5.4二元一次方程与一次函数（分层作业，4大题型）数学新教材北师大版八年级上册

分层作业 5.4 二元一次方程与一次函数 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶 目 录 A组 巩固过关 题型01 待定系数法求一次函数解析式 题型02 两直线交点与方程的解 题型03 图像法解二元一次方程组 B组 能力进阶 题型 求直线围成的图形面积 待定系数法求一次函数解析式题型01 1．已知y是x的一次函数，下表中列出了部分对应值，则m等于（    ） x －1 0 1 y 1 m －5 A．－1 B．0 C．－2 D． 2．已知一次函数，当时，对应的取值范围是，则的值是（    ） A．1 B．16 C．1或16 D．无法确定 3．（2025·广东广州·模拟）若一次函数的图象经过点，当x增加1个单位长度时，y减少3个单位长度，则此函数的图象所对应的函数表达式是________ ． 4．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）若一次函数的图象经过和两点，则关于的方程的解为______． 5．跨学科主题学习：“气温与海拔高度之间的关系”研究 某学校数学社团开展了“气温与海拔高度之间的关系”研究为主题的跨学科活动．该社团分组到附近山地进行实地测量，6个小组分别测量了当地同一时刻在不同海拔高度的气温，测量数据记录如下表： 海拔高度百米 ．．． 10 11 12 13 14 15 ．．． 气温 ．．． ．．． 根据表格中的测量数据，完成下面3个任务： 任务1：建立数学模型，在平面直角坐标系中，将表格中的数据描点、连线； 任务2：根据任务1中图象呈现的特征，求与的函数表达式； 任务3：由任务2的函数表达式，求当日同一时刻海拔高度为1500米的气温． 6．已知一次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点，与正比例函数的图象交于点C．    (1)求一次函数的表达式； (2)若点，请直接写出方程组的解． 7．已知与x成正比例，当时，． (1)求y与x的函数表达式； (2)当时，求y的值． 8．已知一次函数的图象经过，两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)求一次函数图象与轴的交点坐标． 两直线交点与方程的解题型02 1．小明用相同的积木玩一个拼图游戏，该积木每个角都是直角，长度如图1所示，小明用个这样的积木，按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙．则图形的总长度与图形个数之间的关系式为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，当直线与有交点时，b的取值范围是（    ）．    A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）若点，，在一次函数（k，b为常数）的图象上，且，则的值为___________． 4．已知点在一次函数的图象上， 则_____． 5．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线交于点P．点C为直线与x轴的交点． (1)求点P的坐标； (2)点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，设点的横坐标为： ①求线段的长（用含的代数式表示）； ②当点，，三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出的值； (3)过点作轴于点，点在射线上且不与点重合，点在射线上，，连结，，是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由． 6．已知一次函数（a为常数，）和． (1)当时，求两个函数图象的交点坐标； (2)不论a为何值，（a为常数，）的图像都经过一个定点，这个定点坐标是______； (3)若两个函数图象的交点在第三象限，结合图像，直接写出a的取值范围． 7．已知，是常数，是的正比例函数．当时，；当时，，求与的函数关系式． 8．（24-25九年级上·山东泰安·期中）已知函数和． (1)在同一坐标系内作出两个函数的图象； (2)求两个函数交点的坐标． 图像法解二元一次方程组题型03 1．（24-25八年级下·湖北荆州·月考）在同一平面直角坐标系中，直线与的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 3．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是__． 4．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是______． 5．在函数学习中，我们通过列表—描点—连线的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．根据学习函数的经验，探究函数的图象和性质，已知该函数图象经过点与点． (1)由题意可知， ______， ______； (2)请在给出的平面直角坐标系中（每个小正方形的边长为一个单位长度），用你喜欢的方法画出该函数的图象，并写出这个函数的一条性质； (3)直线与这个函数的图象有两个交点，请直接写出t的取值范围． 6．我们对平面直角坐标系中的三角形给出新的定义：三角形的“横长”和三角形的“纵长”． 我们假设点，是三角形边上的任意两点．如果的最大值为，那么三角形的“横长”；如果的最大值为，那么三角形的“纵长”．如右图，该三角形的“横长”；“纵长”． 当时，我们管这样的三角形叫做“方三角形”． (1)如图1所示，已知点，． ① 在点，，中，可以和点，点构成“方三角形”的点是 ； ②若点在函数上，且为“方三角形”，求点的坐标； (2)如图2所示，已知点，，点为平面直角坐标系中任意一点．若为“方三角形”，且，请直接写出点的坐标． 7．在平面直角坐标系中，直线的图象，如图所示． (1)在同一坐标系中，作出一次函数的图象； (2)用作图象的方法解方程组：． 8．（1）请在如图的直角坐标系中作出，的图象； （2）利用你所画的图象，直接写出方程组的解． 求直线围成的图形面积题型 1．已知一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形面积为（　　） A．6 B．3 C．9 D．4.5 3．如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，点在该函数的图象上，连接OC，则的面积为_______． 4．若一次函数与坐标轴围成的三角形面积为9，则这个一次函数的解析式为__________． 5．（24-25八年级上·四川 成都·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若． (1)求线段的长度与直线的解析式． (2)求的值． (3)直线上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标． 6．（25-26七年级·山东泰安·质检）如图，直线与直线相交于点，直线与与x轴分别交于A、B两点． (1)求b、m的值； (2)结合图像直接写出关于x、y的方程组的解； (3)求两函数图像与x轴所围成的的面积； (4)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C、D，若线段的长为4，求出a的值． 7．（25-26八年级下·广东深圳·期中）在学习了一元一次不等式与一次函数的内容后，某学习小组对不等式（组）展开进一步的探究． 【发现】在数轴上，表示一个点，则表示这个点及其右侧所有点的集合；在平面直角坐标系中，表示一条直线，则表示直线及其右侧所有点组成的平面区域． 【探究】 (1)直线 如图1所示，它表示为以方程的所有解为坐标的点组成的图形，例如，点在直线上，是方程的一个解；点在直线上方，是不等式的一个解，从而发现结论：不等式可以表示为直线及其______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的平面区域；不等式可以表示为直线及其______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的平面区域． 【应用】 (2)图2阴影部分（含边界）是______（填写不等式组）表示的平面区域； (3)已知不等式组， ①请在图3的平面直角坐标系中，用阴影部分表示出不等式组表示的平面区域G，并求出该阴影部分的面积． ②请直接写出与区域G有交点时b的取值范围． 8．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图1，直线分别交轴，轴于点，，点的坐标为，点的坐标为，点在直线上，且点的坐标为． (1)求直线的函数表达式和点C的坐标； (2)若点D是x轴上一动点，当的面积与的面积相等时，求点D的坐标； (3)如图2，点E的坐标为，连接，点P是直线上的一点，且，请直接写出点P的坐标． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.4 二元一次方程与一次函数 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶 目 录 A组 巩固过关 题型01 待定系数法求一次函数解析式 题型02 两直线交点与方程的解 题型03 图像法解二元一次方程组 B组 能力进阶 题型 求直线围成的图形面积 待定系数法求一次函数解析式题型01 1．已知y是x的一次函数，下表中列出了部分对应值，则m等于（    ） x －1 0 1 y 1 m －5 A．－1 B．0 C．－2 D． 【答案】C 【详解】设一次函数解析式为y＝kx+b， 将x＝﹣1，y＝1；x＝1，y＝﹣5代入得：， 解得：k＝﹣3，b＝﹣2， ∴一次函数解析式为y＝﹣3x﹣2， 令x＝0，得到y＝-2， 则m＝﹣2， 故选：C 2．已知一次函数，当时，对应的取值范围是，则的值是（    ） A．1 B．16 C．1或16 D．无法确定 【答案】C 【分析】一次函数可能是增函数也可能是减函数，应分两种情况进行讨论，根据待定系数法求出解析式即可． 【详解】解：由一次函数性质知，当时，y随x的增大而增大，所以得， 解得， 即； 当时，y随x的增大而减小，所以得， 解得， 即． ∴的值为或16． 故选C． 【点睛】此题考查一次函数的性质,要注意根据一次函数图象的性质解答． 3．（2025·广东广州·模拟）若一次函数的图象经过点，当x增加1个单位长度时，y减少3个单位长度，则此函数的图象所对应的函数表达式是________ ． 【答案】## 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 根据题意得出一次函数的图象也经过点，进而根据待定系数法即可求得． 【详解】解；由题意可知，一次函数的图象也经过点，即， ∴， 解得：， ∴此函数表达式是， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）若一次函数的图象经过和两点，则关于的方程的解为______． 【答案】1 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，先把和两点代入，求出，再令，则，解得，即可作答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过和两点， ∴把和两点代入， 得， 解得， ∴， 故， 解得， 故答案为：1． 5．跨学科主题学习：“气温与海拔高度之间的关系”研究 某学校数学社团开展了“气温与海拔高度之间的关系”研究为主题的跨学科活动．该社团分组到附近山地进行实地测量，6个小组分别测量了当地同一时刻在不同海拔高度的气温，测量数据记录如下表： 海拔高度百米 ．．． 10 11 12 13 14 15 ．．． 气温 ．．． ．．． 根据表格中的测量数据，完成下面3个任务： 任务1：建立数学模型，在平面直角坐标系中，将表格中的数据描点、连线； 任务2：根据任务1中图象呈现的特征，求与的函数表达式； 任务3：由任务2的函数表达式，求当日同一时刻海拔高度为1500米的气温． 【答案】任务1：如图所示： 任务2：；任务3： 【分析】本题考查了求一次函数解析式及实际应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键； 任务1：根据表格数据在平面直角坐标系中描点，连线即可； 任务2：设T与h之间的函数关系式为，运用待定系数法求一次函数解析式即可； 任务3：首先将1500米转化为15百米，然后代入函数解析式即可解答． 【详解】解：任务1： 略 任务2：设T与h之间的函数关系式为， 把，分别代入关系式，得： ， 解得， 所以，T与h之间的函数关系式为； 任务三： 1500米百米， 将代入得 ， 答：当日同一时刻海拔高度为1500米的气温为． 6．已知一次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点，与正比例函数的图象交于点C．    (1)求一次函数的表达式； (2)若点，请直接写出方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与二元一次方程的关系： （1）利用待定系数法求解即可； （2）求得C点的坐标，根据函数与方程组的关系即可求解． 熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：因为一次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点， 所以把，代入， 得 解得 故一次函数的表达式为 （2）解：由（1）知， 因为点在上， 所以 则， 方程组的解为． 7．已知与x成正比例，当时，． (1)求y与x的函数表达式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法，已知自变量的值求函数值． （1）利用成正比例的定义可设，将已知的一组值代入即可求得k的值，从而解答； （2）把代入函数，即可解答． 【详解】（1）∵与x成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴， ∴y与x的函数表达式为； （2）当时，． 8．已知一次函数的图象经过，两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)求一次函数图象与轴的交点坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数与x轴的交点坐标： （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过，两点， ∴ 解得 ∴一次函数的表达式为． （2）解：在中，当时，则， 解得， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为． 两直线交点与方程的解题型02 1．小明用相同的积木玩一个拼图游戏，该积木每个角都是直角，长度如图1所示，小明用个这样的积木，按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙．则图形的总长度与图形个数之间的关系式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形可得用x个这样的图形拼出来的图形总长度为：，根据规律即可求解． 【详解】解：观察图形可知： 当两个图拼接时，总长度为：； 当三个图拼接时，总长度为：； 以此类推，可知：用x个这样的图形拼出来的图形总长度为：， ∴y与x的关系式为． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据图形的拼接规律得出y与x的关系式是解题的关键． 2．如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，当直线与有交点时，b的取值范围是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将，，的坐标分别代入直线中求得b的值，即可得到b的取值范围． 【详解】解：直线经过点B时，将代入直线中，可得，解得； 直线经过点A时：将代入直线中，可得，解得； 直线经过点C时：将代入直线中，可得，解得． 故b的取值范围是． +   故选：B． 【点睛】考查了一次函数的综合应用．利用数形结合的思想，确定边界点的值，是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）若点，，在一次函数（k，b为常数）的图象上，且，则的值为___________． 【答案】10 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出k，b的值是解题的关键．点，在一次函数（k，b为常数）的图象上，求出，根据点在一次函数（k，b为常数）的图象上，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵点，在一次函数（k，b为常数）的图象上， ∴，， ∴， ∴， 又∵点在一次函数（k，b为常数）的图象上， ∴， ∴． 故答案为：10． 4．已知点在一次函数的图象上， 则_____． 【答案】-6 【详解】∵点P（a，-3）在一次函数y=2x+9的图象上， ∴， 解得：a=-6， 故答案为：-6. 5．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线交于点P．点C为直线与x轴的交点． (1)求点P的坐标； (2)点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，设点的横坐标为： ①求线段的长（用含的代数式表示）； ②当点，，三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出的值； (3)过点作轴于点，点在射线上且不与点重合，点在射线上，，连结，，是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为 (2)①；②或 (3)存在最小值，最小值为 【分析】（1）联立，即可得到点的坐标； （2）①由点的坐标为，得点的坐标为，点的坐标为，即可求出的长度； ②分点是线段的中点或点时线段的中点两种情况讨论，根据中点的性质列出方程即可求出的值； （3）存在最小值．在上取点，使得，连接，证明是线段的垂直平分线，进而证明，得到，得当最小，即点、、三点共线时，取最小值，通过求出的长度从而得到最小值． 【详解】（1）解：由直线与直线交于点， 联立， 解得， 点的坐标为； （2）①轴， 点、、的横坐标相等， 点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， ； ②若点是线段的中点， ，，， ，， 点是的中点， ， 即， 解得，； 若点时线段的中点， ，，， ，， 点时线段的中点， ， 即， 解得； 综上所述，或； （3）存在最小值， 在上取点，使得，连接， 由直线与直线， 得，，， ，， ， ， ， 点的坐标为， ， 轴， 是线段的垂直平分线， ，轴， ，轴， ， 轴， ， ， ，， ， ， ， 得当最小，即点、、三点共线时，取最小值， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的性质与判定，勾股定理，最值问题等，本题的关键是构造全等三角形，把的最小值问题转化为的最小值问题． 6．已知一次函数（a为常数，）和． (1)当时，求两个函数图象的交点坐标； (2)不论a为何值，（a为常数，）的图像都经过一个定点，这个定点坐标是______； (3)若两个函数图象的交点在第三象限，结合图像，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)两个函数图象的交点坐标为(-1，0) (2)(-3，2) (3)a的取值范围是a>1或a<-1 【详解】（1）把a=-1代入求得y1=-x-1，再联立解方程组即可求解； （2）把y1=ax+3a+2变形为y1-2=a(x+3)，据此即可求解； （3）画出函数图象，当直线y1=ax+3a+2经过y2=x+1与x轴的交点B(-1，0)时，求得此时a的值；当直线y1=ax+3a+2与直线y2=x+1平行时，求得此时a的值，结合图象即可求解． （1）解：∵y1=ax+3a+2， ∴当a=-1时，y1=-x-1， 联立， 解得， 故两个函数图象的交点坐标为(-1，0)； （2）解：因为y1=ax+3a+2 (a为常数，a≠0), 所有y1-2=a(x+3)，所以当x=-3时，y1恒等于2， 所以y1=ax+3a+2的图象过定点A，其坐标为(-3，2)； 故答案为：(-3，2)； （3）解：画出函数图象如图： 当直线y1=ax+3a+2绕着点A旋转，点B为y2=x+1与x轴的交点，坐标为B(-1，0)， 此时0=-a+3a+2， 解得a=-1， 当直线y1=ax+3a+2与直线y2=x+1平行时， 此时a=1， ∴当a>1或a<-1时，两个函数图象的交点在第三象限， 故a的取值范围是a>1或a<-1． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是结合一次函数的图象探究函数图象经过的定点以及定点对函数自变量取值范围的影响． 7．已知，是常数，是的正比例函数．当时，；当时，，求与的函数关系式． 【答案】 【分析】根据正比例函数定义设，则，然后把两组对应值代入得到关于、的方程组，再解方程组求出、即可． 【详解】解：设，则， 根据题意得， 解得． 所以与的函数关系式为． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数． 8．（24-25九年级上·山东泰安·期中）已知函数和． (1)在同一坐标系内作出两个函数的图象； (2)求两个函数交点的坐标． 【答案】(1) 画出图形如下： (2)和 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，分段函数，函数的交点与方程组的关系等知识，运用数形结合思想解题是解题的关键． （1）利用描点画图即可； （2）根据图象，分当时，当时两种情况讨论，建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：画函数的图象，列表如下： 0 2 1 0 画函数的图象，列表如下： 0 1 2 2 1 0 1 2 （2）依题意：当时，联立得：， 解得：， 当时，联立得：， 解得：， 两个函数交点的坐标为和 图像法解二元一次方程组题型03 1．（24-25八年级下·湖北荆州·月考）在同一平面直角坐标系中，直线与的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，注意计算的准确性即可．由题意可得，再解方程组即可． 【详解】解：联立， 解得： ∴交点坐标为， 故选：B 2．在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数，，其图象的交点坐标中x，y的值是方程组的解． 两条直线的交点坐标即为对应方程组的解，先求出交点坐标即可 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴方程组的解为． 故选A． 3．如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是__． 【答案】 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，即可进行解答． 【详解】解：把代入得：， ∴， ∵点P为一次函数与的图象交点， ∴方程组的解是； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两个一次函数的交点的横坐标和纵坐标的值等于对应二元一次方程组的解． 4．如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 5．在函数学习中，我们通过列表—描点—连线的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．根据学习函数的经验，探究函数的图象和性质，已知该函数图象经过点与点． (1)由题意可知， ______， ______； (2)请在给出的平面直角坐标系中（每个小正方形的边长为一个单位长度），用你喜欢的方法画出该函数的图象，并写出这个函数的一条性质； (3)直线与这个函数的图象有两个交点，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)2，2 (2) y随x的增大而增大(不唯一) (3) 【分析】(1)把点与点分别代入解析式，即可求得； (2)通过列表—描点—连线的方法即可画出函数图象，再根据函数图象写出一条性质即可； (3)当直线经过点时，可求得t的值，再结合图象即可解答． 【详解】（1）解：把点代入，得，解得， 把点代入，得，解得， 故答案为：2，2； （2）解：函数解析为， 由图象可知：y随x的增大而增大(不唯一)； （3）解：当直线经过点时， 得，解得， 即此时该函数与y轴的交点坐标为， 画图如下： 由图象可知：当时，直线与这个函数的图象有两个交点． 【点睛】本题考查了坐标与图形，画函数图象及函数的性质，一次函数图象交点问题，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答． 6．我们对平面直角坐标系中的三角形给出新的定义：三角形的“横长”和三角形的“纵长”． 我们假设点，是三角形边上的任意两点．如果的最大值为，那么三角形的“横长”；如果的最大值为，那么三角形的“纵长”．如右图，该三角形的“横长”；“纵长”． 当时，我们管这样的三角形叫做“方三角形”． (1)如图1所示，已知点，． ① 在点，，中，可以和点，点构成“方三角形”的点是 ； ②若点在函数上，且为“方三角形”，求点的坐标； (2)如图2所示，已知点，，点为平面直角坐标系中任意一点．若为“方三角形”，且，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)① C，E； ②，； (2)，，， ． 【分析】（1）①根据“横长”、“纵长、“方三角形”的定义即可求解；②根据“方三角形”的定义列方程，解方程即可求解； （2）根据“方三角形”的定义画出点F所有可能存在的位置求解即可． 【详解】（1）解：①，点C可以和点，点构成“方三角形”； ，点D不可以和点，点构成“方三角形”；，点E可以和点，点构成“方三角形”； 故答案为：，； ②据题意，当，时， ∵为“方三角形”， ∴当时，点位于直线与直线上， 当时，点位于直线与直线上， 当时，点位于直线与直线上， 又∵点在函数上， ∴当，， ∴； ∴当，， ∴； 综上所述，点在函数上，且为“方三角形”时，，； （2）解：，，，． 理由： 据题意，当，时， ∵为“方三角形”， ∴当时，点位于直线与直线上， 当时，点位于直线与直线上， 以及端点为，的线段与端点为，的线段， 又∵， ∴点位于直线与直线上， ∴当，， ∴； ∴当，， ∴； ∴当，， ∴； ∴当，， ∴； 综上所述，，，，． 【点睛】本题考查“方三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题． 7．在平面直角坐标系中，直线的图象，如图所示． (1)在同一坐标系中，作出一次函数的图象； (2)用作图象的方法解方程组：． 【答案】(1)画出函数图形如下： (2) 【分析】本题考查了画一次函数图象，用图像法求解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握画一次函数的图象的方法，以及用图象法求解二元一次方程组的方法和步骤． （1）按照列表、描点、连点的步骤即可画出该一次函数图象； （2）根据图象，找出两个一次函数图象的交点坐标，即可解答． 【详解】（1）解：列出表格如下： x …… 0 1 2 3 …… y …… 1 …… （2）解：∵可整理为，可整理为， ∴由图可知，的解为． 8．（1）请在如图的直角坐标系中作出，的图象； （2）利用你所画的图象，直接写出方程组的解． 【答案】（1）作图如下： （2） 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，考查了函数图象的画法：列表、描点、连线． （1）根据函数图象的画法：描点、连线分别画出两个一次函数的图象． （2）观察图象，两直线的交点坐标即为对应方程组的解． 【详解】解：（1）函数，当时，；当时，； 则函数图象经过点，； 函数，当时，； 则图象经过点，． （2）根据图象可得：两直线交点为， 则方程组的解为． 求直线围成的图形面积题型 1．已知一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】先求一次函数与坐标轴的交点，分别令和得到y轴和x轴的交点坐标，再利用三角形面积得到方程，解方程即可． 【详解】解：当时，， 函数与y轴的交点为， 当时，， 解得， 函数与x轴的交点为， 函数图像与坐标轴围成的三角形面积为6，三角形的两条直角边长分别为和， ， 整理得， 或， 解得或，均满足，即函数图象与坐标轴围成三角形的条件， 的值为或． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形面积为（　　） A．6 B．3 C．9 D．4.5 【答案】D 【分析】本题考查求一次函数图像与坐标轴的交点，三角形的面积．先求一次函数图像与坐标轴的交点坐标，利用三角形面积公式计算． 【详解】解：根据函数作出图像为： 对于一次函数， ∵当时，， ∴一次函数图像与y轴交点B为； ∵当时，，解得， ∴一次函数图像与x轴交点A为， ∴，， ∴． 故选：D． 3．如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，点在该函数的图象上，连接OC，则的面积为_______． 【答案】15 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积的计算． 将点代入一次函数解析式中，求出；对于一次函数解析式，令，求出的值，得到的长度；根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：将点代入，得到：， 令，则，解得：， ∴， 则的面积为：. 故答案为：. 4．若一次函数与坐标轴围成的三角形面积为9，则这个一次函数的解析式为__________． 【答案】或 【分析】先求出函数图象与两坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求解即可得出答案． 【详解】一次函数中 令，则 令，则 这个一次函数的解析式为或． 【点睛】本题考查了求直线围成的图形面积，解题的关键是求出交点坐标． 5．（24-25八年级上·四川 成都·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在线段上，将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上点D处，若． (1)求线段的长度与直线的解析式． (2)求的值． (3)直线上是否存在点P使得，若存在，请直接写出P的坐标． 【答案】(1)3； (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是分清点所在象限，正确写出点的坐标． （1）根据勾股定理可得，设，解方程求出点B的坐标，进而求出直线的解析式； （2）设，根据勾股定理可以求出长，进而求出三角形的面积比； （3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可． 【详解】（1）解：由题知，设，则． 在中，， 即：， 解得， ∴，， 又，代入中， ∴，     解得， ∴． （2）设，则， 由折叠性质知：． 在中：， ∴， ∴． ∴， ∴，， ∴． （3）或，理由如下： 如图，当点P在第三象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F， 则,， 又∵ ∴ ∴， ∴，， ∵轴，轴 ∴为正方形 ∴， ∴) 设直线解析式为：， 则， 解得， ∴直线解析式为：， ∵两点坐标为： 设直线解析式为：， 则， 解得， ∴直线解析式为：， 联立得： 解得， ∴ 如图，当点P在第一象限内时，同理可得 综上所述，或 6．（25-26七年级·山东泰安·质检）如图，直线与直线相交于点，直线与与x轴分别交于A、B两点． (1)求b、m的值； (2)结合图像直接写出关于x、y的方程组的解； (3)求两函数图像与x轴所围成的的面积； (4)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C、D，若线段的长为4，求出a的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】（1）由点在直线上， 利用一次函数图像上点的坐标特征，即可求出b值，再将点P的坐标代入直线中，即可求出m值； （2）根据（1）可得P点的坐标，再根据二元一次方程组的解是对应一次函数图像交点的坐标； （3）先求出点A、B的坐标，然后根据求解即可； （4）先用a表示出点C、D的纵坐标，结合即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，然后求解即可解答． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ，即， ∵点在直线上， ，解得：． （2）解：由（1）可知：直线与直线相交于点， ∴关于x，y的方程组的解为． （3）解：令时，，解得， ∴点A的坐标为， 令时，，解得， ∴点B的坐标为， ∴， ∴． （4）解：当时，， ∵， ∴，即，解得：或（不合题意，舍去） ∴． 7．（25-26八年级下·广东深圳·期中）在学习了一元一次不等式与一次函数的内容后，某学习小组对不等式（组）展开进一步的探究． 【发现】在数轴上，表示一个点，则表示这个点及其右侧所有点的集合；在平面直角坐标系中，表示一条直线，则表示直线及其右侧所有点组成的平面区域． 【探究】 (1)直线 如图1所示，它表示为以方程的所有解为坐标的点组成的图形，例如，点在直线上，是方程的一个解；点在直线上方，是不等式的一个解，从而发现结论：不等式可以表示为直线及其______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的平面区域；不等式可以表示为直线及其______（填“上方”或“下方”）的所有点组成的平面区域． 【应用】 (2)图2阴影部分（含边界）是______（填写不等式组）表示的平面区域； (3)已知不等式组， ①请在图3的平面直角坐标系中，用阴影部分表示出不等式组表示的平面区域G，并求出该阴影部分的面积． ②请直接写出与区域G有交点时b的取值范围． 【答案】(1)上方，下方 (2) (3)①；② 【分析】（1）理解题意并结合图象即可解答； （2）根据图象即可得阴影部分在直线的上方，直线的下方，即可得对应的不等式组； （3）①在平面直角坐标系中，画出和的图象，再求出两直线的交点，结合图象，根据三角形的面积公式即可求解； ②由图可知，当过点时，b取最小值；当过点时，b取最大值；分别求出对应的b值，即可得b的取值范围． 【详解】（1）解：不等式可以表示为直线及其上方的所有点组成的平面区域；不等式可以表示为直线及其下方的所有点组成的平面区域； 故答案为：上方，下方； （2）解：由图象可知，阴影部分在直线的上方，直线的下方， ∴图2阴影部分（含边界）是（填写不等式组）表示的平面区域； （3）解：①不等式组， 在平面直角坐标系中，画出和的图象，如图， 由图得，即为不等式组的解集所在的区域G， 区域G的面积， 解，得， ∴， ∴区域G的面积； ②由图可知，当过点时，b取最小值，； 当过点时，b取最大值， 将代入得，， 解得． ∴与区域G有交点时b的取值范围为． 8．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图1，直线分别交轴，轴于点，，点的坐标为，点的坐标为，点在直线上，且点的坐标为． (1)求直线的函数表达式和点C的坐标； (2)若点D是x轴上一动点，当的面积与的面积相等时，求点D的坐标； (3)如图2，点E的坐标为，连接，点P是直线上的一点，且，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求直线的解析式即可； （2）由题意可得，根据即可求的坐标； （3）分两种情况讨论：①当点在射线上时，过点作交直线于点，过作轴垂线，分别过，作，，证明，即可得点坐标，用待定系数法求出直线的解析式，再求出点P的坐标即可；②当点在射线上时，过点作交直线于点，过点作轴交于，过点作轴，过点作交于，证明，可求得H的坐标，用待定系数法即可求出直线的解析式，再求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的函数解析式为； 将代入得： ， 解得：， ∴点的坐标为； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ， 解得：， ∵， ∴点的坐标为或； （3）解：①如图，当点在射线上时，过点作交直线于点，   ， ∴为等腰直角三角形， ， 过作轴垂线，分别过，作，， ，， ， ， ， ， ∵，， ，， 即点坐标为， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴点P的坐标为； ②当点在射线上时，过点作交直线于点，过点作轴交于，过点作轴，过点作交于，   ， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ，， ∵，， ，， ∴ ， ∴， 设直线的解析式为， ， ， ， 联立， 解得：， ∴点P的坐标为； 综上：点P的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数的综合题，三角形全等的判定和性质，求一次函数解析，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $