广东省珠海市第一中学2026～2027学年高一上学期第一阶段考试数学试卷

珠海市第一中学 2026 级高一上学期第一阶段考试 数学试题·参考答案 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．下列元素与集合或集合与集合的关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐项辨析：元素与集合之间用 或 ，集合与集合之间用 或 ． 【解答】 A项：空集不含任何元素，故 错误； B项： 是无理数，不是有理数，故 错误； C项：空集是任何集合的子集，故 正确； D项： 与 是不同的有序数对，故两集合不相等，错误． 故选C． 2．设集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 只需 的右端点不超过 的右端点，注意端点能否取到． 【解答】 ，． 要使 ，只需 ； 当 时，，仍有 ，成立． 所以 的取值范围是 ．故选A． 3．已知集合 ，，则下列四个图形中能表示从集合 到集合 的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从 到 的函数必须满足：定义域恰为 ，且对每个 有唯一的 ，函数值都在 内． 【解答】 A中图象的定义域为 ，不是 ，不符合； C中图象的定义域为 ，且当 或 时 ，不符合； D中当 时，一个 对应两个 ，不是函数关系，不符合； B中定义域为 ，每个 对应唯一的 ，且 ，符合要求． 故选B． 4．若“，”是假命题，则 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】特称命题为假命题，等价于它的否定（全称命题）为真命题，再对 分类讨论． 【解答】 “，”为假命题，即“，”为真命题． 当 时， 恒成立，符合题意； 当 时，需 ，即 ，解得 ； 当 时，抛物线开口向下，不可能恒正，不符合题意． 综上，，即 的取值范围是 ．故选B． 5．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解后按“大于取两边”写出解集． 【解答】 ， 对应方程的两根为 和 ，二次项系数为正， 所以解集为 ．故选D． 6．已知函数 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按 时的递推关系 逐步化到 再代值． 【解答】 因为 ，所以 ；又 ，所以 ； 又 ，所以 ； 因为 ，所以 ． 故 ．故选C． 7．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由 的定义域列出 的范围，再结合根号内为正、分母不为零． 【解答】 由 的定义域为 得 ，即 ； 又需 ，即 ． 两者取交集得 ，即 的定义域为 ．故选A． 8．已知实数 满足 ，，则 的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令 化为单变量，再用作差法比较． 【解答】 设 ，则 ． 因为 ， 所以 ，当且仅当 （即 ）时取等号． 故最大值为 ．故选C． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．下列命题正确的是（　　） A．函数 与 是同一个函数； B．， 是真命题； C．若命题 ：，，则 是：，； D．如果集合满足 ，则满足条件的集合 的个数为 个． 【答案】ABD 【分析】逐项判断：A 看定义域与对应关系，B 找一个满足条件的 ，C 看量词与结论是否都否定，D 用子集个数公式． 【解答】 A项：，与 的定义域都是 ，对应关系相同，是同一个函数，A正确； B项：取 ，则 ，故该特称命题为真，B正确； C项： 应为“，”，选项中写成了 ，C错误； D项： 必含 ，其余元素从 中任取，共 个，去掉 这 个，得 个，D正确． 故选ABD． 10．下列命题中，正确的是（　　） A．如果 ，，那么 ； B．如果 ，那么 ； C．若 ，，则 ； D．如果 ，，，那么 ． 【答案】AD 【分析】不等式性质题要注意“同向可加、同向同正可乘”的条件，可用作差法或举反例． 【解答】 A项：由 得 ，由 得 ， 所以 ，即 ，A正确； B项：取 ，，则 ，B错误； C项：由 得 ，又 ，所以 ，（如 ， 时 ），C错误； D项：由 ， 得 ，所以 ，又 ，所以 ，D正确． 故选AD． 11．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．有这样一个函数就是以他名字命名的：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 为高斯函数，又称为取整函数．，．则下列正确的是（　　） A．不等式 的解集为 ； B．对于任意实数 ，都有 ； C．对于任意实数 ，则 是 成立的充分不必要条件； D．若方程 有 个非零实数解，则实数 的取值范围是 ． 【答案】AC 【分析】逐项结合取整函数的定义判断；D 选项需按 分段数出根的个数（原卷该选项区间的端点印刷有误）． 【解答】 A项：因为 ，由 得 或 ， 即 ，A正确； B项：取 ，则 ，而 ， 不成立，B错误； C项：若 ，则 ，故 ，充分性成立； 取 ，，则 ，但 ，必要性不成立，C正确； D项：当 时， 的解满足 （），解得 ，需 ，即 ； 当 时， 的解满足 ，解得 ，需 ． 可得恰有 个非零解时 ，而原卷 D 中第二个区间印为 ，端点开闭有误，故按原卷判 D 错误． 故选AC．（若按命题意图修正该端点，则 D 也正确，答案应为 ACD．） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．不等式 的解集为　　　　　　． 【答案】 【分析】移项、通分，转化为整式不等式，注意分母不为零． 【解答】 原不等式即 ，即 ， 所以 ，等价于 且 ， 解得 ，即解集为 ． 13． 表示 与 中的较小者，设 ，则函数 的最大值是　　　　　　． 【答案】 【分析】先求两函数图象的交点，再分段写出 ，最后在各段上求最大值． 【解答】 由 得 ，解得 或 ． 当 或 时，，此时 ； 当 时，，此时 ． 在 上 递增，最大值为 ； 在 上 递增且小于 ；在 上递减且小于 ． 故 的最大值为 ． 14．已知函数 ，若关于 的不等式 恰有一个整数解，则实数 的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】把不等式因式分解为 ，再结合 的图象分段数整数解． 【解答】 原不等式即 ． 当 时，；当 时，，且 时 ． ①若 ，则需 ． 时，由 得 （需 ）； 时无整数解 （因为 给出 ，其中不含整数）． 要使区间 内恰有 个整数，只能是 ，即 ，解得 ； ②若 ，则需 ，只有 时有解：， 其中恰有一个整数 ，需 且 ，解得 ． 综上， 的取值范围是 ． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（13分） 已知集合 ，． （1）若 ，求实数 的取值范围； （2）已知 ，记命题 ：，：，若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分 与 讨论；（2）“ 是 的必要不充分条件”即 ． 【解答】 （1）①当 ，即 时，，此时 ，符合题意； ②当 时，，要使 ，需 或 ，即 （ 不可能）， 结合 得 ． 综上， 的取值范围是 ． （2）因为 ，所以 ． “ 是 的必要不充分条件”即 且 ，也就是 ． 由 得 且 ，解得 ； 此时 ， 不能同时取等，故 ． 所以 的取值范围是 ． 16．（15分） 已知关于 的不等式 的解集为 ． （1）求实数 的值； （2）正实数 满足 ． ①求 的最小值； ②若 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1），；（2）①；② 【分析】（1）用韦达定理；（2）由 变形为 ，再用基本不等式与“ 的代换”． 【解答】 （1）因为 的解集为 ，所以 是方程 的两根． 由韦达定理：，得 ；，得 ． （2）由（1）知 ，两边同除以 得 ． ①由 ，得 ，即 ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号，故 的最小值为 ． ②由 得 ．因为 ，若 且 ，则 ，不合题意，故 ，． 所以 ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号． 由 恒成立得 ，所以 的取值范围是 ． 17．（15分） 2025 年被称为“智能体产业化元年”．基于 AI 大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技 AI 研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型．在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分 （满分 100 分）和有效训练时长（单位：天）存在一定的函数关系．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系： 已知综合性能评分 ，且在 处函数图象是连续不断的． （1）求函数 的解析式； （2）若为大模型的强化训练效率定义为 ，，则训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高． 【答案】（1）；（2） 天 【分析】（1）由 求 ，由 处连续求 ；（2）分段写出 ，分别在两段上求最大值再比较． 【解答】 （1）由 ，得 ，所以 ． 因为图象在 处连续，所以 ， 即 ，解得 ． 所以 ． （2）当 时，， 由基本不等式 ，当且仅当 ，即 时取等号， 所以 ，此时 ； 当 时，， 因为 时 与 都随 增大而减小，所以 在 上递减， ． 综上，当 天时，“天穹”模型的标准化训练效率最高（最高效率为 ）． 18．（17分） 已知函数 ，． （1）当 时： （i）用单调性的定义证明函数 在 上单调递减； （ii）求函数 的值域． （2）当 时，若对任意的 ，存在 ，使得 成立，求实数 的最大值． 【答案】（1）（i）证明见解析，（ii）；（2） 【分析】（1）（i）用作差法并按定义叙述；（ii）换元 化为二次函数；（2）转化为“ 的最大值 的最小值”． 【解答】 （1）（i）当 时，． 任取 ，则 ． 因为 ，所以 ，，从而 ， 所以 ，即 ，故 在 上单调递减． （ii），令 ，则 ，且 ． 所以 ． 当 时， 递增，； 当 时， 递减，． 所以 的值域为 ． （2）对任意 ，存在 使 ，等价于 ． 因为 ， 在 上递减，所以 ． 当 时， 在 上递增，，由 得 ，故 符合； 当 时，，由 得 ，故 . ； 当 时， 在 上递减，，不符合． 综上，，即 的最大值为 ． 19．（17分） 已知 （）． （1）当 时，求函数 的单调区间； （2）若 有 个实数根 ，且 ． （i）求实数 的取值范围； （ii）若存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1）单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；（2）（i）；（ii） 【分析】（1）去绝对值化为分段二次函数，结合图象写单调区间；（2）按 的正负讨论，数出根的个数；（ii）用韦达定理把 用 表示，再求最值． 【解答】 （1）当 时， 当 时， 在 上递增； 当 时， 在 上递增，在 上递减． 所以 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ． （2）（i）当 时， 在 上，；在 上，． 要使 有 个实根，需 上有 个根：，即 ； 且 上有 个根：需 且 ，即 ． （ 时 上只有 个根， 时 上无根，均不合） 当 时， 上 恒成立， 上只有 个根，不合题意； 时 只有 个根，不合题意． 综上，． （ii）当 时， 是方程 的两根，． 由韦达定理 ，， 所以 ． 不等式化为 ，即 ． 因为 在 上单调递增，所以 中的下确界为 ， 故要使不等式成立，只需 ，即 的取值范围是 ． 数学试卷（答案）　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市第一中学 2026 级高一上学期第一阶段考试 数学试题 命题：珠海市第一中学高一数学备课组 本试卷共 页， 小题，满分 分．考试用时 分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的姓名和考生号，并将考号、座位号填写在答题卡上；并用 2B 铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效． 2．选择题每个小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回． 第一部分（选择题共 58 分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列元素与集合或集合与集合的关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．设集合 ，，若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．已知集合 ，，则下列四个图形中能表示从集合 到集合 的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 4．若“，”是假命题，则 的取值范围为（　　） A． B． C． D． 5．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 6．已知函数 ，则 （　　） A． B． C． D． 7．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 8．已知实数 满足 ，，则 的最大值是（　　） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列命题正确的是（　　） A．函数 与 是同一个函数； B．， 是真命题； C．若命题 ：，，则 是：，； D．如果集合满足 ，则满足条件的集合 的个数为 个． 10．下列命题中，正确的是（　　） A．如果 ，，那么 ； B．如果 ，那么 ； C．若 ，，则 ； D．如果 ，，，那么 ． 11．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．有这样一个函数就是以他名字命名的：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 为高斯函数，又称为取整函数．，．则下列正确的是（　　） A．不等式 的解集为 ； B．对于任意实数 ，都有 ； C．对于任意实数 ，则 是 成立的充分不必要条件； D．若方程 有 个非零实数解，则实数 的取值范围是 ． 第二部分（非选择题共 92 分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．不等式 的解集为　　　　　　． 13． 表示 与 中的较小者，设 ，则函数 的最大值是　　　　　　． 14．已知函数 ，若关于 的不等式 恰有一个整数解，则实数 的取值范围是　　　　　　． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知集合 ，． （1）若 ，求实数 的取值范围； （2）已知 ，记命题 ：，：，若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围． 16．（15分） 已知关于 的不等式 的解集为 ． （1）求实数 的值； （2）正实数 满足 ． ①求 的最小值； ②若 恒成立，求实数 的取值范围． 17．（15分） 2025 年被称为“智能体产业化元年”．基于 AI 大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技 AI 研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型．在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分 （满分 100 分）和有效训练时长（单位：天）存在一定的函数关系．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系： 已知综合性能评分 ，且在 处函数图象是连续不断的． （1）求函数 的解析式； （2）若为大模型的强化训练效率定义为 ，，则训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高． 18．（17分） 已知函数 ，． （1）当 时： （i）用单调性的定义证明函数 在 上单调递减； （ii）求函数 的值域． （2）当 时，若对任意的 ，存在 ，使得 成立，求实数 的最大值． 19．（17分） 已知 （）． （1）当 时，求函数 的单调区间； （2）若 有 个实数根 ，且 ． （i）求实数 的取值范围； （ii）若存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围． 数学试卷　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $珠海市第一中学2026级高一上学期第一阶段考试 数学试题·参考答案 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.下列元素与集合或集合与集合的关系中正确的是() A.0e0 B.√5eQ c.o={0} D.{1,2}={(2,1} 【答案】C 【分析】逐项辨析：元素与集合之间用∈或：，集合与集合之间用二或· 【解答】 A项：空集不含任何元素，故0∈⑦错误： B项：√5是无理数，不是有理数，故√5∈Q错误： C项：空集是任何集合的子集，故O二{0}正确： D项：(1,2)与（2,1)是不同的有序数对，故两集合不相等，错误. 故选C 2.设集合A={x|1<x<2},B={xx<a,若A三B,则a的取值范围是() A.{aa≥2}B.{ala>2} c.{aa≥ D.{aa≤2} 【答案】A 【分析】A二B只需A的右端点不超过B的右端点，注意端点能否取到. 【解答】 A={x1<x<2},B={x|x<a=(（-0,a). 要使AsB,只需a≥2； 当a=2时，B=（-0,2）,仍有(1,2)二（-0,2)，成立. 所以a的取值范围是{aa≥2}.故选A. 3,已知集合A={x|0≤x≤2}，B=y0≤y≤2}，则下列四个图形中能表示从集合A到集合B的 函数关系的是() 2x A. 【答案】B 数学试卷（答案）第1页（共12页） 【分析】从A到B的函数必须满足：定义域恰为A=[0,2]，且对每个x有唯一的y,函数值都在 B=[0,2]内. 【解答】 A中图象的定义域为0,1，不是A,不符合： C中图象的定义域为[0,3，且当x=0或x=3时y=3EB,不符合： D中当0<x<2时，一个x对应两个y,不是函数关系，不符合： B中定义域为[0,2]，每个x对应唯一的y,且0≤y≤2，符合要求. 故选B. 4.若“x∈R,2-3+9≤0”是假命题，则a的取值范围为() A.[0,4] B.[0,4) c.(0,4) D.[4,+o) 【答案】B 【分析】特称命题为假命题，等价于它的否定（全称命题）为真命题，再对分类讨论. 【解答】 “x∈R,2-3+9≤0”为假命题，即x∈R,x2-3ax+9>0”为真命题. 当a=0时，9>0恒成立，符合题意： 当a>0时，需△=(-3a-36a<0,即9a2-36a<0,解得0<a<4: 当α<0时，抛物线开口向下，不可能恒正，不符合题意. 综上，0≤a<4,，即a的取值范围是「0,4).故选B. 5.不等式2x2-5x-3≥0的解集是() A. B.{x|x≥3} c.{x≤-减x 【答案】D 【分析】因式分解后按“大于取两边写出解集。 【解答】 2x2-5x-3=(2x+1)(x-3)20, 对应方程的两根为-】和3，二次项系数为正， 所以解集为xx≤- 故选D. 数学试卷（答案）第2页（共12页） 6.已知函数f() ∫f(x+2),x<0 x+2x-3,20则f-5列=() A.-3 B.-1 C.0 D.1 【答案】C 【分析】按x<0时的递推关系f(x)=f(x+2)逐步化到x≥0再代值. 【解答】 因为-5<0，所以f(-5)=f(-3):又-3<0，所以f(-3)=f(-1): 又-1<0，所以f(-1)=f1): 因为1≥0，所以f(1)=1°+2×1-3=0. 故f(-5)=0.故选C. 7已函效f()的定义减为(-3,4，则函数8)= 的定义域为() V3x-1 B. c.s 【答案】A 【分析】由f的定义域列出x+1的范围，再结合根号内为正、分母不为零. 【解答】 由f(x)的定义域为(-3,4)得-3<x+1<4,即-4<x<3; 又需3x-1>0,即x>1 两者取交集得 r<3.即g刊的院义装为 33 故选A. 4x 8.已知实数x,y满足x>0,y>0,则 y 的最大值是() 4x+y x+y 2 4 22 A. B.1 C. D. 3 3 【答案】C 【分析】令5=>0化为单变量，再用作差法比较。 【解答】 设5=X>0,则，4x+y=45+1 4x+y x+y 4s+1 s+1 数学试卷（答案）第3页（共12页） 因 445+1）_4(4+15+)-3[45(+1+(4s+】(2-12 、≥0， 45+15+1 3(4s+1)(s+1) 3(4s+1)(s+1 所以 红+≤行，当且仅当5方（即y=2x)时取等号， 4x+y x+y 3 故最大值为年.故选c 3 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.下列命题正确的是() A.函数f(x)=Vx与g(x)=是同一个函数： B.x∈N,x2+2x=0是真命题； C.若命题p:x>0,2x°-3x+4≥0，则p是：3x<0,2x2-3x+4<0; D.如果集合满足{0,2二A{-1,0,1,2,4,则满足条件的集合A的个数为7个. 【答案】ABD 【分析】逐项判断：A看定义域与对应关系，B找一个满足条件的x,C看量词与结论是否都否定，D 用子集个数公式 【解答】 A项：f(x)=Vx=d,与g(x)=:的定义域都是R,对应关系相同，是同一个函数，A正确： B项：取x=0∈N,则0+2×0=0，故该特称命题为真，B正确； C项：p应为“x>0,2x2-3x+4<0”,选项中写成了x<0,C错误： D项：A必含0,2，其余元素从{-1,1,4}中任取，共2=8个，去掉A={-1,0,1,2,4}这1个，得 7个，D正确. 故选ABD, 10.下列命题中，正确的是() A.如果a>b,b<c<d,那么a-c>b-d: B.如果a>b>0,那么1>1， a6: C.若-1<a<5,2<b<3,则-3<a-b<2: D.如果a>b>0,c<d<0,e<0,那么e e > a-c b-d 【答案】AD 【分析】不等式性质题要注意“同向可加、同向同正可乘的条件，可用作差法或举反例. 【解答】 A项：由a>b得a-b>0,由c<d得c-d<0, 数学试卷（答案）第4页（共12页） 所以(a-c)-(b-d)=(a-b)-(c-d)>0,即a-c>b-d,A正确： B项：取a=2,b=1,则上-<-1，B错误 a 2b C项：由2<b<3得-3<-b<-2,又-1<a<5,所以-4<a-b<3,(如a=4.9,b=2.1时 a-b=2.8>2),C错误； 厦：白a>60.c<d<0得a-c>bd0.所以0cg6司又e<0,所以 e s、e a-cb-d'D正确. 故选AD. 11.高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为 是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设 x∈R,用[y]表示不超过x的最大整数，则f(x)=[x)]为高斯函数，又称为取整函数.f(2.3)=2, f(-3.3)=-4.则下列正确的是() A不等式)的解架为1≤<动： B.对于任意实数a,b,都有f(a+f(b)>f(a+b): C.对于任意实数x,y,则f(x)=f(y)是x-y<1成立的充分不必要条件： D.若方程[「x]=ax有3个非零实数解，则实数a的取值范围是 【答案】AC 【分析】逐项结合取整函数的定义判断；D选项需按α>0分段数出根的个数（原卷该选项区间的端点 印刷有误). 【解答】 A项：因为e乙、由冈s得网1度2 即1≤x<3,A正确： B项：取a=b3则fa)+fo)=0,面f(a+b)=f)=l,0>1不成立，B错误： C项：若f(x)=f(y)=n,则x,y∈[n,n+1),故x-<1,充分性成立： 取x=0.9,y=1,则x-川=0.1<1，但f(x)=0≠f(y)=1,必要性不成立，C正确： D项：当a>1时，x<0的解满足x∈(-m-1,-m(m=0,12…),解得x=-m+1 ，需 a I<asm+l 1 ，即m≤ m 数学试卷（答案）第5页（共12页） 当0<a≤1时，x>0的解满足x∈[2，n+1),解得x=”,需” <a≤1. n+1 341(43 可得恰有3个非零解时α∈ 而原卷D中第二个区间印为 43 4'532 32 端点开闭有误， 故按原卷判D错误。 故选AC.(若按命题意图修正该端点，则D也正确，答案应为ACD.) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.不等式 2x+1≤1的解集为 x-2 【答案】[-3,2) 【分析】移项、通分，转化为整式不等式，注意分母不为零. 【解答】 原不等式即2x+1-1≤0，即2x+1-(-2）≤0， x-2 x-2 所以+3 x-2 ≤0，等价于（x+3)(x-2)≤0且x≠2， 解得-3≤x<2，即解集为「-3,2)， 13.mim{f(x),g(x)}表示f(x)与g(x)中的较小者，设h(x)=mim{x+1,-x2+2x+3},则函数 h(x)的最大值是 【答案】3 【分析】先求两函数图象的交点，再分段写出(x),最后在各段上求最大值， 【解答】 由x+1=-x2+2x+3得x2-x-2=0,解得x=-1或x=2. 当x≤-1或x≥2时，x+1≥-x°+2x+3,此时h(x)=-x2+2x+3; 当-1<x<2时，x+1<-x2+2x+3,此时h(x)=x+1. 在[-1,2]上h(x)=x+1递增，最大值为h(2)=3: 在x<-1上h(x)=-x2+2x+3递增且小于h(-1)=0;在x>2上递减且小于h(2)=3. 故h(x)的最大值为3. 14.已知函数f(x)= -x2+2x,x≥0 ,若关于x的不等式[f(x)1P-(a+2)f(x)+2a<0恰有一个 x2-2x,x<0 整数解，则实数α的取值范围是 数学试卷（答案）第6页（共12页） 【答案】[0,1)U(3,8] 【分析】把不等式因式分解为(f(x)-a(f(x)-2)<0,再结合f(x)的图象分段数整数解. 【解答】 原不等式即(f(x)-a(f(x)-2)<0. 当x≥0时，f(x)=-x2+2x=-(x-1)+1≤1；当x<0时，f(x)=x2-2x=(x-1)-1>0, 且x→-0时f(x)→+0. ①若a<2,则需a<f(x)<2. x≥0时，由f(x)>a得x-1<V-a(需a<1):x<0时无整数解 (因为f(x)<2给出x∈(1-V3,0),其中不含整数)·. 要使区间1-V1-a,1+V1-a内恰有1个整数，只能是x=1,即0<V-a≤1，解得0≤a<1: ②若a>2,则需2<f(x)<a,只有x<0时有解：x∈(1-V1+a,l-V3), 其中恰有一个整数-1，需1-√1+a<-1≤1-V1+a且-2≤1-V1+a,解得3<a≤8. 综上，a的取值范围是[0,1)U(3,8]. 四、解答题（本题共5小题，共77分) 15.(13分) 已知集合A={x|2<x<4,B={x2m<x<1-1m,m∈R}. (1)若AOB=⑦，求实数的取值范围； 1 (2)已知m<行记命题p:x∈A,4:x∈B,若g是p的必要不充分条件，求实数m的取值 范围， 【答案】(1)m≥-1；(2)m≤-3 【分析】(1)分B=O与B≠O讨论；（2)“q是p的必要不充分条件即AB. 【解答】 (1)O当2≥1-m,即m≥}时，B=O,此时4B=O,符合题意： ②当m<5时，B=(2,l-m）≠0，要使AnB=O,需1-m≤2或21≥4，即m≥-l (2m≥4不可能)， 结合m<兮得-1≤m<号 综上，的取值范围是m≥-1. 数学试卷（答案）第7页（共12页） 1 (2)因为m<3,所以B=(2m,1-m）≠⑦. “q是p的必要不充分条件”即p→q且mot→p,也就是AB. 由A=（2,4)s（2m,1-m)得21≤2且1-m≥4，解得m≤-3； 此时2m≤-6<2,1-m≥4>4不能同时取等，故A≠B. 所以m的取值范围是m≤-3. 16.(15分) 已知关于x的不等式x2+nx-12<0的解集为(-6，n). (1)求实数，n的值； (2)正实数a,b满足+2b=ab. ①求ab的最小值： ②若a+b-t≥0恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1)m=4,n=2:(2)①64：②t≤18 【分析】(1)用韦达定理；(2)由2+8动=b变形为2+8=1，再用基本不等式与1的代换” b 【解答】 (1)因为x2+nx-12<0的解集为（-6，n),所以-6，n是方程x2+nx-12=0的两根. 由韦达定理：-6n=-12,得n=2;-6+2=-m,得=4. (2)由(1)知2a+8=ab,两边同除以b得2+8=1. b a ①由ab=2a+8b≥2W16ab=8ab,得√ab≥8，即ab≥64， 当且仅当2a=8b，,即a=16,b=4时取等号，故ab的最小值为64. ②由2a+8b=ab得(a-8)(b-2)=16.因为a,b>0,若a-8<0且b-2<0,则 (a-8)(b-2)<16,不合题意，故a-8>0,b-2>0. 所以a+b=(a-8)+(b-2)+10≥216+10=18， 当且仅当a-8=b-2=4,即a=12,b=6时取等号. 由a+b-t≥0恒成立得t≤(a+b)mn=l8,所以t的取值范围是t≤18. 17.(15分) 2025年被称为智能体产业化元年”.基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技 A虹研发中心正在研发名为“天穹的新一代大模型.在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评 数学试卷（答案）第8页（共12页） 分P(t)(满分100分)和有效训练时长（单位：天）存在一定的函数关系.通过对几轮训练数据的拟合 -0.4t+at+40,0≤t≤10 分析，得到如下函数关系： 720 -1.8t+b,10<t≤60 t 已知综合性能评分P(5)=70,且在t=10处函数图象是连续不断的. (1)求函数P(t)的解析式： (2)若为大模型的强化训练效率定义为卫)-P50,0,则训练时长取何值时，“天穹模型 的标准化训练效率最高. 【答案】(1)P0)=-0.4r2+8r+40,0≤t≤10.720-1.8+26.10<1≤60：(2)t=5天 t 【分析】(1)由P(5)=70求a,由t=10处连续求b:(2)分段写出E(t),分别在两段上求最 大值再比较 【解答】 (1)由P(5)=-0.4×25+5a+40=70,得5a=40,所以a=8. 因为图象在f=10处连续，所以-0.4x100+8×10+40=720-1.8×10+b, 10 即80=72-18+b,解得b=26. 所以P0)=-0.42+8+40,0≤t≤10.720-1.8+26,10<1≤60. (2)当0<ts10时，E)=-0,r+81-10=8-0.4+10） t t 由基本不等式0.4+0≥2WA=4,当且仅当0.4=10， ,即1=5时取等号， 所以E(t)≤8-4=4，此时E(5)=4: 当101≤60时，E0-720-18-21 为t>10时20与-4都随1增大而减小，所以E0)在0,60上递 E(t)<E(10)=7.2-1.8-2.4=3<4. 综上，当t=5天时，“天穹”模型的标准化训练效率最高（最高效率为4）· 18.(17分) 已知函数fx)=x+冬，g(x)=+2 1 数学试卷（答案）第9页（共12页） (1)当k=1时： (i)用单调性的定义证明函数f(x)在(0,1)上单调递减： 0求强数)=产是)的位蛟， (2)当k>0时，若对任意的x∈[0,2]，存在x∈1,4，使得g()≥f(x)成立，求实数k的 最大值。 【答案】(1)(i)证明见解析，(i)[0,+o)；(2)1 【分析】(1)()用作差法并按定义叙述：(i)换元u=x+】化为二次函数：(2)转化为“g(飞)】 的最大值≥f(x)的最小值”. 【解答】 (1)①当k=1时，f()=x+元 任取0<七<x<1,则 )---)-3--) 因为0<5<<1，所以x-为<0,0<<1，从而1- <0, XX2 所以f(x)-f(:)>0,即f(x)>f(x),故f(x)在(0,1)上单调递减. mM=x2+日令u-x+则x+i-,且ue(-2小2+) 129 所以h=i2+-2=u+24 当u≥2时，h递增，h≥4+2-2=4： 当u≤-2时，h递减，h≥4-2-2=0. 所以h(x)的值域为[0，+o). (2)对任意x∈[0,2]，存在x∈[1,4]使g()≥f(x),等价于g(x)mx≥f(x,)n 因为k>0,g(x)=-+2在[0,2]上递减，所以g(x)x=g(0)=2. 当0<k<1时，fx)=x+冬在几，4个上递增，万m=f四=1+k,由2≥1+k得k≤1，故 0<k<1符合： 当1≤k≤16时，fm=2WR,由2≥2WR得K≤1，故k=1.； 数学试卷（答案）第10页（共12页） 当>16时，了在几，4上递减，6m=f(4)=4+>8>2,不符合. 综上，k≤1，即k的最大值为1. 19.(17分) 已知f(x)=xx-2d+a2-2a(aeR). (1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间： (2)若f(x)=0有3个实数根x,x,x3,且x<x3<3· (i)求实数a的取值范围： ()若有在5，七，飞，使不等式1+12<0成立，求实数力的取值范围。 X x2 x3 【答案】(1)单调增区间为(-o,1和[2，+o),单调减区间为[1,2]：(2)(i)1<a<2;(i) 2>2+22 【分析】(1)去绝对值化为分段二次函数，结合图象写单调区间：(2)按a的正负讨论，数出根的个 数：()用韦达定理把上+1用4表示，再求最值， X1 x2 【解答】 (1)当a=1时，f(x)=xx-2-1=x2-2x-1,x≥2？x2+2x-1,x<2 当x≥2时，f(x)=(x-1)-2在[2，+o)上递增： 当x<2时，f(x)=-(x-1)在(-0,1]上递增，在[1,2]上递减. 所以f(x)的单调增区间为(-0，]和[2，+∞)，单调减区间为[1,2]. (2)(i)当a>0时， 在x≥2a上，f(x)=(x-a-2a;在x<2a上，f(x)=-(x-a+2a2-2a. 要使f(x)=0有3个实根，需x≥2a上有1个根：x=a+√2a≥2a,即0<a≤2： 且x<2a上有2个根：需2a(a-1)>0且a+√2a(a-1)<2a,即1<a<2. (a=1时x<2a上只有1个根，a≥2时x≥2a上无根，均不合) 当a<0时，x≥2a上f(x)=（x-a)'-2au>0恒成立，x<2a上只有1个根，不合题意；a=0 时f(x)=xx只有1个根，不合题意. 综上，1<a<2. (i)当1<a<2时，x,x是方程-(x-a)+2a2-2a=0的两根，x3=a+√2a. 由韦达定理x+x3=2a,xx=a2-(2a-2a=2a-a2, 数学试卷（答案）第11页（共12页） 所以1+1=+龙=2a=2 x x2 xx2 2a-a-2-a 不等式化为名>，2，即2>2 2(a+v2a) x32-a 2-a 2-a 2(a+v2a 因为p(a)= 在(（1,2)上单调递增，所以p(a>2+√2×2中的下确界为 2-a p(1)=2+2W2, 故要使不等式成立，只需元>2+2√2，即入的取值范围是(2+2√2，+∞)： 数学试卷（答案）第12页（共12页）珠海市第一中学2026级高一上学期第一阶段考试 数学试题 命题：珠海市第一中学高一数学备课组 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的姓名和考生号，并将考号、座位号填写在答题卡上；并 用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效. 2.选择题每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原 来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回. 第一部分（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.下列元素与集合或集合与集合的关系中正确的是() A.0∈☑ B.V5∈Q C.s{0} D.1,2}={(2,1)} 2.设集合A={x1<x<2},B={x|x<a,若AsB,则a的取值范围是() A.{ala≥2}B.{aa>2} C.{aa≥1 D.{aa≤2} 3.已知集合A={x0≤x≤2}，B={y0≤y≤2}，则下列四个图形中能表示从集合A到集合B的函数 关系的是() 012x A. B. C. 4.若“3x∈R,a2-3x+9≤0”是假命题，则a的取值范围为() A.[0,4] B.[0,4) C.(0,4) D.[4,+∞) 5.不等式2x2-5x-3≥0的解集是() A.ls B.{x|x≥3} 数学试卷第1页（共4页） c.{x≤-3或r2引 D.xx≤或3 6.已知函数fx)=fx+2).x<0 x2+2x-3,x≥0 ,则f(-5)=() A.-3 B.-1 C.0 D.1 7.已知函数f(y的定义域为（一3,4），则函数8)=儿x+ 的定义域为() V3x-1 c.. D. 8.已知实数x,y满足x>0,y>0,则 4x+y的最大值是(） 4x+v x+v 4.2 B.1 C.4 D.2V2 3 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题正确的是() A.函数f(x)=VR与g(x)=N是同一个函数： B.3x∈N,x2+2x=0是真命题； C.若命题p:x>0,2x2-3x+4≥0，则p是：3x<0,2x2-3x+4<0; D.如果集合满足{0,2}二A{-1,0,1,2,4,则满足条件的集合A的个数为7个. 10.下列命题中，正确的是()》 A.如果a>b,b<c<d,那么a-c>b-d; B.如果a0>0,那么合 C.若-1<a<5,2<b<3,则-3<a-b<2: D.如果ab0,c<d<0,e<0,那么a2eb2司 e 11.高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一，高斯被认为 是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设xR, 用[x]表示不超过x的最大整数，则f(x)=[x]为高斯函数，又称为取整函数.f(2.3)=2, f(-3.3)=-4.则下列正确的是() A.不等式[可s号的解集为x1≤x<3引： 数学试卷第2页（共4页） B.对于任意实数a,b,都有f(a+f(b)>f(a+b): C.对于任意实数x,y,则f(x)=f(y)是x-<1成立的充分不必要条件： D.若方程[x]=有3个非零实数解，则实数a的取值范围是 引 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.不等式2x+≤1的解集为 x-2 13.min{f(x),8(x》表示f(x)与g(x)中的较小者，设h(x)=min{x+1,-x2+2x+3},则函数h(x) 的最大值是 14.已知函数f(x)= +2x,r≥0，若关于x的不等式[f(s-(a+2fx)+2a<0恰有一个整数解， 1x2-2x,x<0 则实数α的取值范围是」 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知集合A={x2<x<4,B={x|2<x<1-,l∈R}· (1)若A⌒B=☑，求实数m的取值范围： 2已知m<}:记命题p:x∈A,g:x∈B,若g是p的必要不充分条件，求实数m的取值范 围 16.(15分) 已知关于x的不等式x2+x-12<0的解集为（-6，n). (1)求实数，n的值； (2)正实数a,b满足a+2b=b. ①求ab的最小值； ②若u+b-t≥0恒成立，求实数t的取值范围. 17.(15分) 2025年被称为“智能体产业化元年”.基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技 AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型.在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评 数学试卷第3页（共4页） 分P(t)(满分100分)和有效训练时长（单位：天）存在一定的函数关系.通过对几轮训练数据的拟合 -0.4t2+t+40,0≤t≤10 分析，得到如下函数关系： 720 -1.8t+b,10<t≤60 。t 已知综合性能评分P(5)=70,且在t=10处函数图象是连续不断的. (1)求函数P(t)的解析式： (2)若为大模型的强化训练效率定义为句=P©-50,1>0，则训练时长取何值时，“天客”模型的 标准化训练效率最高. 18.(17分) 己知酒数了o)=x+套g)=-+2. (1)当k=1时： (i)用单调性的定义证明函数f(x)在(0,1)上单调递减： ()求函数)=+子+)的值域， (2)当k>0时，若对任意的x∈[0,2]，存在x∈1,4]，使得g(x)≥f(:)成立，求实数k的最大值. 19.(17分) 已知f(x)=xx-2d+a2-2a(aeR). (1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间： (2)若f(x)=0有3个实数根x1,x,x3,且x<为3<为： (i)求实数a的取值范围 ()若存在，，5，使不等式上+2<0成立，求实数1的取值范围 XXx3 数学试卷第4页（共4页）