拓展专题03 立体几何重难题型全归纳（期中复习讲义·培优版，11大核心题型）高二数学上学期人教A版

拓展专题03 立体几何重难题型全归纳（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01共线、共面定理的应用 题型02求模长、数量积的最值或范围 题型03求距离（体积）、角度的最值或范围 题型04角度、距离的存在性问题 题型05平行、垂直位置关系的存在性问题 题型06平面几何折叠、展开类问题 题型07非常规几何体（切割、组合）问题 题型08截面的形状、周长、面积问题 题型09立体几何中的动点轨迹问题 题型10空间向量解决外接球问题 题型11新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 空间向量加减法则与减法转相反向量 能准确运用首尾相接与共起点规则进行向量加减运算，并正确判断结果向量的方向 基础必考，多融入角与距离的向量求解 数乘定义、几何意义与共线条件 能根据数乘系数的正负判断向量方向，准确计算数乘后的模长，并运用共线条件解决点共线问题 基础工具考点，多作中间步骤，符号与模长易错 两向量夹角的定义与范围 能准确判断两向量夹角是锐角、直角还是钝角，避免与直线所成角混淆 概念辨析考点，常结合数量积符号判断 数量积公式与坐标运算 能正确计算数量积并判断正负，理解数量积为零与垂直的关系 高频基础考点，求角求距全程使用 异面直线所成角的范围与求法 能正确使用绝对值处理方向向量夹角，避免将钝角误作所成角 高考常考，多与空间向量结合 线面角的范围与正弦求法 能区分线面角与法向量夹角的关系，正确选用正弦公式 解答题高频，常与线面垂直证明组合 二面角的范围与法向量取角判断 能结合图形判断二面角是锐角还是钝角，不机械套用法向量夹角 解答题核心，钝角判断是区分点 向量投影法求点到直线距离 能识别点到直线某点距离与最短距离的区别，正确选取直线上一点及方向向量 多作解答题中间步骤，概念混淆易错 点面距公式与法向量应用 能正确求平面法向量并代入距离公式，避免漏绝对值或分母 常与体积或存在性问题结合 知识点01 空间向量线性运算 1、空间向量的加法和减法运算 ①，．如图所示． ②空间向量的加法运算满足交换律及结合律 ， ·易错点：起点不同直接相加减：向量加减要求“首尾相接”或“共起点”，不能把任意两个向量的坐标随意对应相减而不说明几何意义。 ·示例：在平行六面体中，，方向是从 指向 ；易错写成 ，两者互为相反向量。 2、空间向量的数乘运算 （1）数乘运算 实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍． （2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：，． （3）共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作． （4）共线向量定理：对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． （5）直线的方向向量 为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式． （6）共面向量 如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （7）共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． ·易错点：认为 时向量长度变负，误写 。 ·示例：，则 是与 反向、长度为 的向量；其长度 ，仍为正数，不是 。 知识点02 空间向量的数量积运算 1、两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． 2、数量积定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． 3、空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）． ·易错点：把数量积当成向量，或认为结果一定非负。 ·示例：，夹角 ，则，是实数且为负；易错写成或写成向量形式。 知识点03 空间向量的坐标运算及应用 1、设，，则； ； ； ； ； ． 2、设，，则． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． 3、两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①已知，，则； ； ； ； ②已知，，则， 或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． 4、向量在向量上的投影为． 知识点04 空间中的角 1、异面直线所成角 ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）． ②范围： ③求法： 1）平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形． 2）向量法：设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法：① ② 2、线面角 ①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角． ②范围： ③求法： 1)常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）； 2)向量法：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则． ·易错点：公式用错，把 写成 。 ·示例：正方体棱长为 ，体对角线方向向量 ，底面法向量 ，则 ，；易错写成 。 3、二面角 （1）定义：一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 （2）范围： （3）求法：传统法5个+向量法 ①定义法 在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． ②三垂线法 在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤： ①找点做面的垂线；即过点，作于； ②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接； ③计算：为二面角的平面角，在中解三角形． 图1 图2 图3 ③射影面积法 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小； ④补棱法 当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的射影面积法解题． ⑤垂面法 由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角． ⑥向量法 设是二面角的两个半平面的法向量， 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； （特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.） 知识点05 空间中的距离 1、点线距 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点面距 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. ·易错点：公式漏绝对值，导致距离为负。 3、线线距 设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． 4、线面距和面面距：一般转化成点面距 题型一 共线、共面定理的应用 解｜题｜技｜巧 证三点共线用 ；证四点共面用共面向量定理，或对空间任一点 构造 且 。 易｜错｜点｜拨 由“某两个向量不共线”直接断定四点不共面是错误的，共面时也可能得到不共线的向量对。 【典例1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·宁夏银川·阶段练习）设为不共线的三点，在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（   ） A． B． C． D． 题型二 求模长、数量积的最值和范围 答｜题｜模｜板 优先将所求量表示为某一变量的函数（如动点坐标参数），利用二次函数或基本不等式求最值；也可利用数量积的几何意义（投影）转化。 【典例1】（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知空间向量，，满足，，且，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．25 D．36 【典例2】（25-26高二上·四川·期中）如图，在四面体中，，且为的中点，点是线段上的动点（含端点）． (1)以为基底表示； (2)求的最小值． 【变式1】（25-26高二下·福建厦门·阶段练习）在平行六面体中，且，，若，，则棱的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【变式2】（25-26高二上·北京·阶段练习）在平行六面体中，，，.    (1)求的长； (2)求到直线的距离； (3)动点在线段上运动，求的最小值. 题型三 求距离（体积）、角度的最值和范围 答｜题｜模｜板 几何体中最值常用二次函数法、基本不等式法、垂线段最短或两点之间线段最短；角度范围可借助向量夹角的余弦值范围反推。 易｜错｜点｜拨 将“距离最值”误当作“某两点间距离”求，忽略垂线段才是最短距离。 【典例1】（25-26高三下·重庆北碚·阶段练习）如图所示，棱长为1的正方体中，分别是棱上的动点，且，则三棱锥体积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【典例2】（25-26高三上·河南·阶段练习）如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ）．    A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·河南·阶段练习）在长方体中，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面APC距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026高二·全国·专题练习）如图，在正方体中，为线段的中点，设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四 角度、距离的存在性问题 解｜题｜技｜巧 设动点坐标含参数，代入角度或距离公式建立方程，解出参数后检验是否在允许范围内（如线段上 ）。 易｜错｜点｜拨 解出参数后不验证几何意义（如点是否在棱上、是否重合），导致增解。 【典例1】（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，为的重心.    (1)证明：平面； (2)若为的中点，求线段的长； (3)设为线段上的一个动点，是否存在点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式1】（24-25高二上·福建泉州·期中）已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，． (1)用向量表示向量，并求的长度； (2)设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由． 【变式2】（25-26高二上·广东·阶段练习）图1是一个边长为的正方形为正方形的中心.把三角形沿翻折，使得二面角为（如图2），分别是的中点. (1)求翻折后的余弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角为，若存在，请说出点的位置；若不存在，请说明理由. 题型五 平行、垂直位置关系的存在性问题 解｜题｜技｜巧 设点坐标，利用向量平行（共线）或垂直（数量积为零）列方程，解出参数后确认点位置。 易｜错｜点｜拨 线面平行条件用“方向向量与法向量垂直”列式后，未排除直线在平面内的情况。 【典例1】（25-26高二上·吉林·阶段练习）如图，在正方体中，点E，F，M分别是线段，EC，的中点.设，，.    (1)用基底表示向量. (2)棱BC上是否存在一点G，使得？若存在，指出G的位置；若不存在，请说明理由. 【变式1】如图，在四棱锥中，平面，，，，，， (1)证明：平面平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【变式2】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，E是的中点， (1)求证：平面 ； (2)求证：平面； (3)侧棱上是否存在一点F，使得平面，若存在，则求的值；若不存在，请说明理由. 题型六 平面几何折叠、展开类问题 解｜题｜技｜巧 抓住折叠前后的不变量（长度、角度、平行垂直关系），将立体图中的量放回原平面图形中计算。 易｜错｜点｜拨 把折叠后已改变的角或距离当作原平面图形中的值继续使用。 【典例1】如图所示，已知等腰梯形中，，是的中点，将沿对折至，使得与边长为2的菱形成60°的二面角，折叠后发现. (1)求点P到平面的距离； (2)求二面角的正弦值. 【变式1】如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面.如图2，的中点为O. (1)求证：平面BCD； (2)若AD的中点为G，在线段AC上是否存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【变式2】如图1，等腰直角的斜边为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点． (1)证明：． (2)求平面和平面所成角的余弦值． (3)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 题型七 非常规几何体（切割、组合）问题 解｜题｜技｜巧 空间向量非常规几何体（切割、组合）问题的解题策略 1.拆解建系定坐标：根据切割/组合的结构，以原常规几何体或拼接处的关键位置（如顶点、垂直交点、对称中心）为原点建立空间直角坐标系；利用常规几何体的边长、棱长等已知条件，结合切割后的剩余长度或组合后的位置关系，确定各关键顶点的坐标。 2.提取关键向量：针对目标问题（如线面角、面面距离、体积等），从非常规几何体中提取对应的几何元素（直线、平面、棱等），写出其方向向量、法向量或连线向量的坐标，明确向量与几何体拆解部分的对应关系。 3.结合结构列关系：将关键向量代入目标问题的对应公式（如角度用夹角公式、距离用投影公式、体积用向量标积公式），同时结合切割/组合的结构约束（如切割面与原几何体表面的交线关系、组合体拼接面的垂直/平行关系），列出方程或表达式。 4.求解验证合理性：求解方程得到目标结果，结合非常规几何体的实际结构（如切割后线段长度为正、组合后点面位置符合拼接要求）验证结果的几何合理性，确保结果与几何体的切割/组合特征一致。 易｜错｜点｜拨 分割时重复计算或遗漏交叠部分，导致体积或表面积偏差。 【典例1】（25-26高二下·云南临沧·阶段练习）如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为菱形，，，为的中点，平面平面，．    (1)证明：平面 (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求三棱台的体积． 【变式1】（25-26高二上·辽宁大连·阶段练习）如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，．    (1)求证：； (2)若面，求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到直线距离的最大值． 【变式2】（25-26高二下·浙江·期中）如图，现有三棱锥和，其中三棱锥的棱长均为，三棱锥有三个面是全等的等腰直角三角形，一个面是等边三角形，现将这两个三棱锥的一个面完全重合组成一个组合体． (1)求这个组合体的体积； (2)求证：平面 (3)求二面角的余弦值． 题型八 截面的形状、周长、面积问题 解｜题｜技｜巧 先利用“同一平面内两点连线”和“平行平面截得交线平行”确定截面与各棱的交点，再判断形状；周长面积在确定形状后按平面几何方法计算。 易｜错｜点｜拨 截面与棱的交点定位错误，导致截面形状判断错误，后续计算全部失效。 【典例1】如图，在正方体中，作截面如图交，，，分别于，，，，则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【典例2】已知正三棱锥的侧棱长为，为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【典例3】已知正四面体的棱长为，用满足的动点构成的平面截正四面体，所得截面多边形的周长为（   ） A．4 B．8 C． D． 【变式1】（多选）如图，正方体的棱长为，点为的中点，动点满足，，且，，则下列说法正确的是（     ） A．若，则直线与平面可能平行 B．若，则平面截该正方体的截面可能是三角形 C．若，，则平面截该正方体的截面是五边形 D．若，则点到线段距离的最小值为 【变式2】在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为棱靠近C点的三等分点，用过点E，F，G的平面截正方体，则截面图形的周长为 . 【变式3】已知正方体的棱长为4．为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为____________． 题型九 立体几何中的动点轨迹问题 解｜题｜技｜巧 将动点满足的几何条件（如到某点距离定值、与某线夹角定值）翻译为向量等式或坐标方程，识别轨迹类型（线段、圆、椭圆等）。 易｜错｜点｜拨 忽略轨迹的“边界”——动点被限制在棱或面内时，轨迹只是完整曲线的一部分。 【典例1】（24-25高二上·福建福州·期中）如图，四边形与均为菱形，，，.    (1)求证：平面； (2)为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值； (3)设中点为，为四边形内的动点（含边界）且，求动点的轨迹长度. 【变式1】（25-26高三上·浙江·开学考试）已知四棱锥，底面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，点为三角形内（包括边界）的一个动点，且. (1)求点的轨迹长度； (2)当二面角正弦值大小为时，求与平面所成角的正弦值. 【变式2】（25-26高三上·北京·期中）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则以下说法中不正确的是（    ） A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变 B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若是的中点，点在底面上运动时，不存在点满足平面 D．若点在底面上运动，则使直线与平面所成的角为的点的轨迹为圆上的一段弧 题型十 空间向量解决外接球问题 解｜题｜技｜巧 建系设球心坐标，利用球心到各顶点距离相等列方程组求半径；或补形为长方体，利用体对角线为外接球直径。 易｜错｜点｜拨 球心位置设错（如误认为在某个面上），或补形时几何体与长方体的对应关系搞错。 【典例1】三棱锥中，，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】在正三棱柱中，为线段上的动点，为边上靠近B的三等分点，则三棱锥的外接球体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·福建福州·期中）三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，，直线AC与BD所成角为，则三棱锥外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 题型十一 新定义问题 解｜题｜技｜巧 逐字拆解新定义的条件，转化为已学的向量运算或几何关系；先验证定义中的关键性质，再套用常规方法。 【典例1】（25-26高二上·云南·开学考试）在一个四面体中，若存在一个顶点处的三条棱两两垂直，则称该四面体为直角四面体，同时，把该顶点叫作“完美顶点”.若在四面体中存在“完美顶点”，，，，F为的中点，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·安徽·期末）已知向量，，是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，所得向量垂直于向量，所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量.若向量，，则平面的法向量为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·全国·课后作业）（多选题）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定： ①为同时与垂直的向量； ②，三个向量构成右手系（如图1）； ③． 如图2，在长方体中中，，，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（24-25高二上·浙江金华·期中）在平行六面体中，若直线与的交点为．设，，，则下列向量中与共线的向量是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南·月考）已知平面内有四点，，，，且为空间中一点，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·云南·月考）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 4. （24-25高二上·广东阳江·月考）如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线和上移动，且（）．则线段的长的最小值为 ． 5. （23-24高二上·江西·月考）如图，正四棱锥的高为6，，且M是棱上更靠近C的三等分点. (1)证明：； (2)若在棱上存在一点N，使得平面，求的长度. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1. （24-25高二上·海南·期中）已知是空间中的三个单位向量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·福建宁德·期末）在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山西太原·月考）如图，已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 4. （24-25高二上·上海·期末）如图，棱长为1的正方体有一个截面，其中、分别在棱上.若是正方形，则截面UVWXYZ的面积为 . 5. 如图1在梯形ABCD中，，且为AB中点，为BC上一点，且．现将该梯形沿AC折起，使得点折叠至点的位置（如图2），且二面角的平面角大小为. (1)求证：； (2)求直线CE与平面PEF所成角的正弦值. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1. （24-25高二下·江苏连云港·月考）在平行六面体中，且，，若，则棱的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 2．如图所示，在棱长为2的正方体中，直线平面，是的中点，是线段上的动点，则直线与侧面的交点的轨迹长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·贵州六盘水·期末）如图，正八面体的每条棱长均为与交于点为正八面体内部或表面上的动点.若，则的最小值为 . 4．（2026高二·全国·专题练习）在长方体中，为长方体表面上的动点，且，则点的轨迹的长度为 . 5．（25-26高二上·山西临汾·月考）如图，在三棱锥中，，且分别为的中点．点满足，为线段上的动点．    (1)求证：； (2)当与平面所成角取得最大值时，求； (3)若二面角的余弦值为，求． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题03 立体几何重难题型全归纳（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01共线、共面定理的应用 题型02求模长、数量积的最值或范围 题型03求距离（体积）、角度的最值或范围 题型04角度、距离的存在性问题 题型05平行、垂直位置关系的存在性问题 题型06平面几何折叠、展开类问题 题型07非常规几何体（切割、组合）问题 题型08截面的形状、周长、面积问题 题型09立体几何中的动点轨迹问题 题型10空间向量解决外接球问题 题型11新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 空间向量加减法则与减法转相反向量 能准确运用首尾相接与共起点规则进行向量加减运算，并正确判断结果向量的方向 基础必考，多融入角与距离的向量求解 数乘定义、几何意义与共线条件 能根据数乘系数的正负判断向量方向，准确计算数乘后的模长，并运用共线条件解决点共线问题 基础工具考点，多作中间步骤，符号与模长易错 两向量夹角的定义与范围 能准确判断两向量夹角是锐角、直角还是钝角，避免与直线所成角混淆 概念辨析考点，常结合数量积符号判断 数量积公式与坐标运算 能正确计算数量积并判断正负，理解数量积为零与垂直的关系 高频基础考点，求角求距全程使用 异面直线所成角的范围与求法 能正确使用绝对值处理方向向量夹角，避免将钝角误作所成角 高考常考，多与空间向量结合 线面角的范围与正弦求法 能区分线面角与法向量夹角的关系，正确选用正弦公式 解答题高频，常与线面垂直证明组合 二面角的范围与法向量取角判断 能结合图形判断二面角是锐角还是钝角，不机械套用法向量夹角 解答题核心，钝角判断是区分点 向量投影法求点到直线距离 能识别点到直线某点距离与最短距离的区别，正确选取直线上一点及方向向量 多作解答题中间步骤，概念混淆易错 点面距公式与法向量应用 能正确求平面法向量并代入距离公式，避免漏绝对值或分母 常与体积或存在性问题结合 知识点01 空间向量线性运算 1、空间向量的加法和减法运算 ①，．如图所示． ②空间向量的加法运算满足交换律及结合律 ， ·易错点：起点不同直接相加减：向量加减要求“首尾相接”或“共起点”，不能把任意两个向量的坐标随意对应相减而不说明几何意义。 ·示例：在平行六面体中，，方向是从 指向 ；易错写成 ，两者互为相反向量。 2、空间向量的数乘运算 （1）数乘运算 实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算．当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反．的长度是的长度的倍． （2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：，． （3）共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作． （4）共线向量定理：对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． （5）直线的方向向量 为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式． （6）共面向量 如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （7）共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． ·易错点：认为 时向量长度变负，误写 。 ·示例：，则 是与 反向、长度为 的向量；其长度 ，仍为正数，不是 。 知识点02 空间向量的数量积运算 1、两向量夹角 已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作． 2、数量积定义 已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作，即．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，． 3、空间向量的数量积满足的运算律： ，（交换律）； （分配律）． ·易错点：把数量积当成向量，或认为结果一定非负。 ·示例：，夹角 ，则，是实数且为负；易错写成或写成向量形式。 知识点03 空间向量的坐标运算及应用 1、设，，则； ； ； ； ； ． 2、设，，则． 这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标． 3、两个向量的夹角及两点间的距离公式． ①已知，，则； ； ； ； ②已知，，则， 或者．其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式． 4、向量在向量上的投影为． 知识点04 空间中的角 1、异面直线所成角 ①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）． ②范围： ③求法： 1）平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形． 2）向量法：设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法：① ② 2、线面角 ①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角． ②范围： ③求法： 1)常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）； 2)向量法：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则． ·易错点：公式用错，把 写成 。 ·示例：正方体棱长为 ，体对角线方向向量 ，底面法向量 ，则 ，；易错写成 。 3、二面角 （1）定义：一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 （2）范围： （3）求法：传统法5个+向量法 ①定义法 在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． ②三垂线法 在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤： ①找点做面的垂线；即过点，作于； ②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接； ③计算：为二面角的平面角，在中解三角形． 图1 图2 图3 ③射影面积法 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小； ④补棱法 当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的射影面积法解题． ⑤垂面法 由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角． ⑥向量法 设是二面角的两个半平面的法向量， 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； （特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.） 知识点05 空间中的距离 1、点线距 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点面距 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. ·易错点：公式漏绝对值，导致距离为负。 3、线线距 设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． 4、线面距和面面距：一般转化成点面距 题型一 共线、共面定理的应用 解｜题｜技｜巧 证三点共线用 ；证四点共面用共面向量定理，或对空间任一点 构造 且 。 易｜错｜点｜拨 由“某两个向量不共线”直接断定四点不共面是错误的，共面时也可能得到不共线的向量对。 【典例1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点． 【详解】对于A，， ，不共线，即三点不共线，故A错误； 对于B，， ，不共线，即三点不共线，故B错误； 对于C，， ，则共线，即三点共线，故C正确； 对于D，， ，不共线，即三点不共线，故D错误； 故选：C． 【变式1】（25-26高二上·全国·课后作业）已知非零空间向量，且，则一定共线的三点是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点． 【详解】对于A，， ，不共线，即三点不共线，故A错误； 对于B，， ，不共线，即三点不共线，故B错误； 对于C，， ，则共线，即三点共线，故C正确； 对于D，， ，不共线，即三点不共线，故D错误； 故选：C． 【变式2】（25-26高二上·宁夏银川·阶段练习）设为不共线的三点，在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论. 【详解】空间向量共面定理：， 若不共线，且共面，其充要条件是. 对A，因为，所以四点不共面； 对B，因为，所以四点共面； 对C，由可得， 因为，所以四点不共面； 对D，由，可得， 即，因为，所以四点不共面. 故选：B 题型二 求模长、数量积的最值和范围 答｜题｜模｜板 优先将所求量表示为某一变量的函数（如动点坐标参数），利用二次函数或基本不等式求最值；也可利用数量积的几何意义（投影）转化。 【典例1】（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知空间向量，，满足，，且，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．25 D．36 【答案】A 【分析】由题意设，，，利用数量积的坐标运算求得的最小值. 【详解】因为，， 故可设，，， 又，所以， 所以，解得， 又， 所以， 当且仅当时取得等号， 所以的最小值是5. 故选：A. 【典例2】（25-26高二上·四川·期中）如图，在四面体中，，且为的中点，点是线段上的动点（含端点）． (1)以为基底表示； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)-1 【分析】（1）利用空间向量基本定理得到，； （2）设，得到，求出，当时，取得最小值. 【详解】（1）由题意可得 ， 所以 ； （2）设， 因为 ， 所以 ， 故当时，取得最小值，最小值为． 【变式1】（25-26高二下·福建厦门·阶段练习）在平行六面体中，且，，若，，则棱的最大值为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】设，，，利用空间向量基本定理有，进而可得，利用判别式即可求解. 【详解】设，，，则有， 由，， 所以，， 所以 ， 即 ， 所以， 整理得， 所以， 则，解得，则棱的最大值为4. 故选：D. 【变式2】（25-26高二上·北京·阶段练习）在平行六面体中，，，.    (1)求的长； (2)求到直线的距离； (3)动点在线段上运动，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用空间向量的基本定理直接求解即可； （2）结合长度关系，利用线面垂直得出，即得为到直线的距离，进而求解即可； （3）设，表示出 ，即可求出所求的最小值. 【详解】（1）由题知，， 因为， 所以 ， 而， ， ， 所以， 即的长度为. （2）因为， 所以 ， 所以， 在中，， 所以， 即， 又因为， 所以平面， 而平面， 所以， 即为到直线的距离， 而， 所以三角形为等边三角形，即， 即到直线的距离为. （3）设， 则 ， 当时，这时的最小，且为. 题型三 求距离（体积）、角度的最值和范围 答｜题｜模｜板 几何体中最值常用二次函数法、基本不等式法、垂线段最短或两点之间线段最短；角度范围可借助向量夹角的余弦值范围反推。 易｜错｜点｜拨 将“距离最值”误当作“某两点间距离”求，忽略垂线段才是最短距离。 【典例1】（25-26高三下·重庆北碚·阶段练习）如图所示，棱长为1的正方体中，分别是棱上的动点，且，则三棱锥体积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设边长建系设出点的坐标，再求出点到面的距离得出三棱锥的高，进而得出三棱锥的体积，最后应用导数得出体积的最大值. 【详解】设， 以分别为轴，建立空间直角坐标系，    则，， 设平面的法向量为，又， 则，即， 令，则，所以， 又， 到平面的距离， ， 令单调递增， 当时，. 故选：C. 【典例2】（25-26高三上·河南·阶段练习）如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设棱长为1，，建立如图坐标系，根据计算点P坐标和向量，再写出平面的一个法向量的坐标，根据构建关系，求其值域即可． 【详解】如图，设正方体棱长为1，，则， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 则，故，，又，则，所以． 在正方体中，可知体对角线平面， 所以是平面的一个法向量， 所以． 所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值． 所以． 故选：A． 【变式1】（25-26高二上·河南·阶段练习）在长方体中，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面APC距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以点D为原点建立空间直角坐标系，表示出的坐标，然后求出平面APC的法向量，表示出点B到平面APC的距离为，即可得到其最大值. 【详解】 如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设， 则，，，，则，故， 又，，于是， 设平面APC的法向量，则有， 可取， 则点B到平面APC的距离为， 当时，点B到平面APC的距离为0， 当时，， 当且仅当时，取等号，所以点B到平面APC的最大距离为， 故选:D． 【变式2】（2026高二·全国·专题练习）如图，在正方体中，为线段的中点，设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用夹角公式得，利用二次函数即可求解. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，不妨取． ，，，， 设，，，，． 设平面的法向量是，则，取， 则． 故选：C． 题型四 角度、距离的存在性问题 解｜题｜技｜巧 设动点坐标含参数，代入角度或距离公式建立方程，解出参数后检验是否在允许范围内（如线段上 ）。 易｜错｜点｜拨 解出参数后不验证几何意义（如点是否在棱上、是否重合），导致增解。 【典例1】（25-26高二上·江苏盐城·阶段练习）如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，为的重心.    (1)证明：平面； (2)若为的中点，求线段的长； (3)设为线段上的一个动点，是否存在点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，使得，理由见解析，. 【分析】（1）以为基底，表示表示，结合向量运算性质证明，由此证明结论； （2）利用基底表示，结合数量积性质求其模，可得结论； （3）设存在点，满足条件，且，利用基底表示，结合假设及数量积性质求，可得结论. 【详解】（1）由已知不共面，故为一组基底， 由已知， ， 所以， 由已知， 因为为的重心，所以， 所以， ， 所以，，即， 又平面，， 所以平面； （2）因为，， 又为的中点， 所以， 所以， 所以， 所以线段的长为；    （3）设存在点，使得，且，， 则， ， 所以， 所以， 所以 ， 所以， 所以存在点，使得，此时. 【变式1】（24-25高二上·福建泉州·期中）已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，． (1)用向量表示向量，并求的长度； (2)设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）先表示出，然后根据可求的表示；采用先平方再开方的方法结合数量积计算公式求解出的长度； （2）假设存在满足条件，先表示出，再根据三点共线得到对应方程组，由此可求的值. 【详解】（1）因为， ， 所以； 所以 ， 所以. （2）假设存在满足条件，所以， 因为，，三点共线，所以设， 所以， 所以，解得， 故满足条件. 【变式2】（25-26高二上·广东·阶段练习）图1是一个边长为的正方形为正方形的中心.把三角形沿翻折，使得二面角为（如图2），分别是的中点. (1)求翻折后的余弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角为，若存在，请说出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）连接，可证，建立如图所示的空间直角坐标，利用空间向量可求角的余弦值； （2）若存在，设，则可用表示的坐标，再计算出平面和平面的法向量后得到关于的方程，结合该方程在上无解可得不存在. 【详解】（1）在正方形中，连接，因为为正方形的中心， 所以， 所以是二面角的平面角，即，即， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，由分别是的中点． 则， 的余弦值为 （2） 设平面的一个法向量为，， 所以，即，令，则， 假设存在点，满足平面与平面的夹角为， 又，设， 所以， 设平面的一个法向量为，， 所以，即， 令得， 所以，，整理得， 解得， 因为，与矛盾， 所以，不存在使得有解， 所以，线段上是不存在一点，使得平面与平面的夹角为. 题型五 平行、垂直位置关系的存在性问题 解｜题｜技｜巧 设点坐标，利用向量平行（共线）或垂直（数量积为零）列方程，解出参数后确认点位置。 易｜错｜点｜拨 线面平行条件用“方向向量与法向量垂直”列式后，未排除直线在平面内的情况。 【典例1】（25-26高二上·吉林·阶段练习）如图，在正方体中，点E，F，M分别是线段，EC，的中点.设，，.    (1)用基底表示向量. (2)棱BC上是否存在一点G，使得？若存在，指出G的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在一点G，理由见解析 【分析】（1）结合空间向量的线性运算，由空间向量基本定理求解即可； （2）假设棱BC上存在点G，使得，设，由基底表示出向量，由即可求出. 【详解】（1）因为，， 所以． （2）假设棱BC上存在点G，使得，设． 因为， 所以． 因为，所以，化简得， 得，所以棱BC上不存在一点G，使得. 【变式1】如图，在四棱锥中，平面，，，，，， (1)证明：平面平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)如图，连接,由于平面，平面,则. 且，，则. 又，则，故. 又,则,又,则四边形为平行四边形.则. 平面,平面,则平面(∗). 由于，，则.又，则, 则,则，则. 平面,平面,则平面(∗∗). 平面,结合 (∗)，(∗∗)，得到平面平面. (2)存在，，证明如下： 由前面证明知道，四边形为矩形，平面， 则两两垂直，可建立空间直角坐标系.则 , 设,则. 设平面法向量为，且. 则,则，则解得. 又,若平面，则. 则， 则，解得.此时. 故棱上存在一点，使得平面，. 【变式2】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，E是的中点， (1)求证：平面 ； (2)求证：平面； (3)侧棱上是否存在一点F，使得平面，若存在，则求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）连接交于点，证，即得平面； （2）由勾股定理证得，即可推得平面； （3）利用（2）结论建系，设，求出相关点和平面法向量坐标，由求出的值，即可判断求解. 【详解】（1） 如图，连接交于点，连接，由正方形可得： 因是的中点， 则， 又因平面，平面， 故平面. （2）因则, 故有,因平面，故平面. （3） 由题意和（2）的结论，如图，可以点为原点， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，因E是的中点，则， 设，解得，则得,, 设平面的法向量为，则 故可取.由平面可得， 即，解得，即存在点时，满足平面， 此时，. 题型六 平面几何折叠、展开类问题 解｜题｜技｜巧 抓住折叠前后的不变量（长度、角度、平行垂直关系），将立体图中的量放回原平面图形中计算。 易｜错｜点｜拨 把折叠后已改变的角或距离当作原平面图形中的值继续使用。 【典例1】如图所示，已知等腰梯形中，，是的中点，将沿对折至，使得与边长为2的菱形成60°的二面角，折叠后发现. (1)求点P到平面的距离； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）分析与的垂直关系，确定二面角的平面角，再结合线面垂直的判定，找到在平面内的射影，进而利用三角函数计算距离； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，再利用向量的夹角公式计算二面角的余弦值，进而求出正弦值. 【详解】（1）由题设，可知， 取中点，连接，，故， 又，，平面， ∴平面， 又平面，故. 故为平面与平面所成二面角的平面角，则. 因为平面，故平面平面，平面平面， 过作交于， 故平面. ∵，∴， 因此点到平面的距离为. （2）以为坐标原点，直线，为x轴，y轴，过且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，. ，，. 设平面的法向量为，则，即 取，∴， 设平面的法向量为，则，即 取，∴， ∴，故， 所以二面角的正弦值为. 【变式1】如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面.如图2，的中点为O. (1)求证：平面BCD； (2)若AD的中点为G，在线段AC上是否存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明： 因为，的中点为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质可得平面. (2)点位于线段靠近的三等分点处. 【分析】（1）由，的中点为，推导出，再利用面面垂直性质定理即可证明. （2）分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，，，利用面面角的空间向量公式列出方程求解即可. 【详解】（1）略； （2）取的中点为，连接，则， 由图1直角梯形可知，为正方形， ，，， 又，，. 由（1）平面，可知，，两两互相垂直， 分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，， 因为是中点，由中点公式可得， ，设，∴， ， ， 设平面的法向量为， 则， 取，则.即平面的法向量为， 由平面，取平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 化简得，解得或（舍）， 所以，线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为， 点位于线段靠近的三等分点处. 【变式2】如图1，等腰直角的斜边为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图2，为的中点． (1)证明：． (2)求平面和平面所成角的余弦值． (3)试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 在图1中的等腰直角中，为的中点，可得， 所以在图2中，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为平面，所以是二面角的平面角，即， 所以为等边三角形，因为为的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，. (2) (3)存在； 【分析】（1）根据题意，证得平面，得到，再由平面，得到，得出为等边三角形，证得，证得平面，即可证得； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，求得，根据题意，利用向量的夹角公式，列出方程，求得的值，即可得到答案. 【详解】（1）略 （2）解：以为原点，垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以， 所以平面和平面所成角的余弦值为. （3）解：假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 由（2）得， 设，则， 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 解得或（舍去）， 所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时. 题型七 非常规几何体（切割、组合）问题 解｜题｜技｜巧 空间向量非常规几何体（切割、组合）问题的解题策略 1.拆解建系定坐标：根据切割/组合的结构，以原常规几何体或拼接处的关键位置（如顶点、垂直交点、对称中心）为原点建立空间直角坐标系；利用常规几何体的边长、棱长等已知条件，结合切割后的剩余长度或组合后的位置关系，确定各关键顶点的坐标。 2.提取关键向量：针对目标问题（如线面角、面面距离、体积等），从非常规几何体中提取对应的几何元素（直线、平面、棱等），写出其方向向量、法向量或连线向量的坐标，明确向量与几何体拆解部分的对应关系。 3.结合结构列关系：将关键向量代入目标问题的对应公式（如角度用夹角公式、距离用投影公式、体积用向量标积公式），同时结合切割/组合的结构约束（如切割面与原几何体表面的交线关系、组合体拼接面的垂直/平行关系），列出方程或表达式。 4.求解验证合理性：求解方程得到目标结果，结合非常规几何体的实际结构（如切割后线段长度为正、组合后点面位置符合拼接要求）验证结果的几何合理性，确保结果与几何体的切割/组合特征一致。 易｜错｜点｜拨 分割时重复计算或遗漏交叠部分，导致体积或表面积偏差。 【典例1】（25-26高二下·云南临沧·阶段练习）如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为菱形，，，为的中点，平面平面，．    (1)证明：平面 (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求三棱台的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明. （2）利用两个平面夹角的向量求法求出，再利用棱台的体积公式即可求得结果. 【详解】（1）    证明：连接，因为，平面，平面， 所以平面， 因为，，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为，，平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面； （2）因为平面平面， 平面平面，，平面， 所以平面， 取的中点，连接，，因为四边形为菱形，， 所以为等边三角形，所以， 又，所以， 所以，，两两垂直， 则以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，， 则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则即， 取，得， 故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则即， 取，得， 故平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则 ，解得或舍，即， 因为的面积为， 的面积为， 所以三棱台的体积 ． 【变式1】（25-26高二上·辽宁大连·阶段练习）如图所示，半圆柱与四棱锥拼接而成的组合体中，是半圆弧上（不含）的动点，为圆柱的一条母线，点在半圆柱下底面所在平面内，．    (1)求证：； (2)若面，求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到直线距离的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取弧中点，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，求出，利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）由数据求出点坐标，再求出平面FOD与平面的法向量，利用面面角的向量求法求解. （3）利用空间向量求出点到直线距离的函数关系，再求出最大值即可. 【详解】（1）取弧中点，则，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 连接，在中，，，则， 于是， 设，则，其中，， 因此，即， 所以.    （2）由平面，得， 又，则，而平面， 则平面，即为平面的一个法向量， ，由平面，得， 又，解得，此时， 设是平面的法向量，则，取，得， 设是平面的法向量，则，取，得， 则平面FOD与平面夹角的余弦值为. （3）， 则点到直线的距离， 当时，即的坐标为时，点到直线的距离取最大值为 【变式2】（25-26高二下·浙江·期中）如图，现有三棱锥和，其中三棱锥的棱长均为，三棱锥有三个面是全等的等腰直角三角形，一个面是等边三角形，现将这两个三棱锥的一个面完全重合组成一个组合体． (1)求这个组合体的体积； (2)求证：平面 (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）将多面体补形为正方体，则多面体的体积可用正方体体积减去三个棱锥体积即可求得； （2）由面面平行证得线面平行； （3）在正方体中建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用向量夹角公式即可求得． 【详解】（1）由题意，可将组合体补形为正方体， 如图所示，由，可得正方体棱长为， 故多面体的体积； （2）在正方体中，平面平面，平面， 故平面，即平面； （3）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则有，令，则，所以， 取平面的一个法向量为， 则， 由图可知，二面角的平面角为钝角， 故二面角的余弦值为. 题型八 截面的形状、周长、面积问题 解｜题｜技｜巧 先利用“同一平面内两点连线”和“平行平面截得交线平行”确定截面与各棱的交点，再判断形状；周长面积在确定形状后按平面几何方法计算。 易｜错｜点｜拨 截面与棱的交点定位错误，导致截面形状判断错误，后续计算全部失效。 【典例1】如图，在正方体中，作截面如图交，，，分别于，，，，则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【答案】A 【分析】根据题意，结合面面平行的性质，证得和，进而得到答案. 【详解】在正方体中，可得平面平面， 且平面平面，平面平面， 所以，同理可证：， 所以四边形的形状一定为平行四边形. 故选：A. 【典例2】已知正三棱锥的侧棱长为，为线段上一点，，．设三棱锥外接球为球，过点作球的截面，则截面面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 如图以点为原点，的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由，利用坐标运算求得正三棱锥底面边长和高，从而可得外接球半径，又过点作球的截面，当时，截面面积的最小，可得解. 【详解】如图在正三棱锥中，平面，且为的中心，为中线， 如图以点为原点，的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，    设，则 所以， 由于，所以，则， 所以， 因为，则 解得， 设，则，则，得， 所以， 过点作球的截面，当时，截面面积的最小， ，所以截面圆半径为， 则面积为. 故选：B． 【典例3】已知正四面体的棱长为，用满足的动点构成的平面截正四面体，所得截面多边形的周长为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设，由得出相应的结论，即可得出点构成的平面截正四面体所得的截面图形求出图形的周长即可. 【详解】将正四面体补全为正方体，则正方体棱长为4， 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 设，则 ， 所以，即点构成的平面截正四面体所得的截面为正方形，边长为， 故截面周长为. 【变式1】（多选）如图，正方体的棱长为，点为的中点，动点满足，，且，，则下列说法正确的是（     ） A．若，则直线与平面可能平行 B．若，则平面截该正方体的截面可能是三角形 C．若，，则平面截该正方体的截面是五边形 D．若，则点到线段距离的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用向量法和平面延展来逐个选项分析. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则， 因为，， 所以， 对于A，若，则，，故， 则， 又平面，平面， 所以平面， 若平面，且平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以， 因为点为的中点， 所以时，即可使得平面，A正确； 对于B，若时，为与交点，为与交点， 根据与可得，此时截面即为三角形，B正确； 对于C，若，，则， 点即为点，在上，平面延伸与无交点， 则截面图形最多四个顶点，C错误； 对于D，若，则，， 所以， 则， 令点到线段距离为，的夹角为， 则，， 所以三角形的面积， 解得， 且， 令，即，解得，符合，D正确. 【变式2】在棱长为1的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为棱靠近C点的三等分点，用过点E，F，G的平面截正方体，则截面图形的周长为 . 【答案】 【详解】连接FG并延长交DC延长线于点H，连接EH交BC于点M，连接GM， 取靠近点的三等分点N，连接FN并延长交的延长线于点Q， 连接QE交于点P，连接NP，则六边形EMGFNP即为过点的截面， 由G为棱靠近点C的三等分点，可得，即， 由，知点M为靠近点C的三等分点，即， 由勾股定理得，，同理得， 则截面图形的周长为. 故答案为：. 【变式3】已知正方体的棱长为4．为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为____________． 【答案】 【分析】通过空间向量法确定垂直于的平面方程，找到截面顶点，判定截面为菱形后，利用对角线求面积即可. 【详解】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体棱长为4， 所以，则， 设截面上的点为，则， 因为过点的平面垂直于，所以是平面的一个法向量， 所以，即，整理得：， 当点在棱上时，，则，得； 当点在棱上时，，则，得； 当点在棱上时，，则，得， 所以截面为四边形， 又因为， 同理可得，所以四边形为菱形， 又因为对角线， 所以面积. 题型九 立体几何中的动点轨迹问题 解｜题｜技｜巧 将动点满足的几何条件（如到某点距离定值、与某线夹角定值）翻译为向量等式或坐标方程，识别轨迹类型（线段、圆、椭圆等）。 易｜错｜点｜拨 忽略轨迹的“边界”——动点被限制在棱或面内时，轨迹只是完整曲线的一部分。 【典例1】（24-25高二上·福建福州·期中）如图，四边形与均为菱形，，，.    (1)求证：平面； (2)为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值； (3)设中点为，为四边形内的动点（含边界）且，求动点的轨迹长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用菱形的几何性质可得出，设，利用等腰三角形三线合一的性质可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）连接，推导出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得与平面所成角正弦值的最大值； （3）设点，根据可得出点的轨迹方程，明确点的轨迹形状，即可得解. 【详解】（1）因为四边形为菱形，则， 设，连接，则为的中点， 因为，则， 因为，、平面，故平面. （2）连接，因为四边形为菱形，则， 又因为，则为等边三角形， 因为为的中点，则， 又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、 、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    因为，四边形为菱形，且，则是边长为的等边三角形， 所以，，，， 同理可得， 所以，、、、、、， 则，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 因为为上的动点，设，其中， 且，， 所以，， 设直线与平面所成角为， 则 ， 当时，取最大值，且最大值为， 因此，与平面所成角正弦值的最大值为. （3）因为为的中点，则， 设点，则，， 因为，即，即， 化简可得， 故动点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在四边形内的部分， 即圆心角为的圆弧，故所求轨迹的长度为. 【变式1】（25-26高三上·浙江·开学考试）已知四棱锥，底面，底面是边长为2的正方形，，为的中点，点为三角形内（包括边界）的一个动点，且. (1)求点的轨迹长度； (2)当二面角正弦值大小为时，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别取、、的中点为、、，连接、、、，利用线面垂直的性质与判定定理可得平面，可求轨迹； （2）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设，，求得平面的法向量，结合已知可求得，进而利用线面角的向量法可求与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）分别取、、的中点为、、，连接、、、. 平面，，平面， 又平面，所以 ，，平面， 平面， 轨迹是线段，长度是； （2）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，设，，，， 设平面的法向量， 则，令，则， 可求得平面的法向量， 又平面的法向量， ， 两边平方得，所以， 所以，所以，所以， 解得或（舍去）， ，，，，，， 可求得平面的法向量， . 所以与平面所成角的正弦值为. 【变式2】（25-26高三上·北京·期中）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则以下说法中不正确的是（    ） A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变 B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若是的中点，点在底面上运动时，不存在点满足平面 D．若点在底面上运动，则使直线与平面所成的角为的点的轨迹为圆上的一段弧 【答案】C 【分析】根据棱锥体积公式即判断A，建立空间直角坐标系，向量法求线线角、线面角，及利用法向量判断线面关系，即可判断B 【详解】当在平面上运动时，到的距离恒为2，故四棱锥的体积不变，A对； 如下图示空间直角坐标系，， 所以且， 设与所成角为且 ，则， 当时，且，可得；当时，； 所以，故 ，B对； 如下图示空间直角坐标系，， 所以，则， 所以，又且面， 所以面，即是面的一个法向量， 由，则， 若平面，则，即， 显然，直线与底面有公共点，即存在点满足平面，C错； 若点在底面上运动，设，，则， 又面的一个法向量，则直线与平面所成的角为， 所以，整理得， 所以的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，其在底面上轨迹为圆上的一段弧，D对. 故选：C 题型十 空间向量解决外接球问题 解｜题｜技｜巧 建系设球心坐标，利用球心到各顶点距离相等列方程组求半径；或补形为长方体，利用体对角线为外接球直径。 易｜错｜点｜拨 球心位置设错（如误认为在某个面上），或补形时几何体与长方体的对应关系搞错。 【典例1】三棱锥中，，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将三棱锥画在长方体方体中，并建立空间直角坐标系，由题目条件分析出点P的轨迹方程，再有三棱锥的外接球的球心满足，找到球心满足的条件，再求出其最值，从而找到半径的最小值，解决问题. 【详解】 如图，将三棱锥画在长方体方体中，并建立空间直角坐标系， 由，由面，可知P点在面上， 又，面，所以为直角三角形， 故，即P点轨迹为以D为圆心，半径为4，在上的圆， 设点，则    —①， 因为为等腰直角三角形，所以三棱锥的外接球的球心在直线上， 设点，由，得—②， 联立①②得：， 设过点和点的直线斜率为，则， 由直线与圆相切，可得， 则，所以，所以． 故选：C 【变式1】在正三棱柱中，为线段上的动点，为边上靠近B的三等分点，则三棱锥的外接球体积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图建立空间直角坐标系，利用外心定义可得的外接圆圆心的坐标，进而可得外接圆半径，设点的坐标为，设的坐标为，然后利用，可得，再由基本不等式可得答案. 【详解】以A为坐标原点，为轴，过A作的垂线为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设三角形的外接圆的圆心为，则点在平面上，且为线段AB中垂线与线段AD中垂线交点，注意到线段AB中垂线方程满足，AD中点为， 又在平面中，，则AD中垂线方程满足， 联立与，故解得点的坐标为， 过点作平面的垂线，则外心一定在此垂线上，故可设的坐标为，又因为， 故三角形的外接圆半径， 由题可设点的坐标为，且， 由外接球的定义知：， 故，得， 故当最小时，半径最小，即体积最小， 由基本不等式知，，当且仅当时等号成立，即， 故体积. 【变式2】（24-25高二上·福建福州·期中）三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，，直线AC与BD所成角为，则三棱锥外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得证为等腰三角形，于是建立如图所示空间直角坐标系，，根据与直线AC与BD所成角为建立方程，求得，然后找出外接球球心，根据相关数量关系，建立外接球半径的等式关系，求出半径，应用球的表面积公式即可得解 【详解】由题意可得，因为为等边三角形，所以， 又，且 所以，所以, 取的中点，易得,又 所以平面，又平面，所以平面平面， 建立如图所示空间直角坐标系， 则，，， 令，所以， 因为，所以，所以， 所以， 因为直线AC与BD所成角为，所以， 解得，即， 如图，为外接球的球心，为等边三角形的重心， 设点A在平面内的投影为，作， 所以, 所以在中， ,, 所以在中，，解得， 所以，三棱锥外接球表面积为， 故选：A 题型十一 新定义问题 解｜题｜技｜巧 逐字拆解新定义的条件，转化为已学的向量运算或几何关系；先验证定义中的关键性质，再套用常规方法。 【典例1】（25-26高二上·云南·开学考试）在一个四面体中，若存在一个顶点处的三条棱两两垂直，则称该四面体为直角四面体，同时，把该顶点叫作“完美顶点”.若在四面体中存在“完美顶点”，，，，F为的中点，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，，得（或其补角）即为与所成的角，根据已知及余弦定理求夹角余弦值. 【详解】取的中点，连接，， 因为，所以（或其补角）即为与所成的角， 因为，，， 所以， 即与所成角的余弦值为. 故选：C 【变式1】（25-26高二上·安徽·期末）已知向量，，是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，所得向量垂直于向量，所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量.若向量，，则平面的法向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据叉乘公式直接代入计算即可. 【详解】由题意得： ， 则向量即为平面的法向量， 故选：A． 【变式2】（25-26高二上·全国·课后作业）（多选题）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定： ①为同时与垂直的向量； ②，三个向量构成右手系（如图1）； ③． 如图2，在长方体中中，，，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题目中所给的叉乘运算的定义及长方体的性质,一一验证即可. 【详解】解: 选项:同时与垂直，且构成右手系， 故，即成立；所以选项A正确. B选项:，，所以；所以选项B错误. C选项:连接,．，所以是一个与方向相同的向量,且. ，与共线，且方向相同，，与共线，且方向相同， 因为,所以，与共线，且方向相同， 因此；所以C选项正确. D选项:，由A选项知:， 所以．所以D选项正确. 故选:ACD 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（24-25高二上·浙江金华·期中）在平行六面体中，若直线与的交点为．设，，，则下列向量中与共线的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把表示出来，根据向量的数乘运算判断向量的平行. 【详解】如图： 因为. 所以与平行. 故选：D 2．（25-26高二上·河南·月考）已知平面内有四点，，，，且为空间中一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间中四点共面的结论求解. 【详解】因为，所以. 因为，，，四点共面，所以，故. 故选：A 3．（25-26高二上·云南·月考）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的基底的定义结合向量共面逐项分析判断. 【详解】对于A，假设三个向量共面，则存在实数x，y，使得成立， 则显然方程组无解，所以不共面，故A正确； 对于B，因为，所以共面，故B错误； 对于C，因为，所以共面，故C错误； 对于D，因为，所以共面，故D错误. 故选：A. 4. （24-25高二上·广东阳江·月考）如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线和上移动，且（）．则线段的长的最小值为 ． 【答案】 【分析】结合面面垂直的性质定理与线线垂直的性质定理可得，则可设，，结合向量线性运算可得；结合向量模长与数量积的关系，计算可得. 【详解】因为四边形正方形，故，而平面平面， 平面平面，平面，故平面， 而平面，故． 设，则，其中， 由题设可得： ； ，故， 当且仅当即时等号成立，故 故答案为： 5. （23-24高二上·江西·月考）如图，正四棱锥的高为6，，且M是棱上更靠近C的三等分点. (1)证明：； (2)若在棱上存在一点N，使得平面，求的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，连接，证明平面后可证得线线垂直； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求得点位置，计算出向量的模得结论． 【详解】（1）如图，连接，交于点，连接. 底面是正方形，，，， ，，平面.平面. 平面，. （2）以O为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，. ，，，. 设平面的法向量为.则 取，则，，得. 设，，则. 平面，，得.故. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1. （24-25高二上·海南·期中）已知是空间中的三个单位向量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可求得，再结合数量积的定义分析运算. 【详解】因为，则， ， 又， 故当，即与同向时，有最大值. 所以. 故选：D 2．（24-25高二下·福建宁德·期末）在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意设为为中点，，故问题转换为求的最大值即可. 【详解】 设三棱锥的外接球的球心为， ，，两两垂直，且，则； 三棱锥的外接球的半径为 为的中点，为的中点，，设为为中点，则 ，   ， 要使取到最大值，则必须达到最大，则、、三点要共线， 且满足，故 故选：D. 3．（24-25高二上·山西太原·月考）如图，已知正方体的棱长为分别是棱的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设点，结合条件直线则，由此确定点的轨迹，再求轨迹长度. 【详解】以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设点， 则. 设平面的法向量为，由， 取，可得， 所以为平面的一个法向量. 由题意可知，平面，则， 令，可得，令，可得， 所以点的轨迹为线段，且交于点，交于点， 所以点的轨迹长度为. 故选：B. 4. （24-25高二上·上海·期末）如图，棱长为1的正方体有一个截面，其中、分别在棱上.若是正方形，则截面UVWXYZ的面积为 . 【答案】/ 【分析】以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，取，六边形UVWXYZ即是所求截面，再求出其面积即可. 【详解】以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，如下图所示： 当时， 则，所以， 又， 设，则，解得， 即，所以共面， 所以共面， 因为，所以，即， 又因为所以是正方形， 所以当时，六边形UVWXYZ就是所求截面， 此时, 所以截面UVWXYZ的面积为， 故答案为：. 5. 如图1在梯形ABCD中，，且为AB中点，为BC上一点，且．现将该梯形沿AC折起，使得点折叠至点的位置（如图2），且二面角的平面角大小为. (1)求证：； (2)求直线CE与平面PEF所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在图1中，连接，交于点，连接，即可证明四边形是菱形，从而得到，即可得到，从而证明平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）图1中，连接，交于点，连接， 为AB中点，， 又，，四边形是菱形， ， 所以在图2中，，又平面，， 平面， 又平面，； （2）以中点为坐标原点，为轴，为轴，过点做垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系． 则， 所以，，， 设平面的法向量， 由，有，， 令，则， 设与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为； 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1. （24-25高二下·江苏连云港·月考）在平行六面体中，且，，若，则棱的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】设，利用空间向量基本定理有，得，转化为代数问题，利用基本不等式有，令，即得，转化为关于的一元二次不等式即可求解. 【详解】设，则有， 由，，所以，， 所以 ， 即， 由，当且仅当时，等号成立， 所以， 即，令， 即，关于的一元二次不等式要有解， 所以，解得，即， 所以的最大值为，当时，， 即，所以，即时，等号成立， 故选：D. 2．如图所示，在棱长为2的正方体中，直线平面，是的中点，是线段上的动点，则直线与侧面的交点的轨迹长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先建立空间直角坐标系，设出点的坐标，保证四点共面，从而得到向量与平面的法向量垂直，进而分析得出的方程表示的轨迹是什么，求解即可. 【详解】分别以所在直线为轴，如图建立空间直角坐标系； 其中点，， 由于直线平面，设，如图所示： 在矩形中，易得，可得：，    可得点满足，从而， 设平面的法向量为， 且，， 可得，即，不妨取， 由于直线与侧面的交点，设点， 可得四点共面， 且，显然， 得方程，显然方程在平面内表示一条直线， 当时，点，此时两点重合， 当时，，点，设线段的中点为，此时两点重合， 从而可得直线与侧面的交点在线段上， 又因为与重合时点与D重合，与重合时点与线段的中点H重合， 所以点的轨迹为线段，且， 故选：B.    3．（25-26高二上·贵州六盘水·期末）如图，正八面体的每条棱长均为与交于点为正八面体内部或表面上的动点.若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据正八面体的性质建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解最值即可. 【详解】连接CE，由正八面体性质得两两互相垂直，故以O为坐标原点， 分别以所在直线为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系， 由正八面体的各棱长均为，根据正八面体的对称性， 可得， 则， 又，所以，， 设点，则，因为，所以， 即，又， 所以 ， 故当，，即时，取到最小值为． 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标运算结合函数性质求解最值. 4．（2026高二·全国·专题练习）在长方体中，为长方体表面上的动点，且，则点的轨迹的长度为 . 【答案】 【分析】连接，，且以为原点建立空间直角坐标系，设，证明是的中点，是的三等分点，求出的轨迹方程，证明轨迹长度即为该平面与长方体六个平面的交线长度之和，据此分情况求和即可. 【详解】    如图，连接，，且以为原点建立空间直角坐标系， 故，，，， 设，且已知，， 故，， 即是的中点，是的三等分点， ，，，， ，的轨迹方程为平面， 故轨迹长度即为该平面与长方体六个平面的交线长度之和， 联立方程组，得， 当时，，令，则， 故此时在面内轨迹长度为， 联立方程组，得到， 当，时该方程无解， 则交线不在面内， 此时轨迹长度为，故排除， 联立方程组，可得， 当时，当时， 故此时轨迹长度为， 联立方程组，可得， 当，时该方程无解， 则交线不在面内， 此时轨迹长度为，故排除， 联立方程组，可得， 当，时该方程无解， 则交线不在面内， 此时轨迹长度为，故排除， 联立方程组，， 可得， 当时，当时， 故此时轨迹长度为， 综上，轨迹长度为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·山西临汾·月考）如图，在三棱锥中，，且分别为的中点．点满足，为线段上的动点．    (1)求证：； (2)当与平面所成角取得最大值时，求； (3)若二面角的余弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或. 【分析】（1）连接，证得和，利用线面垂直的判定定理，得到平面，进而证得. （2）根据题意，证得平面，以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量和，设且，求得向量，结合向量的夹角公式，得到，令，利用函数的单调性，即可求解； （3）由（1）知，平面的法向量为，且，再求得平面的法向量，结合向量的夹角公式，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为且为的中点，所以， 又因为且为的中点，所以， 由，且平面，所以平面， 又由平面，所以. （2）解：因为，且，可得， 又因为为的中点，所以， 在直角中，由，可得， 所以，可得， 因为，且，平面，所以平面， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得， 因为为的中点，所以， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设，因为，可得， 可得，即，所以， 又因为为上的动点，设且，且， 可得，解得， 即，所以， 设与平面所成角为，则， 设，当时，取得最小值， 所以当时，取得最大值，即与平面所成角取得最大值， 即，且，所以. （3）解：由（1）知，平面的法向量为，且， 所以，且， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设二面角的大小为，可得， 因为二面角的余弦值为，所以， 整理得，解得或， 又因为且， 当时，可得；当时，可得， 即的长为或.    1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $