5.4 二元一次方程与一次函数 同步练习 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

北师大版（2024）八年级上册 5.4 二元一次方程与一次函数 同步练习 一、选择题 1．某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x(单位：kg)与其托运费用y（单位：元）的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可免费携带行李的最大质量为 A．20 kg B．22 kg C．25 kg D．28 kg 2．图中两直线l1，l2的交点坐标可以看作下列哪个方程组的解(　　) A． B． C． D． 3．定义：我们把一次函数y=kx+b(k≠0)与正比例函数y=-x的交点称为一次函数y=kx+b(k≠0)的“关联点”.例如求y=2x+3的“关联点”：联立方程解得则y=2x+3的“关联点”为(-1，1). ①一次函数y=3x+4的“关联点”为(-1，1)； ②若一次函数y=mx+n的“关联点”为(2，n-1)，则m=，n=-1； ③若一次函数y=3x+4和一次函数y=kx+3的“关联点”相同，则k=2； ④若一次函数y=kx-3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且一次函数y=kx-3上没有“关联点”，若P点为x轴上一个动点，使得S△ABP=S△ABO，则点P的坐标为(-1.5，0). 以上说法正确的是(　　) A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 4．温度是影响声音传播速度的一个关键因素，在大多数情况下，随着温度的升高，声速会增大.根据实验测量和理论计算可知，声音在淡水中的传播速度v(m/s)与温度t(℃)之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，则v与t之间的函数关系式为(　　) A．v=20t+1 480 B．v=5t-1 380 C．v=-5t+1 380 D．v=5t+1 380 5．在平面直角坐标系中，已知点，，P为x轴上一点，当最小时，点P的坐标是（ ） A． B． C． D． 6．已知关于x，y的二元一次方程组无解，则一次函数y=kx-的图象不经过的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．为鼓励青少年参与科技创新，某市举办了“科创”比赛.活动小组统计了宣传天数x（天）和报名参赛的人数y（人），得到如表几组对应数据， x/天 1 3 5 7 9 y/人 12 20 28 36 44 由表中数据可知，y与x的函数关系式为 A．y=8x+4 B．y=4x+8 C．y=3x+9 D．y=2x+10 8．方程组无解，因此直线y=2-x与y=-x必定 A．重合 B．平行 C．相交 D．无法判断 9．如图，直线l1与l2的交点坐标为A.根据图象，小敏认为点A坐标可以看作是两个二元一次方程的公共解，其中一个方程是3x-y=0，则另一个方程是 A．x+y=-4 B．x+y=4 C．x-y=-4 D．x-y=4 10．已知关于x，y的方程组的解是，则直线y＝﹣x+b与直线y＝﹣2x+3的交点坐标是（　　） A．（﹣1，﹣5） B．（﹣1，5） C．（0，3） D．（5，﹣1） 11．已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形的面积等于4，则直线的表达式为 A．y=-2x-4 B．y=-x-4 C．y=-3x-4 D．y=-4x-4 12．如图，点C是直线y=3x+6在第二象限上的一个点，点C关于x轴对称的点为D，关于y轴对称的点为E，连结DE，则线段DE的最小值为 A． B． C． D． 二、填空题 13．二元一次方程2x-y+2=0表示的直线向下平移4个单位长度后与y轴的交点坐标是__________ . 14．风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系.当气温为5 ℃时.如表列出了风寒温度和风速的几组对应值，那么T与v的函数表达式可能是__________ . 风速v(km/h) 0 10 20 30 40 风寒温度T(℃) 5 3 1 -1 -3 15．(2025・长沙检测)已知在平面直角坐标系中，一次函数与为常数，且的图象交点的横坐标为3，则关于的二元一次方程组的解为__________ . 16．定义：我们把直线y＝kx+b（k≠0）与直线y＝﹣x的交点称为直线y＝kx+b（k≠0）的“不动点”．例如求直线y＝3x﹣2的“不动点”：联立方程，解得，则y＝3x﹣2的“不动点”为．若直线y＝mx+n的“不动点”为（n﹣1，3），则m、n的值分别为 __________． 17．已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0），当1≤x≤4时，3≤y≤6，则的值为__________． 三、解答题 18．已知y是x的一次函数，当时，；当时，. (1)求y关于x的函数表达式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值. 19．已知y是关于x的一次函数，且当x=4时，y=6；x=2时，y=2. (1)求y关于x的函数表达式； (2)请在平面直角坐标系上，画出满足条件为y≤6的一次函数图象. 20．(课本练习3.5 P111 4T)在平面直角坐标系中，二元一次方程表示的直线与经过，1)，两点的直线重合，求的值. 21．平面直角坐标系中有两条直线y=x+，y=-x+6交点为P，第一条直线交x轴于点A，第二条直线交x轴于点B. (1)求A，B两点的坐标； (2)求△PAB的面积. 22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l过P（0，9）和B（4，1）两点． （1）求直线l所对应的函数表达式． （2）已知A是直线l上的一点，且A的横坐标为2，若C是x轴上一点，连接AC，BC，满足S△ABC＝11，求点C的坐标． 北师大版（2024）八年级上册 5.4 二元一次方程与一次函数 同步练习（参考答案） 一、选择题 1．某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x(单位：kg)与其托运费用y（单位：元）的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可免费携带行李的最大质量为 A．20 kg B．22 kg C．25 kg D．28 kg 【答案】A 【解析】设y与x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，把点(30，600)，(50，1 800)分别代入，得 解得 所以y与x的函数关系式为y＝60x－1 200， 当y＝0时，60x－1 200＝0， 解得x＝20. 即旅客可免费携带行李的最大质量为20 kg. 2．图中两直线l1，l2的交点坐标可以看作下列哪个方程组的解(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题图可知，交点坐标为(2，3). A中方程组的解为不符合题意； B中方程组的解为符合题意； C中方程组的解为不符合题意； D中方程组的解为不符合题意. 3．定义：我们把一次函数y=kx+b(k≠0)与正比例函数y=-x的交点称为一次函数y=kx+b(k≠0)的“关联点”.例如求y=2x+3的“关联点”：联立方程解得则y=2x+3的“关联点”为(-1，1). ①一次函数y=3x+4的“关联点”为(-1，1)； ②若一次函数y=mx+n的“关联点”为(2，n-1)，则m=，n=-1； ③若一次函数y=3x+4和一次函数y=kx+3的“关联点”相同，则k=2； ④若一次函数y=kx-3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且一次函数y=kx-3上没有“关联点”，若P点为x轴上一个动点，使得S△ABP=S△ABO，则点P的坐标为(-1.5，0). 以上说法正确的是(　　) A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【解析】①联立 解得 所以一次函数y=3x+4的“关联点”为(-1，1)，故①正确； ②因为一次函数y=mx+n的“关联点”为(2，n-1)， 所以-2=n-1， 所以n=-1， 所以一次函数y=mx+n的“关联点”为(2，-2)， 即2m-1=-2， 解得m=-，故②错误； ③一次函数y=3x+4和一次函数y=kx+3的“关联点”相同， 所以一次函数y=kx+3的“关联点”为(-1，1)， 即1=-k+3， 解得k=2，故③正确； ④因为一次函数y=kx-3上没有“关联点”， 所以直线y=kx-3与直线y=-x平行， 所以k=-1， 所以y=-x-3， 当x=0时，y=-3， 当y=0时，-x-3=0， 解得x=-3， 所以A(-3，0)，B(0，-3)， 所以OA=3，OB=3， 设P(t，0)， 则AP=|-3-t|， 所以S△ABP=|-3-t|×3=，S△ABO=OA·OB=×3×3=， 因为S△ABP=S△ABO， 所以=×， 即|-3-t|=， 解得t=-或t=-， 所以P或，故④错误. 4．温度是影响声音传播速度的一个关键因素，在大多数情况下，随着温度的升高，声速会增大.根据实验测量和理论计算可知，声音在淡水中的传播速度v(m/s)与温度t(℃)之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，则v与t之间的函数关系式为(　　) A．v=20t+1 480 B．v=5t-1 380 C．v=-5t+1 380 D．v=5t+1 380 【答案】D 【解析】设v与t之间的函数关系式为 v=kt+b(k≠0)， 将点(20，1 480)和(30，1 530)代入 v=kt+b(k≠0)得 解得 则v=5t+1 380. 5．在平面直角坐标系中，已知点，，P为x轴上一点，当最小时，点P的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得， 点关于x轴的对称点为：， 连接交x轴于一点即为最小距离点， 设的解析式为：， 将点，代入得， ，解得：， ∴， 当时， ， ， ∴点P的坐标是， 故选：B． 6．已知关于x，y的二元一次方程组无解，则一次函数y=kx-的图象不经过的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】因为关于x，y的二元一次方程组无解， 所以7-k=3k-1，解得k=2， 所以一次函数y=2x-的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限. 7．为鼓励青少年参与科技创新，某市举办了“科创”比赛.活动小组统计了宣传天数x（天）和报名参赛的人数y（人），得到如表几组对应数据， x/天 1 3 5 7 9 y/人 12 20 28 36 44 由表中数据可知，y与x的函数关系式为 A．y=8x+4 B．y=4x+8 C．y=3x+9 D．y=2x+10 【答案】B 8．方程组无解，因此直线y=2-x与y=-x必定 A．重合 B．平行 C．相交 D．无法判断 【答案】B 9．如图，直线l1与l2的交点坐标为A.根据图象，小敏认为点A坐标可以看作是两个二元一次方程的公共解，其中一个方程是3x-y=0，则另一个方程是 A．x+y=-4 B．x+y=4 C．x-y=-4 D．x-y=4 【答案】B 【解析】把代入方程x+y=-4，左边=4，右边=-4，左边≠右边，故A不符合题意；把代入方程x+y=4，左边=4，右边=4，左边=右边，故B符合题意；把代入方程x-y=-4，左边=-2，右边=-4，左边≠右边，故C不符合题意；把代入方程x-y=4，左边=-2，右边=4，左边≠右边，故D不符合题意. 10．已知关于x，y的方程组的解是，则直线y＝﹣x+b与直线y＝﹣2x+3的交点坐标是（　　） A．（﹣1，﹣5） B．（﹣1，5） C．（0，3） D．（5，﹣1） 【答案】B 【解析】∵关于x，y的方程组的解是， ∴2×（﹣1）+m﹣3＝0， ∴m＝5， ∵方程组是由y＝﹣x+b与y＝﹣2x+3组成的， ∴直线y＝﹣x+b与直线y＝﹣2x+3的交点坐标是（﹣1，5）． 11．已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形的面积等于4，则直线的表达式为 A．y=-2x-4 B．y=-x-4 C．y=-3x-4 D．y=-4x-4 【答案】A 【解析】直线y=kx-4与两坐标轴的交点坐标分别为，， ∵直线y=kx-4(k<0)与两坐标轴所围成的三角形面积等于4， ∴4××=4，解得k=-2， 则直线的表达式为y=-2x-4. 12．如图，点C是直线y=3x+6在第二象限上的一个点，点C关于x轴对称的点为D，关于y轴对称的点为E，连结DE，则线段DE的最小值为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线y=3x+6分别与x轴，y轴交于点G，H，连结OC，如图， 在y=3x+6中，当y=3x+6=0时，x=-2，当x=0时，y=6， ∴G，H， ∴OG=2，OH=6， ∴GH==2. 设C， ∵点C关于x轴对称的点为D，关于y轴对称的点为E， ∴OC=OD，OC=OE，D(m，-3m-6)，E(-m，3m+6)， ∴点D和点E关于原点对称， ∴D，O，E三点共线， ∴DE=OD+OE=2OC， ∴当OC⊥GH时，OC有最小值，即此时DE有最小值， ∵此时S△GOH=OG·OH=GH·OC， ∴OC===， ∴DE的最小值为. 二、填空题 13．二元一次方程2x-y+2=0表示的直线向下平移4个单位长度后与y轴的交点坐标是__________ . 【答案】 14．风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系.当气温为5 ℃时.如表列出了风寒温度和风速的几组对应值，那么T与v的函数表达式可能是__________ . 风速v(km/h) 0 10 20 30 40 风寒温度T(℃) 5 3 1 -1 -3 【答案】 【解析】由表格中数据可知，当气温一定时，风寒温度T和风速v成一次函数关系， 设风寒温度T和风速v的表达式为T=kv+b(k≠0)， 将(0，5)，(10，3)代入，得 解得 所以T与v的函数表达式可能是T=-0.2v+5. 15．(2025・长沙检测)已知在平面直角坐标系中，一次函数与为常数，且的图象交点的横坐标为3，则关于的二元一次方程组的解为__________ . 【答案】 【解析】在函数中，当时，，所以函数与图象的交点坐标为，所以关于的二元一次方程组的解为 16．定义：我们把直线y＝kx+b（k≠0）与直线y＝﹣x的交点称为直线y＝kx+b（k≠0）的“不动点”．例如求直线y＝3x﹣2的“不动点”：联立方程，解得，则y＝3x﹣2的“不动点”为．若直线y＝mx+n的“不动点”为（n﹣1，3），则m、n的值分别为 __________． 【答案】﹣，﹣2 【解析】∵一次函数y＝mx+n的“不动点”为（n﹣1，3）， ∴n﹣1＝﹣3， ∴n＝﹣2， ∴“不动点”为（﹣3，3）， ∴3＝﹣3m﹣2， 解得m＝﹣． 17．已知一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0），当1≤x≤4时，3≤y≤6，则的值为__________． 【答案】2或﹣7 【解析】当k＞0时，y随x的增大而增大， ∴一次函数图象上的点坐标为（1，3）和（4，6）， 代入得：， ②﹣①得：3k＝3， 解得：k＝1， 把k＝1代入①得：b＝2， 此时＝2； 当k＜0时，y随x的增大而减小， ∴一次函数图象上的点坐标为（1，6）和（4，3）， 代入得：， 解得：， 此时＝﹣7． 三、解答题 18．已知y是x的一次函数，当时，；当时，. (1)求y关于x的函数表达式； (2)若点在这个函数的图象上，求a的值. 【答案】(1)由题意可设，把，和，代入得： ，解得：， ∴y关于x的函数表达式为； (2)把点代入得：，∴. 19．已知y是关于x的一次函数，且当x=4时，y=6；x=2时，y=2. (1)求y关于x的函数表达式； (2)请在平面直角坐标系上，画出满足条件为y≤6的一次函数图象. 【答案】解　(1)由题知，设一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0)， 则 解得 所以一次函数的表达式为y=2x-2. (2)当y=2x-2=6， 解得x=4， 因为2>0，y随x的增大而增大， 所以当x≤4时，y≤6， 函数图象如图所示. 20．(课本练习3.5 P111 4T)在平面直角坐标系中，二元一次方程表示的直线与经过，1)，两点的直线重合，求的值. 【答案】解：由题意可知，点都在直线 上，所以解得 即的值为的值为-2. 21．平面直角坐标系中有两条直线y=x+，y=-x+6交点为P，第一条直线交x轴于点A，第二条直线交x轴于点B. (1)求A，B两点的坐标； (2)求△PAB的面积. 【答案】解　(1)令x+=0，解得x=-3， 所以点A的坐标为(-3，0)， 令-x+6=0，解得x=4， 所以点B的坐标为(4，0). (2)因为两直线的交点为P， 所以联立可得解得 因为S△PAB=AB·yp， 所以S△PAB=×[4-(-3)]×3=. 22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l过P（0，9）和B（4，1）两点． （1）求直线l所对应的函数表达式． （2）已知A是直线l上的一点，且A的横坐标为2，若C是x轴上一点，连接AC，BC，满足S△ABC＝11，求点C的坐标． 【答案】解：（1）设直线l的解析式为y＝kx+b， 把P（0，9）、B（4，1）分别代入得， 解得， ∴直线l的解析式为y＝﹣2x+9； （2）当x＝2时，y＝﹣2x+9＝5， ∴点A的坐标为（2，5）， 当y＝0时，﹣2x+9＝0， 解得x＝， ∴点D的坐标为（，0）， 设C（t，0）， ∵S△ACD﹣S△BCD＝S△ABC， ∴×|t﹣|×5﹣×|t﹣|×1＝11， 解得t＝﹣1或t＝10， ∴C点坐标为（﹣1，0）或（10，0）． 学科网（北京）股份有限公司 $