专题04 整式的加减（知识&考点&公式&12高频&4易错&3重难&3模型，期中知识清单）七年级数学上学期新教材人教版

专题04 整式的加减 目 录 识记类 思维导图 知识清单(4类) 考点清单(7类) 公式清单(6类) 辨析清单(5类) 题型类 高频题型清单(12类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(3类) 答题技巧清单 知识点01 代数式与整式基础 1.单项式 由数或字母的积组成的代数式；单独一个数、一个字母也是单项式。 （1）系数：单项式中的数字因数；如，系数为。 （2）次数：所有字母指数之和；常数项次数为0；次数为。 2.多项式 几个单项式的和叫做多项式。 （1）项：多项式里每一个单项式；不含字母的项叫常数项。 （2）多项式次数：次数最高项的次数，不是所有项次数之和。 3.整式 单项式与多项式统称为整式；分母中含有字母的式子不是整式。 知识点02 同类项与合并同类项 1.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项； 两无关：与系数无关、与字母排列顺序无关；所有常数项都是同类项，如和是同类项。 2.合并同类项法则 把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。 公式： 知识点03 去括号法则 1.括号前是“”：去掉括号与正号，括号内各项符号不变； 2.括号前是“”：去掉括号与负号，括号内每一项全部变号； 3.括号前有数字因数，用乘法分配律，遍乘每一项，严禁漏乘： 知识点04 整式的加减运算 ①运算顺序：先去括号，再合并同类项。 ②整式加减列式：多个整式相加减时，每个整式必须先用括号括起来。 ③化简求值：先化简整式，再把数值代入；代入负数、分数时必须添加括号。 5结果书写要求 ①不能留有同类项；②按某一字母降幂或升幂排列；③系数不能出现带分数，要化为假分数。 考点01整式的识别与相关概念 考点内容：单项式、多项式、整式的定义；单项式的系数与次数；多项式的项、常数项、多项式次数；区分整式与分式（分母含字母不是整式）。 常见考法： ①判断代数式是不是单项式、多项式、整式； ②写出单项式的系数与次数，注意是常数，不算字母； ③找出多项式的项、常数项，确定多项式的次数； ④判断书写是否规范，区分次数计算易错点。 考点02同类项的判定 考点内容：同类项“两相同（字母相同、同字母指数相同）、两无关（系数、字母顺序无关）；常数项都是同类项”。 常见考法： ①判断两组项是否为同类项； ②已知两项是同类项，求字母指数中未知数的值； ③区分容易误判的项，如与不是同类项。 考点03合并同类项 考点内容：合并同类项法则：系数相加，字母与字母指数不变；只有同类项才可以合并，非同类项不能合并。 常见考法： ①直接合并多项式中的同类项； ②化简多项式，把结果按字母降幂排列； ③结合同类项求值，先合并再代入计算。 考点04去括号运算 考点内容：去括号符号变化规则；括号前带负系数时，用分配律逐项相乘，不漏项、不变错符号。 常见考法： ①基础去括号化简； ②多层括号化简（由内向外去括号）； ③易错点：只改变第一项符号，其余项不变号；漏乘括号内后面的项。 考点05整式的加减运算（化简） 考点内容：整式加减步骤：去括号→合并同类项；多个整式相加减时整体加括号。 常见考法： ①两个整式求和、求差的列式与化简； ②多层括号+多组同类项的综合化简； ③化简后按要求整理成降幂排列。 考点06整式化简求值 考点内容：先化简整式，再代入数值计算；代入负数、分数必须加括号；整体代入求值（整体思想）。 常见考法： ①常规题型：先化简，再把字母数值代入求值； ②整体代入：不单独求字母的值，把某一多项式整体代入计算； ③含参数的整式不含某一项，求参数的值（该项系数等于0）。 考点07整式加减的实际应用 考点内容：列整式表示数量关系，再通过整式加减化简，解决实际问题。 常见考法： ①用多项式表示图形周长、面积； ②根据题意列出整式，化简后求出结果。 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 合并同类项公式 同类项合并，系数相加，字母与指数保持不变 2 正号去括号公式 括号前为“+”，去括号后各项符号不变 3 负号去括号公式 括号前为“−”，去括号后每一项全部变号 4 带正系数去括号 括号前正数因数，分配相乘，符号不变 5 带负系数去括号 括号前负数因数，分配相乘，各项变号 6 整式作差列式 两个多项式相减，减数整体加括号 辨析01区分整式与分式，不要混淆分母是否含字母 单项式、多项式统称整式；分母中含有字母的代数式不是整式；分母只有数字（不含字母）依然是整式。 例：是整式；分母含字母，不是整式；是常数，不含字母。 辨析02区分单项式的次数与多项式的次数，不要混淆求和规则 单项式次数：所有字母指数相加；常数项次数为0；是常数，不计入次数。 多项式次数：取次数最高项的次数，不是把所有项的次数全部相加。 例：是三次多项式，不是五次多项式。 辨析03区分同类项判定条件，不要被系数、字母顺序干扰 同类项只看两点：字母完全相同、相同字母指数相同；和系数大小、字母前后顺序无关；只有常数项之间一定是同类项。 例：与是同类项；与字母指数不同，不是同类项。 辨析04区分“项的符号”与“去括号变号”，不要只变第一项 去括号时，括号前是负号，括号内所有项都要变号，不能只改变第一项符号；多项式中的项自带前面的正负号，移动项时要连同符号一起移动。 辨析05区分系数里的与字母，不要把常数当成字母 是固定常数，不是字母；在单项式中，系数是，次数只算字母的指数2，不含。 【题型一】单项式的判断 例1．给出下列式子：，．其中单项式的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，，是单项式 ，不是单项式 ∴单项式共有3个． 变式1-1．下列式子中，是单项式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A.，不是单项式，本选项不符合题意； B.，是单项式，本选项符合题意； C.的分母中含字母，不是整式，故不是单项式，本选项不符合题意； D.，不是单项式，本选项不符合题意． 变式1-2．下列说法中，正确的是（     ） A．a不是单项式 B．单项式的系数是 C．是单项式 D．5是零次单项式 【答案】D 【详解】解：A、是单项式，故该选项错误，不符合题意； B、单项式的系数是，故该选项错误，不符合题意； C、∵， ∴不是单项式，故该选项错误，不符合题意； D、5是单项式，且常数项的次数为0，故该选项正确，符合题意． 变式1-3．下列代数式中，全是单项式的一组是（   ） A．，a B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵ 单项式是数或字母的积，或单独的数或字母， 是多项式，不是单项式，∴ A不符合； 是字母与常数的商，属于单项式， 是数字与字母的积，也是单项式，∴ B符合； 分母含有字母，不是单项式，∴ C不符合； 是多项式，不是单项式，∴ D不符合． 故选：B． 【题型二】单项式的系数、次数 例2．单项式的系数是________． 【答案】 【详解】解：原单项式可改写为，其中数字因数为， 故系数是． 变式2-1．下列各代数式中，是五次单项式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、的次数为 ，是六次单项式，不符合要求； B、 的次数为 ，是三次单项式，不符合要求； C、的次数为 ，是五次单项式，符合要求； D、不是单项式，不符合要求． 变式2-2．单项式的次数是（     ） A．2 B．5 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：根据定义，单项式的次数是单项式中所有字母的指数和， ∵单项式中，字母的指数为，字母的指数为， ∴该单项式的次数为． 变式2-3．a2b的系数是 _________，次数是 _________． 【答案】 3 【详解】解：单项式，其数字因数为，因此系数为； 字母的指数为，字母的指数为，所有字母指数和为 ，因此次数为． 【题型三】写出满足某些特征的单项式 例3．任意写出一个与单项式是同类项的单项式：__________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，可知只要改变单项式的系数，即可得到它的同类项，例如． 变式3-1．若一个关于m，n的单项式的系数是，次数是5，则这个单项式可以是____________．（写出一个即可） 【答案】 （答案不唯一） 【详解】解：由题意可知，单项式的系数为，次数为，即，的指数之和为； 故单项式可以为（答案不唯一） 变式3-2．请写出一个系数为，只含有字母和的三次单项式：________． 【答案】（或） 【详解】解：∵系数为，只含有字母和的三次单项式， ∴，符合要求． 变式3-3．写出一个所含字母为x、y，并且次数为5的单项式． 【答案】 （答案不唯一） 【详解】略． 【题型四】单项式规律题 例4．按一定规律排列的代数式：，，，，，…．第n个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵第1个代数式为，系数， 第2个代数式为，系数， 第3个代数式为，系数， 第4个代数式为，系数， 第5个代数式为，系数，……， ∴第个代数式的系数为，即第个代数式是． 变式4-1．按一定规律排列的单项式：，，，，，，，则第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由给出的单项式得出规律： 根号下被开方数满足，单项式的符号满足， 则第n个单项式是． 变式4-2．观察一组按规律排列的式子：a，，，，，…，则第n（n为正整数）个式子是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：第一个式子的系数为，指数为； 第二个式子的系数为，指数为； 第三个式子的系数为，指数为； 第四个式子的系数为，指数为； ．．．．．． 因此，第个式子的系数为，指数为， 故第个式子为． 变式4-3．小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．他发现从第三个输出项起的每一项都与这一项的前面两个输出项有关．按此规律，当输入8时，输出结果为______，从1开始一直输入到2026后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有______个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 … 输出 … 【答案】 676 【详解】解：输入1，得a，项的系数与次数均为奇数， 输入2，得，项的系数与次数不都为奇数， 输入3，得，项的系数与次数不都为奇数， 输入4，得，项的系数与次数均为奇数， 输入5，得，项的系数与次数不都为奇数， 输入6，得，项的系数与次数不都为奇数， 输入7，得，项的系数与次数均为奇数， 输入8，得，项的系数与次数不都为奇数， …… ∴当输入的数是时，输出项的系数与次数均为奇数， ∵， ∴从1开始一直输入到2026后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有676个， 故答案为：，676． 【题型五】多项式的判断、多项式的项、项数或次数 例5．如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵是关于，的四次三项式 ∴，， 解得或，， ∴． 变式5-1．多项式是_____次______项式 【答案】 三 三 【详解】解： ∴该多项式是三次三项式． 变式5-2．下列整式中有a个单项式，b个多项式，则______． 【答案】8 【详解】解：单项式有，，，，共个，即， 多项式有，，共个，即， ∴． 变式5-3．下列说法中正确的是（     ） A．单项式的次数为，系数是 B．单项式和是同类项 C．多项式是二次三项式 D．多项式的项是，和 【答案】B 【详解】解：A，单项式的系数为，次数为，选项说法错误； B，和所含字母相同，且相同字母的指数也相同，符合同类项定义，二者是同类项，选项说法正确； C，多项式的最高次项次数为，共项，该多项式是三次三项式，选项说法错误； D，多项式 的项是，和，选项说法错误． 【题型六】多项式系数、指数中字母求值 例6．如果多项式是关于x的二次二项式，m，n为常数，则_______． 【答案】1 【详解】解：∵多项式是关于x的二次二项式， ∴， ∴， ∴； 故答案为1． 变式6-1．若多项式是关于x的三次二项式，则____________________________ 【答案】或或 【详解】解：多项式中有，，三项， 多项式是关于x的三次二项式， 当的系数为， 此时， 解得， 此时原多项式为，符合条件； 当和可以合并时， 此时， 解得， 此时原多项式为，符合条件； 当和可以合并时， 此时， 解得， 此时原多项式为，符合条件； 综上，或或． 故答案为：或或． 变式6-2．若多项式 是四次三项式，则m的值为_______． 【答案】2 【分析】 【详解】解：多项式的三项分别为：第一项 ，次数为 ；第二项 ，次数为 ；第三项 ，次数为 ， 由于多项式是四次式，最高次数为4， 因此第一项次数 ，解得 ， 当 时，第二项系数 ，所有项均存在，且最高次数为4，符合四次三项式， 故答案为：2． 变式6-3．已知多项式是四次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同．求的值． 【答案】6 【详解】解：∵多项式是四次四项式， ∴， ∴， ∵单项式的次数与这个多项式的次数相同， ∴， ∴． 【题型七】升（降）幂排列与整式的判断 例7．将整式按字母y降幂排列得到________． 【答案】 【详解】解：整式按的指数降幂排列得． 变式7-1．将多项式按的升幂排列，从左到右第二项是_____． 【答案】 【详解】解：多项式中，各项关于的指数分别为：的指数是2，的指数是3，的指数是1，的指数是0． 按的升幂排列为：， 故从左到右第二项是． 故答案为：． 变式7-2．把一个多项式按x的降幂排列为，则整数m的值是______． 【答案】1或2或3 【分析】 【详解】解：由题意，多项式按的降幂排列， 所以指数满足， 则整数m的值可以是1、2、3． 故答案为：1或2或3． 变式7-3．把多项式按照字母升幂排列时，从左到右第二项是：_____． 【答案】 【详解】解：把多项式按照字母升幂排列为， 即从左到右第二项是． 【题型八】同类项的判断、已知同类项求参数的值 例8．若与为同类项，则的值为（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【详解】解：与是同类项， ∴， ． 变式8-1．下列各组单项式中不是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：与是同类项，故A不符合题意； 与、与所含字母相同，相同字母的指数对应相同，都是同类项，故B和C不符合题意； 与中、的指数均不相同，不是同类项，故D符合题意． 变式8-2．如果单项式与的差是单项式，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵单项式与的差是单项式， ∴二者为同类项， ∴，， 解得，， ∴， ∴． 变式8-3．若单项式与是同类项，则n的值为_________． 【答案】5 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴. 【题型九】合并同类项、去括号、添括号 例9．[（______）][（______）]． 【答案】 【详解】解：把看作整体，根据添括号法则，等式右边得， ． 变式9-1．根据去括号法则，在下面各式中填“”或“”： （）____________； （）______． 【答案】 【详解】解：（）； （）． 变式9-2．下列各题的结果是否正确? (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) 不正确 (2) 不正确 (3) 不正确 (4) 不正确 【详解】（1）解：和不是同类项，不能合并，因此原式结果错误； （2）解：，，因此原式结果错误； （3）解：，，因此原式结果错误； （4）解：和不是同类项，不能合并，因此原式结果错误． 变式9-3．已知，，，，求的值． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴ ． 【题型十】整式的加减运算、整式加减中的化简求值题 例10．已知，，当，时，代数式的值为________． 【答案】 【详解】解：，， ， 当，时，． 变式10-1．先化简，再求值：，其中a是最大的负整数，b与互为相反数． 【答案】； 【详解】解： ． 因为是最大的负整数，与互为相反数， 所以，． 把，代入，原式． 变式10-2．小明不小心将作业本上一个正确的演算过程擦掉了一块，且擦掉的部分是多项式，过程如图所示，设擦掉的多项式为． (1)求多项式； (2)已知，分别求当为3和时，的值． 【答案】(1)； (2)当时，，当时， 【分析】 【详解】（1）解：根据题意得： ． （2）解：∵，， ∴． 当时，； 当时，． 变式10-3．有这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的吴爱国同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，把式子两边乘2得． 【简单应用】 (1)已知，则_______； (2)已知，，求的值． 【拓展提高】 (3)已知，，求代数式的值． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解：． （2）解：当，时， ． （3）解：∵，， ∴ ． 【题型十一】整式加减中的无关问题、带有字母的绝对值的化简 例11．实数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＜、＞、＝”填空：_____ 0，_____ 0，_____ 0； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】 【详解】（1）解：根据数轴可知，， ∴，，， （2）解：． 变式11-1．若实数满足，，则________． 【答案】 【详解】解：，且， ， ， 将代入第二个等式，得：． 变式11-2．多项式与多项式相加后不含二次项，那么m的值是______． 【答案】4 【详解】解： 相加后不含二次项， 二次项系数等于，即 ． 变式11-3．有一道题目：当，时，求多项式：的值．甲同学做题时把错抄成，乙同学没抄错题，但他们做出的结果恰好一样．你能说明这是为什么吗？ 【答案】解： ， 结果与a的值无关， 故甲同学做题时把写错成，乙同学没抄错题，但他们结果恰好相等． 【详解】略 【题型十二】整式加减的应用 例12．图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，，则的值是（     ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【详解】解：设， 根据题意，，， ∴． 变式12-1．某科技公司研发了两款机器人甲和乙．已知甲机器人需要A零件5个，B零件4个；乙机器人需要A零件6个，B零件3个．现生产两款机器人共使用A零件a个，B零件b个，则的值可能为（     ） A．359 B．360 C．361 D．362 【答案】B 【详解】解：设生产甲机器人和乙机器人的数量分别为x，y， 则，， ，一定是9的倍数， 359、361、362不能被9整除，只有360能被9整除， 则的值可能为360． 变式12-2．如图所示，把6个宽为a，长为b的小长方形，按不同的方式分别放入长方形和长方形中，记图1中的阴影部分的周长为，图2中的阴影部分的周长为，若，则（     ） A． B． C．3a D．3b 【答案】C 【详解】解：设，， 由图知，，， ， ， ∵， ∴，则， ∴ ． 变式12-3．新学期学校准备更换校园内垃圾桶，计划采购大小两种型号垃圾桶．大垃圾桶单价元/个，小垃圾桶单价比大垃圾桶单价的多20元，此次预计采购大垃圾桶5个，小垃圾桶7个． (1)用含的代数式表示此次购买垃圾桶共付款多少元？ (2)若大垃圾桶单价为120元/个，学校预算1200元，是否够用？请说明理由． 【答案】(1)（元） (2)解：将代入得（元）， 因为， 所以学校预算够用． 【分析】 【详解】【小题1】解：（元）； 【小题2】略． 【题型一】整体代入求值易符号出错 易错警示 进行整体代换求代数式的值时，不要急于求出单个字母的值。对已知或所求式子变形，添括号、移项过程要格外留意符号，负数整体代入必须添加括号，符号稍有疏忽就会直接造成计算结果错误。 例1．已知，，则的值为（    ） A． B． C．0 D．30 【答案】C 【详解】解： ， 将，代入， 得 ． 变式1-1．若代数式的值为10，则代数式的值为___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴ 变式1-2．【阅读材料】：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， 例：化简． 解：原式 参照本题阅读材料的做法进行解答： (1)若把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴ （3）∵，，， ∴ 变式1-3．教科书91页第15题是这样的：若，，求的值．小明是这样做的： 原式 ． 在这里，他把作为了一个整体，这体现了一个非常重要的数学思想：整体思想． 【方法运用】： (1)若代数式，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为8．当时，求代数式的值； (3)若，，求代数式的值． 【答案】(1)14 (2)2 (3)14 【分析】 【详解】（1）解：因为， 所以 ； （2）解：当时， ，即， 当时，； （3）解：因为，， 所以 ． 【题型二】写特征单项式易混淆系数次数 易错警示 构造符合条件的单项式，分清系数与次数概念。系数包含前面正负符号，不要漏掉负号；次数为所有字母指数之和，常数π属于数字，不计入次数，不要把它当成字母来累加指数。 例2．系数为5，只含字母m、n的三次单项式有_____个，它们是______． 【答案】 2 、 【详解】解：设单项式为，其中a和b为非负整数，且，由于字母部分必须同时包含m和n，故， ∴可能的情况为：或，对应的单项式分别为和；因此共有两个这样的单项式。 故答案为2；、． 变式2-1．请写出一个只含有两个字母的单项式，要求系数为，次数为4，这个单项式可以是_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 【详解】解：∵单项式只含有和两个字母，且系数为，次数为， ∴字母和的指数之和为，且每个字母的指数至少为， ∴单项式可以是． 故答案为：． 变式2-2．某单项式同时具有以下特点：①系数是；②次数是3；③只含有两个字母．请写出一个这样的单项式：________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：因为系数为，次数为3，且只含两个字母， 所以该单项式为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 变式2-3．请写出一个系数为，且只含字母，的五次单项式： _______． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：单项式的系数为，次数为， 字母和的指数之和必须为，且指数均为正整数， 可写出如、、、． 故答案为：． 【题型三】单项式规律题易搞错符号指数 易错警示 探究单项式排列规律，要同时观察符号、系数、字母指数三部分。符号常正负交替循环，单独分析正负变化；指数逐次变化，分开找指数通项，切勿只看数字忽略符号，导致写不出正确结果。 例3．按一定规律排列的单项式：，按照这样的规律，第2025个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：第1个单项式为， 第2个单项式为， 第3个单项式为， 第4个单项式为， 第5个单项式为， …… 依此类推，第个单项式为， 当时，， ∴第2025个单项式是． 故选：A． 变式3-1．按一定规律排列的代数式：，其中第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由排列的代数式可知，单项式的系数符号由奇偶性决定，为，其后的数字为，字母为， ∴第个单项式是． 变式3-2．有一列按规律排列的代数式：，则第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵观察符号：第1个为正，第2个为负，第3个为正……，符号规律为 ∵观察系数的分母：第1个是，第2个是，第3个是……，分母规律为，分子均为1，故系数为 ∵观察x的指数：第1个是，第2个是，第3个是……，指数规律为； ∴第n个代数式是. 故选：B． 变式3-3．已知多项式． (1)根据多项式的排列规律，你能确定这个多项式是几次几项式吗？ (2)这个多项式的第七项和第八项分别是什么？ 【答案】(1)十次十一项式 (2)第七项是，第八项是 【分析】 【详解】（1）解：这个多项式是按a的降幂排列的，且每一项的次数都是10，奇数项的系数符号是正号，偶数项的系数符号是负号； 所以这个多项式是十次十一项式； （2）解：由多项式的规律得，第项是， 所以这个多项式的第七项是，第八项是． 【题型四】多项式求参数混淆系数与次数 易错警示 根据多项式次数、项数求解参数，区分开项的系数和多项式次数。多项式次数是最高次项的次数，不是所有项次数相加；注意常数项次数为0，结合条件列等式，不要错把系数当成次数计算。 例4．若关于x，y的多项式的各项系数之和是5，则“●”代表的数是_________． 【答案】6 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：6． 变式4-1．多项式是关于a、b的四次三项式，且最高次项的系数为－2，则x＝______，y＝  ___． 【答案】 -5 3 【解析】略 变式4-2．已知是关于x的二次多项式，则_______． 【答案】2 【详解】解：由多项式是关于的二次多项式，故三次项系数，解得， 又二次项系数，当时，，符合要求；当时，，不符合要求； 故； 故答案为：2． 变式4-3．已知多项式是一个四次三项式，且为二次项的系数，求的值． 【答案】 【详解】解：因为多项式是一个四次三项式，为二次项的系数， 所以，， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了多项式的次数，掌握多项式中，次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键． 【题型一】图形类规律探索 例1．如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多__________个（用含 n 的式子表示）． 【答案】 【详解】解： 第1个图形黑、白两色正方形共个，其中黑色1个，白色个， 第2个图形黑、白两色正方形共个，其中黑色2个，白色个， 第3个图形黑、白两色正方形共个，其中黑色3个，白色个， 依此类推， 第n个图形黑、白两色正方形共个，其中黑色n个，白色个， …… ∴第n个图案中白色正方形比黑色正方形多个， 故答案为∶ ． 变式1-1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有张黑色正方形纸片，第②个图中有张黑色正方形纸片，第③个图中有张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑦个图中黑色正方形纸片的张数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：第①个图中黑色正方形纸片：， 第②个图中黑色正方形纸片：， 第③个图中黑色正方形纸片：， ∴第个图中黑色正方形纸片：， ∴第⑦个图中黑色正方形纸片的张数为：． 变式1-2．下列图形都是由几个灰色和白色的正方形按一定规律组成的，图①中有2个灰色正方形，图②中有5个灰色正方形，图③中有8个灰色正方形，图④中有11个灰色正方形……依此规律，图中灰色正方形的个数是（用含n的代数式表示，n为正整数）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：图①中有个灰色正方形， 图②中有个灰色正方形， 图③中有个灰色正方形， 图④中有个灰色正方形， ∴图中灰色正方形的个数是：个灰色正方形． 故选C． 【点睛】本题考查图形类规律探究．根据已知图形，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键． 变式1-3．如左下图，我国宋代数学家杨辉创作了一个幻圆，为“米”字形九宫组合结构，由自然数1至33填成，每条直径上（除圆心位置的数）各数之和相等，且与每个同心圆（同心圆指的是圆心相同的圆）上各数之和相等．爱好幻方的同学模仿幻圆做出右下图，用2至10的连续不同整数填写，根据前述幻圆的规律，则的值是___________． 【答案】2 【详解】解：根据题意得：， ∴， 故答案为：2． 【题型二】整体代入求值 例2．已知多项式的值是7，则多项式的值是__________． 【答案】 【详解】解：由，得，即． 则． 故答案为：． 变式2-1．已知，则代数式的值为（　　） A． B． C．2 D．0 【答案】A 【详解】∵ ∴ ． 故选：A． 变式2-2．已知，，则的值为______． 【答案】8 【详解】解： ， ∵，， ∴原式． 变式2-3．已知，求代数式的值． 【答案】 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 【题型三】新定义运算问题 例3．对于有理数，定义，则化简后是_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 变式3-1．用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定． 例如：． (1)求的值； (2)求的值； (3)探究：该运算是否满足交换律？即与是否一定相等？说明理由； (4)计算． 【答案】(1) (2) (3)该运算满足交换律，与一定相等， 理由如下：∵，， ∴； (4) 【分析】 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：该运算满足交换律，与一定相等． 理由如下略． （4）解： ． 变式3-2．定义：如果一个四位数的各数位上的数字均不为0，且满足，那么称这个四位数为＂四自少年数＂，例如：四位数5321，，是“四自少年数”，则最小的“四自少年数”为__________；若一个“四自少年数”满足的和能被6整除，则满足条件的最大的“四自少年数”为__________． 【答案】 3211 9633 【详解】解：由题意可得，， 整理，可得， 四位数中，均为整数，各数位上的数字均不为0， 当时，根据，可得无合适的数使得等式成立， 当时，根据，可得使得等式成立，但不符合题意， 当时，根据，可得使得等式成立， 最小的“四自少年数”为3211； ， ， ， 的和能被6整除， 能被3整除， 当时，根据，可得无合适的数使得等式成立， 当时，根据，可得无合适的数使得等式成立， 当时，根据，可得无合适的数使得等式成立， 当时，根据，可得使得等式成立， 满足条件的最大的“四自少年数”为9633， 故答案为：3211；9633． 变式3-3．【定义】如果一个三位数满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，称这个三位数为“异数”． 【发现】若n是一个“异数”，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个正整数为F（n）． 例如：若，交换百位数字与个位数字得到652，，则，，所以． 【解决问题】： (1)_________；_________． (2)小方同学发现可以用“整式的加减”知识证明上述【发现】是正确的，请你帮助小方同学证明上述【发现】． (3)若s，t都是“异数”，，（其中x为小于10的正整数），求的值． 【答案】(1)4，3 (2) 设这个三位数是，交换百位和个位的数字后， ， (3)8 【分析】 【详解】（1）解：①、② 故答案为：4，3. （2）略 （3）解：∵s，t都是“异数”，，（其中x为小于10的正整数）， ∴，且x为正整数且， ∵，都是“异数”，其中x为小于10的正整数 ∴，， ∴． 题型一、多项式按字母升、降幂排列 解题步骤： ①看清题目指定排序的字母，区分降幂（指数从大到小）、升幂（指数从小到大）； ②找出多项式每一项中该字母的指数，各项移动时必须连同自身正负符号一起搬迁； ③按照指数大小顺序重排各项，没有该字母的项，视作此项该字母指数为0； ④写完后复查指数顺序，核对有无漏项、符号写错的情况。 例1．把多项式按降幂排列：____________________． 【答案】 【详解】解：． 变式1-1．将整式按降幂排列是________． 【答案】 【详解】解：将整式按降幂排列是． 故答案为：． 变式1-2．多项式按字母的升幂排列为________． 【答案】 【详解】解：先确定原多项式各项中字母的指数， 项中，的指数为 项中，的指数为 项中，的指数为 项中，的指数为 按的指数从小到大排列各项，得到最终结果为：． 变式1-3．把多项式按x的升幂排列． 【答案】 【详解】解：多项式按x的升幂排列为． 题型二、已知同类项求指数或代数式的值 解题步骤： ①根据同类项“两相同”：所含字母相同，相同字母指数相等列等式； ②解方程，求出题目中参数字母的具体数值； ③把求得参数代入待求的代数式当中； ④按照整式运算规则化简、计算代数式，得到最终结果，最后简单检验。 例2．如果与是同类项，那么＝_____． 【答案】 【详解】解：由同类项的定义可知，， ． 变式2-1．已知与是同类项，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】∵同类项的定义是所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式. 又∵与是同类项. ∴可得，. 解方程，得. 即，. 变式2-2．已知单项式与是同类项，那么___________． 【答案】 【详解】解：单项式与是同类项， ，， ， ． 变式2-3．若代数式， ，且，则的值_____． 【答案】 【详解】解：∵， ，且 ∴， ∴， ∴与是同类项， ∴， ∴， ∴． 题型三、整式加减无关类题型 解题步骤： ①对原式去括号，准确合并同类项，整理成标准多项式形式； ②理解“与某字母取值无关”，即该字母所有项的系数全部等于0； ③令对应项的系数等于0，列方程求解参数； ④把参数代回原式检验，确认含该字母项确实全部消去。 例3．李宏在求关于x的代数式的值时，将不同的的值代入原式，所得的结果都是同一个不含字母的常数，则李宏算得的结果是______． 【答案】 【详解】解： 令的系数为零：，解得 代入常数项： 故答案为：． 变式3-1．若关于的代数式的值与的值无关，则___________． 【答案】6 【详解】解： ， ∵关于的代数式的值与的的值无关， ∴， 解得， 故答案为：6． 变式3-2．已知： (1)化简． (2)若无论取何数值，（1）中代数式的值均为一个定值，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：根据题意，得 ； （2）解：由（1）知， ∵当取任何数值，的值是一个定值， ∴， 解得． 变式3-3．七年级某班同学学完合并同类项这节课后，数学老师给大家布置了一道题，如果多项式是关于x的多项式，且这个式子的值与x的取值无关， (1)请你求出m、n的值． (2)请你求出的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）解：原式， 由题意可知，， 解得； （2）解：当时， ． 技巧 一句话要点 同类项判定技巧 先看字母是否完全一致，再核对指数，忽略系数与字母顺序 合并同类项技巧 先标记同类项，连同符号一起移项，只合并系数，字母不动 去括号基础技巧 去括号看前号：正号不变，负号全变，杜绝只改第一项 带系数去括号技巧 括号前有数字，先用分配律遍乘每一项，防止漏乘后面的项 整式加减列式技巧 多项式相减时，减数必须整体套括号，避免符号丢失 化简求值通用技巧 先化简再代入，负数、分数代入时必须外加括号 不含某项求参数技巧 整式不含某一项，令该项的系数等于0，解方程求参数 整体代入求值技巧 不单独求字母值，把已知代数式整体替换，简化计算 结果整理技巧 最终结果按字母降幂排列，去掉带分数，合并到无同类项为止 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式的加减 目 录 识记类 思维导图 知识清单(4类) 考点清单(7类) 公式清单(6类) 辨析清单(5类) 题型类 高频题型清单(12类) 易错题型清单(4类) 重难题型清单(3类) 答题类 解题模型清单(3类) 答题技巧清单 知识点01 代数式与整式基础 1.单项式 由数或字母的积组成的代数式；单独一个数、一个字母也是单项式。 （1）系数：单项式中的数字因数；如，系数为。 （2）次数：所有字母指数之和；常数项次数为0；次数为。 2.多项式 几个单项式的和叫做多项式。 （1）项：多项式里每一个单项式；不含字母的项叫常数项。 （2）多项式次数：次数最高项的次数，不是所有项次数之和。 3.整式 单项式与多项式统称为整式；分母中含有字母的式子不是整式。 知识点02 同类项与合并同类项 1.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项； 两无关：与系数无关、与字母排列顺序无关；所有常数项都是同类项，如和是同类项。 2.合并同类项法则 把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。 公式： 知识点03 去括号法则 1.括号前是“”：去掉括号与正号，括号内各项符号不变； 2.括号前是“”：去掉括号与负号，括号内每一项全部变号； 3.括号前有数字因数，用乘法分配律，遍乘每一项，严禁漏乘： 知识点04 整式的加减运算 ①运算顺序：先去括号，再合并同类项。 ②整式加减列式：多个整式相加减时，每个整式必须先用括号括起来。 ③化简求值：先化简整式，再把数值代入；代入负数、分数时必须添加括号。 5结果书写要求 ①不能留有同类项；②按某一字母降幂或升幂排列；③系数不能出现带分数，要化为假分数。 考点01整式的识别与相关概念 考点内容：单项式、多项式、整式的定义；单项式的系数与次数；多项式的项、常数项、多项式次数；区分整式与分式（分母含字母不是整式）。 常见考法： ①判断代数式是不是单项式、多项式、整式； ②写出单项式的系数与次数，注意是常数，不算字母； ③找出多项式的项、常数项，确定多项式的次数； ④判断书写是否规范，区分次数计算易错点。 考点02同类项的判定 考点内容：同类项“两相同（字母相同、同字母指数相同）、两无关（系数、字母顺序无关）；常数项都是同类项”。 常见考法： ①判断两组项是否为同类项； ②已知两项是同类项，求字母指数中未知数的值； ③区分容易误判的项，如与不是同类项。 考点03合并同类项 考点内容：合并同类项法则：系数相加，字母与字母指数不变；只有同类项才可以合并，非同类项不能合并。 常见考法： ①直接合并多项式中的同类项； ②化简多项式，把结果按字母降幂排列； ③结合同类项求值，先合并再代入计算。 考点04去括号运算 考点内容：去括号符号变化规则；括号前带负系数时，用分配律逐项相乘，不漏项、不变错符号。 常见考法： ①基础去括号化简； ②多层括号化简（由内向外去括号）； ③易错点：只改变第一项符号，其余项不变号；漏乘括号内后面的项。 考点05整式的加减运算（化简） 考点内容：整式加减步骤：去括号→合并同类项；多个整式相加减时整体加括号。 常见考法： ①两个整式求和、求差的列式与化简； ②多层括号+多组同类项的综合化简； ③化简后按要求整理成降幂排列。 考点06整式化简求值 考点内容：先化简整式，再代入数值计算；代入负数、分数必须加括号；整体代入求值（整体思想）。 常见考法： ①常规题型：先化简，再把字母数值代入求值； ②整体代入：不单独求字母的值，把某一多项式整体代入计算； ③含参数的整式不含某一项，求参数的值（该项系数等于0）。 考点07整式加减的实际应用 考点内容：列整式表示数量关系，再通过整式加减化简，解决实际问题。 常见考法： ①用多项式表示图形周长、面积； ②根据题意列出整式，化简后求出结果。 序号 名称 公式（几何语言） 说明 1 合并同类项公式 同类项合并，系数相加，字母与指数保持不变 2 正号去括号公式 括号前为“+”，去括号后各项符号不变 3 负号去括号公式 括号前为“−”，去括号后每一项全部变号 4 带正系数去括号 括号前正数因数，分配相乘，符号不变 5 带负系数去括号 括号前负数因数，分配相乘，各项变号 6 整式作差列式 两个多项式相减，减数整体加括号 辨析01区分整式与分式，不要混淆分母是否含字母 单项式、多项式统称整式；分母中含有字母的代数式不是整式；分母只有数字（不含字母）依然是整式。 例：是整式；分母含字母，不是整式；是常数，不含字母。 辨析02区分单项式的次数与多项式的次数，不要混淆求和规则 单项式次数：所有字母指数相加；常数项次数为0；是常数，不计入次数。 多项式次数：取次数最高项的次数，不是把所有项的次数全部相加。 例：是三次多项式，不是五次多项式。 辨析03区分同类项判定条件，不要被系数、字母顺序干扰 同类项只看两点：字母完全相同、相同字母指数相同；和系数大小、字母前后顺序无关；只有常数项之间一定是同类项。 例：与是同类项；与字母指数不同，不是同类项。 辨析04区分“项的符号”与“去括号变号”，不要只变第一项 去括号时，括号前是负号，括号内所有项都要变号，不能只改变第一项符号；多项式中的项自带前面的正负号，移动项时要连同符号一起移动。 辨析05区分系数里的与字母，不要把常数当成字母 是固定常数，不是字母；在单项式中，系数是，次数只算字母的指数2，不含。 【题型一】单项式的判断 例1．给出下列式子：，．其中单项式的个数是（     ） A． B． C． D． 变式1-1．下列式子中，是单项式的是（     ） A． B． C． D． 变式1-2．下列说法中，正确的是（     ） A．a不是单项式 B．单项式的系数是 C．是单项式 D．5是零次单项式 变式1-3．下列代数式中，全是单项式的一组是（   ） A．，a B．， C．， D．， 【题型二】单项式的系数、次数 例2．单项式的系数是________． 变式2-1．下列各代数式中，是五次单项式的是（     ） A． B． C． D． 变式2-2．单项式的次数是（     ） A．2 B．5 C．3 D．4 变式2-3．a2b的系数是 _________，次数是 _________． 【题型三】写出满足某些特征的单项式 例3．任意写出一个与单项式是同类项的单项式：__________． 变式3-1．若一个关于m，n的单项式的系数是，次数是5，则这个单项式可以是____________．（写出一个即可） 变式3-2．请写出一个系数为，只含有字母和的三次单项式：________． 变式3-3．写出一个所含字母为x、y，并且次数为5的单项式． 【题型四】单项式规律题 例4．按一定规律排列的代数式：，，，，，…．第n个代数式是（     ） A． B． C． D． 变式4-1．按一定规律排列的单项式：，，，，，，，则第n个单项式是（　　） A． B． C． D． 变式4-2．观察一组按规律排列的式子：a，，，，，…，则第n（n为正整数）个式子是（    ） A． B． C． D． 变式4-3．小明同学利用计算机设计了一个程序，输入和输出的情况如下表．他发现从第三个输出项起的每一项都与这一项的前面两个输出项有关．按此规律，当输入8时，输出结果为______，从1开始一直输入到2026后，输出项的系数与次数均为奇数的项共有______个． 输入 1 2 3 4 5 6 7 … 输出 … 【题型五】多项式的判断、多项式的项、项数或次数 例5．如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 变式5-1．多项式是_____次______项式 变式5-2．下列整式中有a个单项式，b个多项式，则______． 变式5-3．下列说法中正确的是（     ） A．单项式的次数为，系数是 B．单项式和是同类项 C．多项式是二次三项式 D．多项式的项是，和 【题型六】多项式系数、指数中字母求值 例6．如果多项式是关于x的二次二项式，m，n为常数，则_______． 变式6-1．若多项式是关于x的三次二项式，则____________________________ 变式6-2．若多项式 是四次三项式，则m的值为_______． 变式6-3．已知多项式是四次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同．求的值． 【题型七】升（降）幂排列与整式的判断 例7．将整式按字母y降幂排列得到________． 变式7-1．将多项式按的升幂排列，从左到右第二项是_____． 变式7-2．把一个多项式按x的降幂排列为，则整数m的值是______． 变式7-3．把多项式按照字母升幂排列时，从左到右第二项是：_____． 【题型八】同类项的判断、已知同类项求参数的值 例8．若与为同类项，则的值为（     ） A．8 B．10 C．12 D．14 变式8-1．下列各组单项式中不是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 变式8-2．如果单项式与的差是单项式，那么的值为（     ） A． B． C． D． 变式8-3．若单项式与是同类项，则n的值为_________． 【题型九】合并同类项、去括号、添括号 例9．[（______）][（______）]． 变式9-1．根据去括号法则，在下面各式中填“”或“”： （）____________； （）______． 变式9-2．下列各题的结果是否正确? (1)； (2)； (3)； (4)． 变式9-3．已知，，，，求的值． 【题型十】整式的加减运算、整式加减中的化简求值题 例10．已知，，当，时，代数式的值为________． 变式10-1．先化简，再求值：，其中a是最大的负整数，b与互为相反数． 变式10-2．小明不小心将作业本上一个正确的演算过程擦掉了一块，且擦掉的部分是多项式，过程如图所示，设擦掉的多项式为． (1)求多项式； (2)已知，分别求当为3和时，的值． 变式10-3．有这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的吴爱国同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，把式子两边乘2得． 【简单应用】 (1)已知，则_______； (2)已知，，求的值． 【拓展提高】 (3)已知，，求代数式的值． 【题型十一】整式加减中的无关问题、带有字母的绝对值的化简 例11．实数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＜、＞、＝”填空：_____ 0，_____ 0，_____ 0； (2)化简：． 变式11-1．若实数满足，，则________． 变式11-2．多项式与多项式相加后不含二次项，那么m的值是______． 变式11-3．有一道题目：当，时，求多项式：的值．甲同学做题时把错抄成，乙同学没抄错题，但他们做出的结果恰好一样．你能说明这是为什么吗？ 【题型十二】整式加减的应用 例12．图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，，则的值是（     ） A．8 B．16 C．32 D．64 变式12-1．某科技公司研发了两款机器人甲和乙．已知甲机器人需要A零件5个，B零件4个；乙机器人需要A零件6个，B零件3个．现生产两款机器人共使用A零件a个，B零件b个，则的值可能为（     ） A．359 B．360 C．361 D．362 变式12-2．如图所示，把6个宽为a，长为b的小长方形，按不同的方式分别放入长方形和长方形中，记图1中的阴影部分的周长为，图2中的阴影部分的周长为，若，则（     ） A． B． C．3a D．3b 变式12-3．新学期学校准备更换校园内垃圾桶，计划采购大小两种型号垃圾桶．大垃圾桶单价元/个，小垃圾桶单价比大垃圾桶单价的多20元，此次预计采购大垃圾桶5个，小垃圾桶7个． (1)用含的代数式表示此次购买垃圾桶共付款多少元？ (2)若大垃圾桶单价为120元/个，学校预算1200元，是否够用？请说明理由． 【题型一】整体代入求值易符号出错 进行整体代换求代数式的值时，不要急于求出单个字母的值。对已知或所求式子变形，添括号、移项过程要格外留意符号，负数整体代入必须添加括号，符号稍有疏忽就会直接造成计算结果错误。 例1．已知，，则的值为（    ） A． B． C．0 D．30 变式1-1．若代数式的值为10，则代数式的值为___________． 变式1-2．【阅读材料】：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， 例：化简． 解：原式 参照本题阅读材料的做法进行解答： (1)若把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 变式1-3．教科书91页第15题是这样的：若，，求的值．小明是这样做的： 原式 ． 在这里，他把作为了一个整体，这体现了一个非常重要的数学思想：整体思想． 【方法运用】： (1)若代数式，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为8．当时，求代数式的值； (3)若，，求代数式的值． 【题型二】写特征单项式易混淆系数次数 构造符合条件的单项式，分清系数与次数概念。系数包含前面正负符号，不要漏掉负号；次数为所有字母指数之和，常数π属于数字，不计入次数，不要把它当成字母来累加指数。 例2．系数为5，只含字母m、n的三次单项式有_____个，它们是______． 变式2-1．请写出一个只含有两个字母的单项式，要求系数为，次数为4，这个单项式可以是_______． 变式2-2．某单项式同时具有以下特点：①系数是；②次数是3；③只含有两个字母．请写出一个这样的单项式：________． 变式2-3．请写出一个系数为，且只含字母，的五次单项式： _______． 【题型三】单项式规律题易搞错符号指数 探究单项式排列规律，要同时观察符号、系数、字母指数三部分。符号常正负交替循环，单独分析正负变化；指数逐次变化，分开找指数通项，切勿只看数字忽略符号，导致写不出正确结果。 例3．按一定规律排列的单项式：，按照这样的规律，第2025个单项式是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．按一定规律排列的代数式：，其中第个单项式是（   ） A． B． C． D． 变式3-2．有一列按规律排列的代数式：，则第n个代数式是（   ） A． B． C． D． 变式3-3．已知多项式． (1)根据多项式的排列规律，你能确定这个多项式是几次几项式吗？ (2)这个多项式的第七项和第八项分别是什么？ 【题型四】多项式求参数混淆系数与次数 根据多项式次数、项数求解参数，区分开项的系数和多项式次数。多项式次数是最高次项的次数，不是所有项次数相加；注意常数项次数为0，结合条件列等式，不要错把系数当成次数计算。 例4．若关于x，y的多项式的各项系数之和是5，则“●”代表的数是_________． 变式4-1．多项式是关于a、b的四次三项式，且最高次项的系数为－2，则x＝______，y＝  ___． 变式4-2．已知是关于x的二次多项式，则_______． 变式4-3．已知多项式是一个四次三项式，且为二次项的系数，求的值． 【题型一】图形类规律探索 例1．如图，每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成，照此规律，第n个图案中白色正方形比黑色正方形多__________个（用含 n 的式子表示）． 变式1-1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有张黑色正方形纸片，第②个图中有张黑色正方形纸片，第③个图中有张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑦个图中黑色正方形纸片的张数为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．下列图形都是由几个灰色和白色的正方形按一定规律组成的，图①中有2个灰色正方形，图②中有5个灰色正方形，图③中有8个灰色正方形，图④中有11个灰色正方形……依此规律，图中灰色正方形的个数是（用含n的代数式表示，n为正整数）（    ） A． B． C． D． 变式1-3．如左下图，我国宋代数学家杨辉创作了一个幻圆，为“米”字形九宫组合结构，由自然数1至33填成，每条直径上（除圆心位置的数）各数之和相等，且与每个同心圆（同心圆指的是圆心相同的圆）上各数之和相等．爱好幻方的同学模仿幻圆做出右下图，用2至10的连续不同整数填写，根据前述幻圆的规律，则的值是___________． 【题型二】整体代入求值 例2．已知多项式的值是7，则多项式的值是__________． 变式2-1．已知，则代数式的值为（　　） A． B． C．2 D．0 变式2-2．已知，，则的值为______． 变式2-3．已知，求代数式的值． 【题型三】新定义运算问题 例3．对于有理数，定义，则化简后是_____． 变式3-1．用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定． 例如：． (1)求的值； (2)求的值； (3)探究：该运算是否满足交换律？即与是否一定相等？说明理由； (4)计算． 变式3-2．定义：如果一个四位数的各数位上的数字均不为0，且满足，那么称这个四位数为＂四自少年数＂，例如：四位数5321，，是“四自少年数”，则最小的“四自少年数”为__________；若一个“四自少年数”满足的和能被6整除，则满足条件的最大的“四自少年数”为__________． 变式3-3．【定义】如果一个三位数满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，称这个三位数为“异数”． 【发现】若n是一个“异数”，交换百位和个位上的数字后，用较大数与较小数作差后除以99，商必为正整数．记这个正整数为F（n）． 例如：若，交换百位数字与个位数字得到652，，则，，所以． 【解决问题】： (1)_________；_________． (2)小方同学发现可以用“整式的加减”知识证明上述【发现】是正确的，请你帮助小方同学证明上述【发现】． (3)若s，t都是“异数”，，（其中x为小于10的正整数），求的值． 题型一、多项式按字母升、降幂排列 解题步骤： ①看清题目指定排序的字母，区分降幂（指数从大到小）、升幂（指数从小到大）； ②找出多项式每一项中该字母的指数，各项移动时必须连同自身正负符号一起搬迁； ③按照指数大小顺序重排各项，没有该字母的项，视作此项该字母指数为0； ④写完后复查指数顺序，核对有无漏项、符号写错的情况。 例1．把多项式按降幂排列：____________________． 变式1-1．将整式按降幂排列是________． 变式1-2．多项式按字母的升幂排列为________． 变式1-3．把多项式按x的升幂排列． 题型二、已知同类项求指数或代数式的值 解题步骤： ①根据同类项“两相同”：所含字母相同，相同字母指数相等列等式； ②解方程，求出题目中参数字母的具体数值； ③把求得参数代入待求的代数式当中； ④按照整式运算规则化简、计算代数式，得到最终结果，最后简单检验。 例2．如果与是同类项，那么＝_____． 变式2-1．已知与是同类项，则（   ） A．， B．， C．， D．， 变式2-2．已知单项式与是同类项，那么___________． 变式2-3．若代数式， ，且，则的值_____． 题型三、整式加减无关类题型 解题步骤： ①对原式去括号，准确合并同类项，整理成标准多项式形式； ②理解“与某字母取值无关”，即该字母所有项的系数全部等于0； ③令对应项的系数等于0，列方程求解参数； ④把参数代回原式检验，确认含该字母项确实全部消去。 例3．李宏在求关于x的代数式的值时，将不同的的值代入原式，所得的结果都是同一个不含字母的常数，则李宏算得的结果是______． 变式3-1．若关于的代数式的值与的值无关，则___________． 变式3-2．已知： (1)化简． (2)若无论取何数值，（1）中代数式的值均为一个定值，求的值． 变式3-3．七年级某班同学学完合并同类项这节课后，数学老师给大家布置了一道题，如果多项式是关于x的多项式，且这个式子的值与x的取值无关， (1)请你求出m、n的值． (2)请你求出的值． 技巧 一句话要点 同类项判定技巧 先看字母是否完全一致，再核对指数，忽略系数与字母顺序 合并同类项技巧 先标记同类项，连同符号一起移项，只合并系数，字母不动 去括号基础技巧 去括号看前号：正号不变，负号全变，杜绝只改第一项 带系数去括号技巧 括号前有数字，先用分配律遍乘每一项，防止漏乘后面的项 整式加减列式技巧 多项式相减时，减数必须整体套括号，避免符号丢失 化简求值通用技巧 先化简再代入，负数、分数代入时必须外加括号 不含某项求参数技巧 整式不含某一项，令该项的系数等于0，解方程求参数 整体代入求值技巧 不单独求字母值，把已知代数式整体替换，简化计算 结果整理技巧 最终结果按字母降幂排列，去掉带分数，合并到无同类项为止 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $