专题05 椭圆（期中复习讲义·培优版，14大核心题型）高二数学上学期人教A版

专题05 椭圆（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 利用椭圆的定义求轨迹方程 题型二 根据方程表示椭圆求参数 题型三 求椭圆的标准方程 题型四 和、差距离的最值 题型五 椭圆的焦点三角形问题 题型六 椭圆的离心率问题 题型七 椭圆有界性的应用 题型八 椭圆的实际应用 题型九 椭圆参数方程的应用 题型十 椭圆的光学性质 题型十一 直线与椭圆的位置关系问题 题型十二 弦长问题 题型二三 中点弦问题 题型十四 定点、定值问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 椭圆定义 掌握椭圆的定义 基础考点，常出现在选择题，填空题 根据椭圆定义求方程 掌握椭圆的定义求标准方程 基础考点，常出现在选择题，填空题 根据方程表示椭圆求参数 掌握椭圆的标准方程 基础考点，常出现在选择题，填空题 椭圆离心率 掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中a，b，c，e的几何意义 基础考点，常出现在选择题，填空题 椭圆中的焦点三角形 掌握椭圆中焦点三角形常用结论，定义，余弦定理，面积公式 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 椭圆的实际应用 能通过审题，将椭圆的实际应用问题转化为椭圆方程及性质的应用问题 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 知识点01 椭圆的定义 1、椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明：若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 知识点02 椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 说明：（1）在椭圆的两种标准方程中，都有和； （2）椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； （3） 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. ·易错点：这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 知识点03 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 说明：椭圆的离心率为椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 知识点04 椭圆的参数方程（拓展） 以焦点在x轴上的椭圆标准方程为例进行推导。 我们知道三角函数中有，这与椭圆标准方程的形式相似。于是，我们可以令： 将其代入椭圆标准方程中： 所以，焦点在x轴上的椭圆的参数方程为（为参数）。 同理，焦点在y轴上的椭圆标准方程的参数方程为（为参数）。 知识点05 椭圆的参数方程（拓展） 1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： 2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，. （4）椭圆的焦点三角形面积：已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，则的面积为. (5)椭圆的焦半径公式： 若点P在椭圆C: 上，且C的左、右焦点分别为，则（可巧记为：左加右减）. 若点P在椭圆C: 上，且C的下、上焦点分别为，则（可巧记为：下加上减）. 知识点06 直线与椭圆的位置关系 1、位置关系的判断 直线与椭圆的位置关系 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； 3、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； （3）写出根与系数的关系； （4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； （5）代入求解． 知识点07 中点弦问题与点差法 1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 证明：设，，则椭圆 两式相减得 ． 题型一 利用椭圆的定义求轨迹方程 解｜题｜技｜巧 用椭圆定义求轨迹方程的思路：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可. 【典例1-1】．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件可得点在以，为焦点，的椭圆上，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 由题知，又，则， 所以点在以，为焦点，的椭圆上， 由，得，所以点的轨迹方程为， 故选：B. 【典例1-2】（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）平面内，动点P的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】方程表示动点 到两个定点和之间的距离之和为定值， 根据椭圆的定义可以知道，,, ，焦点在轴上，∴动点的轨迹方程为 . 【变式1-1】（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）方程表示的曲线的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义确定焦点位置、长半轴长，计算短半轴长后即可得到椭圆标准方程. 【详解】表示动点到定点的距离，表示动点到定点的距离， 所以，原方程等价于，因为两定点间距，符合椭圆的定义， 所以，的轨迹为椭圆，其中焦点为、，即焦点在轴上，焦距，得；长轴长，得. 所以，，焦点在轴上的椭圆标准方程为， 所以，方程表示的曲线的标准方程为. 【变式1-2】（26-27高二上·湖北武汉·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据椭圆上任意一点到两焦点距离之和为，知，得，又，所以， 所以椭圆的标准方程为. 题型二 根据方程表示椭圆求参数 解｜题｜技｜巧 表示椭圆的充要条件为：； 表示圆方程的充要条件为：. 【典例2】（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，. 【变式2-1】（26-27高二上·上海松江·阶段检测）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，， 所以. 所以实数k的取值范围为. 【变式2-2】（多选）若方程表示椭圆，则的值可以为（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】BD 【分析】根据方程表示椭圆列不等式，由此求得的取值范围，结合选项即可判断. 【详解】由于方程表示椭圆， 所以，解得或， 结合选项，可知的值可以为3和8. 故选：BD 题型三 求椭圆的标准方程 解｜题｜技｜巧 （1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程. 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为. ②与椭圆共焦点的椭圆可设为. ③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）. 【典例3】（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义即可求得，设，由求得，进而求解. 【详解】由的周长为，由椭圆的定义得，解得， 所以，，设，则，可得， 则，解得， 所以椭圆C的方程， 故选：A. 【变式3-1】（26-27高二上·全国·课后作业）与椭圆有公共焦点的椭圆是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】椭圆的焦点在轴上，故排除选项A，D． 在椭圆中，；在椭圆中，，故排除选项B； 在椭圆中，，易知中的椭圆符合题意． 【变式3-2】（25-26高二下·重庆渝中·期末）离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设为长半轴长，为短半轴长，为半焦距，因为离心率为，可得， 因为长轴长为 6，可得，所以，，所以，， 因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为. 【变式3-3】（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在原点，焦点在轴上，且经过两点和； (2)焦点在坐标轴上，且过点和的椭圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设焦点在y轴上的椭圆标准方程，代入已知两点用待定系数法求解参数； （2）设不含焦点位置限制的椭圆一般方程，代入两点求解参数后整理为标准方程. 【详解】（1）已知椭圆中心在原点、焦点在轴上，设其标准方程为， 将点、分别代入方程，得方程组：，解得， 因此所求椭圆标准方程为。 （2）由于椭圆焦点在坐标轴上且位置不确定，设其方程为， 将点、分别代入方程，得方程组：， 解得，代入，得椭圆的标准方程为. 题型四 和、差距离的最值 解｜题｜技｜巧 设，分别为椭圆的两焦点，点是椭圆上任一点，点为平面内一定点. （1） 若定点在椭圆内， ①求 的最值：由 ，转化为求的最值. 有 ，当、、三点共线时取等号，则； ②求 的最值：有，当、、三点共线时取等号，则； （2）若定点在椭圆外，分析过程同（1）. 【典例4】已知动点在椭圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，将问题化为的最小值，数形结合即可得解. 【详解】 由题意，为一个焦点，另一焦点为，且； 因为，所以在椭圆外部，所以，即求的最小值； 由于，当三点共线时取等号； 所以的最大值为； 故选：D. 【变式4-1】（25-26高三下·河北沧州·阶段检测）记，点在椭圆上，点在圆上，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】记，由椭圆第一定义得， 在中，有（当且仅当，，共线且在线段上时取等号）， 圆的圆心，半径，则, . 【变式4-2】（25-26高二上·山东泰安·期末）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义得到，将所求的最大值转化为求的最大值，利用三角形的两边之差小于第三边，三点共线时取等号，从而得到所求. 【详解】，，， ， 设右焦点为，左焦点， ，， 当点共线时取等号， ，，， ，的最大值为. 故选：D. 题型五 椭圆的焦点三角形问题 解｜题｜技｜巧 以椭圆为例，，分别为椭圆的左右焦点，点（除长轴两端点外）是椭圆上任一点，直线与椭圆相交与、两点，,与轴相交于点 （1）焦点三角形面积 （2） （为点到直线的距离） （3）（为坐标原点） 【典例5-1】（多选）（2026·广东梅州·一模）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，椭圆与双曲线的一个交点为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意，利用椭圆和双曲线的几何性质，求得，得到，再由椭圆和双曲线的定义，联立方程组求得，结合勾股定理，得到为直角三角形，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】由题意知，椭圆和双曲线的焦点都在轴上， 则椭圆，可得，则 双曲线，可得，则， 因为椭圆和双曲线有公共的焦点，可得，解得， 所以椭圆且双曲线，则，可得， 不妨设，椭圆与双曲线的一个交点为位于第一象限， 由椭圆的定义，可得， 又由双曲线的定义，可得， 联立方程组，解得， 则满足，可得，所以为直角三角形， 所以的面积为. 【典例5-2】（多选）（2025·高二·湖南永州·期中）已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（     ） A．点的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 【答案】BC 【解析】依题意，不妨设点，由可得故， 则的面积为解得：， 对于A选项，由上分析知点的纵坐标为，故A项错误； 对于B选项，由 知，此时点为椭圆短轴顶点，故， 又由知，故B项正确； 对于C选项，因点在椭圆上，故有 于是的周长为故C项正确； 对于D选项，设的内切圆半径为，则由三角形面积相等可得： ，解之得： 故D项错误. 故选：BC. 【变式5-1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用椭圆的定义，结合余弦定理，可求焦半径，从而可求三角形面积. 【解答过程】 由题意知：， 再由余弦定理得： 代入得：， 解得：，则的面积是, 故选：D. 【变式5-2】（多选）设椭圆的左、右焦点分别为，，坐标原点为O.若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（    ） A． B．的面积为2 C． D．的内切圆半径为 【答案】ABD 【解析】由题意得，，则，． 由对称性可设（，），，，， 由，解得，又，， 所以，， 所以． 由椭圆的定义得， 对于A，在中，设，由余弦定理，得， 即， 解得，故A正确； 对于B，的面积为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，设的内切圆半径为r，由的面积相等，得， 即，解得，故D正确． 故选：ABD． 题型六 椭圆的离心率问题 解｜题｜技｜巧 常用工具：定义： 余弦定理： 齐次式：通过三角函数（如正弦定理）转化几何关系，或利用不等式（如三角形三边关系）构造，的齐次式求离心率（注意椭圆）. 【典例6-1】（25-26高二上·湖南株洲·阶段检测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，A是C的左顶点，P为C所在平面内一点，且∠F1F2P＝60°，若△PF1F2与△PF1A均为等腰三角形，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意椭圆C：，其左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）， 左顶点A（﹣a，0），其中c2＝a2﹣b2， 因为∠F1F2P＝60°，且△PF1F2为等腰三角形，所以△PF1F2是等边三角形， 则|PF1|＝|PF2|＝|F1F2|＝2c， 又因为△PF1A为等腰三角形，且|PF1|＝2c，AF1＝a﹣c， 所以有|PF1|＝|AF1|， 即2c＝a﹣c，即3c＝a， 所以椭圆的离心率． 故选：D． 【典例6-2】（2026高三·全国·专题练习）椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆的左顶点为,根据右焦点F在AP的垂直平分线上，知，得到，列出关于的不等式，求解即得的取值范围. 【详解】设椭圆的左顶点为. 由题意，即以F为圆心，为半径画圆与椭圆有交点P，如图．只需 即即 两边除以得即 得，又， ． 【变式6-1】（26-27高二上·全国·期中）如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆定义写出各焦半径，用勾股定理求出m与a的关系，进而得到a,c关系式求出离心率. 【详解】 连接，设，则，，， 因为，所以在中，由勾股定理得， 即，① 在中，由勾股定理得， 即， 整理得， 将代入①式得，整理得， 所以离心率. 【变式6-2】已知椭圆上存在一点，使得（为长轴端点），则此椭圆的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】写出所在直线的斜率表达式，利用三角形的外角，得出，两边取正切，得出，由点在椭圆上得出，两式联立求出有关的表达式，即可求解离心率范围. 【详解】由题意，设点的坐标分别为． 由椭圆的对称性，不妨设点在轴上方，即， 则所在直线的斜率分别为，． 设的外角为，， 由外角性质得，即， ∴， ∵， ∴，即， 化简得， 又点在椭圆上，则，即． ，得， ∵，∴． ∵，∴，即， ∴，整理得， 即，解得． ∵，∴． 故答案为：. 题型七 椭圆有界性的应用（拓展） 解｜题｜技｜巧 对于与椭圆上的动点有关的取值范围或最值问题，常见的一种解题策略是：将所求量用椭圆上点的坐标表示，建立关于横坐标或纵坐标的函数，再利用椭圆上点的坐标的范围求解. 【典例7-1】（25-26高二上·浙江温州·期中）已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，利用椭圆的焦半径公式求出的取值范围，再结合圆的几何性质可求得的取值范围. 【详解】在椭圆中，，，则，即， 设点，则，且，可得， 所以， 所以， 当且仅当为椭圆的左端点，且为射线与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， ， 当且仅当为椭圆的右端点，且为线段与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 【典例7-2】（多选）（24-25高二上·浙江·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的定义，，将转化为二次函数，即可求解范围，判断A，利用坐标表示，转化为二次函数求解B，利用向量的运算可知，，根据的范围，即可求解，判断C，利用焦半径的最值，即可判断D. 【详解】，，，，，设，，则，， A．，范围是，故A正确； B．设，则，故B错误； C．设为原点，则；故C正确； D．和的最大值为，最小值为 ，所以的最大值为，最小值为，，故D正确. 故选：ACD 【变式7-1】（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，其中，可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】对于椭圆， 则，，， 所以、， 设点，其中，且，故， 所以，， 故， 故当时，取最小值. 故选：A. 【变式7-2】（24-25高二上·江苏南京·期中）设为正实数，椭圆：长轴的两个端点是，，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，则此时，则，讨论焦点在轴和在轴上两种情况即可求解. 【详解】因为为正实数，则若椭圆焦点在轴上，即，即时， 则当位于短轴的端点时，取最大值， 要使椭圆上存在点满足，则此时，则， 则，解得； 若椭圆焦点在轴上，即，即时， 则当位于短轴的端点时，取最大值， 要使椭圆上存在点M满足，则此时，则， 则，解得， 综上，m的取值范围是 故选：B. 题型八 椭圆的实际应用（学科交叉题） 解｜题｜技｜巧 解决椭圆的实际应用问题的一般思路是：根据题意得到几何图形，建立适当的平面直角坐标系，与椭圆知识相联系，找出题目中已知量和隐含条件的关系，求出椭圆方程. 【典例8-1】（25-26高二上·浙江·期末）2025年春晚语言类节目《借伞》中，一批精美的西湖绸伞成为舞台亮点．2008年，西湖绸伞制作技艺入选国家级非物质文化遗产，西湖畔绸伞摇曳，流转千年东方美学的匠心温度.如图有一绸伞放置于地面，假设伞面是一个半径为的圆形平面（与伞柄垂直），该圆形平面的圆心到伞柄底端距离为，当光线与圆形平面垂直时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据勾股定理，椭圆离心率公式进行求解即可. 【解答过程】因为伞面是一个半径为的圆形平面（与伞柄垂直）， 所以， 因为当光线与圆形平面垂直时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上， ，显然， 所以椭圆的离心率. 故选：B. 【典例8-2】某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则（    ） A．轨道的焦距为 B．轨道的离心率为 C．轨道的短轴长为 D．当越大时，轨道越圆 【答案】BCD 【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，根据题意得到；故， 对于A：焦距，故选项A错误； 对于B：因为离心率，故选项B正确； 对于C：短轴长，故选项C正确； 对于D：离心率， 当越大时，椭圆的离心率越小，即椭圆越圆，故D正确； 故选：BCD 【变式8-1】（25-26高二上·北京东城·阶段检测）“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，，则就是“天问一号”在点时对火星的观测角．图（2）所示的四个点处，对火星的观测角最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接点和椭圆的左焦点，由对称性和椭圆上点到焦点距离的特征得点位于图中点处，对火星的观测角最小. 【详解】设火星半径为，椭圆左焦点为，连接，如图所示： 则， 因为， 所以越大，越小，越小， 所以当点位于点处时，对火星的观测角最小， 故选：C. 【变式8-2】（25-26高二上·黑龙江佳木斯·阶段检测）我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体2：黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力材料（SIM）所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气一液两相界面的切线与液一固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液一固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（    ） A． B． C． D．和的大小关系无法确定 【答案】A 【分析】先求将水滴轴截面看成圆的一部分时的水滴角的正切值，再求将水滴轴截面看成椭圆的一部分时的水滴角的正切值，最后比较和的大小得到结果； 【详解】将水滴轴截面看成圆的一部分时，如图1，设圆的半径为，为切线， 为弦的中点，连接，， 则水滴角，所以，由题知，， 所以，解得，所以． 将水滴轴截面看成椭圆的一部分时，建立如图2所示的平面直角坐标系， 设椭圆方程为，则切点为， 易知椭圆在点处的切线方程为， 则此直线的斜率即水滴角的正切值，即． 因为点在切线上，所以，所以， 所以， 因为，所以，因为， 所以. 故选：A． 题型九 椭圆参数方程的应用（拓展） 解｜题｜技｜巧 椭圆的参数方程常用于解决与椭圆有关的点的轨迹问题，代数式的取值范围问题等. 【典例9】（2024高三·全国·专题练习）若椭圆的焦点在y轴上，过点作圆的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好和椭圆只有一个交点，则椭圆内接矩形面积最大时的离心率是 . 【答案】 【分析】由题意，AB是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，可求出直线AB方程，利用椭圆参数方程表示椭圆上点到直线AB的距离，当时，直线和椭圆相切，再椭圆内接矩形面积为，利用基本不等式可得时面积最大，从而得解. 【解析】设，圆的圆心， 则AB是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线， 以为直径的圆的方程为， 即，两圆方程相减， 得直线AB方程为：， 设椭圆上的点为，到直线AB的距离为 . 由于直线和椭圆相切，因此得当时，d取得最小值， 且最小值为0，所以. 椭圆内接矩形面积为. 所以面积的最大值为. 由均值不等式，当且仅当时取等号， 所以离心率. 故答案为： 【变式9-1】（26-27高二·全国·课堂例题）已知椭圆的标准方程为，则椭圆上的点P到椭圆中心O的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：设点，则，结合点P在椭圆上，得，结合的范围可得结果； 方法二：设，，，结合三角函数的性质可得结果. 【解析】方法一：设点，则. 由椭圆的范围，知，. ∵点P在椭圆上，∴，则，∴. ∵，∴，即. 方法二：设，，， 则， 因为，所以.故选：C. 【变式9-2】（25-26高二上·宁夏银川·期中）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且短轴长为2. (1)求椭圆的标准方程： (2)过点且倾斜角为的直线与椭圆交于A、两点，线段的中垂线与轴交于点，是椭圆上的一点，求的最小值. 【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解. （2）由直线和椭圆方程式联立得线段的中点坐标，得到线段的中垂线方程，由此求得的坐标，再由椭圆的参数方程得的坐标，再由两点间的距离公式和复合函数求最值即得. 【解析】（1）由题意设椭圆的方䄇为， 因为椭圆经过点且短轴长为2，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）由已知得直线的方程为， 设，将直线代入， 得，解得，不妨设则；同理得， 即，所以线段的中点坐标， 所以线段的中垂线的方程为， 因为线段的中垂线与轴交于点，所以令得，得， 因为椭圆的标准方程为. 所以设椭圆的参数方程为，，因为是椭圆上的一点， 所以, 所以， 因为，所以， 当时，取得最小值为. 题型十 椭圆的光学性质 解｜题｜技｜巧 椭圆光学性质：从一个焦点发出的光线，经椭圆反射后必过另一焦点；反射光线与法线夹角等于入射光线与法线夹角。 求解策略：①抓焦点、切点（反射点）；②利用该性质转化线段、角度；③结合定义、斜率、导数求切线，或用余弦定理、对称性解题，常与角平分线、距离最值综合。 【典例10】（25-26高二上·江西南昌·期中联考）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先根据题意求出的关系，然后根据几何关系列出等式，求出，进而求出的周长. 【详解】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即． 延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH， 则OH是的中位线，于是， 而点在圆上，则的周长等于．    故选：D. 【变式10-1】（2026·重庆·模拟预测）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.设椭圆的两个焦点分别为，，如图，光线由点发出射到椭圆上的点处，经反射后到点，再经过轴反射到椭圆上的点，最后反射回点，若光线经过的总路程为12，且，则直线的斜率为（ ） A． B．-2 C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义与几何性质，结合余弦定理求解即可. 【详解】由题可知， 所以， 设，则， 根据反射规律可知：，所以， 所以， 所以， 整理并化简得， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以直线的斜率为 【变式10-2】（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射后，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左、右焦点分别为，，从发出的光线，经上的点反射后，反射光线再经上的点反射.若经过这两次反射后，，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出中一边的长度，再结合已知条件和，利用三角函数关系求出三边的长度，再根据椭圆的定义表示出和，最后在中利用余弦定理列出之间的关系式，进而求出椭圆的离心率. 【详解】，，即. 设，则，. ， ，. ，，. ，. ，. 在中，，，， 由余弦定理得：， ，，. 的离心率为. 故选：D. 题型十一 直线与椭圆的位置关系问题 解｜题｜技｜巧 判断直线与椭圆的位置关系时,通过联立直线方程与椭圆方程组成方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则 Δ>0⇔直线与椭圆相交; Δ=0⇔直线与椭圆相切; Δ<0⇔直线与椭圆相离. 【典例11-1】（26-27高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【分析】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系. 【详解】，即，令，解得， 则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内， 则直线与椭圆的位置关系为相交. 故选：B. 【典例11-2】．（23-24高二上·全国·课后作业）对不同的实数，讨论直线与椭圆的公共点的个数. 【答案】答案见解析 【分析】联立直线与椭圆方程，消元，求出，再分、、三种情况讨论，即可得解. 【详解】由，消去并整理得③， 此方程的实数解的个数由它的判别式决定，， 当时，，方程③有两个不相等的实数根，代入方程①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆有两个公共点，即它们相交. 当或时，，方程③有两个相等的实数根，代入方程①得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆有一个公共点，它们在这一点相切. 当或时，，方程③没有实数根，此时直线与椭圆没有公共点，即它们相离. 综上，可得： 当时，直线与椭圆有两个公共点； 当或时，直线与椭圆有一个公共点； 当或时，直线与椭圆没有公共点. 【变式11-1】（25-26高二上·浙江温州·期中）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线l和椭圆C有公共点，联立直线方程和椭圆方程消去y便可得到关于x的一元二次方程，方程有解，从而有判别式，即可解出m的取值范围． 【详解】直线代入椭圆方程消去y得：； ∵直线与椭圆有公共点，方程有解， ∴； 解得，即m的取值范围为. 故选：A 【变式11-2】（25-26高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 【变式11-3】已知椭圆C的标准方程为，若过点的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，则点M的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】设切线的方程，与椭圆联立由判别式等于0可得参数的关系，再由切线过点的坐标可得参数的关系，进而求出参数的值，即求出切线的方程，及切点的坐标． 【详解】解：当切点在第一象限时，斜率存在且不为0， 设切线的方程为：，，由于过点可得：，① 联立直线与椭圆的方程，整理可得：， 则，可得②， 由①②可得：，， 所以切线方程为：； 可得整理的方程为：，解得，代入切线的方程可得， 即切点， 所以直线的方程为：，切点的坐标． 故答案为： 题型十二 弦长问题 解｜题｜技｜巧 1求弦长的两种方法 （1）求出直线与椭圆的两交点坐标,用两点距离公式求弦长. （2）联立直线与椭圆的方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,利用弦长公式: |ab|= =,其中x1,x2(或y1,y2)是上述一元二次方程的两根,由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长. 【典例12】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆的短轴顶点为，短轴长是4，离心率是，直线与椭圆C交于P，Q两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求弦的长度. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由短轴长和离心率列式求出即可得解. （2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式即可计算求解. 【详解】（1）短轴长，离心率是，∴椭圆C的方程为. （2）联立， 故， 设，则， 所以. 所以弦的长度为. 【变式12-1】（2025高二上·全国·专题练习）已知直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A，B两点，弦AB的长为，求直线AB的方程． 【答案】 【分析】分别讨论直线斜率不存在于存在两种情况，当存在时设出点斜式，再与椭圆方程联立，根据弦长公式求斜率. 【详解】当直线的斜率不存在时，方程为，显然被椭圆截得的弦长为，不是，不合题意． 当直线的斜率存在时，设直线方程为． 设，则A，B的坐标为方程组的解， 消去y得， ， 所以， 代入弦长公式得 ，解得， 所以直线AB的方程为． 【变式12-2】（24-25高二上·湖北·期末）已知椭圆的短轴长为2，且过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由已知易求得，将代入椭圆方程可求得，可求椭圆C的方程； （2）求得直线方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系可求得，，进而利用弦长公式求得弦长，利用点到直线的距离公式求得三角形边上的高，可求面积. 【详解】（1）由椭圆的简单几何性质，可知，得， 将点代入，得， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由已知可得椭圆的右焦点为，直线l的方程为， 联立椭圆方程，得，， 设，，所以，， 则， 点到直线的距离， 故. 题型十三 椭圆中的中点弦问题 解｜题｜技｜巧 解决椭圆中点弦问题的三种方法 （1）根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. （2）点差法:利用端点在椭圆上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系. （3）共线法:利用中点坐标公式,如果弦的中点为P(x0,y0),设直线与椭圆的一个交点为a(x,y),则另一个交点为b(2x0-x,2y0-y),则 两式作差即得所求直线方程. 【典例13-1】（26-27高二上·全国·课前预习）已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点差法可得出的值，再利用求解即可. 【详解】设直线与椭圆相交于、两点， 因为弦的中点坐标是，所以直线的斜率存在， 则，，直线的斜率． 由，得， 所以，则， 故椭圆的离心率． 【变式13-1】（25-26高二上·浙江绍兴·期中）已知椭圆，一组斜率为1的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点差法求解即可. 【详解】设斜率为1的平行直线为与椭圆交于两点, 设，线段中点为, ∴， ∵两点在椭圆上， ∴且， 两式相减得， 即， ∴， ∴，即， 故这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为. 故选：C. 【变式13-2】（25-26高二下·海南·期末）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的离心率． (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义可得，再求离心率即可； （2）先求得椭圆方程，设，，进而可得，，再利用作差法可得直线的斜率，然后根据点斜式求直线方程即可． 【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为， ，， ． （2）， 椭圆的标准方程为； 设，． 因为是的中点，所以，， 即：，， 点和都在椭圆上：， 将相减；， 即：， 代入和， ， 即：， 因此，直线的斜率：， 直线过点，斜率为， 其方程为：，即． 题型十四 椭圆中的定值、定点问题 解｜题｜技｜巧 解决与椭圆有关的定点、定值问题常利用设而不求的思想,将相关各量设出,然后利用椭圆的几何性质将所求值或点表示出来,最后说明要求解的量与变量的取值无关即可.解决此类问题时,偶尔需要先根据题意观察定点,这类特殊位置一般在特殊点处取得. 【典例14-1】（24-25高二上·福建莆田·期末）已知椭圆过点和．过作直线l与椭圆交于C、D两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线的斜率分别为，证明是定值； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）代入点坐标计算可得，可得椭圆的标准方程； （2）联立直线和椭圆方程并利用韦达定理求得的表达式并化简可得结论. 【详解】（1）因为椭圆过点和， 代入椭圆表达式可得； 所以椭圆的标准方程为. （2）证明：设， 直线的斜率一定存在，设为， 如下图所示：    联立，消去得到， 易知，可得； 且， ， 故是定值. 【典例14-2】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点，点M与N关于原点对称，直线AM，AN的斜率之积是，记动点M的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线l与交于P，Q两点，且． （ⅰ）当l与y轴垂直时，求的面积； （ⅱ）证明：l过定点． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据题意列出斜率的等式化简为椭圆的一般方程， （2）（ⅰ）先求出直线AP方程，再联立直线和椭圆的方程解出点坐标,求出弦长结合三角形面积公式求解即可，（ⅱ）结合对称性，若直线l过定点，则定点必在y轴上，猜测出定点的坐标为，然后证明即可. 【详解】（1）（1）设，， 则直线AM，AN的斜率分别为，，且， 依题意有， 所以，所以的方程为． （2）（2）（ⅰ）因为l与y轴垂直，所以P，Q关于y轴对称，因为，所以， 又，不妨设P在Q的左侧，则直线AP的倾斜角为，所以直线AP方程为， 联立的方程，消去y化简得，，解得（舍去）， 所以，所以， 所以，所以的面积为． （ⅱ）设，，由题意，l斜率存在， 设l：，联立的方程， 消去y化简得，， ， ，， 由题意得，所以 所以，即，解得或， 时，l：点A，不符合题意， 所以，此时，所以l过定点． 【变式14-1】17．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件列方程组求解； （2）设直线的方程为，根据向量的坐标运算以及韦达定理化简. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）由（1）可得椭圆的右焦点， 由题意知直线的斜率存在，则设直线的方程为， ， ，， 联立，得， ， ∴，， 又，，，， ，， 则，， ∴，，   ∴ ． 【变式14-2】（25-26高三上·江西抚州·期末）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若点，点为椭圆上的不同两点（异于上下顶点）且，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为. （ⅰ）求直线的方程，并判断直线与椭圆的位置关系； （ⅱ）试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ），相切；（ⅱ）直线过定点，定点坐标为. 【分析】（1）因为椭圆的离心率为，且过点，可列方程组求得，进而可得标准方程.（2）（ⅰ）由两点式可得的方程，联立直线的方程与椭圆的方程后得到一个一元二次方程，根据判别式为0可得直线与椭圆相切；（ⅱ）分的斜率存在、不存在分类讨论，设出的方程，联立直线与椭圆的方程得到一个一元二次方程，根据根与系数的关系得到的表达式，根据则斜率相等列方程求解后可得的方程，进而可得定点坐标. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，且过点， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（ⅰ）由两点式知的方程为， 所以的方程为， 联立得方程组，消去得， 因为， 所以直线与椭圆只有一个交点， 又是轴上一点，所以直线与椭圆相切. （ⅱ）当的斜率存在时，如图，设的方程为，， 因为点为椭圆上的不同两点且异于上下顶点， 所以直线的斜率均存在，可设， 其中，    联立得方程组，消去得， 由，得 ， . 同理可得，， 所以 ， 因为，所以，即， 所以直线的方程为，即， 所以直线过定点. 当的斜率不存在时，设的方程为，， 同理， 因为，所以，即， 所以直线的方程为，也过点. 综上，直线过定点. 期中基础通关练（测试时间：45分钟） 1．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】由椭圆，得， 而椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为6， 则点到另一个焦点的距离为. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆定义可求，由焦点坐标可求，根据关系可得方程. 【详解】因为两个焦点的坐标分别是，，所以椭圆的焦点在横轴上，并且， 所以由椭圆的定义可得：，即，所以由，，的关系解得， 所以椭圆方程是． 故选：B． 3．（26-27高二上·四川·期中）若方程 表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的性质建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为方程 表示一个焦点在轴上的椭圆， 所以 ，解得. 4．（26-27高三·全国·一轮复习）直线与椭圆总有交点，则取值范围（   ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】直线恒过定点，直线与椭圆恒有交点等价于定点在椭圆内部或椭圆上，将点代入椭圆不等式求出，再结合椭圆标准方程要求分母不相等，补充，得到取值范围． 【详解】直线恒过，要直线与椭圆总有交点， 所以定点在椭圆内部或椭圆上，即，解得， 又椭圆中，所以且． 5．（2026·陕西商洛·三模）已知椭圆的两焦点分别为是上任意一点，则的最大值（    ） A．只与有关 B．只与有关 C．与和都有关 D．与都无关 【答案】B 【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，且， 则，所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值只与有关. 6．（25-26高二下·重庆渝中·期中）已知分别是轴、轴上的两个动点，，且点是的中点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为，所以， 整理得，因为点是的中点，所以， 则，又，得到， 整理得，则点的轨迹方程为，故C正确. 故选：C. 7．（2025·河南·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC边上一点，且，，当在变化时，点总在椭圆上，则该椭圆的长轴长为（    ） A．6 B． C． D．3 【答案】A 【详解】由及余弦定理，得， 整理得， 即，故该椭圆的长轴长为. 故选：A 8．(多选)（24-25高二下·福建·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．椭圆的离心率越大形状越扁平 【答案】ABD 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的离心率，A正确； 对于B，的周长为，B正确； 对于C，的最小值为，C错误； 对于D，当一定时，椭圆的离心率越大，则越大，越小，椭圆形状越扁平，D正确. 故选：ABD 9． （25-26高二上·山东烟台·期末）已知直线经过点，且与椭圆交于A，B两点，若为线段AB的中点，则直线的方程为__________． 【答案】 【分析】借助点差法可得，再利用为线段AB的中点计算可得，即可得直线的方程. 【详解】因为，所以点在椭圆内，故直线与椭圆相交， 设、，则有、， 故，化简得，故， 由为线段AB的中点，则，， 又，代入，可得，解得， 即直线的方程为，化简得. 故答案为：. 10．设椭圆：的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于两点，若，，则C的离心率为 . 【答案】 【分析】由题意求出，，利用椭圆的定义求出，利用勾股定理得，即可求出离心率． 【详解】由题意知，，而轴，故， 所以，解得； 又，所以， 所以椭圆的离心率为． 故答案为：． 11．（24-25高二上·上海·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆经过点 (2)椭圆经过点和. 【分析】（1）根据焦点坐标以及点在椭圆上得到关于的方程组，由此可求的值，则椭圆标准方程可得； （2）设出椭圆方程，代入点的坐标可求，则椭圆标准方程可求. 【解析】（1）由题意可知椭圆的焦点在x轴上， 设它的标准方程为， 由已知得，又因为， 因为在椭圆上，所以，即， 从而有，解得或， 因此，从而所求椭圆的标准方程为， （2）设椭圆的方程为， 因为椭圆经过两点和， 所以，即椭圆方程为. 12．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，动圆P与圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心的轨迹为E． (1)求轨迹E的方程； (2)设P为曲线E上一点，且，求 （ⅰ）的周长； （ⅱ）的面积． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）核心是利用两圆内外切的距离关系，得到动点到两定点距离之和为定值，用椭圆定义直接写出轨迹方程； （2）结合椭圆定义与余弦定理，整体求出两条焦半径的乘积，再用三角形面积公式求出面积. 【详解】（1）圆：,即，所以圆心，半径， 圆：，即，所以圆心，半径， 设动圆圆心，半径，动圆与内切：， 动圆与外切：，两式相加得， ，，由椭圆定义得轨迹是以为焦点的椭圆， 且，，， 故轨迹的方程是； （2）（i）由为曲线上的点和椭圆的定义得， 故的周长； （ii）在中，，由余弦定理， 得，代入，得， 得， 故的面积. 期中重难突破练（测试时间：40分钟） 1．(24-25高三下·山东·阶段练习）设甲：曲线表示焦点在x轴上的椭圆，乙：是第一或第四象限角，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【分析】根据充分必要条件的性质，结合椭圆和三角函数的性质，即可判断选项. 【解析】由条件可知，若甲正确，则，即可， 即，且，得是第一或第四象限角，即甲是乙的充分条件； 反过来，若是第一或第四象限角，则，即， 此时，即 所以，则甲也是乙的必要条件. 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 3．（25-26高二上·重庆秀山·月考）已知是椭圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，若动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，则，根据求出代入椭圆方程可得答案. 【详解】设，，则， ， 因为，所以， 可得，所以有. 故选：B. 4．（25-26高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设直线方程，联立直线与椭圆，根据的面积求出，利用弦长公式求出弦长. 【详解】如图： 由题，不妨设，直线斜率存在， 设直线方程， 联立， ， ， 解得， 故， 故选：D. 5．（25-26高三上·江西抚州·期末）如图1所示，椭圆具有光学性质：从椭圆的左焦点发出的光线经过椭圆镜面反射，其反射光线经过椭圆的右焦点.如图2，若椭圆与圆相切于点、，则的方程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆的切线方程，根据椭圆的光学性质可得关于直线l对称点在直线上，利用斜率相等计算，再由点在椭圆上，求解即可. 【详解】如图，    由可知圆心， 因为椭圆E与圆C相切于A， 所以它们在点A处有相同的切线l， 因为，所以， 即切线的方程为， 所以l的方程为， 由椭圆的光学性质知， 所以关于直线l对称点在直线上， 所以，即， 所以，所以①， 而椭圆过点A，所以②， 联立①②得，则的方程为. 故选：D 6．过椭圆内一点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得到点的轨迹是直线，再转化为点到直线上一点距离的最小值问题. 【详解】设，， 因为，， 化简可得，， 于是，， 整理得， 因为点、在椭圆上，则， 所以， 即，所以点的轨迹是直线，即为原点到直线的距离， 所以， 故选：D. 7．（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，下列结论正确的是（    ） A．若，则的离心率为 B．若，则的离心率为 C．若，则的离心率为 D．若，则的离心率为 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用椭圆的标准方程，以及几何性质，结合余弦定理，列出关于的方程，进而求得椭圆的离心率. 【详解】由椭圆，可得，且，则， 对于A中，若，可得， 又由椭圆的定义，可得，所以， 在中，由余弦定理得， 在中，可得， 因为，所以，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以A正确； 对于B中，若，因为，可得， 在和中，由余弦定理得， ， 因为，所以，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以B正确； 对于C中，若，可得 由椭圆的定义， 且， 所以，可得，所以， 在和中，由余弦定理得， ， 因为，所以，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以C不正确； 对于D中，若，设，则， 由勾股定理，可得，即， 解得，即，， 由，且三点共线，可得， 代入椭圆的方程，可得，整理得， 所以椭圆的离心率为，所以D正确. 故选：ABD. 8．（多选）（24-25高二下·辽宁朝阳·期中）已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与该椭圆相交于，两点，点在该椭圆上，且的最小值为，则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．满足为等腰三角形的点有2个 C．若，则的面积为 D． 【答案】ACD 【分析】首先求出椭圆方程，当点为椭圆的上、下顶点时，最大，即可判断A，根据的范围判断B，利用余弦定理及椭圆的定义求出焦点三角形的面积，即可判断C，根据焦点弦的性质判断D. 【详解】因为，的最小值为，即，所以， 则，所以椭圆的方程为； 对于A，当点为椭圆的上、下顶点时，最大，如下图：    由椭圆，则，，在中，， 易知此时，所以的取值范围为，故A正确； 对于B，当点在椭圆的上，下顶点时，满足为等腰三角形， 又因为，， 所以满足的点有个，同理，满足的点有个， 综上可得，满足为等腰三角形的点有个，故B错误； 对于C，设，，则，， 在中，根据余弦定理得， 所以，整理可得， 则，故C正确； 对于D：因为过点的直线与该椭圆相交于，两点， 当过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点时取得最小值， 由，解得，所以，又， 所以，故D正确； 故选：ACD 9．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知P为椭圆上一点，分别为圆和圆上的点．则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 7 13 【分析】首先根据椭圆方程求出，由此可知两圆的圆心分别为椭圆的左、右焦点，，进而根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆方程知，两圆的圆心分别为椭圆的左、右焦点，， 设两圆半径分别为，，则，. ∴，|， ，|， 故的最小值为； 的最大值为.    10．在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于点与椭圆的另一个交点为.若，且，则椭圆的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】运用坐标进行运算，把坐标代入进已知条件中，化简后得到离心率的范围. 【详解】因为，，所以，令， 因为，所以 由点都在椭圆上，得解得 因为，所以，解得.所以. 所以椭圆的离心率的取值范围为. 11．（25-26高二下·上海嘉定·期末）如图，直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为S． (1)当，时，求S； (2)当，时，求直线AB的方程； (3)求S的最大值． 【答案】(1) (2) (3)最大值是1 【分析】（1）设出交点坐标，联立方程，求得交点坐标，根据三角形面积公式，可得答案； （2）联立方程，写出韦达定理，根据三角形面积公式与弦长公式，化简方程，可得答案； （3）由（2）可知弦长表达式，根据基本不等式，可得答案. 【详解】（1）设，．由得，解得，， 可得下图： 则．因此． （2）由得． 由， 可得，， 由，得． 又， 代入，得，解得，． 直线AB的方程是． （3）． 由基本不等式得， 当且仅当，等号成立． 由第（2）小题的结论知，S可以取到1，因此S的最大值是1． 12．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知椭圆，左顶点，右顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点． (1)若点横坐标为，求的值； (2)若直线斜率为，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明： 由题意得， 设点，点在椭圆上，则满足， 即， 斜率，斜率， 所以， 所以为定值. 【详解】（1） 因为椭圆， 则，， 所以左顶点的坐标为， 因为点横坐标为，代入椭圆方程中得， 解得， 所以点的坐标为或， 所以斜率或. （2）略. 13．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知抛物线与椭圆有相同的焦点，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点，，若椭圆上存在一点，满足，求的值； (3)若直线与交于、两点，且为直角，求证：直线恒过定点． 【详解】（1）抛物线的焦点为， 因为抛物线与椭圆有相同的焦点，所以椭圆的半焦距． 又，所以， 所以椭圆方程为， 所以椭圆的离心率； （2）因为，即为线段的中点． 又，，所以． 由点在椭圆上，得，即，解得． 又，所以； (3)由（1）知．设，， 因为为直角，所以，即， 其中、均与不重合． 若与轴平行，设，则、关于轴对称， 设，， 由得，结合，解得，， 此时与重合，不合题意， 故不与轴平行，可设． 代入椭圆方程，整理得． 因为直线与椭圆交于、两个不同的点， 所以判别式，即． 所以， ，且，． 于是， 即，因式分解得，解得或． 当时，直线恒过点，而在椭圆上，所以、中恰有一点与重合，不存在，不符合题意，舍去； 当时，，判别式恒成立， 直线与椭圆恒有两个不同的交点，且直线不经过点，符合题意． 所以直线恒过定点． 期中综合拓展练（测试时间：35分钟） 1．椭圆的左顶点为，右焦点为为上一点，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可先根据椭圆的标准方程求出相关参数，再结合椭圆的定义求出的周长表达式，最后根据椭圆上点的坐标范围确定周长的取值范围。 【详解】对于椭圆，根据椭圆的标准方程， 其中为长半轴长,为短半轴长,为半焦距且 可得，则,，所以 已知椭圆的左顶点，右焦点 根据椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，且（为椭圆的左焦点） 椭圆的左焦点,则,即 的周长,其中 所以 根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，可得 ,即 所以, 又因为当共线时， 此时或，所以，D正确. 答选：D 2．（多选）（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知农历每月的第天（，）的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为 其中为常数，根据以上信息，下列说法中正确的有（    ） A．农历每月第天（，）和第天的月相外边缘形状相同 B．月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为 C．月相外边缘的离心率第8天时取最大值 D．农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间内 【答案】CD 【分析】结合椭圆的基本性质与三角函数的单调性、对称性，逐一分析各选项的正确性即可得答案. 【详解】选项A：农历第天对应，椭圆项分母为； 第天对应，项分母为， 二者不相等，椭圆形状不同，A错误. 选项B：椭圆长半轴，短半轴，半焦距， 椭圆上点到焦点距离最大值为， 由于为整数，，故最大值小于，B错误. 选项C：离心率， 当（对应第8天）时，最接近，此时取最大值， 即第8天离心率取最大值，C正确. 选项D：农历初六至初八对应，此时， 满足，正弦函数在上单调递增， 故，即离心率在区间内，D正确. 3．（多选）（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知椭圆C的方程是，P为椭圆C上任意一点，分别为椭圆的左、右焦点，过点且斜率不为0的直线与椭圆C交于A，B两点，的周长为8，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在点P，使得的面积为2 C．椭圆C上只存在4个不同的点P，使得为直角三角形 D．内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为 【答案】AD 【详解】对于A，由题可知，椭圆焦点在轴上，由椭圆的定义可知，， 又，所以的周长为，所以，选项A正确； 对于B，由A知，则椭圆的方程为，即，所以， 因为，所以不存在点，使的面积为2，选项B错误； 对于C，若为直角三角形，当时，存在两个这样的点；当时，存在两个这样的点； 当时，可得的轨迹为以为直径的圆，即，不包括，两点，因为，所以圆与椭圆有四个交点， 即椭圆上存在4个不同的点，使得. 因此，椭圆上存在8个不同的点，使得为直角三角形，选项C错误； 对于D，由的周长为，设内切圆的半径为， 则，所以当最大时，内切圆半径最大， 此时为上顶点或下顶点，，则，解得； 设外接圆的半径为，由正弦定理可得， 由选项C可知，存在点使得，则，此时， 所以内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为，选项D正确. 4．（多选）（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，，为椭圆上两个动点.直线的方程为.下列说法正确的是（     ） A．椭圆的蒙日圆的方程为， B．对直线上任意一点，， C．记点到直线的距离为，则的最小值为， D．若矩形的四条边均与椭圆相切，则矩形面积的最大值为. 【答案】ACD 【分析】根据蒙日圆定义代入所过点的坐标即可判断A正确，取点可知，因此B错误，利用点共线特征可知当时，取得最小值再由点到直线的距离公式计算可得C正确，结合矩形与椭圆位置关系写出面积表达式并利用基本不等式计算可知D正确. 【详解】对于A，过点可作椭圆的两条互相垂直的切线：， 所以点在椭圆的蒙日圆上，因此蒙日圆方程为， 由，可得， 所以椭圆的蒙日圆的方程为，即A正确； 对于B，由直线的方程可知点在直线上， 又点满足蒙日圆方程，所以点在圆上， 当，恰为过点所作椭圆两条互相垂直的切线的两个切点时，，即B错误； 对于C，因为在椭圆上，当时，取得最小值，最小值为到直线的距离， 又到直线的距离为，，即C正确. 对于D，当矩形的四条边均与椭圆相切时，蒙日圆为矩形的外接圆， 所以矩形的对角线即为蒙日圆的直径， 设矩形的长和宽分别为，则, 所以矩形的面积， 当且仅当时，等号成立， 即矩形面积的最大值为，所以D正确. 5．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知、为椭圆的两个焦点，经过原点的直线与椭圆交于、两点且、不与椭圆长轴顶点重合，若，四边形的面积为，则________； 【答案】 【分析】根据对称可得四边形为矩形，进而根据垂直关系以及椭圆定义求解，利用面积为即可求解. 【详解】由于，且、在原点处互相平分，因此四边形为矩形， 因此，即， 又，因此，故， 又四边形的面积为，因此，故，即. 6．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）已知椭圆：的右焦点为，左、右顶点分别为，，点是上第一象限内的一点，与到直线的距离比是，且，则__________． 【答案】 【分析】与到准线的距离之比就是离心率，由第二定义直接读出，从而定出与的关系；剩下的核心是把翻译成斜率方程，其中利用椭圆的第三定义简化计算，解出直线的斜率即可算比值. 【详解】设点，则. 则与到直线的距离比为. 不妨设椭圆：，则. 又， 由得，代入，化简得. . 7．（26-27高三上·山东青岛·阶段检测）已知椭圆：的焦距为，点为椭圆的右焦点，过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点，当与轴垂直时，． (1)求椭圆的标准方程； (2)，分别为椭圆的左、右顶点，直线，分别与直线：交于，两点，证明：四边形为菱形． 【答案】(1) (2)设的方程为，，， 联立，消得，易知恒成立， 由韦达定理得，， 又直线的斜率为， 所以直线的方程为，令，得， 又直线的斜率为，所以直线的方程为， 令，得，若四边形为菱形，则对角线相互垂直且平分， 下面证， 因为， 代入韦达定理得， 所以，即与相互垂直平分，所以为菱形． 【分析】（1）根据条件，直接建立方程组，再求出，即可求解； （2）设的方程为，，，联立直线与椭圆方程，利用根与系数间的关系得，，再求出，再将问题转化成证明四边形对角线相互垂直且平分，即可求解. 【详解】（1）由题可知，当与轴垂直时，，不妨设的坐标为， 所以，解得，， 所以椭圆的标准方程为 . （2）略 8．（26-27高三上·湖北十堰·阶段检测）已知椭圆方程的左焦点为，椭圆上一点，位于第一象限，点关于原点的对称点记作点，直线与椭圆的另一交点为，且点关于原点的对称点为． (1)设直线，的斜率分别为，，求的值 (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出，，则，表达出，，由点差法得到的值； （2）三角形面积等于三角形的面积倍，设直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，令换元后，结合对勾函数性质求出最值，得到答案. 【详解】（1）由椭圆方程，得，所以，， 若，此时直线的斜率不存在，不符合要求，舍去. 设，，，此时， 则，由斜率公式得，， 又因为，在椭圆上，所以①，②， 式子②－①，得， 所以. 因此. （2）因为点关于原点的对称点为，所以点到的距离是点到的距离的倍， 因此三角形面积等于三角形的面积的倍. 椭圆左焦点为，因为点关于原点的对称点记作点，且在第一象限， 因此直线的斜率不为，设直线方程为， 联立方程组， 即，， 故，， 所以三角形的面积为 ， 令，， 由对勾函数性质可得在上单调递增， 因此当且仅当时取得最小值， 所以，当且仅当，即时成立， 三角形的面积的最大值为， 所以面积的最大值为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 椭圆（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 利用椭圆的定义求轨迹方程 题型二 根据方程表示椭圆求参数 题型三 求椭圆的标准方程 题型四 和、差距离的最值 题型五 椭圆的焦点三角形问题 题型六 椭圆的离心率问题 题型七 椭圆有界性的应用 题型八 椭圆的实际应用 题型九 椭圆参数方程的应用 题型十 椭圆的光学性质 题型十一 直线与椭圆的位置关系问题 题型十二 弦长问题 题型二三 中点弦问题 题型十四 定点、定值问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 椭圆定义 掌握椭圆的定义 基础考点，常出现在选择题，填空题 根据椭圆定义求方程 掌握椭圆的定义求标准方程 基础考点，常出现在选择题，填空题 根据方程表示椭圆求参数 掌握椭圆的标准方程 基础考点，常出现在选择题，填空题 椭圆离心率 掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中a，b，c，e的几何意义 基础考点，常出现在选择题，填空题 椭圆中的焦点三角形 掌握椭圆中焦点三角形常用结论，定义，余弦定理，面积公式 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 椭圆的实际应用 能通过审题，将椭圆的实际应用问题转化为椭圆方程及性质的应用问题 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 知识点01 椭圆的定义 1、椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数， 这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距. 说明：若，的轨迹为线段； 若，的轨迹无图形 2、定义的集合语言表述 集合. 知识点02 椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 （） （） 图象 焦点坐标 ， ， 的关系 说明：（1）在椭圆的两种标准方程中，都有和； （2）椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，； （3） 在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上. ·易错点：这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 知识点03 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 （） （） 范围 ， ， 顶点 ，， ， 轴长 短轴长＝，长轴长＝ 焦点 焦距 对称性 对称轴：轴、轴　对称中心：原点 离心率 ， 说明：椭圆的离心率为椭圆焦距与长轴长之比：. （） 当越接近1时，越接近，椭圆越扁； 当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆； 当且仅当时，图形为圆，方程为 知识点04 椭圆的参数方程（拓展） 以焦点在x轴上的椭圆标准方程为例进行推导。 我们知道三角函数中有，这与椭圆标准方程的形式相似。于是，我们可以令： 将其代入椭圆标准方程中： 所以，焦点在x轴上的椭圆的参数方程为（为参数）。 同理，焦点在y轴上的椭圆标准方程的参数方程为（为参数）。 知识点05 椭圆的参数方程（拓展） 1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为： 2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上） 3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）： （1）； （2），，； （3）,，. （4）椭圆的焦点三角形面积：已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，则的面积为. (5)椭圆的焦半径公式： 若点P在椭圆C: 上，且C的左、右焦点分别为，则（可巧记为：左加右减）. 若点P在椭圆C: 上，且C的下、上焦点分别为，则（可巧记为：下加上减）. 知识点06 直线与椭圆的位置关系 1、位置关系的判断 直线与椭圆的位置关系 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； 3、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； （3）写出根与系数的关系； （4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； （5）代入求解． 知识点07 中点弦问题与点差法 1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时， 证明：设，，则椭圆 两式相减得 ． 题型一 利用椭圆的定义求轨迹方程 解｜题｜技｜巧 用椭圆定义求轨迹方程的思路：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可. 【典例1-1】．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【典例1-2】（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）平面内，动点P的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）方程表示的曲线的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】（26-27高二上·湖北武汉·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别是，，椭圆上任意一点到，的距离之和为，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型二 根据方程表示椭圆求参数 解｜题｜技｜巧 表示椭圆的充要条件为：； 表示圆方程的充要条件为：. 【典例2】（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（26-27高二上·上海松江·阶段检测）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）若方程表示椭圆，则的值可以为（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 题型三 求椭圆的标准方程 解｜题｜技｜巧 （1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程. 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为. ②与椭圆共焦点的椭圆可设为. ③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）. 【典例3】（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为 （    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（26-27高二上·全国·课后作业）与椭圆有公共焦点的椭圆是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二下·重庆渝中·期末）离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在原点，焦点在轴上，且经过两点和； (2)焦点在坐标轴上，且过点和的椭圆的标准方程. 题型四 和、差距离的最值 解｜题｜技｜巧 设，分别为椭圆的两焦点，点是椭圆上任一点，点为平面内一定点. （1） 若定点在椭圆内， ①求 的最值：由 ，转化为求的最值. 有 ，当、、三点共线时取等号，则； ②求 的最值：有，当、、三点共线时取等号，则； （2）若定点在椭圆外，分析过程同（1）. 【典例4】已知动点在椭圆上，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高三下·河北沧州·阶段检测）记，点在椭圆上，点在圆上，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-2】（25-26高二上·山东泰安·期末）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 题型五 椭圆的焦点三角形问题 解｜题｜技｜巧 以椭圆为例，，分别为椭圆的左右焦点，点（除长轴两端点外）是椭圆上任一点，直线与椭圆相交与、两点，,与轴相交于点 （1）焦点三角形面积 （2） （为点到直线的距离） （3）（为坐标原点） 【典例5-1】（多选）（2026·广东梅州·一模）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，椭圆与双曲线的一个交点为，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例5-2】（多选）（2025·高二·湖南永州·期中）已知点是椭圆：上一点，，是椭圆的左、右焦点，且的面积为4，则下列说法正确的是（     ） A．点的纵坐标为 B． C．的周长为 D．的内切圆半径为 【变式5-1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】（多选）设椭圆的左、右焦点分别为，，坐标原点为O.若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（    ） A． B．的面积为2 C． D．的内切圆半径为 题型六 椭圆的离心率问题 解｜题｜技｜巧 常用工具：定义： 余弦定理： 齐次式：通过三角函数（如正弦定理）转化几何关系，或利用不等式（如三角形三边关系）构造，的齐次式求离心率（注意椭圆）. 【典例6-1】（25-26高二上·湖南株洲·阶段检测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，A是C的左顶点，P为C所在平面内一点，且∠F1F2P＝60°，若△PF1F2与△PF1A均为等腰三角形，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【典例6-2】（2026高三·全国·专题练习）椭圆的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（26-27高二上·全国·期中）如图，点分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，且，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知椭圆上存在一点，使得（为长轴端点），则此椭圆的离心率的取值范围是 ． 题型七 椭圆有界性的应用（拓展） 解｜题｜技｜巧 对于与椭圆上的动点有关的取值范围或最值问题，常见的一种解题策略是：将所求量用椭圆上点的坐标表示，建立关于横坐标或纵坐标的函数，再利用椭圆上点的坐标的范围求解. 【典例7-1】（25-26高二上·浙江温州·期中）已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例7-2】（多选）（24-25高二上·浙江·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·江苏南京·期中）设为正实数，椭圆：长轴的两个端点是，，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型八 椭圆的实际应用（学科交叉题） 解｜题｜技｜巧 解决椭圆的实际应用问题的一般思路是：根据题意得到几何图形，建立适当的平面直角坐标系，与椭圆知识相联系，找出题目中已知量和隐含条件的关系，求出椭圆方程. 【典例8-1】（25-26高二上·浙江·期末）2025年春晚语言类节目《借伞》中，一批精美的西湖绸伞成为舞台亮点．2008年，西湖绸伞制作技艺入选国家级非物质文化遗产，西湖畔绸伞摇曳，流转千年东方美学的匠心温度.如图有一绸伞放置于地面，假设伞面是一个半径为的圆形平面（与伞柄垂直），该圆形平面的圆心到伞柄底端距离为，当光线与圆形平面垂直时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【典例8-2】（多选）某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则（    ） A．轨道的焦距为 B．轨道的离心率为 C．轨道的短轴长为 D．当越大时，轨道越圆 【变式8-1】（25-26高二上·北京东城·阶段检测）“天问一号”是执行中国首次火星探测任务的探测器，该名称源于屈原长诗《天问》，寓意探求科学真理征途漫漫，追求科技创新永无止境．图（1）是“天问一号”探测器环绕火星的椭圆轨道示意图，火星的球心是椭圆的一个焦点．过椭圆上的点向火星被椭圆轨道平面截得的大圆作两条切线，，则就是“天问一号”在点时对火星的观测角．图（2）所示的四个点处，对火星的观测角最小的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·黑龙江佳木斯·阶段检测）我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体2：黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力材料（SIM）所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似．某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气一液两相界面的切线与液一固两相交线所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液一固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为，，则（    ） A． B． C． D．和的大小关系无法确定 题型九 椭圆参数方程的应用（拓展） 解｜题｜技｜巧 椭圆的参数方程常用于解决与椭圆有关的点的轨迹问题，代数式的取值范围问题等. 【典例9】（2024高三·全国·专题练习）若椭圆的焦点在y轴上，过点作圆的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好和椭圆只有一个交点，则椭圆内接矩形面积最大时的离心率是 . 【变式9-1】（26-27高二·全国·课堂例题）已知椭圆的标准方程为，则椭圆上的点P到椭圆中心O的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高二上·宁夏银川·期中）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且短轴长为2. (1)求椭圆的标准方程： (2)过点且倾斜角为的直线与椭圆交于A、两点，线段的中垂线与轴交于点，是椭圆上的一点，求的最小值. 题型十 椭圆的光学性质 解｜题｜技｜巧 椭圆光学性质：从一个焦点发出的光线，经椭圆反射后必过另一焦点；反射光线与法线夹角等于入射光线与法线夹角。 求解策略：①抓焦点、切点（反射点）；②利用该性质转化线段、角度；③结合定义、斜率、导数求切线，或用余弦定理、对称性解题，常与角平分线、距离最值综合。 【典例10】（25-26高二上·江西南昌·期中联考）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（    ）    A．3 B．4 C．6 D．8 【变式10-1】（2026·重庆·模拟预测）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.设椭圆的两个焦点分别为，，如图，光线由点发出射到椭圆上的点处，经反射后到点，再经过轴反射到椭圆上的点，最后反射回点，若光线经过的总路程为12，且，则直线的斜率为（ ） A． B．-2 C． D． 【变式10-2】（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）已知椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射后，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆的左、右焦点分别为，，从发出的光线，经上的点反射后，反射光线再经上的点反射.若经过这两次反射后，，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型十一 直线与椭圆的位置关系问题 解｜题｜技｜巧 判断直线与椭圆的位置关系时,通过联立直线方程与椭圆方程组成方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则 Δ>0⇔直线与椭圆相交; Δ=0⇔直线与椭圆相切; Δ<0⇔直线与椭圆相离. 【典例11-1】（26-27高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【典例11-2】．（23-24高二上·全国·课后作业）对不同的实数，讨论直线与椭圆的公共点的个数. 【变式11-1】（25-26高二上·浙江温州·期中）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式11-3】已知椭圆C的标准方程为，若过点的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，则点M的坐标为 ． 题型十二 弦长问题 解｜题｜技｜巧 1求弦长的两种方法 （1）求出直线与椭圆的两交点坐标,用两点距离公式求弦长. （2）联立直线与椭圆的方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,利用弦长公式: |ab|= =,其中x1,x2(或y1,y2)是上述一元二次方程的两根,由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长. 【典例12】（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆的短轴顶点为，短轴长是4，离心率是，直线与椭圆C交于P，Q两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求弦的长度. 【变式12-1】（2025高二上·全国·专题练习）已知直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A，B两点，弦AB的长为，求直线AB的方程． 【变式12-2】（24-25高二上·湖北·期末）已知椭圆的短轴长为2，且过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 题型十三 椭圆中的中点弦问题 解｜题｜技｜巧 解决椭圆中点弦问题的三种方法 （1）根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. （2）点差法:利用端点在椭圆上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系. （3）共线法:利用中点坐标公式,如果弦的中点为P(x0,y0),设直线与椭圆的一个交点为a(x,y),则另一个交点为b(2x0-x,2y0-y),则 两式作差即得所求直线方程. 【典例13-1】（26-27高二上·全国·课前预习）已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（25-26高二上·浙江绍兴·期中）已知椭圆，一组斜率为1的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（25-26高二下·海南·期末）椭圆的两个焦点是和，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于． (1)求椭圆的离心率． (2)已知椭圆的弦的中点的坐标为，求直线的方程． 题型十四 椭圆中的定值、定点问题 解｜题｜技｜巧 解决与椭圆有关的定点、定值问题常利用设而不求的思想,将相关各量设出,然后利用椭圆的几何性质将所求值或点表示出来,最后说明要求解的量与变量的取值无关即可.解决此类问题时,偶尔需要先根据题意观察定点,这类特殊位置一般在特殊点处取得. 【典例14-1】（24-25高二上·福建莆田·期末）已知椭圆过点和．过作直线l与椭圆交于C、D两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线的斜率分别为，证明是定值； 【典例14-2】（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点，点M与N关于原点对称，直线AM，AN的斜率之积是，记动点M的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线l与交于P，Q两点，且． （ⅰ）当l与y轴垂直时，求的面积； （ⅱ）证明：l过定点． 【变式14-1】（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知椭圆的离心率为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，交轴于点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设，，求的值. 【变式14-2】（25-26高三上·江西抚州·期末）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若点，点为椭圆上的不同两点（异于上下顶点）且，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为. （ⅰ）求直线的方程，并判断直线与椭圆的位置关系； （ⅱ）试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 期中基础通关练（测试时间：45分钟） 1．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高三·全国·一轮复习）两个焦点的坐标分别为，的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为8，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·四川·期中）若方程 表示一个焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三·全国·一轮复习）直线与椭圆总有交点，则取值范围（   ） A．且 B． C． D． 5．（2026·陕西商洛·三模）已知椭圆的两焦点分别为是上任意一点，则的最大值（    ） A．只与有关 B．只与有关 C．与和都有关 D．与都无关 6．（25-26高二下·重庆渝中·期中）已知分别是轴、轴上的两个动点，，且点是的中点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河南·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC边上一点，且，，当在变化时，点总在椭圆上，则该椭圆的长轴长为（    ） A．6 B． C． D．3 8．(多选)（24-25高二下·福建·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．椭圆的离心率越大形状越扁平 9． （25-26高二上·山东烟台·期末）已知直线经过点，且与椭圆交于A，B两点，若为线段AB的中点，则直线的方程为__________． 10．设椭圆：的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于两点，若，，则C的离心率为 . 11．（24-25高二上·上海·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆经过点 (2)椭圆经过点和. 12．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，动圆P与圆：内切，且与圆：外切，记动圆P的圆心的轨迹为E． (1)求轨迹E的方程； (2)设P为曲线E上一点，且，求 （ⅰ）的周长； （ⅱ）的面积． 期中重难突破练（测试时间：40分钟） 1．(24-25高三下·山东·阶段练习）设甲：曲线表示焦点在x轴上的椭圆，乙：是第一或第四象限角，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 3．（25-26高二上·重庆秀山·月考）已知是椭圆上的动点，过作轴的垂线，垂足为，若动点满足，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·江西抚州·期末）如图1所示，椭圆具有光学性质：从椭圆的左焦点发出的光线经过椭圆镜面反射，其反射光线经过椭圆的右焦点.如图2，若椭圆与圆相切于点、，则的方程为（   ）    A． B． C． D． 6．过椭圆内一点的直线与椭圆交于点和，且.点满足，若为坐标原点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，下列结论正确的是（    ） A．若，则的离心率为 B．若，则的离心率为 C．若，则的离心率为 D．若，则的离心率为 8．（多选）（24-25高二下·辽宁朝阳·期中）已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与该椭圆相交于，两点，点在该椭圆上，且的最小值为，则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．满足为等腰三角形的点有2个 C．若，则的面积为 D． 9．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知P为椭圆上一点，分别为圆和圆上的点．则的最小值为 ，最大值为 ． 10．在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于点与椭圆的另一个交点为.若，且，则椭圆的离心率的取值范围是 . 11．（25-26高二下·上海嘉定·期末）如图，直线与椭圆交于A、B两点，记的面积为S． (1)当，时，求S； (2)当，时，求直线AB的方程； (3)求S的最大值． 12．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）已知椭圆，左顶点，右顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点． (1)若点横坐标为，求的值； (2)若直线斜率为，求证：为定值． 13．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知抛物线与椭圆有相同的焦点，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点，，若椭圆上存在一点，满足，求的值； (3)若直线与交于、两点，且为直角，求证：直线恒过定点． 期中综合拓展练（测试时间：35分钟） 1．椭圆的左顶点为，右焦点为为上一点，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）已知农历每月的第天（，）的月相外边缘近似为椭圆的一半，方程为 其中为常数，根据以上信息，下列说法中正确的有（    ） A．农历每月第天（，）和第天的月相外边缘形状相同 B．月相外边缘上的点到椭圆焦点的距离的最大值为 C．月相外边缘的离心率第8天时取最大值 D．农历初六至初八的月相外边缘离心率在区间内 3．（多选）（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）已知椭圆C的方程是，P为椭圆C上任意一点，分别为椭圆的左、右焦点，过点且斜率不为0的直线与椭圆C交于A，B两点，的周长为8，则下列说法正确的是（    ） A． B．存在点P，使得的面积为2 C．椭圆C上只存在4个不同的点P，使得为直角三角形 D．内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为 4．（多选）（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，，为椭圆上两个动点.直线的方程为.下列说法正确的是（     ） A．椭圆的蒙日圆的方程为， B．对直线上任意一点，， C．记点到直线的距离为，则的最小值为， D．若矩形的四条边均与椭圆相切，则矩形面积的最大值为. 5．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知、为椭圆的两个焦点，经过原点的直线与椭圆交于、两点且、不与椭圆长轴顶点重合，若，四边形的面积为，则________； 6．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）已知椭圆：的右焦点为，左、右顶点分别为，，点是上第一象限内的一点，与到直线的距离比是，且，则__________． 7．（26-27高三上·山东青岛·阶段检测）已知椭圆：的焦距为，点为椭圆的右焦点，过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点，当与轴垂直时，． (1)求椭圆的标准方程； (2)，分别为椭圆的左、右顶点，直线，分别与直线：交于，两点，证明：四边形为菱形． 8．（26-27高三上·湖北十堰·阶段检测）已知椭圆方程的左焦点为，椭圆上一点，位于第一象限，点关于原点的对称点记作点，直线与椭圆的另一交点为，且点关于原点的对称点为． (1)设直线，的斜率分别为，，求的值 (2)求面积的最大值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $