2026-2027学年高二数学上学期期中自编模拟试卷02（河北省人教A版适用）

2026——2027学年高二数学期中模拟试卷02 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线方程直接求解即可 【详解】由得，所以，即双曲线的渐近线方程为. 2．经过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线垂直关系确定所求直线的斜率，然后结合经过的点的坐标求出结果即可. 【详解】因为直线变形为，其斜率为， 所以与其垂直的直线的斜率为3，设其方程为. 又该直线经过点，所以，解得. 故所求直线的方程为，即.故选：B. 3．已知点，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量的求法求得正确答案. 【详解】,所以在上的投影向量为. 4．已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 【答案】C 【分析】根据直线方程确定定点，再判断点圆位置关系，即可得直线与圆的位置，进而确定公共点个数. 【详解】由直线恒过定点，而， 所以点在圆内，故直线恒与圆相交，故有两个交点，故选：C 5．已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上第一象限的点，直线与轴相交于点，若（为坐标原点），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由点在椭圆上可确定点的位置，得出；再根据椭圆的定义可得，进而可得出答案. 【详解】 由椭圆，可得：，，，点在椭圆上.因为，.所以轴，所以.因为，所以，所以. 6．已知在空间直角坐标系中，直线经过，两点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求投影长度，然后结合勾股定理即可得解. 【详解】由题意，所以， 所以点到直线的距离为.故选：C 7．已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，为双曲线上在第一象限内的一点，，且的面积为，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可知，点在线段的垂直平分线上，联立与双曲线方程可求得点坐标，由等面积法可得，解关于的齐次式方程即可. 【详解】由题意知，，如图所示， 因为，所以点在线段的垂直平分线上，又点在双曲线的第一象限上， 所以，解得，又因为， 所以，整理得，即，解得（舍负），又，所以.故选：B. 8.如图，放在平面直角坐标系中的“太极图”整体是一个圆形，且黑色阴影区域与白色区域关于原点中心对称，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆. 已知直线. 给出下列四个结论： ①当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分面积记为，则； ②当时，直线与黑色阴影区域有个公共点； ③当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有个公共点． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】由题知根据直线：过定点，为直线的斜率根据直线和圆的位置关系作图，数形结合逐项分析判断即可得解. 【详解】如图1所示，大圆的半径为2，小圆的半径为1， 所以大圆的面积为，小圆的面积为．对于①，当时，直线的方程为． 此时直线将黑色阴影区域的面积分为两部分，，所以，故①正确． 对于②，根据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为,当时，直线的方程为，即，小圆圆心到直线的距离，所以直线与该半圆弧相切，如图2所示， 所以直线与黑色阴影区域只有一个公共点，故②正确． 对于③，当时，如图3所示， 直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点，当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有1个公共点，故③错误．综上所述，①②正确．故选：A． 二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．若为椭圆的方程，则的值可以为（   ） A．3 B．6 C．8 D．1 【答案】AC 【分析】将方程化为标准式，依题意可得，即可求出的取值范围，即可判断. 【详解】方程，即， 依题意可得，解得且， 即的取值范围为，结合选项可知A、C符合题意.故选：AC 10．已知直线l：，圆C：，则（   ） A．直线l过定点 B．圆上的点到l的距离最大值为 C．当l与圆C相切时，直线l方程为 D．当时，圆C上有三个点到l的距离为1 【答案】BC 【分析】将l的方程化为，可知l经过直线与的交点，从而判断出A项的正误；求出圆心C到直线l距离的最大值，进而算出圆上的点到直线l距离的最大值，由此判断出B项的正误；根据切线的性质、点到直线的距离公式，算出直线l与圆C相切时的斜率k值，进而判断出C项的正误；当时，圆心C恰好在直线l上，结合圆的半径，判断出D项的正误． 【详解】对于A，直线l：可化为， 所以直线l经过直线与直线的交点，故A项不正确； 对于B，圆C：的圆心为，半径 根据直线l经过定点，可知点C到直线l的最大距离为 因此，圆C上的点到l的距离最大值为，故B项正确； 对于C，当l与圆C相切时，圆心C到直线l的距离， 即，解得，可得直线l的方程为，即，故C项正确； 对于D，当时，直线l方程为，此时圆心C恰好在直线l上， 根据圆的半径，可知圆C上仅有两个点到l的距离等于1，故D项不正确． 故选：BC. 11．如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（  ） A．异面直线与所成角为 B．平面 C．三棱锥的体积不变 D．直线与平面所成角正切值的取值范围为 【答案】ACD 【分析】选项A：利用异面直线的夹角求解即可，选项B：应用线面垂直判定定理及性质判断.选项C：利用等体积法求解即可，选项D：利用空间直角坐标系使用代数法求解线面角的取值范围. 【详解】 对于A，因为正方体中，且为等边三角形，故异面直线与夹角为，故A正确；对于C，因为平面，平面，所以平面 所以为定值，故C正确；对于D，建立如图所示的直角坐标系，设正方体的棱长为1，设，，，，，则， 所以，由正方体的性质知：平面，平面， 平面，故平面的法向量为， 对于B，不平行，所以平面不成立，B错误；直线与平面所成角正弦值为，因为，，所以当时取得最大值，因，则，，若或时，取得为，同法可得，所以，则得，故D正确.故选：ACD 三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 12．已知直线l的一个方向向量为，若l过点，则直线l的方程为____________． 【答案】 【分析】根据方向向量求出直线的斜率，再点斜式写出方程，最后化简为一般方程即可. 【详解】根据直线l的方向向量可得直线的斜率为，又因为, 所以直线l的方程为,即得. 13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，P为双曲线C上一点，且满足，则________． 【答案】 【分析】由双曲线定义和渐近线方程解出双曲线方程，再由双曲线的定义解出结果即可. 【详解】由题意可知，因为渐近线方程为，所以， 又，解得，所以双曲线方程为，因为，解得， 14.在平面直角坐标系中有，，三点，则同时满足条件：①△PAB的周长为6；②△PAC的面积为的点P的个数为_____________． 【答案】4 【分析】分析点满足的条件，根据数形结合，可确定满足条件的点的个数. 【详解】因为的周长为6，所以，所以在椭圆：上（左右顶点除外）. 因为，，所以中边上的高为：， 又直线方程为：设，则或，与轴的交点分别为和，因为，所以和均在椭圆内，所以这两条直线和椭圆有4个交点, 所以满足条件的点有4个. 四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）由中点坐标公式求得中点的坐标，结合A的坐标利用直线方程的两点式求得上的中线的直线方程； （2）求出边所在直线的斜率，然后直接由直线方程的点斜式求得边上的高的直线方程． 【详解】（1），，由中点坐标公式得中点为， 又，由直线方程的两点式得边上的中线的直线方程为，整理得； （2），，则，所以边上的高的直线的斜率为-2， 又，则边上的高的直线方程为，整理得：． 16．在三棱台中，平面，，，，为中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)见解析；(2) 【分析】（1）取的中点，证明四边形为平行四边形，推出，根据线面平行的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面与平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）取的中点，连接，，得为的中位线， ，且．由于∽，，故，而，，则，，四边形为平行四边形，．又平面， 平面，平面． （2）如图，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，所以，． 设平面的一个法向量为，由，得，令，则可取． 平面平面的法向量可取为．设平面与平面的夹角为，, 则，平面与平面的夹角余弦值为. 17.已知圆与圆 （1）求经过圆与圆交点的直线方程：（2）求圆与圆的公共弦长． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）圆的圆心为，半径为，圆， 即，圆心为，半径为，则， 故圆与圆相交；将圆与圆的方程相减， 得，即经过圆与圆交点的直线方程为； （2）圆的圆心为，半径为1，到直线的距离为， 故圆与圆的公共弦长为. 18．如图，在梯形中，是边的中点，，且，为等边三角形，现将平面沿翻折，使平面平面，得到四棱锥，点在棱上，且． (1)求证：； (2)求平面和平面的夹角的大小． 【答案】(1)见解析；(2)60° 【分析】（1）解法1：取的中点，连接，，利用线面垂直的判定定理和性质定理证明；解法2：利用向量数量积的运算律证明； （2）解法1：建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式求解即可；解法2：由向量的四则运算设，则是平面和平面的交线，可得，又，所以即为平面和平面的夹角，再利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）解法1：取的中点，连接，， 由题意可得和均为等边三角形，所以，， 因为平面，，所以平面，因为平面，所以. 解法2：取的中点，连接，， 由题意可得和均为等边三角形， 所以，，即，，因为， 所以，即. （2）解法1：分别以射线，，为轴、轴、轴正半轴，建立空间直角坐标系，如图， 设，则，，，， 所以，，因为，所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，取可得平面的一个法向量， 又平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为，则， 所以平面和平面的夹角为60°． 解法2：因为，所以， 又因为，， 所以， 设， 则是平面和平面的交线，平面， 因为平面，所以， 又因为，所以即为平面和平面的夹角， 所以，即平面和平面的夹角为60°． 19．在一张纸上有一个圆，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为. (1)求证：为定值，并求出点的轨迹的方程； (2)设为（1）中轨迹上位于轴右侧的一个动点，证明：在轴上存在定点，使得. 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据双曲线定义判断出点的轨迹为双曲线，求出，得到双曲线方程； （2）假设存在点满足条件，设为双曲线右支上的一点，则，分和两种情况讨论，再讨论时，可以用先猜后证的思想证明. 【详解】（1）由题意得，所以， 即的轨迹是以，为焦点，实轴长为2的双曲线， 又，，所以，所以的方程为. （2）假设存在点满足条件. 由（1）知，双曲线的右焦点为.设为双曲线右支上的一点，则. ①当时，， 因为，所以， 于是，所以或5.即或都满足条件. ②当时，根据①我们猜想定点为或， 当点在轴负半轴上时， ，. 因为，所以. （i）当时，上式化简为：. 又即，代入上式得. 所以，解得，即. （ii）当时，，即也能满足. 当点在轴正半轴上时，，. 过程同上，得到不能满足条件. 综上所述，在轴上存在定点，使得. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026——2027学年高二数学期中模拟试卷02 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．经过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知点，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．与有关，不能确定 5．已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上第一象限的点，直线与轴相交于点，若（为坐标原点），则（   ） A． B． C． D． 6．已知在空间直角坐标系中，直线经过，两点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，为双曲线上在第一象限内的一点，，且的面积为，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D． 8.如图，放在平面直角坐标系中的“太极图”整体是一个圆形，且黑色阴影区域与白色区域关于原点中心对称，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆. 已知直线. 给出下列四个结论： ①当时，若直线截黑色阴影区域所得两部分面积记为，则； ②当时，直线与黑色阴影区域有个公共点； ③当时，直线与黑色阴影区域的边界曲线有个公共点． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．若为椭圆的方程，则的值可以为（   ） A．3 B．6 C．8 D．1 10．已知直线l：，圆C：，则（   ） A．直线l过定点 B．圆上的点到l的距离最大值为 C．当l与圆C相切时，直线l方程为 D．当时，圆C上有三个点到l的距离为1 11．如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（  ） A．异面直线与所成角为 B．平面 C．三棱锥的体积不变 D．直线与平面所成角正切值的取值范围为 三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 12．已知直线l的一个方向向量为，若l过点，则直线l的方程为____________． 13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，P为双曲线C上一点，且满足，则________． 14.在平面直角坐标系中有，，三点，则同时满足条件：①△PAB的周长为6；②△PAC的面积为的点P的个数为_____________． 四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程． 16．在三棱台中，平面，，，，为中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17.已知圆与圆 （1）求经过圆与圆交点的直线方程：（2）求圆与圆的公共弦长． 18．如图，在梯形中，是边的中点，，且，为等边三角形，现将平面沿翻折，使平面平面，得到四棱锥，点在棱上，且． (1)求证：； (2)求平面和平面的夹角的大小． 19．在一张纸上有一个圆，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为. (1)求证：为定值，并求出点的轨迹的方程； (2)设为（1）中轨迹上位于轴右侧的一个动点，证明：在轴上存在定点，使得. 学科网（北京）股份有限公司 $