专题04 整式的加减（期中知识清单）（必备知识+6题型清单+6易错清单+3方法清单）七年级数学上学期新教材人教版

专题04 整式的加减（知识&6题型&6易错&2方法清单） 【清单01】单项式 单项式的定义：数或字母的积，像这样的式子叫作单项式. 注意：①.单独的一个数或一个字母也是单项式. ②.不含加减运算，单项式只含有乘积运算. ③.可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算． 单项式中的数字因数称为这个单项式的系数. 一个单项式中,所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.（单项式次数只与字母指数有关，单独一个非0数字的次数是0.） 【清单02】多项式 多项式的定义：几个单项式的________叫作多项式； 整式的定义：_______和________统称整式。 项的定义：在多项式中，___________叫作多项式的项. 常数项：___________的项叫作常数项. 多项式的次数：多项式里__________项的次数就是多项式的次数. 【清单03】同类项 同类项：所含__________相同，并且相同字母的_______也相同的单项式叫作同类项。 同类项的判别方法 (1)两相同：_______相同，相同字母的_______相同，缺一不可 (2)两无关：与________无关，与字母在单项式中的排列顺序无关； (3)不要忘记几个单独的数也是同类项. 【清单04】合并同类项 合并同类项：把多项式的同类项合并__________，叫作合并同类项. 合并同类项的法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的____，_____连同它的_______不变. 【清单05】去括号法则 1.一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加； 2.如果括号外的因数是________，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 3.如果括号外的因数是________，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 【题型一】单项式的定义 【例1】1．（24-25七年级上·海南海口·期中）下列各式中：，，，，，单项式有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）单项式的系数是 ，次数是 ． 【变式1-2】（24-25七年级上·河南商丘·期中）单项式的系数和次数分别是__________ 【变式1-3】（24-25七年级上·吉林·期中）若单项式的系数是，次数是，则的值为______ 【题型二】多项式的定义 【例2】（1）（24-25七年级上·重庆江津·期中）式子，，，，，，中，多项式有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 （2）（25-26七年级上·吉林长春·期中）在代数式，，，，，中， (1)单项式有：________； (2)多项式有：_______； (3)整式有：_______． 【变式2-1】（24-25七年级上·广东中山·期中）下列关于多项式的说法中，正确的是（   ） A．它是五次三项式 B．二次项系数是0 C．最高次项是 D．常数项是1 【变式2-2】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）（1）多项式的次数是 ，它的三次项系数是 ． （2）多项式是 次 项式，最高次项的系数为 ，常数项是 ____． （3）多项式的常数项是 ，次数是 ． 【变式2-3】（24-25七年级上·河北保定·期中）已知多项式，按要求解答下列问题． (1)指出该多项式的项； (2)该多项式的三次项的系数是_________，常数项是___________； (3)当x是的绝对值，y是3的相反数时，求该多项式的值． 【题型三】同类项的定义 【例3】（25-26七年级上·广东广州·期中）下列式子中，的同类项是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24七年级上·广东·期中）下列各组中，是同类项的是（      ） ①与；②与③与；④与；⑤与；⑥与． A．①②③ B．①③④⑥ C．③⑤⑥ D．只有⑥ 【变式3-2】（24-25七年级上·山西运城·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型四】整式计算 【例4】（1）（24-25七年级上·四川德阳·期中）化简： ①； ②． （2）（23-24七年级上·贵州毕节·期末）一个多项式与的和是，则这个多项式为_______ 【变式4-1】（25-26七年级上·全国·期中）化简： (1)； (2)． (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式4-2】（23-24七年级上·吉林·期中）同学们，今天我们来学习一个新知识，形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则用公式表示为：，利用此法则解决以下问题： (1)计算的结果； (2)化简的结果． 【变式4-3】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)运用“整体思想”合并； 【题型五】整式化简求值 【例5】（24-25七年级上·甘肃武威·期中）先化简，再求值 (1)  其中 ． (2)   其中 ． (3) 其中． (4) ，其中， (5) ，其中x、y满足． 【变式5-1】（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）已知多项式，，当，时，求的值． 【变式5-2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）已知关于x、y的多项式 (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求该多项式的值． 【变式5-3】（2024七年级上·全国·专题练习）在计算代数式的值，其中，时，甲同学把错抄成，但他计算的结果是正确的．试说明理由，并求出这个结果． 【题型六】整式计算实际应用 【例6】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）某月的月历表如图所示，任意圈出一横行或一竖列相邻的三个数，三个数的和不可能是（ ） A．24 B．36 C．50 D．60 【变式6-1】（24-25七年级上·山西忻州·期中）如图是某居民小区的一块长为a米，宽为米的长方形空地，为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径为b米的扇形花台，然后在花台内种花，其余种草．已知建造花台及种花的费用为每平方米100元，种草的费用为每平方米50元．解答下列问题： (1)花台（空白部分）的面积可以用一个单项式表示为__________平方米，这个单项式系数是__________；草地（阴影部分）的面积可以用一个多项式表示为__________平方米，这个多项式的次数是__________； (2)当，，取3时，美化这块空地共需多少元？ 【变式6-2】（24-25八年级下·山西晋中·期中）城区某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如右图：若张老师有两天去超市购物原价合计900元，若第一天购物的原价为a元，请你用含a的代数式表示张老师两天一共节省了多少元 一次性购物 优惠办法 少于200元 无优惠 低于500元但不低于200元 全部金额给予8折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予8折优惠；超过500元部分给予7折优惠 【变式6-3】（24-25七年级上·湖南怀化·期中）为了丰富阳光运动会，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现，两商店以同样的价格出售同种品牌的篮球和跳绳，已知篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元．经洽谈： A商店优惠方案：买一个篮球送一条跳绳； B商店优惠方案：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知要购买篮球60个，跳绳条． (1)若到A商店购买，一共需付款________元；若到B商店购买，一共需付款________元；（用含的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明此时用哪个商店购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 【题型一】整式规律类问题 【例1】（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）观察下列三行单项式： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ 根据你发现的规律，解答下列问题： (1)第①行的第8个单项式为________； (2)第②行的第9个单项式为_________； (3)第③行的第n个单项式为_________；（用含有n的式子表示） (4)取每一行的第8个单项式，令这三个单项式的和为M．当时，求M的值． （2）（24-25九年级上·云南昆明·期中）按一定规律排列的多项式：，，，，，，…，根据上述规律，则第n个多项式是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·云南昆明·期中）观察下列关于x的单项式，探究其规律：，……，按照上述规律，第2024个单项式是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级上·贵州黔南·期中） (1)按一定规律排列的单项式：，，，，，…其中第个单项式是_______________ (2)（24-25九年级下·云南文山·期中）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是__________ 【变式1-3】（24-25七年级上·全国·期中）观察下列单项式：，，，，…，则第个单项式是_____________ 【题型二】含字母参数的单项式 【例2】（24-25七年级上·贵州遵义·期中）单项式的系数与次数互为相反数，则m的值为（   ） A．5 B． C． D．6 【变式2-1】（24-25七年级上·北京·期中）若 是关于，的六次单项式，且系数是2，则的值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2-2】（24-25七年级上·四川南充·期中）单项式与的次数相同，则 ． 【变式2-3】（24-25七年级上·四川南充·期中）已知关于，的三次单项式，求的值． 【题型三】含字母参数的多项式 【例3】(1)（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）若多项式是关于的三次多项式，则式子的值为（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或 (2)（24-25七年级上·四川雅安·期中）若多项式是关于x的二次三项式，则m的值为 ． 【变式3-1】（24-25七年级上·福建泉州·期中）若多项式是关于x的三次二项式，则 ， ． 【变式3-2】（24-25七年级上·江西赣州·期中）若多项式是一个关于x，y的三次三项式，则m的值为 ． 【变式3-3】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知关于的整式． (1)若是二次式，求的值； (2)若是二项式，求的值． 【题型四】含字母参数的同类项 【例4】（23-24七年级上·青海西宁·期中）若单项式与的和是单项式，则的值是_________ A．5 B． C．4 D．1 【变式4-1】（24-25七年级上·河南郑州·期中）如果与是同类项，求m、n的值 【变式4-2】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）若关于x的多项式：与的和是一个二次三项式，求的值． 【变式4-3】（24-25七年级上·江西南昌·期中）已知m，n为常数，单项式与多项式的和是一个单项式，求的值 【题型五】利用整体思想求代数式的值 【例5】（1）（24-25七年级上·辽宁抚顺·期中）若，，则 ． （2）（24-25七年级上·重庆·期中）已知，则代数式的值是 ． (3)（24-25七年级上·福建泉州·期中）若，，求的值； 【变式5-1】（25-26七年级上·江苏·期中）已知，，，则 【变式5-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知，则的值是_________ 【变式5-3】（24-25七年级上·四川泸州·期中）【阅读与思考】有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数的值是多少？”爱动脑筋的吴同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，把式子两边乘以，得．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： (1)已知，则 ； (2)已知，，求的值； (3)已知，，求代数式的值． 【题型六】数轴上的动点问题 【例6】（22-23七年级上·全国·期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点A，再向左移动到达点B，然后向右移动到达点C，数轴上一个单位长度表示． (1)请你在数轴上表示出A、B、C三点的位置； (2)把点C到点A的距离记为，则_____； (3)若点B沿数轴以的速度匀速向右运动，经过____后点B到点C的距离为； (4)若点B沿数轴以的速度匀速向左运动，同时点A、点C沿数轴分别以和的速度匀速向右运动．设运动时间为，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 【变式6-1】（25-26七年级上·广东·期中）如图：在数轴上点A表示数，点表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点A，，开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为． ①_____，________．（用含的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． 【题型一】化简绝对值 ·适用形式： ·求解方法：①判断绝对值内的正负；②去绝对值(正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它相反数)；③计算其值 【例1】（24-25七年级上·贵州遵义·期中）有理数在数轴上的对应点的位置如图．的结果为（   ） A． B． C．0 D． 【变式1-1】（25-26七年级上·吉林长春·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，b______0，______0，______0，； (2)化简：． 【变式1-2】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：． 【变式1-3】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，化简 【题型二】不含某一字母 ·适用形式：题中有不含某一项或者代数式的值与某一字母无关或者代数式是一个定值 ·求解方法：①合并同类项，化简式子；②不含某一项前系数为0或者无关字母前系数为0； 【例2】（1）（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知多项式不含项和项，则的值为（　 ） A． B． C． D． （2）（25-26七年级上·江苏·期中）已知，，无论x取何值，恒成立，则 【变式2-1】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）已知，，若代数式的结果与b无关，则 ． 【变式2-2】（24-25七年级上·福建福州·期中）某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，，试求 ．这位同学把误看成，结果求出的答案为 (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)当的取任意数值，的值是一个定值时，求的值． 【变式2-3】（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和． （1）当，，时，的值为 ； （2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式的加减（知识&6题型&6易错&2方法清单） 【清单01】单项式 单项式的定义：数或字母的积，像这样的式子叫作单项式. 注意：①.单独的一个数或一个字母也是单项式. ②.不含加减运算，单项式只含有乘积运算. ③.可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算． 单项式中的数字因数称为这个单项式的系数. 一个单项式中,所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.（单项式次数只与字母指数有关，单独一个非0数字的次数是0.） 【清单02】多项式 多项式的定义：几个单项式的和叫作多项式； 整式的定义：单项式和多项式统称整式。 项的定义：在多项式中，每个单项式叫作多项式的项. 常数项：不含字母的项叫作常数项. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数. 【清单03】同类项 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫作同类项。 同类项的判别方法 (1)两相同：字母相同，相同字母的指数相同，缺一不可 (2)两无关：与系数无关，与字母在单项式中的排列顺序无关； (3)不要忘记几个单独的数也是同类项. 【清单04】合并同类项 合并同类项：把多项式的同类项合并成一项，叫作合并同类项. 合并同类项的法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的指数不变. 【清单05】去括号法则 1.一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加； 2.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 3.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 【题型一】单项式的定义 【例1】1．（24-25七年级上·海南海口·期中）下列各式中：，，，，，单项式有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】D 【知识点】单项式的判断 【分析】本题考查了单项式，根据单项式的定义判断即可求解，掌握单项式的定义是解题的关键． 【详解】解：，，， ，中，单项式有，，，共3个， 故选：D． 【变式1-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查单项式的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．数字因数是单项式的系数，各个字母的指数和是单项式的次数，据此解答即可． 【详解】解：的系数是，次数是5． 故答案为：，5． 【变式1-2】（24-25七年级上·河南商丘·期中）单项式的系数和次数分别是__________ 【答案】、3 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式的概念，根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫作单项式的系数，所有字母的指数和叫作这个单项式的次数． 【详解】解：单项式的系数和次数分别是、3. 【变式1-3】（24-25七年级上·吉林·期中）若单项式的系数是，次数是，则的值为_______ 【答案】12 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、单项式的系数、次数 【分析】本题考查了单项式有关概念，代数式求值，正确把握定义是解题关键．根据单项式的次数与系数的定义分别得出m，n的值，进而得出答案． 【详解】解：∵单项式的系数是m，次数是n， ∴，， ∴. 【题型二】多项式的定义 【例2】（1）（24-25七年级上·重庆江津·期中）式子，，，，，，中，多项式有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】D 【知识点】多项式的判断 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫作多项式．根据多项式的定义逐个判断即可． 【详解】解：依题意，，，是多项式， ∴多项式有3个， 故选：D． （2）（25-26七年级上·吉林长春·期中）在代数式，，，，，中， (1)单项式有：________； (2)多项式有：_______； (3)整式有：_______． 【答案】(1)， (2)，， (3)，，，， 【知识点】单项式的判断、整式的判断、多项式的判断 【分析】本题主要考查了单项式，多项式，整式的定义，熟知相关定义是解题的关键：表示数或字母的积的式子叫作单项式，几个单项式的和的形式叫作多项式，整式是单项式和多项式的统称；根据单项式，多项式，整式的定义逐一判断即可． 【详解】（1）解：单项式：，，   故答案为：，； （2）解：多项式：，，， 故答案为：，，； （3）解：整式：，，，，， 故答案为：，，，，． 【变式2-1】（24-25七年级上·广东中山·期中）下列关于多项式的说法中，正确的是（   ） A．它是五次三项式 B．二次项系数是0 C．最高次项是 D．常数项是1 【答案】C 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫作多项式，多项式中的每个单项式都叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫作多项式的次数． 根据多项式的概念逐项分析即可． 【详解】解：A．多项式是三次三项式，故不正确； B．多项式的二次项系数是1，故不正确；     C．多项式的最高次项是，故正确；     D．多项式的常数项是，故不正确；     故选：C． 【变式2-2】（24-25七年级上·广东肇庆·期中）（1）多项式的次数是 ，它的三次项系数是 ． （2）多项式是 次 项式，最高次项的系数为 ，常数项是 （3）多项式的常数项是 ，次数是 ． 【答案】 （1） 4 （2）四 四 （3） 5 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的次数，单项式的系数，掌握单项式、多项式的系数，次数是关键． 在多项式中，最高次项的次数即为多项式的次数，数字因数即为该项的系数，由此即可求解． 【详解】（1）解：多项式中，的次数是次，的次数是次， ∴多项式的次数是， 三次项系数是， 故答案为：①；② ． （2）解：∵由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”， ∴是四次四项式， ∴最高次项的系数是，常数项是． 故答案为：四；四；；． （3）解：多项式的常数项是，次数是5； 故答案为：；5． 【变式2-3】（24-25七年级上·河北保定·期中）已知多项式，按要求解答下列问题． (1)指出该多项式的项； (2)该多项式的三次项的系数是_________，常数项是___________； (3)当x是的绝对值，y是3的相反数时，求该多项式的值． 【答案】(1)，，， (2)； (3) 【知识点】相反数的定义、多项式的项、项数或次数、已知字母的值 ，求代数式的值、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了相反数，绝对值，已知字母的值求代数式的值，多项式的项，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据多项式的项的概念进行作答即可． （2）直接根据多项式，得出三次项的系数是，常数项是； （3）先得出，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵多项式， ∴该多项式的项分别是，，，； （2）解：∵多项式， ∴该多项式的三次项的系数是，常数项是； 故答案为：；； （3）解：∵x是的绝对值，y是3的相反数， ∴，， 则 ． 【题型三】同类项的定义 【例3】（25-26七年级上·广东广州·期中）下列式子中，的同类项是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查的是同类项的定义，解题的关键在于掌握判断同类项的依据． 根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，逐项判断，即可解题． 【详解】解：根据同类项的定义可知，的同类项是， 故选：D． 【变式3-1】（23-24七年级上·广东·期中）下列各组中，是同类项的是（      ） ①与；②与③与；④与；⑤与；⑥与． A．①②③ B．①③④⑥ C．③⑤⑥ D．只有⑥ 【答案】C 【知识点】同类项的判断 【分析】本题主要考查同类项；根据同类项的定义逐一判断即可． 【详解】解：①相同字母的指数不同，不是同类项， ②所含字母不相同，不是同类项， ③⑤所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项， ④中含有字母，中无字母，不是同类项， ⑥中两项都是常数项，是同类项， 因此③⑤⑥是同类项， 故选：C． 【变式3-2】（24-25七年级上·山西运城·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同类项的判断、合并同类项 【分析】本题主要考查了同类项得定义以及合并同类项，根据同类项得定义以及合并同类项法则一一判断即可得出答案． 【详解】解：．，原计算错误，故该选项不符合题意； ．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； ．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； 故选：D． 【题型四】整式计算 【例4】（1）（24-25七年级上·四川德阳·期中）化简： ①； ②． 【答案】① ② 【知识点】合并同类项、去括号、整式的加减运算 【分析】①根据合并同类项法则合并同类项即可； ②去括号，再合并同类项即可； 本题考查了整式的加减，掌握去括号和合并同类项法则是解题的关键． 【详解】①解：原式 ； ②解：原式 ． （2）（23-24七年级上·贵州毕节·期末）一个多项式与的和是，则这个多项式为_______ 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查整式的加减，合并同类项，掌握知识点是解题的关键． 根据一个多项式与的和是，得到，化简即可． 【详解】解： ． 【变式4-1】（25-26七年级上·全国·期中）化简： (1)； (2)． (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)． (3) (4) (5) (6) 【知识点】合并同类项、去括号、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先去括号，然后合并同类项，即可求解； （）先去括号，然后合并同类项，即可求解． （3）先去括号，再合并同类项即可； （4）先去括号，再合并同类项即可； （5）直接合并同类项即可； （6）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． （3）解：原式； （4）原式； （5）原式； （6）原式． 【变式4-2】（23-24七年级上·吉林·期中）同学们，今天我们来学习一个新知识，形如的式子叫作二阶行列式，它的运算法则用公式表示为：，利用此法则解决以下问题： (1)计算的结果； (2)化简的结果． 【答案】(1)11 (2) 【知识点】有理数四则混合运算、合并同类项、去括号、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，有理数四则混合运算的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出算式或代数式． （1）根据题意列出算式，进行计算即可； （2）根据题意列出代数式，然后去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ． （2）解：根据题意得： ． 【变式4-3】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并______； (2)运用“整体思想”合并； 【答案】(1)2 (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、合并同类项 【分析】本题主要考查了代数式的求值、合并同类项等知识点，掌握运用整体代入法求解代数式的值是解题的关键． （1）运用“整体思想”合并同类项即可解答； （2）运用“整体思想”合并同类项即可解答. 【详解】（1）解： ． 故答案为：2． （2）解： ． （3）解：∵， ∴． 【题型五】整式化简求值 【例5】（24-25七年级上·甘肃武威·期中）先化简，再求值 (1)  其中 ． (2)   其中 ． (3) 其中． (4) ，其中， (5) ，其中x、y满足． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) ；56 (5) ， 【知识点】整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查整式的加减求值，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法． （1）先去括号，然后合并同类项即可化简题目中的式子，再将的值代入化简后的式子即可解答本题； （2）合并同类项即可化简题目中的式子，再将、的值代入化简后的式子即可解答本题； （3）先去括号，然后合并同类项即可化简题目中的式子，再将、的值代入化简后的式子即可解答本题． （4）本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．先根据整式加减运算法则进行化简，然后再把数据代入求值即可． （5）本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，正确计算是解题的关键．先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出x、y的值，最后代值计算即可． 【详解】（1）解： ． 当时，原式． （2）解： 当时，原式． （3）解： 当时， 原式 （4）解： ， 当，时， 原式 ． （5）解：， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴原式． 【变式5-1】（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）已知多项式，，当，时，求的值． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查多项式的运算、合并同类项及代数式求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先化简，再把，代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 当，时，． 【变式5-2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）已知关于x、y的多项式 (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求该多项式的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，多项式的概念，代数式求值，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据去括号和合并同类项法则将多项式化简，再根据不含三次项可知，三次项的系数为0，即可求出m的值； （2）由（1）可得，该多项式为，再整体代入计算求值即可． 【详解】（1）解：， 该多项式不含三次项， ， ； （2）解：由（1）可得，该多项式为， 当，时， ． 【变式5-3】（2024七年级上·全国·专题练习）在计算代数式的值，其中，时，甲同学把错抄成，但他计算的结果是正确的．试说明理由，并求出这个结果． 【答案】见解析，． 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解决本题的关键是根据去括号的法则去括号，然后再根据合并同类项的法则合并同类项，把字母的值代入化简后的代数式中计算求值即可，因为多项式化简的结果不含有字母，所以代数式的值与字母的值无关． 【详解】 解： ， 化简的结果与的取值无关， 甲同学把错抄成，但他计算的结果是正确的． 当时，原式． 【题型六】整式计算实际应用 【例6】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）某月的月历表如图所示，任意圈出一横行或一竖列相邻的三个数，三个数的和不可能是（ ） A．24 B．36 C．50 D．60 【答案】C 【知识点】列代数式、整式加减的应用 【分析】本题考查了列代数式及整式的加减运算，根据题意把任意圈出一横行或一竖列相邻的三个数用代数式表示出来，并不出这三个数的和是关键．用代数式表示任意一横行或一竖列相邻的三个数，并计算出和即可判断． 【详解】解：设任意一横行相邻的三个数分别为，，，则， 设任意一竖列相邻的三个数分别为，，，则， 其中、为正整数，显然、都是3的倍数，而、、都是3的倍数，则不是3的倍数， 则三个数的和不可能是． 故选：C． 【变式6-1】（24-25七年级上·山西忻州·期中）如图是某居民小区的一块长为a米，宽为米的长方形空地，为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径为b米的扇形花台，然后在花台内种花，其余种草．已知建造花台及种花的费用为每平方米100元，种草的费用为每平方米50元．解答下列问题： (1)花台（空白部分）的面积可以用一个单项式表示为__________平方米，这个单项式系数是__________；草地（阴影部分）的面积可以用一个多项式表示为__________平方米，这个多项式的次数是__________； (2)当，，取3时，美化这块空地共需多少元？ 【答案】(1)；；；2 (2)2000元 【知识点】多项式的项、项数或次数、列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、单项式的系数、次数 【分析】此题考查了列代数式和代数式求值在几何图形问题中的应用； （1）四个花台的面积为一个圆的面积，种草部分的面积为长方形的面积减去四个花台的面积，据此求出草地和花台的面积，再根据单项式系数和多项式次数的定义可得答案； （2）根据（1）所求先计算出花台和草地的费用之和，再代值计算即可． 【详解】（1）解：∵一个花台的面积为半径为b米的圆的面积的四分之一， ∴四个花台的面积和为半径为b米的圆的面积，即平方米， 单项式的系数为； 草地（阴影部分）的面积可以用一个多项式表示为平方米，这个多项式的次数是2； 故答案为：；；；2； （2）解：依题意，美化这块空地共需费用：元； 当，，取时，（元）； 答：美化这块空地共需元． 【变式6-2】（24-25八年级下·山西晋中·期中）城区某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如右图：若张老师有两天去超市购物原价合计900元，若第一天购物的原价为a元，请你用含a的代数式表示张老师两天一共节省了多少元 一次性购物 优惠办法 少于200元 无优惠 低于500元但不低于200元 全部金额给予8折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予8折优惠；超过500元部分给予7折优惠 【答案】 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，根据题干提供的信息，分别表示出第一天和第二天的实际花费即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴张老师两天一共节省了： ． 【变式6-3】（24-25七年级上·湖南怀化·期中）为了丰富阳光运动会，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现，两商店以同样的价格出售同种品牌的篮球和跳绳，已知篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元．经洽谈： A商店优惠方案：买一个篮球送一条跳绳； B商店优惠方案：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知要购买篮球60个，跳绳条． (1)若到A商店购买，一共需付款________元；若到B商店购买，一共需付款________元；（用含的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明此时用哪个商店购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 【答案】(1)； (2)购买150根跳绳时，A商店所需要的钱数为9000元，B商店所需要的钱数为9180元，A商店划算 (3)按A方案买60个篮球，剩下的90条跳绳按B方案购买，付款8820元 【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、整式加减的应用 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，根据题意，正确地列出代数式，是解题的关键． （1）由题意按方案购买可列式：，在按方案购买可列式：； （2）把代入（1）中的结果计算两种方案所需要的钱数即可； （3）先算全按同一种方案进行购买，计算出两种方案所需付款金额，再根据方案是买一个篮球送跳绳，方案是篮球和跳绳都按定价的付款，考虑可以按方案买60个篮球，剩下的90条跳绳按方案购买，计算出所需付款金额，进行比较即可． 【详解】（1）① A商店优惠方案：买一个篮球送一条跳绳； 购买篮球60个费用为元， 购买跳绳的费用：因为买一个篮球送一条跳绳，所以买60个篮球会送60条跳绳，而一共要购买跳绳条，那么需要额外购买的跳绳数量为条，又已知跳绳每条定价20元，所以购买跳绳的费用为元， 则到A商店购买一共需付款：购买篮球的费用+购买跳绳的费用， 即元； ②已知商店的优惠方案是：篮球和跳绳都按定价的付款， 购买60个篮球，购买篮球的实际费用为元， 购买跳绳的费用：跳绳每条定价20元，要购买条，那么跳绳的总价为元，按定价的付款，所以购买跳绳的实际费用为元， 则到B商店购买一共需付款：购买篮球的费用+购买跳绳的费用，即元， 故答案为：；． （2）由（1）可知， 当，A商店所需要的钱数为（元）， 当，B商店所需要的钱数为（元）， ∵， ∴A商店划算． 答：购买150根跳绳时，A商店所需要的钱数为9000元，B商店所需要的钱数为9180元A商店划算． （3）到A商店购买60个篮球配送60条跳绳，再到B商店购买条跳绳合计需付款： （元）； ∵， ∴省钱的购买方案是： 按A方案买60个篮球，剩下的90条跳绳按B方案购买，付款8820元． 【题型一】整式规律类问题 【例1】（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）观察下列三行单项式： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ 根据你发现的规律，解答下列问题： (1)第①行的第8个单项式为________； (2)第②行的第9个单项式为_________； (3)第③行的第n个单项式为_________；（用含有n的式子表示） (4)取每一行的第8个单项式，令这三个单项式的和为M．当时，求M的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、单项式规律题 【分析】本题考查单项式规律的探索，对每个单项式的系数和字母部分分别找到规律是解题的关键． （1）根据第①行的数字的规律，从第一个单项式开始，后面的单项式系数每次乘以，指数每次加1，可得第8个单项式； （2）比较第①行和第②行，可发现从第一个单项式开始，系数是第①行对应的单项式的系数加上1，字母部分和第①行相同，即可得到第9个单项式； （3）比较第①行和第③行，可发现从第一个单项式开始，系数是第①行对应的单项式的系数的2倍，字母部分的指数是第①行对应的单项式的字母指数加上1，即可得到第n个单项式； （4）取每行的第8个单项式，则可得，把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，，…； ∴第8个单项式为； 故答案为：； （2）解：∵第①行的第9个单项式为， ∴比较第①行和第②行可得，第②行的第9个单项式为； 故答案为：； （3）解：∵第①行的第n个单项式为， ∴比较第①行和第③行可得，第③行的第n个单项式为； 故答案为：； （4）解：每行的第8个分别为，，， ∴， 当时，． （2）（24-25九年级上·云南昆明·期中）按一定规律排列的多项式：，，，，，，…，根据上述规律，则第n个多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数字类规律探索、多项式的项、项数或次数 【分析】此题考查了数字的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律． 从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，再根据规律进行解答便可． 【详解】解：按一定规律排列的多项式：， ， ， ， …， 则第n个多项式是， 故选B． 【变式1-1】（24-25八年级上·云南昆明·期中）观察下列关于x的单项式，探究其规律：，……，按照上述规律，第2024个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数字类规律探索、单项式规律题 【分析】本题主要考查了探究单项式规律问题，根据已有的单项式，推导出第个单项式为，然后把代入，即可作答． 【详解】解：由题意可知 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， 第个：； 第个单项式为： ； 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级上·贵州黔南·期中） (1)按一定规律排列的单项式：，，，，，…其中第个单项式是_______________ (2)（24-25九年级下·云南文山·期中）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是__________ 【答案】（1） （2） 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查了单项式的数字类规律探索，对单项式正确进行等价变形是解题关键． 对所给的单项式进行整理后即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ∴第n个单项式为． （2）【详解】解：第1个单项式的系数为，次数为， 第2个单项式的系数为，次数为， 第3个单项式的系数为，次数为， 第4个单项式的系数为，次数为， 第5个单项式的系数为，次数为， ……， 以此类推，可知第5个单项式的系数为，次数为，即第个单项式是， 【变式1-3】（24-25七年级上·全国·期中）观察下列单项式：，，，，…，则第个单项式是_____________ 【答案】 【知识点】单项式规律题 【分析】本题考查了单项式规律题，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．根据已知单项式发现，系数为的次方，的次数是连续的奇数，的次数是连续的偶数，即可得到答案． 【详解】解：第1个单项式：， 第2个单项式， 第3个单项式， 第4个单项式， …… 观察发现，第个单项式是． 【题型二】含字母参数的单项式 【例2】（24-25七年级上·贵州遵义·期中）单项式的系数与次数互为相反数，则m的值为（   ） A．5 B． C． D．6 【答案】A 【知识点】相反数的定义、单项式的系数、次数 【分析】本题考查单项式的系数与次数，根据单项式系数和次数的定义，确定系数为，次数为各字母指数之和，再根据互为相反数的条件列方程求解． 【详解】解：单项式的系数是，次数为、、的指数之和，即． 由题意，系数与次数互为相反数，故． 解得：， 故选：A． 【变式2-1】（24-25七年级上·北京·期中）若 是关于，的六次单项式，且系数是2，则的值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】此题主要考查了单项式的次数和系数，熟练掌握单项式次数和系数是解题的关键． 根据单项式系数得出n的值，根据次数的定义，可求出，然后求再解即可． 【详解】解∵ 是关于，的六次单项式，且系数是2， ∴，， 解得：，， 故选：C． 【变式2-2】（24-25七年级上·四川南充·期中）单项式与的次数相同，则 ． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】此题考查了单项式的次数，所有字母指数的和叫作单项式的次数．据此进行列式计算即可． 【详解】解：∵单项式与的次数相同， ∴， 解得， 故答案为： 【变式2-3】（24-25七年级上·四川南充·期中）已知关于，的三次单项式，求的值． 【答案】 【知识点】单项式的判断、已知字母的值 ，求代数式的值、单项式的系数、次数 【分析】本题考查的知识点是单项式的定义及其次数的定义、已知字母的值 ，求代数式的值，解题关键是根据单项式的定义及其次数的定义求出、的值． 先根据单项式的定义及其次数的定义求出、的值，再代入即可求解． 【详解】解：关于，的三次单项式， ， ， ． 【题型三】含字母参数的多项式 【例3】(1)（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）若多项式是关于的三次多项式，则式子的值为（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或 【答案】C 【知识点】多项式的项、项数或次数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了多项式次数的定义，代数式求值，多项式里，次数最高项的次数叫作多项式的次数，据此可得或，则或，再代值计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于的三次多项式， ∴或， ∴或，都满足题意， ∴或， 故选：C． (2)（24-25七年级上·四川雅安·期中）若多项式是关于x的二次三项式，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的次数和项数的定义，多项式中次数最高项的次数是这个多项式的次数，每个单项式叫作多项式的项，根据两者的定义得出，且，求解，即可得出答案． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴，且， 解得：，且， 故， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25七年级上·福建泉州·期中）若多项式是关于x的三次二项式，则 ， ． 【答案】 3 2 【知识点】多项式的项、项数或次数、多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项，多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数．根据多项式的性质进行解答即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的三次二项式， ∴，， ∴，． 故答案为：3；2． 【变式3-2】（24-25七年级上·江西赣州·期中）若多项式是一个关于x，y的三次三项式，则m的值为 ． 【答案】或 【知识点】多项式的项、项数或次数、多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题主要考查了多项式，熟练掌握一个多项式有几项就叫几项式，次数最高的项的次数是几就叫几次多项式是解题的关键． 根据题意得到，或，求出或，即可得到答案． 【详解】解：多项式是一个关于x，y的三次三项式， ，或， 或， 故答案为：或． 【变式3-3】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）已知关于的整式． (1)若是二次式，求的值； (2)若是二项式，求的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】多项式的项、项数或次数、绝对值方程、多项式系数、指数中字母求值、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）由于整式为二次式，根据二次式的定义得到且，求出的值，再代入计算求出的值即可； （2）由于整式为二项式，根据二项式的定义分三种情况讨论：；；；分别求解即可得出的值． 【详解】（1）解：是二次式， 且， 解得：， ； （2）解：是二项式， 分三种情况讨论： ， 解得：； ， 无解； ， 解得：； 综上，的值为或． 【点睛】本题主要考查了多项式的项、项数或次数，绝对值方程，代数式求值，多项式系数、指数中字母求值等知识点，熟练掌握相关定义是解题的关键． 【题型四】含字母参数的同类项 【例4】（23-24七年级上·青海西宁·期中）若单项式与的和是单项式，则的值是_________ A．5 B． C．4 D．1 【答案】A 【知识点】同类项的判断、已知字母的值 ，求代数式的值、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了同类项的知识，根据同类项：所含字母相同，相同字母的指数也相同，即可得出m、n的值，代入计算即可得出答案，熟练掌握同类项的定义是解此题的关键． 【详解】解∶∵单项式与的和是单项式， ∴单项式与是同类项， ∴，， ∴， 故选∶A． 【变式4-1】（24-25七年级上·河南郑州·期中）如果与是同类项，求m、n的值 【答案】， 【知识点】同类项的判断、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题主要考查同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．根据同类项的定义即可得到答案． 【详解】解： 与是同类项， ， 解得． 故选，． 【变式4-2】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）若关于x的多项式：与的和是一个二次三项式，求的值． 【答案】4或2 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的次数、项数概念及分类讨论思想，解题关键是根据“和为二次三项式”的条件，分情况讨论消去三次项的方式． 根据“和为二次三项式”的条件，分情况讨论、的值，进而求解． 【详解】 情况一：通过“系数为”消去三次项， 因为和是二次三项式， 所以三次项必须不存在，即三次项系数；同时，为保证最高次数是， 所以的次数得是或，即或． 把，代入，得． 把， 代入，得    ． 情况二：通过“同类项抵消”消去三次项 若，则和式中为，此时要消去三次项， ∴，即． ∵和为三项式， ∴一次项系数（即），此时和式为，是二次三项式． 把，代入，得． 综上，或． 故答案为：4或2． 【变式4-3】（24-25七年级上·江西南昌·期中）已知m，n为常数，单项式与多项式的和是一个单项式，求的值 【答案】1或或 【知识点】合并同类项、已知同类项求指数中字母或代数式的值 【分析】本题考查了同类项的定义和合并同类项，全面分类、正确求解是关键； 根据题意分以下两种情况：①当单项式与单项式是同类项，且，②当单项式与单项式是同类项，且；根据同类项的定义分别求解即可. 【详解】解：根据题意分以下两种情况： ①当单项式与单项式是同类项，且，符合题意， 此时，解得或， 当，时，， 当，时，； ②当单项式与单项式是同类项，且，符合题意， 此时，解得或， 当，时，， 当，时，； 综上，的值为1或或； 故答案为：1或或. 【题型五】利用整体思想求代数式的值 【例5】（1）（24-25七年级上·辽宁抚顺·期中）若，，则 ． 【答案】2024 【知识点】添括号、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体思想是解题关键．根据去括号、添括号法则可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：2024． （2）（24-25七年级上·重庆·期中）已知，则代数式的值是 ． 【答案】2 【知识点】添括号、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查的是求解代数式的值，添括号的应用，把原式化为，再把整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ． 故答案为：2． (3)（24-25七年级上·福建泉州·期中）若，，求的值； 【答案】 【知识点】添括号、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查代数式的值，解题的关键是利用整体思想进行求值；根据题意可得，然后整体代入求值即可； 【详解】解：∵，， ∴ ； 【变式5-1】（25-26七年级上·江苏·期中）已知，，，则 【答案】 【知识点】整式的加减运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查整式的加减、代数式求值，根据已知，结合整式的加减得到，，，进而代入值求解即可． 【详解】解：因为，，， 所以，，． 所以， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知，则的值是_________ 【答案】32 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减中的化简求值 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，利用整体思想解题是关键．将代数式去括号、合并同类项后变形为，再整体代入计算求值即可． 【详解】解： 原式． 【变式5-3】（24-25七年级上·四川泸州·期中）【阅读与思考】有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数的值是多少？”爱动脑筋的吴同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，把式子两边乘以，得．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： (1)已知，则 ； (2)已知，，求的值； (3)已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】去括号、添括号、合并同类项、整式的加减中的化简求值 【分析】（1）将变形为，然后将代入求值即可； （2）将变形为，然后将，代入求值即可； （3）将变形为，然后将，代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：，， ； （3）解：，， ． 【点睛】本题主要考查了整式的加减中的化简求值，去括号，合并同类项，添括号等知识点，对原式进行适当变形并运用整体代入法求值是解题的关键． 【题型六】数轴上的动点问题 【例6】（22-23七年级上·全国·期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点A，再向左移动到达点B，然后向右移动到达点C，数轴上一个单位长度表示． (1)请你在数轴上表示出A、B、C三点的位置； (2)把点C到点A的距离记为，则_____； (3)若点B沿数轴以的速度匀速向右运动，经过____后点B到点C的距离为； (4)若点B沿数轴以的速度匀速向左运动，同时点A、点C沿数轴分别以和的速度匀速向右运动．设运动时间为，试探索：的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 【答案】(1)画图见解析 (2)6 (3)2或4 (4)不会随着t的变化而改变，理由见解析 【知识点】数轴上两点之间的距离、整式的加减运算、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴，整式的加减运算，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键． （1）根据题意数轴上表示出A，B，C三点的位置即可； （2）根据两点间的距离公式可求的长度； （3）表示B点移动的距离，然后再除以速度即可得出结论； （4）表示出和，再相减即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，A、B、C三点在数轴上表示如下： ． （2）解：． （3）解：点到点的距离为时，移动的距离为或， （秒，（秒， 所以，经过2秒或4秒后点到点的距离为， （4）解：的值不会随着的变化而变化，理由如下： 根据题意得：，， ， 的值不会随着的变化而变化． 【变式6-1】（25-26七年级上·广东·期中）如图：在数轴上点A表示数，点表示数，点表示数，已知是，数是最大的负整数，是单项式的次数． (1)_____，_______． (2)点A，，开始在数轴上运动，若点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为． ①_____，________．（用含的代数式表示） ②探究：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个值． 【答案】(1)，3 (2)①；；②不变，这个常数是16 【知识点】数轴上两点之间的距离、整式加减中的无关型问题、单项式的系数、次数、列代数式 【分析】（1）根据单项式的概念、负整数的定义即可求出答案； （2）①根据A、B、C三点运动的方向即可求出答案； ②将（2）问中的与的表达式代入即可判断． 本题考查有理数与数轴，涉及数轴上的动点问题，解题的关键是用含字母的代数式表示点运动后所表示的数． 【详解】（1）解：根据最大的负整数是，单项式的次数是3， 得，， 故答案为：，3． （2）①根据点B和点C分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右运动，点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，秒过后，点A运动的路程为，点B运动的路程为，点C运动的路程为，结合A起始数为，B起始数为，C起始数为3，故运动秒后点A表示的数，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， 故答案为：；． ②根据题意，得，， ∴． 故的值不变，这个常数是16 【题型一】化简绝对值 ·适用形式： ·求解方法：①判断绝对值内的正负；②去绝对值(正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它相反数)；③计算其值 【例1】（24-25七年级上·贵州遵义·期中）有理数在数轴上的对应点的位置如图．的结果为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、合并同类项、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查了数轴、绝对值和整式的加减，解题关键是根据图形判断绝对值里面的符号． 根据图形判断式子的和差的符号，利用绝对值性质化简，最后合并即可． 【详解】解：由图可知：， ， 故选：A． 【变式1-1】（25-26七年级上·吉林长春·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，b______0，______0，______0，； (2)化简：． 【答案】(1)<，<，<，> (2) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、合并同类项、根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴上数的大小关系，绝对值的性质及化简计算． （1）当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，据此逐项判断即可； （2）根据绝对值的含义和求法，化简即可． 【详解】（1）解：根据有理数a，b，c在数轴上的位置，可得： ，，，． 故答案为：<，<，<，>． （2）解：∵从数轴可知：，，，， ∴原式 ． 【变式1-2】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算 【分析】本题考查数轴，化简绝对值，整式的加减．根据数轴上点的位置判断出绝对值里的式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴ ． 故答案为： 【变式1-3】（24-25七年级上·湖北武汉·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，化简 【答案】 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了数轴，化简绝对值，合并同类项，准确熟练地化简各式是解题的关键． 先化简每一个绝对值，然后再进行计算即可． 【详解】解：根据数轴得，，， ． 【题型二】不含某一字母 ·适用形式：题中有不含某一项或者代数式的值与某一字母无关或者代数式是一个定值 ·求解方法：①合并同类项，化简式子；②不含某一项前系数为0或者无关字母前系数为0； 【例2】（1）（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知多项式不含项和项，则的值为（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查多项式的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．根据多项式的相关概念解答即可． 【详解】解：项系数为，项合并同类项后系数为， ∵多项式不含项和项， ∴， ∴，， 则． 故选：D． （2）（25-26七年级上·江苏·期中）已知，，无论x取何值，恒成立，则 【答案】2 【知识点】整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查整式的加减，根据题意可以得到关于a的等式，从而可以求得a的值，本题得以解决． 【详解】解：∵，，无论x取何值，恒成立， ∴ ， ∴， 解得． 故答案为：2． 【变式2-1】（23-24七年级上·浙江杭州·期中）已知，，若代数式的结果与b无关，则 ． 【答案】 【知识点】合并同类项、去括号、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了整式的加减，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．将、代入，然后去括号、合并同类项，得，由此代数式与b的取值无关，说明b的系数为0，据此求出的值． 【详解】解：由，， 代数式的结果与b无关， ， 解得：， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25七年级上·福建福州·期中）某同学做一道数学题，已知两个多项式A、B，，试求 ．这位同学把误看成，结果求出的答案为 (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)当的取任意数值，的值是一个定值时，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式加减中的无关型问题、整式的加减运算 【分析】本题考查的是整式的加减，熟知整式加减的实质是去括号、合并同类项是解答此题的关键． （1）根据列出代数式，去括号合并同类项即可； （2）先根据列出代数式，去括号合并同类项求出结果，再根据当x取任意数值，的值是一个定值得出，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ （2） ∵当x取任意数值，的值是一个定值， ∴， ∴． 【变式2-3】（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，小长方形纸片的长为a，宽为b，且，将7张纸片按图示不重叠的放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和． （1）当，，时，的值为 ； （2）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，当的值与的长度无关时，a、b满足的关系式是 ． 【答案】 24 【知识点】整式加减的应用、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查整式加减运算的实际应用． （1）由图可知：，确定两个未被覆盖的长方形的长和宽，求出，即可； （2）设，求出的值，根据的值与的长度无关，得到的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知：， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）设， 则： ； ∵的值与的长度无关， ∴， ∴； 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $