详解】（1）成立．证明：∵  ABEF, 所以, ∵CDEF, ∴, ∴=1, ∴, （2）关系式为:, 证明如下:分别过A作AM⊥BD于M,过E作EN⊥BD于N,过C作CK⊥BD交BD的延长线于K, 由题设可得:, ∴, 又∵•BD•AM=S△ABD, =S△BCD ∴BD•EN=S△BED, ∴. 【点睛】此题考查平行线分线段成比例定理的运用，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 利用平行判定相似题型10 1．如图，在中，点E在边的延长线上，连接交于点F．图中的相似三角形有（   ）． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质和相似三角形的判定，掌握好利用平行线判定相似三角形的方法是关键． 根据平行线构成的相似模型来判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴，， 则和构成“A”字模型，故；和构成“8”字模型，所以， ∵，， ∴， ∴一共有3对相似三角形． 故选：C． 2．如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 【答案】 证明：方法一：、分别是、的中点， ，， ， ， ； 方法二：、分别是、的中点， ， ． 【分析】本题考查相似三角形的判定，中位线的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．方法一：利用先得出，再结合即可证明；方法二：先证明是的中位线，得出，即可证明． 【详解】略 3．如图，，找出图中所有的相似三角形． 【答案】，，，，， 【分析】根据“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”即可证得结论． 【详解】解：，，，，，，理由如下： ∵， ∴，，， ∴，，． 4．（25-26九年级上·期末）如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∴； (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平行线所截线段成比例是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（25-26九年级上·河南南阳·月考）我们已经知道“平行线分线段成比例”这个基本事实，请尝试应用这个基本事实，并结合角的关系，证明相似三角形的预备定理． 已知：如图，，并分别交、于点D、E． 求证：． 【答案】 证明：作交于点F． ∴， ∴． ∵， ∴，，， ∴． ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 又∵，，， ∴． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作交BC于点F，得到，得到，根据，推出，，，得到，接着证明，通过四边形DFCE是平行四边形，，得到，加上，，，从而得证． 【详解】略 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合题型01 1．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定及性质．熟练掌握中位线定理是解题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，再根据相似三角形的判定解答． 【详解】解：∵的中点M，N，的长为， ∴，，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 2．如图，在中，D、E分别为边的中点，连接，点F为边上一点，，连接交于点N，则下列结论中错误的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理，可推出,根据中位线定理分析求解． 【详解】解：∵D、E分别为边的中点， ∴. ∴ ∴,    . ∴. ∵， ∴. ∴. 所以，正确，错误； 故选：C 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，中位线定理；由平行线的位置关系得到线段间数量关系是解题的关键． 3．如图，在中，，点D，E分别是，的中点，若点F在线段上，且，则的度数为______． 【答案】或66度 【分析】延长交于G，先由中点定义，，中位线性质得，根据平行线分线段成比例，得到，又因从而由线段垂直平分线性质得，根据等边对等角可得，即可由三角形内角和定理求解． 【详解】解：延长交于G， ∵点D，E分别是，的中点. ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行线分线段成比例，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，延长延长交于G，证明是线段的垂直平分线是解题的关键． 4．如图，在中，，D是的中点，过点D作的平行线，交于点E，作的垂线，交于点F．若，且的面积为，则的长是______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，勾股定理等，过点A作于点H．根据D是的中点，，可得，即．同理可得，即．根据的面积为，可得，进而有，结合面积可得．结合，可得，问题随之得解． 【详解】过点A作于点H． ∵D是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∵D是的中点， ∴， ∴． ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴． 故答案为：． 5．中，D为中点，E为中点，直线交于F，求证：． 【答案】 证明：作的中点G，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理，作的中点G，连接，证明，即可得出，进而可证明，即可得出． 【详解】略 平行线分线段成比例与三角形的重心的综合题型02 1．如图，是的重心，延长交于点，延长交于点，，分别是和的重心，长为12，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】连接、，并延长，分别交于一点，连接、，由题意易得，，，，进而可求解． 【详解】解：连接、，并延长，分别交于一点，连接、，如图所示： ∵是的重心，延长交于点，延长交于点， ∴，， ∴，， 又∵分别是和的重心， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，熟练掌握三角形的重心及平行线所截线段成比例是解题的关键． 2．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，连接AE，BF，CD交于点G，AG：GE＝2：1，△ABC的面积为6，设△BDG的面积为S1，△CGF的面积为S2，则S1＋S2＝________． 【答案】2 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到,，分别计算出和，最后根据得到答案． 【详解】解：如下图所示，连接DF，过点G作 ，过点A作，垂足为O， MN交AO于点H, 得， ， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∵D、F是中点， ∴ ∴， ， ∵， 故答案为：2． 【点睛】本题考查三角形的中线、平行线分线段成比例定理，解题的关键是利用平行线分线段成比例定理计算出三角形高的比例． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图在的网格中，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图．（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） (1)在图1中，画出的重心； (2)在图2中，画线段，点在上，使得； 【答案】(1) 如图所示，重心点G即为所作： (2) 如图所示，即为所作： 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的重心和平行线分线段成比例的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据矩形的性质得到边的中点，再作出边上的中线，两条中线的交点即为重心G； （2）取格点M，N，连接交于点E，连接即可；根据可得，进而即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 4．如图，分别在一个单位长度网格线上，皆不为中点； (1)仅用直尺作出图一的中点； (2)仅用直尺作出图二的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（）根据平行线分线段成比例定理作图即可； （）根据三角形的重心及中线可进行求解； 本题考查了尺规作图，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）如图，根据平行线分线段成比例定理 ∴点即为所求； （2）在格点上取一点C，连接，根据（1）所作方法取的中点H、G，连接，交于一点R，然后连接并延长，交于一点D，则点D即为所求，所作图形如图所示： 折叠中的相似三角形题型03 1．如图，在等边中，，点D，E分别在，上，，将沿翻折后，点A落在点处．连结并延长，交于点M，交于点N．如果点为的中点，那么的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的折叠问题，平行线性质，等边三角形性质，解题的关键是运用比例求出，再求面积，利用沿翻折的特性求出，再，求得，再求出，利用求解即可． 【详解】解：沿翻折后，点A落在点处， ， 又为的中点， ， ， ， 是等边三角形，， ， ， ， 是的边上的高，中线及角平分线， ， ，， ， ， 故选：A． 2．如图是一张三角形纸片，沿边上的中线折叠，点落在点处，与相交于点，若与垂直，且，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变换—折叠，三角形中位线的性质、三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质，熟练掌握以上知识点、会添加适当的辅助线是解题的关键．取的中点，连接交于点，构造为的中位线， 得到，，即，，得出，由折叠的性质得，进而证明，得出，，由，得，即，推出，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，取的中点，作射线交于点， 为的中线， 为的中点， 为的中点， ，， 与垂直，， ，， ， 三角形沿边上的中线折叠， ，，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为． 3．如图，将边长为3的正方形纸片沿三等分线向上折叠，使边翻折至再展开，点P为线段上一点，将沿翻折，得到，连接，，使得恰好是以为底的等腰三角形，则______． 【答案】或 【分析】过点作，交于点，交于点，根据正方形的性质，折叠的性质，以及等腰三角形三线合一推出为的中点，平行线分线段成比例，得到为的中点，设，得到，勾股定理求出的长，进而表示出的长，中位线定理表示出的长，再利用勾股定理求出的值，进而求出的值，利用，即可得出结果． 【详解】解：过点作，交于点，交于点， ∵将边长为3的正方形纸片沿三等分线向上折叠， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵将沿翻折，得到， ∴， ∵恰好是以为底的等腰三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为的中点， ∴， 设，则：，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的折叠问题，矩形的判定和性质，斜边上的中线，平行线分线段成比例，三角形的中位线，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的作出辅助线，是解题的关键． 相似三角形判定定理的证明·创新性问题题型 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）野外考察队根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例，推导与之比等于所对应的海拔差之比是解题关键．画出示意图分别求得与、与的海拔差，求比值即可． 【详解】解：经过线段且垂直海平面的平面截面图如下， 其中垂直海平面，垂直于点D，垂直于点E， 则点的海拔为，点的海拔为，点的海拔为， ∴，，， 图可知与的海拔差为， 与的海拔差为， ∵， 则． 故选：B． 2．如图△ACB，∠ACB=90°，点O是AB的中点，CD平分∠BCO交AB于点D，作AE⊥CD分别交CO、BC于点G，E． 记△AGO的面积为S1，△AEB的面积为S2，当＝时，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接BG，过点O作OT∥AE交BC于点T，首先证明，再利用平行线分线段成比例求解即可． 【详解】解：如图所示，连接BG，过点O作OT∥AE交BC于点T， ∵点O是AB的中点， ∴AO=OB， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵OT∥AE，AO=BO， ∴ET=TB， ∴OT=AE， ∴， ∵AE⊥CD，CD平分∠BCO， ∴∠DCG=∠DCE， ∴∠CGE+∠DCG=90°，∠CEG+∠DCB=90°， ∴∠CGE=∠CEG， ∴CG=CE， ∵∠CGE=∠COT，∠CEG=∠CTO， ∴∠COT=∠CTO， ∴CO=CT， ∴OG=ET， ∵GE∥OT， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】题目主要考查平行线分线段成比例，三角形的面积，三角形中位线定理等，理解题意，学会添加辅助线，构造平行线是解题关键． 3．在Rt△ABC纸片上剪出7个如图所示的正方形，点E，F落在AB边上，每个正方形的边长为1，则Rt△ABC的面积为_____． 【答案】 【分析】如图，设AH=x，GB=y，利用平行线分线段成比例定理，构建方程组求出x，y即可解决问题． 【详解】解：如图，设AH＝x，GB＝y， ∵EH∥BC， ， ∵FG∥AC， ， 由①②可得x＝，y＝2， ∴AC＝，BC＝7， ∴S△ABC＝， 故答案为． 【点睛】本题考查图形的相似，平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型． 4．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，为矩形的对角线，N是边上的中点，请用尺规作图法在对角线上求作一点M，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点M即为所求．（答案不唯一） 【分析】本题考查了作垂直平分线，相似三角形的判定． 作线段的垂直平分线交于M即可． 【详解】解：证明：∵N是边上的中点， ∴N在线段的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴． 5．（25-26九年级上·广东深圳·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D均在格点上． (1)在图1中，，相交于点P，则的值为 ； (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法； ①如图2，在线段AB上找一点P，使AP＝4； ②如图3，在线段BC上找一点P，使． 【答案】(1) (2) ①如图， ②如图， 【分析】本题考查了网格中的作图题，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，通过作图构造相似三角形是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定与性质求解即可； （2）①格点C，D满足：，，，连接，交于点P，根据相似三角形的判定与性质求解即可； ②格点D，E满足：，，，连接，交于点P，根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：格点C，D满足：，，，连接，交于点P， 则，理由如下： ， ， ， ， ； ②格点D，E满足：，，，连接，交于点P，则，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 5， ． 6．（25-26九年级上·北京·期中）下面是相似三角形的判定定理： 相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 已知：如图，在和中，，． 求证：． 请你完成此定理的证明过程． 【答案】 证明：在上取点M，使，过点M作交于点N． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，在上取点M，使，过点M作交于点N，即可得到，根据对应边成比例求出，然后根据证明即可得到结论． 【详解】略 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.3 相似三角形判定定理的证明 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 由平行线判断成比例的线段 题型02 判断比例式正误 题型03 作垂线构造平行线分线段成比例 题型04 作平行线构造平行线分线段成比例 题型05 平行线分线段成比例（逆定理） 题型06 由平行截线求相关线段的长或比值 题型07 “A”字型求值 题型08 “8”字型求值 题型09 多次利用平行线分线段成比例求解 题型10 利用平行判定相似 B组 能力进阶 题型01 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合 题型02 平行线分线段成比例与三角形的重心的综合 题型03 折叠中的相似三角形 C组 思维拔高 题型 相似三角形判定定理的证明·创新性问题 由平行线判断成比例的线段题型01 1．“等分”是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看就是将一条线段五等分．如图，过线段的一个端点A任意画一条射线，在上依次取五段相等的线段、、、、，连结，再分别过点、、、画的平行线，则这些平行线就恰好将线段平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是（    ） A．平行于同一条直线的两条直线互相平行 B．两点确定一条直线 C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 2．在中，点、分别在边、的延长线上，，那么下列线段比中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，若，则．依据是______． 4．如下图，，．求证：． 5．如图，已知正方形，E为边上一点，连接． (1)用尺规完成以下基本作图：（要求：不写作法，保留作图痕迹） ①在边上截取线段，使，连接，与交于点G； ②过点A作的垂线，垂足为H； (2)在（1）所作图形中，求证：，请补全下面的证明过程． 证明：∵ ， ∴，． 由（1）知， ∴， ∴ ． ∵， ∴． ∵是的一个外角， ∴ ． 由（1）知， ∴， ∴ ， ∴． 判断比例式正误题型02 1．如图，直线l1∥l2∥l3，两条直线AC和DF与l1，l2，l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，则下列比例式不正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知，，那么下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线，直线分别交直线，，于点A，B，C，直线分别交直线，，于点D，E，F直线，交于点，则下列结论错误的是（   ）      A． B． C． D． 4．如图，，与交于点，过点作，交线段于点，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，F是平行四边形的边上一点，直线交的延长线于点E，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 作垂线构造平行线分线段成比例题型03 1．如图，菱形中，点是的中点，垂直交延长线于点，若，，则菱形的边长是（    ）      A． B． C．5 D．6 2．已知，如图，中，是边上的中线，于B，且，求证：． 3．（24-25九年级上·江西新余·期末）如图，在中，，，E是上一动点，以为直角边构造等腰直角，，交于点F． (1)与的位置关系是 ； (2)若，当F为的中点时，求的长． 作平行线构造平行线分线段成比例题型04 1．（25-26九年级上·上海·月考）已知，求作，则下列作图正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知点F在上，且，点D是延长线上一点，，连接与交于点N，则__________． 3．如图，在中，是边上的中线，M是的中点，的延长线交于N．求证：．    4．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)【问题探究】如图①，已知AD是的角平分线，求证：． 小红的证明思路是过点C作，交BA的延长线于点E，利用平行线分线段成比例的基本事实即可证明．请按照小红提供的思路，利用图①完成证明过程． (2)【尝试应用】如图②，在中，，D是边AB上一点，连接CD，将沿CD所在直线折叠，点A恰好落在边BC的中点E处．若，则AB的长为_________． 5．综合与实践：如图，是等边三角形，点是射线上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． 观察发现 （1）______，______； 迁移探究 （2）当点在线段上时，请判断线段，，三条线段之间的数量关系，并说明理由； 拓展应用 （3）若点在射线上，直线和直线相交于点，且，请直接写出的值． 平行线分线段成比例（逆定理）题型05 1．（25-26九年级上·上海·期中）在中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，一定能判断的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·月考）在中，点D、E分别在边的延长线上（如图），下列四个选项中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．在中，点、分别在边和上，，，，要使，那么的长为_____． 4．如图，交于点，，，，当______时，可与平行． 由平行截线求相关线段的长或比值题型06 1．如图，两条直线被三条平行线所截，若，，则为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．如图，五线谱是世界上通用的一种记谱法，基本结构是由五条等距离的平行线组成．直线上的三个点，，都在平行线上．若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26九年级上·四川成都·质检）如图，直线与交于点，，若，则 的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点、、，和点、、．已知，，，则的长为_____． 5．如图，在中，，且，，，求的长．    “A”字型求值题型07 1．如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，，已知，，，则EC的长是（    ） A．14 B．6 C．10 D．8 2．如图，在中，分别是边上的点，，若，则等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，点，分别在的边，上，且，若，，，则___________． 4．如图，两条直线相交于点在直线上，且是直线上任意一点，过作，交于点．若，求的长． 5．如图，在中，点为上一点，且，过点作交于点，连接，过点作交于点，若． (1)求的长； (2)求的长． “8”字型求值题型08 1．如图，已知与相交于点，，如果，，，那么等于（   ） A． B． C．4 D．9 2．（25-26九年级上·贵州毕节·月考）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，，，都在格点上，线段与相交于点，(　　) A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·黑龙江·期末）如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A．15 B．12 C．10 D．9 4．如图，D、E分别在的边的延长线上，，则______． 5．（25-26九年级上·陕西·期中）如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，且，，求线段的长． 多次利用平行线分线段成比例求解题型09 1．如图，在中，点、、分别在边、、上，且，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图， 点分别在的边上， ， 点在边上， 交 于点， 点是线段的中点， 若， 则___________． 3．（24-25九年级上·湖南衡阳·月考）如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长． 4．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，为对角线，、分别是边上的点，连接，且，、分别交于点、． (1)求证：； (2)若，求的值． 5．已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）． 若将图中的垂线改为斜交，如图，ABCD，AD，BC相交于点E，过点E作EFAB交BD于点F，则： (1)还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； (2)请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明． 利用平行判定相似题型10 1．如图，在中，点E在边的延长线上，连接交于点F．图中的相似三角形有（   ）． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 2．如图，中，已知、分别是、的中点，求证：． 3．如图，，找出图中所有的相似三角形． 4．（25-26九年级上·期末）如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 5．（25-26九年级上·河南南阳·月考）我们已经知道“平行线分线段成比例”这个基本事实，请尝试应用这个基本事实，并结合角的关系，证明相似三角形的预备定理． 已知：如图，，并分别交、于点D、E． 求证：． 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合题型01 1．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，D、E分别为边的中点，连接，点F为边上一点，，连接交于点N，则下列结论中错误的是（　　）    A． B． C． D． 3．如图，在中，，点D，E分别是，的中点，若点F在线段上，且，则的度数为______． 4．如图，在中，，D是的中点，过点D作的平行线，交于点E，作的垂线，交于点F．若，且的面积为，则的长是______． 5．中，D为中点，E为中点，直线交于F，求证：． 平行线分线段成比例与三角形的重心的综合题型02 1．如图，是的重心，延长交于点，延长交于点，，分别是和的重心，长为12，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 2．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，连接AE，BF，CD交于点G，AG：GE＝2：1，△ABC的面积为6，设△BDG的面积为S1，△CGF的面积为S2，则S1＋S2＝________． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图在的网格中，的顶点都在格点上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图．（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） (1)在图1中，画出的重心； (2)在图2中，画线段，点在上，使得； 4．如图，分别在一个单位长度网格线上，皆不为中点； (1)仅用直尺作出图一的中点； (2)仅用直尺作出图二的中点． 折叠中的相似三角形题型03 1．如图，在等边中，，点D，E分别在，上，，将沿翻折后，点A落在点处．连结并延长，交于点M，交于点N．如果点为的中点，那么的面积为（　　） A． B． C． D． 2．如图是一张三角形纸片，沿边上的中线折叠，点落在点处，与相交于点，若与垂直，且，则的长为___________． 3．如图，将边长为3的正方形纸片沿三等分线向上折叠，使边翻折至再展开，点P为线段上一点，将沿翻折，得到，连接，，使得恰好是以为底的等腰三角形，则______． 相似三角形判定定理的证明·创新性问题题型 1．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）野外考察队根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（    ） A． B． C． D．2 2．如图△ACB，∠ACB=90°，点O是AB的中点，CD平分∠BCO交AB于点D，作AE⊥CD分别交CO、BC于点G，E． 记△AGO的面积为S1，△AEB的面积为S2，当＝时，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．在Rt△ABC纸片上剪出7个如图所示的正方形，点E，F落在AB边上，每个正方形的边长为1，则Rt△ABC的面积为_____． 4．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，为矩形的对角线，N是边上的中点，请用尺规作图法在对角线上求作一点M，使．（保留作图痕迹，不写作法） 5．（25-26九年级上·广东深圳·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D均在格点上． (1)在图1中，，相交于点P，则的值为 ； (2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法； ①如图2，在线段AB上找一点P，使AP＝4； ②如图3，在线段BC上找一点P，使． 6．（25-26九年级上·北京·期中）下面是相似三角形的判定定理： 相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 已知：如图，在和中，，． 求证：． 请你完成此定理的证明过程． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $