5.4二元一次方程与一次函数常见的五种题型 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

5.4二元一次方程与一次函数常见的五种题型 目　录 题型一　一次函数图象与二元一次方程（组）——交点与方程组的解 题型二　一次函数与坐标轴围成的面积 题型三　一次函数在实际问题中的应用 题型四　一次函数与几何综合 题型五　一次函数的图象与性质、待定系数法 题型一　一次函数图象与二元一次方程（组）——交点与方程组的解 【解题技巧】两条直线的交点坐标，就是由这两条直线对应的一次函数解析式所组成的二元一次方程组的解；反过来，方程组的解就是两直线的交点坐标。由“图象交点求方程组的解”时，先求出交点坐标即可。二元一次方程 ax+by=c 可化为 y=kx+b 的直线形式：。若方程组无解，则两直线平行（k 相等、b 不相等）。 1．如图，一次函数的图象与的图象相交于点，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的方程组无解，则下列结论正确的是（） A．直线与直线的交点在第一象限 B．直线与直线的交点为 C．直线不经过第一象限 D．直线交轴于负半轴 3．如图，已知一次函数与图象交点的横坐标为（其中a，b，m均为常数），下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．方程的解是 4．下面四条直线，其中直线上的每一个点的坐标都是二元一次方程2x-3y=6的解的是(　　) A．B． C． D． 5．如图，直线与的图象交于，则关于，的方程组的解为________． 6．利用如图所示的一次函数的图象，可知二元一次方程组的解为________． 7．解方程组一般来说有三种方法——代入消元法、加减消元法和作图象法，请选用一种适当的方法解下列方程组． 解：我用__________________法解这个方程组． 8．已知一次函数与． (1)在同一平面直角坐标系中，画出它们的图象； (2)直线，与轴分别交于点，，请写出，两点的坐标； (3)根据图象，写出方程组的解． 9．已知一次函数y＝﹣x+b的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，a）． (1)求a，b的值； (2)方程组的解为 　 　． (3)在y＝2x的图象上是否存在点P，使得△BOP的面积比△AOP的面积大5？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，直线与直线相交于点，与x轴交于A，B两点．    (1)求b，m的值，结合图象写出关于x，y的方程组的解； (2)求的面积； (3)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段CD的长为3，直接写出a的值． 11．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是什么？ 12．已知点在直线l：上，l和函数的图象交于点B． (1)求直线l的表达式； (2)若点B的横坐标是1，求关于x、y的方程组的解及a的值． (3)在（2）的条件下，若点A关于x轴的对称点为P，求△PBC的面积． 13．如图，过点的直线：与直线：交于．    (1)求直线对应的表达式； (2)直接写出方程组的解； (3)求三角形的面积． 14．如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，点为两函数图象的交点，且点的横坐标为． (1)求点坐标及一次函数的函数解析式； (2)求的面积． 题型二　一次函数与坐标轴围成的面积 【解题技巧】求两直线与坐标轴围成的三角形面积：先分别求出两直线与坐标轴的交点坐标、两直线的交点坐标，找出三角形的底与对应的高，再用面积公式计算。若已知面积反求参数（k、b 或某点坐标），则把相关边长用含参数的代数式表示，列面积方程求解。 1．直线过点且与直线相交于点，则两直线与x轴所围成的面积为（） A．2 B．2.4 C．3 D．4.8 2．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知，则______． 3．如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m． (1)求的面积； (2)当时，求m的值． 4．如图，已知直线l1经过点A(5，0)，B(1，4)，与直线l2：y＝2x﹣4交于点C，且直线l2交x轴于点D． （1）求直线l1的函数表达式； （2）求ADC的面积． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（为常数）的图象与轴相交于点，与轴相交于点，并与直线相交于点，其中点的横坐标为3． (1)求点的坐标和的值． (2)为直线上一动点，且点位于轴左侧，当的面积为时，求点的坐标． 6．如图，直线与轴，轴及直线分别交于点，，． (1)求点和点的坐标； (2)若点在轴上，且，求点的坐标． 题型三　一次函数在实际问题中的应用 【解题技巧】实际问题先抽象成一次函数模型：能看图象的就从图象提取点的坐标，用待定系数法求解析式；要结合实际意义确定自变量的取值范围。做“方案选择 / 比较”时，联立两函数解方程或列不等式比较函数值；求“最值”时，依据一次函数的增减性在定义域端点取到。 1．某同学参加短跑训练，2～6月的训练成绩为15.6，15.5，15.2，15.1，15（单位：），如果月份用x表示，训练成绩用y表示，并在如图所示的平面直角坐标系中描出点，根据变化趋势预测该同学7月份短跑的成绩最接近（     ） A． B． C． D． 2．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（     ）    A．小数比小文先出发15秒 B．小文提速后的速度为 C． D．从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距 3．用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为，经测试，用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象分别为图2中的线段，，根据以上信息，下列说法正确的是（     ） A．线段对应的函数表达式为 B．若仅用快充器充电1小时，此时屏幕画面电量为 C．若仅用普通充电器充电，此时的电量为 D．快速充电器的充电效率是普通充电器的2倍 4．为了强化劳动观念，弘扬劳动精神，某中学在校园内建成一块三角形劳动实践基地，种植甲和乙两种蔬菜．经过数学小组学生的测量与市场调研，得到如下信息． ．如图，将实践基地记为，其中，，； b．甲种蔬菜的种植成本为30元； c．乙种蔬菜的种植成本元与种植面积的部分数值如表所示，其中： 种植面积 10 20 30 40 50 种植成本元 420 660 900 1140 1380 根据以上信息，回答下列问题： (1)求该校劳动实践基地的面积； (2)将乙种蔬菜的种植成本看作是种植面积的一次函数． ①求此函数的解析式； ②现将劳动实践基地种满甲、乙两种蔬菜，设两种蔬菜的总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使取得最小值，并求出此时的值． 5．某款新能源纯电动汽车充满电后，仪表盘上剩余电量的显示值与行驶路程x（单位：）的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)在（1）中所求函数关系式中常数项的实际意义是什么？ (3)若该款新能源纯电动汽车在高速公路上以的速度匀速行驶，仪表盘上剩余电量的显示值从下降至时，该款新能源纯电动汽车在高速公路上行驶了多长时间？ 6．综合与实践 某小组进行了“弹簧的长度与外力的变化关系”的探究活动，步骤如下： 第一步：实验测量 多次改变砝码的质量（克），测量弹簧的长度（厘米），其中． 第二步：整理数据 砝码的质量（克） 0 50 100 150 200 250 弹簧的长度（厘米） 5 5.5 6 6.5 6.7 7.5 第三步：画函数关于的图象 (1)在进行数据分析时，组长发现统计表中有一个弹簧的长度是错误的，重新测量后修改了表中这个数据，则表中错误的数据是__________，应修改为__________； (2)直接写出与的函数表达式； (3)在如图所示的平面直角坐标系中，画出与的函数图象；通过观察表格和图象说出一条你认为正确的结论． 7．如图，五一期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游． 根据以上信息，解答下列问题： (1)设租车时间为小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于x的函数解析式； (2)请你帮助小明计算选择哪个出游方案合算． 8．草莓在每年成熟期都会吸引很多人到果园去采摘．现有甲、乙两家果园可供采摘，这两家草莓的品质相同，售价均为每千克元，这两家果园的采摘方案不同．甲果园：每人需购买元的门票一张，采摘的草莓按折优惠；乙果园：不需要购买门票，采摘的草莓按售价付款不优惠．设小明和爸爸妈妈三个人采摘的草莓总数量为千克，在甲、乙果园采摘所需总费用分别为、元，其函数图象如图所示． (1)请分别求出、与之间的函数关系式； (2)请求出图中点的坐标； (3)请根据函数图象，直接写出小明一家选择哪家果园采摘更合算． 9．甲乙两车从城出发匀速驶向城，在整个行驶过程中，两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间之间的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题： (1)两城相距______千米，甲车速度为______千米小时； (2)两车相遇时，乙车距离城多少千米？ (3)当甲乙两车相距千米时，的值为多少？ 10．某电信公司手机的A，B两类收费方式如图所示，，分别表示每月通话费（元）与通话时间之间的关系．根据图象解答下列问题： (1)当通话时间是时，A，B两类收费方式的话费分别是_________元和___________元，直线的函数表达式是____________． (2)求直线的函数表达式，并写出对应的一次函数中的实际意义． (3)如果你每月的通话时间为分钟，应选择哪类收费方式更省钱？ 11．为了鼓励市民节约用水，西安市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭用户年用水量及分档计费标准： 计费档 户年用水量 单价（元） 第一档 第二档 第三档 (1)当时，请写出水费（单位：元）与之间的关系式； (2)小颖家去年一年的水费是元，求她家去年一年的用水量． 12．“曹冲称象”是家喻户晓的经典故事，某兴趣小组模仿故事里曹冲的称象思路，制作了一把“浮力秤”．将一个带刻度的圆柱形水杯浸入水中，小组成员通过在杯中放入不同质量的物体，观察杯子浸入水中的深度．通过多次实验探究，发现杯子浸入水中的深度是杯中放入的物体质量的一次函数．已知杯中未放物体时，杯子浸入水中的深度为；当杯中放入的物体质量为时，杯子浸入水中的深度为． (1)求与之间的函数解析式； (2)当杯中放入的物体质量为时，求杯子浸入水中的深度． 13．在两地间有一条水泥二级公路连接，甲车从A地出发前往B地到B地停止，乙车从B地出发前往A地到A地停止，两车同时出发，并以各自的速度匀速行驶．设甲车离A地的距离为，乙车离A地的距离为．甲车行驶时间为．与x的函数关系图象如图所示． (1)分别求出与x的函数关系式； (2)直接写出点P的坐标并解释该点坐标所表示的实际意义； (3)若两车间的距离为S（千米），写出S关于x的函数关系式． 14．某现代农业基地正在对甲、乙两个不同型号的“智能温室大棚”进行升温性能测试．在清晨气温较低时，两个大棚同时启动加热系统，在加热的初始阶段，这两个大棚内的温度均呈匀速上升趋势，技术员绘制出了甲、乙两个大棚内的温度，与加热时间x（分钟）之间的函数图象，如图所示，其中． (1)求与x之间的函数解析式，并求在启动加热系统前，甲大棚内的温度； (2)求加热多长时间后，两个大棚内的温度相同； (3)若在加热15分钟后，因为设备故障，甲大棚启动恒温模式（保持此时的温度不变），而乙大棚不受影响．那么在这个时间段内，两个大棚内的温度差能不能达到？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由． 15．在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息2分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)甲的骑行速度为 米/分，点D的坐标为 ． (2)求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）． (3)甲、乙同时出发m分钟后，甲在返回过程中与乙距A地的路程相等，请直接写出m的值． 题型四　一次函数与几何综合 【解题技巧】综合题先解方程组求出交点坐标，再结合图形与点的坐标表示线段长。常用工具：三角形面积公式；等腰三角形按“哪两边相等”分三类讨论；最值常转化为垂线段最短或作对称点。涉及“面积相等 / 面积分割”时，用同底等高或列面积方程求点坐标。 1．如图，一次函数第一象限的图象上有一点P，过点P作x轴的垂线段，垂足为A，连结，则的周长的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为． (1)则______，______，______； (2)关于x，y的二元一次方程组的解为______； (3)求四边形的面积． 3．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，经过点的另一条直线交轴于点． (1)求直线的函数解析式； (2)点是线段上任意一点，连接，轴交直线于点，若的面积为9，求点的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数与轴，轴分别交于点、点，点的坐标为，点是轴上一动点． (1) ； (2)连接，若的面积为，求点的坐标； (3)当点在轴上运动时，是否存在点使是等腰三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，直线与轴、轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点、的坐标以及直线的解析式； (2)直接写出方程组的解； (3)连接，求的面积． 6．（1）【知识回顾】通过学习我们知道一次函数和的图象如图1所示，所以方程组的解为________． （2）【知识探究】 小友结合学习一次函数的经验，对函数的图象进行了探究，下面是小友的探究过程： ①列表：把下表补充完整． x … 0 1 2 3 4 … y … 1 3 5 3 … ②描点、连线：在给出的平面直角坐标系中描出以表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象． （3）【知识应用】利用一次函数与二元一次方程（组）的关系，结合函数图象可知，方程组的解为________． 7．如图，直线分别与轴，轴交于点两点，直线交直线于点，点从点出发，以每秒个单位的速度向点匀速运动． (1)求出点、点、点坐标； (2)当直线平分的面积时，求直线的函数关系式； (3)若等腰三角形，求点运动时间． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，与经过点，的直线相交于点． (1)求点的坐标． (2)若点在线段上，点在直线上，求的最小值． 9．已知直线与直线相交于点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，直线过原点，且直线，并与直线交于点，点为轴上任意一点，连接PC，PF． (1)的值是__________； (2)求直线的表达式； (3)求的面积； (4)当的值最小时，点的坐标为__________． 10．某班“数学兴趣小组，对函数y＝|x|﹣2的图象与性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x可以是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 2 1 0 ﹣1 ﹣2 ﹣1 0 m 2 其中m＝　 　． （2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出该函数图象． （3）观察函数图象发现： ①该函数的最小值为　 　；该函数是轴对称图形吗？　 　（填“是”或“否”）；若是，其对称轴是　 　． ②若y＝t与该函数有两个交点，则t的取值范围是　 　． （4）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出方程组：的解是　 　． 11．如图，直线分别交轴、轴于点，直线经过点交轴于点. (1)求点的坐标； (2)求的面积： (3)点在内部及边上（与三点不重合），且点的横纵坐标都为整数，请直接写出符合条件的点坐标. 12．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点M沿路线运动． (1)求直线的解析式． (2)求的面积． (3)当的面积是的面积的时，求出这时点M的坐标． (4)在x轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形，若存在请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线过点，与轴、轴分别交于点，过点的直线与轴、轴分别交于点． (1)求b的值和点的坐标； (2)若点关于点对称，求直线的解析式； (3)若直线将的面积分为两部分，直接写出k的值． 14．如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，12）的直线AC与直线OA相交于点A（8，4）． (1)求直线AC的表达式； (2)求△OAC的面积； (3)动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且两直线交于点，点的坐标为． (1)求的值． (2)连接，求的面积． (3)平面内是否存在一点，使得与面积相等？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 题型五　一次函数的图象与性质、待定系数法 【解题技巧】待定系数法：设 y=kx+b，代入两点的坐标列二元一次方程组解出 k、b。图象性质：k 决定直线方向与增减性（k＞0 时 y 随 x 增大而增大），b 决定直线与 y 轴交点的纵坐标。平移法则：上加下减、左加右减。斜率公式：。新定义类按定义列式求解。 1．对于一次函数的相关性质，下列描述错误的是（    ） A．函数图象经过第一、二、四象限 B．图象与y轴的交点坐标为 C．y随x的增大而减小 D．图象与坐标轴调成三角形的而积为 2．规定：如果两个一次函数的一次项系数和常数项互换，即和（其中），称这样的两个一次函数为互助一次函数，例如和就是互助一次函数．根据规定解答问题：若两个一次函数与是互助一次函数，且两函数图象交点的横坐标为1，则两函数图象与轴围成的三角形的面积是______． 3．已知一次函数的图象经过点和点． (1)求一次函数的表达式； (2)判断点是否在该函数的图象上，并说明理由． 4．已知一次函数：的图象与轴交于点，且经过点． (1)求点和点的坐标，并在图中画出的图象（不必列表）； (2)将向上平移个单位长度得到，求的表达式． 5．已知一次函数的图象经过，两点． (1)求k，的值； (2)若一次函数的图象与x轴的交点为A，求一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积； (3)当时，求y的取值范围． 6．点是关于轴的对称点，且一次函数过和，求此一次函数的表达式，并画出此一次函数的图像． 7．已知、为常数，且，，我们称函数与互为“交换函数”，即函数是函数的“交换函数”，函数是函数的“交换函数” (1)一次函数的“交换函数”是 ； (2)在同一平面直角坐标系中，求一次函数的图象与其“交换函数”的图象的交点坐标； (3)若、为常数，且，直线，在平面直角坐标系中，将直线先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后得到直线，若直线对应的函数与一次函数互为“交换函数”，求、的值． 8．在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)点的坐标是______，点的坐标是______； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数图象； (3)当时，的取值范围是______；当时，自变量的取值范围是______； (4)点为直线上一动点，若的面积为3，则点的坐标为______． (5)一次函数的图象平移后经过点，则平移后的一次函数解析式为______． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《5.4二元一次方程与一次函数》参考答案 题型一　一次函数图象与二元一次方程（组）——交点与方程组的解 1．A 【详解】解：关于，的方程组的解是一次函数的图象与的图象的交点坐标， 将代入得：， 即方程组的解为： ， 故选：A． 2．C 【详解】解：∵关于的方程组无解， ∴直线与直线平行， 即，解得， 两直线平行，无交点，故A、B错误； 将代入，得， ∵斜率，截距， ∴直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故C正确； 将代入，得，当时，， 即直线交y轴于正半轴，故D错误． 故选：C． 3．A 【详解】解：直线与y轴交于点，且 y随x的增大而减小， ， 选项A错误，符合题意； 直线与y轴交于正半轴， ， 选项B正确； 直线随x增大而减小， 选项C正确； 观察图象发现，方程的解为：， 选项D正确． 4．D 【详解】∵2x-3y=6， ∴y=x-2， ∴当x=0，y=-2；当y=0，x=3， ∴一次函数y=x-2，与y轴交于点（0，-2），与x轴交于点（3，0）， 即可得出选项D符合要求， 故选D． 5． 【详解】解：直线是直线向下平移个单位长度， 直线是直线向下平移个单位长度， 直线和直线的交点就是把直线与的交点向下平移个单位长度， 直线和直线的交点坐标是， 方程组的解为． 故答案为：． 6． 【详解】解：将方程变形为， 观察函数图象可知，直线与直线的交点坐标为 ， 方程组的解为 ． 7．代入消元或加减消元或作图象， 【详解】解：（1）我用代入消元法方法解这个方程组： ， 由①得③， 将③代入②得，， 解得， 将代入③得，， ∴方程组的解是：； （2）我用代入消元法方法解这个方程组： ， ②①得，， 将代入①得，， 解得， ∴方程组的解是：； （3）我作图象法解这个方程组： 如图所示， 方程组的解是：． 故答案为：代入消元或加减消元或作图象． 8．(1) 列表： 如图， (2)，； (3)． 【详解】（1）略 （2）解：当时，，， ∴，； （3）解：根据图象可知：方程组的解为． 9．(1)a＝2，b＝2.5 (2) (3)存在，或 【详解】（1）解：由题知，点C（1，a）在y＝2x的图象上， ∴a＝1×2＝2， ∴点C 的坐标为（1，2）， ∵点C（1，2）在y=的图象上， 所以，2＝﹣+b， 所以，b＝2.5； （2）解：∵一次函数y＝﹣x+b的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，2） ∴方程组的解为 故答案为； （3）解：存在， 理由：∵点P在y＝2x的图象上， ∴设点P 的坐标为（x，2x）， ∵一次函数为 ∴点A的坐标为（0，2.5），点B的坐标为（5，0）， 作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N， ∴△BOP的面积为， △AOP的面积为， 当5|x|＝时，解得， ∴， ∴点P的坐标为或． 10．(1)，， (2) (3)或 【详解】（1）点在直线：上， ， 点在直线：上， ， ， ∴ 关于x，y的方程组的解为； （2）解：令时，，解得， ∴点A的坐标为， 令时，，解得， ∴点B的坐标为， ∴； （3）当时,当时, ∵, ∴, 解得： 或 ∴a的值为或 11． 【详解】解：设过点和的直线解析式为， 则 ，解得 ， 所以直线解析式为； 设过点和的直线解析式为， 则 ，即得 ， 所以直线解析式为， 所以所解的二元一次方程组为：． 12．(1)y＝2x+4 (2)解为，a＝10 (3)12 【详解】（1）解：∵点）在直线l：上， ∴ ，解得， 所以直线l的表达式为：； （2）由于点B在直线l上，当时，， 所以点B的坐标为， 所以关于x、y的方程组 的解为， 因为点B是直线l与直线的交点， 把代入中，求得． （3）因为点A与点P关于x轴对称，所以点， 所以， 所以 ． 13．(1) (2) (3)3 【详解】（1）解：把代入，得， 则点坐标为； 把，代入， 得，解得， 所以直线的表达式为； （2）解：∵直线：与直线：交于点， ∴方程组的解为； （3）解：交轴于，交轴于，， 三角形的面积． 14．(1) (2) 【详解】（1）解：∵点在的图象上，且横坐标为2， ∴当时，， ∴， 设一次函数的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为． （2）解：在中，令，得， ， ， ， 点横坐标为，即中边上的高为， ． 题型二　一次函数与坐标轴围成的面积 1．B 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴． ∴． ∵直线过点， ∴． 解得． ∴直线为． 令，则． 解得． 所以,与x轴的交点坐标为． ∵直线经过坐标原点, 两直线与x轴所围成的面积． 故选：B． 2． 【详解】解：如图， 当时，， 当时，， 解得：， ，，， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ； 故答案：． 3．(1)6 (2)m的值为2或6 【详解】（1）解：在中，令，得；令，即，得， 则A、B的坐标分别为， ， 则； （2）解：点C在直线上，点C的横坐标为m， ， ， ， 即， 解得：或； 即m的值为2或6． 4．（1）y=-x+5；（2）S△ADC=3． 【详解】（1）设直线l1的函数表达式为y=kx+b， ∵A(5，0)，B(1，4)， ∴， 解得：， ∴直线l1的函数表达式为y=-x+5． （2）如图，过点C作CE⊥AD于E， ∵直线l2：y＝2x﹣4， ∴当y=0时，x=2， ∵直线交x轴于点D， ∴点D坐标为（2，0）， ∵A（5，0）， ∴AD=3， 联立l1、l2得：， 解得：， ∴点C坐标为（3，2）， ∴CE=2， ∴S△ADC==3． 5．(1)； (2) 【详解】（1）解：把代入，得， 所以点的坐标为． 因为点在一次函数的图象上， 所以， 解得． （2）解：把代入，得， 所以点的坐标为，即， 设点的坐标为， 则：， 解得：， ， 所以点的坐标为． 6．(1)点B的坐标为，点C的坐标为 (2)点P的坐标为或 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 解得， ∴直线， 当时，， ∴点B的坐标为． ∵点C为直线，的交点， ∴令，解得， 此时， ∴点C的坐标为； （2）解：设点P的坐标为，则， ∵， ∴，解得：或， ∴点P的坐标为或． 题型三　一次函数在实际问题中的应用 1．C 【详解】解：设成绩和月份的一次函数关系式为． 从图中选取两个已知点：时，，时，，代入关系式得： ， 解得， 因此函数关系式为． 当时， ， 这个结果最接近． 2．D 【详解】解：A、结合图象可知，小数比小文早出发秒，故选项A正确，不符合题意； B、∵当时，，当时，， ∴小文提速前的速度是， ∵小文出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小文提速后速度为，故选项B正确，不符合题意； C、∵小文提速后行走所用时间为， ∴， ∴， ∴小数的速度为， ∴，故选项C正确，不符合题意； D、设段对应的函数表达式为， 将点代入，得，解得， ∴， ①当时，小数和小文之间的距离最大值为； ②当时，设， 将、代入，得，解得， ∴， ∴小数和小文之间的距离为， 当时，取最大值，最大值为； ③设段对应的函数表达式为， 将、代入，得，解得， ∴， 故当时， 小数和小文相遇前的距离为， 当时，取最大值，最大值为； 小数和小文相遇后的距离为， 当时，取最大值，最大值为； ④当时，小数和小文之间距离最大值为． 综上所述，从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距，故选项D错误，符合题意． 3．C 【详解】A．设线段对应的函数表达式为， 将，代入得： ， 解得， ∴线段对应的函数表达式为，错误； B．设线段对应的函数表达式为， 将，代入得： ， 解得， ∴线段对应的函数表达式为． 把代入，得，故仅用快充器充电1小时，此时屏幕画面电量为60%，错误； C．仅用普通充电器充电，即把代入，，正确； D．，∴快速充电器的充电效率是普通充电器的3倍，错误． 4．(1)该校劳动实践基地的面积为 (2)①；②当时，w有最小值，且 【详解】（1）解：，，， ， ， ， ∴该校劳动实践基地的面积为； （2）①设解析式为， 由题意可知，， 解得：， ∴解析式为：； ②∵种植乙种蔬菜的面积为， ∴种植甲种蔬菜的面积为， ， 随的增大而减小， ∴当时，w有最小值，且． 5．(1)，； (2)该新能源纯电动汽车充满电时，仪表盘上剩余电量的显示值为 (3)该款新能源纯电动汽车在高速公路上行驶了 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 由题意可得 解得 ∴y与x的函数关系式为， 当时，， ∴x的取值范围是； （2）解：y与x的函数关系式中常数项的实际意义：该新能源纯电动汽车充满电时，仪表盘上剩余电量的显示值为； （3）解：在中， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴仪表盘上剩余电量的显示值从下降至时， 汽车行驶的路程为， ， 答：该款新能源纯电动汽车在高速公路上行驶了． 6．(1)，； (2) (3)当时，随着的增大而增大． 【详解】（1）解：砝码质量的增加量是每次50克，弹簧长度增加量是厘米， ∴表中的数据是，对应的，是错误的，即错误的是，应修改为； （2）解：砝码质量的增加量是每次50克，弹簧长度增加量是厘米， ∴与的函数表达式为； （3）解：当时，随着的增大而增大． 7．(1)； (2)当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； ∴租车时间大于小时，甲公司合算；租车时间等于小时，两家公司费用相同；租车时间小于小时，乙公司合算 【详解】（1）解：甲公司收取固定租金元，另外按时间计费， 由图可知，当时，， ∴每小时费用为元， ∴； 乙公司无固定租金，直接以租车时间计费，每小时 30 元， ∴； （2）略 8．(1)； (2)当采摘量为5千克时，到两家果园所需总费用相同均为150元 (3)当采摘量大于5千克时，到甲果园更划算；当采摘量等于5千克时，两家果园所需总费用相同，所以到甲乙果园哪家都可以；当采摘量小于5千克时，到乙果园更划算． 【详解】（1）解：根据题意得， 设， 点在上 根据题意得，， 解得， ； （2）解：联立， 解得， 点的坐标为， 则点的实际意义是当采摘量为5千克时，到两家果园所需总费用相同均为150元； （3）解：由（2）知点的坐标为，观察图象知： 当采摘量大于5千克时，到甲果园更划算； 当采摘量等于5千克时，两家果园所需总费用相同，所以到甲乙果园哪家都可以； 当采摘量小于5千克时，到乙果园更划算． 9．(1)，； (2)； (3)或或或． 【详解】（1）解：根据题意可知，两城相距千米，甲车速度为千米小时； 故答案为：，； （2）解：设甲的路程与时间的函数解析式为，经过，， ∴，解得， ∴甲的路程与时间的函数解析式为， 设乙的路程与时间的函数解析式为，经过，， ∴， 解得， ∴乙的路程与时间的函数解析式为， 若甲、乙相遇，则， ∴， 解得， ∴相遇时乙车行驶了， ∴乙车距离城有（千米）， （3）解：∵甲的路程与时间的函数解析式为，乙的路程与时间的函数解析式为， ∴情况一：相遇前，甲先走，乙未走，， 则， 解得； 乙开始走，，则， 得； 情况二：相遇后，，则， 解得； 当时，乙到达，即， ∴， 综上可得：当甲、乙两车相距千米时，的值为或或或． 10．(1)25，32， (2)直线函数表达式是，k的实际意义是：B类收费方式为每分钟通话费用为元 (3) 解：应选择B类手机收费方式，理由如下， ， 解得：， 由图知若通话时间大于，应选择类手机收费方式： 大于，应选择类手机收费方式． 【详解】（1）解：根据所给图象可得：当通话时间是时，类收费方式的话费为元，类收费方式的话费为元， 设直线的解析式为， 直线过点， ， ， ； （2）解：把和代入，得： ， 解得：， 所以直线函数表达式是， k的实际意义是：B类收费方式为每分钟通话费用为元． （3）略 11．(1) (2)她家去年一年的用水量是 【详解】（1）解：当时， 当时， ， ， 综上所述，当时，y与x之间的关系式为：． （2）解：当时，（元）． 因为，所以小颖家的用水量超过． 当时，（元）． 因为，所以小颖家的用水量在到之间． 根据题意得： 答：她家去年一年的用水量是． 12．(1) (2)杯子浸入水中的深度为 【详解】（1）解：设与之间的函数解析式为，将，代入， 得，解得， ∴与之间的函数解析式为． （2）解：由（1）可知，与之间的函数解析式为， ∴当时，． 答：杯子浸入水中的深度为m． 13．(1)； (2)点P的坐标是，表示的实际意义是两车出发后在距A地处相遇 (3) 【详解】（1）解：设与x的函数关系式为（为常数，且）， 将坐标代入， 得， 解得， ∴与x的函数关系式为； 设与x的函数关系式为（为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴与x的函数关系式为． （2）解：设， 根据题意，得， 解得， ∴点P的坐标是，表示的实际意义是两车出发后在距A地处相遇． （3）解：当时，； 当时，； 当时，； 综上，S关于x的函数关系式为． 14．(1)；； (2)20分钟 (3)不能．理由：当时，． 根据题意可得，解得， ∴不能． 【详解】（1）解：设与x之间的函数解析式为． 将点，代入中， 解得， ∴与x之间的函数解析式为． 当时，，即在启动加热系统前，甲大棚内的温度为． （2）解：联立和， 即， 解得， 即加热20分钟后，两个大棚内的温度相同． （3）略 15．(1)250，(10，2000)； (2)y=－250x+4500(10≤x≤18)； (3)； 【详解】（1）由题意得：甲的骑行速度为： =250（米/分）， ∵甲往返的时间为18分钟，中间休息了2分钟， ∴一共骑行了16分钟， 又∵甲往返的速度一样， ∴甲去的时间为8分钟， ∴250×8=2000（米）， 故点D的坐标为（10，2000）， 故答案为250，（10，2000）； （2）设DE的解析式为：y=kx+b（k≠0）， ∵y=kx+b（k≠0）的图象过点D（10，2000）、E（18，0）， ∴， 解得， ∴直线DE的解析式为：y=﹣250x+4500，自变量x的取值范围为10≤x≤18； 即甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式：y=－250x+4500(10≤x≤18)； （3）由题意可知，P点坐标为（0，2000）， 设PQ的解析式为y=kx+b（k≠0）， 将P（0，2000）Q（25，0）代入解析式： ∴解得， ∴PQ的解析式为y=-80x+2000， 联立PQ和DE的解析式， 得：， 解得， ∴甲、乙同时出发分钟后，甲在返回过程中与乙距A地的路程相等． 题型四　一次函数与几何综合 1．C 【详解】如图，设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C， 把代入函数中，得， 解得，     ∴点B的坐标为， 把代入函数中，得，     ∴点C的坐标为， ∵点P是一次函数第一象限的图象上的一点， ∴设点P的坐标为（）， ∵轴于点A， ∴，， ∴ ∴当垂直一次函数的图象时，取得最小值，的周长为最小． ∵，， ∴，， ∴， ， ∵，即， ∴， 即的最小值为1，的最小值为． 故选：C． 2．(1) (2) (3) 【详解】（1）解：把代入，得； ∴， 把，代入，得，解得； 故答案为：3；；2． （2）解：∵直线和直线的交点坐标为， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为． （3）解：连接， ∵， ∴当时，， ∴， 由（1）知：， 当时，， ∴， ∵， ∴四边形的面积． 3．(1) (2) 【详解】（1）解：令，得， 解得， 点的坐标为． 设直线的函数解析式为， 将、代入得， 解得， 直线的函数解析式为． （2）解：设点的坐标为，则点的坐标为． 在中，当时，， 点的坐标为． ，，， ，，，则， ． ， ， ， 解得，则， 点的坐标为． 4．(1) (2)点的坐标为或 (3)存在，点的坐标为或或或 【详解】（1）解：把代入，得 ， 解得； 故答案为：； （2）如图， 把代入，得， ∵一次函数与轴分别交于点， ∴， ∴， ∵的面积为，， ∴， ∴， 当点在点右侧时，； 当点在点左侧时，； ∴点的坐标为或； （3）存在，若点使是等腰三角形，则有以下三种情况： ①当时， ∵，， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴或； ③当时，设，则，， ∴， 解得， ∴； 综上可得，点的坐标为或或或． 5．(1)，，直线的解析式为； (2) (3) 【详解】（1）解：由直线：得，当时，解得， ∴， 将点代入直线：中，得，即， ∴， 把代入直线，得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）直线与直线交于点， ∴方程组的解为； （3）解：如图，连接， ∵直线的解析式为， 将代入，得， ∴， 由（1）知， ∵， ∴， ∴． 6．（1）； （2）① 补全表格如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 1 3 5 3 1 … ②描点、连线，画出函数图象如图1所示．      （3）或 【详解】解：（1）∵一次函数和的图象交于点, ∴方程组的解为， 故答案为； （2）①当时，； 当时，； ②略 （3）由得， 画出函数的图象，与的图象交于点和， ∴方程组的解为或 故答案为或． ． 7．(1)，， (2) (3)秒或秒或秒 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，, ∴， 由，解得， ∴； （2）解：∵直线平分的面积， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为，将、代入得， ， 解得， ∴直线的函数关系式为； （3）解：∵直线交直线于点，点的坐标为， ∴，， ①当时，如图， 则， ∵点从点出发以每秒个单位长度的速度向点匀速运动， ∴点的运动时间为秒； ②当时，过点作轴于点，如图， 则，， ∴点的运动时间为秒； ③当时，如图， ∵， ∴， ∴， 即轴， ∴， ∴点的运动时间为秒； 综上，当为等腰三角形时，点的运动时间为秒或秒或秒． 8．(1) (2) 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将，代入得，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴E点坐标为； （2）解：当时，代入得， ∴B点坐标为， ∵点在线段上， ， ∵点在直线上， ∴， ∴ ， ∵， ∴的值随着m的增大而增大， ∵， ∴当时，取得最小值， 的最小值为． 9．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：把代入直线，得 ， 解得； （2）解：把、代入直线，得 ， 解得， ∴直线的表达式为； （3）解：由 (1) 知直线， 令，则， 解得， ∴， ∴， ∵直线过原点，且直线，直线的表达式为， ∴直线的表达式为， 联立与的方程，得 ， 解得， ∴， ∴； （4）解：直线交轴于点，令，得，故， 如图，作点关于轴的对称点，则， 根据对称性质，， ∴， ∴当、、三点共线时，最小，即最小， 设直线的表达式为，代入和，得 ， 解得， ∴直线的表达式为， 令，则， 解得， ∴当的值最小时，点的坐标为． 10．（1）1； （2）图象如图所示． （3）①-2；是，y轴；②； （4）图象如图所示， 【详解】解：（1）当x=3时，， ∴m=1， 故答案为：1； （2）略 （3）观察函数图象， ①该函数的最小值为-2； 该函数是轴对称图形，其对称轴是y轴； ②若y＝t与该函数有两个交点，则t的取值范围是； 故答案为：①-2；是，y轴；②； （4）作出函数的图象， 观察函数图象知，的图象与的图象的交点为(1，-1)， ∴方程组的解是． 11．(1)，， (2) (3)，，， 【详解】（1）解：∵直线分别交轴、轴于点， ∴当；当时，，解得， ∴，， ∵直线经过点 ∴将点代入，则， ∴， 当，则 解得， ∴ （2）解：∵，， ∴， ∴的面积为 （3）解：在坐标系中画出函数图象，以及正方形网格，如图： 由图象可得点，，符合题意， 把代入得， ∴点在直线上，故符合题意， ∴符合条件的点坐标有，，，． 12．(1) (2) (3)或 (4)或或或 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把点，点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：当时，， ∴点，即， ∴； （3）解：设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点M的横坐标为m， ∵的面积是面积的， ∴，解得：， 当点M在上时，， 此时点M的坐标为； 当点M在上时，， 此时点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． （4）解：设， ∵， ∴， 当时，则， ∴， 解得：， ∴； 当时， 则， ∴或； 当时，点与点关于过点且垂直轴的直线对称， 则， ∴； 综上，当P的坐标为或或或时，是等腰三角形． 13．(1)，， (2) (3) 或 【详解】（1）解： 直线 过点 ， ， 解得：， ， 令，得：， ， 令，得：， ． （2）解：，且点、关于点对称， 由图像可知 ，， 直线 过点 和 ， ， 解得：， ． （3） 解：，，， ， 直线将的面积分为两部分， 两部分面积分别为和， 在直线上， 直线过点，与的边交于点，或与的边交于点， 情况一：点在边上， 设， ， ， ， ， 设， 代入得：， 代入得：， ， 情况二：点在边上， 设， ， ， ， ， 设， 代入得：， 代入得：， 两式相减得：， ， 综上所述，或． 14．(1)； (2)； (3)M（4，2）或（4，8）或（－4，16） 【详解】（1）解：设直线AC解析式为y＝kx+b， 将C（0，12），A（8，4）代入得： ，解得， ∴直线AC解析式为y＝－x+12； （2）过A作AH⊥OC于H，如图： ∵A（8，4），AH⊥OC， ∴AH＝8， ∵C（0，12）， ∴OC＝12， ∴S△OAC＝OC•AH＝×12×8＝48； （3）解：存在， ①若M在线段OA上时，如图： ∵△OMC的面积是△OAC的面积的， ∴M为OA中点， 而A（8，4）， ∴M（4，2）， ②当M在射线AC上时，如图： ∵△OMC的面积是△OAC的面积的， ∴M为AC的中点， 而A（8，4），C（0，12）， ∴M（4，8）， 由等底同高的三角形面积相等可知，若M在C上方的射线AC上的处，C＝CM时，△OC的面积也等于△OAC的面积的， 此时C为线段M的中点， 而C（0，12），M（4，8）， ∴（－4，16）， 综上所述，M的坐标为：（4，2）或（4，8）或（－4，16）． 15．(1) (2)96 (3)平面内存在一点，使得与面积相等，的值为或4 【详解】（1）解：∵点的坐标为， 且点在直线上， ，即点． ∵点在直线上， ， 解得． （2）解：如图1，设直线交轴于点． ， ， ∴当时，；当时，， ∴点． 在直线中，当时，， ∴点， ， ； （3）解：如图2，设点为与轴的交点， 可求得点的坐标为， ， ∴在点左侧轴上取点， 使， ∴点． 过点分别作， ∴点到的距离与点到的距离相等， 与的面积相等． ，直线的函数表达式为， ∴设直线的函数表达式为． 把点代入，得， ． 把点代入，得， 解得． 同理，可得直线的函数解析式为． 把点代入，得， ． 把点代入，得， 解得． 综上所述，平面内存在一点，使得与面积相等，的值为或4． 题型五　一次函数的图象与性质、待定系数法 1．B 【详解】解A．∵一次函数，k=-2＜0，b=1＞0，函数图象经过第一、二、四象限，选项A正确，故不合题意； B. 当x=0时，y=1，图象与y轴的交点坐标为（0，1），而不是（1，0），选项B不正确，故符合题意； C. k=-2＜0，y随x的增大而减小，选项C正确，故不合题意； D. 函数交y轴于（0，1），交x轴于（，0），图象与坐标轴调成三角形的面积为． 故选B． 2． 【详解】解：根据互助一次函数的定义，可得， 整理方程组得， 解得， ∴两个函数解析式为，， 联立，得， 解得， 当时，与轴交点为，与轴交点为， ∴两个交点在轴上的距离为， ∵两函数交点的横坐标为，即三角形的高为， ∴三角形面积． 3．(1) (2) 解：点不在该函数的图象上，理由如下， 将代入，得． ∵， ∴点不在该函数的图象上． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， ∵函数的图象经过点和点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为． （2）略． 4．(1)，， (2)： 【详解】（1）解：令，则， 解得：， ， 将代入得，， 解得：， ， 画图略 （2）解：将向上平移个单位长度得到，的表达式为． 5．(1)的值为1，的值为2 (2)2 (3) 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过，两点， ∴， 解得， ∴的值为1，的值为2． （2）解：由（1）可知，直线的解析式为， 将代入函数得：，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵轴轴， ∴一次函数的图象与坐标轴围成的的面积为． （3）解：∵一次函数的解析式为， ∴当时，；当时，， 又∵在一次函数中，， ∴随的增大而增大， ∴当时，． 6． ，图像见解析 【详解】解：根据题意得：的坐标为， 设一次函数的解析式为，然后将点A和点的坐标代入可得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； 一次函数的图像如下： ． 7．(1) (2)一次函数与其“交换函数”的交点坐标为 (3) 【详解】（1）一次函数的“交换函数”是； （2）解：由题意得：一次函数的“交换函数”是，     令，解得， 将代入，得， 一次函数与其“交换函数”的交点坐标为． （3）解：直线先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到直线， 对应的函数解析式为，         与互为“交换函数”， ， 解得． 8．(1)， (2)解：函数图象如图所示： (3)； (4)或 (5) 【详解】（1）解：将代入直线中，则， ∴， 令中，解得， ∴； （2）略 （3）解：∵由（2）中图象知，当时，在中，随的增大而增大， 将代入直线中，则， 将代入直线中，则， ∴当时，的取值范围是； 令， 解得， 即当时，自变量的取值范围是； （4）解：设， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，则，即； 当时，则，即； 综上，点的坐标为或； （5）解：平移后解析式为， 将点代入得， 解得， 故平移后解析式为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $