5.3 二元一次方程组的应用常见的七种题型 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

5.3 二元一次方程组的应用常见的七种题型 目　录 题型一　数字与年龄问题 题型二　古代数学名题 题型三　图形与配套问题 题型四　乘车与调配问题 题型五　工程问题 题型六　商品价格与利润问题 题型七　购买方案与和差应用问题 题型一　数字与年龄问题 【解题技巧】设两位数的十位数字为x、个位数字为y，则这个两位数为，对调后为，两数之差为；年龄问题中两人的年龄差保持不变。据此列方程组求解。 1．有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大27．则原来的两位数为（     ） A．27 B．36 C．45 D．63 2．一个两位数，十位上的数字的两倍比个位上的数字大1，若交换个位与十位数字的位置，得到新数比原数大27，则这个两位数是_____． 3．佳佳和亮亮做加法游戏，佳佳在一个加数后面多写了一个0，得到的两数的和为234，而亮亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的两数的和为63．这两个数相加的正确的和应该是________． 4．已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则甲、乙现在的年龄差为___________． 5．小强问他的数学老师今年多少岁了，数学老师说：“我像你这么大时，你才1岁．你到我这么大时，我就40岁了．”那么数学老师今年的岁数是____________岁． 题型二　古代数学名题 【解题技巧】古代名题（盈不足、鸡兔同笼等）：读懂题意，设出未知量，抓住“共买物的总钱数、总人数不变”等隐藏的等量关系列出方程组，再解方程组。 1．《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？设人数为x，物价为y，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（    ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A． B． C． D． 3．数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 4．中国古代数学著作《算法统宗》中记载：“三足团鱼六眼龟，共同山下一神池．九十三足乱浮水，一百二眼将人窥．”大意是：一群3只脚2只眼睛的团鱼和4只脚6只眼睛的龟，共同生存在一个水池里．它们共有93只脚乱划水，102只眼睛偷看人．设团鱼有只，龟有只，则可列方程组为___________． 5．《九章算术•盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，则可列方程组为_________． 6．今有鸡兔同笼，上有二十四头，下有七十四足，问鸡兔各几何？ 题型三　图形与配套问题 【解题技巧】图形与配套问题：根据图形中的线段、面积或纸板数量关系设出相关量，利用“总和=各部分之和”列方程组求解。 1．如图，用大小形状完全相同的长方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，则这个大长方形的面积是______平方厘米． 3．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现在仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，求竖式和横式的纸盒各做了多少个？ 题型四　乘车与调配问题 【解题技巧】乘车与调配问题：设车辆数和人数，利用“总人数=每车座位数×车数+没座人数”或“总人数=每车座位数×车数-空座数”列方程组；购车（租车）方案再求二元一次方程的正整数解。 1．中华民族拥有灿烂的华夏文明，而文化古迹则是文明的见证者．为了让学生感受王勃笔中“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”的美景，某校组织一支研学队伍到滕王阁进行研学旅行，若只调配36座新能源客车若干辆，还有8人没座位；若只调配22座新能源客车，则调配新能源客车的数量将增加2辆，还有6人没有座位． (1)求计划调配36座新能源客车的数量及这支研学队伍的人数． (2)若同时调配36座和22座两种新能源客车若干辆，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？ 2．在2022年冬奥会的开幕式上，其武校的健儿们参演的《立春》节目让全世界人民惊艳和动容．经调查发现：原计划调配若干辆客车接送健儿们，每辆车满载坐55人，则有8人没有座位，若更换车型，每辆车满载坐44人，则用车数量将比原计划增加两辆，且最后一辆车空出3个座位，求一共参演的健儿们有多少名？原计划调配多少辆车？ 3．亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作，某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若只单独调配36座新能源客车若干辆，则有16人没有座位；若只单独调配22座新能源客车，则用车数量将增加5辆，并空出10个座位． (1)计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？（用二元一次方程组解答） (2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则36座客车需要多少辆？22座客车需要多少辆？ 题型五　工程问题 【解题技巧】工程问题：工作量=工作效率×工作时间，且甲队工作量+乙队工作量=总工作量、甲队时间+乙队时间=总时间，据此列方程组求解。 1．黄河是我国的母亲河，为打造黄河风光带，现有一段长为的河道整治任务由，两个工程队先后接力完成．工程队每天整治，工程队每天整治，共用时天． (1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出的方程组如下： 甲：乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义． 甲：表示___________，表示___________； 乙：表示___________，表示___________； (2)从甲、乙两名同学所列的方程组中选择一种，求，两个工程队分别整治河道多少米． 2．古运河是扬州的母亲河，为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天． 根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲：乙： (1)根据甲同学所列的方程组，请你指出未知数x、y表示的意义 甲：x表示______，y表示______； 请你补全乙同学所列的方程组： 乙：①______，②______； (2)求A、B两工程队分别整治河道多少米？（写出完整的解答过程） 题型六　商品价格与利润问题 【解题技巧】商品价格与利润问题：总价=单价×数量，利润=售价-进价，设进价（单价）与数量为未知数，按等量关系列方程组求解。 1．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某店用120万元购进两种新能源汽车进行销售，这两种汽车的进价和售价如下表所示，全部销售后可获毛利润16万元．[毛利润（售价−进价）销售量]． 进价/（万元/辆） 15 12 售价/（万元/辆） 16.5 14 (1)该店购进两种新能源汽车各多少辆？ (2)由于销售状况特别好，该店决定再用240万元同时购进两种新能源汽车（240万元资金刚好用完且两种汽车均购买），有哪几种购买方案？ (3)若现需重新购进A、B两种新能源汽车共50辆，且A类不少于20辆，如何购进利润最大？ 2．某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车，已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共92万元． (1)求A、B这两种型号的新能源汽车每辆的进价． (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为560万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 3．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售辆型汽车可获利元，销售辆型汽车可获利元，求该公司共有几种购买方案？假如这些新能源汽车全部售出，最大利润是多少元？ 4．某经销商计划购进两种农产品，已知购进种农产品2件，种农产品3件，共需690元；购进种农产品1件，种农产品4件，共需720元．两种农产品每件的价格分别是多少元？ 5．列二元一次方程（组）解下列问题： 某学校需要购买篮球、足球，某商店关于购买篮球、足球，有如下三个条件： ①买3个篮球、2个足球共花费340元 ②买2个篮球比购买3个足球多花费10元 ③购买5个篮球与购买8个足球花费相同 请你从上述三个条件中任选两个作为条件，求出篮球和足球的单价． 6．某一天，水果经营户老张用1600元从水果批发市场批发猕猴桃和芒果共50千克，随后到水果市场去卖，已知猕猴桃和芒果当天的批发价和零售价如表所示： 品名 猕猴桃 芒果 批发价（元/千克） 20 40 零售价（元/千克） 26 50 (1)他购进的猕猴桃和芒果各多少千克？ (2)如果猕猴桃和芒果全部卖完，他能赚多少钱？ 7．某商店销售甲、乙两种商品，甲商品每件进价15元，售价20元；乙商品每件进价35元，售价45元． (1)若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)若该商店计划购进甲、乙两种商品共100件，其中甲商品的数量不低于20件且不超过40件，设购进甲商品件，将两种商品全部售出后的总利润为元，求与的函数关系式，并求出利润的最大值． 8．2024年4月23日是第29个世界读书日．为了感受阅读的幸福，体味生命的真谛，分享读书的乐趣，我县某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”“阅读·梦飞翔”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．七年级订购《曾国藩家书》12套和《凡尔纳三部曲》6套，总费用为810元；八年级订购《曾国藩家书》9套和《凡尔纳三部曲》7套，总费用为795元．求《曾国藩家书》和《凡尔纳三部曲》每套各是多少元？ 9．2022年5月8日，为庆祝母亲节，小明和爸爸去花店买花送给小明的妈妈，若买3束A种花和2束B种花需26元；买5束A种花和1束B种花需34元． (1)求A，B两种花的单价各是多少？ (2)为了吸引顾客，花店通过打折进行促销活动： ① 若A，B两种花都按m折（即原价的倍）销售，他们发现用720元购买A种花的数量比用464元购买B种花的数量多5束，求m的值； ② 若A种花进行5折销售，B种花进行6折销售，他们同时购买A，B两种花若干束，正好用了60元，则他们同时购买A，B两种花总共多少束？ 题型七　购买方案与和差应用问题 【解题技巧】购买方案与和差应用：先列方程组求出单价（或单位量），再设购买数量为未知数，由“总费用=单价×数量”列出二元一次方程，求出所有正整数解即得可行方案；和差倍分问题则抓住“总和不变、差值不变”等量关系列方程组。 1． 20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x人，女生有y人，根据题意，列方程组正确的是（  ） A． B． C． D． 2．八年级（1）班要为运动会购买物资，计划从某超市购入A、B两种品牌的运动饮料．若买25瓶A品牌运动饮料，25瓶B品牌运动饮料共需325元；若买20瓶A品牌运动饮料，30瓶B品牌运动饮料共需340元． (1)A、B两种品牌的运动饮料的销售单价分别是多少元/瓶？ (2)购买A、B两种品牌的运动饮料（两种都要），班级预算是200元，要使预算刚好花完，有哪几种购买方案？ 3．五一期间，七年级若干名学生和家长一同去某景区游玩．请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，解答下列问题： 景区票价 成人票：每张90元 学生票：按成人票价5折优惠 团体票：按成人票价7.5折优惠（10张及以上） (1)求这次参加游玩的家长和学生各多少人？ (2)通过计算说明，如果家长和学生一起购买团体票，能否比分开购买更省钱？ 4．为了迎接今年9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．这两种物品的进价、标价如下表所示． 进价 标价 明信片 5元/套 10元/套 吉祥物钥匙扣 18元/个 30元/个 为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售． (1)若张老师在本店同时购买吉祥物钥匙扣和明信片共46件，花费600元．请问店主获利多少元？ (2)张老师在本店花费600元购买吉祥物钥匙扣和明信片若干件，两种都买且钱要用完．请帮助张老师策划所有可行的购买方案． 5． 素材 若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买25杯A型咖啡，25杯B型咖啡需450元． 问题解决 任务1 问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的咖啡（两种都要），刚好花200元，问有几种购买方案？ 6．银川市中关村中学为奖励在“环球探索博览会”活动中顺利通关的同学，计划购买甲、乙两种奖品共件．已知甲种奖品标价每件元，乙种奖品标价每件元，购买这批奖品一共花费元． (1)请问学校购买两种奖品各多少件？ (2)若学校计划用元采购这两种奖品共件，该方案是否可行？请说明理由． 7．已知：用3辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货13吨；用1辆A型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有35吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 8．某商店卖甲种笔记本和乙种笔记本．若买1个甲种笔记本和2个乙种笔记本需要11元；买2个甲种笔记本和3个乙种笔记本需要18元． (1)求甲种笔记本和乙种笔记本的单价． (2)淇淇用35元买笔记本，两种笔记本都要买，钱正好用完．共有哪几种购买方案？ 9．张老师在某文体店购买商品A、B若干次（每次A、B两种商品都购买，且A、B都只能购买整数个），其中第一、二两次购买时，均按标价购买，两次购买商品A、B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 6 5 980 第二次购物 3 7 940 (1)求商品A、B的标价； (2)若张老师第三次购物时，商品A、B同时打6折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？ 10．6月份，甲、乙两个工厂用水量共为195吨．为了积极响应上级节约用水的号召，7月份，甲工厂用水量比6月份减少了，乙工厂用水量比6月份减少了，两个工厂7月份用水量共为162吨，试求甲、乙两工厂6月份的用水量分别为多少吨？（注：列二元一次方程组解答） 11．“十一”国庆节期间，某超市进行积分兑换活动，具体兑换方法见下表： 积分兑换礼品表 兑换礼品 积分 1个电茶壶 7000分 1个保温杯 2000分 1支牙膏 500分 爸爸拿出自己的积分卡，对王华说：“这个积分卡里有8200分，你去给咱家兑换礼品吧．”王华兑换了两种礼品，共10件，还剩下200分．请问她兑换了哪两种礼品，分别多少件？ 12．下表是八年级（2）班30名学生期中考试数学成绩表（已破损）． 成绩（分） 50 60 70 80 90 100 人数（人） 2 5 7 3 已知该班学生期中考试数学成绩平均分是76分． (1)求该班80分和90分的人数分别是多少？ (2)设此班30名学生成绩的众数为a，中位数为b，求的值． 13．食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知生产100瓶A、B两种饮料，共添加270克该添加剂，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？ 参考答案 题型一　数字与年龄问题 1．B 【详解】解：∵十位数字为，个位数字为，且十位数字与个位数字之和为， ∴． ∵原来的两位数为，新的两位数为，新的两位数比原来的两位数大， ∴，化简得，即． 联立方程组，将两式相加，，得，解得． 把代入，得． ∴原来的两位数是， 故选：B ． 2．47 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故这个两位数为47； 故答案为：47． 3． 【详解】解：设一个加数为，另一个加数为，由题意得： ， 两式相加得：， 则， 故答案为：． 4．5 【详解】解：设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得： ， 即由此可得： ， ∴，即甲比乙大5岁． 故答案为：5． 5．27 【详解】解：设数学老师今年岁，小强今年岁，由题意，得： ，解得：， ∴数学老师今年岁； 故答案为：27． 题型二　古代数学名题 1．B 【详解】解：设人数为x，物价为y， 由每人出八钱，会多三钱；总钱数, 每人出七钱，又差四钱；总钱数， ∴联立方程组为． 故选：B． 2．A 【详解】解：由题意得 故选A． 3．A 【详解】解：设买了甜果x个，苦果y个，由题意，得： ； 故选A． 4． 【详解】解：设团鱼有x只，龟有y只， 由题意得，， 故答案为：． 5． 【详解】解：设共有人，物品的价格为钱，根据题意得： ． 故答案为：． 6．鸡有11只，兔子13只 【详解】解：设有x只鸡，y只兔子．根据题意，得 ， 解得． 答：鸡有11只，兔子13只． 题型三　图形与配套问题 1．B 【详解】设长方形的长为，宽为， ∵， ∴，解得：， ∴ ， ， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为， 故选：． 2． 【详解】解：设小长方形的长为厘米，宽为厘米 根据图形可知， 解得：， 大长方形的面积为平方厘米． 故答案为：． 3．竖式的纸盒做了个，横式的纸盒做了个 【详解】解：设竖式的纸盒做了个，横式的纸盒做了个， 由题意得，， 解得， 答：竖式的纸盒做了个，横式的纸盒做了个． 题型四　乘车与调配问题 1．(1)3辆；116人 (2)36座新能源客车2辆，22座新能源客车2辆 【详解】（1）解：设计划调配36座新能源客车x辆，这支研学队伍的人数为y人， 根据题意得：， 解得：． 答：计划调配36座新能源客车3辆，这支研学队伍的人数为116人； （2）解：设需调配36座新能源客车m辆，22座新能源客车n辆， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴． 答：需调配36座新能源客车2辆，22座新能源客车2辆． 2．一共参演的健儿们有393名，原计划调配客车7辆． 【详解】解：设参演的健儿们共x人，原计划租用55座客车y辆． 根据题意，得， 解得， 答：一共参演的健儿们有393名，原计划调配客车7辆． 3．(1)计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有232名志愿者； (2)36座客车需要4辆，22座客车需要4辆． 【详解】（1）解：设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车辆，依题意，得：， 解得：； 答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有232名志愿者． （2）解：设需调配36座客车辆，22座客车辆， 依题意，得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴； 答：36座客车需要4辆，22座客车需要4辆． 题型五　工程问题 1．(1)A工程队用的时间，工程队用的时间；工程队整治河道的长度，工程队整治河道的长度 (2)A工程队整治河道工程队整治河道 【详解】（1）解：甲：表示工程队用的时间，表示工程队用的时间； 乙：表示工程队整治河道的长度，表示工程队整治河道的长度． （2）解：选甲同学所列方程组解得 所以． 答：工程队整治河道工程队整治河道． 选乙同学所列方程组 解得 答：工程队整治河道工程队整治河道． 2．(1)A工程队工作的天数；B工程队工作的天数；180；20 (2)A、B两工程队分别整治河道60、120米 【详解】（1）解：甲同学：设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天， 由此列出的方程组为； 乙同学：A工程队整治河道的米数为x，B工程队整治河道的米数为y， 由此列出的方程组为 ； 故答案依次为： A工程队工作的天数，B工程队工作的天数，180，20． （2）选甲同学所列方程组解答如下： 设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天， 则； ②-①×8得， 解得， 把代入①得， 所以方程组的解为， A工程队整治河道的米数为：， B工程队整治河道的米数为：； 答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 题型六　商品价格与利润问题 1．(1)购进A种新能源汽车4辆，B种新能源汽车5辆 (2)共有三种购买方案：购买A种新能源汽车12辆，B种新能源汽车5辆；购买A种新能源汽车8辆，B种新能源汽车10辆；购买A种新能源汽车4辆，B种新能源汽车15辆 (3)购进A种新能源汽车20辆，B种新能源汽车30辆时，所得利润最大 【详解】（1）解：设该店购进A种新能源汽车x辆，B种新能源汽车y辆，由题意得： ， 解得：， 答：该店购进A种新能源汽车4辆，B种新能源汽车5辆； （2）解：设购进A种新能源汽车m辆，B种新能源汽车n辆，由题意得： ，整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴有3种购买方案： ①购买A种新能源汽车12辆，B种新能源汽车5辆； ②购买A种新能源汽车8辆，B种新能源汽车10辆； ③购买A种新能源汽车4辆，B种新能源汽车15辆． （3）解：设购进A种新能源汽车t辆，则购进B种新能源汽车辆，所得利润为万元，由题意得： ， ∴， ∴w随t的增大而减小， ∵A种新能源汽车不少于20辆， ∴， ∴当时，w有最大值， ∴； 答：当购进A种新能源汽车20辆，B种新能源汽车30辆时，所得利润最大． 2．(1)A种型号的新能源汽车每辆的进价为20万元，B种型号的新能源汽车每辆的进价为36万元． (2)共有3种购进方案：方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆． 【详解】（1）解：设种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元， 根据题意可得， 解得， ∴种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元． （2）解：设购进种型号的新能源汽车辆，购进种型号的新能源汽车辆， 根据题意可得，且、均为正整数， 由，得， ∵、均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购进方案：方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆． 3．(1)种型号的汽车每辆进价为25万元，种型号的汽车每辆进价为元 (2)该公司共有二种购买方案，最大利润为元 【详解】（1）解：设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元， 由题意可得：，解得，， ∴种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元． （2）解：设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆， 由题意可得，，且， ∴， ∵为正整数， ∴或， ∴该公司共有二种购买方案， 当购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆时，获得的利润为：（元）， 当购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆时，获得的利润为：（元）， ∴该公司共有二种购买方案，最大利润为元． 4．A，B两种农产品每件的价格分别是120元和150元． 【详解】解：设A，B两种农产品每件的价格分别是x元，y元， 由题意，得，解得． 答：A，B两种农产品每件的价格分别是120元和150元． 5．篮球单价为80元，足球单价为50元； 【详解】解：设篮球单价为x元，足球单价为y元， 若选择①和②， 根据题意，得， 解得： 若选择①和③， 根据题意，得， 解得： 若选择②和③， 根据题意，得， 解得： 篮球单价为80元，足球单价为50元． 6．(1)购进猕猴桃20千克，购进芒果30千克 (2)能赚420元钱 【详解】（1）解：设购进猕猴桃千克，购进芒果千克， 根据题意得：， 解得：， 答：购进猕猴桃20千克，购进芒果30千克． （2）解：（元）． 答：如果猕猴桃和芒果全部卖完，他能赚 420 元钱． 7．(1)购进甲商品40件，乙商品60件 (2)，利润的最大值为900元 【详解】（1）解：设购进甲商品x件，乙商品y件， 根据题意， 解得 答：购进甲商品40件，乙商品60件； （2）解：甲商品每件利润为（元） 乙商品每件利润为（元） 设购进甲商品n件，则乙商品为件， 由题意得： 其中n满足 是一次函数， ∴y随n增大而减小 当时，y取最大值，即（元） ∴ 与的函数关系式为，利润的最大值为900元． 8．《曾国藩家书》每套30元，《凡尔纳三部曲》每套75元 【详解】解：设《曾国藩家书》每套x元，《凡尔纳三部曲》每套y元， 根据题意得，， 解得， 答：《曾国藩家书》每套30元，《凡尔纳三部曲》每套75元． 9．(1)A种花束的单价为6元，B种花束的单价为4元 (2)①；②他们同时购买A，B两种花总共21束或22束或23束或24束 【详解】（1）解：设A种花束的单价为x元，B种花束的单价为y元， 依题意，得：，解得：， 答：A种花束的单价为6元，B种花束的单价为4元． （2）解：①由题意可得：， 解得：，      经检验，是原方程的根． ②设购买A种花a束，B种花b束． 依题意，得：，整理得：， ∵a，b均为正整数， ∴． 答：他们同时购买A，B两种花总共21束或22束或23束或24束． 题型七　购买方案与和差应用问题 1．D 【详解】解：依题意列出方程组：． 故选D． 2．(1)A品牌运动饮料的销售单价是5元，B品牌运动饮料的销售单价是8元； (2)共有4种购买方案， 方案1：购买32瓶A品牌运动饮料，5瓶B品牌运动饮料； 方案2：购买24瓶A品牌运动饮料，10瓶B品牌运动饮料； 方案3：购买16瓶A品牌运动饮料，15瓶B品牌运动饮料； 方案4：购买8瓶A品牌运动饮料，20瓶B品牌运动饮料． 【详解】（1）解：设A品牌运动饮料的销售单价是x元，B品牌运动饮料的销售单价是y元， 根据题意得， 解得， 答：A品牌运动饮料的销售单价是5元，B品牌运动饮料的销售单价是8元； （2）解：设购买m瓶A品牌运动饮料，n瓶B品牌运动饮料， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或或或， ∴共有4种购买方案： 方案1：购买32瓶A品牌运动饮料，5瓶B品牌运动饮料； 方案2：购买24瓶A品牌运动饮料，10瓶B品牌运动饮料； 方案3：购买16瓶A品牌运动饮料，15瓶B品牌运动饮料； 方案4：购买8瓶A品牌运动饮料，20瓶B品牌运动饮料． 3．(1)参加游玩的家长5人，学生4人 (2) 家长和学生一起购买团体票，不能比分别购票更省钱， 理由：购买团体票需要买10张或10张以上，家长和学生共9人，团体购票需要购买10张，所以花费的钱数为：（元）， ， 如果家长和学生一起购买团体票，费用至少为675元，不能比分别购票更省钱． 【详解】（1）解：设参加游玩的家长为人，学生为人，由题意得： 解得： 答：参加游玩的家长5人，学生4人； （2）略 4．(1)店主获利240元 (2)当时，，即购买吉祥物钥匙扣件，明信片48件； 当时，，即购买吉祥物钥匙扣10件，明信片36件； 当时，，即购买吉祥物钥匙扣15件，明信片24件； 当时，，即购买吉祥物钥匙扣20件，明信片12件 【详解】（1）解：设购买吉祥物钥匙扣件，明信卡件， 依题意得：， 解得：， （元）， 答：店主获利240元． （2）设张老师在本店花费600元购买吉祥物钥匙扣件，明信片件， 依题意得：， 即：， 、均为正整数， 张老师策划所有可行的购买方案如下： 当时，，即购买吉祥物钥匙扣件，明信片48件； 当时，，即购买吉祥物钥匙扣10件，明信片36件； 当时，，即购买吉祥物钥匙扣15件，明信片24件； 当时，，即购买吉祥物钥匙扣20件，明信片12件． 5．任务1：款咖啡的每杯价格为8元，款咖啡每杯价格为10元 任务2：共有四种方案，①款20杯，款4杯；②款15杯，款8杯；③款10杯，款13杯；④款5杯，款16杯 【详解】解：任务1：设款咖啡的每杯价格为元，款咖啡每杯价格为元， 由题可知：，解得， 答：款咖啡的每杯价格为8元，款咖啡每杯价格为10元； 任务2：设款咖啡为杯，款咖啡为杯，则． ， ，均为正整数， ，，，． 即有共有四种方案，分别为：①款20杯，款4杯； ②款15杯，款8杯； ③款10杯，款13杯； ④款5杯，款16杯． 6．(1)甲奖品件，乙奖品件； (2)不可行，理由： 设甲奖品件，则乙奖品件， 根据题意得， 解得， ∵不是正整数， ∴该方案不可行． 【详解】（1）解：设甲奖品件，乙奖品件， 根据题意得， 解得， 答：甲奖品件，乙奖品件； （2）略 7．(1)1辆型车载满货物一次可运3吨，1辆型车载满货物一次可运4吨 (2)方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆； (3)租型车辆，型车辆，最少租车费为元 【详解】（1）解：设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意得，， 解得， 答：1辆型车载满货物一次可运3吨，1辆型车载满货物一次可运4吨； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵都是正整数， ∴或或， ∴有种租车方案： 方案一：型车辆，型车辆； 方案二：型车辆，型车辆； 方案三：型车辆，型车辆； （3）解：∵型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次， ∴方案一需租金：元； 方案二需租金：元； 方案三需租金：元； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案一， 答：租型车辆，型车辆，最少租车费为元． 8．(1)甲种笔记本单价为元，乙种笔记本的单价为元； (2)共有种购买方案：买甲种笔记本本，乙种笔记本本，买甲种笔记本本，乙种笔记本本，买甲种笔记本本，乙种笔记本本． 【详解】（1）解：设甲种笔记本单价为元，乙种笔记本的单价为元， 依题意得：， 解得：， 答：甲种笔记本单价为元，乙种笔记本的单价为元； （2）解：设购买甲种笔记本本，乙种笔记本本， ∴， ∵为正整数， ∴， ， ， 答：共有种购买方案：买甲种笔记本本，乙种笔记本本，买甲种笔记本本，乙种笔记本本，买甲种笔记本本，乙种笔记本本． 9．(1)商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个 (2)张老师共有三种购买方案，方案一：购买15个商品A，4个商品B；方案二：购买10个商品A，8个商品B；方案三：购买5个商品A，12个商品B 【详解】（1）解：设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个， 根据题意得：， 解得：． 答：商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个． （2）设张老师购买m个商品A，n个商品B， 根据题意得：， ∴． 当时，；当时，；当时，． 答：张老师共有三种购买方案， 方案一：购买15个商品A，4个商品B； 方案二：购买10个商品A，8个商品B； 方案三：购买5个商品A，12个商品B． 10．甲工厂6月份的用水量是75吨，乙工厂6月份的用水量是120吨 【详解】解：设甲工厂6月份的用水量是吨，乙工厂6月份的用水量是吨， 依题意，得， 解得． 答：甲工厂6月份的用水量是75吨，乙工厂6月份的用水量是120吨． 11．王华兑换了保温杯和牙膏，分别兑换了2个保温杯和8支牙膏 【详解】解：因为积分卡里有8200分，要兑换10件礼品，所以不能选择兑换电茶壶． 设王华兑换了x个保温杯和y支牙膏． 依题意，得 解得； 答：王华兑换了保温杯和牙膏，分别兑换了2个保温杯和8支牙膏． 12．(1)该班得80分的有8人，得90分的有5人 (2)160 【详解】（1）解：设该班得80分的有人，得90分的有人，根据题意和平均数的定义，得： ， 整理得， 解得， 答：该班得80分的有8人，得90分的有5人． （2）解：∵80分出现8次且出现次数最多， ∴， ∵将这30个数从小到大进行排序，第15、16两个数均为80分， ∴， ∴． 13．A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶 【详解】解：设A饮料生产了x瓶，B饮料生产了y瓶，由题意得： ， 解得：， 答：A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶． 学科网（北京）股份有限公司 $