3.2探索三角形相似的条件同步练习 ·2026--2027学年北师大版九年级数学上册

3.2探索三角形相似的条件 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在判断“有一个锐角相等的两个直角三角形”是否相似时，甲、乙同学的观点如下：甲：相似；乙：不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 2．能判定的条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 3．如图，锐角中，，是高，它们相交于O，则图中与相似的三角形有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．已知线段，点C是线段的黄金分割点（），则的长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，中，D、E分别在AB、AC边上，添加以下条件不能证明与相似的是（    ） A． B． C． D． 6．在中，，点在边上，用尺规作图在上取一点，使与相似，则下列尺规作图错误的是（  ） A． B． C． D． 7．已知的三边长分别为，，，的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（   ） A．， B．， C．， D．， 8．如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（   ） A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④ 9．四边形的两条对角线相交于点，下列条件中，不一定能推得与相似的是（    ） A． B． C． D． 10．古希腊的帕特农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术的最高水平，它的平面图可看作“黄金矩形”（宽与长的比等于）．如图，帕特农神庙平面图的长约为30m，则它的宽约为（   ） A．12.36m B．18.54m C．21.21m D．48.54m 11．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形是黄金矩形，点P是边上一点，且，则（   ） A． B． C． D．1 12．如图，过点作，使，连接，在上截取，在上截取，则有（    ） A． B．点是线段的黄金分割点 C． D． 二、填空题 13．如图，在中，点D，E分别为边，上的点，试添加一个条件：_____，使得与相似．（任意写出一个满足条件的即可） 14．如图，点是线段的黄金分割点，即，若以为边的正方形的面积为100，则长为，宽为的矩形的面积为____． 15．如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，，，各部分长度的比满足，已知，则的长为______ ．（结果保留根号） 16．如图，中，是边上一点，连接，要使，需要补充的一个条件为______． 17．如图，是的斜边上的高，图中与相似的三角形为_________（填一个即可）． 三、解答题 18．如图，点是线段的黄金分割点，计算线段的黄金比的值．    19．如图，2022年国际世界乒乓球锦标赛的吉祥物是一只大熊猫．这只大熊猫的头身比接近黄金比．小兰将熊猫的头画成，熊猫的身体画成，与的直径的比按照黄金比画就，若的直径为4，请计算的周长． 20．如图所示，在的正方形方格中，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上 (1)_____； (2)在网格纸中作一个与相似的； (3)只使用直尺，在线段上找一个点，使（保留作图痕迹） 21．已知线段，用直尺和圆规求作这条线段的黄金分割点C． 22．把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若，求的长． 23．如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且．求证：． 24．如图，在中和中，，，，和相似吗？为什么？ 《3.2探索三角形相似的条件》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B C D D C A D B 题号 11 12 答案 A D 1．C 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据两角分别相等的两个三角形相似进行解答即可． 【详解】解：有一个锐角相等，同时直角相等，根据两角分别相等的两个三角形相似即可判定两个直角三角形相似， 故甲对，乙不对， 故选：C 2．B 【分析】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键. 【详解】解：选项A：有对应边成比例，缺少条件成比例的两对应边的夹角相等，即，错误，不符合题意； 选项B：有对应边成比例，且角相等的条件为夹角，正确，符合题意； 选项C：对应边成比例，但是角是同一个三角形内的角相等，错误，不符合题意 选项D：对应边成比例，但角不是给出成比例对应边的夹角，错误，不符合题意 故选：B ． 3．B 【分析】此题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法结合题目中的已知信息找到图中存在的相似三角形即可． 【详解】解：①，， ， ， ； ②，， ， ， ， ； ③，， ， ； 有3个三角形与相似． 故选：B． 4．C 【分析】本题主要考查黄金分割点，熟练掌握黄金分割点是解题的关键．根据黄金分割点可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：； 故答案为． 故选：C． 5．D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴∽，故该选项不合题意； B、∵，， ∴∽，故该选项不合题意； C、∵，， ∴∽，故该选项不合题意； D、∵，而与不一定相等，不能证明相似，故该选项符合题意． 故选：D ． 6．D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，尺规作图—作圆，尺规作图—作一个角等于已知角，尺规作图—作垂线等知识，根据作图痕迹及相似三角形的判定进行判断即可获得答案，熟练掌握相似三角形的判定条件是解题的关键． 【详解】解：．由作图可得是的垂线， ，， ， ， ∴，故选项不符合题意； ．由作图可得， ， ∴，故选项不符合题意； ．由作图可得是圆的直径， ， ， ， ∴，故选项不符合题意； ．由作图得，其作图无法使与相似，故选项符合题意； 故选：． 7．C 【分析】此题考查了相似三角形的判定，三边对应成比例的三角形相似，根据三边对应成比例的三角形相似得判定方法逐一判断即可，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能判定两个三角形相似，不符合题意； 、∵， ∴不能判定两个三角形相似，不符合题意； 、∵， ∴能判定两个三角形相似，符合题意； 、∵， ∴不能判定两个三角形相似，不符合题意； 故选：． 8．A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 分别求出三角形的边长，根据对应边成比例三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：第一个三角形的边长分别为：，2，； 第二个三角形的边长分别为：，，； 第三个三角形的边长分别为：2，，； 第四个三角形的边长分别为：，3，； ∵，对应边成比例的是①和③． 故选：A． 9．D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故选项A不符合题意； B.∵，， ∴，故选项B不符合题意； C. ∵，， ∴，故选项C不符合题意； D. 条件，，无法证明，故选项D符合题意． 故选：D． 10．B 【分析】已知长约为30m，根据黄金矩形的概念宽与长的比等于，求出的宽的值即可． 本题考查了黄金分割的概念以及黄金矩形，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设它的宽约为m， 由题意得： 解得：≈ ∴它的宽约为m ． 故选：B． 11．A 【分析】本题考查黄金矩形的性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用黄金矩形的宽长比设未知数，并结合等腰直角三角形的边的关系求解． 通过设，根据黄金矩形性质表示出的长，再利用等腰直角三角形性质得到相关线段长度，进而求出． 【详解】解：如图： 设， 四边形是黄金矩形，且宽与长的比是， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，则， ，而， ，又， ， 故选：A． 12．D 【分析】本题考查了勾股定理，含30度的直角三角形性质以及黄金分割的定义，熟练掌握基本知识点是解题关键． 设，则，通过勾股定理求出，进而得到，再逐一判断即可． 【详解】解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故C错误， ∴，故D正确， ∴，故点不是线段的黄金分割点，故B错误， 若，在直角三角形中会有，但是与前面得到矛盾，故，故A错误． 故选：D ． 13． 【分析】根据相似三角形的判定方法：两边成比例，夹角相等解题． 【详解】解：根据题意，添加条件， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 14． 【分析】本题考查比例线段，黄金分割，正方形和矩形的面积公式，熟练掌握相关知识是关键． 由可得，，因此正方形的面积和矩形的面积相等． 【详解】解：∵， ∴， ∵正方形的面积为100， ∴， ∴， ∴长为，宽为的矩形的面积． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义和黄金比值是解题的关键．依据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：∵，，各部分长度的比满足，， ∴， 故答案为：． 16．（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键； 根据相似三角形的判定方法解决问题即可． 【详解】解：在和中， ∵， ∴添加或或，， 故答案为：（答案不唯一）． 17．或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 首先，利用两角对应相等可证得，然后由，可得，进而可证得，于是得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或（答案不唯一）． 18．黄金比为． 【分析】本题考查的是黄金分割的含义，本题设线段，较长的线段的长为，结合图形可得，结合黄金分割点的含义建立方程求解即可. 【详解】解：设线段，较长的线段的长为，结合图形可得， 是线段的黄金分割点， ，即， 解得：（舍去负值）， ， 答：黄金比为． 19． 【分析】先利用黄金分割的定义求出的直径，然后再利用圆的周长公式，进行计算即可解答． 【详解】解：与的直径的比按照黄金比画，的直径为4， 的直径， 的周长， 的周长为． 【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键是熟练掌握黄金分割的定义． 20．(1)135 (2) 如图，即为所求， (3) 如图，点即为所求， 【分析】（1）根据正方形的性质即可得解； （2）取格点，连接即可； （3）取格点、，连接交于点即可． 【详解】（1）解：如图，由题意得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）理由如下： ∵，，，，， ∴， ∴； （3）理由如下：由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，正方形的性质，无刻度直尺作图，熟练掌握相似三角形的判定及性质，勾股定理，正方形的性质，无刻度直尺作图是解题的关键． 21． 如图，点C就是线段a的黄金分割点． 【分析】本题主要考查黄金分割比及尺规作图，熟练掌握黄金分割比是解题的关键；因此此题可根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比，进而作图即可． 【详解】解：作法： （1）延长线段至F，使，分别以A、F为圆心，以大于等于线段的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接，则，在上取点D，使； （2）连接，在上截取． （3）在上截取． 22． 【分析】本题主要考查了黄金分割．根据黄金分割的定义及的长求出的长，据此求出的长即可解决问题． 【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，， ， ， 的长为． 23． 证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， 又， 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够找到两角相等是证得的关键． 由，证明，可证得． 【详解】略 24． 解：和相似，理由如下： 在中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定，先根据三角形的内角和定理，求出的度数，再根据两组对应角相等的两个三角形相似，即可得出结论． 【详解】略 学科网（北京）股份有限公司 $