专题14 相似相关解答题 分类训练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册（重庆专用）

**基本信息** 聚焦相似三角形6大题型48道题，以分层训练构建从基础作图到压轴证明的完整能力链，渗透几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |网格作图|8题|位似变换与格点作图|从图形变换直观感知相似本质| |基础解答|8题|性质应用与简单证明|强化“判定-性质”双向推理| |求高应用|8题|实际场景建模计算|体现数学建模与应用意识| |动点问题|8题|动态过程中的相似存在性|培养动态思维与分类讨论能力| |数量关系探究|8题|旋转/折叠中的线段关系|深化相似与变换的综合应用| |压轴证明|8题|多问递进式综合证明|构建“性质-判定-拓展”逻辑链条|

专题14 相似相关解答题分类训练 （6种类型48道） 专题目录 【类型1 相似相关网格作图】 1 【类型2 相似相关基础解答题】 4 【类型3 利用相似三角形求高】 7 【类型4 相似相关动点问题】 10 【类型4 相似相关探究数量关系】 13 【类型6 相似相关几何证明压轴题】 17 【类型1 相似相关网格作图】 1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的； (2)直接写出点的坐标为________，的长为________． 2．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中利用网格和无刻度直尺描出边上一点，使得； (2)以点为位似中心，将放大得到，使得点的对应点为，请在所给的网格图中画出． 3．网格画图：如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），在图中，D，E分别是边与网格线的交点．根据题中要求，用无刻度直尺画图，保留作图痕迹． (1)画中线，高； (2)在上找到一点M，使； (3)利用网格在找一点G，使线段，并直接写出的长． 4．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，图中的点A、B、C、D均在格点上．    (1)在图①中，的值为 ； (2)如图②，在线段上找一点P，使（利用网格和无刻度直尺作图，保留痕迹，不写作法）； (3)图③是的正方形网格，的顶点均在格点上，利用网格和无刻度的直尺作图，分别在边上画出点M、N，连接MN，使得，且相似比 5．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 正方形网格是认识数和形的绝好途径．在网格中构造几何图形具有直观性和可操作性，网格中的数学问题具有显著的数形结合和转化的特征．下面网格图中每个小正方形的边长都为1． 如图1，点A、B、C、D都是格点，连接AC，BD交于点O，则AC，BD互相平分． 如图2，点A、B、C、D都是格点，连接AC，BD交于点M，则点M是线段AC的四等分点． 任务一：请你观察图1，连接AD、DC、CB、AB，则AC，BD互相平分，其理由是 ． 任务二：请你观察图2，说明点M是AC的四等分点的理由． 任务三：在下面网格图中按要求作图．要求：①仅用无刻度直尺；②保留必要的思考痕迹． 在图3中的线段BC上作两点M、N，使得△ABM与△ABN都为等腰三角形． 6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点（网格线的交点）上，已知点的坐标为． (1)以点为位似中心，在所给的网格内画出，使与位似，且点的坐标为． (2)求的面积． 7．如图，在平面直角坐标系中，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和点的坐标分别为和．    (1)以原点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出； (2)在所给的网格图中描出边的中点M，并写出点M的坐标． 8．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A、B、C、D四点均在正方形网格的格点上，线段相交于点E． （1）请在网格图中画两条线段（不添加另外的字母），构成一对相似三角形，并用“”符号写出这对相似三角形； （2）求线段的长． 【类型2 相似相关基础解答题】 9．如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，，，． (1)求的长； (2)如果，则求的长． 10．如图，四边形和四边形都是正方形，点C、F、G在一条直线上，连结并延长交边于点M． (1)求证：． (2)若，，求正方形的面积． (3)直接写出的值． 11．如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 12．如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E． (1)如图1，若四边形是正方形，求的长； (2)如图2，若四边形是矩形，且．求、的长． 13．如图，在菱形中，，，点E是边的中点，连接，，． (1)求的长； (2)点F为边上的一点，连接交于点G，连接，．求证：． 14．如图，在中，D为边一点，E为边中点，过C作交的延长线于点F，延长与延长线交于点G． (1)求证：． (2)若，求的长． 15．已知：如图，四边形是平行四边形，分别以、为腰作等腰三角形和等腰三角形，且顶角，连接、相交于点G，与相交于点H． (1)求证：； (2)当线段满足时，求证：四边形是菱形． 16．如图，在菱形中，连接对角线、，过点作于点，点在边上，且． (1)求证：； (2)连接，请你判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，求与的面积之比． 【类型3 利用相似三角形求高】 17．如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 18．真身宝塔是法门寺的主要建筑之一，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名，初为“圣冢”，唐代建四级木塔，明代改建砖塔．乐乐所在的“综合与实践”小组开展了测量“真身宝塔（如图）高度”的实践活动，方法如下：在地面上C处，垂直于地面竖立高度为的标杆，此时地面上的点E，标杆的顶端点D，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上；然后将标杆向左平移到点G处，此时地面上的点F，标杆的顶端点H，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上．已知点F，G，E，C与真身宝塔底处的点A在同一直线上，，，，根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出真身宝塔的高度． 19．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 20．如图，路灯（P点）距地面米，身高米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿所在直线行走14米到B点时． (1)求小明在A点处的影子的长度； (2)当小明从A点走到B点，影子是变长了还是缩短了？并求出变长或变短了多少米？ 21．为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 22．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上．求反射点到木板的距离BC的长． 23．“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图①），把“矩”竖立放置可以测量物体的高度．如图②，将“矩”的边放在水平地面上，不断调整“矩”的位置，使木杆的顶端与，在一条直线上，并测得．已知“矩”的边，，，图中所有点均在同一平面内，求木杆的高度． 24．某中学数学兴趣小组利用周末时间测量樱花树下的石碑与远处一座实验楼之间的距离（石碑与实验楼之间被小樱花树林隔开，不能直接测量），他们采用以下方法：如图，把支架放在石碑旁水平地面上的点处，再把一面平面镜水平放在支架上的点处（平面镜大小忽略不计），然后沿着直线移动至点处，这时恰好在镜子里看到实验楼的顶端的像，已知米，米，实验楼的高度米，观测者的目高米，已知，图中所有的点都在同一平面内，求石碑与实验楼之间的距离． 【类型4 相似相关动点问题】 25．如图，菱形ABCD的边长为48cm，∠A=60°，动点P从点A出发，沿着线路AB-BD做匀速运动，动点Q从点D同时出发，沿着线路DC-CB-BA做匀速运动． （1）求BD的长； （2）已知动点P、Q运动的速度分别为8cm/s、10cm/s．经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请问△AMN是哪一类三角形，并说明理由； （3）设问题（2）中的动点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，动点P的速度不变，动点Q的速度改变为a cm/s，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与问题（2）中的△AMN相似，试求a的值． 26．如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿边以的速度向点B匀速移动，动点Q从点D出发，沿边以的速度向点A匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点P，Q同时出发，设运动时间为． (1)当t为何值时，的面积为？ (2)当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与相似？ 27．已知矩形ABCD中，AC是对角线，AB=3cm，BC=4cm，点P为边AD上的一个动点，动点P从点A出发沿AD边向点D运动，速度是1cm/s，点Q为边C上的一个动点，动点Q从点C出发沿CA边向点A运动，速度是1cm/s，EF是过点Q的直线，分别交BC、CD于点E、F，且运动过程中始终保持EF⊥AC于Q；P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒，且（0≤t≤），解答下列问题： (1)连接PE，t为何值时，四边形ABEP是平行四边形? (2)连接PF，设四边形PECF的面积为y cm2，求y关于t的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t（s），使四边形PECF的面积与△ABC的面积的比是S四边形PECF：S△ABC=35：48?若存在，请求出此刻t的值；若不存在，请说明理由． (4)若AC与PE相交于点M，当t为何值时，点B、M、F三点在同一条直线上？ 28．如图，在中，，，动点M从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，动点N从点A出发以4cm/s速度向点C运动．若M，N两动点同时运动，设两点运动时间为xs． (1)当时，求证：； (2)当x为何值时，． 29．如图，在中，，，动点从点开始沿边向点匀速运动，运动速度为，动点从点开始沿边向点匀速运动，运动速度为，点和点同时出发．求两动点运动多长时间，以点、、为顶点的三角形与相似． 30．如图，在矩形中，，，动点P从点D出发沿向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线向终点C运动．过点P作，交于点E，动点P、Q的运动速度是每秒2个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的长； (2)当t为何值时，与相似？ (3)是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 31．在中，，动点以的速度从点向点运动；同时，动点从点出发，以的速度向点运动，动点从点出发，以的速度向点运动，当其中一个点运动停止时，其他点的运动也停止，运动时间为．连接．                       (1)为何值时，？ (2)当时，求值； (3)如图1，沿折叠得到，是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在求出值；若不存在，请说明理由． 32．如图，在矩形中，，点从点以每秒的速度沿运动，同时点从点以每秒的速度沿运动，任何一个动点到达矩形的顶点另一个点马上停止运动，当点运动到时，，且． (1)求矩形对角线的长度； (2)当，运动时间为秒时，求四边形的面积与的函数关系，并写出自变量的取值范围． 【类型4 相似相关探究数量关系】 33．在中，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到的位置，使得． (1)如图，连接，取的中点，连接．小城同学为探究线段与的数量关系进行了如下操作：延长到点，使，连接，得出线段与的数量关系为：___________；然后借助全等三角形，得出线段与的数量关系为：___________；最后得出线段与的数量关系为：___________． (2)如图2，取的中点，连接，取的三等分点，连接． ①请帮助小城同学探究并证明线段与的数量关系； ②若，连接（如图），求的最小值． 34．【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题： 如图1，在中，，．点，在上，且，探究线段的数量关系． 如图2，小鹏在探索过程中发现，这三条线段的数量关系不是简单的和或差的关系，于是就考虑能否将这三条线段转化到同一个三角形中，进而探索其数量关系，联想到近期学的旋转变换，小鹏同学给出如下探索思路：过点C作的垂线，并在垂线上截取，连接，通过证明三角形全等，得出对应的线段相等，进而将线段的数量关系转化为与的数量关系．请你根据小鹏的解题思路，写出证明过程． 【学以致用】 （2）如图3，在四边形中，，，，，求的长． 图3 35．综合与实践 四边形的旋转 如图，在矩形中，，，E，F分别为边的中点，四边形为矩形，连接，则A、G、C三点在同一条直线上． (1)______； (2)当矩形绕点A逆时针旋转至如图2的位置时，与不在同一条直线上，通过证明∽，求与之间的数量关系； (3)当矩形绕点A继续逆时针旋转至如图3的位置时，直接回答图（2）中的与之间的数量关系是否还成立？ (4)数学小组对图形的旋转进行了拓展研究．如图4，在中，，，，E、F分别为边的中点，四边形AEGF为平行四边形，连接数学小组发现与仍然存在着特定的数量关系． 如图5，把图4中的绕点A逆时针旋转，其他条件不变时，发现与仍然存在着这一特定的数量关系．请你直接写出这个特定的数量关系． 36．如图1，在矩形中，，点M，P分别在边，上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接，． (1)如图2，当时，与的数量关系为 ，与的数量关系为 ． 【类比探究】 (2)如图3，当时，矩形绕点A顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图3给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图3说明理由． 37．如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、点E分别在边AC、BC上，且DE∥AB．现将△CDE绕点C逆时针旋转某一角度，点D恰落在边AB上，连接BE． （1）当AC=BC时，如图2， ①线段AD与BE的数量关系是 ； ②线段AD、BD、DE的数量关系是 ． （2）当AC=nBC时（n＞0），如图3， ①判断线段AD与BE的数量关系，并予以证明； ②直接写出线段AD、BD、DE的数量关系 ． 38．如图（1），在矩形中，，点，分别在边，上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接，． (1)如图（2），当时，与的数量关系为 　　，与的数量关系为 　　． (2)如图（3），当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明：若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由． (3)在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至，，三点共线时，请直接写出线段的长． 39．【问题提出】 在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，连接，过点D作的垂线交直线于点F．探究、、之间的数量关系． 【特例探究】 (1)如图1，当时，证明：； (2)如图2，当时，数学兴趣小组给出了一种解题思路： 取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M． 易得为等腰直角三角形，由（1）可得，进而由，，推导得、、之间的数量关系是：_________； (3)如图3，当时，探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 (4)当时，写出、、之间的数量关系：_____． 40．在等腰△ABC中，AC＝BC，是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF． （1）当∠CAB＝45°时． ①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是　 　．线段BE与线段CF的数量关系是　 　； ②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由； 学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考： 思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题； 思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题． （2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由． 【类型6 相似相关几何证明压轴题】 41．如图，平行四边形中，，为边的高，过点作的垂线交于点，垂足为点，连接，过点作交于点， (1)如图，若，求的值； (2)如图，取线段的中点，连接，猜想线段与之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，当点为的中点时，点为边上的一动点，将沿着翻折得到，当时，请直接写出的值． 42．在中，，，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接． (1)如图1，点、分别在线段、上，连接，，满足，若，求的度数（用的代数式表示）； (2)如图2，在（1）的条件下，点在射线上，连接并延长至点，使，连接．满足，，请用等式表示，，之间的数量关系并证明； (3)如图3，，点为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折到所在平面内，得到，连接，当取得最小值时，请直接写出的面积． 43．在中，，，点D是射线上一点，点E是线段上一点，连接，满足，将点D绕点A逆时针旋转得到点F，连接． (1)如图1，若点E与点A重合，交于点G，证明：； (2)如图2，若D在线段上时，取的中点H，连接，证明：； (3)若时，点D在线段上运动的过程中，当时，点M是直线上的一点，连接，将沿直线翻折到所在的平面内，得，当取得最小值时，请直接写出此时的值． 44．在中，，，点是边上一点（不与端点重合），连接． (1)如图1，平分交于点，连接，若，，求的长； (2)如图2，作于点，为延长线上一点，连接，满足，平分交于点，在左侧作，并截取，连接，请猜想，，三条线段之间的数量关系并证明； (3)如图3，，是边的中点，为边上一动点，，为直线上一动点，连接，，，当取最小值时，将沿所在直线翻折到所在平面内得，连接，以为斜边在的右侧构造等腰直角，所在直线交直线于点，连接，当取最小值时，请直接写出的长度． 45．在中，，，点为平面内不与点重合的任意一点，以为直角边，按，，顺时针方向作等腰直角，满足，，连接． (1)如图1，若点在线段上，，，求线段的长； (2)如图2，取的中点，连接，．猜想与有什么关系？并证明你的猜想； (3)在（2）的条件下，若，点在平面内始终保持，连接，过点作，垂足为，当取得最小值时，请直接写出此时的值． 46．在中，． (1)如图1，为上一点，，，，求的面积； (2)如图2，为上一点，，为延长线上一点，连接并延长至，使得，连接，过作交延长线于，若，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，，，为线段上一动点，将关于对称得到，连接，将绕顺时针旋转得到，连接，直接写出的最小值． 47．在平行四边形中，点在边上，点在边上．    (1)如图1，若点与点重合且，，，求的面积； (2)如图2，若，，，求证：； (3)如图3，若，，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接与，当取最小值时，直接写出四边形的面积． 48．在中，，点为直线上一点，将线段绕点顺时针旋转得线段，，连接交于． (1)如图1，，为中点，若，，求的长； (2)如图2，延长至点使得，过点作交的延长线于点，若，，求证：； (3)如图3，当，时，连接、，当最小时，直接写出的面积． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 相似相关解答题分类训练 （6种类型48道） 专题目录 【类型1 相似相关网格作图】 1 【类型2 相似相关基础解答题】 12 【类型3 利用相似三角形求高】 22 【类型4 相似相关动点问题】 31 【类型4 相似相关探究数量关系】 48 【类型6 相似相关几何证明压轴题】 72 【类型1 相似相关网格作图】 1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的； (2)直接写出点的坐标为________，的长为________． 【答案】(1)如图所示即为所求 (2)， 【分析】（1）根据位似的定义作图； （2）原点为位似中心放大2倍，坐标同乘2；再利用网格中的水平、竖直线段，借助勾股定理求出两点间线段长． 【详解】（1）略 （2）解： ∵ 以原点为位似中心，放大为原来的倍，在第二象限， ∴ 对应点坐标为原坐标乘． ∵， ，． 根据勾股定理得 ． 2．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中利用网格和无刻度直尺描出边上一点，使得； (2)以点为位似中心，将放大得到，使得点的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取格点D，连接交于点P即可，根据相似三角形的判定和性质可知； （2）根据位似图形的定义作图即可． 【详解】（1）略； （2）略． 3．网格画图：如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点），在图中，D，E分别是边与网格线的交点．根据题中要求，用无刻度直尺画图，保留作图痕迹． (1)画中线，高； (2)在上找到一点M，使； (3)利用网格在找一点G，使线段，并直接写出的长． 【答案】(1)如图，中线，高即为所求； (2)如图，点即为所求； (3)如图，即为所求； 【分析】（1）根据矩形的对角线互相平分可得点为的中点；可得，再由全等三角形的性质结合网格特征得到； （2）先由勾股定理可得，然后根据即可求解； （3）通过证明进行求解即可． 【详解】（1）解：取格点，连接交即为点，则中线即为所求； 取格点，连接与交点即为点，则高即为所求； （2）解：取格点，连接与交点即为点； （3）解：连接与交点即为点，则即为所求； ∵ ∴ ∴， 同理 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴，． 4．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，图中的点A、B、C、D均在格点上．    (1)在图①中，的值为 ； (2)如图②，在线段上找一点P，使（利用网格和无刻度直尺作图，保留痕迹，不写作法）； (3)图③是的正方形网格，的顶点均在格点上，利用网格和无刻度的直尺作图，分别在边上画出点M、N，连接MN，使得，且相似比 【答案】(1) (2) 解：如图，    ∵， ∴， ∴； (3) 解：如图，    ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与的相似比． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由可得结论； （2）取格点C，D，由可得结论； （3）取格点D，E，F，G，连接交于点M，于格线交于点N，则点M、N即为所求． 【详解】（1）解：如图，    ∵， ∴． 故答案为：； （2）略 （3）略 5．请阅读下列材料，并完成相应的任务． 正方形网格是认识数和形的绝好途径．在网格中构造几何图形具有直观性和可操作性，网格中的数学问题具有显著的数形结合和转化的特征．下面网格图中每个小正方形的边长都为1． 如图1，点A、B、C、D都是格点，连接AC，BD交于点O，则AC，BD互相平分． 如图2，点A、B、C、D都是格点，连接AC，BD交于点M，则点M是线段AC的四等分点． 任务一：请你观察图1，连接AD、DC、CB、AB，则AC，BD互相平分，其理由是 ． 任务二：请你观察图2，说明点M是AC的四等分点的理由． 任务三：在下面网格图中按要求作图．要求：①仅用无刻度直尺；②保留必要的思考痕迹． 在图3中的线段BC上作两点M、N，使得△ABM与△ABN都为等腰三角形． 【答案】任务一：矩形的对角线互相平分；任务二：见解析；任务三：见解析 【分析】任务一：根据矩形的性质即可得到答案； 任务二：连接AD，BC，证明，依据相似三角形的性质求解即可； 任务三：分两种情况：取点D，E，连接DE，交BC于点M，连接MA，则△MBA是等腰三角形；取点F，连接AF，AF与BC交于点N，△ABN是等腰三角形． 【详解】解：任务一：如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC，BD互相平分， 故答案为：矩形的对角线互相平分； 任务二：如图，连接AD，BC ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是AC的四等分点； 任务三：如图，取点D，E，连接DE，交BC于点M，连接MA，则△MBA是等腰三角形，如图： 理由是：∵ 即DE是AB的垂直平分线， ∴MA=MB ∴△MBA是等腰三角形； 取点F，连接AF，AF与BC交于点N，△ABN是等腰三角形，如图： 理由是：AB=4，AC=3， 由勾股定理得，BC= 又CF=1，CF//AB ∴，即 ∴AB=NB=4 ∴△ABN是等腰三角形． 【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，能证明是解答此题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点（网格线的交点）上，已知点的坐标为． (1)以点为位似中心，在所给的网格内画出，使与位似，且点的坐标为． (2)求的面积． 【答案】(1) 如图，即为所求． (2) 【分析】本题考查了作图位似变换：掌握以原点为位似中心的对应点的坐标特征是解决问题的关键． （1）根据点和点的坐标特征得到位似比，然后把、的横纵坐标都乘以得到、的坐标，然后描点即可； （2）根据三角形面积公式直接计算即可． 【详解】（1）略 （2）． 7．如图，在平面直角坐标系中，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和点的坐标分别为和．    (1)以原点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出； (2)在所给的网格图中描出边的中点M，并写出点M的坐标． 【答案】(1) 如图所示：即为所求；    (2)如图所示，点M即为所求，． 【分析】本题主要考查了坐标系中画位似图形，利用网格找出线段中点，熟知位似图形的性质是解题的关键． （1）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以2即可得到的坐标，然后画图即可； （2）利用网格找出中点，然后读出点的坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 8．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，A、B、C、D四点均在正方形网格的格点上，线段相交于点E． （1）请在网格图中画两条线段（不添加另外的字母），构成一对相似三角形，并用“”符号写出这对相似三角形； （2）求线段的长． 【答案】（1）图见解析，；（2）． 【分析】（1）连接即可得到一对相似三角形； （2）先根据勾股定理可得的长，再根据相似三角形的性质可得，由此即可得出答案． 【详解】解：（1）如图，连接可得一对相似三角形，这对相似三角形是； （2）由勾股定理得：， ， ， 设，则， ， ，即， 解得， 即． 【类型2 相似相关基础解答题】 9．如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，，，． (1)求的长； (2)如果，则求的长． 【答案】(1)9 (2)10 【分析】（1） 先由推出线段比例关系，进而得到相似比求出DE； （2）利用相似三角形周长比等于相似比算出大三角形周长，再通过线段和差求出． 【详解】（1）解：， ． ， ， ． ， ， ． ， ； （2）解：， （相似三角形周长之比等于相似比）． ， ， ， ， ． 10．如图，四边形和四边形都是正方形，点C、F、G在一条直线上，连结并延长交边于点M． (1)求证：． (2)若，，求正方形的面积． (3)直接写出的值． 【答案】(1)证明：∵四边形和四边形都是正方形， ，． ， ． ． ； (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质证明出，再由公共角相等即可证明； （2）先利用勾股定理计算出，再利用求出，接着计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到正方形的面积； （3）证明，然后利用相似比求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴正方形的面积； （3）解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 11．如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ， ， ， ． 又， ， ， ． (2) 【分析】（1）要证明乘积式，可以将其转化为比例式，通过证明完成推导； （2）将已知线段长度直接代入（1）中等积式即可求出线段的长度． 【详解】（1）略． （2）解：， ． 由（1）可知， ， ． 12．如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E． (1)如图1，若四边形是正方形，求的长； (2)如图2，若四边形是矩形，且．求、的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】根据相似三角形的对应边上的高的比＝相似比，构建方程即可解决问题； 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，是边上的高， ，， ， ，即， ； （2）解：∵四边形是矩形， ，， ∴， ， 设则，                                     即，解得， ，． 13．如图，在菱形中，，，点E是边的中点，连接，，． (1)求的长； (2)点F为边上的一点，连接交于点G，连接，．求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵四边形是菱形， ， ，， ，， ， 又， ， ， ， ， ． 【分析】（1）证明为等边三角形，利用三线合一，结合勾股定理求出的长即可； （2）求出，结合对顶角相等，以及两组对应角相等的两个三角形相似，即可得出结论； 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ∵点E是边的中点， ， ， ； （2）略 14．如图，在中，D为边一点，E为边中点，过C作交的延长线于点F，延长与延长线交于点G． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵E为边中点， ∴， ∵在和中， ， ∴； (2)10 【分析】（1）根据平行线的性质可得，再由中点的定义可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，再由，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．已知：如图，四边形是平行四边形，分别以、为腰作等腰三角形和等腰三角形，且顶角，连接、相交于点G，与相交于点H． (1)求证：； (2)当线段满足时，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明： ∵， ∴， 即． ∵和都是等腰三角形， ∴，， 在和中， ， ∴． ∴． (2)证明： ∵线段满足， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）由和公共角，可得；由和都是等腰三角形可得两三角形两腰分别相等，再由 与边、角、边对应相等可得，最后由全等三角形对应边相等从而得出结论． （2）先由推出（相似三角形的判定：两边成比例且夹角相等），再结合第（1）问的全等结论，推导，从而证明平行四边形是菱形（菱形定义：邻边相等的平行四边形是菱形）． 【详解】（1）略 （2）略 16．如图，在菱形中，连接对角线、，过点作于点，点在边上，且． (1)求证：； (2)连接，请你判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，求与的面积之比． 【答案】(1)证明：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， ； (2)，理由如下： 四边形是菱形， ，， 由（1）知，， ， 又， ， ； (3) 【分析】（1）根据菱形的性质证明即可； （2）由菱形可得，，由（1）知，，则，再由三线合一得到，最后由垂直于同一直线的两直线平行证明即可； （3）先证明，再证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）知，， ， ， 设，则，， ， ∵ ， ∵， ， ． 【类型3 利用相似三角形求高】 17．如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 【答案】(1)证明：连接，如图1， 在和中， ，，， ， ， （内错角相等，两直线平行）．　 (2)的长度为． 【分析】（1）利用已知条件，，结合三角形全等关系，根据平行线的判定方法，即可得出结论． （2）通过几何关系（如相似三角形）建立比例式，再结合已知数据求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，墙面地面，，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 又，， ， ， ，， ， 的长度为． 18．真身宝塔是法门寺的主要建筑之一，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名，初为“圣冢”，唐代建四级木塔，明代改建砖塔．乐乐所在的“综合与实践”小组开展了测量“真身宝塔（如图）高度”的实践活动，方法如下：在地面上C处，垂直于地面竖立高度为的标杆，此时地面上的点E，标杆的顶端点D，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上；然后将标杆向左平移到点G处，此时地面上的点F，标杆的顶端点H，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上．已知点F，G，E，C与真身宝塔底处的点A在同一直线上，，，，根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出真身宝塔的高度． 【答案】 【分析】根据题意得，，从而可得，，四边形为矩形，再由相似三角形的性质以及矩形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：根据题意得，， ∴，，四边形为矩形， ∴，，． ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 故真身宝塔的高度为． 19．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 20．如图，路灯（P点）距地面米，身高米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿所在直线行走14米到B点时． (1)求小明在A点处的影子的长度； (2)当小明从A点走到B点，影子是变长了还是缩短了？并求出变长或变短了多少米？ 【答案】(1)5米 (2)缩短了，缩短了米 【分析】（1）先证明，即可列方程求解； （2）先求得米，再证明，即可列方程求解． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， 解得（米）； （2）解：米，米， （米）， ，， ， ， ， ， ， 解得（米）， 所以当小明从A点走到B点，影子缩短了，缩短了（米）． 21．为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 【答案】(1)米 (2)米 (3)1米 【分析】（1）由题意知：米，米，证明，列比例式计算即可； （2）证明，求得（米），再根据，求解即可； （3）连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，设米，则米，米，米，米，米，根据，列比例式求解即可； 【详解】（1）解：由题意知：米，米， （米）， ， ， 即， 解得：（米）， 答：路灯的高度是米； （2）解：由题意知，米，米，米， ， ， ， 即， 解得：（米）， （米）， 答：当走到处时，他行走的路程是米； （3）解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点， 则四边形是矩形，四边形是矩形， 设米， 则米，米，米， 米，米， ， ， ， 即， 解得：， 答：此时小明在墙上的影子有1米高． 22．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上．求反射点到木板的距离BC的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解，相似三角形实际应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先得出相似三角形，再列出比例求解即可． 【详解】解：根据题意，， ∴ ∴， ∴， 解得：（）， ∴的长为． 23．“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图①），把“矩”竖立放置可以测量物体的高度．如图②，将“矩”的边放在水平地面上，不断调整“矩”的位置，使木杆的顶端与，在一条直线上，并测得．已知“矩”的边，，，图中所有点均在同一平面内，求木杆的高度． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，根据，证明，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 答：木杆的高度为． 24．某中学数学兴趣小组利用周末时间测量樱花树下的石碑与远处一座实验楼之间的距离（石碑与实验楼之间被小樱花树林隔开，不能直接测量），他们采用以下方法：如图，把支架放在石碑旁水平地面上的点处，再把一面平面镜水平放在支架上的点处（平面镜大小忽略不计），然后沿着直线移动至点处，这时恰好在镜子里看到实验楼的顶端的像，已知米，米，实验楼的高度米，观测者的目高米，已知，图中所有的点都在同一平面内，求石碑与实验楼之间的距离． 【答案】6米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． 过点作交于点，交于点H，求出米，证明，，即可得到答案． 【详解】解： 过点作交于点，交于点，如图， ∵， ∴米，米，， ∴（米）， （米）， 根据题意，得， ∴， ∴，即，解得（米）， ∴米， ∴石碑与实验楼之间的距离为6米． 【类型4 相似相关动点问题】 25．如图，菱形ABCD的边长为48cm，∠A=60°，动点P从点A出发，沿着线路AB-BD做匀速运动，动点Q从点D同时出发，沿着线路DC-CB-BA做匀速运动． （1）求BD的长； （2）已知动点P、Q运动的速度分别为8cm/s、10cm/s．经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请问△AMN是哪一类三角形，并说明理由； （3）设问题（2）中的动点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，动点P的速度不变，动点Q的速度改变为a cm/s，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与问题（2）中的△AMN相似，试求a的值． 【答案】（1）BD的长是48cm；（2）△AMN为直角三角形；（3）若△BEF为直角三角形，a的值为4或12或24． 【分析】（1）根据菱形的性质得AB=BC=CD=AD=48，加上∠A=60°，于是可判断△ABD是等边三角形，即可得到BD=AB=48； （2）如图1，根据速度公式得到12秒后点M与D点重合，点N为AB的中点，根据等边三角形的性质得△AMN为直角三角形； （3）根据△BEF与△AMN相似得到△BEF为直角三角形．由△ABD为等边三角形得∠ABD=60°，然后分类讨论：当点Q运动到F点，且点F在NB上；当点Q运动到F点，且点F在BC上，由线段关系列方程求出a． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=AD=48， ∵∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD=AB=48， 即BD的长是48cm； （2）如图1， 12秒后点P走过的路程为8×12=96，则12秒后点P到达点D，即点M与D点重合， 12秒后点Q走过的路程为10×12=120，而BC+CD=96，所以点Q到B点的距离为120-96=24，则点Q到达AB的中点，即点N为AB的中点， ∵△ABD是等边三角形，而MN为中线， ∴MN⊥AB， ∴△AMN为直角三角形； （3）∵△BEF与△AMN相似，△AMN为直角三角形， ∴△BEF为直角三角形． ∵△ABD为等边三角形， ∴∠ABD=60°， 经过3秒后，点P运动的路程为24cm、点Q运动的路程为3acm， ∵点P从点M开始运动，即DE=24cm， ∴点E为DB的中点，即BE=DE=24cm， 当点Q运动到F点，且点F在NB上，如图1，则NF=3a， ∴BF=BN-NF=24-3a， ∵△BEF为直角三角形， 而∠FBE=60°， ∴∠EFB=90°（∠FEB不能为90°，否则点F在点A的位置）， ∴∠FEB=30°， ∴BF=BE， ∴24-3a=×24， ∴a=4； 当点Q运动到F点，且点F在BC上，如图2，则NB+BF=3a， ∴BF=3a-NB=3a-24， ∵△BEF为直角三角形， 而∠FBE=60°， 若∠EFB=90°，则∠FEB=30°， ∴BF=BE， ∴3a-24=×24， ∴a=12； 若∠BEF=90°，即BE⊥EF，如图3， ∵DE=BE， ∴点F在BD的垂直平分线上， ∴此时点F在点C处， ∴3a=24+48， ∴a=24， 综上所述，若△BEF为直角三角形，a的值为4或12或24． 【点睛】本题是四边形的综合题，其中涉及到菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形三边的关系，相似三角形的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． 26．如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿边以的速度向点B匀速移动，动点Q从点D出发，沿边以的速度向点A匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点P，Q同时出发，设运动时间为． (1)当t为何值时，的面积为？ (2)当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)当时，的面积为 (2)当或时，以为顶点的三角形与相似 【分析】本题考查了矩形的性质、一元二次方程的几何应用、相似三角形的性质等知识，熟练掌握一元二次方程的几何应用和相似三角形的性质是解题关键． （1）先求出，再求出的长，然后利用直角三角形的面积公式建立方程，解方程即可得； （2）分两种请：①和②，利用相似三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ，， 由题意可知，，，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ，， ∵的面积为， ， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：当时，的面积为． （2）解：①当时， 则，即， 解得，符合题意； ②当时， 则，即， 解得，符合题意， 综上，当或时，以为顶点的三角形与相似． 27．已知矩形ABCD中，AC是对角线，AB=3cm，BC=4cm，点P为边AD上的一个动点，动点P从点A出发沿AD边向点D运动，速度是1cm/s，点Q为边C上的一个动点，动点Q从点C出发沿CA边向点A运动，速度是1cm/s，EF是过点Q的直线，分别交BC、CD于点E、F，且运动过程中始终保持EF⊥AC于Q；P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒，且（0≤t≤），解答下列问题： (1)连接PE，t为何值时，四边形ABEP是平行四边形? (2)连接PF，设四边形PECF的面积为y cm2，求y关于t的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t（s），使四边形PECF的面积与△ABC的面积的比是S四边形PECF：S△ABC=35：48?若存在，请求出此刻t的值；若不存在，请说明理由． (4)若AC与PE相交于点M，当t为何值时，点B、M、F三点在同一条直线上？ 【答案】(1)t= (2)y=-t2+t (3)t=1 (4)当0≤t≤时，点B、M、F三点不能在同一条直线上. 【分析】（1）由矩形的性质得出∠B=∠BCD=∠D=90°，AD=BC=4，CD=AB=3，ADBC，由勾股定理求出AC==5，证明△ECQ∽△ACB，得出比例式求出CE=t，因此BE=BC-CE=4-t，当AP=BE时，四边形ABEP是平行四边形，得出方程t=4-t，解方程即可； （2）证出△CFQ∽△ACB，得出比例式求出CF=t，得出DF=CD-CF=3-t，四边形PECF的面积=梯形CDPE的面积-△PFD的面积，即可得出答案； （3）求出△ABC的面积，由面积关系得出35×6=48（-t2+t），求出t=1，得出CE=，CF=，求出△CEF的面积=××=，由勾股定理得出EF==，求出△PEF的面积=四边形PECF的面积-△CEF的面积=，设点P到直线EF的距离为h，则EF•h=，求出h的值即可． （4）证△CEM∽△AMP，△CFM∽△ABM，得到，，从而得，则，解答即可求解． 【详解】（1）解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=∠BCD=∠D=90°，AD=BC=4，CD=AB=3，ADBC， ∴AC==5， ∵EF⊥AC， ∴∠CQE=90°=∠B， 又∵∠ECQ=∠ACB， ∴△ECQ∽△ACB， ∴＝，即＝， 解得：CE=t， 当AP=BE时，四边形ABEP是平行四边形， 即t=4-t， 解得：t=<，符合题意， ∴t为时，四边形ABEP是平行四边形； （2）解：同（1）得：△ECQ∽△CFQ， ∴△CFQ∽△ACB， ∴＝，即＝， 解得：CF=t， ∴DF=CD-CF=3-t， ∴四边形PECF的面积=梯形CDPE的面积-△PFD的面积 =（t+4-t）×3-×（3-t）（4-t）=-t2+t， 即y=-t2+t； （3）解：∵△ABC的面积=×4×3=6，S四边形PECF：S△ABC=35：48， ∴35×6=48（-t2+t）， 解得：t=1，或t=（不合题意，舍去）， ∴t=1， ∴CE=，CF=， ∴△CEF的面积=××=，EF==，四边形PECF的面积y=-×12+×1=， ∴△PEF的面积=四边形PECF的面积-△CEF的面积=-=， 设点P到直线EF的距离为h，则EF•h=， ∴h==， 即存在t=1，使四边形PECF的面积与△ABC的面积的比是S四边形PECF：S△ABC=35：48，此刻点P到直线EF的距离为． （4）解：如图，当点B、M、F三点在同一条直线上时， 由（1）知， CE=t，由（2）CF=t， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AP/CE，ABCF，∠BCD=90°， ∴△CEM∽△AMP，△CFM∽△ABM， ∴，， ∴， ∴， ∴t=， ∵， ∴当时，点B、M、F三点不能在同一条直线上. 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定、梯形和三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度． 28．如图，在中，，，动点M从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，动点N从点A出发以4cm/s速度向点C运动．若M，N两动点同时运动，设两点运动时间为xs． (1)当时，求证：； (2)当x为何值时，． 【答案】(1)见解析 (2)当时， 【分析】（1）当时，求出，得到，再根据，即可证明； （2），当经过后，算出，，根据，得出建立等式求解． 【详解】（1）证明：当时，，， ，， ； （2）证明：， 当经过后，， ，， ， ， ， ， 当时，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键． 29．如图，在中，，，动点从点开始沿边向点匀速运动，运动速度为，动点从点开始沿边向点匀速运动，运动速度为，点和点同时出发．求两动点运动多长时间，以点、、为顶点的三角形与相似． 【答案】两动点运动2s或5s时，以点、、为顶点的三角形与相似 【分析】设运动的时间为，，，分两种情况：当∽，有，当∽，有，分别求出时间t即可； 【详解】设运动的时间为，，， 当∽， ， ， 解得 当∽， ， ， 解得 ∴两动点运动或时，以点、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 30．如图，在矩形中，，，动点P从点D出发沿向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线向终点C运动．过点P作，交于点E，动点P、Q的运动速度是每秒2个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的长； (2)当t为何值时，与相似？ (3)是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，与相似 (3)存在，t的值为或或 【分析】（1）由矩形的性质可得，，，，由勾股定理可得，由题意得，则有，t的取值范围为，当时，则有，证明，由相似三角形的性质即可得解； （2）由（1）可知，，，由相似三角形的性质得出，，证明出，再分两种情况：当时，则有；当时，则有；分别利用相似三角形的性质求解即可； （3）分三种情况：当时，作于点H，则；当时；当时；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， 由题意得：，则有，t的取值范围为， ∴当时，则有， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：由（1）可知：，，， ∴，即， ∴，， ∵， ∴ ∴ 当时，则有 ∴，即， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，则有，此时， ∵， ∴点C、Q重合，则， ∴，与相矛盾，故此种情况不成立； 综上所述：当时，与相似； （3）解：存在，当时，如图1，作于点H，则， ∵， ∴， ∴， 由得， 解得； 当时，如图2， 由（2）可知：， ∴， ∴， 解得； 当时，如图3，则， ， ∵， ∴， ∴， 由得， 解得， 综上所述，t的值为或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 31．在中，，动点以的速度从点向点运动；同时，动点从点出发，以的速度向点运动，动点从点出发，以的速度向点运动，当其中一个点运动停止时，其他点的运动也停止，运动时间为．连接．                       (1)为何值时，？ (2)当时，求值； (3)如图1，沿折叠得到，是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)为时，； (2)当或时，； (3)的值． 【分析】（）利用勾股定理求得，用的代数式表示出线段，，的长度，利用平行线的判定与性质得出比例式解答即可； （）过点作于点，得到 利用相似三角形的判定与性质求得，再利用三角形的面积公式得到关于的方程，解方程即可得出结论； （）过点作于点，过点作于点，利用菱形的性质和等腰三角形的性质得到，利用相似三角形的判定与性质得到关于的比例式，解方程即可得出结论； 本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，添加三角形的高线构造相似三角形是解题的关键． 【详解】（1）由题意得，，， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴，，， 当，， ∴， 解得：， ∴为时，； （2）由题意得：，， ∴， 当时， 则 ， 过点作于点，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或， ∴当或时，； （3）沿折叠，得到，存在某一时刻，使四边形为菱形，值为理由： 过点作于点，过点作于点，如图， 由题意得：，， ∴， ∵沿折叠得到， ∴， 若四边形为菱形，只需， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴沿折叠得到，四边形为菱形时的值． 32．如图，在矩形中，，点从点以每秒的速度沿运动，同时点从点以每秒的速度沿运动，任何一个动点到达矩形的顶点另一个点马上停止运动，当点运动到时，，且． (1)求矩形对角线的长度； (2)当，运动时间为秒时，求四边形的面积与的函数关系，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查函数关系式，三角形相似及自变量的取值范围，证明三角形相似及求出相关图形的面积是本题的关键． （1）证明，根据比例关系求出； （2）根据勾股定理求出，计算点、分别到达点、时所用的时间，以此确定的取值范围；分别计算和的面积，根据写出与的函数关系，并注明的取值范围． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ，即， 解得； （2）解：四边形为矩形， ， ． 点从点运动到点时所用时间为（秒）， 点从点运动到点时所用时间为（秒）． 点到达点时，点、同时停止运动． ． ，． ． 【类型4 相似相关探究数量关系】 33．在中，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到的位置，使得． (1)如图，连接，取的中点，连接．小城同学为探究线段与的数量关系进行了如下操作：延长到点，使，连接，得出线段与的数量关系为：___________；然后借助全等三角形，得出线段与的数量关系为：___________；最后得出线段与的数量关系为：___________． (2)如图2，取的中点，连接，取的三等分点，连接． ①请帮助小城同学探究并证明线段与的数量关系； ②若，连接（如图），求的最小值． 【答案】(1) (2) ①，理由如下： 延长到点，使，连接． 为的三等分点（） 又 绕点逆时针旋转到， 又为中点 即 ； ② 【分析】（1）本题通过构造辅助线（延长到使），利用三角形中位线定理得出与的数量关系，再通过证明三角形全等得到与的数量关系，最终推导出与的数量关系． （2）①通过延长构造新三角形，利用线段比例关系证明三角形相似，逐步推导得出与的数量关系．先根据已知条件得到线段比例相等，证明，再结合旋转性质及其他条件证明，从而得出与的比例．②根据前面证明的相似三角形得到角相等，从而确定点的运动轨迹，当时最小．通过证明新的三角形相似求出相关线段长度，再利用三角形面积公式建立等式求出的最小值． 【详解】（1）解：是中点，， 是的中位线， ． 由旋转得， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴ ． ． 故答案为：； （2）解：①略 ②由（）①可知， 点在直线上运动 当时，最小 延长交于点 过点作，垂足为 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，以及利用三角形面积公式求线段最值．解题的关键在于合理构造辅助线，通过线段比例关系和角的关系准确判定三角形相似或全等，进而得出线段之间的数量关系；在求线段最值时，要明确点的运动轨迹，结合几何性质找到取得最值的条件，再通过相关定理和公式进行计算． 34．【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题： 如图1，在中，，．点，在上，且，探究线段的数量关系． 如图2，小鹏在探索过程中发现，这三条线段的数量关系不是简单的和或差的关系，于是就考虑能否将这三条线段转化到同一个三角形中，进而探索其数量关系，联想到近期学的旋转变换，小鹏同学给出如下探索思路：过点C作的垂线，并在垂线上截取，连接，通过证明三角形全等，得出对应的线段相等，进而将线段的数量关系转化为与的数量关系．请你根据小鹏的解题思路，写出证明过程． 【学以致用】 （2）如图3，在四边形中，，，，，求的长． 图3 【答案】 （1）结论：． 证明：如图，由小鹏的操作过程得知，， 又∵． 又∵， 在中，， （2） 【分析】（1）由小鹏的操作过程得知，，先证，再证，得出在中运用勾股定理即可求解； （2）作，且使，证明，得出，，再证明，得出，过点作交的延长线于点，得出，，，在中，运用勾股定理求解； 【详解】（1）略. （2）解：如图，作，且使， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， 在和中， ∵． ∴． ∵． ∴． ∴，得． 过点作交的延长线于点， 则， ∴． ∴． 在中，． ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是构建正确的辅助线． 35．综合与实践 四边形的旋转 如图，在矩形中，，，E，F分别为边的中点，四边形为矩形，连接，则A、G、C三点在同一条直线上． (1)______； (2)当矩形绕点A逆时针旋转至如图2的位置时，与不在同一条直线上，通过证明∽，求与之间的数量关系； (3)当矩形绕点A继续逆时针旋转至如图3的位置时，直接回答图（2）中的与之间的数量关系是否还成立？ (4)数学小组对图形的旋转进行了拓展研究．如图4，在中，，，，E、F分别为边的中点，四边形AEGF为平行四边形，连接数学小组发现与仍然存在着特定的数量关系． 如图5，把图4中的绕点A逆时针旋转，其他条件不变时，发现与仍然存在着这一特定的数量关系．请你直接写出这个特定的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)成立 (4) 【分析】（1）先求出，再利用平行线分线段成比例即可得解； （2）由旋转可知：，由勾股定理可知，利用边角边证，根据对应边成比例即可得解； （3）同（2）中思路； （4）先求出，再证，即可得证． 【详解】（1）解：由勾股定理可得， ， ， ； 故答案为：； （2）解：由旋转可知：， 由勾股定理可知：，， ，， ， ， ， ； （3）解：成立． 由旋转可知：， 由勾股定理可知：，， ，， ， ， ， ； （4）解：如图4，过F作于点K， 根据题意可知，， 四边形是平行四边形， ，， 在，， ， ， ， 在中，， 如图5， 由旋转可证， ， ， 【点睛】本题考查了矩形、平行四边形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 36．如图1，在矩形中，，点M，P分别在边，上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接，． (1)如图2，当时，与的数量关系为 ，与的数量关系为 ． 【类比探究】 (2)如图3，当时，矩形绕点A顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图3给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图3说明理由． 【答案】(1)； (2)与之间的数量关系发生变化，． 理由如下： 连接，如图所示： 如图1，在矩形和矩形中， 当时，，， ， ， ， 矩形绕点顺时针旋转， ， ， ， ． 【分析】（1）当时，，，则，所以，再证明、、三点在同一条直线上，由勾股定理得，， 所以，于是得到问题的答案； （2）先求出，再根据旋转得出，从而证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，，， ， ， 四边形和四边形都是矩形，且，， 四边形和四边形都是正方形， ，，， ，， ， 、、三点在同一条直线上， ，， ，， ． （2）略 37．如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、点E分别在边AC、BC上，且DE∥AB．现将△CDE绕点C逆时针旋转某一角度，点D恰落在边AB上，连接BE． （1）当AC=BC时，如图2， ①线段AD与BE的数量关系是 ； ②线段AD、BD、DE的数量关系是 ． （2）当AC=nBC时（n＞0），如图3， ①判断线段AD与BE的数量关系，并予以证明； ②直接写出线段AD、BD、DE的数量关系 ． 【答案】（1）①；②；（2）①，证明见解析；②． 【分析】根据，，可得： （1）当时，①可得和是等腰直角三角形，则有，易证，可得；②根据是等腰直角三角形，，得到， ，即有，根据勾股定理可得； （2）①根据，得到，即，可证，利用对应边成比例，可得；②根据，可得，易证得，根据勾股定理可得． 【详解】解：∵，， ∴， （1）如图2，当时， ①则有是等腰直角三角形， 则是也等腰直角三角形， ∴ 又∵ ∴ 在和中 ∴， ∴； ②由①可知是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 即有， （2）如图3，当时（n＞0）， ①∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ②∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明与性质，相似三角形的证明与性质，勾股定理等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 38．如图（1），在矩形中，，点，分别在边，上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接，． (1)如图（2），当时，与的数量关系为 　　，与的数量关系为 　　． (2)如图（3），当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明：若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由． (3)在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至，，三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2) 发生变化，， 理由：如图3，连接，当时，则，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． (3)或 【分析】（1）当时，，，则，所以，再证明、、三点在同一条直线上，由勾股定理得，， 所以，于是得到问题的答案； （2）先证明，得，，则，，即可证明，再根据勾股定理求得，则，所以； （3）分两种情况，一是，，三点共线，且点在线段上，由勾股定理求得，则；二是，，三点共线，且点在线段的延长线上，由勾股定理求得，则． 【详解】（1）当时，，， ， ， 四边形和四边形都是矩形，且，， 四边形和四边形都是正方形， ，，， ，， ， 、、三点在同一条直线上， ，， ，， ， 故答案为：，． （2）略 （3），， ，，， ， 如图（4），，，三点共线，且点在线段上， ， ， ； 如图（5），，，三点共线，且点在线段的延长线上， ， ， ， 综上所述，线段的长是或． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 39．【问题提出】 在中，，，D是边上一点，且（n为正整数），E是边上的动点，连接，过点D作的垂线交直线于点F．探究、、之间的数量关系． 【特例探究】 (1)如图1，当时，证明：； (2)如图2，当时，数学兴趣小组给出了一种解题思路： 取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M． 易得为等腰直角三角形，由（1）可得，进而由，，推导得、、之间的数量关系是：_________； (3)如图3，当时，探究、、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 (4)当时，写出、、之间的数量关系：_____． 【答案】(1) 证明：当时，， ∴， 连接， ∵在中，，， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； (2) (3) 解： 理由：当时，， 取的三分之一点G（靠近点D），过点G作，分别交、于点H、M． 则，， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴； (4) 【分析】（1）当时，，连接，可证明，得出，则，根据勾股定理求出，即可得证； （2）当时，，取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M．则，，得出，，由（1）可得，证明，根据相似三角形的性质求出∴，即可求解 （3）当时，，取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M．类似（2）求解即可； （4）当时，，取的分之一点G（靠近点D），过点G作，分别交、于点H、M．类似（2）求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：当时，， 取的中点G，过点G作，分别交、于点H、M． 则，， ∴，，即为等腰直角三角形， 由（1）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴； （3）略 （4）解：当时，， 取的分之一点G（靠近点D），过点G作，分别交、于点H、M． 则，， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴． 40．在等腰△ABC中，AC＝BC，是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF． （1）当∠CAB＝45°时． ①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是　 　．线段BE与线段CF的数量关系是　 　； ②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由； 学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考： 思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题； 思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题． （2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①，； ②结论不变． 解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN． ∵∠ACB＝90°，CA＝CB，AM＝BM， ∴CM⊥AB，CM＝BM＝AM， 由①得： 设AD＝AE＝y．FM＝x，DM＝a， 点F是BD的中点， 则DF＝FB＝a+x， ∵AM＝BM， ∴y+a＝a+2x， ∴y＝2x，即AD＝2FM， ∵AM＝BM，EN＝BN， ∴AE＝2MN，MN∥AE， ∴MN＝FM，∠BMN＝∠EAB＝90°， ∴∠CMF＝∠BMN＝90°， ∴（SAS）， ∴CF＝BN， ∵BE＝2BN， ∴CF＝BE． 解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°得到，连接DT，GT，BG． ∵AD＝AE，∠EAD＝90°，EG＝DG， ∴AG⊥DE，∠EAG＝∠DAG＝45°，AG＝DG＝EG， ∵∠CAB＝45°， ∴∠CAG＝90°， ∴AC⊥AG， ∴AC∥DE， ∵∠ACB＝∠CBT＝90°， ∴AC∥BT∥， ∵AG＝BT， ∴DG＝BT＝EG， ∴四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形， ∴BD与GT互相平分， ∵点F是BD的中点， ∴BD与GT交于点F， ∴GF＝FT， 由旋转可得； 是等腰直角三角形， ∴CF＝FG＝FT， ∴CF＝BE． （2）结论：BE＝． 理由：如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT． ∵CA＝CB， ∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠ACB＝120°， ∵AT＝TB， ∴CT⊥AB， ∴AT＝， ∴AB＝， ∵DF＝FB，AT＝TB， ∴TF∥AD，AD＝2FT， ∴∠FTB＝∠CAB＝30°， ∵∠CTB＝∠DAE＝90°， ∴∠CTF＝∠BAE＝60°， ∵∠ADE＝∠ACB＝60°， ∴AE＝AD＝FT， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．首先证明再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．②解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．证明（SAS），可得结论．解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°得到，连接DT，GT，BG．证明四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，可得结论． （2）结论：BE＝．如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．证明，可得结论． 【详解】解：（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T． ∵CA＝CB，∠CAB＝45°， ∴∠CAB＝∠ABC＝45°， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ADE＝∠ACB＝45°，∠DAE＝90°， ∴∠ADE＝∠AED＝45°， ∴AD＝AE， ∴AT⊥DE，DT＝ET， ∴AB垂直平分DE， ∴BD＝BE， ∵∠BCD＝90°，DF＝FB， ∴CF＝BD， ∴CF＝BE． 故答案为：∠EAB＝∠ABC，CF＝BE． ②略 （2）略 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 【类型6 相似相关几何证明压轴题】 41．如图，平行四边形中，，为边的高，过点作的垂线交于点，垂足为点，连接，过点作交于点， (1)如图，若，求的值； (2)如图，取线段的中点，连接，猜想线段与之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，当点为的中点时，点为边上的一动点，将沿着翻折得到，当时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)解：，证明如下： 如图，延长到，使， ∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】证明，得到，，即得，进而即可求解； 延长到，使，可证，得到，进而得到，即得到，再证明，得到，进而即可求证； 设交于，可得，即得，再由得到，设，则，进而利用勾股定理表示出和的面积即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图，设交于， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 42．在中，，，点为直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接． (1)如图1，点、分别在线段、上，连接，，满足，若，求的度数（用的代数式表示）； (2)如图2，在（1）的条件下，点在射线上，连接并延长至点，使，连接．满足，，请用等式表示，，之间的数量关系并证明； (3)如图3，，点为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折到所在平面内，得到，连接，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，，之间的数量关系为， 证明：延长、交于点，过点作交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即为的中点， ∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点逆时针旋转到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）先求出，再结合三角形内角和定理可得，由求出，最后再由平角的定义计算即可得出结果； （2）延长、交于点，过点作交于点，导角得出，由等腰对等角并结合题意得出，证明，得出，即为的中点，由直角三角形的性质求出，再证明，得出，，，最后再证明，得出，即可得证； （3）求出，，，由旋转的性质可得，，从而可得点在直线上运动，且，由折叠的性质可得，，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，由轴对称的性质可得，，，求出，，，作交的延长线于，则，，，由勾股定理可得，连接，交直线于，交于点，当点、、在同一直线上时，的值最小，为，连接，作于点，则，证明，求出，最后由三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，，之间的数量关系为， 证明略； （3）解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得，， ∵点为直线上一动点，且， ∴当点在的中点时，如图中的，由（2）可得此时点在的延长线上，且，作直线， ∴垂直平分， ∴，， 当点与点重合时，如图中的点，此时，， ∴， ∴， ∴， ∴，即点为的中点， ∴点在直线上，即点在直线上运动，且， ∵将沿所在直线翻折到所在平面内，得到， ∴，， ∵点为直线上一动点， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接， 由轴对称的性质可得，，， ∵， ∴， ∴，， 作交的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴连接，交直线于，交于点，当点、、在同一直线上时，的值最小，为， 连接，作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 【点睛】全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等；相似三角形的对应边成比例；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 43．在中，，，点D是射线上一点，点E是线段上一点，连接，满足，将点D绕点A逆时针旋转得到点F，连接． (1)如图1，若点E与点A重合，交于点G，证明：； (2)如图2，若D在线段上时，取的中点H，连接，证明：； (3)若时，点D在线段上运动的过程中，当时，点M是直线上的一点，连接，将沿直线翻折到所在的平面内，得，当取得最小值时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】(1) 由且与重合，得，故为等腰三角形，；由旋转性质得且，故为等腰三角形，；从而，得，再证即可． (2) 构造辅助线，延长至使，连接、；先证，再证，得且；再证，得；最后由中位线定理得，故． (3) 当时，为等腰直角三角形；由可推得为中点、为中点；将沿翻折得，则，点在以为圆心、为半径的圆上；当、、三点共线时最小；通过建立坐标系，利用线段比例关系求得的长度，进而得到的值． 【详解】（1）证明：点与点重合，， ． ． ． 点绕点逆时针旋转得到点， ，． ． ， ． 在和中， ， ， ， ． ． （2）证明：如图，延长至点，使，连接，． ， ． ，， ． ， ． ． ， ． ． ． 在和中， ， ． ，． ． ，， ． ． ． 在和中， ， ， ． ，， 是的中位线． ． ． （3）解：如图，过点D作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴点E为中点， ∴点D为中点， 不妨设，则，，， 点N的轨迹是以F为圆心，为半径的圆， 当F，A，N三点共线时，最小， 以点D为坐标原点，建立平面直角坐标系，设与的交点为点K， 联立：与：，得， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 44．在中，，，点是边上一点（不与端点重合），连接． (1)如图1，平分交于点，连接，若，，求的长； (2)如图2，作于点，为延长线上一点，连接，满足，平分交于点，在左侧作，并截取，连接，请猜想，，三条线段之间的数量关系并证明； (3)如图3，，是边的中点，为边上一动点，，为直线上一动点，连接，，，当取最小值时，将沿所在直线翻折到所在平面内得，连接，以为斜边在的右侧构造等腰直角，所在直线交直线于点，连接，当取最小值时，请直接写出的长度． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用是角平分线，先证明，得到，再利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可； （2）延长，利用等腰三角形三线合一的性质，得到，通过直角，利用等量代换得到，从而通过证明， 再利用，通过等量代换，得到，等角对等边得到，再在内构造全等三角形，证明，通过线段的等量代换，即可推出； （3）在下方以为边构造的相似三角形，从而将转化为，从而确定D的位置，以为斜边构造等腰直角三角形，利用手拉手旋转模型证明相似三角形，推出点N的运动轨迹为圆，利用点圆最值确定点N的位置，最后通过勾股定理解方程求解即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长，交于点M，在左侧取点N，使得，，即是等腰直角三角形，连接，，， ∵平分， 又是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， 又是等腰直角三角形， ∴， ∴，即在线段上， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴； （3）解：如图，取点P，使得，，过点F作，交直线于点Q， ∵是等腰直角三角形，， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴当，，在同一条直线上时，取得最小值，最小值为， ∵点F是中点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，根据题意，作图如下，同时以为斜边，向右作等腰直角三角形，连接，，延长，交于点R， 由等腰直角三角形的性质，同前文证明过程，可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点N在以O为圆心，8为半径的圆上， ∴当点N在上时，取得最小值，此时示意图如下： ∵， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 对所在图形单独分析，示意图如下，作，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 设，则， ∴，， 又， 即， 解得， ∴． 45．在中，，，点为平面内不与点重合的任意一点，以为直角边，按，，顺时针方向作等腰直角，满足，，连接． (1)如图1，若点在线段上，，，求线段的长； (2)如图2，取的中点，连接，．猜想与有什么关系？并证明你的猜想； (3)在（2）的条件下，若，点在平面内始终保持，连接，过点作，垂足为，当取得最小值时，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质和线段的和差求得和的长度，再利用勾股定理求解即可． （2）通过倍长，使得，证得，可得对应角相等和对应边相等，利用对应角相等推导出、、之间的位置关系，进而倒角，再证明，利用全等的性质可得是等腰直角三角形，最后利用三线合一的性质可得与的大小关系和位置关系． （3）先判断出点D的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆上，过点作，将转化为，通过在上截取一点P，使得，构造，再次将转化为，当取得最小值时，即是当A、D、P三点共线时，固定点D的位置；然后通过得到三边的比例关系，利用比例设，，则，通过三边关系建立方程，求得x的值，代入，，最终求得比值． 【详解】（1）解：，， 且， ， 又，， ，， 在中，， ． （2） 延长至点G，使得，连接，，，延长，与反向延长线交于点H， 为中点 ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， 在四边形中，， ， 又， ， 在和中， ， ，， ， 是等腰直角三角形， 且 ，． （3） 过点作，在上截取一点P，使得，连接． 由（2）可得，，， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， 当A、D、P三点共线时，取得最小值， ， ， ， 且，， ， 设，，则 在中，，，， ， 解得（舍负）， ，， ． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形三线合一、三角形相似的判定和性质、三角形全等的判定和性质、平行线的性质、三点共线以及四边形内角和，也涉及到一元二次方程的求解，是几何综合题，本题构造三角形相似和全等是解题的关键． 46．在中，． (1)如图1，为上一点，，，，求的面积； (2)如图2，为上一点，，为延长线上一点，连接并延长至，使得，连接，过作交延长线于，若，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，，，为线段上一动点，将关于对称得到，连接，将绕顺时针旋转得到，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）过A作于E，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到，进而可得，然后解直角三角形求解，，再利用三角形的面积公式求解即可； （2）延长交于H，在射线上截取，连接，根据三角形的中位线性质得到，，进而推出，从而证明得到，，可推出，进而可得结果； （3）以为直角边作等腰三角形，，，证明四边形是平行四边形得到，证明得到，由，当F、C、G共线时取等号，进而可得解． 【详解】（1）解：如图1，过作于， ∵，， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 的面积为； （2）解：． 理由：如图2，延长交于，在射线上截取，连接， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ； （3）解：如图3，以为直角边作等腰三角形，，， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， 由旋转和折叠性质得，，， ，， ，， ， ， ， ， ，当、、共线时取等号， 的最小值为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、平行四边形的判定与性质、折叠与旋转性质、三角形的三边关系等知识，综合性强，有一定的难度，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线，构造相似三角形是解答的关键． 47．在平行四边形中，点在边上，点在边上．    (1)如图1，若点与点重合且，，，求的面积； (2)如图2，若，，，求证：； (3)如图3，若，，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接与，当取最小值时，直接写出四边形的面积． 【答案】(1) (2) 证明：过点F作交于点M，过点M作于点N，     四边形是平行四边形， 、， ， 四边形是平行四边形， 、， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则、， 是的外角， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 、， ， 在和中， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到、，进而得到，从而得到，证明是等边三角形，过点作于点，根据勾股定理求出长，利用三角形面积公式求解即可； （2）  过点F作交于点M，过点M作于点N，证得四边形是平行四边形，进而得到、，根据垂直的定义得到，设，则、，根据求出，进而得到，从而证明，则、，再证明，则，从而得出结论； （3）取的中点、的中点，连接、、，过点作交于点，连接、，易证得、、、是等边三角形，进而证明，则，当点在上运动时，点在直线上运动，此时，，作点关于直线的对称点，连接，当、、三点共线时，有最小值，最小值为，过点作于点，在和中，由勾股定理求出、，利用勾股定理逆定理得到是直角三角形，且，进而得到，，即、、三点共线，证明，则，求出的长，利用求解即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， 、， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 过点作于点，   ， 在中，由勾股定理得：， 的面积为； （2）略 （3）解：、， 、， 如图，取的中点、的中点，连接、、，过点作交于点，连接、，     四边形是平行四边形， 、、、， 、是、的中点， 、， ， ， 四边形是平行四边形， ，且， ， 、， ， 、， ， 、是等边三角形， 同理可证：、是等边三角形， 、、， ， ， 在和中， ， ， ， 点在上运动时，点在直线上运动，此时，， ， ， ， 作点关于直线的对称点，连接，设与直线交于点K，   、， ， 当、、三点共线时，有最小值，最小值为， 设与交于点，与直线交于点K，过点作于点，此时点的位置即为所求， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，、， ， ， 是直角三角形，且， ， ， ， ， 、、三点共线， ， 、， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， 即四边形的面积为． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、旋转的性质、等边三角形的性质，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 48．在中，，点为直线上一点，将线段绕点顺时针旋转得线段，，连接交于． (1)如图1，，为中点，若，，求的长； (2)如图2，延长至点使得，过点作交的延长线于点，若，，求证：； (3)如图3，当，时，连接、，当最小时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得到，求得，即可求得； （2）延长至点，使得，连接，，，证明，可得，，再证明，然后用勾股定理可求得； （3）取中点，，连接，过分别作，，由（1）可得，点的轨迹为直线，则当时，取得最小值，再解三角形求出相关线段长，得到面积即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 又由旋转可知， 在和中， ， ， ， ， 在中，， 又， ， ； （2）证明：延长至点，使得，连接，，，如图2， 在和中， ， ， ，， ， ， 又，， 在和中， ， ， ， 在中，，， 在中，，， ， ； （3）解：取中点，连接，过分别作，如图3， 由（1）可得， ， 点的轨迹为直线， 当时，取得最小值， 为的中点，， ，， ，， ，， ，，， ， ， ， 又， ， ，， 即，解得， ， ， ， ． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $