3.1 相似多边形常见的三种题型 训练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.1 相似多边形常见的三种题型 目　录 题型一　成比例线段与比例的性质 题型二　相似多边形的性质与相似比 题型三　相似多边形的综合应用 题型一　成比例线段与比例的性质 【解题技巧】判断四条线段是否成比例：先把线段统一单位，再按从小到大排序，验证“最长×最短＝另两线段之积”，即；求比例中项：若 m 是 a、b 的比例中项，则；比例基本性质：。 1．已知线段，，则a，b的比例中项线段等于（    ） A．36 B．5 C．2 D．6 2．下列四组线段中，不能构成成比例线段的是（　　） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．下列四组线段中，成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4．已知，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长是（  ） A． B． C． D． 5．下列四组线段是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 6．已知三个数3，4，6，如果再添加一个数使得这四个数成比例，那么这个数可以是（    ） A．4 B．3 C．2 D．5 7．已知线段x、y，且，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．， D．， 8．在比例尺是的地图上，延陵西路的长度约为，该路段的实际长度约为（     ） A． B． C． D． 9．四条线段a，b，c，d成比例，其中，则线段c的长为（　　） A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm 10．已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为（     ） A．10 B．5 C． D． 11．若，则______；若m是5和4的比例中项，则______ 12．已知线段是成比例线段，其中，，，则线段的长为_________． 13．数是数和数的比例中项，若，，则数的值为____ 14．已知长度分别为x、2、y、3的四条线段依次成比例，且，求x和y的值． 题型二　相似多边形的性质与相似比 【解题技巧】相似多边形对应角相等、对应边成比例；相似比等于对应边之比；周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 1．如图，有甲、乙、丙、丁四个矩形，其中相似的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 2．将等边三角形，菱形，矩形，正方形各边向外平移1个单位并适当延长，得到如图所示的4组图形，变化前后的两个多边形一定相似的有（　　） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 3．下列说法正确的是（　　） A．两个等腰三角形一定相似 B．两个等边三角形一定相似 C．两个矩形一定相似 D．两个直角三角形一定相似 4．在学校的科技活动中，同学们使用复印机放大图片．如图，小雨将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的矩形的宽为，那么放大后的矩形的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图所示的两个四边形相似，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 6．两个相似多边形一组对应边分别为，，那么它们的相似比为（   ） A．3∶2 B．2∶3 C．4：9 D．9∶4 7．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（　　） A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1 8．如图，四边形四边形，则的度数是____________． 9．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝较短的那条对角线长度为______． 10．如图，四边形四边形，若，，，则______. 11．若两个相似多边形的相似比为，较小的多边形面积为5，求较大的多边形面积． 题型三　相似多边形的综合应用 【解题技巧】先确定图形中的相似多边形，设未知数，利用对应边成比例（即相似比）列比例式（方程），求出未知量；矩形、折叠、分割等图形中常需借助相似关系建立等量关系。 1．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点A落在点H处， 折痕为； 使边落在边上， 点B落在点G处， 折痕为． 若矩形与原矩形相似，， 则的长为____________． 2．如图，矩形的边，点E、F分别在边上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为______．    3．在长，宽的矩形中截去一个矩形（阴影部分），使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为____． 4．已知四边形四边形，，若，则的长为____________． 5．如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则__________． 6．如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点F．若，则的长为________． 7．一个矩形的较短边长为2． (1)如图1，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求的长； (2)如图2，已知矩形的另一边长为4，剪去一个矩形后，余下的矩形与原矩形相似，求矩形的面积． 8．阅读下列材料，完成任务： 自相似图形定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形中，点E、F、G、H分别是边的中点，连接，交于点O，易知分割成的四个四边形均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．    (1)图1正方形分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为 ； (2)如图2，已知中，，，，小明发现也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作于点D，则将分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知，则与的相似比为 ； (3)现有一个矩形是自相似图形，其中长，宽． ①如图，若将矩形纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则____（用含b的式子表示）； ②如图若将矩形纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则 （用含n，b的式子表示）； (4)现有一个矩形是自相似图形，其中长，宽 ①如图，若将矩形先纵向分割出2个全等矩形（为长），再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形（为长），且分割得到的矩形与原矩形都相似，则 （用含b的式子表示）； ②如图，若将矩形先纵向分割出m个全等矩形（为长），再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形（为长），且分割得到的矩形与原矩形都相似，则 （用含m，n，b的式子表示）． 参考答案 题型一　成比例线段与比例的性质 1．D 【详解】解：设a，b的比例中项线段为c， 则， ∵， ∴． 故选：D． 2．B 【详解】选项A：∵ ，两者相等，成比例，故本选项不符合题意； 选项B：∵，不成比例，故本选项符合题意； 选项C：∵ ，两者相等，成比例，故本选项不符合题意； 选项D：∵ ，两者相等，成比例，故本选项不符合题意； 因此，不能构成成比例线段的是B． 故选B． 3．D 【详解】A．，，，不成比例，故本选项不符合题意； B．，，，不成比例，故本选项不符合题意； C．，，，，不成比例，故本选项不符合题意； D．，，两者相等，成比例，故本选项符合题意； 故选：D． 4．D 【详解】解：∵是成比例的线段， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故选：． 5．B 【详解】解：A、，这些线段不是成比例线段，故该选项错误； B、，这些线段是成比例线段，故该选项正确； C、，这些线段不是成比例线段，故该选项错误； D、，这些线段不是成比例线段，故该选项错误； 故选B． 6．C 【详解】解：A、，添加的数不可以是4，故A不符合题意； B、，添加的数不可以是3，故B不符合题意； C、，添加是数可以是2，故C符合题意； D、，添加是数不可以是5，故D不符合题意； 故选：C． 7．C 【详解】解：， ，故A正确，不符合题意； ，故B正确，不符合题意； ， 故不一定是，不一定是，故C错误，符合题意； ， ，，故D正确，不符合题意； 故选：C． 8．D 【详解】解：设它的实际长度为， 根据题意得： 解得：， ∵ ∴该路段实际长度约为 故选：D． 9．B 【详解】解：∵四条线段a，b，c，d成比例， ∴， ∴， 故选B． 10．C 【详解】解：∵， ∴，，． ∵， ∴． 11． 【详解】解：∵， 设， ∴， 故答案为： ∵m是5和4的比例中项， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【详解】解：∵线段是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴，即：， 故答案为：． 13． 【详解】解：∵数是数和数的比例中项， ∴ ∴， 故答案为：． 14．， 【详解】解：由四条线段依次成比例可得，根据比例的基本性质得：， 联立已知条件，得方程组：， 将代入中，得： 解得． 将代入，得： 解得． 所以，，． 题型二　相似多边形的性质与相似比 1．A 【详解】解：A、，对应边成比例，且对应角相等，甲和乙相似，符合题意； B、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； C、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； D、，对应角相等，但对应边不成比例，乙和丙不相似，不符合题意； 故选：A． 2．C 【详解】解：∵等边三角形，正方形，菱形的边长都相等， ∴经过平移后，等边三角形，正方形，菱形的对应边成比例，对应角相等， ∴等边三角形，正方形，菱形变化前后的两个多边形一定相似， 矩形变化前后虽然对应角相等，但是对应边不一定成比例，即矩形变化前后两个多边形不一定相似， ∴变化前后的两个多边形一定相似的有3组， 故选C． 3．B 【详解】解：A、两个顶角或底角相等的等腰三角形一定相似，故本选项不符合题意； B、两个等边三角形一定相似，故本选项符合题意； C、两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，故本选项不符合题意； D、两个直角三角形的两个锐角不一定对应相等，不一定相似，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．A 【详解】解：设放大后的长为． 由题意：， 解得：． 所以放大后的矩形的长为． 故选：A． 5．B 【详解】解：∵两个四边形相似， ∴， ∴，， 故只有选项B是错误的； 故选B． 6．B 【详解】解：依题意，它们的相似比为， 故选：B． 7．B 【详解】解：∵两个相似多边形的面积之比为1：4， ∴这两个相似多边形的相似之比为1：2， ∴这两个相似多边形的周长之比为1：2， 故选B． 8．/度 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∴． 9．90 【详解】解：∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， ∴大风筝和小风筝相似，相似比为， ∴大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长， ∴大风筝较短的那条对角线长度为． 10．/度 【详解】解：四边形四边形， ， 又，， ， 故答案为：． 11． 45 【详解】解： ∵两个相似多边形的相似比为， ∴它们的面积比为， 设较大多边形的面积为， ∵较小多边形的面积为5， ∴， 解得， ∴较大的多边形面积为． 题型三　相似多边形的综合应用 1．/ 【详解】解：设， ∵四边形是一张矩形纸片， ∴，， 由折叠的性质得，，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：． 2．/ 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴， 故答案为：． 3．8 【详解】解：原矩形的长宽之比为， ∵留下的矩形与矩形相似， ∴留下的矩形长宽之比为， 由图可知，留下的矩形的长为， ∴留下的矩形的宽为， ∴留下的矩形的面积为． 4． 【详解】解：∵ 四边形四边形， ∴ ∵， ∴ 把代入比例式得， 解得． 5． 【详解】解：∵将矩形划分成四个全等的矩形， ∴小矩形的宽为，长为， ∵矩形的宽为，长为，且小矩形与原矩形相似， ∴， ∴， ∵，， ∴，即． 6．2 【详解】解：四边形是矩形， ， 点E是的中点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 7．(1) (2)2 【详解】（1）解：由题意得，， ∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似， ∴矩形与矩形相似， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：∵矩形与原矩形相似， ∴， ∵，， ∴， ∴矩形的面积． 8．(1) (2) (3)①；② (4)①；② 【详解】（1）解：∵点是的中点， ， ∵正方形正方形， ∴相似比为：， 故答案为：； （2）解：在 中，，根据勾股定理得，， ∴与相似的相似比为：， 故答案为：； （3）解：①∵矩形矩形， ， 即， ， 故答案为：；    ②每个小矩形都是全等的，则其边长为和， 同①，则， ， 故答案为：； （4）解：①如图2，    由题意可知纵向 2 块矩形全等，横向 3 块矩形也全等， ， 是矩形的长， 则矩形矩形， ， 即， 解得：， ， ， ∵矩形矩形， ， 即， 得：； 故答案为：； ②如图3，    由题意可知纵向块矩形全等，横向块矩形也全等， ， ∵是矩形的长， ∵矩形矩形， ， 即， 解得， ， ， ∵矩形矩形， ， 即， 得：； 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $