期中复习压轴专题01 解答题分类训练（29种类型145道）（压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

期中复习压轴专题01 解答题分类训练 （新沪教版九年级，29种类型145道） 范围：第27章—第28章 知识点一 二次函数的定义 1．（25-26九年级上·吉林·期中）若二次函数的开口向下，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可知，，求得的值即可． 【详解】解：二次函数的开口向下， ，， 解得，， ． 2．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． （2）解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 3．（25-26九年级上·广西梧州·期中）（1）若函数是关于的二次函数，求的值； （2）已知二次函数的图像与轴只有一个交点，求该交点的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了二次函数的定义、二次函数与坐标轴交点问题等知识，熟练掌握相关知识，分情况讨论是解题关键． （1）根据题意可知且，求解即可获得答案； （2）根据题意得，解得，然后分情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：（1）根据题意得：，解得， 又， ， 的值是； （2）根据题意得：，解得， 当时，， 此时交点坐标为， 当时，， 此时交点坐标为， 综上所述，交点坐标是或． 4．（25-26九年级上·广东中山·期中）若函数是二次函数． (1)求k的值； (2)当时，求自变量x的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程． （1）根据二次函数的定义得到，，进而求解即可； （2）当时，，求解即可． 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴，， 即； （2）解：由（1）可得，该二次函数为， 当时， ∴， 解得：，． 5．（25-26九年级上·云南玉溪·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)当，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据二次函数的定义，进行求解即可； （2）根据二次函数的增减性，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴且， ∴； （2）由（1）可知，二次函数的解析式为， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为5， ∴． 知识点二 二次函数的图象与性质 6．（24-25九年级上·天津北辰·期中）已知抛物线． (1)把表格补充完整； (2)顶点坐标 ，对称轴 ； (3)画出该二次函数的图象； (4)当时，的取值范围是 ； (5)当时，的取值范围是 ． 【答案】(1) 表格补充完整如下： (2)， (3) 如图，即为所求； (4) (5)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质，并数形结合． （1）根据二次函数图象上点的坐标特征，求出坐标点中的对应值，再补充表格即可； （2）将二次函数的解析式化为顶点式，即可求解； （3）根据表格中的数据画图函数图象即可； （4）根据（3）中的函数图象求解即可； （5）根据（3）中的函数图象求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：，； （2）抛物线， 顶点坐标为，对称轴为直线， 故答案为：，； （3）略 （4）由（3）中的函数图像可得：当时，的取值范围是， 故答案为：； （5）由（3）中的函数图像可得：当时，的取值范围是或， 故答案为：或． 7．（24-25九年级上·北京通州·期中）已知二次函数（m为常数）的图象经过点，． (1)求此二次函数图象的对称轴（用含m的代数式表示）； (2)请判断，的大小关系并说明理由． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴点到对称轴的距离比到对称轴的距离远． ∵抛物线开口向上， ∴． 【分析】此题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）利用对称轴公式求解即可； （2）根据各点到对称轴的距离可判断函数值的大小． 【详解】（1）解：∵二次函数（m为常数） ∴二次函数的对称轴为直线； （2）略 8．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知抛物线，与x轴的交点A，B（点A在点B的左侧）． (1)若时，求点A，B的坐标． (2)若，求m的值及抛物线的对称轴． 【答案】(1) (2)，直线 【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，求二次函数的对称轴，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）求出函数值为0时x的值即可得到答案； （2）令函数值为0得到，则，，根据得到，则可得方程，解方程求出m的值，进而求出对称轴即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线解析式为， 在中，当时，， 解得或， ∴； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴抛物线的对称轴为直线． 9．（2025·山东临沂·一模）已知二次函数． (1)若函数图象经过点，求抛物线的对称轴． (2)若，当时，随的增大而增大，求的取值范围． (3)若，两点都在二次函数的图象上，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，， 理由： 抛物线的对称轴为直线， ， ∵，， ∴点A，点B在对称轴的右侧， ①当时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ， ． ②当时，在对称轴右侧，随的增大而减小， ， ． 综上，当时，；当时，． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）先把点代入二次函数求出二次函数解析式，然后求出抛物线的对称轴即可； （2）根据当时，随的增大而增大，得出抛物线在对称轴右侧随的增大而增大，根据，列出关于a的不等式，解不等式即可； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，根据，，得出点A，点B在对称轴的右侧，分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：将点代入二次函数， 得， 解得， 抛物线的表达式为， 抛物线的对称轴为直线． （2）解： ，当时，随的增大而增大， 抛物线在对称轴右侧随的增大而增大， 抛物线的对称轴为直线， ， 解得：， ∴ （3）略 10．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）已知二次函数，在平面直角坐标系中画出该函数的图象，并将轴下方的图象沿轴翻折，得到的图象与轴上方的部分组合得到新的函数图象，设这个新的函数为． (1)请在下面的平面直角坐标系中画出的图象． (2)结合的函数图象回答下面问题： ①直接写出随增大而增大的自变量的取值范围． ②当直线与有四个交点时，求出的取值范围． 【答案】(1)函数的图象如下： (2)①或；② 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据列表、描点、连线及折叠的性质可进行作图； （2）①根据（1）中函数图象可直接进行求解； ②由题意先得出将在轴下方的图象沿轴翻折，得到的函数解析式为，然后找到直线与相交的临界点，进而问题可求解． 【详解】（1）解：根据函数可列表如下： x …… 0 1 2 4 ….. …… 5 0 0 5 ….. …… 5 0 0 5 …… 描点，连线，画出函数图象，略； （2）解：①由（1）中函数图象可知： 随增大而增大的自变量的取值范围为或； ②由（1）中图象可知：的顶点坐标为，开口向上， ∴将在轴下方的图象沿轴翻折，得到的函数图象的顶点坐标为，开口向下，则该函数图象的解析式为， 当直线恰好过点时，即，解得：，此时直线与有3个交点， 当直线与所在图象相切时，则有： ，整理得：， ∴，解得：， 此时直线与有3个交点， ∴要使直线与有四个交点，则需满足． 知识点三 二次函数的最值 11．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，求函数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的对称轴与函数表达式的求解、二次函数在区间内的取值范围，解题的关键是掌握二次函数的对称轴公式与单调性． （1）利用二次函数对称轴公式求出的值，进而得到函数表达式； （2）根据二次函数的开口方向与对称轴，分析区间内的最值，确定取值范围． 【详解】（1）解：二次函数中，，对称轴为， 代入对称轴公式得： ， 解得：， 二次函数的表达式为； （2）解：将二次函数配方为顶点式： 由顶点式可知，该二次函数的开口向上（因为），顶点坐标为， 即当（在区间内）时，取得最小值4， 当时，， 时，， 函数开口向上，在区间内，离对称轴越远，函数值越大． 当时，函数取得区间内的最大值． 综上，当时，函数的取值范围是． 12．已知二次函数（，为常数）. （1）当，时，请判断抛物线与轴的交点情况，并说明理由； （2）当时， ①请求出抛物线的顶点的坐标（用含的式子表示）；并直接写出点所在的函数图象解析式； ②若在自变量满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为6，求的值． 【答案】（1）抛物线y=x2+mx+t与x轴有两个交点；（2）①顶点P的坐标为，顶点P所在函数图象的解析式为，y=3x2；②m的值为或． 【分析】（1）由题意求出判别式的值即可判定．Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点； （2）①根据题意直接利用配方法进行分析即可解决问题；②根据题意当t=m2时，写出解析式，分三种情况进行讨论即可． 【详解】解：（1）∵m=2，t=-3， ∴抛物线解析式为y=x2+2x-3， ∵Δ=22-4×1×（-3）=16＞0， ∴抛物线y=x2+mx+t与x轴有两个交点． （2）①t=m2时，抛物线解析式为， ∴顶点P的坐标为， 顶点P所在函数图象的解析式为y=3x2． ②当t=m2时，二次函数解析式为y=x2+mx+m2， 图象开口向上，对称轴为直线， 当＜m，即m＞0时， 在自变量x的值满足m≤x≤m+3的情况下，y随x的增大而增大， ∴当x=m+3时，y=（m+3）2+m•（m+3）+m2=3m2+9m+9为最大值， ∴3m2+9m+9=6，解得，m1=（舍去），m2=（舍去）； 当m≤≤m+3时，即-2≤m≤0，则有： Ⅰ、当时，即m+3离抛物线的对称轴更远，可得， ∴当x=m+3时，y=3m2+9m+9为最大值， ∴3m2+9m+9=6，解得，m1=（舍去），m2=； Ⅱ、当时，即m离抛物线的对称轴更远， ∴当x=m时，为最大值， ∴，解得：（不符合题意，舍去）； 当＞m+3，即m＜-2， 在自变量x的值满足m≤x≤m+的情况下，y随x的增大而减小， 故当x=m时，y=m2+m•m+m2=3m2为最大值， ∴3m2=6．解得，m1=-（舍去），m2=（舍去）； 综上可得m的值为或． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 13．（2026·浙江丽水·模拟预测）已知直线交抛物线（常数）于点，，． (1)求抛物线的对称轴． (2)当抛物线最高点到直线的距离为9时， ①求的值； ②若点，是范围内抛物线上的两点，且，．当取得最大值时，记点向右平移3个单位后的点为，求线段的中点的坐标． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】（1）代入抛物线对称轴公式求解即可； （2）①利用抛物线最高点到直线的距离为这个条件结合抛物线顶点坐标与直线的表达式列出且可求出的值，联立抛物线和直线结合即可得到的值；②取得最大值，在内先让尽可能大，取顶点纵坐标时最大，再让尽可能小，从而可得到点，的坐标，由平移性质得到的坐标，再利用中点坐标公式求得线段的中点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为； （2）解：①直线过点，， 直线的表达式为， ， 该抛物线的顶点为， 抛物线最高点到直线的距离为， ，， ，即，解得或（舍去）， 抛物线为，直线为， 联立抛物线和直线得， 化简得，即， 解得，， ， ； ② 取得最大值， 最大为当时，， ， 最小为当时，， ，， 点向右平移个单位后的点为， ，即， 线段的中点的坐标为，即． 14．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数（，为常数，）的图象经过点． (1)求该二次函数图象的对称轴． (2)若该二次函数的图象经过点，，求的最大值． (3)当时，该二次函数的图象经过点，，且，直接写出的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) (3)不存在满足条件的 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质． （1）点代入，即可得出a、b的关系式，再根据对称轴的公式即可作答； （2）将，代入，结合，用a表示出，据此即可作答； （3）将，代入，表示出、，再根据，即可作答． 【详解】（1）解：将点代入，有：， ∴， 则抛物线的对称轴为：； （2）将，代入， 有：，， ∵， ∴，， ∴， 当时，有最大值，最大值为：； （3）∵， ∴， 将，代入， 有：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即有，即不存在满足条件的实数． 15．（26-27九年级上·辽宁·期中）【问题背景】教材第54页《数学活动》 观察下列两个两位数（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，如：，，…，，． 能用二次函数的知识证明的积最大． 【类比探究】 观察下列两数相乘的运算，如，，，…，，，，，，…，，，． 请你猜想，积最大的是_______________． 【归纳结论】和为定值的两个正数相乘，当这两个数相等时，它们的乘积最大． 【问题解决】 (1)请补全【类比探究】中的猜想：积最大的是_________． (2)用你所学的知识证明【归纳结论】的正确性，（提示：设其中一个正数为，两个正数的和为．） (3)如图，四边形的对角线互相垂直，垂足为，且，求四边形的面积的最大值． 【答案】(1) (2)证明：设其中一个正数为，则另一个正数为，积为， ， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，有最大值， 即当时，积最大，此时积为， ∴当两个数相等时，乘积最大． (3)50 【分析】（1）根据所给等式可得结论； （2）设其中一个正数为，则另一个正数为，积为，根据二次函数图象与性质可得结论； （3）先求出四边形的面积为，继而推导出当时，取得最大值，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得：积最大的是， （2）略 （3）解：∵四边形的对角线互相垂直， ∴四边形的面积． ∵， 根据“若两个正数和为定值，当两个正数相等时，这两个正数的积最大”， ∴当时，取得最大值， ∴四边形面积的最大值． 答：四边形面积的最大值为50． 知识点四 利用二次函数的对称性求最短路径 16．（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标； (3)若点是抛物线的顶点，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)面积为3． 【分析】（1）利用待定系数法，将已知点和的坐标代入解析式，建立方程组求解和． （2）利用抛物线的对称性，将转化为，从而将求的最小值转化为求的最小值．根据“两点之间线段最短”，当三点共线时，和最小，此时点即为直线与对称轴的交点． （3）先求出顶点的坐标，利用割补法（或铅锤法）将的面积转化为两个以轴为底的三角形面积之和进行计算． 【详解】（1）解：将点代入，得， 将点和代入，得， ， ， ， ， 该抛物线解析式为． （2）解：由可知，对称轴为直线， 点与点关于对称轴对称，点在对称轴上， ， ， 当三点共线时，最小，即最小， 设直线的解析式为， 将代入得， ， 解得， 直线解析式为， 当时，， 此时点坐标为． （3）解：当时，， 顶点的坐标为， 设直线与对称轴交于点，由（2）知， ， 答：面积为3． 17．（26-27九年级上·天津南开·阶段检测）如图，已知，二次函数的图象与轴交于、两点，其中点坐标为．与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，求出当最小时点的坐标； (3)若抛物线上有一动点，点在直线的下方，当的面积最大时，求点坐标和的最大面积． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)当最小时点的坐标为 (3)点的坐标为，最大面积为 【分析】（1）利用待定系数法将点的坐标代入求解； （2）根据对称性将求的最小值转化为求的最小值，利用两点之间线段最短求解； （3）过点向轴作垂线，交于点，将点设出来，利用两点之间的距离求出的长度，再将的面积表示出来，利用二次函数的顶点式求出最值． 【详解】（1）解：分别将点，代入二次函数中， 得，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：由题意知，点关于对称轴对称， ∴， 则， 当三点共线时，取得最小值， 此时点为直线与抛物线对称轴的交点； 设直线的表达式为， 分别将，代入中， 得，解得， 直线的表达式为； 二次函数的对称轴为， 将代入，解得， 点的坐标为． （3）解：如图所示，过点向轴作垂线，交于点， ， 设点的坐标为，则点的横坐标为， 将代入，解得， ∴点的坐标为， ∵点在直线的下方， ∴， 则， ∴， ∴当时，取得最大值， 此时，， ∴点的坐标为，最大面积为． 18．（26-27九年级上·甘肃兰州·阶段检测）综合与实践 如图所示，已知抛物线的对称轴为直线，且经过两点，与x轴的另一个交点为B． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为抛物线上的一个动点，求使的面积为6的点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求和的最小值及点M的坐标． 【答案】(1) (2)或或或； (3)和的最小值为， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先根据抛物线的对称性求得点B坐标，进而求得，设，根据坐标与图形性质和三角形的面积公式列方程求解即可； （3）根据抛物线的对称性得到，则，当点B、M，C共线时，取等号，此时的值最小，最小值为；求得直线的函数解析式为，求出当时的y值即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴， 设， ∵的面积为6， ∴，即， 解得，，，， ∴满足条件的点P的坐标为或或或； （3）解：∵点A和点B关于对称轴对称，点M在对称轴上， ∴， ∴，当点B、M，C共线时，取等号，此时的值最小，最小值为； 如图， 设直线的函数解析式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为， 当时，， ∴点M的坐标为． 19．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)点P是抛物线对称轴上一动点，连接，，求最小时点P的坐标； (3)点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，请你画图观察，直接写出点M的横坐标的取值范围． 【答案】(1)， (2)点的坐标为 (3) 或 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）根据对称性得到，进而得到，进而得到当点在线段上时，的值最小，进行求解即可； （3）画出图象，数形结合进行求解即可. 【详解】（1）解：把点分别代入抛物线与直线，得： ，， ∴； （2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为，直线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点的横坐标为1， 又∵抛物线与轴交于两点， ∴点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小，为的值，即点在直线上， ∴当时，， ∴； （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，， 联立，解得或， ∴， ∴两点间的横坐标之间的距离为3， ∵将点M向左平移3个单位长度得到点N， ∴轴或在轴上， ∴当点与点重合时，此时线段与抛物线只有一个公共点，当点在线段之间时，线段与抛物线只有一个公共点，当点与点重合时，线段与抛物线有两个公共点，当恰好过抛物线的顶点，即时，此时线段与抛物线只有一个公共点， 综上：或. 20．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，其中A点坐标为，与轴相交于点，另外抛物线经过点，M为它的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点N是抛物线对称轴上的一个动点，当最小时，求N点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线对称轴为直线，当点N、B、C三点共线时，值最小，求出直线表达式为，进而求出结论； （3）连接，根据列式计算即可； 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，，， 则， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴此抛物线对称轴为直线，顶点 ∵二次函数的图象与轴交于A、B两点，， ∴由对称性得：， ∵点N是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴当点N、B、C三点共线时，值最小， 如下图： 设直线表达式为，由题意得： ， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当时，， ∴； （3）解：连接， ∵，，， ． 知识点五 二次函数的平移 21．（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）若将平面直角坐标系的坐标轴向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，原坐标系中的抛物线在新坐标系下的解析式为． (1)求抛物线在原坐标系下的解析式； (2)指出该抛物线在原坐标系中的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2) 开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为 【分析】（1）根据平移规则求出函数解析式即可； （2）根据顶点式的性质，作答即可. 【详解】（1）解：由题意，抛物线先向左平移5个单位，再向下平移2个单位，得到原抛物线， ∴原抛物线的解析式为； （2）解：∵，； ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为. 22．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）把二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度可得到二次函数的图象． (1)直接写出，，的值； (2)写出二次函数的具体解析式和图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)通过计算说明二次函数的图象向下平移多少个单位会经过点． 【答案】(1)，， (2)，开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； (3)向下平移个单位． 【分析】由平移的规律可得函数平移后的解析式为，从而即可得到，，的值； 根据二次函数的性质即可得到答案； 设平移后二次函数为，把代入得，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴，，； （2）解：二次函数，即的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：设平移后二次函数为， 把代入得， 解得， ∴二次函数的图象向下平移个单位会经过点． 23．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知二次函数． (1)直接写出抛物线的开口方向及顶点坐标； (2)当在什么范围内，随的增大而减小？ (3)把此抛物线向左平移3个单位，再向下平移7个单位后，得到的新抛物线是否过点，请说明理由． 【答案】(1) 抛物线开口向上，顶点坐标为 (2) 当时，随的增大而减小 (3) 新抛物线不经过点 理由：平移后新抛物线解析式为 即为， 将代入得 ， 新抛物线不经过点． 【分析】（1）由二次函数顶点式直接判断开口方向与顶点坐标； （2）结合抛物线开口方向与对称轴，确定随增大而减小的的范围； （3）先推导平移后的抛物线解析式，再代入点的坐标验证． 【详解】（1）解：二次函数解析式为，二次项系数为，， 抛物线开口向上，顶点坐标为； （2）解：抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小； （3）略 24．（26-27九年级上·新疆昌吉·阶段检测）已知二次函数的图象的顶点坐标为． (1)写出m，k的值． (2)判断点是否在这个函数的图象上． (3)将该二次函数的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得函数．求a，b，c的值． 【答案】(1) ， (2) 点在这个函数的图象上 (3) ，， 【分析】（1）直接根据顶点式的性质，作答即可； （2）把代入函数解析式，求出函数值，进行判断即可； （3）根据平移规则求出平移后的解析式，即可得出结果. 【详解】（1）解：∵二次函数的顶点坐标为， 又∵图象顶点坐标为， ∴，； （2）解：由（1）得函数解析式为， 当时，， 故点在该函数图象上； （3）解：由（1）得原函数解析式为， 向左平移1个单位，得， 向下平移2个单位，得， ∵， ∴，，. 25．（26-27九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，点在轴正半轴上，点、在二次函数的图象上，四边形是菱形，， (1)求的坐标和菱形的面积． (2)将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度．写出平移后的解析式，若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围是 ． 【答案】(1)点的坐标为，菱形的面积为 (2)平移后的解析式为，的取值范围是或 【分析】（1）连接，与交于点，由菱形的性质可得对角线平分，且，求出，设，则，从而可得点的坐标为，将点的坐标代入抛物线解析式计算即可得出结果，求出，，再由菱形的面积公式计算即可得出结果； （2）根据二次函数图象的平移法则，左加右减，上加下减；得出平移后的解析式为，从而可得平移后的抛物线开口向上，对称轴为直线，根据题意并结合二次函数的性质计算即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：如图，连接，与交于点， ∵四边形是菱形，， ∴对角线平分，且， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为， ∴，， ∴菱形的面积为； （2）解：∵原抛物线的解析式为， ∴将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的解析式为， ∴平移后的抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵，是抛物线上的两点，且， ∴， 解得或， ∴的取值范围是或． 知识点六 待定系数法求二次函数解析式 26．（26-27九年级上·甘肃·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】设抛物线解析式为 ，再将代入，求出a的值，即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为 ， 将代入得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 27．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）已知二次函数的图像经过点，，． (1)求这个二次函数的表达式； (2)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并判断有最高点还是最低点． 【答案】(1) (2) 开口向下；对称轴为直线；顶点坐标为；有最高点 【分析】（1）设二次函数的表达式为，将A、B、C三点坐标代入进行求解即可； （2）根据a与0的大小判断开口方向和最值，将一般式化为顶点式，可以得到对称轴，顶点坐标． 【详解】（1）解：设二次函数的表达式为， 将，，代入得：， 解得：， 所以，二次函数的表达式为：； （2）， ，， 所以，抛物线开口向下，有最高点； 根据， 可知对称轴为，顶点坐标为． 28．（25-26九年级上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为．求该二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次函数的对称性进行求解； （2）利用二次函数的顶点坐标及，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点，， 对称轴为直线， ； （2）解：二次函数的最大值为， ，， 又， ， ，整理得， 即， 解得，， ， ，则， ． 29．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）当时，抛物线有最小值为，且抛物线与轴交于点．求这条抛物线的解析式． 【答案】 【分析】由已知条件可设出顶点式，再把已知点的坐标代入，求出待定系数，进而求得解析式． 【详解】解：抛物线在时最小值为， 设抛物线的顶点式为 抛物线过点， 解得， ∴这条抛物线的解析式为，即． 30．（25-26九年级上·湖南湘西·期中）一条抛物线的顶点为，与轴的交点是．求该抛物线的解析式及其对称轴． 【答案】抛物线的解析式为（或一般式），对称轴为直线． 【分析】根据顶点坐标设抛物线顶点式，代入已知点坐标求待定系数，再由顶点坐标得对称轴． 【详解】解：抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为． 抛物线与轴交于点， 将代入解析式，得，解得． 抛物线的解析式为，化为一般式为． 抛物线的顶点坐标为， 该抛物线的对称轴为直线． 知识点七 根据二次函数的图象确定相应方程的根 31．（25-26九年级上·广东汕头·期中）已知抛物线：． (1)用配方法求抛物线的顶点坐标； (2)把抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到抛物线，求抛物线的解析式； (3)求抛物线与坐标轴的交点坐标． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2) (3)与y轴交点坐标为，与x轴无交点 【分析】（1）将二次函数的解析式化为，则抛物线的顶点坐标为； （2）根据二次函数的图像的平移进行解答即可； （3）先求出抛物线与轴的交点为，令，得到，根据任何实数的平方都不小于，可推导出抛物线与轴没有交点，即可解答． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为． （2）解：抛物线为． 向右平移个单位长度得， 再向上平移个单位长度得， 即抛物线的解析式为． （3）解：令，得， 抛物线与轴的交点为． 令，得 ，即． 任何实数的平方都不小于， 该方程无实数根，即抛物线与轴没有交点． 综上，抛物线与坐标轴只有个交点，坐标为． 32．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）抛物线上有三点，和． (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线与轴交于和两点，试求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）令，求出方程的解，再相减即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线上有三点，和， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴． 33．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)结合图象直接写出：的解集；以及当时，函数值y的取值范围． 【答案】(1)，， (2)①　② 【分析】（1）分别令，即可求解； （2）的解集即为二次函数在x轴上方的图象对应的自变量的取值范围，结合二次函数的图象根据自变量的取值范围求对应的函数值即可求解． 【详解】（1）解：令得， 解得或； 令得． 故，，． （2）解：由图象知，函数值大于0的部分在两交点之间，故的解集为． 当时，， 当时，， ∵， ∴顶点坐标为， 故当时，． 34．（26-27九年级上·福建龙岩·期中）已知抛物线（m为常数）． (1)求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有交点； (2)若抛物线与x轴的两个交点分别在原点的两侧，求m的取值范围． 【答案】(1)证明：令，得方程. ∵ ， ∴无论取何值，该方程总有实数根，即抛物线与轴总有交点 (2)的取值范围是 【分析】（1）将抛物线与轴交点问题转化为一元二次方程根的存在性问题，计算判别式证明其恒非负； （2）利用根与系数的关系，由两根异号得两根之积小于0，求解的取值范围． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的两根为，， ∵抛物线与轴的两个交点分别在原点两侧， ∴两根异号，即， 由根与系数的关系得， ∴的取值范围是． 35．（26-27九年级上·山东日照·期中）已知二次函数（且为常数）． (1)若抛物线的对称轴为y轴，求a的值； (2)当时， ①求该二次函数图象的顶点坐标； ②若点在该抛物线上，且，求的取值范围； 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据对称轴公式求解即可； （2）①把解析式化为顶点式即可得到答案；②根据二次函数的性质可得离对称轴越远，函数值越大，则可得，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵二次函数的对称轴为y轴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解，且符合题意； （2）解：①当时，二次函数的解析式为， ∴该二次函数图象的顶点坐标为； ②由（2）①得二次函数的对称轴为直线，且函数图象开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点在该抛物线上，且， ∴， ∴， ∴或， 解得或． 知识点八 二次函数与方程 36．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数 (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标________，________； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象，在图中标出与y轴交点坐标； (3)结合图象，请回答：当时，y的取值范围是________． 【答案】(1)直线； (2) (3) 【分析】（1）把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）先列表，再描点并连线画图即可； （3）根据函数图象可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：列表如下： 函数图象见答案； （3）解：由函数图象可知，当时，y的取值范围是． 37．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）已知抛物线． (1)图象的开口方向为__________，对称轴是__________，顶点坐标是__________； (2)分别求出抛物线与x轴，y轴的交点坐标； (3)在给出的平面直角坐标系中，作出（1）（2）中的点和线； (4)观察图象：当时，x的取值范围为__________；当时，y的最小值为__________，最大值为__________． 【答案】(1)向下；直线； (2)抛物线与x轴交点坐标为或；与y轴交点坐标为 (3)作出（1）（2）中的点和线如下： (4)；； 【分析】（1）根据a的正负，判断开口方向，把解析式利用配方法得到顶点式，可得出顶点坐标； （2）令，解一元二次方程，求出x的值，即可得出抛物线与x轴的交点坐标，令，得出y的值，即可得出抛物线与y轴的交点坐标； （3）根据给出的交点、顶点及对称轴可画出图象； （4）根据函数图象求得即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴图象开口方向向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：令，即， 解得，或， 令，则， ∴抛物线与x轴交点坐标为或；与y轴交点坐标为； （3）解：略 （4）解：由图象可知，当时，x的取值范围为； 当时，y的最小值为，最大值为． 38．“类二次函数”是在二次函数的一般式中把自变量x加上一个绝对值所形成的函数．小明对一个类二次函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请帮他补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y … 0 -3 -4 -3 0 -3 -4 -3 0 … 其中，________，________； (2)根据表中数据，请画出该函数的图象； (3)观察函数图象，并写出该函数的两条性质； (4)探究与应用： ①方程有________实数根； ②若有关于x的不等式，则x的取值范围是________． 【答案】(1) (2) 函数图象如图所示： (3)图象关于y轴对称；函数有最小值，最小值为（答案不唯一，合理即可） (4)①两个不相等的；②或 【分析】（1）通过待定系数法求解； （2）通过函数解析式及表格内点坐标作图； （3）由图象对称性及图象最低点可得函数图象对称轴及函数最小值； （4）求出直线与函数图象交点，结合图象求解． 【详解】（1）解：将代入，得 ， 解得， 故答案为：； （2）略 （3）由图象可得函数图象对称轴为y轴，函数最小值为； （4）①由方程，得，即为， 由图象可知，直线与图象有两个交点， 故方程有两个不相等的实数根， 故答案为：两个不相等的； ②当时，令， 解得； 当时，令， 解得（舍去）， ∴直线与函数的图象交点横坐标为， 如图， 可得或时，， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握函数与方程及不等式的关系． 39．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)已知，是抛物线上的两个点，若对于，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、解不等式等知识点是解题关键． （1）将二次函数一般式化为顶点式即可求出抛物线的顶点坐标； （2），分为当时及当时，两种情况分类讨论，求出实数的取值范围． 【详解】（1）解： 该抛物线的顶点坐标为； （2）解：①如图1，当时， ， ． 当时，随的增大而增大， 且对于，都有， ， ； ②如图2，当时， 记关于的对称点为， ， ． 当时，随的增大而增大， 且对于，都有， ， ． 综上所述，实数的取值范围为或 40．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，抛物线经过点，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)抛物线的对称轴上有一点P，当的值最小时，求点P的坐标； (4)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3) (4)存在，满足条件的点M的坐标为或或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，对称性，平行四边形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先确定出点B坐标，进而将点B，C坐标代入解析式中，建立方程组求解，即可得出结论； （2）将原抛物线化为顶点式，进而求出当时y的最值即可； （3）先判断出点P是直线与抛物线对称性的交点，再用待定系数法求出直线的解析式，即可得出结论； （4）设出点M，N坐标，利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴当时，， ∵当时，， 当时，， ∴当时，； （3）解：由（2）知，抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 由（1）知， ， 即， ∵， ∴点A，C关于抛物线对称轴直线对称， ∴直线与对称轴直线的交点为点P， 设直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴； （4）解：设点， ∵， ①当与为对角线时，与互相平分， ∴， ∴， ∴； ②当与为对角线时，与互相平分， ∴， ∴， ∴， ③当与为对角线时，与互相平分， ， ∴， ∴； 即：满足条件的点M坐标为或或． 知识点九 二次函数与不等式 41．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 … y … 0 0 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1)； (2) 解：如图所示： (3)． 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式∶在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，也考查了二次函数的图象与性质． (1)利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，则可设顶点式，然后把点代入求出a即可； (2)利用描点法画二次函数图象； (3)根据、0时的函数值即可写出y的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可得二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为：， 把点代入，， 得， 故抛物线解析式为，即； （2）略 （3）解：， 当时，有最小值， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围是． 42．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，已知抛物线经过两点． (1)求抛物线与轴的交点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）令解方程即可得到抛物线与轴的交点坐标； （2）根据二次函数的图象和性质即可得出答案； （3）设，则的高为，，由列出方程即可求出y的值，从而可求出P的坐标． 【详解】（1）解：令，即， 解得：， ∴抛物线与轴的交点坐标为，； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值为， 当时，， ∴； （3）解：设，则的高为， ∵， ∴． ∵， ∴， 解得：， 当时，即， 此时方程无解； 当时，即 解得：或， ∴或． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，二次函数与轴的交点坐标，二次函数图象的性质，解方程等知识，利用数形结合的思想是解题关键． 43．（24-25九年级上·广西河池·期中）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题： (1)方程的两个根为______； (2)当时，则的取值范围为_______；若方程有实数根，则的取值范围是______； (3)当时，求变量的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据函数图象即可得出答案； （2）根据函数图象即可得出答案； （3）根据函数图象即可得出答案． 【详解】（1）解：根据图象知，方程的两个根为； （2）解：根据图象知，当时，则的取值范围为； ∵， ∴顶点坐标为， 若方程有实数根， ∴的图象与直线有交点， ∴； （3）解：抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 当时，，当时，，当时，， 当时，该二次函数的函数值的取值范围是． 44．一次函数与二次函数的图象交于和两点，且当时，二次函数取得最大值． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，二次函数y的取值范围是 ； (3)当自变量x的取值范围是 时，一次函数的值大于二次函数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的最值，二次函数与不等式（组），解题的关键是： （1）把和分别代入中解得，，所以求得，，用顶点式表示出来二次函数的解析式为，把代入上式得，求出二次函数解析式； （2）先求出函数的最大值，再求出两个端点值即可得解． （3）根据交点、的坐标，利用函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：把和分别代入中， 解得：，， ，， 二次函数的图象经过和两点，且当时，二次函数取得最大值， ，解得， 二次函数解析式为； （2）， 抛物线开口向下，顶点坐标为， 当时有最大值是9， 当时，， 当时，， 当时，二次函数的取值范围是． 故答案为：． （3）一次函数与二次函数的图象交于和两点，抛物线开口向下， 当自变量的取值范围是时，一次函数的值大于二次函数的值． 故答案为：． 45．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： 其中， (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)进一步探究函数图象发现： ①关于x的方程实数根为 ； ②关于x的方程有个实数根时，的取值范围是 ． 【答案】(1)0 (2) (3)① ② 【分析】结合函数图像进行分析就可以完成题目． 【详解】（1）解：将代入 求得 （2）略 （3）解：①的实数根其实就是看函数与轴的交点， 三个交点分别为，所以实数根也为 ②有四个实数根意为与函数有四个交点， 观察函数即可得出当有四个交点． 知识点十 二次函数与线段（周长）问题 46．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，抛物线与轴交于两点，点在轴负半轴，点在轴正半轴，与轴交于点，且． (1)求点、点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在（2）中抛物线的对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的应用、正切、勾股定理、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先求出，，再根据正切的定义可得，然后根据可得的值，则可得的长，由此即可得； （2）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，，再作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，则当点共线时，的长最小，即的周长最小，然后利用待定系数法求出直线的解析式，将代入求解即可得． 【详解】（1）解：将代入抛物线得：， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴，． （2）解：将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为． （3）解：将二次函数化成顶点式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 由上已得：，，， ∴， 如图，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接， 则，， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的长最小，即的周长最小， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入函数得：， ∴在（2）中抛物线的对称轴上存在一个点，使的周长最小，点的坐标为． 47．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）已知抛物线经过点、，与y轴交于点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴，交直线于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标； (3)设抛物线的对称轴为直线l，在直线l上是否存在点N，使？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 线段的最大值为，此时点的坐标为 (3) 存在，点的坐标为 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，设出点坐标，将线段的最大值转化为二次函数求最值即可； （3）设出点坐标，根据两点间距离公式列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、， ∴设抛物线的表达式为； 将代入得：，解得， ∴. （2）解：设直线的解析式为， 将、代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴线段的最大值为，此时点的坐标为. （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴. 48．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图1，已知抛物线交轴于点，点，交轴于点．过点作，交抛物线于点． (1)此抛物线对称轴为______；______，______； (2)如图2，点是线段上一动点，连接，若平分，求点的坐标； (3)将抛物线图象沿轴正方向平移个单位得到新抛物线的图象，对于新抛物线图象上的一点，当时，的最小值为． ①直接写出的值； ②如图3，在（2）的条件下，连接，点为线段上一动点，过点作轴的平行线，交抛物线的图象于点，当点从左向右运动时线段的长度逐渐减小，求的横坐标为的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线；；． (2)． (3)①；②． 【分析】（1）把、代入，用待定系数法求出、，再由对称轴公式求对称轴； （2）在Rt中由勾股定理得；作于，由平分得，用面积法求； （3）①平移后开口向下，在上的最小值必在端点处取得，比较与（差为），由解方程求；②先求与直线，写出关于的二次函数，其开口向下、对称轴，从而确定递减范围，结合在线段上（）得结论． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于、， ∴， ∴，， ∴对称轴为直线． （2）解：∵，， ∴，，，， 在Rt中，． 过作于． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①平移后，其图象开口向下，顶点横坐标为， ∴在上，的最小值在端点或处取得， ∵，， ∴， ∴最小值为， ∴，即， ∴， ∴或（舍去，）， ∴． ②由（2）得． ∵， ∴点的纵坐标为， 令，得， ∴（为点，舍）或， ∴． ∵， ∴． 设直线的解析式为，代入、，得，， ∴直线． ∵点在线段上， ∴（）， ∵过作轴的平行线交于点， ∴， ∵在上，（该二次式在处取最小值）， ∴点在点上方，， 其图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴当点从左向右运动时，线段的长度逐渐减小，的取值范围为． 49．（26-27九年级上·天津·阶段检测）二次函数的图像上，有点B与点C关于对称轴对称，一次函数的图象经过二次函数图象上的点及点B． (1)求二次函数与一次函数的解析式． (2)抛物线对称轴上是否存在点M使得最短，如存在求点M坐标，如不存在说明理由． (3)点P是该抛物线上一动点，点P从A点沿抛物线向B点运动（点P不与A、B重合），过点P作轴，交直线于点D．请求出点P在运动的过程中，线段的长度的最大值以及此时点P的坐标； (4)抛物线上是否存在点Q，使，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)存在点M使得最短，此时点M的坐标为 (3)长度的最大值为，点P的坐标为 (4)或 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，则可求出点C的坐标，再由对称性求出点B的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点D，连接，求出点D的坐标，可证明当C、M、D三点共线时有最小值，求出直线的解析式，进而求出点M的坐标即可； （3）设，则，可求出，据此求解即可； （4）当点Q在直线下方时，作轴交直线于点T，连接，可证明当有最大值时，有最大值，由（3）可知，的最大值为，则的最大值为，不符合题意；当点Q在直线左侧时，取点，连接，可证明，则，求出直线的解析式，再联立函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∵点B与点C关于对称轴对称，且对称轴为直线， ∴， 把点A和点B的坐标代入得， ∴， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图所示，设抛物线与x轴的另一个交点为点D，连接， 由对称性可得，， ∴， ∴当C、M、D三点共线时有最小值， 设直线的解析式为， ∴， ∴ ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴存在点M使得最短，此时点M的坐标为； （3）解：设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，长度有最大值，最大值为， 此时，即点P的坐标为； （4）解：当点Q在直线下方时，作轴交直线于点T，连接， ∴ ， ∴当有最大值时，有最大值， 由（3）可知，的最大值为， ∴的最大值为，不符合题意； 当点Q在直线左侧时，取点，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点Q的坐标为或； 综上所述，点Q的坐标为或． 50．（26-27九年级上·辽宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，直线与两个图象分别交于点P，点，与轴交于点． ①当点在线段上时，求的最大值； ②设点，Q到直线的距离之和为时，求的值． (3)二次函数与二次函数组成新的函数，若该函数图象上有点，，且点与不重合，点的横坐标为，点的横坐标为，点，，之间（含，，两点）的图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)① 8；②或5 (3) 或 【分析】（1）求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）①可证明二次函数和二次函数 的图象都经过点C，则当点在线段上时，点P在点Q上方或者二者点P与点Q重合，根据题意可得，则 ，据此可得答案；②当时，如图所示，连接，，，，可证明 ，则，此时方程无解，不符合题意； 当时，如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为M、N，设直线与交于点F，可证明 都是等腰直角三角形，则可推出，进而得到，则 ，解得或（舍去）；同理可求出时，； （3）求出二次函数 的顶点坐标为；过顶点E作平行x轴的直线交与点D，求出点D的坐标，分两种情况，①当点H在点D和点O中间，点G在点E和B中间时和当当点G在点D和点O中间，点H在点E和B中间时，根据题意列出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， 解得或， ∴， ∵二次函数 的图象经过点， ∴ ， ∴， ∴二次函数 的解析式为． （2）解：①在中，当时，， 在 ，中，当时，， ∴二次函数和二次函数的图象都经过点C， 又∵两个二次函数的图象都经过点B，且二次函数的图象开口向上，二次函数的图象开口向下， ∴当点在线段上时，点P在点Q上方或者二者点P与点Q重合， 由题意得，， ∴ ， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为8； ②由（2）①得， ∴， ∴， 当时，如图所示，连接，，，， ∵， ∴ ， ∵点到直线的距离之和为， ∴， ∴， 由（2）①可得， ∴，此时方程无解，不符合题意； 当时，如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为M、N，设直线与交于点F， ∵， ∴； ∵直线轴， ∴， ∴，都是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∵点到直线的距离之和为， ∴， ∴， 同理可得 ， ∴ ， 解得或（舍去）； 当时，如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为M、N，设直线与交于点F， ∵， ∴； ∵直线轴， ∴， ∴ 都是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∵点到直线的距离之和为， ∴， ∴ ， 同理可得 ， ∴ ， 解得（舍去）或； 综上所述，或； （3）解：∵， ∴， 过顶点E作平行x轴的直线交与点D， 则点D的纵坐标为：， 把代入， 解得， 根据题意，分两种情况： ①如下图：当点H在点D和点C之间（包括端点），点G在点E和B之间（包括端点）时，点，，之间（含，，两点）的图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化， ， 则需满足：， 解得：； ②如下图：当点G在点D和点O之间（包括端点），点H在点E和B之间（包括端点）时，点，，之间（含，，两点）的图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化， 则需满足：， 解得， 综上所述， 或． 知识点十一 二次函数与面积问题 51．（26-27九年级上·北京东城·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，利用分割法表示出的面积，利用二次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）解：把、代入，得： ，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， ∴， 连接，设， 则 ， ∴当时，的面积最大为1. 52．（26-27九年级上·甘肃·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接，已知，且抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)若是抛物线上第四象限内的一点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入抛物线，求出解析式即可； （2）令抛物线，求出抛物线与轴的交点坐标，得到线段的长，利用面积公式可求出点的纵坐标，即可代入解析式求出横坐标． 【详解】（1）解：将代入得 ， 解得 ， ∴解析式为； （2）解：令，得， 解得， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ 即， 解得（舍去），， ∴． 53．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式及D点的坐标； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，点的坐标为 (2)①②点P的坐标为或或 【分析】（1）将A点和B点坐标代入表达式，解二元一次方程组即可得到抛物线的表达式，将表达式化为顶点式，就可以得到D点的坐标； （2）①先求出点C和点P的坐标，再求出所在直线的表达式，过点P向x轴作垂线交于点E，数形结合，写出面积的表达式即可得到结果； ②利用平行四边形的性质求解，进行分类讨论，为对角线时，点B和点D的中点坐标也是点P和点Q的中点坐标；为边时，且，设和所在直线的表达式为、，则，再分别求出和，联立求解即可 ． 【详解】（1）解：，两点在抛物线的图象上， 将，两点代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为：； ∵， 点的坐标为； （2）解：①过点P向x轴作垂线，交于点E，如下图所示： 在中，当时，， 抛物线与y轴交于点C， 点的坐标为， 设所在直线的表达式为：， 将和代入得：， 解得：， 所在直线的表达式为， P点在抛物线的图象上，P点的横坐标为m， 点的坐标， ∵在中，当时，， ∴， ， ， 的最大面积是； ②设，， 点B、D、P、Q构成的四边形是平行四边形， 分为以下两种情况进行讨论： 第一种：以为对角线，根据平行四边形对角线互相平分的性质进行求解：中点的坐标为，则的中点坐标也为， ，， 解得：，， 的坐标为； 第二种：以为边，根据平行四边形对边平行且相等的性质进行求解，即，， 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． 设所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得：， ∴所在直线的表达式为． ， ， 即， 得：， ∵，， 又， ， 解得：， 当时，点P的坐标为； 当时，点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 54．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)或 【分析】（1）将点坐标代入即可得解； （2）过点作轴，交于点，交轴于点， 易得为等腰直角三角形，，进而设参表示出即可； （3）先求出面积最大值时点的坐标，由平移可知，分类讨论，当向左平移时，直线，据此求出直线解析式，即可得点坐标；当向右平移时，则与第一种情况的直线关于直线对称，据此求解即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设点，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：由（2）可知， ∴． ∵， ∴当时，的面积的最大值为， 此时； 当抛物线向左平移，即点在直线上方时， ， ， 如图，过点作， 由（2）知直线解析式为，则可设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴其顶点为， ∵抛物线沿水平方向平移得到抛物线， ， 令，解得， ， 当抛物线向右平移，即点在直线下方时， 此时过与的平行线与轴交点记为点，则与第一种情况的直线关于直线对称，此时点与第一种情况的直线与轴交点关于点对称， ， 则直线解析式为． ， ，解得， ． 综上，或． 55．（25-26九年级下·四川绵阳·期中）如图，已知抛物线过点、，抛物线与x轴的另一交点B在x轴的正半轴上，过点A作直线交抛物线于点D，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一点，连接交于点E，连接，，设的面积为S，点P的横坐标为t，求S关于t的函数关系式，并求S的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）问的结论下，过点P作于点H，取的中点Q，连接交抛物线于点M，将绕点P逆时针方向旋转至，求N的坐标． 【答案】(1) (2)S关于t的函数关系式为，S的最大值为，此时点P的坐标为 (3) 【分析】（1）由题意可得，由平行线的性质可得，从而得出，结合正切的定义的，即，设抛物线的解析式为，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出直线的解析式为，从而可得直线的解析式为，联立，求得，由题意可得，连接，作轴，交于点，则，表示出，再由，且点在上，得出保持不变，且，最后再由计算即可得出结果； （3）由（2）可得，则，求出点的坐标为，从而可得直线的解析式为，联立，求出，作交于点，由旋转的性质可得：，则为等腰直角三角形，从而可得，过点作直线轴，作直线于点，作直线于点，则，证明，得出，，设，则，由，求出，从而可得，进而求出直线的解析式为，设点，由旋转的性质可得，由勾股定理可得，，则，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设抛物线的解析式为， 将、、代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， ∵设点P的横坐标为t， ∴， 如图，连接，作轴，交于点，则， ∴， ∵，且点在上， ∴保持不变，且， ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，取得最大值为，此时， ∴S关于t的函数关系式为，S的最大值为，此时点P的坐标为； （3）解：由（2）可得， ∵于点H， ∴， ∵为的中点，， ∴点的坐标为，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 如图，作交于点， 由旋转的性质可得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过点作直线轴，作直线于点，作直线于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为，即， 设直线的解析式为， 将、代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点， 由旋转的性质可得， ∵，， ∴， 整理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 当时，， ∴． 知识点十二 二次函数与角度问题 56．（25-26九年级下·重庆巴南·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，，抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交直线于点H，交x轴于点G，点E为抛物线对称轴上一动点，点F为y轴上一动点，连接，当有最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线，点M为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)点M的横坐标为或 【分析】（1）根据对称轴得到，再根据点A坐标和得到点C坐标，最后把点A和点C的坐标代入即可解答； （2）先根据抛物线的对称性求得点B的坐标，再求得直线的表达式，设 ，则，，从而用t表示出，进而根据二次函数的性质得到当有最大值时点P的坐标，然后过点P作，过点E作的平行线交于点，则四边形是平行四边形；作点E关于y轴的对称点，连接，将沿y轴向下平移至点F与点C重合，得到，可推出当四点共线时，取得最小值，接着设直线的表达式为，直线的表达式为，利用点P的坐标和点E的横坐标可求出m的值，得到点E和的坐标，即可利用两点距离公式解答； （3）根据是等腰直角三角形，可推出该抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，然后分情况讨论，当点M在第四象限时，取的中点Q，过点Q作轴于点H，作交的延长线于点N，过点N作轴于点T，延长交的延长线于点S，根据直角三角形的性质和等边对等角，结合已知角度关系可推出，从而得到，接着证明，利用相似三角形对应边成比例和矩形的性质，结合线段的和差，设，表示出和，求得z的值，从而得到点N的坐标，进而求得直线的表达式，最后联立抛物线，即可求得答案；当点M在第三象限时，利用抛物线的对称性即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∵点，， ∴， 把，代入，得 ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：∵抛物线与x轴交于，B两点，对称轴为直线， ∴， 设直线的表达式为，把、， ， 解得， ∴直线的表达式为， 根据题意，设 ，则，， ∴，， ∴  ， ∵，， ∴当时，有最大值，此时， ∴， 如图，过点P作，过点E作的平行线交于点，则四边形是平行四边形；作点E关于y轴的对称点，连接，将沿y轴向下平移至点F与点C重合，得到， ∴，， ∴， ∴当四点共线时，取得最小值，此时三点共线，如图所示， ∵，， ∴不妨设直线的表达式为，直线的表达式为， ∵点E在抛物线的对称轴上，对称轴为直线， ∴点E的横坐标为2， ∴， ∵点和点关于y轴对称， ∴， 把代入直线的表达式为，得， ∴，即直线的表达式为， 把点代入，得， 解得， ∴，， ∴，， ∴， 即当有最大值时，的最小值为； （3）解：点M的横坐标为或； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将该抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度， ∴， ①当点M在第四象限时，如图所示，取的中点Q，过点Q作轴于点H，作交的延长线于点N，过点N作轴于点T，延长交的延长线于点S， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，点是的中点，，， ∴，，，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， 设，则， ∵，轴， ∴，， ∴，， ∴， 解得， ∴，， ∴， 设直线的表达式为，代入，得，则， ∴直线的表达式为， 联立， 解得，（舍去）， ∴点M的横坐标为； ②当点M在第三象限时，如上图所示，取点关于y轴的对称点， 则，此时点的横坐标为， 又∵的对称轴为y轴， ∴点在抛物线上， ∴点符合条件； 综上，符合条件的点M的横坐标为或． 57．（25-26九年级下·重庆·期中）如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)过点作交轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，连接，，抛物线对称轴上有一动点，过点作轴于点，连接，，当的面积与面积之差最大时，求点的坐标和的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线恰好经过点，点为原抛物线的顶点，在新抛物线上是否存在点，使得．请写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 【答案】(1) (2)； 的最小值 (3)点的横坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作交于，利用待定系数法可求得直线的解析式，设，则，根据表示出，再利用二次函数的性质确定点的坐标，将点向左平移个单位得到，作点关于轴的对称点，连接 ，与轴的交点为，连接，则 ，要使 取最小值，即取最小值，当点、、 共线时，取最小值，最小值为 ，利用勾股定理求解即可； （3）根据平移的性质先求出抛物线的解析式，设原抛物线的对称轴与轴的交点为，可得到是等腰直角三角形，，即，然后分两种情况讨论：当点在右侧时，当点在左侧时，利用平行线的性质和全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，抛物线对称轴为， ，解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：抛物线与轴交于点，，抛物线对称轴为，与轴交于点， ， 令，得， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， ， ， 设直线的解析式为， 将点代入得， ，解得， 直线的解析式为， 令，得， ， 如图，过点作交于， 设，则， ， ， ， ，对称轴为，， 当时，取最大值，最大值为，此时， ； 抛物线对称轴上有一动点，过点作轴于点， ， 如图，将点向左平移个单位得到，作点关于轴的对称点，连接 ，与轴的交点为，连接， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 要使 取最小值，即取最小值，当点、、 共线时，取最小值，最小值为 ， 此时， 的最小值 ； （3）解：将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，且， 设将抛物线沿轴向右平移个单位，向上平移个单位得到新抛物线，其中， ， 新抛物线恰好经过点， ， 整理得， 解得（舍去）或， ， 点为原抛物线的顶点，当时，， ， 设原抛物线的对称轴与轴的交点为，则，， ， 是等腰直角三角形，，即， 当点在右侧时，如图，过点作交抛物线于点， ， ， 设直线的解析式为， 将点代入得， ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得或（不合题意，舍去）， ； 当点在左侧时，如图，作，此时， 设与相交于点，过点作于，作轴于， ， ，， ，，即， ，，， ， ， 设，则，， ，解得， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 联立，解得或（不合题意，舍去）， ； 所有符合条件的点的横坐标为或． 58．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与直线交于，两点，二次函数的图象经过点，． (1)求点，的坐标及，的值； (2)直线与二次函数，的图象分别相交于点，，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②过点作直线与正半轴交于点，与二次函数交于点（点不与重合），使得，请直接写出点的坐标； (3)若新函数满足，直线与函数的图象有三个公共点，函数，当时，函数y的最小值为，最大值为，求的值． 【答案】(1)，， ， (2)①证明：由题意可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴，， ∴； ② (3) 【分析】（1）联立二次函数与直线，解方程求出点、的坐标，将求出的坐标代入，求出与； （2）①先表示出点、、的坐标，再表示出与，进而得到与的关系； ②作轴，垂足为，作，垂足为，容易判断出和都是等腰直角三角形，结合三角形外角的性质可计算出．根据含角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可推导出，从而求得点的坐标．使用待定系数法求出直线的解析式后，与抛物线联立，求出点的坐标； （3）根据满足的不等式，画出其图象，由抛物线与较低的部分组成，容易判断出直线过定点，则当直线与有三个公共点时，直线的斜率应该在过点与相切的直线的斜率以及直线的斜率之间，从而求出的取值范围．根据函数的对称轴位置和增减性，分为和两种情况讨论，计算出最大值和最小值后，结合题意构造方程组，解出的值即可． 【详解】（1）解：联立二次函数与直线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为，点的坐标为， 将，代入，得， ， 解得， ∴； （2）解：①略 ②如图，作轴，垂足为，作，垂足为， ∵，轴， ∴点的坐标为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在直角中，，， ∴， 由勾股定理可得， ∴， ∴， 在直角中，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴的图象为与中较低的部分，如图所示， 对于直线，当时，为定值， ∴直线过定点， 当直线过点时，此时直线与直线重合， ∴， 当直线与抛物线相切时，联立方程，得， ， 化简，得， ∵直线与抛物线相切，即只有一个交点， ∴判别式， ∴， 解得， ∵直线与函数的图象有三个公共点， ∴， 在二次函数中，图象开口向上，对称轴为直线， ①当时，区间在对称轴右侧， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值；当时，取得最大值， ∴， 解得，这与矛盾，故舍去； ②当时， ∵图象开口向上， ∴离对称轴越近，函数值越小 ∵， ∴当时，取得最小值， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴， 解得（负值舍去）， 综上所述，． 59．（25-26九年级上·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，点为轴上一动点，点为抛物线对称轴上的动点，连接，，，，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)连接，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最小值为 (3)或 【分析】（1）使用待定系数法求函数解析式即可； （2）过点作轴的平行线，交于点，连接，，作点关于轴的对称点，连接，设点的坐标为，先求出直线的函数解析式为，则点的坐标为，使用割补法表示出的面积，得到关于的关系式，求出的面积最大时，点的坐标，从而得到点的坐标．由轴对称的性质可得，，，因此．根据两点之间，线段最短，可得当、、、四点共线时，取得最小值，即取得最小值，使用勾股定理计算即可； （3）根据题意可得，抛物线由抛物线向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到，则．当点在直线下方时，作射线交轴于点，容易证明，则点的坐标为，求出的函数解析式，再与抛物线联立，求出点的坐标．当点在直线上方时，作，且，容易证明，从而得到点的坐标为，经过分析可得，点即为所求的点． 【详解】（1）解：将，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点，连接，，作点关于轴的对称点，连接，设点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∴， ∵点到直线的距离为，点到直线的距离为， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为， ∴点的坐标为， 由轴对称的性质可得，，， ∴ 由线段公理可得，， ∴当、、、四点共线时，取得最小值，即取得最小值， 由勾股定理可得，， ∴的最小值为； （3）解：①当点在直线下方时，如图，作射线交轴于点，设点平移到点处，作，垂足为， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由题意可知，， 由勾股定理可得，， ∴， ∴抛物线由抛物线向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为； ②当点在直线上方时，如图，作，且， ∴射线与抛物线的交点即为点， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴点坐标为， 将代入，得， ∴点在抛物线上， ∴点即为所求的点， ∴点坐标为； 综上所述，点坐标为或； 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，函数的平移规律，解一元二次方程，轴对称的性质，线段和最值问题，熟练掌握相关知识是关键． 60．（25-26九年级上·重庆铜梁·期末）已知抛物线与轴交于点，与轴交于点和两点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点是线段下方抛物线上的一动点，连接，，点是轴上一动点，点是抛物线对称轴上一动点，当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点的对应点为，连接，点是抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)点的坐标为，的最小值为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线的解析式中，利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴交于点，利用待定系数法求出直线的解析式，设，则，根据，构建二次函数的最值确定点的坐标，作点关于对称轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接与对称轴的交点即为点，与轴的交点即为点，此时，，当、、、四点共线时，取最小值，最小值为的长，再根据两点之间的距离公式求解即可； （3）利用二次函数的平移规律求出平移后的抛物线 的解析式和点的坐标，分两种情况讨论：若点在的下方时，若点在的上方时，过点作交的延长线于点，过点作轴，垂足为，通过证明，求得点的坐标，利用待定系数法求解直线的解析式，再与抛物线的解析式联立确定交点的坐标即可． 【详解】（1）解：将点和代入中得： ，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴交于点， 设直线的解析式为， 将点和代入得： ，解得， ， 设，则，其中， ， ， ， 当时，的面积取得最大值，此时点的坐标为， 对于抛物线， 对称轴为直线， 如图，作点关于对称轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接与对称轴的交点即为点，与轴的交点即为点，此时，，当、、、四点共线时，取最小值，最小值为的长， ，， ，， ， 即的最小值为； （3）解：将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点的对应点为， ，， 若点在的下方时， 如图所示，过点作交的延长线于点，过点作轴，垂足为， 则， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将和代入得， ，解得 ， 联立， ， 整理得， 解得，（与重合，故舍去）， 令，得， ； 若点在的上方时， 如图所示，过点作交于点，过点作轴，垂足为， 则， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将和代入得， ，解得 ， 联立， ， 整理得， 解得，（与重合，故舍去）， 令，得， ； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、勾股定理与最短路径问题、全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 知识点十三 二次函数与特殊三角形问题 61．（25-26九年级下·江西九江·期中）定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，两个二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线与是共生抛物线 已知抛物线的顶点是点，它的共生抛物线的顶点是； (1)点的坐标是___________，抛物线的函数关系式是___________． (2)当的取值范围是___________时，抛物线与的函数值都随的增大而减小． (3)直线与抛物线均有两个交点，这些交点从左到右分别是． ①求的取值范围是___________； ②在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】（1）根据抛物线的解析式可得点P的坐标，根据共生抛物线的定义，可以得到抛物线的顶点坐标和二次项系数，据此可得答案； （2）根据（1）所求分别求出抛物线和的函数值随的增大而减小时x的取值范围即可得到答案； （3）①求出直线经过点Q和点P时m的值，再结合函数图象即可得到答案；②分两种情况：点P为直角顶点和点Q为直角顶点，利用一线三垂直模型构造全等三角形求出点K的坐标，再验证点K是否在抛物线上即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点是点， ∴点P的坐标为， ∵抛物线的共生抛物线的顶点是， ∴，且抛物线的二次项系数为， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为，且， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当，的函数值随着x的增大而减小； ∵抛物线的解析式为，且， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当，的函数值随着x的增大而减小； 综上所述，当时，抛物线与的函数值都随的增大而减小； （3）解：①如图所示， 当直线恰好经过点P时，则， 当直线恰好经过点Q时，则， 由函数图象可知，当时，直线与抛物线分别有两个不同的交点； ②如图所示，当点P为直角顶点时， 过点P作轴，过点K作，过点Q作， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点在抛物线上，此时符合题意； 如图所示，当点Q为直角顶点时，同理可得， 在中，当时，， ∴点不在抛物线上，此时不符合题意； 综上所述，点K的坐标为． 62．（25-26九年级上·甘肃定西·期末）如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？ (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以P，D，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，线段的长度最大，最大值是 (3)或或或或． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求出直线的解析式为，可得点，从而得到，即可求解； （3）根据等腰三角形的定义，分五种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点P的横坐标为m，轴， ∴点， ∴， ∵， ∴当时，线段的长度最大，最大值是， （3）解：由（1）得：点， 设抛物线的对称轴为直线l， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴可设点， 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点P作于点E，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图，过点D作于点F，则， 在中，， ∴点； 当时，如图， 此时点Q在的垂直平分线上， ∴点Q的纵坐标为， ∴点； 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，等腰三角形的定义，勾股定理等知识，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 63．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，二次函数的图像交x轴于点、，交y轴于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)若点P是二次函数图像上一点，且点P在第二象限，连接线段交x轴于点D，若的面积是的面积的4倍，求点P的坐标． (3)二次函数图像上是否存在点Q使为直角三角形？如果存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，，， 【分析】本题综合考查了二次函数的解析式、二次函数与面积以及特殊三角形问题，掌握二次函数的相关性质是解题关键． （1）根据题意可得，对称轴为，再利用待定系数法求解即可； （2）由题意得，，，结合的面积是的面积的4倍，可得即可求解； （3）根据为直角三角形，分，，三种情况讨论求解． 【详解】（1）解：图像交x轴于点、， 对称轴为， ，解得， 则二次函数的表达式为； （2）由题意得， ， 又的面积是的面积的4倍， 所以， 点P在第二象限， ， 代入，得， 解得或， 又点P在第二象限， 所以点P的坐标为； （3）由题意知，，， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 又为直角三角形， 当，即, 设关于轴对称点为，则，又， ， ，则，即， ，， 直线的解析式为，即直线的解析式为， 令，即， 解得， 所以； ②当时，即, 设关于轴对称点为，则， ， ，，即， ，， 直线的解析式为，即直线的解析式为， ，即， 解得， 所以； ③当时，， 设， ， 整理得， 解得， 所以，， 综上，符合条件的点Q的坐标为，，，. 64．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，抛物线与x轴的交点为A，B两点，与y轴的交于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)P为抛物线在第四象限上的一点，直线与抛物线的对称轴相交于点，若是以为底边的等腰三角形，求直线的表达式； (3)E是该抛物线上位于对称轴右侧的动点，、是抛物线对称轴上两点，．请说明：存在确定的点N，使直线与抛物线只有唯一交点E． 【答案】(1) (2)直线的表达式为 (3) 设， 设直线表达式为：， 联立， ． 设方程的两个根为， 直线与抛物线有唯一交点， ． ，， ，， 直线表达式为：． ． 过点作于点，则， 设，， ，，， ． 令，则． ，， ． 存在点，当时，与抛物线有唯一交点． 【分析】（1）由题意可得点C的坐标为，即，进而得到，最后把A两点的坐标代入抛物线求出c的值即可； （2）如图：设抛物线的对称轴交x轴于点Q，过点C作于点N，连接交于点M． 则，再求出M点的坐标；即可求出直线的解析式为； （3）设，再求得直线解析式为，则，如图：过点E作于点M，则．设，然后再运用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：当时，， ，． ， ， ． ，解得，或（舍去）． ∴． （2）解：如图：设抛物线的对称轴交x轴于点Q，过点C作于点N，连接交于点M． 则．    ∵直线表达式为，，， ，，． ， ．解得：． ． 设直线的解析式为， 在直线上，则，解得：， 直线的解析式为． （3）解：略． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、勾股定理，等腰三角形的性质、交点坐标特征等知识点，正确作出辅助线以及数形结合思想是解答本题的关键． 65．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式及其对称轴． (2)设点P是直线l上的一个动点，当最小时，求P点坐标． (3)在抛物线上存在一点Q，使，求点Q的坐标． (4)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) (3)或 (4)存在，点M的坐标为，，， 【分析】（1）根据点A与点B的坐标将抛物线解析式设为交点式，再将点C的坐标代入抛物线解析式，求出未知参数，写出抛物线的解析式，再求对称轴即可． （2）根据抛物线解析式求出直线l的解析式，点A与点B关于直线l对称，连接交直线l于点P，此时的值最小，求出所在直线的解析式，求出直线BC与直线l的交点即可． （3）设，根据列方程求出，结合的顶点坐标为取，代入函数解析式求出x的值即可； （4）设点，分类讨论：①，②，③，分别用含m的式子表示出，再分别根据：①，②，③列方程求出m的值即可． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 将点C坐标代入解析式得：， 解得， ， 抛物线对称轴为直线． （2）∵点A与点B关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点B，P，C共线时，的值最小． 设直线解析式为， 将点B的坐标代入直线解析式可得： ， ， ，     令， ． （3）∵， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵的顶点坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴或； （4）存在，理由如下： 作垂直于直线l交直线l于点H，则， 设， 则， ， ， ①若，则， ， 解得：， ∴点M的坐标为； ②若，则， ， 解得： ， ∴点M的坐标为，； ③若，则， ，     解得：或6， 设直线解析式为， 将点A坐标代入直线解析式得：， 解得：， 直线解析式为， 令， 当时，点M在直线上，点A、C、M不能构成三角形，故舍去， ， 点M的坐标为． 综上，符合条件的点M的坐标为：，，， ． 【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查二次函数解析式的求解、轴对称以及等腰三角形的性质，本题关键在于：①设抛物线解析式为交点式求解更为快捷；②要求两线段之和最小，一般可以结合轴对称分析；③分类讨论，将两边长相等转化为两边长的平方相等求解更为简便，需要注意的是要对所求的m值验证，进行取舍． 知识点十四 二次函数与特殊四边形问题 66．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，顶点的坐标是，过点作轴，交抛物线于点D，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)求的正切值； (3)点为抛物线上一点，当以、、、为顶点的四边形是梯形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或 【分析】（1）先求出，设抛物线的解析式为，将代入解析式计算即可得出结果； （2）先求出，，作于点，则，求出，，最后由正切的定义计算即可得出结果； （3）先求出直线的解析式为，再结合梯形的性质，分三种情况：当时；当时；当时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， ∵抛物线顶点的坐标是， ∴设抛物线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵过点作轴， ∴当时，， 解得：，， ∴， 联立， 解得：或， ∴， 如图，作于点， 则， ∴，， ∴； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵以、、、为顶点的四边形是梯形， ∴当时，设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴此时点的坐标为； 当时，此时点的纵坐标为， 在中，令，则， 解得：或， ∴此时点的坐标为； 当时，设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴此时点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，正切的定义，二次函数综合—特殊四边形问题，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 67．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标： (3)R是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点S，使得以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）作轴交于点，求出直线的解析式，将的面积转化为二次函数求最值即可； （3）分分别为平行四边形的对角线，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过坐标轴上三点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， 作轴交于点，设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，为，此时． （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，， ∵，当以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形时， ①当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ②当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ③当为对角线时，，解得， ∴， ∴； 综上：或或． 68．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，O是原点．抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，其横坐标是m． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，求点P的坐标； (3)设此抛物线在点A与点P之间的部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h，当，且时，求m的值； (4)取的中点M，连接，以为对角线作正方形，当，且正方形的顶点N或Q落在x轴上时，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）把代入抛物线利用待定系数法求解即可． （2）先求出点坐标，根据，得出点纵坐标为 4 ，则，解方程即可求解． （3）先求出抛物线的顶点坐标为，当时，最高点为顶点坐标，最低点为点坐标，得出，求解即可．当时，最高点为顶点坐标，最低点为点坐标，得出，求解即可． （4）分两种情况：①如图，过作轴．证明，得出，从而得， 根据， 得出， 根据， 列出方程， 求解即可．②如图所示：同理证明，得出，根据，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：把代入抛物线得：， ， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为与轴交于点， ， ， ∴点纵坐标为 4 ， ， ， ． （3）解：抛物线， 故顶点坐标为， 当时， 最高点为顶点坐标，最低点为点坐标， ， ， 当时， 最高点为顶点坐标，最低点为点坐标， ， ， ， ， ， 综上所述，或． （4）解：①如图，过作轴． ∵正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为中点， ，   ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②如图所示：如图，过作轴． ∵正方形， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， 或2， ， ， 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，二次函数的最值问题等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 69．（25-26九年级上·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交点的纵坐标为3，对称轴为直线，点和点都在该抛物线上，它们的横坐标分别为、． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)连接，当轴时，求点的坐标； (3)若线段平行于两坐标轴夹角的平分线时，求的值； (4)连接，以、为邻边作平行四边形，当抛物线在平行四边形内部的图象随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，坐标与图形，解一元二次方程，理解题意，作出相应图象，结合图象求解是解题关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）当轴时，则点和点的纵坐标相等，即点和点关于对称轴对称，根据二次函数的性质即可解答； （3）表示出点和点的纵坐标，当线段平行于两坐标轴夹角的平分线时，即点和点的纵坐标之差等于横坐标之差，列出方程即可解答； （4）首先求出抛物线与x轴的交点坐标为和，然后分类讨论，分别画图即可解答． 【详解】（1）解：抛物线与轴交点的纵坐标为3，对称轴为直线， ，， ， 则抛物线对应的函数解析式为； （2）解：当轴时，点和点的纵坐标相等， 点和点都在该抛物线上， 点和点关于对称轴对称， 可得， 解得； （3）解：∵点和点都在该抛物线上，它们的横坐标分别为、 代入解析式得，，， 如图，过点作轴，过点作轴，则， ，线段平行于两坐标轴夹角的平分线， ， 为等腰直角三角形， ， 即， 解得； （4）解：∵ ∴当时，， 解得或3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和， 如图，当点在轴下方时，且在轴左边时，即时， 平行四边形，点与点的横坐标之差为，点与点的纵坐标之差为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 当时，， 点恒在抛物线上方， 此时抛物线在平行四边形内部的图象随的增大，先增大后减小，与题意不符，故该情况不存在； 如图，当点在轴上方时，且在轴左边时，即时， 平行四边形，点与点的横坐标之差为，点与点的纵坐标之差为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， 当，即时， 点在抛物线上方， 此时抛物线在平行四边形内部的图象随的增大而减小，符合题意， 此时； 如图，当点在轴上方时，且在轴右边时，即时， 平行四边形，点与点的横坐标之差为，点与点的纵坐标之差为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 当时，， 点在抛物线下方， 此时抛物线在平行四边形内部没有图象，不符合题意，故该种情况不存在； 如图，当点在轴下方时，且在轴右边时，即时， 平行四边形，点与点的横坐标之差为，点与点的纵坐标之差为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， 同理点在抛物线下方， 此时抛物线在平行四边形内部没有图象，不符合题意，故该种情况不存在； 综上，． 70．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中，为常数）的图象经过，其对称轴为直线，且图象与轴正半轴交于点，过点作垂直于轴的直线．点在该抛物线上，其横坐标为，点是坐标平面内的一点，其坐标为，过点分别向直线作垂线，垂足分别为． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点与点重合时，求的值； (3)当矩形为正方形时，求的值； (4)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式 (2)， (3)，，， (4)或 【分析】本题主要考查二次函数的应用、矩形的性质、一元二次方程、不等式等知识点，熟练应用分类讨论思想和掌握相关知识并正确解读题意是解题的关键． （1）将代入中求得c，结合对称轴求得b即可； （2）由（1）知，结合题意知和，列出等式求解即可； （3）由（2）知，，解二元一次方程求得，结合为正方形的性质得，列出方程求解即可； （4）分五种情况：当点在直线对称轴的左边，点在点上面时；当点在直线的左边，点在点和x轴下面时；当点在直线的左边，且点在x轴上面、在点下面时；当点在直线的左边，点在点和x轴下面，在点上面时；当点在直线的右边，点在点和x轴上面，在点上面时；分析出符合题意的情况即可求解即可． 【详解】（1）解：将代入中 解得：． ∵对称轴为直线， ∴，解得， 则该抛物线的解析式； （2）解：由（1）知 由题意知、， 点与点重合时，， 解得：，； （3）解：由（2）知，， 令，解得， ∴， ∵矩形为正方形， ∴， ∴ 即或， 解得，，，； （4）解：当点在直线对称轴的左边，点在点上面时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，如图，不合题意； 当点在直线的左边，对称轴的右边，且点在x轴下面、在点上面时，抛物线在矩形内不存在对应的部分，如图，不合题意； 当点在直线的左边，且点在x轴上面、在点下面时，抛物线在矩形内不存在对应的部分，如图，不合题意； 当点在直线的左边，点在点和x轴下面时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大，如图， 此时，且，解得； 当点在直线的右边，点在点上面时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大，如图， 此时，且，解得； 综上，或时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大． 知识点十五 二次函数实际应用之几何问题 71．（26-27九年级上·吉林·期中）如图,某农户准备用长的篱笆靠墙(墙长)围一块矩形菜地,设垂直于墙的一边长为． (1)用含x的式子表示菜地的面积S； (2)当菜地的面积为时,求x的值,并结合实际说明所求的值是否都符合要求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为，根据矩形面积公式列出解析式即可； （2）根据菜地的面积为，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵垂直于墙的一边长为，则平行于墙的一边长为， 又∵平行于墙的一边不能超过墙长，即，解得， ∴． （2）解：根据题意得，即， 解得：或． ∴不符合实际，应取． 72．（26-27九年级上·辽宁大连·期中）如图，某校劳动实践基地在一道长为的墙一侧，用长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)分别求与，与之间的函数解析式，并求出自变量的取值范围； (2)当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)，，； (2)当时，矩形实验田的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据题意得到，则，再由建立与之间的函数解析式，然后根据解不等式组求解自变量的取值范围； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， 又，即 ， ； （2）解： ， 抛物线的对称轴为直线 ，抛物线的开口向下，自变量的取值范围为，在对称轴右侧，随的增大而减小， 当时，取最大值， 当时，， 答：当时，矩形实验田的面积最大，最大面积是 73．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边），设，花园的面积为． (1)当为何值时，花园面积有最大值？最大值为多少？ (2)若在墙角处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积最大时，的长为多少？ 【答案】(1)当时，花园面积最大，为100平方米； (2)当花园面积最大时，的长为8米． 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，列出函数关系式是解题关键． （1）利用矩形的面积公式列出关系式，然后化为顶点式即可求解； （2）根据题意，求出的取值范围，利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴当时，花园面积最大，为100平方米； （2）由题意，得， 解得； ∵， ∴时，随着的增大而增大， ∴当时，有最大值， ∴当花园面积最大时，的长为8米． 74．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）某养殖户为扩大养殖规模，拟一边利用墙建一个矩形的养鸡场地，如图，已知可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成，设矩形养鸡场地中，垂直于墙的边为，面积为． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，y有最大值?最大值是多少? 【答案】(1) (2)当时，y有最大值，最大值为， 【分析】本题考查了二次函数的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，并由求出自变量x的取值范围即可； （2）把（1）中所得的二次函数解析式写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：由（1）知， 化成顶点式：， ∵开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y有最大值，最大值为， 75．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）有这样一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为时，透光面积最大值约为．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为，利用图3，解答下列问题： (1)若为，求此时窗户的透光面积？ (2)与上一个例题比较，改变窗户形状后，若设的长度为，请问当x的值为多少时窗户透光面积最大？与例题相比透光的最大面积是否变大？通过计算说明． 【答案】(1) (2)当时，窗户透光面积最大，与例题相比透光的最大面积变大 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及矩形和正方形的性质，二次函数的性质，正确列出函数关系式是解答的关键． （1）根据矩形和正方形的性质求解即可； （2）设，则，根据矩形性质得窗户的透光面积，利用二次函数的性质求得最大面积为，进而通过比较可得结论． 【详解】（1）解：由题意，，， ∴， ∴此时窗户的透光面积为； （2）解：设，则， ∵， ∴， 则窗户的透光面积， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为，即当时，窗户透光面积最大； ∵， ∴与例题相比透光的最大面积变大． 知识点十六 二次函数实际应用之销售问题 76．（26-27九年级上·吉林·期中）某商店经销一种纪念品，进价为每件20元．当售价为每件30元时，每天可售出100件；市场调查发现，售价每上涨1元，每天的销售量就减少5件． (1)设每件售价上涨x元，写出每天所得利润W(元)与x之间的函数关系式； (2)售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ (3)若商店要求每天的利润不低于1120元，结合函数图象说明售价应控制在什么范围内． 【答案】(1) (2)35元，1125元 (3)34元到元之间 【分析】（1）根据每天的销售利润等于销售量乘以单件利润可得关系式； （2）先将关系式配方得出顶点式，再根据二次函数图象的性质即可得出答案； （3）根据题意可得，再求出解集即可． 【详解】（1）解：根据题意可得． （2）解：∵， 故当时W最大， 此时售价为(元)，最大利润为1125元． （3）解：令，解得， ∵二次函数的图象开口向下， ∴当函数值不小于1120时，自变量x的取值在对应方程的两个根之间，即， 故售价应控制在34元到元之间． 77．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息． 信息：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． (1)成本核算：分别求制作一件A品和一件B品的成本． (2)模型建立：设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求关于的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）． (3)方案设计：A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案并求最大利润． 【答案】(1)制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； (2)； (3)制作A品50件，B品250件时，总成本不超过1300元且总利润最大，最大利润为元． 【分析】（1）设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元，根据“用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等”列出分式方程并求解即可； （2）根据“当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件”求出A品的销量，再根据总销量300件求出B品的销量，从而利用利润公式求出w关于的函数解析式； （3）先利用不等式求出x的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元， 由题意可知：， 解得：， 经检验：是原方程的根，符合题意， 故， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； （2）解：∵当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件， ∴A品的销量为：(件)， ∴B品的销量为：(件)， ∴， 答：w关于的函数解析式为：； （3）解：∵制作A品和B品的总成本不超过元， ∴， 解得：， 又∵且，即， ∴， ∵，， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，． 此时，，总成本等于1300元， 答：制作A品50件，B品250件时，总成本不超过1300元且总利润最大，最大利润为元． 78．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）阅读以下素材，完成任务挑战． 如何制订黄山毛竹雕刻的销售方案 素材1 以黄山毛竹为原料的徽州竹雕是安徽传统特色手工艺．黄山风景区一家文创商铺售卖竹雕笔筒，成本价为80元/件． 素材2 据调查发现：该店每天销售这款笔筒的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的函数关系： 素材3 现受市场因素的影响，该款笔筒销售单价不低于成本价，同时不高于成本价的1.5倍． 任务挑战 (1)【任务1】确定销售量模型：求该店每天销售这款笔筒的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式，直接写出自变量的取值范围． (2)【任务2】拟定最优方案：当这款笔筒的销售单价定为多少元时，才能使每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)这款笔筒销售单价定为120元时，才能使每天获取的利润W最大，最大利润为2400元 【分析】（1）根据待定系数法求解函数解析式即可； （2）先列出关于的二次函数关系式，再由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设该店每天销售这款笔筒的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为，根据题意，得 解得 ∵受市场因素的影响，该款笔筒的销售单价不低于成本价，同时不高于成本价的1.5倍， ∴， ∴这款笔筒的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为； （2）解：根据题意，得 ． ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，元． 答：这款笔筒销售单价定为120元时，才能使每天获取的利润W最大，最大利润为2400元． 79．（26-27九年级上·甘肃·期中）2025年五一假期期间，定西凤凰城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产的进价为50元/件，B类特产的进价为60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买4件A类特产和7件B类特产需744元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价． (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时，总利润w最大，最大利润是多少元．（利润售价进价） 【答案】(1)A售价每件60元，B售价每件72元 (2) (3)；A类特产每件降价2元时，每天销售的总利润最大，最大利润为1840元 【分析】（1）设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，根据购买4件A类特产和7件B类特产需744元建立方程求解即可； （2）根据每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）列出对应的函数关系式即可； （3）列出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元， 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价为（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． （2）解：由题意得， ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴， ∴． （3）解：由题意得， ， ， ∴当时，w有最大值1840． ∴A类特产每件降价2元时，每天销售的总利润最大，最大利润为1840元． 80．（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）广西壮锦是中国四大名锦之一，与南京云锦、成都蜀锦、苏州宋锦并列．它不仅仅是一种布料，更是一部“穿在身上的史书”，凝聚了壮族人民的智慧、审美和历史记忆．为弘扬地方文化，让更多游客了解广西文化，某文旅公司推出了一款壮锦马甲．已知每件马甲的成本为40元，根据调查发现，当售价为50元时，平均每天可以售出100件；若售价每上涨1元，则每天的销售量减少2件． (1)当每件马甲售价为60元时，平均每天售出马甲________件，每天的利润是________元； (2)设每件马甲售价为元（且为整数），平均每天的销售量为件，每天销售利润为元． ①求关于的函数关系式，并写出的取值范围． ②当售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)80，1600； (2)①（且为整数）；②当售价定为70元时，每天销售利润最大，最大利润是1800元． 【分析】（1）根据售价每上涨1元，则每天的销售量减少2件，列式计算可得平均每天售出的马甲件数；根据利润单件利润销售数量列式计算即可； （2）①根据售价每上涨1元，则每天的销售量减少2件，可列出的代数式表示，根据实际情况可知的取值范围； ②根据利润单件利润销售数量，用含x的代数式表示利润，再根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：当每件马甲售价为60元时， 平均每天售出马甲（件）， 每天的利润是（元）； （2）解：①根据题意得， 即， ∵售价每上涨1元，则每天的销售量减少2件， ∴售价上涨不得超过元， 即， ∵且为整数， ∴， 即（且为整数）； ②根据题意得 ， ∴当时，有最大值，最大值为1800， 即当售价定为70元时，每天销售利润最大，最大利润是1800元． 知识点十七 二次函数实际应用之拱桥问题 81．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，某公园要修建一座抛物线形拱门，拱门底部宽，拱顶距地面．以地面所在直线为x轴，拱门的中线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求这座拱门所在抛物线的解析式； (2)现计划在拱门下方安装一排高的灯柱(垂直于地面)，为不碰到拱门，灯柱应安装在什么范围内？ (3)一辆宽、高的货车想从拱门正中通过，请通过计算说明它能否顺利通过． 【答案】(1) (2)距中线不超过的范围内 (3)货车宽，从正中通过时车轮边缘在处， 此时拱门高度， 因为， 所以这辆货车能顺利通过． 【分析】（1）根据拱门最高点坐标确定抛物线顶点，结合水面宽度得出函数图象经过的点，利用抛物线顶点式设解析式，代入点的坐标求出系数，即可求出抛物线解析式． （2）令，解答即可； （3）根据货车宽度确定车体边缘对应的横坐标，代入抛物线解析式求出此处拱门高度，与车高对比，判断货车能否通过． 【详解】（1）解：根据题意可得抛物线顶点坐标为，且过点， 设，把代入得，解得， 故，其中． （2）解：令得，即， 解得， 故灯柱应安装在距中线不超过的范围内． （3）略 82．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为20米，拱顶距水面5米．拱桥的截面如图所示，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与正常水位的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离是1.3米． (1)求桥拱截线所在抛物线的表达式； (2)为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂0.5米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度，灯笼的宽度不超过0.2米）．灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平间距相等，且灯笼的最底端不低于． ①如果相邻两个灯笼悬挂点的水平间距为0.8米，此时最多可悬挂多少个灯笼？ ②设最左侧灯笼在拱桥截线上的悬挂点的坐标为，如果能且最多只能悬挂7个灯笼，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①最多可悬挂灯笼数为个；② 【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，再根据待定系数法即可解答； （2）①根据灯笼长0.5米，要求灯笼最底端不低于，可得悬挂点的最低纵坐标为，将代入抛物线表达式，即可解答； ②根据最多只能悬挂个灯笼，可得悬挂点从拱顶向左右各延伸个，共个， 设每个灯笼的水平间距为，得到如果要在最左侧的左边再加一个灯笼，则这个灯笼的纵坐标为，根据题意列不等式组即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入可得， 解得， 所以桥拱截线所在抛物线的表达式为； （2）①解：由题意可得点的纵坐标为, 灯笼长0.5米，要求灯笼最底端不低于， 悬挂点的最低纵坐标为， 将代入抛物线表达式，可得， 解得， 相邻悬挂点水平间距为米， 最多可悬挂灯笼数为个； ②最多只能悬挂个灯笼， 悬挂点从拱顶向左右各延伸个，共个， 设每个灯笼的水平间距为， 最左侧灯笼坐标为，则，， ， 如果要在最左侧的左边再加一个灯笼， 那么这个灯笼的横坐标为， ∴这个灯笼的纵坐标为， 根据题意可得， 解得， ， ， ， 当时，， 当时，， 83．（26-27九年级上·内蒙古·期中）如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． (1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】(1) (2)如果该船的速度不变，能安全通过此桥 【分析】（1 ）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据设函数解析式为，根据抛物线的图象和性质得到点D、B的坐标，由待定系数法求出其解即可； （2 ）计算出船行驶到桥下的时间，由这个时间计算水位上升的高度，比较上升的高度与3的大小就可以求出结论． 【详解】（1）解：设函数解析式为，设桥拱最高点到水面的距离为米，，， 则，， 代入，得， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：能，理由如下， 由题意得，船行驶到桥下的时间为小时， 水位上升的高度为米， ， 该船的速度不变，能安全通过此桥． 84．（2026·江苏南通·中考真题）综合与实践： 【生活情境】 某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面． 【建立模型】 (1)如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式． 【解决问题】 (2)当水位上涨到距小孔顶点时，达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，设抛物线的解析式为，抛物线过，代入即可求得解析式； （2）因为小孔顶点距水面，水位上涨到距小孔顶点时，即时，代入抛物线解析式求出的值，进而即可求解题目． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴解析式为 （2）解：∵小孔顶点距水面，水位上涨到距小孔顶点， （米）， ∴当时， ， 解得， ． 答：此时大孔的水面宽度． 85．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期末）远离喧嚣、拥抱自然，露营已然成为人们青睐的假期休闲选择，各式帐篷是户外露营的核心装备．其中抛物线型帐篷支架简约、携带便捷，格外适合日常休闲旅行场景． (1)【建立模型】 小亮发现某款帐篷（如图1所示）的正面支架可以看作是一条抛物线，搭建时支架底端张开的宽度，顶部高度，若以所在直线为x轴，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系（如图2所示），求帐篷支架对应的抛物线的函数解析式； (2)【运用模型】 此帐篷张开时的宽度和高度会影响容纳的拉杆箱数量，图3为一个拉杆箱摆入这款帐篷后的简易视图，拉杆箱高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款拉杆箱，求最多可摆放多少个拉杆箱． 【答案】(1)抛物线的函数解析式为 (2)最多可摆放6个拉杆箱 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先求出，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，然后用待定系数法求解即可； （2）将代入，解出的值，然后用两根之差除以拉杆箱的宽度即可作答． 【详解】（1）解：帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度， ，，顶点 设抛物线函数解析式为 把代入得：， 解得： 抛物线的函数解析式为； （2）解：，且拉杆箱高度， 把代入得， 解得，， ， 拉杆箱宽度， ， 又拉杆箱数量为正整数， 最多可摆放的拉杆箱数量为6个． 答：若在帐篷内沿方向摆放一排此款拉杆箱，最多可摆放6个拉杆箱． 知识点十八 二次函数实际应用之投球问题 86．（26-27九年级上·北京·期中）乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分，爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式． 乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 20 35 40 35 20 (1)根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式，请你判断小聪第二次发球时，乒乓球是否落在球桌内： （填“是”，“否”）． 【答案】(1)40， (2)是 【分析】（1）依据题意，由抛物线经过点和，故抛物线的对称轴为直线，由表可知当时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度即为最大值，则可设抛物线为，然后代入，求出a，进而可以得解； （2）根据第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，令，求得水平距离；然后令，求得第二次的水平距离，两次比较即可得结论． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，小聪第一次发球时乒乓球竖直高度为最大值，最大值为40； ∴设抛物线为， ∵抛物线经过， ∴ 解得， ∴函数关系式为； （2）解：由题意得，令 解得，（舍去）， 由题意得，令 解得，（舍去）， ∵， ∴小聪第二次发球时，乒乓球是落在球桌内． 87．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 【答案】(1)， (2)的整数值为， 【分析】（1）待定系数法求出抛物线表达式即可求出的值，再利用，求出函数值即可求出的值． （2）根据题意确定的坐标范围是，代入坐标求出的取值范围，根据为整数要求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 将代入抛物线，得 ， 解得． ∴抛物线＋2， ∴时，， ∴． （2）解：∵小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时，点的坐标范围是． 当抛物线经过点时， ， 解得 当抛物线经过点时， ， 解得 ∴ ∵为整数， ∴符合条件的的整数值为，． 88．（25-26九年级上·陕西西安·期中）实心球是某地中考体育项目之一，小军在某次掷实心球训练中，实心球被掷出后的运动路线可以看作是如图所示的抛物线的一部分，已知小军投掷时出手点距地面（即），实心球的落地点在点处，且球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，距出手点的水平距离为．以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求图中抛物线的函数解析式； (2)若实心球投掷成绩（即出手点与落地点的水平距离）不小于为满分，请判断小军本次投掷实心球能否得满分． 【答案】(1) (2)小军第一次投掷实心球不能得满分 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将代入解得即可； （2）令，解得，与比较即可． 【详解】（1）解：由题意，可知抛物线最高点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得． ∴本次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式为； （2）解：令， 解得（负值已舍去）， ∴实心球出手点与着陆点的水平距离为． ，即， ， ∴小军本次投掷实心球不能得满分． 89．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）掷实心球是某地中考体育考试的选考项目之一，女同学小蕙结合所学函数知识对其某次投掷进行了如下探索： 【发现问题】小蕙发现掷出的实心球从出手到落地的飞行过程中，实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离一直在相应地发生变化． 【提出问题】实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小蕙利用先进的鹰眼系统记录了她一次投掷时，实心球在飞行过程中相对出手点的水平距离（单位：米）与相对地面的竖直高度（单位：米）的数据，部分数据如下表： 水平距离 1 2 3 4 5 6 竖直高度 根据表中数据建立如图所示的平面直角坐标系，并绘制出实心球的飞行路线，小蕙发现实心球的飞行路线是抛物线的一部分． 【解决问题】 (1)在小蕙这次的投掷过程中，出手点相对地面的竖直高度是________米，实心球在空中的最大竖直高度是________米； (2)求出此次投掷中，实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式； (3)根据该地中考体育掷实心球项目的评分标准（女生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离达到或超过米可得满分，小蕙此次投掷能否得到满分？请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)不能得到满分，理由： 把代入，得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵，，， ∴，即， ∴， ∴， 小蕙在此次考试中不能得到满分． 【分析】根据图表可知当时，实心球在空中取得最大高度，设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式，由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值，代入求解即可； （2）由（1）可知解析式； （3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由图表可知当时，；当时，， ∴可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度，通过图表可得当时，， ∴实心球在空中的最大高度是米， 设抛物线的解析式为， 当时，， 则，解得：， 则， 由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 当时，， 得在小蕙投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米； （2）由（1）可知实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式为； （3）略 90．（26-27九年级上·辽宁大连·期中）小明是一名篮球爱好者，他想知道自己每次投进的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度．当学习到二次函数内容的时候，老师说篮球的运行弧线可以近似看成是一条抛物线，他受到了启发，想好了解决问题的思路并且和几位队友开展了探究与实践活动，记录如下： 活动主题 测量某一次投进篮筐的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度 活动准备 1．查询操场上国际标准篮球架上面篮筐的离地高度； 2．准备皮尺、三角板等测量工具． 设计方案 如图1，小明负责把篮球投进篮筐，同时安排第一位队友负责手持三角板确定篮球到最高点对应的地面位置，安排第二位队友用皮尺测量位置与小明投篮站立位置点的水平距离，第三位队友负责手持三角板确定篮筐中心与地面对应点，并测量水平距离． 采集数据 经测量，小明的出手高度，，．经查询篮筐的高，且、、在一条直线上，和都垂直于． 确定思路 小组成员经过讨论确定，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图2的平面直角坐标系，则抛物线的顶点在轴上，可设抛物线解析式为，分析数据得、两点的坐标，进而求出抛物线的解析式，再利用解析式求出点的坐标，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)求这次投进篮筐的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分析数据得、两点的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）根据抛物线解析式求出顶点坐标，即可得解． 【详解】（1）解：由题意得，，， 将点、的坐标代入得，， 解得 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的顶点在轴上，当时，， 抛物线的顶点坐标， 这次投进篮筐的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度为． 知识点十九 二次函数实际应用之喷水问题 91．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． (1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管的长度； (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； (3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ 【答案】(1)水管的长度为米 (2)景观射灯与池中心的水平距离为7米 (3)水管要升高米 【分析】该题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义． （1）将点B的坐标代入即可求解； （2）把代入解析式，即可求解； （3）设水管要升高h米，求出扩建后抛物线的表达式，即可求解； 【详解】（1）解：由解析式得水柱离水面的最大高度为5米， 将点B的坐标代入中， 得 解得， ∴． 令，得， ∴水管的长度为米； （2）解：由题意得，令 解得，（舍去）， ∴顶端F的横坐标为， ∴景观射灯与池中心的水平距离为7米； （3）解：设水管要升高h米， ∴升高后的抛物线的解析式为． 当时，， ∴ ， ∴， 答：水管要升高米． 92．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图1，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心；如图2，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立如图2的平面直角坐标系． (1)求水管的长度； (2)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点与水管之间的距离为，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变（即将抛物线向上平移），则水管要升高多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可设抛物线的顶点式，再根据水柱落地处离池中心，求出抛物线的表达式，再令，即可求解； （2）设水管要升高米，求出扩建后抛物线的表达式，即可求解． 【详解】（1）解：∵喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为， ∴抛物线的顶点为， ∴设抛物线的表达式为：， ∵水柱落地处离池中心， ∴当时，， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为：， 当时，， ∴． （2）解：设水管要升高米，则扩建后抛物线的表达式为， 当时，， ∴，解得， ∴水管要升高． 93．（24-25九年级上·福建厦门·期中）【问题背景】小明在公园游玩时，对一口“喊泉”产生了兴趣，当人们在泉边喊叫时，泉口便会涌起泉水，声音越大，涌起的泉水越高，涌至最高点所需的时间也越长．在泉水边设有一个响度显示屏，在第一次大喊时，涌起的泉水高度达到了20米，此时显示屏显示数据为60分贝，泉水高度h（米）与响度x（分贝）之间恰好满足正比例函数关系． 任务1根据以上数据，得到h关于x的函数关系式为__________． 【数据分析】为探究响度与泉水涌至最高点所需时间的关系，小明通过多次实验，记录数据如下表： 时间t（秒） 0 1.5 1.75 2 2.25 2.5 响度x（分贝） 0 36 49 64 81 100 任务2为了更直观地体现响度x与时间t之间的关系，请在图中用描点法画出大致图象，并选取适当的数据，建立x关于t的函数关系式． 【推理计算】据“喊泉”介绍显示，泉水最高可达50米． 任务3试根据以上活动结论，求该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间． 【答案】； 根据表格中的数据描点作图可得： ； 【分析】本题考查了二次函数的图象应用，熟悉掌握当定系数法求函数解析式是解题的关键． 任务1：设，把，代入求解即可； 任务2：根据表中数据描点作图，利用待定系数法求二次函数解析式即可； 任务3：把代入，求出后代入二次函数解析式求时间即可． 【详解】任务1： 解：∵与之间恰好满足正比例函数关系， ∴设， 把，代入可得：， 解得：， ∴， 故答案为：； 任务2： 解：∵函数图象过， ∴设，把，和，分别代入可得： ， 解得：， ∴； 任务3： 把代入可得：， 解得：， 把代入可得：， 解得：， ∵， ∴， ∴该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间为秒． 94．（23-24九年级上·山东淄博·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 .    (1)求雕塑高； (2)求落水点、之间的距离； (3)若需要在上的点处竖立一尊高3米的雕塑，且，那么雕塑顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明. 【答案】(1) (2) (3) 不会碰到水柱， 理由：令，则． 【分析】（1）求雕塑的高，直接令代入解析式求得的值即可； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）直接令，求出此时对应的值，若大于3，则不会碰到水柱，反之能碰到． 【详解】（1）解：由题意可知，点在图像上， 当时， ∴ 故：雕塑高． （2）解：当时， 解得 ∴点坐标为 ∴m ∴m 故、点之间的距离为m． （3）略 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点的坐标． 95．根据以下素材，探索完成任务． 素材1 一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观在半径为米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉(图1中的阴影部分)．    素材 2 从喷泉口喷出的水柱成抛物线形，如图2 是该喷泉喷水时的一个截面示意图，已知喷水口A离地面高度为米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为米处离地面最高，高度为米．    问题解决 任务1 建立模型 以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式． 任务2 利用模型 为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，确定喷水口升高的最小值． 任务 3 分析计算 喷泉口升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议． 【答案】任务1：；任务 2：喷水口升高的最小值为米；任务3∶建议花卉的种植宽度为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质． 任务1：依据题意，利用待定系数法即可求解； 任务2：由题意得喷泉池的半径为米，则令，求出值，即可求解； 任务3：根据题意，将抛物线向上平移个单位后，令，求出值，再减去半径即可． 【详解】解∶ 任务1∶ 由题意得，，顶点为， 可设抛物线的函数表达式为， 又抛物线过， ， ， 抛物线的函数表达式为， 任务 2：由题意，喷泉池的半径为米， 令，则， 喷水口升高的最小值为(米)， 任务3∶ 当向上平移个单位， ， 令， 即， 当或(舍去)． (米)． 建议花卉的种植宽度为米． 知识点二十 黄金分割 96．（24-25九年级上·江西九江·期中）（1）解方程：； （2）如图，点C是的黄金分割点，且，，求的长． 【答案】（1），，（2） 【分析】本题考查解一元二次方程，黄金分割： （1）十字相乘法进行因式分解，再进行求解即可； （2）根据黄金分割点的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：（1）将原方程化为， ∴原方程的解为，． （2）∵点C是的黄金分割点，且，， ，即：． ∴． 97．（24-25九年级上·重庆渝北·期中）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．          (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：________； (2)【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，若，则点P叫做线段的黄金分割点． 在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点M是线段的黄金分割点时，直接写出的长度． 【答案】(1) (2) 解：四边形是菱形， 理由：如图3，由折叠可知：，， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； (3)或 【分析】（1）由操作一和操作二可得，利用勾股定理求出即可； （2）由折叠可知，由平行线的性质可知，等量代换得到，则可得，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论； （3）首先求出的长，然后根据黄金分割点的意义分情况列式求出，再分别求出对应的的长，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由操作一可知，由操作二可知， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：∵， ∴由（1）可知，，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵点M是线段的黄金分割点， ∴或， 即或， ∴或， ∴或， ∴或； 即的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，黄金分割等知识，灵活运用各性质定理进行推理计算是解题的关键． 98．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）操作与探究 沪科版教材九年级上册73页阅读与欣赏《奇妙的黄金数》中介绍了“黄金比与黄金矩形”，材料中指出：一个矩形如果切掉一个正方形后，剩下的小矩形与原来的矩形相似，这样的矩形叫做黄金矩形，此时矩形宽与长的比等于黄金比．某数学兴趣小组在阅读课本后发现可以通过折纸得到黄金矩形． 【操作过程】请根据操作完成填空．（设矩形纸片的宽为2） 步骤 图示 操作说明 步骤一 把一张矩形纸片的一端按图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，则； 步骤二 如图2，把这个正方形对折成两个相同的矩形，再把纸片展平，则； 步骤三 折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处，则①______； 步骤四 展平纸片，按照所得到的点D折出，得到矩形，则②______． 结论 如图4，③______，所以矩形是一个黄金矩形． 【探究证明】证明：矩形是黄金矩形． 【答案】【操作过程】①；②；③； 【探究证明】证明：∵矩形是正方形， ∴． 由折叠得：，， ∴在中，， ∴， ∴； ∴； ∵ ∴矩形是黄金矩形． 【分析】本题考查了黄金分割，勾股定理，折叠的性质，在中，利用勾股定理可求出，即得出；再由求解即可；进而即可求，最后根据黄金矩形的定义，观察图形，数形结合可得证明． 【详解】略 99．（26-27九年级上·湖北十堰·阶段检测）阅读材料： 黄金分割定义：点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，比值称为黄金比．一条线段上存在两个黄金分割点．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点位置，视觉效果最好．舞台总长20米． (1)主持人站在距离点较远处的黄金分割点，求； (2)舞台上还有另外一个黄金分割点，则的长为______米； (3)若舞台长为，求两个黄金分割点之间距离．（用含的代数式表示） 【答案】(1)米 (2) (3) 【分析】（1）由黄金分割的定义得到，据此求解即可； （2）同理可得米，求出的长，再根据线段的和差关系可得答案； （3）同（2）求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵米， ∴米； （2）解：同理可得米， ∴米， ∴米； （3）解：设舞台的长为L，点G为靠近F点的黄金分割点，点H为靠近E点的黄金分割点， ∴， ∴， ∴， ∴． 100．（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）阅读与思考 下面是某同学笔记中的部分内容，请认真研读并完成相应的任务： 一元二次方程与黄金分割数概念：如果一个点把一条线段分成两部分，且其中较短一段与较长一段的比等于较长一段与整条线段的长度的比，那么这个比值叫做黄金分割数，这个点叫做黄金分割点．如图1，在线段上找一点C，它把线段分成不相等的两段和，若，且，则这个比值叫作黄金分割数．下面是求黄金分割数的解答过程． 解：设，，则，代入， …… (1)根据材料可知，一条线段有__________个黄金分割点 (2)补全材料中的解答过程． (3)在下图所示的正方形网格中，请你用无刻度的直尺和圆规作线段的一个黄金分割点．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） 【答案】(1)2 (2)解：， 化简得， 解得 ， ， 黄金分割数． (3) 【分析】（1）根据黄金分割点的定义直接作答． （2）根据黄金分割比的定义列出关于的方程，解一元二次方程并舍去负根即可． （3）根据黄金分割点的几何作法，利用勾股定理和圆规作图，在线段中作出的线段，从而确定点的位置． 【详解】（1）解：根据黄金分割点的定义，一条线段有2个黄金分割点，靠近线段左端点和右端点各一个． （2）略 （3）解：令点上方个单位的网格点为，连接， 以为圆心，长为半径画弧，交于， 以为圆心，长为半径画弧，交线段于点， 在正方形网格图中，设个正方形单元格边长为， ，， ， ， ， 点就是线段的一个黄金分割点．（同理）． 知识点二十一 平行线分线段成比例 101．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以线段为边画一个格点，使它与相似，面积之比是． (2)在图②中画一条格点线段，交于点P，使． 【答案】(1) 解：如图，为所作的图形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，且相似比为， ∴． (2) 解：如图，为所作的线段． 连接，如图 由图可知， ∴． 【分析】本题考查了格点作图，相似三角形的判定与性质，平行线间线段成比例，掌握知识点是解题的关键． （1）取的中间格点E，连接，即可解答； （2）取格点C，D，连接，交于点P，且满足，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 102．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，已知是等腰三角形中，，，是的中点，于点，、的延长线交于点．求的长． 【答案】8 【分析】过点A作于点H，由，由等腰三角形三线合一得到，由勾股定理求得，由，得到，则，由D是的中点，得到是的中位线，求得，进一步得到，求得，得到． 【详解】解：过点A作于点H， ∵是等腰三角形，，， ∴， ∴中，， ∵， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键． 103．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，直线、、分别交两条直线于点A，B，C，D，E，F，且， ，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：过点D作，交于点N，交的延长线于点M， ，即， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 设， ：：3， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ； (2)10 【分析】此题重点考查平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）过点D作，交于点N，交的延长线于点M，则四边形是平行四边形，所以，由，，得，由，得，由，推导出，则，所以，则，可证明四边形是平行四边形，进而证明 （2）可证明，则，由，，，，得，求得，则，所以，则 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， ， ，，，， ， ， ， ， ， 的长为 104．（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，是的中线，E是上一点，且，与交于点F．若，求的长． 【答案】2 【分析】本题主要考查中线定义、线段和差关系、平行线分线段成比例等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 过D作交于点G，根据是中线，可以推出，运用平行线分线段成比例定理推出，可以求出的长． 【详解】解：过点D作交于点G， ． 是中线， ， ． 设，则， ， ，， ． ， ， ． 105．（25-26九年级上·山东青岛·期中）【问题提出】如图①，在中，，分别是和上的点，与相交于点，的延长线与相交于点，，求的值． 【方法探究】解：如图②，连接，交于点， ， ． ， ∴△ADE∽△ABC． ． ． 根据“平行线分线段成比例”可得：，即的值是_______． 根据“两角分别相等的两个三角形相似”可得：， 根据“相似三角形的对应边成比例”．可得：，即的值是_______，所以的值是_______． 【自主探究】如图③，在中，分别是和上的点，与相交于点，的延长线与相交于点，，则的值是_______． 【结论归纳】如图④，在中，，分别是和上的点，与相交于点，的延长线与相交于点，，则的值是_______． 【答案】（方法探究），，1；（自主探究）4；（结论归纳）． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （方法探究）如图②，连接，交于点，先证明可得，易得，再按照平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质以及线段的和差求解即可； （自主探究）方法同方法探究； （结论归纳）方法同方法探究． 【详解】解：（方法探究） 如图②，连接，交于点， ， ． ， ∴． ． ． 根据“平行线分线段成比例”可得：，即的值是． ∴， 根据“两角分别相等的两个三角形相似”可得：， 根据“相似三角形的对应边成比例”．可得：，即的值是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的值是1． 故答案为：，，1． （自主探究） 如图③，连接，交于点， ∵， ． ， ∴． ． ． 根据“平行线分线段成比例”可得：． ∴， 根据“两角分别相等的两个三角形相似”可得：， 根据“相似三角形的对应边成比例”．可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． (结论归纳) 如图④，连接，交于点， ∵， ． ， ∴． ． ． 根据“平行线分线段成比例”可得：． ∴， 根据“两角分别相等的两个三角形相似”可得：， 根据“相似三角形的对应边成比例”．可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 知识点二十二 相似三角形的判定 106．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知在中，D是边AC上的一点，的平分线交于点，且．求证：． 【答案】∵平分， ∴. ∵， ∴. 即. 又∵， ∴. 又∵， ∴. 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可. 【详解】略 107．（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，点在一条直线上，交于点，，且．求证：． 【答案】证明： ， ，即， 又 ， ． 【分析】根据可得，结合可证． 【详解】略 108．（26-27九年级上·福建宁德·阶段检测）如图，在中，D，E分别是，上的点，．求证：． 【答案】证明：∵（平角），， ∴． 又∵（公共角）， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 【分析】两角分别相等的两个三角形相似． 【详解】略． 109．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，中，为上一点，连接，是上的一点，．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴． 【分析】由平行四边形的性质可得，可得，，即可证． 【详解】略 110．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，中，，于点，于点，交于点． (1)求证：； (2)若平分，在不添加任何辅助线的条件下，找出图中所有与相似的三角形． 【答案】(1)证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)、、、 【分析】（1）证明即可； （2）根据两组角对应相等，两三角形相似求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∵ ∴ 综上所述，与相似的三角形有、、、． 知识点二十三 相似三角形的性质 111．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，，，，． (1)求的长． (2)求与的面积比． 【答案】(1)3.6； (2) 【分析】先证出两三角形相似，再利用相似三角形的性质即可解得结果． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ， ， ． （2）解：， ． 112．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，在中，，过点C作垂直斜边于点D． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质． （1）由，即可证明； （2）根据相似三角形的性质得到，即可求出线段的长． 【详解】（1）略 （2）∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 113．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在和中，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴； (2)12 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解题的关键． （1）根据两角相等，两三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 114．（24-25九年级上·广西来宾·期中）如图，四边形是某学校的一块种植实践基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知，，，． (1)求证：； (2)若蔬菜园的面积为60，求水果园的面积． 【答案】(1) 证明：∵，，， ∴，，   ∴，    ∵， ∴，     ∴； (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质． （1）利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知：， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为：， 答：水果园的面积为． 115．（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，四边形中，为边上一点，连接，交于点，且，． (1)求证：； (2)若,,，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ， ， ． (2) 【分析】（1）由，得，而，则，所以，因为，所以，则； （2）由，，根据相似三角形的性质得，则，由，，证明，而，则，于是得，解得． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， ， ，， ， ， ， , 解得或（舍去） ． 知识点二十四 平行投影 116．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量铁塔的高度，如图，在地面上取、两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且铁塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处，从处观察点，、、三点成一线，从标杆走到处，从处观察点，、、三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助该实验小组求出铁塔的高度． 【答案】铁塔的高度为 【分析】由题意可得，，，，，，，则，，证明，，由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得，，，，，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴铁塔的高度为． 117．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）【问题情境】10月1日，成都市在广场举行了“十一”升国旗仪式，广场上鲜花绽放、红旗飘扬，在属于全国人民的节日里用庄严的升国旗仪式向全体市民致敬，某校把“测量旗杆高度”作为一项课题活动，利用课余时间进行实地测量，可选用工具：测量角度（单位：度）的仪器、测量距离（单位：m）的皮尺、标杆、平面镜等．（注：以下数据为多次测量的平均值） 【实践探究】某小组测量方案及数据如下表： 项目 测量民族广场旗杆的高度 工具 标杆、测量距离（单位：m）的皮尺 测量示意图及说明    说明：用标杆测量旗杆的高度、线段表示观测者的眼睛到地面的距离，线段EF表示标杆，线段BC表示旗杆，D，F，C三点共线，，，，点A，E，B在同一平面内． 测量数据 平均值 【问题解决】请运用所学知识，根据上表中的测量数据，求出旗杆的高度； 【答案】 【分析】过点D作交于点H，交于点G，则，，由题意得到，从而有，代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图，过点D作交于点H，交于点G， ∵，，，， ∴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴旗杆的长度． 118．（26-27九年级上·甘肃·期中）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像；第二次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像．已知，，，小军的眼睛距地面（即），量得，求这棵古松树的高度．（镜子大小忽略不计） 【答案】 【分析】先证明，得出，再证明，得出，由，得出，继而求出的长度，代入即可求出的长度，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 解得：， 答：这棵古松树的高度为． 119．（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处．点到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点、、、在同一水平面上． (1)求的长； (2)求手电筒灯泡到地面的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意，由相似三角形的判定与性质得到，代入计算即可； （2）由相似三角形的判定与性质得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ，则， 即， 解得； （2）解：， ， ， 又， ， ， ， 解得， 答：灯泡到地面的高度为． 120．（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）综合与实践：锦江亭位于丹东市锦江山公园山顶，是公园的标志性建筑之一．我校九年数学综合与实践小组开展测量锦江亭高度的活动，记录如下： 活动主题 测量锦江亭的高度 实物图和测量示意图 测量步骤 步骤1： 把标杆垂直立于地面点D处，锦江亭顶点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q． 步骤2： 将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，锦江亭顶点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P． 测量数据 ，，， 备注 点B，D，Q，F，P在同一水平线上 根据表格中的信息和数据，求锦江亭的高度． 【答案】锦江亭的高度为 【分析】由可得，从而证得，，由，利用相似三角形对应边成比例列关系式，得到，即可用含的式子表示的长，由，利用相似三角形对应边成比例列关系式，即可求出． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ，即， 解得， 锦江亭的高度为． 知识点二十五 中心投影 121．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）小美和小丽利用学过的数学知识测量家门口一盏路灯的高度，如图，当小丽站在D处时，她的影子为，小美测量出，当小丽移动至点F时，她的影子为，小美测量出．已知，点B、D、M、F、N在同一水平直线上，图中所有的点都在同一平面内，请你求出路灯的高度． 【答案】路灯的高度为． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．证明，可得，再由，可得，可求出的长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ 解得：， 答：路灯的高度为． 122．（25-26九年级上·四川成都·期末）九年级（）班小艺同学在周末晚上利用所学知识测量路灯灯光下人的影长变化．如图，路灯点距地面米，小艺在距路灯的底部点米的点时，测得此时他的影子的长度为米．小艺沿方向行走米到点时，即米，此时的影子为 (1)求小艺的身高； (2)小艺在点时，影子的长度较原影子的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【答案】(1)米 (2)影子变短了，变短了米 【分析】（）由∽得，代入已知求出即可； （）由∽得，求出的长，再与比较即可求解； 本题考查了相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ， ， 即， 解得米， 答：小艺的身高为米； （2）解：∵米，米， 米， ， ， 即， 解得米， ∴（米）， 答：影子变短了，变短了米． 123．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）综合实践小组的同学利用平面镜、尺子等工具测量了某广场上路灯的高度．如图，在支架的点C处放置一面平面镜（平面镜大小忽略不计），支架与路灯的水平距离为，当小亮站在点F处时，恰好能从平面镜中看到路灯顶端A的像．已知小亮眼睛到地面的高度为，支架的高度为，小亮与支架的水平距离为，点B、D、F在同一直线上，，，，图中所有点均在同一平面内，求该路灯的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质．过点作，可证四边形为矩形，，根据相似三角形对应边成比例可得，可以求出的长度，再根据求出路灯的高度． 【详解】解：如下图所示，过点作， 于点，于点，交的延长线于点， ，，， ， 四边形为矩形， ， 根据入射角等于反射角，可得：， ， ， ，， ，， ，， ， ， 解得：， ． 答：路灯的高度为． 124．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图是阳光综合实践小组设计的利用小树来测量某路灯高度的示意图．先测得树与路灯的水平距离为，小树的高为，之后发现路灯顶点O的影子与树梢点A的影子重合，此时记录小树在路灯O的照射下形成树影的长为，已知点P，B，C在一条直线上，，，求路灯的高度． 【答案】路灯的高度为 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，先证明可得，再利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴路灯的高度为． 125．（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）学科实践--测量物体的高度 活动课题：借助标杆测量校园内路灯、国旗杆的高度．活动工具：标杆、皮尺、激光仪等工具． 方案设计及问题解决（图中各点均在同一竖直平面内）： (1)笃行组进行路灯测量（如图1），在路灯旁的水平空地上直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过．测量数据：米，米．计算图1中路灯的高度． (2)缜密组想直接用笃行组的方法进行图2中国旗杆高度的测量，操作中发现：由于国旗杆底部台阶影响，无法测得线段的长，因此不能求得国旗杆高度．于是对笃行组的方案作出补充：在如图2中仍先直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A，测得线段米；再直立一根同样高度的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A．并测得米，计算国旗杆的高度． 【答案】(1)路灯的高度为5.8米 (2)米 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和应用．解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出相应的线段的长度． （1）根据可知，根据米，米，米，可知，从而可求的长度； （2）首先根据可知，根据米，米，，从而可得，根据可知，根据又米，米，，可得，等量代换可得，整理可得． 【详解】（1）解：， ， ， 米，米，米， 米， ， 解得：米； （2）解： ， ， ， 又米，米， ， 整理得：， ， ， ， 又米，米，， ， ， 解得：． 即国旗杆的高度为米． 知识点二十六 相似三角形动点问题 126．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，在矩形中，，，点是的中点．点，分别从点，两点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点，的速度均为，当点到达点时，两个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为 ． (1)当秒时，的值是多少？ (2)当为何值时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据运动情况得到，，再根据求解，即可解题； （2）分两种情况：①当时，②当时，结合相似三角形性质列式求解，即可解题． 【详解】（1）解：当时，， ， ． ∵点是的中点，， ∴． ∴ ． （2）解：当运动时间为时，，． ①当时， 则， 即． 解得：． ②当时， 则时， 即． 解得：，． 综上所述，或或． 127．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，在中，， ， ，点从点开始沿以的速度向点运动，点从点开始沿以的速度向点运动，如果，分别从，同时出发，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止，设运动时间为． 当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似? 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．本题中两个三角形相似存在两种情况：当时，；当时，，对应角不同相似三角形的对应边也不相同，所以本题要分两种情况讨论，据此求解即可． 【详解】解：如下图所示， 点运动的时间为，点运动的时间为， 当运动时间为时，，， 则有 中，，以，，为顶点的三角形中， 如果和以，，为顶点的三角形相似， 则有或， 当时，， ， ， 解得：； 当时，， ， ， 解得：； 综上所述当运动的时间为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 128．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在中，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P，Q两点同时移动． (1)当移动几秒时，的面积为？ (2)当移动几秒时，与相似？ 【答案】(1)或秒 (2)或秒 【分析】（1）设移动秒，表示出，，再列方程即可解答； （2）设移动秒，分和两种情况，分别列方程即可解答． 【详解】（1）解：（秒），（秒）， 设移动秒，且，则，， ， 的面积为， 解得，， 所以当移动或秒时，的面积为； （2）解：设移动秒，且，则，， 当时，， 则可得， 解得； 当时，， 则可得， 解得； 所以当移动或秒时，与相似． 129．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在中，，，．点M在边上，以的速度由点B出发沿向点A匀速运动；同时点N在边上，以的速度由A出发沿向点C匀速运动．当点M到达A点时，点M，N同时停止运动．连接，设点M运动的时间为t（单位：s）． (1)是否存在时间t，使得以A，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出时间t的值；若不存在，请说明理由； (2)当t为何值时，的面积为面积的； 【答案】(1)存在， 或 (2) 或 【分析】（1）题目存在公共角，分、两种相似对应情况，把，代入比例式，分别解方程得到与，验证两个数值都满足，判定存在对应的时间． （2）利用共角三角形面积比等于夹公共角两边乘积之比，代入、、、，令面积比值等于，整理得到一元二次方程，因式分解求解，得到、，检验两个解都在的取值范围内，即为所求的值． 【详解】（1）解：由勾股定理： 点速度2，点速度1，故： ， 考虑到达需 即 ， 到达需 ，共同停止条件取较小者，故：， 在 和 中，（公共角），所以要判定相似，只需看夹这个角的两边怎么对应， 情形一： 交叉相乘：， 因为 ，所以符合． 情形二： 交叉相乘： 又因为 ，也符合． 所以存在两个符合条件的 值： 和 ． （2）解：过点作 于，过点作 于． 因为 （都是直角），且 （都与角A相同），所以 ， 则有， 从而， 三角形的面积：； 三角形的面积：； 两面积相除：； 代入具体长度：； 根据题意，面积比等于 ： ， 两边同乘156：， 展开：， 整理：， 用十字相乘法：， 所以或 ， 两个值都在 范围内，都成立． 130．（26-27九年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，点，，连接，动点M、N分别同时从点A、O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形的面积恰好为76时，求此时t的值； (2)试求t为何值时，与相似？ 【答案】(1)4或6 (2)2或5 【分析】（1）先根据点坐标得到，，由运动速度表示线段：，，运动范围．利用四边形面积等于面积减去面积，建立一元二次方程求解； （2）两个直角三角形直角对应相等，分两种对应边成比例情况分类讨论，列方程求出t． 【详解】（1）解：， ， ． 由题意得：，， ． 四边形的面积， ， 整理得：， 因式分解得， 解得，． 两个解均满足． 的值为或． （2）解：， 与相似分两种情况： ①当时， ， 即， 化简得，解得． ②当时， ， 即， ， 解得． 、都符合题意， 的值为或． 知识点二十七 尺规作图 131．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）． (1)请在图1中以为一边画一个格点，使它与相似但不全等； (2)请在图2中画一个面积最大的格点，使之与相似，并求出的面积． 【答案】(1)如图所示： (2)如图所示： 的面积为5． 【分析】（1）由图形可知，，由此即可画出图形； （2）根据图形可知的三边长分别为，，，相似三角形对应边成比例，设的三边分别为，，，，由，对取值即可． 【详解】（1）略； （2）根据图形可知的三边长分别为，，， 相似三角形对应边成比例， 设的三边分别为，，，， 正方形网格中最长线段长， 的最大值为， 此时的三边分别为，，， 画图略； ， ． 132．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 【答案】(1)如图，即为所求作，； (2)如图，即为所求作，． 【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可得，进而计算的面积， （2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可得，进而计算的周长． 【详解】（1）解：作略， 的面积为； （2）解：作略， ∵，面积之比为， ∴和的相似比为， ∵，，， ∴，，， ∴的周长． 133．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段与交于点P． (1)图1中的值为__________； (2)请仅用无刻度的直尺作图． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最大的格点，使它与相似． 【答案】(1)3 (2)①如图，即为所求； ②如图，即为所求 【分析】（1）根据网格及相似三角形的判定和性质即可求解； （2）①利用网格画出即可； ②结合网格及勾股定理，利用三边对应成比例画图，且使三角形的一条边为网格中可以画出的最长线段． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ∴； （2）①证明：根据网格可得：， ∴， ∴； ②∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． 134．（2026·吉林·模拟预测）图①、图②均是的网格，每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点． 的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，作格点E，连接、，使； (2)在图②中，作格点E，连接、，使． 【答案】(1)如图所示，点为所求点， ； (2)如图所示，点为所求点， ； 【分析】（1）由网格图像得到，再根据得到，所以，根据网格的特点画出点； （2）先找出与相等的角，再利用相似求得的长度，确定点的位置． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 根据网格的特点可知为两个网格的对角线， ∴作相邻两个网格的对角线， 即点为所求点； （2）解：如图图所示， ， 由网格可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又， ∴，． 135．（2025·吉林长春·二模）图①、图②均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点均为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图． (1)图①中，画出的中线； (2)图②中，在的边上找一点F，连接，使； (3)图③中，在的边上找一点G，连接，使的面积为2． 【答案】(1) 如图①中，线段即为所求； (2) 如图②中，线段即为所求； (3) 如图③中，线段即为所求． 【分析】本题主要考查了网格作图，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点，连接，交于点D，利用矩形的性质得到点D是的中点，连接即可； （2）取格点P、Q，连接交于点F，连接，，得，根据相似三角形的性质，即可得； （3）取格点J，K，连接交于点G，连接即可（的面积的面积）． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 知识点二十八 位似图形 136．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，在的正方形网格中，与是位似图形． (1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________；与的位似中心的坐标为___________；与的位似比为___________； (2)以点为位似中心，在网格图中作，使和位似，且相似比为； (3)在图上标出与的位似中心，写出点的坐标为___________． 【答案】(1)，， (2)如图所示： (3) 【分析】（1）利用点和的坐标画出直角坐标系，然后写出点坐标，连接，，其交点即为位似中心，由计算位似比； （2）分别取中点为，中点为，连接即可； （3）求出直线，的交点即为点． 【详解】（1）解：如图建立直角坐标系，连接，， 由图可知，点的坐标为， ，交于原点，则与的位似中心的坐标为， 已知，， 故与的位似比为． （2）略 （3）解：如图，连接，，与交于点， 已知点的坐标为，的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 则直线的解析式为 直线为直线， 当，， 故点的坐标为． 137．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【答案】(1)解：①如图，为所作， ②如图，为所作， (2)是位似图形，如图，点为所求， 点的坐标为 【分析】（1）①将、延长一倍，即可得到与，连接即可； ②根据平移的性质描点，然后连线即可； （2）作直线、、，并判断是否交于同一个点即可． 【详解】（1）①略 ②略 （2）解：由图可知，直线、、交于同一个点， ∴与是位似图形，且交点即为点， ∴点的坐标为． 138．（25-26七年级下·吉林白山·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别是，，． (1)在图中作出三角形； (2)把三角形先向下平移5个单位长度，再向左平移2个单位长度，作出三角形平移后的三角形（点、、的对应点分别为点、、），并写出点的坐标． 【答案】(1)解：如图，三角形即为所作． (2)解：如图，三角形即为所作． 点的坐标为． 【分析】（1）先画出点，再顺次连接即可； （2）先根据平移的性质画出点，再顺次连接即可得三角形，然后根据点坐标的平移变换规律可得点的坐标． 【详解】（1）解：略． （2）解：由点坐标的平移变换规律可知，点的坐标为，即为． 139．（25-26七年级下·广西梧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标分别为，，．将三角形先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形，点A，B，C的对应点分别是，，． (1)请在图中画出三角形，并直接写出点的坐标； (2)求三角形的面积； (3)点M在x轴上，若三角形的面积为2，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) 如图，三角形即为所求，， (2) (3)或 【分析】（1）先根据平移的性质确定A、B、C对应点A1、B1、C1的位置，再顺次连接，然后写出的坐标即可； （2）利用割补法求解即可； （3）设的纵坐标是b，根据三角形的面积为2，可得，求出，即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：略； （2）解：； （3）解：设的纵坐标是b， ∵三角形的面积为2， ∴， ∴， ∴， ∴或． 140．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． (1)作出与关于轴对称的，其中点的对应点分别是． (2)求的面积． (3)已知点，直线平行于轴，求点的坐标． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) 7 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）利用割补法求解即可； （3）平行于y轴的直线上的点的横坐标相同，据此列方程求出a的值即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，； （3）解：由（1）得点的坐标为， ∵直线平行于轴，， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 知识点二十九 二次函数与相似三角形 141．（2025·湖南衡阳·三模）如图，二次函数图象与轴交于点两点（点在点的右边），与轴交于点． (1)求三点的坐标． (2)若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点是线段上的任意一点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3)点坐标为(-1，2)或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． （1）令和求出抛物线与x轴，y轴的交点坐标即可； （2）先得到抛物线的对称轴，设点，根据列方程求出m的值即可； （3）先求出线段，的长，然后分为，，根据相似三角形的对应边成比例求出长，即可求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：令，得， ． 令，得， 解得或， ． （2）解：存在，理由如下， 抛物线的对称轴为， 设点， 三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形， ， ， ， 解得， ； （3）解：令， 或， ， 又， ， ． 设长为． 若，如图1． ， ， ， ， ， 点坐标为． 若，如图2． ， ． 同理可得， ， ∴点坐标为． 综上所述，点坐标为或时符合题意． 142．（2025·江苏宿迁·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，再求出直线的解析式为，设，则，求出，利用二次函数的性质即可求解； （3）先求出，根据以点、、为顶点的三角形与相似，分或，两种情况讨论，设，则，求出，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将、两点代入抛物线， 则， 解得：， 即抛物线解析式为：； （2）解：将代入中，则， ∴， 又∵， 设直线的解析为， 则，解得：， ∴直线的解析为， 设，则， ∴， ∵，且， ∴当时，线段有最大值为； （3）解：存在以点、、为顶点的三角形与相似，理由如下： ∵， ∴ ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵以点、、为顶点的三角形与相似， ∴或， ∵， . ∴， 设，则， ∴， ∴或， 解得(P与C重合，舍去)或或， 当时，， 当，时，，, ∴.P的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，相似三角形性质与判定，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关 键是分类讨论思想的应用， 143．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴交线段于点G，点H在对称轴上，且在点G的上方，若以H，C，G为顶点的三角形与相似，则点H的坐标为________； (3)点P是射线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D．点M是线段上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (4)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点D，且与直线相交于另一点K．点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标________． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）画出图形，根据相似三角形的性质即可解答； （3）将点向右平移2个单位得到点，连接交轴于点，过点作，连接，则此时最小，即可求解； （4），则，则直线的表达式为：，即可求解；当点在上方时，同理可解． 【详解】（1）解：在中，令，则， ， ， ， ， 即点， 由题意得， 解得， 则抛物线的表达式为：； （2）解：令， 解得，， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得 ， 解得， 所以直线的表达式为， ， ∴抛物线的对称轴为直线， ， ， 若以H，C，G为顶点的三角形与相似， 当时，如图，可得， 当时，如图， , ， , ， 综上，点H的坐标为或； （3）解：设点，则点， 则， 当时，取得最大值，则点、，则， 将点向右平移2个单位得到点，连接交轴于点，过点作，连接， 则四边形为平行四边形，则， 则此时为最小； （4）解：将该抛物线沿射线方向平移，， 抛物线左右和上下平移的距离相同， 设向左平移个单位，则向下平移了个单位， 则新抛物线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则新抛物线的表达式为：， 设直线的表达式为， 把代入可得，， 解得， 所以直线的表达式为：， 当点在下方时， ，则， 则直线和表达式中的值相同， 而过点， 则直线的表达式为：， 联立上式和新抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 即点； 当点在上方时， 设交于点， 可得和关于直线对称， ， ， 设，解得， ， ， ， 设直线的解析式为， 把，代入可得 ， 解得 所以直线的表达式为：， 联立上式和新抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 即点，； 综上，点的坐标为：或． 144．（2024·四川德阳·三模）如图，已知抛物线：与轴交于点，，（在的左侧），与轴交于点，对称轴是直线，是第一象限内抛物线上的任一点． (1)求抛物线的解析式； (2)有可能是等边三角形吗？若是，请求点P的坐标，若不是，请说明理由； (3)过点作轴的垂线与线段交于点，垂足为点，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 不可能是等边三角形，理由如下： 取的中点，过点作轴交抛物线于点，连接， ，则， 令，则，， ， ， 不可能是等边三角形； (3)点的坐标为或 【分析】（1）把点代入中，再由对称轴是直线列方程，两个方程组成方程组可解答； （2）当是等边三角形时，点在的垂直平分线上，所以取的中点，过点作轴交抛物线于点，连接，计算，可知不可能是等边三角形； （3）分两种情况：①当时，根据的长列方程可解答；②当，过点作轴于，证明，可得结论． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）略 （3）解：设点的坐标为，则，， 分两种情况： ①如图2，， ，， ， ， ，， ， ， 解得：，， ； ②如图3，，则， 过点作轴于， ， ， ， ， ， ， 解得：（舍，， ； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及待定系数法，等边三角形的判定，相似三角形性质和判定，三角函数等知识，解题的关键是运用分类讨论的思想解决以，，为顶点的三角形与相似的情况． 145．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为的中点，直线交抛物线于点，且点坐标为，点坐标为． (1)求这条抛物线对应的函数关系式； (2)连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (3)连接交直线于点，在直线上，是否存在这样的点不与点重合，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下， 令，则， 解得或 ∴点坐标为， ∵为的中点，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴，即； (3)存在，点的坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得点坐标为，利用勾股定理及其逆定理求得为直角三角形，即可得到； （3）求得，推出，得到点与点重合，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵点，，在抛物线上， 则， 解得， ∴这条抛物线对应的函数关系式为； （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即点符合条件，点与点重合， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理及其逆定理、相似三角形的判定和性质等知识及综合应用知识、解决问题的能力． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习压轴专题01 解答题分类训练 （新沪教版九年级，29种类型145道） 范围：第27章—第28章 知识点一 二次函数的定义 1．（25-26九年级上·吉林·期中）若二次函数的开口向下，求的值． 2．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 3．（25-26九年级上·广西梧州·期中）（1）若函数是关于的二次函数，求的值； （2）已知二次函数的图像与轴只有一个交点，求该交点的坐标． 4．（25-26九年级上·广东中山·期中）若函数是二次函数． (1)求k的值； (2)当时，求自变量x的值． 5．（25-26九年级上·云南玉溪·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数． (1)求满足条件的m的值； (2)当，求y的取值范围． 知识点二 二次函数的图象与性质 6．（24-25九年级上·天津北辰·期中）已知抛物线． (1)把表格补充完整； (2)顶点坐标 ，对称轴 ； (3)画出该二次函数的图象； (4)当时，的取值范围是 ； (5)当时，的取值范围是 ． 7．（24-25九年级上·北京通州·期中）已知二次函数（m为常数）的图象经过点，． (1)求此二次函数图象的对称轴（用含m的代数式表示）； (2)请判断，的大小关系并说明理由． 8．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知抛物线，与x轴的交点A，B（点A在点B的左侧）． (1)若时，求点A，B的坐标． (2)若，求m的值及抛物线的对称轴． 9．（2025·山东临沂·一模）已知二次函数． (1)若函数图象经过点，求抛物线的对称轴． (2)若，当时，随的增大而增大，求的取值范围． (3)若，两点都在二次函数的图象上，试比较与的大小，并说明理由． 10．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期中）已知二次函数，在平面直角坐标系中画出该函数的图象，并将轴下方的图象沿轴翻折，得到的图象与轴上方的部分组合得到新的函数图象，设这个新的函数为． (1)请在下面的平面直角坐标系中画出的图象． (2)结合的函数图象回答下面问题： ①直接写出随增大而增大的自变量的取值范围． ②当直线与有四个交点时，求出的取值范围． 知识点三 二次函数的最值 11．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的对称轴为直线． (1)求二次函数的表达式； (2)当时，求函数的取值范围． 12．已知二次函数（，为常数）. （1）当，时，请判断抛物线与轴的交点情况，并说明理由； （2）当时， ①请求出抛物线的顶点的坐标（用含的式子表示）；并直接写出点所在的函数图象解析式； ②若在自变量满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为6，求的值． 13．（2026·浙江丽水·模拟预测）已知直线交抛物线（常数）于点，，． (1)求抛物线的对称轴． (2)当抛物线最高点到直线的距离为9时， ①求的值； ②若点，是范围内抛物线上的两点，且，．当取得最大值时，记点向右平移3个单位后的点为，求线段的中点的坐标． 14．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数（，为常数，）的图象经过点． (1)求该二次函数图象的对称轴． (2)若该二次函数的图象经过点，，求的最大值． (3)当时，该二次函数的图象经过点，，且，直接写出的取值范围． 15．（26-27九年级上·辽宁·期中）【问题背景】教材第54页《数学活动》 观察下列两个两位数（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，如：，，…，，． 能用二次函数的知识证明的积最大． 【类比探究】 观察下列两数相乘的运算，如，，，…，，，，，，…，，，． 请你猜想，积最大的是_______________． 【归纳结论】和为定值的两个正数相乘，当这两个数相等时，它们的乘积最大． 【问题解决】 (1)请补全【类比探究】中的猜想：积最大的是_________． (2)用你所学的知识证明【归纳结论】的正确性，（提示：设其中一个正数为，两个正数的和为．） (3)如图，四边形的对角线互相垂直，垂足为，且，求四边形的面积的最大值． 知识点四 利用二次函数的对称性求最短路径 16．（26-27九年级上·甘肃平凉·阶段检测）如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求此时点的坐标； (3)若点是抛物线的顶点，求的面积． 17．（26-27九年级上·天津南开·阶段检测）如图，已知，二次函数的图象与轴交于、两点，其中点坐标为．与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，求出当最小时点的坐标； (3)若抛物线上有一动点，点在直线的下方，当的面积最大时，求点坐标和的最大面积． 18．（26-27九年级上·甘肃兰州·阶段检测）综合与实践 如图所示，已知抛物线的对称轴为直线，且经过两点，与x轴的另一个交点为B． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为抛物线上的一个动点，求使的面积为6的点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求和的最小值及点M的坐标． 19．（26-27九年级上·河南周口·阶段检测）如图，抛物线与直线相交于点和点B． (1)求m和b的值； (2)点P是抛物线对称轴上一动点，连接，，求最小时点P的坐标； (3)点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，请你画图观察，直接写出点M的横坐标的取值范围． 20．（26-27九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，其中A点坐标为，与轴相交于点，另外抛物线经过点，M为它的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)点N是抛物线对称轴上的一个动点，当最小时，求N点的坐标； (3)求的面积． 知识点五 二次函数的平移 21．（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·阶段检测）若将平面直角坐标系的坐标轴向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，原坐标系中的抛物线在新坐标系下的解析式为． (1)求抛物线在原坐标系下的解析式； (2)指出该抛物线在原坐标系中的开口方向、对称轴和顶点坐标． 22．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）把二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度可得到二次函数的图象． (1)直接写出，，的值； (2)写出二次函数的具体解析式和图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)通过计算说明二次函数的图象向下平移多少个单位会经过点． 23．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）已知二次函数． (1)直接写出抛物线的开口方向及顶点坐标； (2)当在什么范围内，随的增大而减小？ (3)把此抛物线向左平移3个单位，再向下平移7个单位后，得到的新抛物线是否过点，请说明理由． 24．（26-27九年级上·新疆昌吉·阶段检测）已知二次函数的图象的顶点坐标为． (1)写出m，k的值． (2)判断点是否在这个函数的图象上． (3)将该二次函数的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得函数．求a，b，c的值． 25．（26-27九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，点在轴正半轴上，点、在二次函数的图象上，四边形是菱形，， (1)求的坐标和菱形的面积． (2)将抛物线向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度．写出平移后的解析式，若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围是 ． 知识点六 待定系数法求二次函数解析式 26．（26-27九年级上·甘肃·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，且过点，求抛物线的解析式． 27．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）已知二次函数的图像经过点，，． (1)求这个二次函数的表达式； (2)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并判断有最高点还是最低点． 28．（25-26九年级上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为．求该二次函数的表达式． 29．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）当时，抛物线有最小值为，且抛物线与轴交于点．求这条抛物线的解析式． 30．（25-26九年级上·湖南湘西·期中）一条抛物线的顶点为，与轴的交点是．求该抛物线的解析式及其对称轴． 知识点七 根据二次函数的图象确定相应方程的根 31．（25-26九年级上·广东汕头·期中）已知抛物线：． (1)用配方法求抛物线的顶点坐标； (2)把抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度得到抛物线，求抛物线的解析式； (3)求抛物线与坐标轴的交点坐标． 32．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）抛物线上有三点，和． (1)求抛物线的解析式； (2)设抛物线与轴交于和两点，试求的长． 33．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)结合图象直接写出：的解集；以及当时，函数值y的取值范围． 34．（26-27九年级上·福建龙岩·期中）已知抛物线（m为常数）． (1)求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有交点； (2)若抛物线与x轴的两个交点分别在原点的两侧，求m的取值范围． 35．（26-27九年级上·山东日照·期中）已知二次函数（且为常数）． (1)若抛物线的对称轴为y轴，求a的值； (2)当时， ①求该二次函数图象的顶点坐标； ②若点在该抛物线上，且，求的取值范围； 知识点八 二次函数与方程 36．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数 (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标________，________； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象，在图中标出与y轴交点坐标； (3)结合图象，请回答：当时，y的取值范围是________． 37．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）已知抛物线． (1)图象的开口方向为__________，对称轴是__________，顶点坐标是__________； (2)分别求出抛物线与x轴，y轴的交点坐标； (3)在给出的平面直角坐标系中，作出（1）（2）中的点和线； (4)观察图象：当时，x的取值范围为__________；当时，y的最小值为__________，最大值为__________． 38．“类二次函数”是在二次函数的一般式中把自变量x加上一个绝对值所形成的函数．小明对一个类二次函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请帮他补充完整． (1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y … 0 -3 -4 -3 0 -3 -4 -3 0 … 其中，________，________； (2)根据表中数据，请画出该函数的图象； (3)观察函数图象，并写出该函数的两条性质； (4)探究与应用： ①方程有________实数根； ②若有关于x的不等式，则x的取值范围是________． 39．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)已知，是抛物线上的两个点，若对于，都有，求实数的取值范围． 40．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，抛物线经过点，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)抛物线的对称轴上有一点P，当的值最小时，求点P的坐标； (4)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 知识点九 二次函数与不等式 41．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 … y … 0 0 … (1)求这个二次函数的表达式； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，直接写出y的取值范围． 42．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，已知抛物线经过两点． (1)求抛物线与轴的交点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 43．（24-25九年级上·广西河池·期中）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题： (1)方程的两个根为______； (2)当时，则的取值范围为_______；若方程有实数根，则的取值范围是______； (3)当时，求变量的取值范围． 44．一次函数与二次函数的图象交于和两点，且当时，二次函数取得最大值． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，二次函数y的取值范围是 ； (3)当自变量x的取值范围是 时，一次函数的值大于二次函数的值． 45．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： 其中， (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． (3)进一步探究函数图象发现： ①关于x的方程实数根为 ； ②关于x的方程有个实数根时，的取值范围是 ． 知识点十 二次函数与线段（周长）问题 46．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，抛物线与轴交于两点，点在轴负半轴，点在轴正半轴，与轴交于点，且． (1)求点、点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在（2）中抛物线的对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 47．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）已知抛物线经过点、，与y轴交于点． (1)求这条抛物线的表达式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴，交直线于点Q，求线段的最大值及此时点P的坐标； (3)设抛物线的对称轴为直线l，在直线l上是否存在点N，使？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 48．（26-27九年级上·山东济宁·阶段检测）如图1，已知抛物线交轴于点，点，交轴于点．过点作，交抛物线于点． (1)此抛物线对称轴为______；______，______； (2)如图2，点是线段上一动点，连接，若平分，求点的坐标； (3)将抛物线图象沿轴正方向平移个单位得到新抛物线的图象，对于新抛物线图象上的一点，当时，的最小值为． ①直接写出的值； ②如图3，在（2）的条件下，连接，点为线段上一动点，过点作轴的平行线，交抛物线的图象于点，当点从左向右运动时线段的长度逐渐减小，求的横坐标为的取值范围． 49．（26-27九年级上·天津·阶段检测）二次函数的图像上，有点B与点C关于对称轴对称，一次函数的图象经过二次函数图象上的点及点B． (1)求二次函数与一次函数的解析式． (2)抛物线对称轴上是否存在点M使得最短，如存在求点M坐标，如不存在说明理由． (3)点P是该抛物线上一动点，点P从A点沿抛物线向B点运动（点P不与A、B重合），过点P作轴，交直线于点D．请求出点P在运动的过程中，线段的长度的最大值以及此时点P的坐标； (4)抛物线上是否存在点Q，使，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 50．（26-27九年级上·辽宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，直线与两个图象分别交于点P，点，与轴交于点． ①当点在线段上时，求的最大值； ②设点，Q到直线的距离之和为时，求的值． (3)二次函数与二次函数组成新的函数，若该函数图象上有点，，且点与不重合，点的横坐标为，点的横坐标为，点，，之间（含，，两点）的图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 知识点十一 二次函数与面积问题 51．（26-27九年级上·北京东城·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)点为抛物线在第二象限内的动点，求面积的最大值． 52．（26-27九年级上·甘肃·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接，已知，且抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)若是抛物线上第四象限内的一点，且，求点的坐标． 53．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）如图，已知抛物线经过，两点，与y轴的交点为C，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式及D点的坐标； (2)点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为m． ①当点P在直线的下方运动时，求的面积的最大值； ②点P在抛物线上，点Q在y轴上，是否存在以B、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 54．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线的表达式． (2)若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 55．（25-26九年级下·四川绵阳·期中）如图，已知抛物线过点、，抛物线与x轴的另一交点B在x轴的正半轴上，过点A作直线交抛物线于点D，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一点，连接交于点E，连接，，设的面积为S，点P的横坐标为t，求S关于t的函数关系式，并求S的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）问的结论下，过点P作于点H，取的中点Q，连接交抛物线于点M，将绕点P逆时针方向旋转至，求N的坐标． 知识点十二 二次函数与角度问题 56．（25-26九年级下·重庆巴南·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，，抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是线段下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交直线于点H，交x轴于点G，点E为抛物线对称轴上一动点，点F为y轴上一动点，连接，当有最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线，点M为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的一种情况的过程． 57．（25-26九年级下·重庆·期中）如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)过点作交轴于点，点为直线上方抛物线上的一个动点，连接，，抛物线对称轴上有一动点，过点作轴于点，连接，，当的面积与面积之差最大时，求点的坐标和的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线恰好经过点，点为原抛物线的顶点，在新抛物线上是否存在点，使得．请写出所有符合条件的点的横坐标，并写出其中一个点横坐标的求解过程． 58．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与直线交于，两点，二次函数的图象经过点，． (1)求点，的坐标及，的值； (2)直线与二次函数，的图象分别相交于点，，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②过点作直线与正半轴交于点，与二次函数交于点（点不与重合），使得，请直接写出点的坐标； (3)若新函数满足，直线与函数的图象有三个公共点，函数，当时，函数y的最小值为，最大值为，求的值． 59．（25-26九年级上·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，点为轴上一动点，点为抛物线对称轴上的动点，连接，，，，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)连接，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为抛物线上的一动点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 60．（25-26九年级上·重庆铜梁·期末）已知抛物线与轴交于点，与轴交于点和两点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，点是线段下方抛物线上的一动点，连接，，点是轴上一动点，点是抛物线对称轴上一动点，当面积取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点的对应点为，连接，点是抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点坐标的其中一种情况的过程． 知识点十三 二次函数与特殊三角形问题 61．（25-26九年级下·江西九江·期中）定义：若两条抛物线的顶点关于原点对称，两个二次函数的二次项系数互为负倒数，这样的两条抛物线称之为“共生抛物线”，如抛物线与是共生抛物线 已知抛物线的顶点是点，它的共生抛物线的顶点是； (1)点的坐标是___________，抛物线的函数关系式是___________． (2)当的取值范围是___________时，抛物线与的函数值都随的增大而减小． (3)直线与抛物线均有两个交点，这些交点从左到右分别是． ①求的取值范围是___________； ②在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 62．（25-26九年级上·甘肃定西·期末）如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？ (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以P，D，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 63．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，二次函数的图像交x轴于点、，交y轴于点C． (1)求二次函数的表达式； (2)若点P是二次函数图像上一点，且点P在第二象限，连接线段交x轴于点D，若的面积是的面积的4倍，求点P的坐标． (3)二次函数图像上是否存在点Q使为直角三角形？如果存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 64．（25-26九年级上·山东泰安·期中）如图，抛物线与x轴的交点为A，B两点，与y轴的交于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)P为抛物线在第四象限上的一点，直线与抛物线的对称轴相交于点，若是以为底边的等腰三角形，求直线的表达式； (3)E是该抛物线上位于对称轴右侧的动点，、是抛物线对称轴上两点，．请说明：存在确定的点N，使直线与抛物线只有唯一交点E． 65．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式及其对称轴． (2)设点P是直线l上的一个动点，当最小时，求P点坐标． (3)在抛物线上存在一点Q，使，求点Q的坐标． (4)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 知识点十四 二次函数与特殊四边形问题 66．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，顶点的坐标是，过点作轴，交抛物线于点D，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)求的正切值； (3)点为抛物线上一点，当以、、、为顶点的四边形是梯形时，请直接写出点的坐标． 67．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标： (3)R是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点S，使得以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标：若不存在，请说明理由． 68．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，O是原点．抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，其横坐标是m． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，求点P的坐标； (3)设此抛物线在点A与点P之间的部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h，当，且时，求m的值； (4)取的中点M，连接，以为对角线作正方形，当，且正方形的顶点N或Q落在x轴上时，请直接写出m的值． 69．（25-26九年级上·吉林松原·期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交点的纵坐标为3，对称轴为直线，点和点都在该抛物线上，它们的横坐标分别为、． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)连接，当轴时，求点的坐标； (3)若线段平行于两坐标轴夹角的平分线时，求的值； (4)连接，以、为邻边作平行四边形，当抛物线在平行四边形内部的图象随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 70．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（其中，为常数）的图象经过，其对称轴为直线，且图象与轴正半轴交于点，过点作垂直于轴的直线．点在该抛物线上，其横坐标为，点是坐标平面内的一点，其坐标为，过点分别向直线作垂线，垂足分别为． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点与点重合时，求的值； (3)当矩形为正方形时，求的值； (4)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而增大时，请直接写出的取值范围． 知识点十五 二次函数实际应用之几何问题 71．（26-27九年级上·吉林·期中）如图,某农户准备用长的篱笆靠墙(墙长)围一块矩形菜地,设垂直于墙的一边长为． (1)用含x的式子表示菜地的面积S； (2)当菜地的面积为时,求x的值,并结合实际说明所求的值是否都符合要求． 72．（26-27九年级上·辽宁大连·期中）如图，某校劳动实践基地在一道长为的墙一侧，用长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)分别求与，与之间的函数解析式，并求出自变量的取值范围； (2)当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 73．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边），设，花园的面积为． (1)当为何值时，花园面积有最大值？最大值为多少？ (2)若在墙角处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积最大时，的长为多少？ 74．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）某养殖户为扩大养殖规模，拟一边利用墙建一个矩形的养鸡场地，如图，已知可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成，设矩形养鸡场地中，垂直于墙的边为，面积为． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当x为何值时，y有最大值?最大值是多少? 75．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）有这样一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为时，透光面积最大值约为．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为，利用图3，解答下列问题： (1)若为，求此时窗户的透光面积？ (2)与上一个例题比较，改变窗户形状后，若设的长度为，请问当x的值为多少时窗户透光面积最大？与例题相比透光的最大面积是否变大？通过计算说明． 知识点十六 二次函数实际应用之销售问题 76．（26-27九年级上·吉林·期中）某商店经销一种纪念品，进价为每件20元．当售价为每件30元时，每天可售出100件；市场调查发现，售价每上涨1元，每天的销售量就减少5件． (1)设每件售价上涨x元，写出每天所得利润W(元)与x之间的函数关系式； (2)售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ (3)若商店要求每天的利润不低于1120元，结合函数图象说明售价应控制在什么范围内． 77．（26-27九年级上·广东广州·阶段检测）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．市场调查选取两类作品：原木小件（记作A品）、滴胶花艺（记作B品）．收集到如下信息． 信息：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． (1)成本核算：分别求制作一件A品和一件B品的成本． (2)模型建立：设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求关于的函数解析式（不要求写自变量的取值范围）． (3)方案设计：A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案并求最大利润． 78．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）阅读以下素材，完成任务挑战． 如何制订黄山毛竹雕刻的销售方案 素材1 以黄山毛竹为原料的徽州竹雕是安徽传统特色手工艺．黄山风景区一家文创商铺售卖竹雕笔筒，成本价为80元/件． 素材2 据调查发现：该店每天销售这款笔筒的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的函数关系： 素材3 现受市场因素的影响，该款笔筒销售单价不低于成本价，同时不高于成本价的1.5倍． 任务挑战 (1)【任务1】确定销售量模型：求该店每天销售这款笔筒的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式，直接写出自变量的取值范围． (2)【任务2】拟定最优方案：当这款笔筒的销售单价定为多少元时，才能使每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 79．（26-27九年级上·甘肃·期中）2025年五一假期期间，定西凤凰城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产的进价为50元/件，B类特产的进价为60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买4件A类特产和7件B类特产需744元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价． (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时，总利润w最大，最大利润是多少元．（利润售价进价） 80．（26-27九年级上·广西南宁·阶段检测）广西壮锦是中国四大名锦之一，与南京云锦、成都蜀锦、苏州宋锦并列．它不仅仅是一种布料，更是一部“穿在身上的史书”，凝聚了壮族人民的智慧、审美和历史记忆．为弘扬地方文化，让更多游客了解广西文化，某文旅公司推出了一款壮锦马甲．已知每件马甲的成本为40元，根据调查发现，当售价为50元时，平均每天可以售出100件；若售价每上涨1元，则每天的销售量减少2件． (1)当每件马甲售价为60元时，平均每天售出马甲________件，每天的利润是________元； (2)设每件马甲售价为元（且为整数），平均每天的销售量为件，每天销售利润为元． ①求关于的函数关系式，并写出的取值范围． ②当售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 知识点十七 二次函数实际应用之拱桥问题 81．（26-27九年级上·吉林·期中）如图，某公园要修建一座抛物线形拱门，拱门底部宽，拱顶距地面．以地面所在直线为x轴，拱门的中线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求这座拱门所在抛物线的解析式； (2)现计划在拱门下方安装一排高的灯柱(垂直于地面)，为不碰到拱门，灯柱应安装在什么范围内？ (3)一辆宽、高的货车想从拱门正中通过，请通过计算说明它能否顺利通过． 82．（26-27九年级上·上海普陀·阶段检测）有一座抛物线形拱桥，已知正常水位时，桥下水面宽度为20米，拱顶距水面5米．拱桥的截面如图所示，其中桥拱截线是一段抛物线，平面直角坐标系的原点是桥拱截线与正常水位的水面截线相交处的一点，轴在水面截线上；是警戒线，拱顶到的距离是1.3米． (1)求桥拱截线所在抛物线的表达式； (2)为迎接中秋，准备在拱桥桥洞中悬挂0.5米长的灯笼（忽略悬挂灯笼的绳子长度，灯笼的宽度不超过0.2米）．灯笼从拱顶开始，向拱桥两侧对称悬挂，相邻两个灯笼悬挂点的水平间距相等，且灯笼的最底端不低于． ①如果相邻两个灯笼悬挂点的水平间距为0.8米，此时最多可悬挂多少个灯笼？ ②设最左侧灯笼在拱桥截线上的悬挂点的坐标为，如果能且最多只能悬挂7个灯笼，求的取值范围． 83．（26-27九年级上·内蒙古·期中）如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． (1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； (2)有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 84．（2026·江苏南通·中考真题）综合与实践： 【生活情境】 某景区计划建设如图1所示的三孔桥，其横截面中三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度为，顶点距水面，小孔顶点距水面． 【建立模型】 (1)如图2，以大孔抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，建立平面直角坐标系，求大孔抛物线所对应的函数表达式． 【解决问题】 (2)当水位上涨到距小孔顶点时，达到警戒水位，求此时大孔的水面宽度．（结果保留根号） 85．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期末）远离喧嚣、拥抱自然，露营已然成为人们青睐的假期休闲选择，各式帐篷是户外露营的核心装备．其中抛物线型帐篷支架简约、携带便捷，格外适合日常休闲旅行场景． (1)【建立模型】 小亮发现某款帐篷（如图1所示）的正面支架可以看作是一条抛物线，搭建时支架底端张开的宽度，顶部高度，若以所在直线为x轴，抛物线对称轴为y轴建立平面直角坐标系（如图2所示），求帐篷支架对应的抛物线的函数解析式； (2)【运用模型】 此帐篷张开时的宽度和高度会影响容纳的拉杆箱数量，图3为一个拉杆箱摆入这款帐篷后的简易视图，拉杆箱高度，宽度，若在帐篷内沿方向摆放一排此款拉杆箱，求最多可摆放多少个拉杆箱． 知识点十八 二次函数实际应用之投球问题 86．（26-27九年级上·北京·期中）乒乓球作为中国的国球，是一项深受大众喜爱的体育运动，小聪和小明打球时发现乒乓球运动路线近似看成抛物线的一部分，爱思考的他俩建立如图所示的平面直角坐标系，小聪第一次发球时，乒乓球从抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式． 乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 40 80 120 160 竖直高度 20 35 40 35 20 (1)根据上述数据，直接写出小聪第一次发球时乒乓球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)小聪第一次发球后乒乓球第一次落在球桌时恰好在球桌边缘，第二次他发球时，乒乓球的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系式，请你判断小聪第二次发球时，乒乓球是否落在球桌内： （填“是”，“否”）． 87．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 88．（25-26九年级上·陕西西安·期中）实心球是某地中考体育项目之一，小军在某次掷实心球训练中，实心球被掷出后的运动路线可以看作是如图所示的抛物线的一部分，已知小军投掷时出手点距地面（即），实心球的落地点在点处，且球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，距出手点的水平距离为．以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求图中抛物线的函数解析式； (2)若实心球投掷成绩（即出手点与落地点的水平距离）不小于为满分，请判断小军本次投掷实心球能否得满分． 89．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）掷实心球是某地中考体育考试的选考项目之一，女同学小蕙结合所学函数知识对其某次投掷进行了如下探索： 【发现问题】小蕙发现掷出的实心球从出手到落地的飞行过程中，实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离一直在相应地发生变化． 【提出问题】实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小蕙利用先进的鹰眼系统记录了她一次投掷时，实心球在飞行过程中相对出手点的水平距离（单位：米）与相对地面的竖直高度（单位：米）的数据，部分数据如下表： 水平距离 1 2 3 4 5 6 竖直高度 根据表中数据建立如图所示的平面直角坐标系，并绘制出实心球的飞行路线，小蕙发现实心球的飞行路线是抛物线的一部分． 【解决问题】 (1)在小蕙这次的投掷过程中，出手点相对地面的竖直高度是________米，实心球在空中的最大竖直高度是________米； (2)求出此次投掷中，实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式； (3)根据该地中考体育掷实心球项目的评分标准（女生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离达到或超过米可得满分，小蕙此次投掷能否得到满分？请说明理由． 90．（26-27九年级上·辽宁大连·期中）小明是一名篮球爱好者，他想知道自己每次投进的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度．当学习到二次函数内容的时候，老师说篮球的运行弧线可以近似看成是一条抛物线，他受到了启发，想好了解决问题的思路并且和几位队友开展了探究与实践活动，记录如下： 活动主题 测量某一次投进篮筐的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度 活动准备 1．查询操场上国际标准篮球架上面篮筐的离地高度； 2．准备皮尺、三角板等测量工具． 设计方案 如图1，小明负责把篮球投进篮筐，同时安排第一位队友负责手持三角板确定篮球到最高点对应的地面位置，安排第二位队友用皮尺测量位置与小明投篮站立位置点的水平距离，第三位队友负责手持三角板确定篮筐中心与地面对应点，并测量水平距离． 采集数据 经测量，小明的出手高度，，．经查询篮筐的高，且、、在一条直线上，和都垂直于． 确定思路 小组成员经过讨论确定，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图2的平面直角坐标系，则抛物线的顶点在轴上，可设抛物线解析式为，分析数据得、两点的坐标，进而求出抛物线的解析式，再利用解析式求出点的坐标，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)求这次投进篮筐的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度． 知识点十九 二次函数实际应用之喷水问题 91．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． (1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管的长度； (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； (3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ 92．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）如图1，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心；如图2，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立如图2的平面直角坐标系． (1)求水管的长度； (2)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点与水管之间的距离为，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变（即将抛物线向上平移），则水管要升高多少？ 93．（24-25九年级上·福建厦门·期中）【问题背景】小明在公园游玩时，对一口“喊泉”产生了兴趣，当人们在泉边喊叫时，泉口便会涌起泉水，声音越大，涌起的泉水越高，涌至最高点所需的时间也越长．在泉水边设有一个响度显示屏，在第一次大喊时，涌起的泉水高度达到了20米，此时显示屏显示数据为60分贝，泉水高度h（米）与响度x（分贝）之间恰好满足正比例函数关系． 任务1根据以上数据，得到h关于x的函数关系式为__________． 【数据分析】为探究响度与泉水涌至最高点所需时间的关系，小明通过多次实验，记录数据如下表： 时间t（秒） 0 1.5 1.75 2 2.25 2.5 响度x（分贝） 0 36 49 64 81 100 任务2为了更直观地体现响度x与时间t之间的关系，请在图中用描点法画出大致图象，并选取适当的数据，建立x关于t的函数关系式． 【推理计算】据“喊泉”介绍显示，泉水最高可达50米． 任务3试根据以上活动结论，求该泉水从泉口喷射至50米所需要的时间． 94．（23-24九年级上·山东淄博·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 .    (1)求雕塑高； (2)求落水点、之间的距离； (3)若需要在上的点处竖立一尊高3米的雕塑，且，那么雕塑顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明. 95．根据以下素材，探索完成任务． 素材1 一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置，通过调节喷水装置的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状．为了美观在半径为米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉(图1中的阴影部分)．    素材 2 从喷泉口喷出的水柱成抛物线形，如图2 是该喷泉喷水时的一个截面示意图，已知喷水口A离地面高度为米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为米处离地面最高，高度为米．    问题解决 任务1 建立模型 以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式． 任务2 利用模型 为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，确定喷水口升高的最小值． 任务 3 分析计算 喷泉口升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议． 知识点二十 黄金分割 96．（24-25九年级上·江西九江·期中）（1）解方程：； （2）如图，点C是的黄金分割点，且，，求的长． 97．（24-25九年级上·重庆渝北·期中）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．          (1)【操作判断】 操作一：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，把纸片展平，连接； 操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为，把纸片展平； 操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接． 根据以上操作，直接写出图3中的值：________； (2)【问题解决】 请判断图3中四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展应用】 我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，若，则点P叫做线段的黄金分割点． 在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点M是线段的黄金分割点时，直接写出的长度． 98．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）操作与探究 沪科版教材九年级上册73页阅读与欣赏《奇妙的黄金数》中介绍了“黄金比与黄金矩形”，材料中指出：一个矩形如果切掉一个正方形后，剩下的小矩形与原来的矩形相似，这样的矩形叫做黄金矩形，此时矩形宽与长的比等于黄金比．某数学兴趣小组在阅读课本后发现可以通过折纸得到黄金矩形． 【操作过程】请根据操作完成填空．（设矩形纸片的宽为2） 步骤 图示 操作说明 步骤一 把一张矩形纸片的一端按图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，则； 步骤二 如图2，把这个正方形对折成两个相同的矩形，再把纸片展平，则； 步骤三 折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处，则①______； 步骤四 展平纸片，按照所得到的点D折出，得到矩形，则②______． 结论 如图4，③______，所以矩形是一个黄金矩形． 【探究证明】证明：矩形是黄金矩形． 99．（26-27九年级上·湖北十堰·阶段检测）阅读材料： 黄金分割定义：点把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，比值称为黄金比．一条线段上存在两个黄金分割点．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点位置，视觉效果最好．舞台总长20米． (1)主持人站在距离点较远处的黄金分割点，求； (2)舞台上还有另外一个黄金分割点，则的长为______米； (3)若舞台长为，求两个黄金分割点之间距离．（用含的代数式表示） 100．（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）阅读与思考 下面是某同学笔记中的部分内容，请认真研读并完成相应的任务： 一元二次方程与黄金分割数概念：如果一个点把一条线段分成两部分，且其中较短一段与较长一段的比等于较长一段与整条线段的长度的比，那么这个比值叫做黄金分割数，这个点叫做黄金分割点．如图1，在线段上找一点C，它把线段分成不相等的两段和，若，且，则这个比值叫作黄金分割数．下面是求黄金分割数的解答过程． 解：设，，则，代入， …… (1)根据材料可知，一条线段有__________个黄金分割点 (2)补全材料中的解答过程． (3)在下图所示的正方形网格中，请你用无刻度的直尺和圆规作线段的一个黄金分割点．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） 知识点二十一 平行线分线段成比例 101．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹． (1)在图①中以线段为边画一个格点，使它与相似，面积之比是． (2)在图②中画一条格点线段，交于点P，使． 102．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，已知是等腰三角形中，，，是的中点，于点，、的延长线交于点．求的长． 103．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，直线、、分别交两条直线于点A，B，C，D，E，F，且， ，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 104．（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，是的中线，E是上一点，且，与交于点F．若，求的长． 105．（25-26九年级上·山东青岛·期中）【问题提出】如图①，在中，，分别是和上的点，与相交于点，的延长线与相交于点，，求的值． 【方法探究】解：如图②，连接，交于点， ， ． ， ∴△ADE∽△ABC． ． ． 根据“平行线分线段成比例”可得：，即的值是_______． 根据“两角分别相等的两个三角形相似”可得：， 根据“相似三角形的对应边成比例”．可得：，即的值是_______，所以的值是_______． 【自主探究】如图③，在中，分别是和上的点，与相交于点，的延长线与相交于点，，则的值是_______． 【结论归纳】如图④，在中，，分别是和上的点，与相交于点，的延长线与相交于点，，则的值是_______． 知识点二十二 相似三角形的判定 106．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知在中，D是边AC上的一点，的平分线交于点，且．求证：． 107．（26-27九年级上·安徽六安·阶段检测）如图，点在一条直线上，交于点，，且．求证：． 108．（26-27九年级上·福建宁德·阶段检测）如图，在中，D，E分别是，上的点，．求证：． 109．（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，中，为上一点，连接，是上的一点，．求证：． 110．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，中，，于点，于点，交于点． (1)求证：； (2)若平分，在不添加任何辅助线的条件下，找出图中所有与相似的三角形． 知识点二十三 相似三角形的性质 111．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，，，，． (1)求的长． (2)求与的面积比． 112．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，在中，，过点C作垂直斜边于点D． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 113．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在和中，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 114．（24-25九年级上·广西来宾·期中）如图，四边形是某学校的一块种植实践基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知，，，． (1)求证：； (2)若蔬菜园的面积为60，求水果园的面积． 115．（26-27九年级上·山东济南·期中）如图，四边形中，为边上一点，连接，交于点，且，． (1)求证：； (2)若,,，求的长． 知识点二十四 平行投影 116．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量铁塔的高度，如图，在地面上取、两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且铁塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处，从处观察点，、、三点成一线，从标杆走到处，从处观察点，、、三点也成一线．请根据以上测量数据，帮助该实验小组求出铁塔的高度． 117．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）【问题情境】10月1日，成都市在广场举行了“十一”升国旗仪式，广场上鲜花绽放、红旗飘扬，在属于全国人民的节日里用庄严的升国旗仪式向全体市民致敬，某校把“测量旗杆高度”作为一项课题活动，利用课余时间进行实地测量，可选用工具：测量角度（单位：度）的仪器、测量距离（单位：m）的皮尺、标杆、平面镜等．（注：以下数据为多次测量的平均值） 【实践探究】某小组测量方案及数据如下表： 项目 测量民族广场旗杆的高度 工具 标杆、测量距离（单位：m）的皮尺 测量示意图及说明    说明：用标杆测量旗杆的高度、线段表示观测者的眼睛到地面的距离，线段EF表示标杆，线段BC表示旗杆，D，F，C三点共线，，，，点A，E，B在同一平面内． 测量数据 平均值 【问题解决】请运用所学知识，根据上表中的测量数据，求出旗杆的高度； 118．（26-27九年级上·甘肃·期中）小军想用镜子测量一棵古松树的高度，但因树旁有一条小河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他利用镜子进行两次测量，如图，第一次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像；第二次他把镜子放在点处，他在点处正好在镜中看到树尖的像．已知，，，小军的眼睛距地面（即），量得，求这棵古松树的高度．（镜子大小忽略不计） 119．（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处．点到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点、、、在同一水平面上． (1)求的长； (2)求手电筒灯泡到地面的高度． 120．（26-27九年级上·辽宁丹东·阶段检测）综合与实践：锦江亭位于丹东市锦江山公园山顶，是公园的标志性建筑之一．我校九年数学综合与实践小组开展测量锦江亭高度的活动，记录如下： 活动主题 测量锦江亭的高度 实物图和测量示意图 测量步骤 步骤1： 把标杆垂直立于地面点D处，锦江亭顶点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q． 步骤2： 将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，锦江亭顶点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P． 测量数据 ，，， 备注 点B，D，Q，F，P在同一水平线上 根据表格中的信息和数据，求锦江亭的高度． 知识点二十五 中心投影 121．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）小美和小丽利用学过的数学知识测量家门口一盏路灯的高度，如图，当小丽站在D处时，她的影子为，小美测量出，当小丽移动至点F时，她的影子为，小美测量出．已知，点B、D、M、F、N在同一水平直线上，图中所有的点都在同一平面内，请你求出路灯的高度． 122．（25-26九年级上·四川成都·期末）九年级（）班小艺同学在周末晚上利用所学知识测量路灯灯光下人的影长变化．如图，路灯点距地面米，小艺在距路灯的底部点米的点时，测得此时他的影子的长度为米．小艺沿方向行走米到点时，即米，此时的影子为 (1)求小艺的身高； (2)小艺在点时，影子的长度较原影子的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 123．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）综合实践小组的同学利用平面镜、尺子等工具测量了某广场上路灯的高度．如图，在支架的点C处放置一面平面镜（平面镜大小忽略不计），支架与路灯的水平距离为，当小亮站在点F处时，恰好能从平面镜中看到路灯顶端A的像．已知小亮眼睛到地面的高度为，支架的高度为，小亮与支架的水平距离为，点B、D、F在同一直线上，，，，图中所有点均在同一平面内，求该路灯的高度． 124．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图是阳光综合实践小组设计的利用小树来测量某路灯高度的示意图．先测得树与路灯的水平距离为，小树的高为，之后发现路灯顶点O的影子与树梢点A的影子重合，此时记录小树在路灯O的照射下形成树影的长为，已知点P，B，C在一条直线上，，，求路灯的高度． 125．（25-26九年级上·河南郑州·阶段检测）学科实践--测量物体的高度 活动课题：借助标杆测量校园内路灯、国旗杆的高度．活动工具：标杆、皮尺、激光仪等工具． 方案设计及问题解决（图中各点均在同一竖直平面内）： (1)笃行组进行路灯测量（如图1），在路灯旁的水平空地上直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过．测量数据：米，米．计算图1中路灯的高度． (2)缜密组想直接用笃行组的方法进行图2中国旗杆高度的测量，操作中发现：由于国旗杆底部台阶影响，无法测得线段的长，因此不能求得国旗杆高度．于是对笃行组的方案作出补充：在如图2中仍先直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A，测得线段米；再直立一根同样高度的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A．并测得米，计算国旗杆的高度． 知识点二十六 相似三角形动点问题 126．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，在矩形中，，，点是的中点．点，分别从点，两点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点，的速度均为，当点到达点时，两个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为 ． (1)当秒时，的值是多少？ (2)当为何值时，以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形相似？请说明理由． 127．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，在中，， ， ，点从点开始沿以的速度向点运动，点从点开始沿以的速度向点运动，如果，分别从，同时出发，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止，设运动时间为． 当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似? 128．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在中，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P，Q两点同时移动． (1)当移动几秒时，的面积为？ (2)当移动几秒时，与相似？ 129．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图，在中，，，．点M在边上，以的速度由点B出发沿向点A匀速运动；同时点N在边上，以的速度由A出发沿向点C匀速运动．当点M到达A点时，点M，N同时停止运动．连接，设点M运动的时间为t（单位：s）． (1)是否存在时间t，使得以A，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出时间t的值；若不存在，请说明理由； (2)当t为何值时，的面积为面积的； 130．（26-27九年级上·山东枣庄·阶段检测）如图，点，，连接，动点M、N分别同时从点A、O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，设运动时间为t秒． (1)当四边形的面积恰好为76时，求此时t的值； (2)试求t为何值时，与相似？ 知识点二十七 尺规作图 131．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）． (1)请在图1中以为一边画一个格点，使它与相似但不全等； (2)请在图2中画一个面积最大的格点，使之与相似，并求出的面积． 132．（25-26八年级下·山东威海·期末）如图1，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图2中画出一个格点，使，周长之比为，并直接写出的面积_________________； (2)在图3中画出一个格点，使，面积之比为，并直接写出的周长_______________． 133．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图1，如图2，如图3，在正方形网格中，、、、均为小正方形的顶点，三个顶点都在小正方形顶点上的三角形叫作格点三角形，设线段与交于点P． (1)图1中的值为__________； (2)请仅用无刻度的直尺作图． ①请在图2中以线段为一边，画一个格点，使它与相似； ②请在图3中画一个最大的格点，使它与相似． 134．（2026·吉林·模拟预测）图①、图②均是的网格，每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点． 的顶点都在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，作格点E，连接、，使； (2)在图②中，作格点E，连接、，使． 135．（2025·吉林长春·二模）图①、图②均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点均为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图． (1)图①中，画出的中线； (2)图②中，在的边上找一点F，连接，使； (3)图③中，在的边上找一点G，连接，使的面积为2． 知识点二十八 位似图形 136．（26-27九年级上·上海·阶段检测）如图，在的正方形网格中，与是位似图形． (1)在网格上建立平面直角坐标系，使得点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________；与的位似中心的坐标为___________；与的位似比为___________； (2)以点为位似中心，在网格图中作，使和位似，且相似比为； (3)在图上标出与的位似中心，写出点的坐标为___________． 137．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的倍得到的． ②画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 138．（25-26七年级下·吉林白山·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别是，，． (1)在图中作出三角形； (2)把三角形先向下平移5个单位长度，再向左平移2个单位长度，作出三角形平移后的三角形（点、、的对应点分别为点、、），并写出点的坐标． 139．（25-26七年级下·广西梧州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标分别为，，．将三角形先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形，点A，B，C的对应点分别是，，． (1)请在图中画出三角形，并直接写出点的坐标； (2)求三角形的面积； (3)点M在x轴上，若三角形的面积为2，请直接写出点M的坐标． 140．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． (1)作出与关于轴对称的，其中点的对应点分别是． (2)求的面积． (3)已知点，直线平行于轴，求点的坐标． 知识点二十九 二次函数与相似三角形 141．（2025·湖南衡阳·三模）如图，二次函数图象与轴交于点两点（点在点的右边），与轴交于点． (1)求三点的坐标． (2)若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点是线段上的任意一点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 142．（2025·江苏宿迁·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求线段的最大值； (3)是否存在以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 143．（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接，，． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴交线段于点G，点H在对称轴上，且在点G的上方，若以H，C，G为顶点的三角形与相似，则点H的坐标为________； (3)点P是射线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D．点M是线段上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (4)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点D，且与直线相交于另一点K．点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标________． 144．（2024·四川德阳·三模）如图，已知抛物线：与轴交于点，，（在的左侧），与轴交于点，对称轴是直线，是第一象限内抛物线上的任一点． (1)求抛物线的解析式； (2)有可能是等边三角形吗？若是，请求点P的坐标，若不是，请说明理由； (3)过点作轴的垂线与线段交于点，垂足为点，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 145．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为的中点，直线交抛物线于点，且点坐标为，点坐标为． (1)求这条抛物线对应的函数关系式； (2)连接，试判断与的位置关系，并说明理由； (3)连接交直线于点，在直线上，是否存在这样的点不与点重合，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $