3.2 探索三角形相似的条件分层练习卷 2026～2027 学年北师大版数学九年级上册

3.2 探索三角形相似的条件【分层练习卷】2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 满分：100分　考试时间：90分钟 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列各组三角形中，一定相似的是（　　） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个等腰直角三角形 D．两个锐角三角形 【答案】C 【解析】判断两个三角形是否一定相似，要看它们的形状是否唯一确定： A．两个直角三角形只有一个直角相等，其余两角不一定对应相等，不一定相似； B．两个等腰三角形的顶角、腰与底之比都不一定相同，不一定相似； C．两个等腰直角三角形的三个角都是 90°、45°、45°，对应角相等，且腰与斜边之比都为 1:，一定相似； D．两个锐角三角形的三个角都不一定对应相等，不一定相似．故选 C． 2．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC、BD 相交于点 O，则下列结论一定正确的是（　　） A．△ABC∽△CDO B．△ABC∽△DCA C．△COD∽△BOA D．△BCO∽△DAO 【答案】D 【解析】∵AD∥BC，∴∠DAO=∠OCB，∠ADO=∠OBC（两直线平行，内错角相等）， 又 ∠AOD=∠COB（对顶角相等）， ∴△DAO∽△OBC，即 △BCO∽△DAO，一定成立； 而 AB 与 CD 不一定平行，其余三组三角形无法保证对应角相等，不一定相似．故选 D． 3．如图，在 △ABC 与 △ACD 中，下列条件不能判定 △ABC∽△ACD 的是（　　） A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C．AC²=AD·AB D．AC:CD = AB:BC 【答案】D 【解析】△ABC 与 △ACD 有公共角 ∠A： A．∠B=∠ACD，加上公共角 ∠A，两角分别相等，能判定相似； B．∠ADC=∠ACB，加上公共角 ∠A，两角分别相等，能判定相似； C．由 AC²=AD·AB 得 AC:AB = AD:AC，即夹公共角 ∠A 的两边对应成比例，能判定相似； D．AC:CD = AB:BC 中，AC、CD 不是公共角 ∠A 的两边所构成的对应边，由“边边角”不能判定相似． 故选 D． 4．如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，下列条件不能判定 △ABC∽△A′B′C′ 的是（　　） A．∠A=∠A′，∠B=∠B′ B．AB:A′B′ = BC:B′C′ = AC:A′C′ C．AB:A′B′ = BC:B′C′，且 ∠B=∠B′ D．AB:A′B′ = AC:A′C′，且 ∠C=∠C′ 【答案】D 【解析】A．两角分别相等，能判定相似； B．三边对应成比例，能判定相似； C．∠B 的两边 AB、BC 对应成比例且夹角 ∠B=∠B′，两边成比例且夹角相等，能判定相似； D．AB:A′B′ = AC:A′C′ 中两边 AB、AC 的夹角是 ∠A，而已知相等的角是 ∠C=∠C′， 成比例的两边不是相等角的夹边，属于“边边角”，不能判定相似．故选 D． 5．如图，在 △ABC 与 △ADE 中，∠B=∠D，添加下列一个条件，不能使 △ABC∽△ADE 的是（　　） A．∠BAD=∠CAE B．AB:BC = AD:DE C．∠C=∠E D．AB:AC = AD:AE 【答案】D 【解析】A．由 ∠BAD=∠CAE 得 ∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即 ∠BAC=∠DAE， 加上 ∠B=∠D，两角分别相等，能判定 △ABC∽△ADE； B．由 AB:BC = AD:DE 得 AB:AD = BC:DE，即夹 ∠B 与 ∠D 的两边对应成比例，能判定相似； C．∠C=∠E，加上 ∠B=∠D，两角分别相等，能判定相似； D．AB:AC 中 AC 不是 ∠B 的夹边，与 AD:AE 组合属于“边边角”，不能判定相似．故选 D． 6．如图，点 D 在 △ABC 的边 BC 上，则添加下列条件中的一个，能使 △ABC∽△DBA 的是（　　） A．AC:BC = AD:BD B．AB²=CD·BC C．AB²=BD·BC D．AC:BC = AB:AD 【答案】C 【解析】△ABC 与 △DBA 有公共角 ∠B，∠B 的两边分别为 AB、BC 与 DB、BA： C．由 AB²=BD·BC 得 AB:BD = BC:BA，即夹公共角 ∠B 的两边对应成比例，能判定 △ABC∽△DBA； A．AC、AD 不是 ∠B 的夹边，由 AC:BC = AD:BD 结合公共角 ∠B 属于“边边角”，不能判定相似； B．CD 不是 △DBA 的边，AB²=CD·BC 不能构成对应边成比例，不能判定相似； D．AC:BC = AB:AD 中对应关系混乱，不能构成判定 △ABC∽△DBA 的条件，不能判定相似． 故选 C． 7．根据下列条件，能判定 △ABC∽△DEF 的是（　　） A．AB=3，BC=8，AC=9；DE=2，FE = ，DF=6 B．DE= ，FE=2，DF=6；AB=3，BC=8，AC=9 C．AB=1，BC = ，AC=1.5；DE = ，FE = 2，DF=4 D．AB=1，BC = ，AC=2；DE = 3，FE=2，DF=6 【答案】A 【解析】A．三组边对应成比例：AB:DE = 3:2，BC:FE = 8:() = 3:2，AC:DF = 9:6 = 3:2， 三边对应成比例，能判定 △ABC∽△DEF； B．AB:FE = 3:2，BC:DE = 8:() = 3:2，AC:DF = 9:6 = 3:2，对应顶点错位，不能构成 △ABC∽△DEF 的对应关系； C．AB:DE = 1:() = 2，BC:FE = :(2) = ，比值不相等，不能判定； D．AB:DE = 1:(3) = ，BC:FE = :2，比值不相等，不能判定．故选 A． 8．如图，△ABC 中，∠A=78°，AB=4，BC=6．将 △ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） 【答案】B 【解析】A．剪下的阴影三角形中，∠BDE=∠A=78°，∠B 为公共角，两角分别相等，相似； B．剪下的阴影三角形与原三角形只有公共角 ∠A，不知道 AC 的长度，无法得出以 ∠A 为夹角的两边对应成比例，不一定相似； C．剪下的阴影三角形中，∠DEC=∠A=78°，∠C 为公共角，两角分别相等，相似； D．剪下的阴影三角形中，，∠C 为公共角，，相似．故选 B． 9．某盆景园培育的迎客松盆景（如图），其主干高度 AC 为 50cm，造型时将主干塑造成黄金分割比例的形态以显美观．若点 B 是线段 AC 的黄金分割点（AB＞BC），则 BC 的长为（　　） A．(75−25) cm B．(25−25) cm C．(50−50) cm D．(150−50) cm 【答案】A 【解析】∵点 B 是线段 AC 的黄金分割点，且 AB＞BC， ∴BC 是较小段：BC = AC×(1−) = 50× = 25(3−) = 75−25(cm)． 故选 A． 10．如图，方格纸中每个小正方形的边长为 1，△ABC 和 △DEF 的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．P₁，P₂，P₃，P₄，P₅ 是 △DEF 边上的 5 个格点，请在这 5 个格点中选取 2 个作为三角形的顶点，使它和点 D 构成的三角形与 △ABC 相似，所有符合条件的三角形的个数为（　　） A．4 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【解析】设网格的边长为 1，则 AC = ，AB = ，BC =  = 5． 在 △DEF 边上的格点中选取两点与 D 构成三角形，逐一计算三边长并检验是否与 △ABC 的三边对应成比例： 连接 P₂P₅，则 DP₅ = ，DP₂ = ，P₂P₅ = ， ∵ =  = ，∴△ACB∽△DP₂P₅； 同理可找得 △DP₂P₄、△DP₄P₅ 也与 △ACB 相似， 其余组合三边不成比例，∴符合条件的三角形共有 3 个．故选 D． 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边 AB 上的高，DE⊥BC 于点 E，则图中与 Rt△ABC 相似的直角三角形（除自身外）共有＿＿＿＿个． 【答案】4 【解析】①△ACD：∠ADC=∠ACB=90°，∠A 为公共角，两角分别相等，相似； ②△CBD：∠CDB=∠ACB=90°，∠B 为公共角，两角分别相等，相似； ③△CDE：∠CED=90°，∠DCE=90°−∠B=∠A，两角分别相等，相似； ④△BDE：∠BED=90°，∠B 为公共角，两角分别相等，相似． ∴除自身外共有 4 个与 Rt△ABC 相似的直角三角形． 12．中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知 AB=20cm，点 C 为线段 AB 的黄金分割点（BC＞AC），则 BC=＿＿＿＿＿＿＿＿cm（结果保留根号）． 【答案】(10−10) cm 【解析】∵点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 BC＞AC，∴BC 是较长段， ∴BC = AB× = 20× = 10−10(cm)． 13．如图所示，有 △ABC 和 △ADE，小嘉同学欲添加两个条件使得 △ABC∽△ADE，现有三个条件可供他选择：①∠1=∠2；②∠B=∠D；③AD:AB = AE:AC．则正确的组合可以是＿＿＿＿＿＿＿＿（填序号）． 【答案】①②或①③ 【解析】由 ∠1=∠2 得 ∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即 ∠BAC=∠DAE； ①②：∠BAC=∠DAE 且 ∠B=∠D，两角分别相等，能判定 △ABC∽△ADE； ①③：∠BAC=∠DAE，且由 AD:AB = AE:AC 得 AB:AD = AC:AE，即夹 ∠BAC 与 ∠DAE 的两边对应成比例，能判定 △ABC∽△ADE； ②③组合：∠B=∠D，但 AD、AE 不是 ∠D 的夹边，不能判定相似． ∴正确的组合是 ①②或①③． 14．如图，在 4×4 的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点 F，G，H，I 分别与点 D，E 连接，得到 △FED、△GED、△HED 和 △IED，这四个三角形中与 △ABC 相似的是＿＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】△GED 【解析】设小正方形边长为 1，则 AB = ，BC=1，AC = ； 对 △GED：DE=2，EG = 2，DG = 2， ∵BC:DE = 1:2 = ，AB:EG = :(2) = ，AC:DG = :(2) = ， ∴三边对应成比例，∴△ABC∽△GED； 其余三个三角形的三边与 △ABC 的三边不成比例． ∴与 △ABC 相似的是 △GED． 15．黄金矩形在美术设计中应用广泛．如图，已知矩形 ABCD 的宽 AB=2，且它是黄金矩形（即宽与长的比等于黄金比 ），将纸片沿过点 A 的直线 AF 折叠，使点 B 落在边 AD 上的点 E 处，折痕为 AF，则 DE=＿＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】−1 【解析】∵矩形 ABCD 是黄金矩形，宽 AB=2，∴长 AD = 2× = +1； 由折叠的性质可知 AE=AB=2， ∴DE=AD−AE = (+1)−2 = −1． 16．如图是南平建本雕版印刷的“潭”字习字格，习字格为边长为 a 的正方形 MNPQ，端点 A、B 分别在习字格的边 MN、PQ 上，AB∥NP 且 AB=a，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（BC＞AC），若 BC−AC=1，则 a 的值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 【答案】+2 【解析】∵点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 BC＞AC， ∴BC = AB× = a，AC=AB−BC = a， 由 BC−AC=1 得 a−a = 1，即 a(−2) = 1， ∴a =  = +2（分母有理化）． 三、解答题（本题共 8 小题，共 52 分） 17．如图，在 △ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC．求证：△ABC∽△ADE． 【答案】证明见解析． 【解析】证明：∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）， 又 ∠A=∠A（公共角）， ∴△ABC∽△ADE（两角分别相等的两个三角形相似）． 18．根据下列条件，判断 △ABC 与 △DEF 是否相似，并说明理由． AB=45，AC=54，BC=15；DE=30，EF=10，DF=36． 【答案】△ABC∽△DEF． 【解析】△ABC 与 △DEF 相似．理由如下： ∵ =  = ， =  = ， =  = ， ∴ =  = ， 即三边对应成比例，∴△ABC∽△DEF（三边对应成比例的两个三角形相似）． 19．如图，已知线段 AE、BD 相交于点 C，且 AC=5，BC=3，EC=10，DC=6．求证：△ACB∽△ECD． 【答案】证明见解析． 【解析】证明：∵ =  = ， =  = ， ∴ = ， 又 ∠ACB 与 ∠ECD 是对顶角，∴∠ACB=∠ECD， ∴△ACB∽△ECD（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 20．如图，已知线段 AC、BD 相交于点 O，且 OA=1，OB=1.5，OC=3，OD=2．求证：△OAD∽△OBC． 【答案】证明见解析． 【解析】证明：∵ = .5 = ， = ， ∴ = ，即 OA:OB = OD:OC， 又 ∠AOD 与 ∠BOC 是对顶角，∴∠AOD=∠BOC， ∴△OAD∽△OBC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 21．如图，四边形 ABCD 中，AB=2，BC=3，CD=6，DA=8，对角线 AC=4．求证：AC 平分 ∠BAD． 【答案】证明见解析． 【解析】证明：在 △ABC 中，AB=2，BC=3，AC=4；在 △ACD 中，AC=4，CD=6，AD=8． ∵ =  = ， =  = ， =  = ， ∴ =  = ， ∴△ABC∽△ACD（三边对应成比例的两个三角形相似）， ∴∠BAC=∠CAD（相似三角形的对应角相等）， ∴AC 平分 ∠BAD． 22．如图，在四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 F，点 E 在 BD 上，且 AB:AE = BC:ED = AC:AD． (1)求证：∠1=∠2； (2)求证：△ABE∽△ACD． 【答案】证明见解析． 【解析】证明：(1)∵AB:AE = BC:ED = AC:AD， ∴△ABC∽△AED（三边对应成比例的两个三角形相似）， ∴∠BAC=∠EAD（相似三角形的对应角相等）， ∴∠BAC−∠EAC=∠EAD−∠EAC，即 ∠1=∠2； (2)∵AB:AE = AC:AD，∴AB:AC = AE:AD， 又 ∠1=∠2，即夹角 ∠BAE=∠CAD， ∴△ABE∽△ACD（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 23．如图，在菱形 ABCD 中，E 为 BC 边上一点，∠B=∠AED． (1)求证：△ABE∽△DEA； (2)若添加下列条件中的某一个（填写序号），也能判定 △ABE∽△DEA，这个条件是____．①AB:DE = AE:DA；②AB:DE = BE:EA；③AE:DA = BE:EA． (3)在(1)的条件下，若 AE=3，DE=6，求菱形 ABCD 的边长． 【答案】(1)证明见解析；(2)②；(3)菱形 ABCD 的边长为 3． 【解析】(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AD∥BC， ∴∠DAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等）， ∵∠B=∠AED，∴∠BAE=180°−∠B−∠AEB=180°−∠AED−∠DAE=∠ADE， ∴△ABE∽△DEA（两角分别相等的两个三角形相似）； (2)②．理由：由 ② 得 AB:DE = BE:EA，即夹 ∠B 与 ∠AED 的两边对应成比例， 又 ∠B=∠AED，∴根据“两边对应成比例且夹角相等”能判定 △ABE∽△DEA； ①中 AB、AE 的夹角是 ∠BAE 而非 ∠B，③中两边的夹角 ∠AEB 与 ∠DAE 不知是否相等，均属于“边边角”，不能判定； (3)由(1)知 △ABE∽△DEA，∴AB:DE = AE:DA， 设菱形 ABCD 的边长为 a，则 AB=DA=a， ∴ = ，即 a²=18， ∵a＞0，∴a = 3，即菱形 ABCD 的边长为 3． 24．综合与实践 “综合与实践”课上，老师让同学们准备了菱形纸片 ABCD，并提出如下问题：将图 1 中的菱形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为 △ABC 和 △CDE，将 △CDE 绕点 C 按顺时针方向旋转，当 ∠ACE=∠BAC 时，延长 DE 交 BA 的延长线于 F，如图 2．试判断四边形 ACEF 的形状，并说明理由． (1)【数学思考】请你解答老师提出的问题． (2)【深入探究】在完成老师提出的问题后，同学们进行了进一步的探究：“善思小组”在准备的菱形纸片中，将 △CDE 绕点 C 按逆时针方向旋转，如图 3，当点 E 落在边 AB 上时，B，E，A，D 四点共线，∠ACB=2∠BCE．若 EC=2，请求出 BA 的长度． 【答案】(1)四边形 ACEF 是菱形，理由见解析；(2)BA = +1． 【解析】(1)四边形 ACEF 是菱形．理由如下： ∵∠ACE=∠BAC，∴AF∥CE（内错角相等，两直线平行）， ∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC 平分 ∠BAD，∴∠BAC=∠DAC， ∵△ABC≌△CDE，∴∠BAC=∠DEC，∴∠DEC=∠ACE， ∴AC∥DE，即 AC∥EF， ∴四边形 ACEF 是平行四边形， 由剪拼可知 AC=CE，∴平行四边形 ACEF 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）； (2)由剪拼可知 AC=CE=2，∴∠EAC=∠AEC， 设 ∠EAC=∠AEC=x，则 ∠BAC=∠ACB=x（菱形中 BA=BC）， ∵∠ACB=2∠BCE，∴∠BCE = ，∴∠ACE=∠ACB−∠BCE = x− = ， 在 △ACE 中，x+x+ = 180°，∴x=72°，∠ACE=36°，∠ABC=180°−2x=36°， ∴∠ACE=∠ABC，∠AEC=∠BAC，∴△CEA∽△BAC， ∴CE:BA = EA:AC，即 2:BA = EA:2，∴EA = ， 又 BA=BE+EA，BE=BC=AC=2，∴BA = 2+， 即 BA²−2BA−4=0，解得 BA=1±， ∵BA＞0，∴BA = 1+ = +1． 备注：本卷第 3、4、6、7、9、10、11、14、15、17、18、20、21 题图形为原题图或重绘标准图，第 24 题图 3 为旋转示意图，如与原题有细微出入请自行核对。 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 探索三角形相似的条件【分层练习卷】2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 满分：100分　考试时间：90分钟 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．下列各组三角形中，一定相似的是（　　） A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个等腰直角三角形 D．两个锐角三角形 2．如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，对角线 AC、BD 相交于点 O，则下列结论一定正确的是（　　） A．△ABC∽△CDO B．△ABC∽△DCA C．△COD∽△BOA D．△BCO∽△DAO 3．如图，在 △ABC 与 △ACD 中，下列条件不能判定 △ABC∽△ACD 的是（　　） A．∠B=∠ACD B．∠ADC=∠ACB C．AC²=AD·AB D．AC:CD = AB:BC 4．如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，下列条件不能判定 △ABC∽△A′B′C′ 的是（　　） A．∠A=∠A′，∠B=∠B′ B．AB:A′B′ = BC:B′C′ = AC:A′C′ C．AB:A′B′ = BC:B′C′，且 ∠B=∠B′ D．AB:A′B′ = AC:A′C′，且 ∠C=∠C′ 5．如图，在 △ABC 与 △ADE 中，∠B=∠D，添加下列一个条件，不能使 △ABC∽△ADE 的是（　　） A．∠BAD=∠CAE B．AB:BC = AD:DE C．∠C=∠E D．AB:AC = AD:AE 6．如图，点 D 在 △ABC 的边 BC 上，则添加下列条件中的一个，能使 △ABC∽△DBA 的是（　　） A．AC:BC = AD:BD B．AB²=CD·BC C．AB²=BD·BC D．AC:BC = AB:AD 7．根据下列条件，能判定 △ABC∽△DEF 的是（　　） A．AB=3，BC=8，AC=9；DE=2，FE = ，DF=6 B．DE = ，FE=2，DF=6；AB=3，BC=8，AC=9 C．AB=1，BC = ，AC=1.5；DE = ，FE = 2，DF=4 D．AB=1，BC = ，AC=2；DE = 3，FE=2，DF=6 8．如图，△ABC 中，∠A=78°，AB=4，BC=6．将 △ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） 9．某盆景园培育的迎客松盆景（如图），其主干高度 AC 为 50cm，造型时将主干塑造成黄金分割比例的形态以显美观．若点 B 是线段 AC 的黄金分割点（AB＞BC），则 BC 的长为（　　） A．(75−25) cm B．(25−25) cm C．(50−50) cm D．(150−50) cm 10．如图，方格纸中每个小正方形的边长为 1，△ABC 和 △DEF 的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．P₁，P₂，P₃，P₄，P₅ 是 △DEF 边上的 5 个格点，请在这 5 个格点中选取 2 个作为三角形的顶点，使它和点 D 构成的三角形与 △ABC 相似，所有符合条件的三角形的个数为（　　） A．4 B．2 C．1 D．3 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边 AB 上的高，DE⊥BC 于点 E，则图中与 Rt△ABC 相似的直角三角形（除自身外）共有＿＿＿＿个． 12．中国纸扇历史悠久，其设计中多处暗合黄金分割，能使扇子展开时线条更加流畅、美观．如图，已知 AB=20cm，点 C 为线段 AB 的黄金分割点（BC＞AC），则 BC=＿＿＿＿＿＿＿＿cm（结果保留根号）． 13．如图所示，有 △ABC 和 △ADE，小嘉同学欲添加两个条件使得 △ABC∽△ADE，现有三个条件可供他选择：①∠1=∠2；②∠B=∠D；③AD:AB = AE:AC．则正确的组合可以是＿＿＿＿＿＿＿＿（填序号）． 14．如图，在 4×4 的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点 F，G，H，I 分别与点 D，E 连接，得到 △FED、△GED、△HED 和 △IED，这四个三角形中与 △ABC 相似的是＿＿＿＿＿＿＿＿． 15．黄金矩形在美术设计中应用广泛．如图，已知矩形 ABCD 的宽 AB=2，且它是黄金矩形（即宽与长的比等于黄金比 ），将纸片沿过点 A 的直线 AF 折叠，使点 B 落在边 AD 上的点 E 处，折痕为 AF，则 DE=＿＿＿＿＿＿＿＿． 16．如图是南平建本雕版印刷的“潭”字习字格，习字格为边长为 a 的正方形 MNPQ，端点 A、B 分别在习字格的边 MN、PQ 上，AB∥NP 且 AB=a，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（BC＞AC），若 BC−AC=1，则 a 的值为＿＿＿＿＿＿＿＿． 三、解答题（本题共 8 小题，共 52 分） 17．如图，在 △ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC．求证：△ABC∽△ADE． 18．根据下列条件，判断 △ABC 与 △DEF 是否相似，并说明理由． AB=45，AC=54，BC=15；DE=30，EF=10，DF=36． 19．如图，已知线段 AE、BD 相交于点 C，且 AC=5，BC=3，EC=10，DC=6．求证：△ACB∽△ECD． 20．如图，已知线段 AC、BD 相交于点 O，且 OA=1，OB=1.5，OC=3，OD=2．求证：△OAD∽△OBC． 21．如图，四边形 ABCD 中，AB=2，BC=3，CD=6，DA=8，对角线 AC=4．求证：AC 平分 ∠BAD． 22．如图，在四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 F，点 E 在 BD 上，且 AB:AE = BC:ED = AC:AD． (1)求证：∠1=∠2； (2)求证：△ABE∽△ACD． 23．如图，在菱形 ABCD 中，E 为 BC 边上一点，∠B=∠AED． (1)求证：△ABE∽△DEA； (2)若添加下列条件中的某一个（填写序号），也能判定 △ABE∽△DEA，这个条件是____．①AB:DE = AE:DA；②AB:DE = BE:EA；③AE:DA = BE:EA． (3)在(1)的条件下，若 AE=3，DE=6，求菱形 ABCD 的边长． 24．综合与实践 “综合与实践”课上，老师让同学们准备了菱形纸片 ABCD，并提出如下问题：将图 1 中的菱形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为 △ABC 和 △CDE，将 △CDE 绕点 C 按顺时针方向旋转，当 ∠ACE=∠BAC 时，延长 DE 交 BA 的延长线于 F，如图 2．试判断四边形 ACEF 的形状，并说明理由． (1)【数学思考】请你解答老师提出的问题． (2)【深入探究】在完成老师提出的问题后，同学们进行了进一步的探究：“善思小组”在准备的菱形纸片中，将 △CDE 绕点 C 按逆时针方向旋转，如图 3，当点 E 落在边 AB 上时，B，E，A，D 四点共线，∠ACB=2∠BCE．若 EC=2，请求出 BA 的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $