3.2 探索三角形相似的条件 分类练习 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

3.2探索三角形相似的条件常见的三种题型 目　录 题型一　三角形相似的判定 题型二　黄金分割与黄金三角形 题型三　相似三角形的证明与应用 题型一　三角形相似的判定 【解题技巧】判定两三角形相似的条件：①两角对应相等；②两边成比例且夹角相等；③三边对应成比例，即；网格中常先利用格点算各边长度再比较，或用两角对应相等判定。 1．已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，下列三角形中，与相似的是（    ） A． B． C． D． 4．已知等腰△ABC的底角为75°，则下列三角形一定与△ABC相似的是（　　） A．顶角为30°的等腰三角形 B．顶角为40°的等腰三角形 C．等边三角形 D．顶角为75°的等腰三角形 5．下列条件中的两个等腰三角形不一定相似的是（    ） A．都含有角 B．都含有的角 C．都含有的角 D．都含有的角 6．如图，在中，点、分别在边、上，下列所述四个条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（    ）s后，与相似． A． B．或 C．或 D．或 8．如图，下列阴影部分的三角形与（顶点均在正方形网格格点上）相似的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，点、分别在的边、上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使与相似，那么这个条件是（   ） A． B． C． D．． 11．下列命题正确的是（    ） A．顺次连接矩形四边的中点得到菱形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．两边成比例及一角相等的两个三角形相似 D．若点P是线段的黄金分割点，则 12．如图，正方形中，是的中点，是边上的一点，下列条件中，不能推出与相似的是（    ） A． B． C．是的中点 D． 13．如图所示的6个三角形中，相似三角形是（    ）． A．①与③ B．④与⑥ C．②与⑤ D．②与⑥ 题型二　黄金分割与黄金三角形 【解题技巧】把线段 AB 分成两段，若较长段 AC 与较短段 BC 满足较长段的平方等于全长乘较短段（），则点 C 是 AB 的黄金分割点；黄金三角形是顶角 36° 的等腰三角形，其底与腰的比值等于黄金比。 1．我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（     ）                                          A． B． C． D． 2．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符.实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比时，可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（    ） A． B． C． D． 3．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为，是比较美丽的黄金身材．一个身高的人，他的肚脐到脚底的长度约为多少时才是黄金身材．（   ） A． B． C． D． 4．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为（   ） A． B． C． D． 5．宁夏银川览山公园湖边有一条笔直的步道，总长，点是线段的黄金分割点，且，点又是线段的黄金分割点，且，则________（结果保留最简二次根式） 6．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．已知某女士的身高为，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为__________（精确到） 7．已知点P是线段的黄金分割点，且，若，则__________． 8．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点C处最自然得体，若舞台的长为12米，那么舞台的长为______（保留根号）． 9．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 （1）如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，则． ∵， ∴…… 请补全以上解题过程； 【知识迁移】 （2）如图2，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连接、．求证：； 【延伸拓展】 （3）如图3，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 题型三　相似三角形的证明与应用 【解题技巧】证明三角形相似常用“两角对应相等”或“两边成比例且夹角相等”：平行线、等腰三角形、公共角、对顶角常能得出等角；网格中利用格点算边长后按三边成比例或两边成比例且夹角相等判定；注意对应顶点要对齐。 1．如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是______________．（写出一种情况即可） 2．如图，、和3张都标注一个条件的卡片．从这3张卡片中随机一次性抽取2张，根据这2张的条件，能判断的概率为___________． 3．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，若使，则还需添加一个条件是 ________________．（只需填一个）    4．如图，点D在的边上，要判定与相似，则需要添加一个条件是_______． 5．如图，在中，添加一个条件：________，使．    6．如图，在中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件：_____，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可） 7．如图，在正方形网格中有四个三角形，其中与相似（不包括本身）的三角形有 _____个． 8．如图，等边被矩形所截，，线段被截成三等份．若的面积为，图中阴影部分的面积为______． 9．如图，在中，，． (1)尺规作图：在的边上找一点，使．(不写作法，保留作图痕迹) (2)求的度数． 10．如图，等腰中， ，点是边上一点，在上取点，使 （1）求证: ; （2）若，求的长． 11．如图，已知等腰，点D、E分别在上，且． (1)求证：； (2)如果，求的长 ． 12．如图，在中，，． (1)尺规作图：在上取一个点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，连接，求证：． 13．如图，在中，D为边上一点，．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．如下图，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：的度数为_________，_________． (2)判断与是否相似，并证明你的结论． 15．如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且满足，． (1)求证：； (2)若，，的面积为，求的面积． 16．如图，，，求证：． 17．如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且． (1)试说明； (2)若，求证：． 18．如图，与中，，；证明：．    19．如图，是的外接圆，点O在边上，的平分线交于点D，连接、，过点D作的平行线与的延长线相交于点P． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 20．如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且．    (1)求证：； (2)若，，，求的长． 21．在和中，，，求证：．    22．如图，在下面的网格图中，每个小正方形的边长为1，点均位于正方形网格的格点上．请你连接现有的点，构造出一个与相似的三角形，并说明理由． 23．如图，线段与相交于点，，，，．求证：，并写出与的相似比． 参考答案 题型一　三角形相似的判定 1．C 【详解】解：∵由图可知，， A、三角形各角的度数都是， B、三角形各角的度数分别为， C、三角形各角的度数分别为， D、三角形各角的度数分别为， ∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：C． 2．C 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等（比值均为，夹角为公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意． 3．D 【详解】解：∵由图可知，，， ∴， A、中，，，不符合题意； B、中，，，，不符合题意； C、中，∵，，，∴，不符合题意； D、中，，，该三角形与已知三角形两边成比例且夹角相等，符合题意； 故选： D． 4．A 【详解】解：∵等腰△ABC的底角为75°， ∴等腰△ABC的三角的度数分别为30°，75°，75° ∴一定与△ABC相似的是顶角为30°的等腰三角形 故选：A． 5．B 【详解】解：A、有一个角是的两个等腰三角形的三组角分别对应相等，所以这两个三角形相似，不符合题意； B、当一个等腰三角形的底角为，而另一个等腰三角形的顶角是时，这两个等腰三角形不相似，符合题意； C、有一个角是的两个等腰三角形的三组角分别对应相等，所以这两个三角形相似，不符合题意； D、有一个角是的两个等腰三角形的三组角分别对应相等，所以这两个三角形相似，不符合题意； 故选：B． 6．D 【详解】解：因为，若，则，故选项不符合题意； 若，则，故选项不符合题意； 若，且，则，故选项不符合题意； 若，无法判定，故选项符合题意． 7．C 【详解】解：设经过秒后与相似， ∵， 若， 则需， ， 解得； ， 则需， ， 解得， 经过秒或秒，与相似． 故答案为：或． 8．D 【详解】解：设正方形网格的边长为1， 则在中，，，， A、该三角形三边分别为，，4，则，故与不相似，不符合题意； B、该三角形三边分别为，，3，则，故与不相似，不符合题意； C、该三角形三边分别为2，，，则，故与不相似，不符合题意； D、该三角形三边分别为，2，，则，故与相似，符合题意； 故选：D． 9．D 【详解】解：A、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； B、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、当时，无法得到，故此选项符合题意． 故选：D． 10．C 【详解】解：由题意得：， A． ，有两个对应角相等，能使与相似，不符合题意． B． ，有两个对应角相等，能使与相似，不符合题意． C． ，有两个对应边的比相等但夹角不一定相等，不能使与相似，符合题意． D． ，有两个对应边的比相等，且其夹角相等，能使与相似，不符合题意． 故选：C． 11．A 【详解】解：A．顺次连接矩形四边的中点得到菱形，故该命题正确，符合题意； B．对角线相等的平行四边形是矩形，故该命题错误，不符合题意； C．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故该命题错误，不符合题意； D．若点P是线段的黄金分割点，则或，故该命题错误，不符合题意． 故选：A． 12．C 【详解】A．，根据正方形性质得到∠B=∠C，可以得到∽，不合题意； B.，根据正方形性质得到∠B=∠C，根据同角的余角相等，得到，从而有∽，不合题意； C．P是BC的中点，无法判断与相似，符合题意； D． ，根据正方形性质得到，又∵∠B=∠C，则∽，不合题意． 故选：C 13．B 【详解】解：三角形①的三边比为，三角形②的三边比为，三角形③的三边比为，三角形④的三边比为，三角形⑤的三边比为，三角形⑥的三边比为， ∵， ∴三角形④与三角形⑥相似． 故选：B． 题型二　黄金分割与黄金三角形 1．A 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， 是顶角为的等腰三角形，即“黄金三角形”， ， ， ． 2．B 【详解】解：∵液面高度与瓶高之比为黄金比， ∴， 故选：B． 3．B 【详解】解：设他的肚脐到脚底的长度约为，由题意得： 解得：， 故选：B． 4．D 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点（），， ∴， ∴的长为． 故选：D． 5． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，，， 根据黄金分割的定义得：， 又点是线段的黄金分割点，， ， ， 代入得：． 6．/8厘米 【详解】解：由题意可得，该女士的原下半身长为， 设她应穿的高跟鞋的高度为， 根据题意得， ， 经检验，是原分式方程的解，符合实际意义， 将结果精确到，得． 7．/ 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且，， ∴， ∴， 故答案为： 8．或 【详解】解：设米，则米， 当时，即，即， 整理得，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 当时，即，即， 整理得，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 综上，舞台的长为或． 故答案为：或． 9． （1）解：设，则． ∵， ∴， 解得：（舍）， ∴， ∴黄金比为． （2）证明：∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴， ∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∵， ； （3）证明：∵五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的黄金分割点． 【详解】略 题型三　相似三角形的证明与应用 1．（答案不唯一） 【详解】解：∵， ∴添加条件：可判定． 2． 【详解】解：若，，则； 若，，则； 若，，则无法证明； 从这3张卡片中随机一次性抽取2张有3种等可能结果，其中能判断的有两种， 能判断的概率为， 故答案为：． 3．（答案不唯一） 【详解】解：若添加：． 又∵， ∴， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 4．（答案不唯一） 【详解】， 故答案为：（答案不唯一） 5．(答案不唯一) 【详解】解：与有一个公共角， 故添加或等时，， 故答案为：(答案不唯一) ． 6． 【详解】解：根据题意，添加条件， 故答案为：． 7．1 【详解】解：∵为，三个图形中只有第2个图中含， 且夹的两组对应边成比例， ∴与相似（不包括本身）的三角形有1个． 故答案为：1． 8．4 【详解】线段被截成三等份， ，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积． 故答案为：4． 9．(1) 如图所示(作法不唯一)： (2) 【详解】（1）解：要使，已经有，只需即可，即作； （2）解：，， ， ， ． 10．（1）见解析；（2）． 【详解】（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°， ∴∠ABD=∠ACB=30°， ∴∠ABD=∠ADE=30°， ∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠ABD+∠DAB， ∴∠EDC=∠DAB， ∴△ABD∽△DCE； （2）过作于， ∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，， ∴∠ABD=∠ACB=30°，， 则， ， ， ， ， ， 所以． 11．(1) 证明：∵， ∴， ∵． ∴； (2)12 【详解】（1）略 （2）由（1）得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 12．(1) 故点即为所作； (2) 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【详解】（1）解：作的平分线交于点， 理由：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）略 13．(1) ∵，， ∴； (2) 【详解】（1）解：略． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 14．(1)； (2)相似．证明见解析 【详解】（1）解：如图， 是等腰直角三角形， ， ， ； ∵在中，， ． （2）解：相似． 证明：根据题意及勾股定理，得，，，， ， ． 15．(1)证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； (2) 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵的面积为， ∴． 16． 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【详解】略 17．(1) 证明：∵， ， ， 。 (2) 证明：， ， ， ． ， ． 又， ． 【详解】（1）略 （2）略 18． 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【详解】略 19．(1) 证明：连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是的切线； (2) 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵是直径， ∴， ∵，， 由勾股定理得：， 由（1）知，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ． 20．(1) 证明：四边形是平行四边形， ，． ，， ， ； (2)12 【详解】（1）略 （2）四边形是平行四边形， ， ， ， ． 21． 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【详解】略 22． 如图所示，；理由如下： 在和中， ，， ∴． 【详解】略 23． 证明：∵，，，， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的相似比为． 【详解】略 学科网（北京）股份有限公司 $