综合培优 期中压轴题汇总（九上全册：138题29个常考题+17大压轴题型）数学新教材沪教版五四制九年级上册

专题 期中压轴题汇总 高频常考题 题型24 特殊三角形的三角函数 题型1 二次函数的识别 题型25 根据特殊角三角函数值求角度 题型2 根据二次函数的定义求参数 题型26 解直角三角形 题型3 二次函数的图象及性质 题型27 投影 题型4 二次函数图象的平移 题型28 由三视图还原几何体 题型5 二次函数图象与各项系数符号 题型29三视图求最多或最少的小立方体个数 题型6 一次函数与二次函数图象综合判断 解答压轴题 题型7 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型30 实际问题与二次函数图形问题 题型8 待定系数法求二次函数解析式 题型31实际问题与二次函数销售问题 题型9 求抛物线与X轴的交点坐标 题型32实际问题与二次函数图形运动问题 题型10 图象法解一元二次不等式 题型33实际问题与二次函数抛物线图形问题 题型11 二次函数的简单应用 题型34 二次函数综合线段周长问题 题型12 成比例的线段 题型35二次函数综合面积问题 题型13 利用平行线判定相似 题型36二次函数综合角度问题 题型14 利用两角对应相等判定相似 题型37二次函数综合特殊三角形问题 题型15 利用两边对应成比例及夹角相等判定相似 题型38二次函数综合特殊四边形问题 题型16 利用三边对应成比例判定相似 题型39 黄金分割压轴题 题型17 利用相似三角形的性质求解 题型40 相似三角形的动点问题 题型18 相似三角形的判定与性质综合 题型41 相似三角形与二次函数综合应用 题型19 相似多边形 题型42 相似三角形的判定与性质综合问题 题型20 位似多边形 题型43 三角函数的实际应用题 题型21正弦的应用 题型44 解直角三角形与几何变换综合题 题型22 余弦的应用 题型45解直角三角形中的动点问题 题型23 正切值的应用 题型46 投影与视图综合应用 176 / 179 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 二次函数的识别 1．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）下列函数是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：、中含分式，不是二次函数，不符合题意； 、中自变量最高次数为，二次项系数不为，是二次函数； 、中自变量最高次数为，是一次函数，不符合题意； 、含二次根式，不是二次函数，不符合题意． 2．（26-27九年级上·上海静安·阶段检测）下列函数是关于x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：的右边含分式，不是二次函数； B选项：化简得，符合二次函数定义； C选项：化简得，是一次函数，不是二次函数； D选项：当时，函数解析式为，是一次函数，故该函数不一定是二次函数． 3．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）下列函数中是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将各选项函数解析式化为最简形式，再结合二次函数的定义判断． 【详解】解：A选项，的最高次数为1，是一次函数，不符合题意； B选项，化简，得，是整式且二次项系数不为0，符合二次函数定义； C选项，化简，得，是一次函数，不符合题意； D选项，不是整式函数，不符合题意． 题型2 根据二次函数的定义求参数 4．（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，x的指数必须为2，且系数不为零，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵（为常数）是二次函数， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 5．（24-25九年级上·上海普陀·阶段检测）已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项为2次且二次项系数不为0，据此求解． 【详解】∵是二次函数， ∴，且， ∴， 故选：B． 6．（25-26九年级下·全国·课后作业）若是二次函数，则（　　） A．7 B． C．或7 D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，求参数，根据二次函数的定义得出关于m的不等式和方程，求出m的值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 解得． 故选：D． 题型3 二次函数的图象及性质 7．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）关于二次函数的图象，下列描述错误的是（     ） A．该抛物线开口向上 B．当时，y有最小值2 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】该二次函数为顶点式，可直接获取开口方向、顶点坐标与对称轴，据此判断选项． 【详解】解：二次函数解析式为，． ∴ 抛物线开口向上， 抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， A正确． ∴ 当时，有最小值，B正确． ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而减小，C正确． ∴ 当时，随的增大而增大，D错误． 8．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）已知二次函数的图像上有两点、，其中．下列判断中正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】将两点横坐标代入二次函数解析式，作差比较与的大小． 【详解】解：将代入，得． 将代入，得． ， ∵， ∴，即． 9．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）某过原点的抛物线如图所示，有以下四个结论，其中正确的有（     ）个 ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据开口朝向可以确定a的符号，再根据抛物线经过原点，可得，根据对称轴确定a、b的数量关系，再逐项判断即可． 【详解】解：抛物线开口朝下，即有， 抛物线经过原点，即，则， 由图可知抛物线的对称轴为：，即， ∴， ∴，即①正确； ∵，， ∴，即②错误； ∵，， ∴，即③正确； ∵，， ∴，即④错误； 即正确的有2个． 题型4 二次函数图象的平移 10．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）将抛物线 向右平移一个单位后所得抛物线表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据抛物线平移左加右减的规律变换自变量. 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，将式中替换为，得. 11．（26-27九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）若抛物线平移得到，则需要（     ） A．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 B．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 C．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图像的平移规律，将抛物线平移转化为顶点的平移，对比顶点坐标确定平移方式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点坐标为， 又∵点向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴抛物线需先向左平移2个单位，再向下平移3个单位． 故选：A. 12．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）已知抛物线（、、是常数，）的顶点为．某同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而增大；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键． 根据抛物线的顶点公式可得，结合，，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④． 【详解】解：∵抛物线（、、是常数，）的顶点为， ∴， ， ， 即， ， ， 的值可正也可负， 不能确定的正负；故①错误； ， 抛物线开口向下，且关于直线对称， 当时，随的增大而减小；故②不正确； ， 抛物线为， 依题意，将代入， 得， ，故③正确； 抛物线， 将向左平移1个单位得：， 抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误； 正确的有③， 故选：C 题型5 二次函数图象与各项系数符号 13．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）二次函数的图像的顶点在轴正半轴上，开口向下，则、的符号为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据开口向下确定，根据二次函数的图像的顶点在轴正半轴上，确定． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下， ∴， ∵该函数的顶点坐标为，且顶点在轴正半轴上， ∴． 14．（2022·陕西·模拟预测）二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 【答案】C 【分析】根据题意可以判断出该抛物线的开口方向、顶点坐标在y轴的哪一侧，交y轴的位置，从而可以判断出该函数图象一定经过哪几个象限即可． 【详解】解：∵二次函数的， ∴该函数图象开口向上， 又∵，， ∴，顶点在y轴左侧，经过y轴正半轴， ∴该二次函数的图象必过第一、二象限． 15．（21-22九年级上·上海崇明·期末）已知二次函数的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（    ） A． B．当时， C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图像与性质逐一进行判断即可求解． 【详解】解：A、由图像可知：，， ∴，选项错误； B、由对称轴可知：， ∴另一个交点为：， 从图像可得：时，，选项错误； C、由对称轴可知：， ∴，选项错误； D、由B选项证明可得： 当时， ，即，选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的基本性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图像与性质． 题型6 一次函数与二次函数图象综合判断 16．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）已知k、b均为常数，在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数，二次函数图象的性质，掌握函数图象的性质是解题的关键． 根据一次函数图象，二次函数中的正负与图象的关系是解题的关键． 【详解】解：当时，一次函数经过第一、二、三象限，二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，C，D均不符合题意，B选项符合题意； 当时，一次函数经过第一、三、四象限，二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，B，C，D均不符合题意； 当时，一次函数经过第一、二、四象限，二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，B，C，D均不符合题意； 当时，一次函数经过第二、三、四象限，二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，一次函数，二次函数同时过点，根据选项的图象可得A，B，C，D均不符合题意； 故选：B ． 17．（15-16九年级上·北京大兴·期末）抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得，， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； C．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； D．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求． 18．（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的图象，得到，，继而得到，以此确定抛物线的图象即可． 【详解】解：根据题意，得，， 故，， 故二次函数的图象开口向下，且顶点在y轴的负半轴， 符合要求． 题型7 已知抛物线上对称的两点求对称轴 19．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如果抛物线经过点和，那么抛物线的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】抛物线上纵坐标相等的两个点为对称点，对称轴经过两点横坐标的中点，计算中点横坐标即可得到对称轴． 【详解】解：∵抛物线经过点和，且两点纵坐标相等． ∴这两个点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 20．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线经过和两点，则图象的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】利用抛物线上纵坐标相等的两点的对称性计算对称轴． 【详解】解：∵抛物线经过和两点，两点纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称． ∴该抛物线的对称轴为直线． 21．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）若二次函数的图象经过点、，则的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由两点横坐标互为相反数、纵坐标相同的特征，得二次函数对称轴为y轴，结合二次项系数不为0求解． 【详解】解：∵二次函数图象过点与， ∴其对称轴为直线，即对称轴为y轴， ∴， ∴， 解得或， ∴． 题型8 待定系数法求二次函数解析式 22．（26-27八年级上·上海虹口·阶段检测）已知某个二次函数图象经过两点和，且图象的开口向上，如果还需第三个点的坐标来确定这个二次函数的表达式，那么这第三个点的坐标可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设二次函数一般式，把已知两点坐标代入，得到含参数的关系式，用表示、；再依次把四个选项点的坐标代入表达式，求出对应的，根据开口向上筛选出符合条件的选项． 【详解】解：设二次函数表达式为． 图象过， ． 图象过， ． ，化简得． 把代入，得， ． ． 代入A： ，解得，不是二次函数，不符合． 代入B： ，解得，符合． 代入C： ，解得，不符合． 代入D： ，解得，不符合． 23．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知抛物线过点、和，那么的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】点和纵坐标相同，可得抛物线的对称轴，用顶点式设抛物线方程，代入点和求出参数，再展开为一般式计算． 【详解】解：抛物线过点、，两点纵坐标相等， 对称轴为：， 设抛物线的顶点式为：． 将点，代入，得方程组： ， 化简：， 两式相减，得：，， 将代入，得： ，， 将顶点式展开：， ，，， ． 24．（2026·上海徐汇·一模）下表给出了二次函数中与之间的一些对应值，则下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B． C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值 【答案】D 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质． 根据表中数据，得到函数的解析式，根据二次函数的性质逐项判断选项正误即可． 【详解】解：将，，代入得， 解得， 二次函数的解析式为， 顶点坐标为；，该二次函数的对称轴为直线，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；函数的最小值为； 故A，B，C错误；D正确． 故选：D． 题型9 求抛物线与X轴的交点坐标 25．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】明确抛物线与轴交点的纵坐标为，通过令函数，求解对应的值，进而得到交点坐标． 【详解】解：令，得， ∵， ∴或，解得，， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为，． 26．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若，则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】求出，，得到，证明是等腰直角三角形，则，得到，进一步求出． 【详解】解：当时，，则， 由图象可知，， 故， 当时，， 解得， ∴， 则， ∵抛物线关于轴对称， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 27．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）抛物线的对称轴为，该抛物线与x轴交于A、B两点，且点；那么点B为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，利用两点到对称轴的距离相等求解点的坐标． 【详解】解：∵抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称． ∴点、到对称轴的距离相等． ∵点到对称轴的距离为． ∴点的横坐标为． ∴点的坐标为． 题型10 图象法解一元二次不等式 28．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）抛物线的部分图像如图所示，若则x的取值范围是 （     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】观察图象确定对称轴及经过的特殊点，利用抛物线的对称性求解． 【详解】解：由函数图象得：二次函数开口向下，二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是：． 29．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得． 【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1， 则当时，x的取值范围为或． 故选：B． 30．（2022·山东枣庄·模拟预测）如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、特殊值点等方面逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④错误； ∵抛物线交x轴于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴时，，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有3个． 题型11 二次函数的简单应用 31．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）一位运动员掷出铅球，铅球离地高度（单位：米）关于水平距离（单位：米）的函数表达式为，此运动员这一掷的成绩是（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 【答案】A 【分析】掷铅球的成绩为铅球落地时的水平距离，需求解时的正根． 【详解】解：当铅球落地时，， 代入函数表达式，得， 两边同乘，得， 因式分解，得， 解得，， ∵水平距离为正数， ∴舍去，即成绩为9米． 32．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图为喷泉某一截面的水流，可看作抛物线，水流喷出的高度与水平距离之间满足，则水流喷出的最大高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将二次函数解析式化为顶点式，利用二次函数的性质求最大值. 【详解】 解：， ， 当时，取最大值为， 水流喷出的最大高度为. 33．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）投篮时篮球的飞行轨迹是一条抛物线．现以篮筐为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知篮筐到地面的高度为2.8米，如果当篮球运动到距篮筐水平距离3米时到达离地面3.4米的最高点，那么篮球脱手时的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可得该抛物线顶点坐标为，设该抛物线的解析式为，利用待定系数法解得该抛物线解析式，然后逐项分析判断即可． 【详解】解：如下图， 根据题意，可得该抛物线的顶点坐标的横坐标为，纵坐标为，即顶点坐标为， 设该抛物线的解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴该抛物线的解析式为， 当时，， 故选项A、B均不符合题意； 当时，， 即篮球脱手时的坐标可能是， 故选项C不符合题意，选项D符合题意． 题型12 成比例的线段 34．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）下列各组线段的长度，成比例的是（     ） A．1，3，3，6 B．2，3，4，5 C．，，， D．，，2，3 【答案】C 【分析】将每组线段按长度从小到大排序，若最小与最大线段的乘积等于中间两线段的乘积，则该组线段成比例． 【详解】解：A． 排序得，，，，，，，不成比例． B． 排序得，，，，，，，不成比例． C． 排序得，，，，，，，成比例． D． 排序得，，，，，，，不成比例． 35．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，已知△ABC，直线与边AB、AC分别相交于点D、E，直线与边AB、AC分别相交于点F、G，，那么下列比例式一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理及其推论，结合相似三角形的性质，逐项判断比例式是否成立； 【详解】解：对于A，， ， ，故A不符合题意； 对于B，， ，， ，， ， ，故B符合题意； 对于C，， ， 又， ，故C不符合题意； 对于D，， ，故D不符合题意． 36．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知等式变形为比例式，结合平行线分线段成比例定理及尺规作图中先作已知线段的原则进行判断． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 根据平行线分线段成比例定理，图C中对应线段成比例，满足，符合题意． 题型13 利用平行线判定相似 37．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，在中，点、分别在边、上，且，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线分线段成比例及相似三角形性质得出线段比，通过中间量建立与的面积关系，从而得出面积之比． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 38．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）如图，，、相交于点，，且，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线性质证三角形相似，利用相似比计算线段长． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 39．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，中，，，，则（     ） A．9 B．10 C．21 D．25 【答案】D 【分析】由平行线得出三角形相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． ∴． 题型14 利用两角对应相等判定相似 40．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，点、分别在边、上，．若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件说明，利用对应边成比例即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ， ， ． 41．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，小明利用平面镜测量旗杆的高度．他的眼睛到地面的距离m，他与镜子的水平距离m，镜子到旗杆底部的水平距离m，镜面反射满足“入射角等于反射角”．则旗杆的高度为（     ） A．12m B．10m C．15m D．18m 【答案】A 【分析】由镜面反射满足“入射角等于反射角”，可得，再由小明和旗杆垂直地面可得，由两组角对应相等得，然后由相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：由题意可知：，， ∴， ∴即， 解得． 故选A． 42．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，、分别是的边、上的高，那么图中相似三角形的对数为（     ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【分析】根据两角对应相等，两三角形相似得出相似三角形的对数，注意做到不重不漏． 【详解】解：∵、分别是的边、上的高， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， 即图中相似三角形的对数为6对． 题型15 利用两边对应成比例及夹角相等判定相似 43．（26-27九年级上·广西桂林·阶段检测）如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、∵， ∴， ∴，不符合题意； B、∵， ∴，不符合题意； C、∵， ∴，不符合题意； D、∵，夹角和不一定相等， ∴不能证明，符合题意． 44．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在中，点D，E分别在边上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，将选项中的乘积式转化为比例式，结合公共角进行判断即可． 【详解】 解： 由可得， ， ， 只有选项D符合题意． 45．（26-27九年级上·湖南永州·阶段检测）如图，四边形的对角线，相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（     ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 【答案】B 【分析】由对顶角相等及已知线段比例，利用相似三角形判定定理即可得出结论． 【详解】解：由图可知 即①和③相似． 题型16 利用三边对应成比例判定相似 46．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，方格网的小方格是边长为1的正方形，四个三角形的顶点都在格点上，则下列选项中是相似三角形的是（     ）． A．①和② B．③和④ C．②和④ D．①和④ 【答案】D 【分析】分别求出四个三角形的三边长，再根据三角形相似的判定定理，即可求解． 【详解】解：①中的三角形的三边长分别为； ②中的三角形的三边长分别为； ③中的三角形的三边长分别为； ④中的三角形的三边长分别为； ∵， ∴相似三角形是①和④． 47．（26-27九年级上·全国·单元复习）若的三边长分别为1，，，的三边长分别为，2，，则与（    ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．一定全等 【答案】A 【分析】先将两三角形的边按从小到大排序，验证三边是否对应成比例，即可判断相似性． 【详解】解：将两三角形的边长按从小到大排序． 的三边长为，，． 的三边长为，，． ∵， ∴两三角形三边对应成比例，一定相似． 48．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可推导出，即两个三角形有一组对应角相等，再结合相似三角形的判定定理（两角分别相等或两边成比例且夹角相等）逐项判断即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 对于A，若，结合，根据两边成比例且夹角相等可判定； 对于B，若，结合，根据两角分别相等可判定； 对于C，若，此时对应边的比例关系中，已知相等的角与不是这两组对应边的夹角，无法判定； 对于D，若，结合，根据两角分别相等可判定． 题型17 利用相似三角形的性质求解 49．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）如果两个三角形的相似比是，则这两个三角形的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相似三角形面积比等于相似比的平方的关系求解． 【详解】解：两个三角形的相似比为， 面积比为. 50．（26-27九年级上·上海·阶段检测）若两个相似三角形的相似比为，则它们的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴它们的面积比为． 51．（22-23九年级上·上海长宁·期中）如图，在中，，，为垂足，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ， 又，， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟记相似三角形的判定与性质． 52．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，，则下列式子不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线分线段成比例定理可证明，，据此可判断A、D；过点B作，交直线于点G，交直线于点H，证明四边形和四边形都是平行四边形，得到；证明，得到，据此可判断C；根据现有条件无法证明，据此可判断B。 【详解】解：∵， ∴，，故A正确， ∴ ，故D正确； 如图所示，过点B作，交直线于点G，交直线于点H， ∵，， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴，故C正确； 根据现有条件无法证明，故B错误。 题型18 相似三角形的判定与性质综合 53．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）如图，在梯形中，，对角线和相交于点E，延长至点F，满足，则以下说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，得出，即可判断B选项错误；证明，得出，即可判断C选项正确；只有等腰梯形才能得出，即可判断A选项错误；根据已知条件不能得出，即可判断D选项错误． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，故B选项错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故C选项正确； 只有等腰梯形才能得出，故A选项错误； 根据已知条件不能得出，故D选项错误． 54．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在中，点D、E分别在边上，四边形是正方形，点F、G在边上，交于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 【答案】A 【分析】利用正方形的性质，三角形相似的判定和性质，解答即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵不一定相等， 不一定成立，故②错误． 题型19 相似多边形 55．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）用放大镜观察三角形时，一定不发生变化的是（     ） A．周长 B．各边的长度 C．面积 D．各内角大小 【答案】D 【详解】解：用放大镜观察三角形相当于相似变换. ∵相似变换仅改变图形大小，不改变形状， ∴各内角大小不变. ∴各边长度、周长、面积均会按比例放大. 故答案为. 56．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应角相等，求出 和 的度数，再利用四边形内角和定理计算 的度数． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应， ∴，． 在四边形 中，∵， ∴． 57．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正方形 【答案】D 【分析】本题考查的是相似形的定义，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同．由此逐项判断即可． 【详解】解：A．两个等腰三角形，对应角不一定相等，不一定相似，不合题意； B．两个矩形，对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，不合题意； C．两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，不合题意； D．任意两个正方形的对应角对应相等、边的比相等，一定相似，本选项符合题意． 故选：D． 题型20 位似多边形 58．（2026·浙江丽水·模拟预测）如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似图形的对应线段的比等于位似比，据此列出比例式计算即可 【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 59．（2026·浙江杭州·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，位似比是，则的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，位似比是 ， ∴，即 ， 由图可知，点与点在位似中心的同侧 ， ∴点的横、纵坐标均为点横、纵坐标的2倍 ， ∵， ∴点的坐标为，即． 60．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的面积是25，则四边形的面积是（　　） A．4 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质，比例的性质，相似多边形的性质；先根据位似的性质得到，四边形与四边形相似，，再利用比例的性质得，然后根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求解即可；掌握性质，能根据性质求出相似比是解题的关键. 【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心， ， 四边形与四边形相似， ， ， ， ， 解得：； 故选：A． 题型21正弦的应用 61．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，再根据正弦的定义求解即可； 【详解】，，， ， ． 62．（24-25九年级下·福建厦门·阶段检测）如图，在菱形中，分别是的中点，连接，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由菱形性质得出及长，利用勾股定理求，由三角形中位线性质得出，进而求解． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∵O、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴． 63．（26-27九年级上·湖南娄底·阶段检测）在中，，，，则的长为（     ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】已知直角三角形斜边与一锐角的正弦值，利用锐角正弦的定义建立边的关系求解． 【详解】解：在中，． ，，， ． 64．（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，根据确定斜边与的邻边，利用余弦定义求解． 【详解】解：在中，， 为斜边，为的邻边， ． 题型22 余弦的应用 65．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：， ∴． 66．（26-27九年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据锐角三角函数定义得出的长，然后利用菱形的性质得的长，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 题型23 正切值的应用 67．（25-26九年级上·上海·期中）已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，结合勾股定理计算是解题的关键． 根据直角三角形中锐角三角函数的定义，先利用勾股定理求出斜边，再分别计算、、、的值，与选项对比即可． 【详解】解：在中，，，， ， ，，，，比较选项，D正确． 故选． 68．（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，，，，则的长为（     ） A．10 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】先根据正切定义求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 69．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，点在第一象限，与x轴所夹的锐角为，则t的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】过A作轴于B，则，，在中，利用正切定义求解即可． 【详解】解：过A作轴于B， ∵点在第一象限， ∴，， 在中，， ∴，即． 题型24 特殊三角形的三角函数 70．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值，进行求解即可． 【详解】解：由特殊角的三角函数值，得． 71．（26-27九年级上·北京·随堂练习）在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦的定义可得的度数，进而可得的度数，再由正切的定义可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴． 72．（2026·天津东丽·一模） 的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 题型25 根据特殊角三角函数值求角度 73．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）在中，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在中，， ∴为锐角， 又∵， ∴． 74．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊角三角函数值，结合已知条件，得到的值并求出． 【详解】解：由，根据特殊角三角函数值得： ， 解得， 经检验是锐角，符合题意． 故选：B． 75．（26-27九年级上·全国·单元复习）在中，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值求出、的度数，利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 题型26 解直角三角形 76．（24-25九年级上·上海宝山·阶段检测）在中，，用含与m的式子表示．下列四种表示方法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数，掌握定义是解题关键．根据三角函数定义，sinα等于对边与斜边的比值，由此建立方程求解。 【详解】解： 在Rt△ABC中， , , ． 故选：D． 77．（25-26九年级下·山东济南·自主招生）如图，在中，，，，为边的中点，为上一点，为的中点，若，则的长为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由勾股定理求出，根据直角三角形的性质和三角形中位线定理得到，则，由平行线的性质得到，则，求出，即可得到． 【详解】解：连接， 在中，，，， ∴， ∵为边的中点，为上一点，为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 78．（2026·上海·模拟预测）已知在中，，，，点、分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点．当时，的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作垂线构造直角三角形，证，利用求出长度，在中算出． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 在中，． 题型27 投影 79．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）长3米的旗杆直立在水平面上，它的阳光下的影子长为米．此时，某棵水杉的影子长为21米，该水杉的高为（   ）米 A．35 B． C．36 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行投影等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据同一时刻，平行光线照射下，物体高度与影子长度的比值相等，列出比例式求出水杉高度． 【详解】解：设该水杉的高为米， ∵同一时刻物体高度与影子长度的比值相等， ∴， 解得：， 即该水杉的高为35米， 故选：A． 80．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行投影，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，过作，交于点，求出的值，可得结论． 【详解】解：过作，交于点， ∵线段在平面内的正投影为，， ∴， ∴，且，则即为所求， ， ∴， 故选：C． 81．（2026·内蒙古包头·二模）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】利用中心投影，过点P作于点E交于点M，证明，然后利用相似比可求出的长． 【详解】解：如图，过点P作于点E交于点M， 根据题意得：， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得：． 题型28 由三视图还原几何体 82．（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三视图的意义，列式计算即可． 【详解】解：根据题意，得，几何体数目如下 则搭成这个几何体的小正方体的个数是（个）． 83．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的表面积是72，则它的体积是（     ） A．28 B．36 C．44 D．48 【答案】B 【分析】先由三视图得该几何体为长方体，再利用表面积求得长方体的高，然后根据长方体的体积公式求解即可． 【详解】解：由三视图可得该几何体为长方体，它的长是6，宽是2，设高为h， ∵这个几何体的表面积是72， ∴，解得， ∴它的体积是． 84．（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由三视图还原几何体，掌握三视图的画法是解题的关键． 根据三视图还原几何体，再求表面积即可． 【详解】解：根据三视图可知，这个几何体为圆锥． 直径为6cm，高为4cm， 圆锥母线长为， 表面积为． 故选：B． 题型29三视图求最多或最少的小立方体个数 85．（2025·河北邯郸·三模）图-1所示的几何体由若干个相同的小正方体搭成，拿走若干个小正方体后，该几何体的主视图如图-2所示，则拿走的小正方体的个数至少是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是理解主视图的定义并能据此分析几何体的构成． 通过分析原几何体和主视图的特征，确定需要拿走小正方体的位置和数量，从而得出至少拿走的个数． 【详解】如图所示， 拿走若干个小正方体取后，该几何体的主枧圈如图2所示，则至少拿走标有、、、的小正方体， 所以拿走的小正方体的个数至少是4个． 故选：C． 86．（2025·黑龙江牡丹江·二模）由一些大小相同的小正方体搭建的几何体的主视图和俯视图如图所示，这种几何体所需小正方体个数最多是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了小正方体堆砌而成的几何体的三视图，根据题意可得最下面一层有4个小立方体，中间一层最多有2个，上面一层最多有2个，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，每个位置小立方体最多的情况如下： ∴这种几何体所需小正方体个数最多是， 故选：C． 87．（25-26九年级下·全国·单元测试）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最多个数与最少个数的差是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，根据主视图和俯视图画出所需正方体个数最少的俯视图是关键．易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，再由主视图可得第二层、第三层正方体最多和最少可能的个数，再计算求出结论即可． 【详解】解：根据主视图和俯视图，这个几何体的底层有7个小正方体， 第二层最多有6个小正方体，最少有2个小正方体， 第三层最多有3个小正方体，最少有1个小正方体， 因此组成这个几何体的小正方体最多有16个，最少有10个小正方体． 如图， 则所需小正方体的个数最多个数与最少个数的差是6， 故选：B． 题型30 实际问题与二次函数图形问题 88．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成三个面积相等的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图），养殖场的总面积为． (1)求关于的函数关系式和自变量的取值范围： (2)当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，矩形的面积最大为 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出二次函数关系式是解题的关键： （1）结合图形，根据三个矩形的面积相等，得到两个水平方向的矩形的长为竖直方向的矩形的宽的2倍，进而求出大矩形的长为，进而求出大矩形的宽，根据矩形的面积公式列出函数关系式即可； （2）根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由图形和题意可知，竖直方向的小矩形的长为两个水平方向的矩形的宽的2倍，则两个水平方向的矩形的长为竖直方向的矩形的宽的2倍， ∴大矩形的长为，则大矩形的宽为， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时，值最大为， 答：当时，矩形的面积最大为． 89．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图用长为的篱笆围成一个长方形的生物园，一面靠墙（墙足够长，）．长方形的面积为，的长为． (1)写出长方形的面积与之间的函数解析式，并求出的范围； (2)当为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1) (2)当时，长方形面积最大，面积最大为 【分析】（1）首先表示出长方形的长，根据长方形面积长宽列出函数关系式； （2）将函数关系式配方成二次函数顶点式，即可知其最大值． 【详解】（1）解：当长方形的宽时，其长， 故长方形的面积，， 即，其中； （2）解：， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴当时，长方形面积最大，面积最大为， 答：当时，长方形面积最大，面积最大为． 90．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）用长的篱笆围成一个矩形花园，花园的一边利用墙（墙长为），另外三边用篱笆围成．设垂直于墙的一边长为，花园的面积为． (1)求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)花园的面积能否达到？若能，求出x的值；若不能，请说明理由； (3)求花园面积S的最大值． 【答案】(1)，自变量的取值范围是； (2)不能，理由如下： 令，则， 整理得， 即， 解得 ∵， 不符合自变量的取值范围， ∴花园的面积不能达到； (3)花园面积的最大值为． 【分析】（1）用含的式子表示平行于墙的边长，结合矩形面积公式列函数关系式，根据墙长与边长为正的限制求自变量取值范围； （2）令列一元二次方程，根据解是否在自变量取值范围内判断面积能否达到； （3）将二次函数解析式配方，结合开口方向、自变量取值范围与函数增减性求最大值． 【详解】（1）解：∵垂直于墙的一边长为， ∴平行于墙的一边长为 ∴ ∵平行于墙的边长需满足， 解，得， 解，得， ∴自变量的取值范围是； （2）略 （3）解：将函数解析式配方，得 ∵， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而减小 又∵， ∴当时，取得最大值， 最大值为 ∴花园面积的最大值为． 题型31实际问题与二次函数销售问题 91．（25-26九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）某商品的进价为每件元，市场调查发现，该商品每周的销售量（件）与销售单价（元/件）有如下关系：．设这种商品每周的销售利润为（元）． (1)请直接写出与之间的函数关系式； (2)当销售价定为每件多少元时，才能使一周的销售利润最大？ 最大利润是多少？ (3)该商家计划在进货成本不超过元的前提下，想要每周能获得元的销售利润，销售价应定为每件多少元？ 【答案】(1) (2)当销售价定为元时，销售利润最大，最大利润是元 (3)在成本不超过元的前提下，若想获得元利润，销售价应定为每件元 【分析】（1）根据每周的销售利润单件的利润每周的销售量，即可求解； （2），根据二次函数的性质即可求解； （3）先根据进货成本不超过元，求出的范围，再令求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， ，抛物线开口向下，函数有最大值， 当时，函数有最大值，最大值是， 答：当销售价定为元时，销售利润最大，最大利润是元； （3）解：进货成本不超过元， ， 解得， 每周能获得元，则， 解得，， ， 不合题意，舍去， 即在成本不超过元的前提下，若想获得元利润，销售价应定为每件元． 92．（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）春节期间，各影院上映多部影片，宿迁某影院每天运营成本为1500元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如表所示： 电影票售价（元/张） 售出电影票数量（张） (1)请求出与之间的函数关系式： (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式： (3)该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（，且是整数） (2)（，且是整数） (3)电影票售价定为40或41元时每天获利最大，最大利润是5060元 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出与之间的函数关系式； （2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出与之间的函数关系式； （3）将（2）中的函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和的取值范围，可以求得该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 由题意可得： ， 解得． （，且是整数）． （2）解：根据题意，得（，且是整数）． （3）解：， ，且是整数， 或41时，最大为5060． 答：电影票售价定为40或41元时每天获利最大，最大利润是5060元． 93．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）某电影院销售《牛来》电影票，已知每张电影票的成本为15元．若每张以30元销售，平均每天可售出50张；价格每降低1元，平均每天多售出5张．设每张降价元（为整数），每天销售量为张． (1)直接写出每天销售量与之间的函数关系式：__________；（不写的取值范围） (2)若某天销售《牛来》电影票的利润为770元，为了让观众获得更多实惠，该电影院每张《牛来》电影票的定价为多少元？ (3)为了促进市场良性竞争，《牛来》电影票的销售单价不得高于28元，不得低于22元，当销售单价为多少元时利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)26元 (3)当销售单价为27元或28元时，利润最大，最大利润是780元 【分析】（1）根据销售数量与销售单价之间的关系建立等式，得到y与x之间的函数关系式； （2）根据题意列出方程，解方程，从而确定当天的售价； （3）先根据单价确定x的取值范围，设所获利润为w元，再列出利润w关于x的二次函数表达式，根据二次函数的单调性求解最大值即可． 【详解】（1）解：∵平均每天可售出50张，价格每降低1元，平均每天多售出5张， ∴每天销售量与之间的函数关系式：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∵为了让观众获得更多实惠， ∴x取4，此时， 答：该电影院每张《牛来》电影票的定价为26元； （3）解：根据题意得：， 解得：， 设所获利润为w元，根据题意得： ， ∵， ∴当时，w随x的增大而增大，当时，w随x的增大而减小， ∵x为整数， ∴当x取2或3时，w取得最大值，最大值为780，此时销售单价分别为28或27， 答：当销售单价为27元或28元时，利润最大，最大利润是780元． 题型32实际问题与二次函数图形运动问题 94．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，在中，，，，P点在上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程： (1)经过多少时间后，P、Q两点的距离为？ (2)经过多少时间后，的面积为？ (3)何时的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)， (3)当运动秒时面积最大，最大面积平方厘米 【分析】（1）用表示和，在直角三角形中利用勾股定理列方程求解． （2）用表示两直角边、，根据面积公式列一元二次方程求解． （3）将面积化为关于的二次函数，利用对称轴求最大值． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴，设运动时间， 则，，，， ∵，由勾股定理得： ， ，（舍去） ． （2）解： 整理： ，． （3）解： 二次函数开口向下，对称轴：， 当时，面积最大，最大面积为： ． 答：当运动秒时面积最大，最大面积平方厘米． 95．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，正方形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限．将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点O、C、D、E的对应点分别为、、、．设，正方形与重叠部分的面积为S． (1)点B的坐标为_______，点D的坐标为_______. (2)当点与点A重合时，求t的值. (3)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． 【答案】(1)； (2)当点与点A重合时，t的值为4 (3)S关于t的函数关系式为． 【分析】（1）过点作轴于，根据的坐标求出，根据等腰三角形性质求出、、等于2，即可得点的坐标，再根据的坐标求出，根据正方形性质得，，，即可得点的坐标． （2）根据的坐标，求出，当点与点A重合时，，即可得此时t的值. （3）当时，正方形与重叠部分为等腰直角三角形，即可得，再根据三角形面积公式即可求出S关于t的函数关系式；当时，正方形与重叠部分为五边形，根据是等腰直角三角形，结合等腰三角形性质可得，再根据四边形为正方形得，结合条件正方形的边长为2，，即可得，，进而得，，即可求出，，再根据计算即可得S关于t的函数关系式；当时，正方形与重叠部分为等腰直角三角形，即可得，进而求出，再根据三角形面积公式即可求出S关于t的函数关系式. 【详解】（1）（1）解：如图， 过点作轴于， 点， ， ，， ， 点的坐标为， 点， ， 四边形为正方形， ，，， 点的坐标为； （2）解：∵， ∴， ∴当点与点A重合时，. ∴当点与点A重合时，t的值为4； （3）解：当时，正方形与重叠部分为等腰直角三角形，如图， 由题意：， ， 当时，正方形与重叠部分为五边形，如图， 是等腰直角三角形，，， ， 四边形为正方形， ， 正方形的边长为2，， ，， ，， ，， ． 当时，正方形与重叠部分为等腰直角三角形，如图， 由题意得：， ， ， 综上所述，S关于t的函数关系式为． 96．（26-27九年级上·吉林松原·阶段检测）如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿A→B→C的方向运动到点C停止，运动速度为，若射线，分别是正北方向和正东方向，在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F，连接，设的面积为，点P运动的时间为（线段可视为面积为0的三角形）． (1)当点F与矩形顶点重合时，； (2)求当E在线段上时，y关于x的函数解析式； (3)当点P在线段上，且将矩形分成两部分图形的面积比为时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）分两种情况讨论，点在和上，利用矩形的性质，以及等腰直角三角形的判定与性质求解即可； （2）分三种情况讨论，当时；当时；当时，分别画出示意图，根据等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理表示边长，建立函数解析式； （3）分四种情况讨论，表示将矩形分成两部分图形中其中一部分的面积，再进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，点在上， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， 当在上时，点F与矩形顶点不重合，舍去 ∴时，点F与矩形顶点C重合． （2）解：∵在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F．连接．设的面积为，点P运动的时间为． 则 ∴当时，如图所示： 过点作， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， 则，， ∵， ∴是等腰直角三角形， 则,， 故； ∴当时，如图所示： 同理得是等腰直角三角形， 则 ∴， 即， ∴当时，过点作，如图所示： 同理得是等腰直角三角形， 则， ∴， 即， 综上：当E在线段上时，； （3）解：当时，过点作于点K，如图： 则同上可得：，，， ∴， ∴， ∴的面积随着的变化而变化， ∴将矩形分成两部分图形的面积比不为定值； 当时，如图： 则同上可得：，， ∴， ∴， ∴面积比为； 当时，过点作于点， 则，， ∴，， ∴ ∴ ∴的面积随着的变化而变化， ∴将矩形分成两部分图形的面积比不为定值； 当时，如图： 则，， ∴， ∴， ∴面积比为， 综上：当时，面积比为． 题型33实际问题与二次函数抛物线图形问题 97．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，某粮仓的横截面由一段抛物线和矩形构成，其中．以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知抛物线对应的函数解析式为，为平行于地面的一张除湿板． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)若除湿板的长度为，求除湿板与仓顶间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，，然后把分别代入抛物线对应的函数解析式解方程组即可； （2）先求出拱顶到x轴的距离，即顶点坐标的纵坐标，然后求出点的横坐标，代入表达式，求出纵坐标即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，． 把分别代入抛物线对应的函数解析式， 得， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为． （2）解：， ∴顶点坐标为， ∴拱顶到x轴的距离为． 由题意得， 将代入中， 解得， ， ∴除湿板与仓顶间的距离为． 98．（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，小明在平地向上抛掷一个小球，小球的运动路线是抛物线．以小球抛出点在地面的投影为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系．已知小球抛出时的高度为，抛出后水平前进时，达到最大高度．设小球运动的水平距离为（单位：），竖直高度为（单位：）． (1)求小球运动轨迹对应的二次函数解析式； (2)小球抛出后，水平前进多少米时，高度恰好为？ (3)小明前方1米处停了一辆长3米，高2米的大货车（车头方向为轴正方向）；小球能否越过大货车安全落地？ 【答案】(1) (2)小球抛出后水平前进1米和3米时，高度恰好为； (3)小球不能越过大货车安全落地． 【分析】（1）根据题意设二次函数的顶点式，进而将代入求解即可； （2）将代入解析式求解即可； （3）由题意，小明在原点位置，前方1米是车头，货车长3米，因此货车占据的水平范围是到的区间，货车高度为2米，需验证该区间内小球的最小高度是否大于2米即可． 【详解】（1）解：∵抛出后水平前进时，达到最大高度， ∴设二次函数的顶点式为：， 将代入得， 解得：， 即； （2）解：将代入解析式得， 解得：，， ∴小球抛出后水平前进1米和3米时，高度恰好为； （3）解：∵小明前方1米处停了一辆长3米，高2米的大货车， ∴货车占据的水平范围是到的区间， ∵， ∴当时，y有最大值， 当时，， 当时，， ∴当时，，存在的情况， 即小球不能越过大货车安全落地． 99．（26-27九年级上·全国·课后作业）某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管长．在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为时达到最高，最大高度为． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)经测量，水池的最大半径只有，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，使喷出的抛物线形水柱仍在与水池中心的水平距离为处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度． 【答案】(1)， (2) 【分析】（）由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，再求出抛物线与轴正半轴交点的横坐标，即可求出自变量的取值范围； （）由题意得调整水管长度为最大时喷出的抛物线形水柱经过点，设调整水管长度后喷出的抛物线形水柱对应的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时的值即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式为， 将代入，得， 解得， ∴， 令，得， 解得， ∴第一象限部分图象对应的自变量的取值范围为； （2）解：由题意得，调整水管长度为最大时喷出的抛物线形水柱经过点， 设调整水管长度后喷出的抛物线形水柱对应的函数解析式为， 将代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴调整后水管的最大长度为． 题型34 二次函数综合线段周长问题 100．（26-27九年级上·上海静安·阶段检测）如图，二次函数的图像与开口向下的二次函数图像均过点，． (1)求图像对应的函数表达式； (2)若图像过点，点位于第一象限，且在图像上，直线过点且与轴平行，与图像的另一个交点为（在左侧），直线与图像的交点为，（在左侧）．当时，求点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）可求对应的函数表达式为：，其对称轴为直线．作直线，交直线l于点H．由二次函数的对称性得，，由，得到，设，则点P的横坐标为，点M的横坐标为， 得出，，由得出关于t的一元二次方程，进一步即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得：， ∴对应的函数表达式为：； （2）解：设对应的函数表达式为， 将点代入得：， 解得， ∴对应的函数表达式为：，其对称轴为直线， 又∵图象的对称轴也为直线， 作直线，交直线于点H， 由二次函数的对称性得：，， ∴， 又∵，而， ∴， 设，则点P的横坐标为，点M的横坐标为， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴， 即， 解得，（舍去）， ∴点P的坐标为． 101．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）已知抛物线经过点、，与y轴交于点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴，交直线于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标； (3)设抛物线的对称轴为直线l，在直线l上是否存在点N，使？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 线段的最大值为，此时点的坐标为 (3) 存在，点的坐标为 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设出点坐标，将线段的最大值转化为二次函数求最值即可； （3）设出点坐标，根据两点间距离公式列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、， ∴设抛物线的表达式为； 将代入得：，解得， ∴. （2）解：设直线的解析式为， 将、代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴线段的最大值为，此时点的坐标为. （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴. 102．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图所示，抛物线的对称轴为，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，直线与该抛物线交于D，E两点（点D在第二象限，点E在第四象限） (1)求该抛物线的解析式 (2)求D，E两点的坐标 (3)“笛卡尔爱心曲线”是由法国数学家笛卡尔于17世纪提出的，如图所示，将抛物线在直线上方的图像沿翻折就会得到“心型线”，点P是上方的抛物线上的一动点，P的对应点为点Q，连接交于点G． ①当四边形是菱形时，求点P的坐标； ②在点P的运动过程中，求线段的最大值． 【答案】(1) (2)， (3)①；② 【分析】（1）先根据二次函数的对称轴可得，再将点代入二次函数的解析式可得，由此可得二次函数的解析式； （2）将抛物线表达式与直线联立求解可得点的坐标； （3）①设直线分别交轴，轴于点，，交轴于点，过点作轴于点，先得出，再根据菱形的性质可得，，从而可得点的坐标，然后证出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得点的坐标，利用待定系数法可得直线的解析式，最后与抛物线的解析式联立求解即可得； ②设直线交轴于点，过点作轴，交于点，设点的坐标为，则点的坐标为，，再证出是等腰直角三角形，且，然后根据轴对称的性质可得，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 将点代入抛物线得：， ∴该抛物线的解析式． （2）联立，解得或， ∵抛物线与直线交于，两点（点D在第二象限，点E在第四象限）， ∴，． （3）解：①如图，设直线分别交轴，轴于点，，交轴于点，过点作轴于点， 对于直线， 当时，，即， 当时，，解得，即， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∵四边形是菱形， ∴，， 由（2）已得：，， ∴，即， ∵轴， ∴， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∵点是上方的抛物线上的一动点，且，， ∴点的横坐标大于，且小于4， ∴点的坐标为． ②如图，设直线交轴于点，过点作轴，交于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， 由（1）可知，， ∵轴， ∴， ，关于直线对称， ∴，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴ ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值． 题型35二次函数综合面积问题 103．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）已知抛物线经过两个轴上的点，，把两点坐标代入抛物线解析式得到二元一次方程组，解方程组求出、的值，得到抛物线解析式；再将解析式配方化为顶点式，直接读出顶点坐标； （2）由，坐标得到底边长，三角形面积公式用点纵坐标的绝对值作为高，列出含绝对值方程；分两种情况讨论，结合一元二次方程判别式判断解是否存在，舍去无实根的情况，求出符合条件的点P坐标． 【详解】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得， 该抛物线的解析式为， ， 该抛物线的顶点坐标为； （2）解：，， ， 点P为抛物线上一点， 设， ， ， ， 当时，， 化简得， ， 无解， 当或时，， 化简得， 因式分解得， 解得或， 综上所述，点P的坐标为或． 104．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知抛物线的图像与轴交于，，与轴交于点，、为抛物线上的两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，连接、，使的值最小，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)S存在最小值为 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）求出抛物线的对称轴为直线，得，，当三点共线时，值最小，求出直线的解析式，代入即可求解； （3）由，分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的图像与轴交于，， ∴设， ∵在抛物线上， ∴ ∴， 则抛物线的表达式为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，值最小， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得， ∴； （3）解：存在， ∵的横坐标为， ∴； ∵的横坐标为， ∴ ， ∴ 设直线交x轴于点H，直线的表达式为， 把点P、Q的坐标代入得： ∴ ∴直线的表达式为：， ①当时，， 此时，, ∴点关于对称轴对称，且轴， 此时； ②当时，令y＝0， 则， 则， ∵， 、当，即时，， 则 ； Ⅱ、当，即时，， 则 ． 综上，S存在最小值为． 105．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线交x轴于，，与y轴交于点C．      (1)求b，c的值； (2)已知P为抛物线一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点恰好在直线上，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，平移抛物线，使其顶点始终在直线上，且与相交于点Q，求面积的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3)的最小值为． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）求得直线的解析式为，设，则，解方程，即可求解； （3）由顶点始终在直线上，推出，由三角形面积公式得，当取最小值时，取最小值，求得关于b的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，， ∴，解得； （2）解：由（1）得抛物线解析式为， 令，则， ∴，设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， ∵点P关于x轴对称的点恰好在直线上， ∴设，则，即点在抛物线上， ∴，整理得， 解得， ∵点P不与点B重合， ∴，； （3）解：抛物线的顶点坐标为， ∵顶点始终在直线上， ∴，即， 由（2）知直线的方程为， ∵抛物线与相交于点Q，      ∵， ∴当取最小值时，取最小值， ∵ ， ∵， ∴当即时，的最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 题型36二次函数综合角度问题 106．（2026·山东临沂·一模）抛物线过点，与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图，连接、，在直线上方的抛物线上找点P，使得，求出P点的坐标． 【答案】(1)， (2)点P坐标为 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点B作交延长线于点E，可证，则可求点E坐标，然后求直线的解析式，联立方程组，解方程组即可求点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 对称轴为直线， ∴对称轴与x 轴的交点D坐标为． （2）解：过点B作交延长线于点E， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点E坐标为， 设直线解析式为， 把，代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 联立方程组， 解得， ∴点P坐标为． 107．（2022·上海松江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在x的正半轴和y的正半轴上，，抛物线经过A、B两点，顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)将绕点A顺时针旋转后，点B落到点C的位置，求四边形的面积； (3)将该抛物线沿y轴向上或向下平移，使其经过点C，若点P在平移后的抛物线上，且满足，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)四边形的面积为7 (3)满足条件得P点坐标为或 【分析】（1）根据，求得点A的坐标，代入即可求得抛物线解析式； （2）由旋转可得出，再求出抛物线顶点，利用勾股定理及其逆定理可得，根据，即可求得答案； （3）根据平移规律可得平移后的抛物线解析式为，分两种情况：①若点P在x轴上方时，②若点P在x轴下方时，分别求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入抛物线，得， 解得：，′ ∴抛物线的表达式为． （2）解：∵将绕点A顺时针旋转后，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，且， ∴ 即四边形的面积为7． （3）解：当时，， 可知抛物线经过点， ∴将原抛物线沿y轴向下平移2个单位过点， ∴平移后得抛物线解析式为：； ①若点P在x轴上方时，作轴，交抛物线于P点， ∴， ∴点P与点C关于抛物线的对称轴直线对称， ∴； ②若点P在x轴下方时，如图2，作的中垂线，与x轴交与E点，联结并延长，交抛物线于P点， 根据线段的垂直平分线的性质可得， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 作轴，垂足为H，则， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， 解得：（舍去），， 当时， ∴P， 综上所述，满足条件得P点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移变换，旋转变换的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数等，第（3）小题分两种情况讨论是解题关键． 108．（2023·辽宁大连·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是的中点，点E为x轴上一点，F为对称轴上一点，一动点P从点D出发，沿运动，若要使点P走过的路径最短，请求出点E、F坐标，并求出最短路径； (3)如图2，直线与抛物线交于点M，问抛物线上是否存在点Q（点M除外），使得？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)、，最短路径长6.5 (3)存在， 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）作点关于抛物线对称轴的对称点，，作点关于轴的对称点，连接交轴于点交抛物线对称轴于点，则此时，点、符合题设要求，此时点运动的路径最小，进而求解； （3）先求出点，由，得到，根据勾股定理列式计算，进而求解． 此题主要考查了反比例函数解析式求法以及待定系数法求二次函数解析式以及利用对称求最小值问题以及相似三角形的判定与性质等知识，利用相似得出点坐标是解题关键． 【详解】（1）解：∵已知抛物线与x轴交于点，， ∴设抛物线的表达式为：， ∵ ∴， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：如图1，由抛物线的表达式知， 其对称轴为直线， ∵ ∴ 则 作点关于抛物线对称轴的对称点， ∴ ∵点D是的中点 ∴ 作点关于轴的对称点， ∴ 连接交轴于点交抛物线对称轴于点 则此时，点、符合题设要求，此时点运动的路径最小， 理由：∵点关于轴的对称点，点关于抛物线对称轴的对称点 ∴，， 则， 此时的长度满足点P走过的路径最短 设直线的表达式为 把，分别代入 得， 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点，， 令，则， 则点，， ∵， ∴， 即点、坐标分别为：、， ∴最短路径长6.5； （3）解：存在，理由： 依题意 ∴ 解得：（舍去）或3， 则点， 设直线交于点， 由点、知， ∴， 而直线和轴正半轴的夹角为， ∴ 则， ，则， 则， 解得：（舍去）或1， 则点， 设直线的表达式为 把点、分别代入 得， 解得 直线的表达式为：， 依题意，得 解得：（舍去）或7， 则点． 题型37二次函数综合特殊三角形问题 109．（23-24九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点，其顶点为C，对称轴为直线． (1)求顶点C的坐标及抛物线的解析式； (2)已知点M为y轴上的一个动点，是否存在点M使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， 顶点C的坐标为 (2)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由对称轴为直线，可得抛物线解析式为，据此代入A、B坐标求解即可； （2）设点M的坐标为，则，，，再分当时， 当时， 当时，三种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴抛物线解析式为 把点，点代入得 中得， 解得 ∴抛物线解析式为， ∴顶点C的坐标为； （2）解：设点M的坐标为， ∴，，， 当时，则，解得， ∴点M的坐标为； 当时，则，解得或（舍去）， ∴点M的坐标为； 当时，则，解得或， ∴点M的坐标为或； 综上所述，点M的坐标为或或或． 110．（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，二次函数的图象与直线交于点和点，过点B作平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m． (1)抛物线的对称轴为直线______，______； (2)当点M在直线上方时，若，求m的值； (3)设N是直线上的点，是否存在点M，N，使得是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1，2 (2)或 (3)存在，，，，． 【分析】（1）利用对称轴公式即可求出抛物线对称轴，然后将代入即可求出n的值； （2）在A点上方的y轴取点D，连接，求出使得的点D的坐标，求出过点D且平行于的直线的解析式，然后和抛物线表达式联立求解m即可； （3）作于点E，于点F，根据题意可知当，时，是以为斜边的等腰直角三角形，从而根据列出m的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数 ∴对称轴为直线 将代入得，； （2）解：∵ ∴ ∵抛物线对称轴为直线 ∴点C坐标为 由题意， 在A点上方的y轴取点D，连接，如图， 设，则，即， 解得， 过点D作的平行线交抛物线于点M， ∵直线的表达式为， ∴设直线的表达式为 将代入得， ∴直线的表达式为 联立和得， 解得， 或； （3）解：如图，作于点E，于点F ， 当，时， ∴，此时是以为斜边的等腰直角三角形 ∵ 解得，，，． 111．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴下方的抛物线上，过点的直线与直线交于点，与轴交于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一点．当是以为直角边的直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)符合条件的点D的坐标是或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）易得的解析式为，先证明为等腰直角三角形，作轴于，轴交于，设，则可得，接着利用表示、，所以，然后利用二次函数的性质解决问题； （3）抛物线的对称轴为直线，设，则，，，当是以为直角边的直角三角形时,分类讨论或为斜边，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设解析式为， 代入，， ， 解得， 的解析式为， 对直线， 令，得；令，得， ∴直线过点， 即直线与坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ， 为等腰直角三角形， 作轴于，轴交于， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 设，则可得， ，， ， ， 当时，的最大值为； （3）解：抛物线的对称轴为直线， 设， 则，，， 当是以为直角边，为斜边的直角三角形时， ， 即， 解得， 此时点坐标为； 当是以为直角边，为斜边的直角三角形时， ， 即， 解得， 此时点坐标为是； 综上所述，符合条件的点的坐标是或． 题型38二次函数综合特殊四边形问题 112．（26-27九年级上·江西赣州·阶段检测）如图，抛物线 经过， 两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)连接和，求的面积； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）先求出直线的解析式，进而求出点的坐标，利用抛物线解析式求出点的坐标，利用的面积减去的面积即可； （3）设点，，利用平行四边形对角线互相平分的性质构造方程组，求解即可． 【详解】（1）解：将，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图， ∵， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ， 解得，， ∴点的坐标为， ∴， ∴； （3）解：假设存在， 设点，， ①当为对角线时， ∵平行四边形对角线互相平分， ∴， 解得， ∴； ②当为对角线时， 同理，， 解得， ∴； ③当为对角线时， 同理，， 解得， ∴； 综上所述，假设成立，点的坐标为或或． 113．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图抛物线与轴交于点，与轴交于、两点（点在点的左侧） (1)直接写出点，，的坐标； (2)为抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为，求点的坐标． 【答案】(1)，， (2)点的坐标为 (3)点的坐标为 【分析】（1）分别计算当时，的值，当时，的值，即可求解； （2）由条件可得点在轴下方，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，作轴于点，证明，可得，再可得直线的解析式，再联立二次函数，即可求解； （3）过点、作轴的垂线，过点、作轴的垂线，交于点、、、，可得是矩形，设，，由四边形为平行四边形，由平移可得，代入，可得，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于、两点（点在点的左侧）， 当时，， 解得，， ∴，， 当时，， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， 在中，， ∴， ∵点为抛物线上一点，， ∴点在轴下方， 如图，过点作交的延长线于点，过点作轴于点，作轴于点，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 令， 解得，， 当时，点与点重合； 当时，； ∴点的坐标为． （3）解：如图，过点、作轴的垂线，过点、作轴的垂线，交于点、、、，则是矩形， ∵的对称轴为直线，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点， ∴设，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， 由平移可得，， 把代入得，， 整理得， ∴，，，，，， ∴，，，， ，， ∴ ， ∵四边形面积为， ∴，整理得，， 解得，， ∵， ∴， 当时，，， ∴点的坐标为． 114．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）如图，抛物线与轴的两个交点为，，与y轴交于点C，点为抛物线上的一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积为8时，求点的坐标； (3)当点在线段上方时，求面积的最大值． (4)如图，点E是抛物线对称轴上一点，点F是平面内一点，是否存在点E，点F，使得为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由？ 【答案】(1) (2)P点的坐标为，， (3) (4)存在，坐标为和 【分析】（1）利用待定系数法，解答即可； （2）设，根据题意，得，解绝对值方程即可； （3）过点P作轴交直线于点M，设，则， 且，则， 构造面积的二次函数，解答即可． （4）设，则，根据，确定点E的坐标，再利用平移的思想，确定点F的坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴的两个交点为，， ， 解得， 函数表达式为：． （2）解：根据题意，点为抛物线上的一动点， 设， ，， ， 面积为8， ， 或， 或， 解得或， ∴或或． （3）解：与y轴交于点C， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 过点P作轴交直线于点M， 设，则， 且， 则， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，面积最大，且最大值为． （4）解：根据题意，得点的坐标为，， ， 为菱形， ， 设，则 ， 解得， 当时，根据题意，将点E向右平移4个单位长度即可得到点F，此时， 故； 当时，根据题意，将点E向右平移4个单位长度即可得到点F，此时， 故． 坐标为或， 题型39 黄金分割压轴题 115．（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，点是线段上一点（），如果满足，那么称线段被点黄金分割，点是线段的黄金分割点．完成下列问题： (1)填空：如图1，点是线段的黄金分割点，若，则___________； (2)如图2，已知正方形，求作边的黄金分割点． ①取的中点，连接； ②在的延长线上取点，使； ③以线段为边作正方形． 则点就是线段的黄金分割点．请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段的黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1) (2)如图，点H即为所求 【分析】（1）根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）按题目步骤画图即可. 【详解】（1）解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； （2）略 116．（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）如图，在中，，，D为的中点，是射线上的一点，连接，，F是上一点，且满足，． (1)求证：A； (2)试分析：之间的数量关系； (3)若，求的值． 【答案】(1) 证明：，，D为的中点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 即； (2) 解：，理由如下： ，，D为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ，， ， ； (3) 【分析】本题涉及几何综合题，涉及三角形相似、等腰直角三角形、全等三角形、线段关系等知识点，解题的关键是灵活运用相关知识； （1）可通过证明三角形全等，得到角的关系，，进而推出垂直； （2）分析之间的数量关系，需要结合等腰直角三角形的边长关系，再通过构造相似三角形，利用相似的性质求解即可； （3）首先证明出，利用性质进一步证明，得出，进一步证明，得出为的黄金分割点，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， ， ，， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 即为的黄金分割点， ． 117．（2026·江苏苏州·一模）解答下列各题： (1)如图1，正方形中，点，分别在边，上，且，，相交于点，连接并延长，交于点． ①与的关系为__________； ②若是中点．求证：点是的一个黄金分割点； (2)如图2，矩形中，是边的中点，连接，过点作，垂足为，交于点，连接并延长，交于点．若点是线段的一个黄金分割点，且，求的值． 【答案】(1)①且； ②证明：∵， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴点是的一个黄金分割点． (2) 【分析】（1）①证明，得出，，结合，得出，则，即可证． ②根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，则，根据，得出，结合，得出，则，证明，得出，则，即点是的一个黄金分割点． （2）根据点是线段的一个黄金分割点，且，得出，延长交于点H，证明，得出，证明，得出，则，即可求解． 【详解】（1）解：①且． 证明：在正方形中，，， 又， ， ∴，， ， ， ∴， ． ②略 （2）解：∵点是线段的一个黄金分割点，且， ∴， 延长交于点H， ∵矩形中，是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 题型40 相似三角形的动点问题 118．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在中，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P，Q两点同时移动． (1)当移动几秒时，的面积为？ (2)当移动几秒时，与相似？ 【答案】(1)或秒 (2)或秒 【分析】（1）设移动秒，表示出，，再列方程即可解答； （2）设移动秒，分和两种情况，分别列方程即可解答． 【详解】（1）解：（秒），（秒）， 设移动秒，且，则，， ， 的面积为， 解得，， 所以当移动或秒时，的面积为； （2）解：设移动秒，且，则，， 当时，， 则可得， 解得； 当时，， 则可得， 解得； 所以当移动或秒时，与相似． 119．（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图1，在矩形中，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点． (1)求线段的长： (2)连接，求证：四边形是菱形： (3)如图分别是线段上的动点（与端点不重合），且，是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：如图2中， 四边形是矩形， ，即， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； (3)的值为或 【分析】（1）设，由矩形的性质，折叠的性质和勾股定理得出，的值，然后在中利用勾股定理即可求解； （2）由矩形的性质得出，然后根据平行线分线段成比例可求出的长度，进而可求出的长度，则可证明结论； （3）分两种情况：和，分别利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定及性质得出的长度，然后利用勾股定理求出的长度，最后利用即可求解． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴，，，， 由折叠的性质可知， ， ， ， ． 设，则 ， ， ， 解得 ， ； （2）略 （3）存在，理由如下： ①若， ∵四边形是菱形， ∴ ， ． ， ． ， ， ． ， ． ， ， ； ②若， 过点P作交于点H， ， ． ， ， ． ， ． ∵四边形是菱形， ∴ ． ， ， ， ， ， ， 综上所述，的值为或． 120．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，射线交射线于点． (1)【感知】如图1，当于点，时，求线段的长； (2)【探究】如图2，当时，交于点，交于点，求的值； (3)【拓展】如图3，当时，交于点，交于点，求的值．（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据折叠的性质，得到，根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理求出的长，线段的和差关系求出的长即可； （2）根据菱形的性质，得到，结合，推出，设，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，求出的长，折叠的性质得到，进而求出的长，再根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，求出的长，线段的和差求出的长，即可得出结果； （3）设，则，进而得到，证明，得到，设，，得到，根据角平分线的性质以及同高（等高）三角形的面积比等于底边比，得到，进而得到，过点作，交的延长线于点，根据含30度的直角三角形的性质结合勾股定理求出，，进而得到，在中，利用勾股定理求出，进而得到，即可得到的长，进一步求出最终结果即可. 【详解】（1）解：∵折叠， ∴， ∵于点，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵翻折， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵折叠， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴， ∴，， ∵， ∴平分， ∴点到的距离相等，设点到的距离为， 则， ∴， ∴， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴ ∴， 整理，得， ∴（舍）或， ∴， ∴， ∴. 题型41 相似三角形与二次函数综合应用 121．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点．点在此抛物线上，其横坐标为，连接并延长至点，使．当点不在坐标轴上时，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，这两条垂线交于点． (1)求此抛物线对应的函数解析式． (2)被轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变．如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． (3)当的边经过此抛物线的最低点时，求点的坐标． (4)当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)面积比保持不变，这个面积比为或 (3)或 (4)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意，利用相似三角形的性质求出面积之比即可； （3）经过最低点，即经过顶点，画出示意图，先求出顶点坐标，再利用相似三角形的判定和性质求出的值，最后分两种情况求出点的坐标即可； （4）根据题意，分三种情况进行分析，画出图形找出临界点，利用相似三角形的性质列出一元二次方程，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，设与轴交于点， 根据题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴被轴分成的两部分图形的面积比保持不变，这个面积比为或． （3）解：如图，经过最低点，即经过顶点， 该抛物线的顶点横坐标为，纵坐标为， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴，且相似比为， 根据顶点纵坐标可得，， 则， 即， 解得， ①当时，即为如图所示， 此时， 点在第四象限，故； ②如图所示， 当时，此时点在第一象限，点在第三象限， 此时， 故； 综上，或． （4）解：当时，，解得或， ∵点在此抛物线上，其横坐标为，且点不在坐标轴上， ∴，． ①如图所示，当经过顶点时，过点作轴，交轴于点， 由得，， ∴， 即， 解得（舍去），或， ∴当点向左运动时，满足题意， ∴； ②如图所示，当点在抛物线上时，过点作，交轴于点， 同理，，相似比仍为， 此时，，代入抛物线解析式得，， 解得（舍去）或， 此时，当点向下一直移动，直至到轴（不含交点），即时，都符合题意； ③如图所示，当点在抛物线上时，点在第二象限，点在第四象限， 思路同②，此时，代入抛物线解析式得，， 解得（舍去），或， 此时，当点向右一直移动，直至到轴（不含交点），即时，都符合题意； 综上，的取值范围为或或． 122．（23-24九年级上·福建福州·阶段检测）在平面直角坐标系中中，已知抛物线顶点为，直线与抛物线交于、两点．    (1)当，时， 求抛物线顶点的坐标； 若、满足且，，求的值； (2)如图，过点作轴的平行线交直线于，抛物线的对称轴交直线于点．求证：无论，取何值，为定值． 【答案】(1)①；② (2)1， 如图，过点A作于点E，过点B作于点F，设点A的横坐标为，点B的横坐标为，点D的横坐标为，点C的横坐标为， 根据题意，得， ∴， ∵，    ∴， ∴， ∵， 解得， 故， ∵，， ∴， ∴ ， 这是一个定值， 故与b，c均无关． 【分析】（1）①配方法计算顶点坐标即可． ②设点A的横坐标为，点B的横坐标为，联立得到，利用根与系数关系定理，结合已知，列式计算即可． （2）过点A作于点E，过点B作于点F，设点A的横坐标为,点B的横坐标为，联立得到，设点D的横坐标为,点C的横坐标为，配方确定抛物线的顶点坐标，利用平行线分线段成比例定理，计算比例式即可． 【详解】（1）解：当，时，， ∴抛物线顶点的坐标． 设点A的横坐标为，点B的横坐标为， 联立，得到， ∴， ∵抛物线 顶点的坐标，点C在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理，得， 解得， ∵， 故． （2）解：略． 【点睛】本题考查了抛物线解析式的确定，顶点坐标，三角形的面积，平行线分线段成比例定理，根与系数关系定理，熟练掌握根与系数关系定理，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 123．（四川省绵阳市涪城区跃进北路学校2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线，交抛物线于点C，连接．现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段，相交于点D，过点D作，交于点E，射线交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）． (1)求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点坐标； (2)当时，的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由； (3)当t为何值时，为等腰三角形？请写出解答过程． 【答案】(1) (2)面积总为定值，定值为90 (3) 【分析】(1)令确定点B的坐标，令确定点A的坐标，配方后可确定抛物线的顶点坐标，根据点B、点C是对称点，确定点C的坐标． (2)根据题意，得到，根据，轴得，得到，，结合题意，得到，根据平行线间的距离处处相等，得到点Q到x轴的距离为10，根据即可得证． （3）设点P运动了t秒，则，且，根据两点间距离公式，得到，，，后分三种情况计算求解即可． 【详解】（1）因为， 令，得， 所以点B的坐标为， 令得， 解得， 因为点A在x轴的正半轴， 所以点A的坐标为，抛物线的顶点坐标为， 因为轴， 所以点B、点C是对称点， 所以， 解得， 所以点C的坐标． （2）的面积总为定值．理由如下： 根据题意，得到， 因为，轴， 所以， 所以，， 所以， 根据平行线间的距离处处相等，得到点Q到x轴的距离为10， 所以， 所以的面积总为定值． （3）设点P运动了t秒，则，且， 所以，，， 当时，， 解得舍去，， 因为即， 所以， 所以， 因为， 所以不符合题意，舍去； 当时，， 解得舍去， ， 因为即， 所以， 因为，所以符合题意； 当时，， 解得， 因为，故舍去， 综上所述，当时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了抛物线顶点坐标，抛物线与坐标轴的交点，两点间的距离公式，平行线间的距离，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的分类，无理数的大小比较，熟练掌握配方法，抛物线与坐标轴的交点，等腰三角形的分类计算是解题的关键． 题型42 相似三角形的判定与性质综合问题 124．（26-27九年级上·广西桂林·阶段检测）阅读下面材料： 小波遇到这样一个问题：如图1，在中，是边上的中线，点在边上，与相交于点． (1)小波发现，，过点作，交的延长线于点，通过构造（如图2），经过推理和计算得到的值为___________． (2)参考小波思考问题的方法，解决问题： ①如图3，在中，点在的延长线上，，点在上，且，求的值； ②如图4，在中，点在的延长线上，，点在上，且，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）证明，得到， 再利用，即可得到结论； （2）①过点作，交延长线于点， 证明和，列比例式可得， ； ②过点作交于，证明和，可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图3，过点作，交延长线于点， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图4，过点作交于， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 125．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）在平行四边形中，，点E是射线上一点（不与点B、C重合），，连接，过点C作的平行线，交射线于点G． (1)求证：； (2)如图，当点E在线段上时，求证：； (3)若，且，求的长 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴； (2)证明，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及平行线的性质证明，再由证明即可； （2）先证明，再结合的性质证明即可； （3）分在线段上和点在线段延长线上，然后根据得到，则，设，再表示出，再对和运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：当点在线段上时，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴， 由（2）可得，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， ∴，即 ∴， 解得（舍负）， ∴； 当点在线段延长线上时，如图： 同理可证明，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， ∴，即， ∴， 解得（舍负）， ∴， 综上：的长为或． 126．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，已知在四边形中，，点为边上一点，且，连接与对角线交于点，，点是边的中点，连接． (1)求证：； (2)如图2，当时，连接交对角线于点． ①如果，求的值； ②如果，是等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：延长交于点M， 设， ， ， ，，， ，，， ， ，， 点F是边的中点， ， ， ， 而， ， ， 四边形是平行四边形， ， 即； (2)①；②或 【分析】（1）延长交于点M，设，根据相似三角形的判定与性质，证明，然后推出，再证明四边形是平行四边形，即可得到结论； （2）①过点D作于点H，由可证明，由此进一步证明，得到，然后证明，设，列方程求出，再求出，即可得到答案； ②延长交于点M，连接，先求出，，然后分三种情况讨论：当时，可求得，再用勾股定理求出的长；当时，求出，再用勾股定理求出的长，即可求得答案；当时，可证明这种情况不存在． 【详解】（1）略 （2）解：①过点D作于点H，如图， 由（1）知，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， 又∵， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 或（舍去）， ， 在中，， ， ； ②延长交于点M，连接，如图， 由（1）知，，，， ， ， ，， 当是等腰三角形时， 分三种情况：当时， ， ， ， 在中，； 当时， 由（1）知，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，， ， ； 当时，点O在的垂直平分线上， ， 点M在的垂直平分线上， 垂直平分，不符合题意，这种情况不存在； 综上所述，的长为或． 题型43 三角函数的实际应用题 127．（26-27九年级上·重庆涪陵·阶段检测）重庆涪陵美心红酒小镇景区（大家常称蔺市洋人街），属于国家级旅游景区．景区内有、、、，个景点，如图，景点位于景点的正东方向千米处，是一条横向公路，景点位于景点的正北方向，景点位于景点的北偏东方向千米处，景点又位于景点的西北方向（北偏西）．（参考数据：，，） (1)请求出之间的距离；（结果保留根号） (2)小王，小李在游景区时，小王从景点沿着正东方向匀速直线运动，小李从景点沿着某条直线匀速运动．已知小李的速度与小王的速度之比为，两人同时出发，在公路上某处会合．请问：小李和小王会合时，小王一共走路多少千米？（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)千米． (2)会合时小王一共走了千米． 【分析】（1）作于，由方向角得，在Rt中利用特殊角三角函数值求出、；作交的延长线于，由得为等腰直角三角形，，由求出的长； （2）设两人会合于公路上的点、，由两人同时出发、同时会合，把速度比转化为路程比；在Rt中用勾股定理建立关于的一元二次方程，解方程并根据实际意义检验根． 【详解】（1）解：过点作于，作交的延长线于． ∵景点位于景点的北偏东方向，为正东方向， ∴． 在Rt中，，千米， ∴（千米）， （千米）． ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴（千米），（千米）． ∵景点位于景点的西北方向，且射线指向正北， ∴． 在Rt中，， ∴， ∴（千米）． ∴（千米）． 答：、之间的距离为千米． （2）解：设两人会合于公路上的点，小王一共走了千米，则，小李走的路程为． ∵两人同时出发、同时会合，小李的速度与小王的速度之比为， ∴，即． 由（1）知千米，千米，则． ∵、都在线段上，，， ∴． 在Rt中，， ∴． ∴，即， 整理，得， 解得，． ∵， ∴． ∵， ∴，且，会合点在线段上，符合题意． 答：小李和小王会合时，小王一共走了约千米． 【点睛】本题考查方向角、解直角三角形、矩形的判定与性质、等腰直角三角形、勾股定理以及一元二次方程的应用；解题关键：一是抓住方向角与正东、正北方向互相垂直，把北偏东、北偏西转化为与，通过作垂线构造Rt、Rt与矩形，利用特殊角三角函数值和等腰直角三角形完成线段长度的转化；二是第（2）问抓住“两人同时出发、同时会合”，把速度比转化为路程比，设后在Rt中用勾股定理建立一元二次方程，解出后须检验根的实际意义，取． 128．（26-27九年级上·重庆巴南·阶段检测）某城市快递公司设有中转站，以及三个配送点，，．如图，，，，在同一平面内．已知配送点位于中转站的北偏西方向处，配送点位于中转站的正北方向，且位于配送点北偏东方向，配送点位于中转站的正东方向，经测量，中转站与配送点点的距离为． (1)求配送点到配送点的距离； (2)快递员甲从中转站出发到配送点C送快递，快递员乙从配送点出发到中转站取快递．已知快递员甲和快递员乙的速度之比是，当两快递员的直线距离恰好为时，求快递员甲离中转站的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，分别在含的和中，求得和，得到的长，最终在中利用勾股定理求得的长度即为配送点到配送点的距离； （2）设甲快递员所在的位置为点，乙快递员所在的位置为时，根据快递员甲和快递员乙的速度之比为，得到路程之比为，即，设快递员甲离中转站的距离，则，，在中，利用勾股定理列方程求解，进而求得快递员甲离中转站的距离． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， AI 由题意得：，，，，， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， 答：配送点到配送点的距离为． （2）解：如图所示，设甲快递员所在的位置为点，乙快递员所在的位置为时，两快递员直线距离为， 快递员甲和快递员乙的速度之比为， 相同时间内快递员甲和快递员乙的路程之比为，即． 设快递员甲离中转站的距离，则， ， 在中，， ，化简得， 解得：，． 当时，符合题意，当时，，不合题意，舍去； 答：当两快递员直线距离为时，快递员甲离中转站的距离为． 129．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图1，龙华寺外矗立着一座高塔，小立和同学们组成小组参加了测量该塔高度的课外实践活动． 如图2，同学们利用测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高米，小立在楼阳台处测得塔底的仰角为，在楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为． (1)如图3，为得到仰角与俯角的正切值，小立在练习本上画了一个，，，．在边上取两点、，使，，量得，，．则 ________， ________， ________．（结果保留小数点后两位） (2)请根据小立的数据，计算该塔高度．（结果取整数） (3)小立的测量结果与该塔实际高度存在米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小立提出两条合理的改进建议．（总字数少于50字） 【答案】(1)；； (2)该塔高度约为 (3)①多次测量，然后取平均值；②更换精度更高的测量仪器． 【分析】（1）根据正切的定义进行计算即可； （2）作于点，于点，于点，设，容易判断四边形与四边形都是矩形，则．根据仰角和俯角的定义使用正切函数计算出与，利用的长解方程求出，再计算出与，求和即可得到； （3）从仪器精度和测量误差角度提出建议即可． 【详解】（1）解：在中，， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴； （2）解：如图，作于点，于点，于点，设， 由题意可知，，，，， ∵，，，， ∴， ∴四边形与四边形都是矩形， ∴，，，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴． 答：该塔高度约为． （3）略 题型44 解直角三角形与几何变换综合题 130．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图1，在中，，且． (1)求证：； (2)连接交于点E，过点C作交于点F． ①过点C作分别交､于点G､H，如图2所示．已知，，求和的长； ②如图3，如果F为的中点，求的值． 【答案】(1)证明：取的中点，连接． （已知） 为等腰三角形 为中点 ， ， 在和中 ， ， ， ， 为中点 即 (2)①，;②． 【分析】（1）关键在于利用构造等腰三角形，由“三线合一”性质得到中线兼高线，再证明，从而建立、、之间的关系 （2）①利用和，设参数求解Rt的三边长； 引用第(1)问结论求；证明（注意对应顶点），利用比例关系求；利用等面积法（的面积）求；在Rt中用勾股定理求；利用得到，结合求出； ② 作于点，将面积比转化为高之比，由得到，将转化为， 由得到，将转化为， 由（1），将转化为， 利用为中点的条件建立方程，解出，所求可得 【详解】（1）略 （2）①解：， 设，（） 在Rt中，由勾股定理： ， 即， 解得（负值舍去）， ，， 由第(1)问结论：， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， 由第(1)问证明过程知：为中点，， 在Rt中，由勾股定理： 利用等面积法： ， 在Rt中，由勾股定理： ∴， ， 、、三点共线， 综上：， ②如图，作于点． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设， 为的中点 点在线段上， 又 点在线段上 代入： 整理，得， ∴， ， 即 ． 131．（2026·浙江宁波·二模）如图1，矩形，点，分别在边和上，平分，交于点． (1)记为， ①用含有的代数式表示； ②若，求的值； (2)如图2，连接，若的面积为7，求的面积． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由矩形的性质可得，再根据同角的余角相等得出，由角平分线的定义得出，即可得解；②先证明，再结合正切的定义计算即可得出结果； （2）过点作，由等腰三角形的性质可得，证明，结合相似三角形的性质可得，即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点作，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 132．（2025·上海普陀·三模）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，点E，F，G分别为，，的中点，连结，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)如图1，若，求证：； (3)如图2，当平行四边形为菱形时，若，，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：∵， ∴，， ∵点E，F，G分别为，，的中点， ∴，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； (2) 证明：∵， ∴，互相平分，∴， ∵，∴， ∵点E为中点，∴； (3) 【分析】（1）先利用平行四边形的性质证明，，再利用中位线的性质得出，，，从而可证明，，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明结论成立； （2）先利用平行四边形的性质结合已知证明，再根据点E为中点，根据等腰三角形三线合一可证明结论成立； （3）先利用，，求得，再利用菱形的性质求得，然后证明为等边三角形，再求得，接着求得，从而可利用三角函数求得，最后求出四边形的面积． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点E作于点H， ∵，，∴， ∵菱形，∴，， ∴，∴，∴为等边三角形， ∴，，∴，∴， ∴ ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形三线合一，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，解题关键是熟悉上述知识并能熟练运用求解． 题型45解直角三角形中的动点问题 133．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象交x轴，y轴于A，B两点，且点，，在x轴的正半轴上有一点D，且，点在直线上，连接． (1)求直线的解析式； (2)点E是线段上的一点，点F是x轴上的一动点，连接，，，若，求周长的最小值及此时点F的坐标； (3)在直线上有一点P，且，请直接写出所有符合条件的P点的坐标；并写出求解点P的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)的周长最小为； (3)点的坐标为或； ①当点P在的延长线上时，过点P作轴于点N， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线：上， ∴设， ∴， ∵ ∴， 解得， ∴． ②当点P在线段上时，设为，过点作，交的延长线于点K， 设点的坐标为， ∵， ， ∴， ∴是的平分线， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ， ， ， ∴， 整理，得， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴． 【分析】（1）先求出点A的坐标，然后把A、B两点坐标代入函数解析式，求出k、b的值即可； （2）根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而得到，作轴于点，轴于点，则，得到，进而推出点坐标，作关于轴的对称点，则，连接，进而得到当点在线段上时，的周长最小，求出的长，进而求出的周长的最小值，求出直线的解析式，进而求出点的坐标； （3）分两种情况讨论：①点P在的延长线上．过点P作轴于点N，证明，得到，设，则，，根据列出方程，求解即可；②点P在线段上时，设为，过点作，交的延长线于点K，设点的坐标为，证明，得到，由得到，根据两点间距离公式求出，， ，，代入后求解即可． 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点坐标为， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作轴于点，轴于点，如图所示： 则：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 作关于轴的对称点，连接，则， ∴，， ∴， ∴当点在线段上时，的周长最小为； 根据解析（1）同理可得：直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴当的周长最小时，点F的坐标为； （3）略 134．（2026·河南驻马店·三模）在中，为其对角线，，为边上一动点，连接交于点． (1)[理解]如图1，，当且时，若，则______，______． (2)[探究]如图2，，当且时，若，求的长． (3)[延伸]如图3，，若，，将沿翻折，得对应，对角线交的两边于点和点．当的直角边与对角线平行时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)2； (2) (3)或 【分析】（1）根据，，求出，，证明，求出，在中，根据勾股定理求出，最后在中，根据勾股定理求解即可． （2）当时，平行四边形是矩形，则，， 结合，求出，证明，即可得，即可求解． （3）当时，平行四边形是矩形，则，根据，，得出，，则，勾股定理求出， 由翻折性质得，，即的直角边为、，分两种情况：①当时，②当时，分别合同求解即可． 【详解】（1）解：在平行四边形中，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入，得， 解得：， ∵， ∴， 在中，， 在中，． （2）解： 当时，平行四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（长度为正，负值已舍去）． （3） 解：当时，平行四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 由翻折性质得，，即的直角边为、， 分两种情况：①当时，如图， ∵， ∴， ∴， 根据翻折可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点作交于点， 则， ∴， ∴， ∴， 设， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 由翻折可得， 在中，， ∵， ∴与重合，为矩形对角线，与交于矩形中点， ∴，， ∵，即（为与的交点）， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上，或． 135．（2026·辽宁阜新·一模）如图，四边形是正方形，点F是射线上的动点，连接，以为对角线作正方形，连接，，过点G作交射线于点H． (1)当点F在线段上时，求证： ①； ②． (2)当点F在线段的延长线上时，（1）中的②的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出正确的结论． (3)若，时，请直接写出的长． 【答案】(1) ①证明：∵四边形，四边形都是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； ②证明： ∵为正方形的对角线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴由①得， ∴， ∴； (2)不成立；； (3)或． 【分析】（1）①根据正方形性质证即可；②根据①的结论再证即可得结论； （2）结合图形证，即可得结论； （3）分点E在正方形内部和外部两种情况解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：不成立，正确的结论为：， 如图： 证明： 由（1）得， ∴，， ∵为正方形的对角线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴，， ∴ （3）当，点F在的延长线上， 当点E在正方形内部时，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点E在正方形外部时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的长为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的综合运用，其中对于正方形的性质、全等三角形的证明及性质熟练掌握是解题的关键． 题型46 投影与视图综合应用 136．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）综合与实践：投影中的数学． (1)如图①，当太阳光线与水平地面成时，将木杆水平放置、木杆竖直放置． ①画出木杆，在太阳的照射下，在水平地面形成的投影，（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，则影长 m， m； (2)如图②，水平放置的木杆在路灯灯泡的照射下，在水平地面形成投影． ①画出路灯灯泡的位置（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，其距离地面的高度为，影长，求路灯灯泡距离地面的高度． 【答案】(1)①如图，投影，即为所求；②3，； (2)①如图，灯泡P即为所求； ② 【分析】（1）①根据作一个角等于已知角以及作垂线的步骤作图即可； ②根据平行投影的性质以及直角三角形的性质，勾股定理求解即可； （2）①连接，并延长交点即为点；②过点分别作，，垂足为点，通过以及求解即可． 【详解】（1）解：①作图见答案； ②由平行投影可得，，， ∵地面， ∴ ∴， ∵ ∴，解得（舍负） （2）解：①略 ②过点分别作，，垂足为点， 由题意得，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即路灯灯泡距离地面的高度为． 137．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）“锦瑟无端五十弦，一弦一柱思华年”瑟（如图）是中国古代汉族弹拨乐器，其形制优雅，弦与柱之间暗含几何之妙．如图是平放于琴台之上，图是其部分结构的抽象示意图，垂直于琴台的琴码，撑起了和两段琴弦．已知琴码高度为，． (1)若，求两段琴弦在琴台上的平行投影的长度．（结果精确到，参考数据：，，，） (2)给瑟调音时，为达到最佳音准效果，需要适当垫高并左右移动琴码．如图，将琴码调整至处，此时．已知弦和长度相等，求琴码垫高的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在直角三角形中，已知，，利用正切求出约等于，在直角三角形中，已知，，利用正切求出约等于，加得到的长度约为． （2）在直角三角形中，已知，，利用含 30 度角的直角三角形性质求出，则，在直角三角形中，，利用正弦求出，用减去得到琴码垫高的高度为． 【详解】（1）解：由题意得，，所以，，都是直角三角形． 在中，，，． ， ． 在中，，，． ， ． ． （2）解：在中，，，． 根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半， ． 由题可知． 在中，，， ， ． 琴码垫高的高度为． 138．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动．如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点，并测得点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为．实践小组的相关探究如下： 实践探究一： 如图，将木棒水平放置于板面上，在直线上．在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况． (1)请判断长度的变化情况为：______________； A．逐渐变长  B．逐渐变短 C．不变 (2)请证明（1）的结论； 实践探究二： (3)如图，将木棒垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，当木棒平移至某处时，，请计算此时投影的长度． 【答案】(1)C (2)证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为，从点出发，将木棒沿方向平移，且点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为， ∴、、的值不变， ∴的值不变，即长度不变， ∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变； (3) 【分析】（1）（2）根据中心投影的特点可得，接着证明，利用相似三角形对应边成比例推出，然后由、、均为定值即可得出结论； （3）证明，，再根据中心投影的特点可得，利用相似三角形对应边成比例推出，，代入数据可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为，从点出发，将木棒沿方向平移，且点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为， ∴、、的值不变， ∴的值不变，即长度不变， ∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变； （2）略 （3）解：∵，，，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，即， 解得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴此时投影的长度为． $专题 期中压轴题汇总 高频常考题 题型24 特殊三角形的三角函数 题型1 二次函数的识别 题型25 根据特殊角三角函数值求角度 题型2 根据二次函数的定义求参数 题型26 解直角三角形 题型3 二次函数的图象及性质 题型27 投影 题型4 二次函数图象的平移 题型28 由三视图还原几何体 题型5 二次函数图象与各项系数符号 题型29三视图求最多或最少的小立方体个数 题型6 一次函数与二次函数图象综合判断 解答压轴题 题型7 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型30 实际问题与二次函数图形问题 题型8 待定系数法求二次函数解析式 题型31实际问题与二次函数销售问题 题型9 求抛物线与X轴的交点坐标 题型32实际问题与二次函数图形运动问题 题型10 图象法解一元二次不等式 题型33实际问题与二次函数抛物线图形问题 题型11 二次函数的简单应用 题型34 二次函数综合线段周长问题 题型12 成比例的线段 题型35二次函数综合面积问题 题型13 利用平行线判定相似 题型36二次函数综合角度问题 题型14 利用两角对应相等判定相似 题型37二次函数综合特殊三角形问题 题型15 利用两边对应成比例及夹角相等判定相似 题型38二次函数综合特殊四边形问题 题型16 利用三边对应成比例判定相似 题型39 黄金分割压轴题 题型17 利用相似三角形的性质求解 题型40 相似三角形的动点问题 题型18 相似三角形的判定与性质综合 题型41 相似三角形与二次函数综合应用 题型19 相似多边形 题型42 相似三角形的判定与性质综合问题 题型20 位似多边形 题型43 三角函数的实际应用题 题型21正弦的应用 题型44 解直角三角形与几何变换综合题 题型22 余弦的应用 题型45解直角三角形中的动点问题 题型23 正切值的应用 题型46 投影与视图综合应用 52 / 52 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 二次函数的识别 1．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）下列函数是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·上海静安·阶段检测）下列函数是关于x的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）下列函数中是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 题型2 根据二次函数的定义求参数 4．（2026·上海虹口·一模）已知（为常数）是二次函数，那么的值是（   ） A．3 B． C． D．3或 5．（24-25九年级上·上海普陀·阶段检测）已知二次函数，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．1 D．以上都不对 6．（25-26九年级下·全国·课后作业）若是二次函数，则（　　） A．7 B． C．或7 D．以上都不对 题型3 二次函数的图象及性质 7．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）关于二次函数的图象，下列描述错误的是（     ） A．该抛物线开口向上 B．当时，y有最小值2 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而减小 8．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）已知二次函数的图像上有两点、，其中．下列判断中正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 9．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）某过原点的抛物线如图所示，有以下四个结论，其中正确的有（     ）个 ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 题型4 二次函数图象的平移 10．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）将抛物线 向右平移一个单位后所得抛物线表达式是（     ） A． B． C． D． 11．（26-27九年级上·辽宁鞍山·阶段检测）若抛物线平移得到，则需要（     ） A．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 B．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 C．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位 12．（25-26九年级上·上海虹口·阶段检测）已知抛物线（、、是常数，）的顶点为．某同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而增大；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 题型5 二次函数图象与各项系数符号 13．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）二次函数的图像的顶点在轴正半轴上，开口向下，则、的符号为（     ） A． B． C． D． 14．（2022·陕西·模拟预测）二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 15．（21-22九年级上·上海崇明·期末）已知二次函数的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（    ） A． B．当时， C． D． 题型6 一次函数与二次函数图象综合判断 16．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）已知k、b均为常数，在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（   ） A． B． C． D． 17．（15-16九年级上·北京大兴·期末）抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 18．（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象为（     ） A． B． C． D． 题型7 已知抛物线上对称的两点求对称轴 19．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如果抛物线经过点和，那么抛物线的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 20．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知抛物线经过和两点，则图象的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 21．（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）若二次函数的图象经过点、，则的值为（     ） A． B． C． D．或 题型8 待定系数法求二次函数解析式 22．（26-27八年级上·上海虹口·阶段检测）已知某个二次函数图象经过两点和，且图象的开口向上，如果还需第三个点的坐标来确定这个二次函数的表达式，那么这第三个点的坐标可以是（     ） A． B． C． D． 23．（26-27九年级·上海·暑假作业）已知抛物线过点、和，那么的值是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 24．（2026·上海徐汇·一模）下表给出了二次函数中与之间的一些对应值，则下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标为 B． C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值 题型9 求抛物线与X轴的交点坐标 25．（26-27九年级上·广东江门·阶段检测）抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 26．（26-27九年级上·天津武清·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若，则的值为（     ） A． B． C．1 D．2 27．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）抛物线的对称轴为，该抛物线与x轴交于A、B两点，且点；那么点B为（     ） A． B． C． D． 题型10 图象法解一元二次不等式 28．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）抛物线的部分图像如图所示，若则x的取值范围是 （     ） A． B． C． D．或 29．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 30．（2022·山东枣庄·模拟预测）如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型11 二次函数的简单应用 31．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）一位运动员掷出铅球，铅球离地高度（单位：米）关于水平距离（单位：米）的函数表达式为，此运动员这一掷的成绩是（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 32．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图为喷泉某一截面的水流，可看作抛物线，水流喷出的高度与水平距离之间满足，则水流喷出的最大高度为（     ） A． B． C． D． 33．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）投篮时篮球的飞行轨迹是一条抛物线．现以篮筐为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．已知篮筐到地面的高度为2.8米，如果当篮球运动到距篮筐水平距离3米时到达离地面3.4米的最高点，那么篮球脱手时的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 题型12 成比例的线段 34．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）下列各组线段的长度，成比例的是（     ） A．1，3，3，6 B．2，3，4，5 C．，，， D．，，2，3 35．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，已知△ABC，直线与边AB、AC分别相交于点D、E，直线与边AB、AC分别相交于点F、G，，那么下列比例式一定正确的是（     ） A． B． C． D． 36．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）已知线段a、b，求作线段x，使，正确的作法是（     ） A． B． C． D． 题型13 利用平行线判定相似 37．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，在中，点、分别在边、上，且，若，则等于（     ） A． B． C． D． 38．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）如图，，、相交于点，，且，则的长是（     ） A． B． C． D． 39．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，中，，，，则（     ） A．9 B．10 C．21 D．25 题型14 利用两角对应相等判定相似 40．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，在中，点、分别在边、上，．若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 41．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，小明利用平面镜测量旗杆的高度．他的眼睛到地面的距离m，他与镜子的水平距离m，镜子到旗杆底部的水平距离m，镜面反射满足“入射角等于反射角”．则旗杆的高度为（     ） A．12m B．10m C．15m D．18m 42．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，、分别是的边、上的高，那么图中相似三角形的对数为（     ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 题型15 利用两边对应成比例及夹角相等判定相似 43．（26-27九年级上·广西桂林·阶段检测）如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 44．（26-27九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，在中，点D，E分别在边上，添加一个条件一定能使，则这个条件可以是（     ） A． B． C． D． 45．（26-27九年级上·湖南永州·阶段检测）如图，四边形的对角线，相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（     ） A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 题型16 利用三边对应成比例判定相似 46．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，方格网的小方格是边长为1的正方形，四个三角形的顶点都在格点上，则下列选项中是相似三角形的是（     ）． A．①和② B．③和④ C．②和④ D．①和④ 47．（26-27九年级上·全国·单元复习）若的三边长分别为1，，，的三边长分别为，2，，则与（    ） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．一定全等 48．（26-27九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 题型17 利用相似三角形的性质求解 49．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）如果两个三角形的相似比是，则这两个三角形的面积比是（     ） A． B． C． D． 50．（26-27九年级上·上海·阶段检测）若两个相似三角形的相似比为，则它们的面积比为（     ） A． B． C． D． 51．（22-23九年级上·上海长宁·期中）如图，在中，，，为垂足，且，则（　　） A． B． C． D． 52．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，，则下列式子不正确的是（     ） A． B． C． D． 题型18 相似三角形的判定与性质综合 53．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）如图，在梯形中，，对角线和相交于点E，延长至点F，满足，则以下说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 54．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，在中，点D、E分别在边上，四边形是正方形，点F、G在边上，交于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 题型19 相似多边形 55．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）用放大镜观察三角形时，一定不发生变化的是（     ） A．周长 B．各边的长度 C．面积 D．各内角大小 56．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 57．（25-26九年级上·上海宝山·阶段检测）下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个正方形 题型20 位似多边形 58．（2026·浙江丽水·模拟预测）如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 59．（2026·浙江杭州·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，位似比是，则的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 60．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的面积是25，则四边形的面积是（　　） A．4 B．10 C． D． 题型21正弦的应用 61．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在中，，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 62．（24-25九年级下·福建厦门·阶段检测）如图，在菱形中，分别是的中点，连接，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 63．（26-27九年级上·湖南娄底·阶段检测）在中，，，，则的长为（     ） A． B．6 C．8 D．10 64．（26-27九年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，在中，，则等于（     ） A． B． C． D． 题型22 余弦的应用 65．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图，的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D． 66．（26-27九年级上·湖南株洲·阶段检测）如图，在菱形中，，，，则的长是（     ） A． B． C． D． 题型23 正切值的应用 67．（25-26九年级上·上海·期中）已知中，，，，那么下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 68．（26-27九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，在中，，，，则的长为（     ） A．10 B．6 C． D． 69．（26-27九年级上·山东东营·阶段检测）如图，点在第一象限，与x轴所夹的锐角为，则t的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D． 题型24 特殊三角形的三角函数 70．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）的值等于（     ） A． B． C． D． 71．（26-27九年级上·北京·随堂练习）在中，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 72．（2026·天津东丽·一模） 的值等于（   ） A． B． C． D． 题型25 根据特殊角三角函数值求角度 73．（26-27九年级上·山东淄博·阶段检测）在中，，若，则（     ） A． B． C． D． 74．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知为锐角，且，则等于（     ） A． B． C． D． 75．（26-27九年级上·全国·单元复习）在中，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型26 解直角三角形 76．（24-25九年级上·上海宝山·阶段检测）在中，，用含与m的式子表示．下列四种表示方法中，正确的是（   ） A． B． C． D． 77．（25-26九年级下·山东济南·自主招生）如图，在中，，，，为边的中点，为上一点，为的中点，若，则的长为（     ） A．1 B． C． D． 78．（2026·上海·模拟预测）已知在中，，，，点、分别在边、上（不与端点重合），，垂足为点．当时，的值为（     ） A． B． C． D． 题型27 投影 79．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）长3米的旗杆直立在水平面上，它的阳光下的影子长为米．此时，某棵水杉的影子长为21米，该水杉的高为（   ）米 A．35 B． C．36 D． 80．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 81．（2026·内蒙古包头·二模）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．9 题型28 由三视图还原几何体 82．（2022·黑龙江牡丹江·模拟预测）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体三视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 83．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图是一个几何体的三视图，若这个几何体的表面积是72，则它的体积是（     ） A．28 B．36 C．44 D．48 84．（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型29三视图求最多或最少的小立方体个数 85．（2025·河北邯郸·三模）图-1所示的几何体由若干个相同的小正方体搭成，拿走若干个小正方体后，该几何体的主视图如图-2所示，则拿走的小正方体的个数至少是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 86．（2025·黑龙江牡丹江·二模）由一些大小相同的小正方体搭建的几何体的主视图和俯视图如图所示，这种几何体所需小正方体个数最多是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 87．（25-26九年级下·全国·单元测试）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最多个数与最少个数的差是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型30 实际问题与二次函数图形问题 88．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成三个面积相等的矩形，已知栅栏的总长度为，设较小矩形的宽为（如图），养殖场的总面积为． (1)求关于的函数关系式和自变量的取值范围： (2)当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 89．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图用长为的篱笆围成一个长方形的生物园，一面靠墙（墙足够长，）．长方形的面积为，的长为． (1)写出长方形的面积与之间的函数解析式，并求出的范围； (2)当为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？ 90．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）用长的篱笆围成一个矩形花园，花园的一边利用墙（墙长为），另外三边用篱笆围成．设垂直于墙的一边长为，花园的面积为． (1)求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)花园的面积能否达到？若能，求出x的值；若不能，请说明理由； (3)求花园面积S的最大值． 题型31实际问题与二次函数销售问题 91．（25-26九年级上·辽宁朝阳·阶段检测）某商品的进价为每件元，市场调查发现，该商品每周的销售量（件）与销售单价（元/件）有如下关系：．设这种商品每周的销售利润为（元）． (1)请直接写出与之间的函数关系式； (2)当销售价定为每件多少元时，才能使一周的销售利润最大？ 最大利润是多少？ (3)该商家计划在进货成本不超过元的前提下，想要每周能获得元的销售利润，销售价应定为每件多少元？ 92．（26-27九年级上·辽宁大连·阶段检测）春节期间，各影院上映多部影片，宿迁某影院每天运营成本为1500元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），部分数据如表所示： 电影票售价（元/张） 售出电影票数量（张） (1)请求出与之间的函数关系式： (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为（单位：元），求与之间的函数关系式： (3)该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 93．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）某电影院销售《牛来》电影票，已知每张电影票的成本为15元．若每张以30元销售，平均每天可售出50张；价格每降低1元，平均每天多售出5张．设每张降价元（为整数），每天销售量为张． (1)直接写出每天销售量与之间的函数关系式：__________；（不写的取值范围） (2)若某天销售《牛来》电影票的利润为770元，为了让观众获得更多实惠，该电影院每张《牛来》电影票的定价为多少元？ (3)为了促进市场良性竞争，《牛来》电影票的销售单价不得高于28元，不得低于22元，当销售单价为多少元时利润最大？最大利润是多少？ 题型32实际问题与二次函数图形运动问题 94．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，在中，，，，P点在上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程： (1)经过多少时间后，P、Q两点的距离为？ (2)经过多少时间后，的面积为？ (3)何时的面积最大，最大面积是多少？ 95．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，正方形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限．将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点O、C、D、E的对应点分别为、、、．设，正方形与重叠部分的面积为S． (1)点B的坐标为_______，点D的坐标为_______. (2)当点与点A重合时，求t的值. (3)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． 96．（26-27九年级上·吉林松原·阶段检测）如图，在矩形中，，，动点P从点A出发，沿A→B→C的方向运动到点C停止，运动速度为，若射线，分别是正北方向和正东方向，在点P运动过程中，沿它的南偏东方向画一条射线交矩形的边于点E，过点E作直线交矩形的边于点F，连接，设的面积为，点P运动的时间为（线段可视为面积为0的三角形）． (1)当点F与矩形顶点重合时，； (2)求当E在线段上时，y关于x的函数解析式； (3)当点P在线段上，且将矩形分成两部分图形的面积比为时，直接写出x的取值范围． 题型33实际问题与二次函数抛物线图形问题 97．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，某粮仓的横截面由一段抛物线和矩形构成，其中．以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知抛物线对应的函数解析式为，为平行于地面的一张除湿板． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)若除湿板的长度为，求除湿板与仓顶间的距离． 98．（26-27九年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，小明在平地向上抛掷一个小球，小球的运动路线是抛物线．以小球抛出点在地面的投影为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系．已知小球抛出时的高度为，抛出后水平前进时，达到最大高度．设小球运动的水平距离为（单位：），竖直高度为（单位：）． (1)求小球运动轨迹对应的二次函数解析式； (2)小球抛出后，水平前进多少米时，高度恰好为？ (3)小明前方1米处停了一辆长3米，高2米的大货车（车头方向为轴正方向）；小球能否越过大货车安全落地？ 99．（26-27九年级上·全国·课后作业）某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管长．在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为时达到最高，最大高度为． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）对应的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)经测量，水池的最大半径只有，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，使喷出的抛物线形水柱仍在与水池中心的水平距离为处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度． 题型34 二次函数综合线段周长问题 100．（26-27九年级上·上海静安·阶段检测）如图，二次函数的图像与开口向下的二次函数图像均过点，． (1)求图像对应的函数表达式； (2)若图像过点，点位于第一象限，且在图像上，直线过点且与轴平行，与图像的另一个交点为（在左侧），直线与图像的交点为，（在左侧）．当时，求点的坐标； 101．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）已知抛物线经过点、，与y轴交于点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴，交直线于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标； (3)设抛物线的对称轴为直线l，在直线l上是否存在点N，使？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 102．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图所示，抛物线的对称轴为，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，直线与该抛物线交于D，E两点（点D在第二象限，点E在第四象限） (1)求该抛物线的解析式 (2)求D，E两点的坐标 (3)“笛卡尔爱心曲线”是由法国数学家笛卡尔于17世纪提出的，如图所示，将抛物线在直线上方的图像沿翻折就会得到“心型线”，点P是上方的抛物线上的一动点，P的对应点为点Q，连接交于点G． ①当四边形是菱形时，求点P的坐标； ②在点P的运动过程中，求线段的最大值． 题型35二次函数综合面积问题 103．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)点P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 104．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知抛物线的图像与轴交于，，与轴交于点，、为抛物线上的两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若在抛物线的对称轴上存在一点，连接、，使的值最小，求点的坐标； (3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 105．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线交x轴于，，与y轴交于点C．      (1)求b，c的值； (2)已知P为抛物线一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点恰好在直线上，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，平移抛物线，使其顶点始终在直线上，且与相交于点Q，求面积的最小值． 题型36二次函数综合角度问题 106．（2026·山东临沂·一模）抛物线过点，与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图，连接、，在直线上方的抛物线上找点P，使得，求出P点的坐标． 107．（2022·上海松江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在x的正半轴和y的正半轴上，，抛物线经过A、B两点，顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)将绕点A顺时针旋转后，点B落到点C的位置，求四边形的面积； (3)将该抛物线沿y轴向上或向下平移，使其经过点C，若点P在平移后的抛物线上，且满足，求点P的坐标． 108．（2023·辽宁大连·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是的中点，点E为x轴上一点，F为对称轴上一点，一动点P从点D出发，沿运动，若要使点P走过的路径最短，请求出点E、F坐标，并求出最短路径； (3)如图2，直线与抛物线交于点M，问抛物线上是否存在点Q（点M除外），使得？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，说明理由． 题型37二次函数综合特殊三角形问题 109．（23-24九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点，其顶点为C，对称轴为直线． (1)求顶点C的坐标及抛物线的解析式； (2)已知点M为y轴上的一个动点，是否存在点M使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 110．（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，二次函数的图象与直线交于点和点，过点B作平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m． (1)抛物线的对称轴为直线______，______； (2)当点M在直线上方时，若，求m的值； (3)设N是直线上的点，是否存在点M，N，使得是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 111．（26-27九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，点坐标为，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴下方的抛物线上，过点的直线与直线交于点，与轴交于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上一点．当是以为直角边的直角三角形时，直接写出点的坐标． 题型38二次函数综合特殊四边形问题 112．（26-27九年级上·江西赣州·阶段检测）如图，抛物线 经过， 两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)连接和，求的面积； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 113．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图抛物线与轴交于点，与轴交于、两点（点在点的左侧） (1)直接写出点，，的坐标； (2)为抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图，点在抛物线对称轴上，且位于轴上方，点、为第四象限抛物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为，求点的坐标． 114．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）如图，抛物线与轴的两个交点为，，与y轴交于点C，点为抛物线上的一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当面积为8时，求点的坐标； (3)当点在线段上方时，求面积的最大值． (4)如图，点E是抛物线对称轴上一点，点F是平面内一点，是否存在点E，点F，使得为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由？ 题型39 黄金分割压轴题 115．（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，点是线段上一点（），如果满足，那么称线段被点黄金分割，点是线段的黄金分割点．完成下列问题： (1)填空：如图1，点是线段的黄金分割点，若，则___________； (2)如图2，已知正方形，求作边的黄金分割点． ①取的中点，连接； ②在的延长线上取点，使； ③以线段为边作正方形． 则点就是线段的黄金分割点．请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段的黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）． 116．（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）如图，在中，，，D为的中点，是射线上的一点，连接，，F是上一点，且满足，． (1)求证：A； (2)试分析：之间的数量关系； (3)若，求的值． 117．（2026·江苏苏州·一模）解答下列各题： (1)如图1，正方形中，点，分别在边，上，且，，相交于点，连接并延长，交于点． ①与的关系为__________； ②若是中点．求证：点是的一个黄金分割点； (2)如图2，矩形中，是边的中点，连接，过点作，垂足为，交于点，连接并延长，交于点．若点是线段的一个黄金分割点，且，求的值． 题型40 相似三角形的动点问题 118．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在中，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P，Q两点同时移动． (1)当移动几秒时，的面积为？ (2)当移动几秒时，与相似？ 119．（26-27九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图1，在矩形中，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点． (1)求线段的长： (2)连接，求证：四边形是菱形： (3)如图分别是线段上的动点（与端点不重合），且，是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 120．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，射线交射线于点． (1)【感知】如图1，当于点，时，求线段的长； (2)【探究】如图2，当时，交于点，交于点，求的值； (3)【拓展】如图3，当时，交于点，交于点，求的值．（用含的代数式表示）． 题型41 相似三角形与二次函数综合应用 121．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点．点在此抛物线上，其横坐标为，连接并延长至点，使．当点不在坐标轴上时，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，这两条垂线交于点． (1)求此抛物线对应的函数解析式． (2)被轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变．如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． (3)当的边经过此抛物线的最低点时，求点的坐标． (4)当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 122．（23-24九年级上·福建福州·阶段检测）在平面直角坐标系中中，已知抛物线顶点为，直线与抛物线交于、两点．    (1)当，时， 求抛物线顶点的坐标； 若、满足且，，求的值； (2)如图，过点作轴的平行线交直线于，抛物线的对称轴交直线于点．求证：无论，取何值，为定值． 123．（四川省绵阳市涪城区跃进北路学校2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线，交抛物线于点C，连接．现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段，相交于点D，过点D作，交于点E，射线交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）． (1)求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点坐标； (2)当时，的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由； (3)当t为何值时，为等腰三角形？请写出解答过程． 题型42 相似三角形的判定与性质综合问题 124．（26-27九年级上·广西桂林·阶段检测）阅读下面材料： 小波遇到这样一个问题：如图1，在中，是边上的中线，点在边上，与相交于点． (1)小波发现，，过点作，交的延长线于点，通过构造（如图2），经过推理和计算得到的值为___________． (2)参考小波思考问题的方法，解决问题： ①如图3，在中，点在的延长线上，，点在上，且，求的值； ②如图4，在中，点在的延长线上，，点在上，且，求的值． 125．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）在平行四边形中，，点E是射线上一点（不与点B、C重合），，连接，过点C作的平行线，交射线于点G． (1)求证：； (2)如图，当点E在线段上时，求证：； (3)若，且，求的长 126．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）如图，已知在四边形中，，点为边上一点，且，连接与对角线交于点，，点是边的中点，连接． (1)求证：； (2)如图2，当时，连接交对角线于点． ①如果，求的值； ②如果，是等腰三角形时，请直接写出的长． 题型43 三角函数的实际应用题 127．（26-27九年级上·重庆涪陵·阶段检测）重庆涪陵美心红酒小镇景区（大家常称蔺市洋人街），属于国家级旅游景区．景区内有、、、，个景点，如图，景点位于景点的正东方向千米处，是一条横向公路，景点位于景点的正北方向，景点位于景点的北偏东方向千米处，景点又位于景点的西北方向（北偏西）．（参考数据：，，） (1)请求出之间的距离；（结果保留根号） (2)小王，小李在游景区时，小王从景点沿着正东方向匀速直线运动，小李从景点沿着某条直线匀速运动．已知小李的速度与小王的速度之比为，两人同时出发，在公路上某处会合．请问：小李和小王会合时，小王一共走路多少千米？（结果保留小数点后一位） 128．（26-27九年级上·重庆巴南·阶段检测）某城市快递公司设有中转站，以及三个配送点，，．如图，，，，在同一平面内．已知配送点位于中转站的北偏西方向处，配送点位于中转站的正北方向，且位于配送点北偏东方向，配送点位于中转站的正东方向，经测量，中转站与配送点点的距离为． (1)求配送点到配送点的距离； (2)快递员甲从中转站出发到配送点C送快递，快递员乙从配送点出发到中转站取快递．已知快递员甲和快递员乙的速度之比是，当两快递员的直线距离恰好为时，求快递员甲离中转站的距离． 129．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图1，龙华寺外矗立着一座高塔，小立和同学们组成小组参加了测量该塔高度的课外实践活动． 如图2，同学们利用测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高米，小立在楼阳台处测得塔底的仰角为，在楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为． (1)如图3，为得到仰角与俯角的正切值，小立在练习本上画了一个，，，．在边上取两点、，使，，量得，，．则 ________， ________， ________．（结果保留小数点后两位） (2)请根据小立的数据，计算该塔高度．（结果取整数） (3)小立的测量结果与该塔实际高度存在米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小立提出两条合理的改进建议．（总字数少于50字） 题型44 解直角三角形与几何变换综合题 130．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图1，在中，，且． (1)求证：； (2)连接交于点E，过点C作交于点F． ①过点C作分别交､于点G､H，如图2所示．已知，，求和的长； ②如图3，如果F为的中点，求的值． 131．（2026·浙江宁波·二模）如图1，矩形，点，分别在边和上，平分，交于点． (1)记为， ①用含有的代数式表示； ②若，求的值； (2)如图2，连接，若的面积为7，求的面积． 题型45解直角三角形中的动点问题 133．（26-27九年级上·重庆·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线：的图象交x轴，y轴于A，B两点，且点，，在x轴的正半轴上有一点D，且，点在直线上，连接． (1)求直线的解析式； (2)点E是线段上的一点，点F是x轴上的一动点，连接，，，若，求周长的最小值及此时点F的坐标； (3)在直线上有一点P，且，请直接写出所有符合条件的P点的坐标；并写出求解点P的其中一种情况的过程． 134．（2026·河南驻马店·三模）在中，为其对角线，，为边上一动点，连接交于点． (1)[理解]如图1，，当且时，若，则______，______． (2)[探究]如图2，，当且时，若，求的长． (3)[延伸]如图3，，若，，将沿翻折，得对应，对角线交的两边于点和点．当的直角边与对角线平行时，请直接写出线段的长． 135．（2026·辽宁阜新·一模）如图，四边形是正方形，点F是射线上的动点，连接，以为对角线作正方形，连接，，过点G作交射线于点H． (1)当点F在线段上时，求证： ①； ②． (2)当点F在线段的延长线上时，（1）中的②的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出正确的结论． (3)若，时，请直接写出的长． 题型46 投影与视图综合应用 136．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）综合与实践：投影中的数学． (1)如图①，当太阳光线与水平地面成时，将木杆水平放置、木杆竖直放置． ①画出木杆，在太阳的照射下，在水平地面形成的投影，（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，则影长 m， m； (2)如图②，水平放置的木杆在路灯灯泡的照射下，在水平地面形成投影． ①画出路灯灯泡的位置（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，其距离地面的高度为，影长，求路灯灯泡距离地面的高度． 137．（26-27九年级上·浙江宁波·阶段检测）“锦瑟无端五十弦，一弦一柱思华年”瑟（如图）是中国古代汉族弹拨乐器，其形制优雅，弦与柱之间暗含几何之妙．如图是平放于琴台之上，图是其部分结构的抽象示意图，垂直于琴台的琴码，撑起了和两段琴弦．已知琴码高度为，． (1)若，求两段琴弦在琴台上的平行投影的长度．（结果精确到，参考数据：，，，） (2)给瑟调音时，为达到最佳音准效果，需要适当垫高并左右移动琴码．如图，将琴码调整至处，此时．已知弦和长度相等，求琴码垫高的高度． 138．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动．如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点，并测得点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为．实践小组的相关探究如下： 实践探究一： 如图，将木棒水平放置于板面上，在直线上．在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况． (1)请判断长度的变化情况为：______________； A．逐渐变长  B．逐渐变短 C．不变 (2)请证明（1）的结论； 实践探究二： (3)如图，将木棒垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，当木棒平移至某处时，，请计算此时投影的长度． $